8.5点到直线的距离
2020届高三理数一轮讲义：8.5-直线、平面垂直的判定及其性质(含答案)
知识梳理两直线垂直于同一个平面，
1.判断下列结论正误
表示两条不同的直线，
考点一线面垂直的判定与性质
2MB，求点C到平面
，O为AC的中点，
⊥平面POM.
的距离.
＝2
3BC＝
42
3，∠ACB
上的一点，若三棱锥E－ABC的体积为
；
－BCD的体积为
SAD，可得BD⊥SD
多维探究PCD；
AD的中点，
，使得AC⊥BM，若存在点
，所以MN⊥AC.
⊥平面MBN.
所成角的余弦值；
PDC，
的正切值.
PD2＝25，∴PA＝5. [思维升华]
证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件
基础巩固题组
如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知六个点共面，直线BD1与平面EFMNQG
中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项D
不垂直，满足题意，故选D.
B.直线AB上D.△ABC内部
，所以PC垂直于直线
AB⊥平面PAC，又因为
BD，因为PA⊥
PAC，所以BD⊥PC
C1D1中，AB＝BC
________.
AC1与平面A1B1
AC＝22，
的中点，求证：BD⊥平面AOF.
G，连接FG，AG
是梯形CDPE的中位线，
；
PB上是否存在点F
C，所以DC⊥平面
AC，所以AB⊥AC
B.AH⊥平面EFH
D.HG⊥平面AEF AH⊥HE，AH⊥HF不变，又HE
C.4
上的射影为E，连接D1E
C1DF，
ADC；
与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为。
抛物线的标准方程
N
x
2
1 2 1 x (y ) y 4 4
2
化简，得：
yx
1 再思考:求满足到定点 F (0, ) 及定直线 4 1
L： y
4 分析：由抛物线定义可知， 动点P的轨迹是以F为焦点， L为准线的抛物线， 且由焦点、准线的位置可知 抛物线方程为开口向上的标 准方程。
距离相等的动点P的轨迹方程.
p2 p ( x ) y2 x 2 2
化简得
K o
· · F
x
y2 = 2px（p＞0）
结论（1）：
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做抛物线的标准方程. 其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦点到准线的距离
此方程表示的是开口向右，焦点 在 x轴的正半轴上的抛物线． P 且焦点坐标为 F ( 线y =4ax的焦点坐标和准线方程。
2
1 1 引例：求满足到定点 F (0, ) 及定直线l： y 4 4
距离相等的动点P的轨迹方程.
求曲线方程的基本步 骤是怎样的？ 步骤：（1）建系设点
（2）列式化简（3）验证 分析：如图，设P（x，y） 由 PF PN 可得：
y
F · 0
P
例1（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程； 解：由y2 = 6x可知对应的抛物经开口向右，又因为 3 3 ｐ＝３，故焦点坐标为F ( ,0) ，准线方程为 x 2 2 （2）已知抛物线的方程是y = －6x2， 求它的焦点坐标和准线方程； 1 2 解:标准方程为: x y ， 故 是开口向下的抛物 1 6 1 1 线。 P ,焦点坐标为 F (0, ) , 准线方程为 y 24 24 12 （3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2）， 求它的标准方程。 解:因焦点在y轴的负半轴上,则抛物线的标准方程为 x 2 = －2py ，易知p=4,故其标准方程为:x 2 = －8y。
《直线与平面平行的性质》教案、导学案、课后作业
《8.5.2 直线与平面平行》教案第2课时直线与平面平行的性质【教材分析】在直线与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，本节内容既是直线与直线平行关系延续和提高，也是后续研究平面与平面平行的基础，既巩固了前面所学的内容，又为后面内容的学习做了知识上和方法上的准备，在教材中起着承前启后的作用。
【教学目标与核心素养】课程目标1．理解直线和平面平行的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对性质定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳直线和平面平行的性质定理，线线平行与线面平行转化；2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.【教学重点和难点】重点：直线和平面平行的性质定理.难点：直线和平面平行的性质定理的应用.【教学过程】一、情景导入问题1：观察长方体，可以发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B 所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′DC所在平面平行，你能在侧面C′D′DC所在平面内作一条直线与A′B平行吗？问题2：由直线与平面平行可知直线与平面内的直线关系为平行或异面，那么满足什么条件，直线与平面内的直线平行呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本137-138页，思考并完成以下问题1、平面外的直线与平面内的直线有几种位置关系？2、满足什么条件时平面外一条直线与平面内的直线平行？3、用符号语言怎么表示直线与平面平行的性质定理？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、直线与平面平行的性质定理四、典例分析、举一反三题型一直线与平面平行的性质定理的理解例1 已知直线m,n及平面α,β有下列关系:①m,n⊂β,②n⊂α,③m∥α,④m∥n.现把其中一些关系看作条件,另一些看作结论,组成一个真命题是 .【答案】①②③⇒④或①②④⇒③【解析】结合线面平行的性质定理,可知①②③⇒④,结合线面平行的判定定理,可知①②④⇒③.解题技巧（性质定理理解的注意事项）(1)明确性质定理的关键条件.(2)充分考虑各种可能的情况.(3)特殊的情况注意举反例来说明.跟踪训练一1、有以下三个命题:①如果一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的无数条直线平行;②过直线外一点,有且只有一个平面和已知直线平行;③如果直线l ∥平面α,那么过平面α内一点和直线l 平行的直线在α内,其中正确命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3【答案】C ．【解析】结合线面平行的性质定理,可知过直线外一点,有无数个平面和已知直线平行.题型二 直线与平面平行的性质定理的应用 例2如图所示的一块木料中，棱平行于面.（1） 要经过面内的一点P 和棱将木料锯开， 在木料表面应该怎样画线？（2）所画的线与平面是什么位置关系？【答案】（1）见解析（2）直线与平面平行直线与平面相交.【解析】（1）如图，在平面A′C′内，过点P 作直线EF ,使EF ∥B′C′，并分别交棱A′B′、C′D′于点E 、F .连接BE 、CF . 则EF 、BE 、CF 就是应画的线.(2)因为棱BC 平行于面A′C′，平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以BC ∥B′C′.由（1）知，EF ∥B′C′，所以EF ∥BC .而BC 在平面AC 内，EF 在平面AC 外，所以EF ∥平面AC.BC A C ''A C ''BC AC EF AC ,BE CFAC显然, BE 、CF 都与平面AC 相交. 解题技巧 (性质定理应用的注意事项)(1)欲证线线平行可转化为线面平行解决,常与判定定理结合使用. (2)性质定理中有三个条件,缺一不可,注意平行关系的寻求.常利用中位线性质.跟踪训练二1、如图,AB,CD 为异面直线,且AB ∥α,CD∥α,AC,BD 分别交α于M,N 两点,求证AM ∶MC=BN ∶ND.【答案】证明见解析【解析】连接AD 交α于点P,连接MP,NP因为CD ∥α,平面ACD∩α=MP, 所以CD ∥MP,所以=.同理可得NP ∥AB,=,所以=.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计AM MCAP PDAP PDBN NDAM MCBN ND七、作业课本139页练习4题，143页习题8.5的1、3、7、10、11题.【教学反思】通过本节课性质定理的学习，使学生进一步了解线线平行和线面平行时刻相互转化的，即空间问题和平面问题可以相互转化.《8.5.2 直线与平面平行》导学案第2课时直线与平面平行的性质【学习目标】知识目标1．理解直线和平面平行的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对性质定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．核心素养1.逻辑推理：探究归纳直线和平面平行的性质定理，线线平行与线面平行转化；2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.【学习重点】：直线和平面平行的性质定理.【学习难点】：直线和平面平行的性质定理的应用.【学习过程】一、预习导入阅读课本137-138页，填写。
抛物线的标准方程
练习：
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
y2 =12x y2 =x y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y
1 （2）准线方程 是x = ； 4
（3）焦点到准线的距离是2.
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（ 1） y2 = 20x （ 2 ） x 2=
抛物线定义及其标准方程
高二数学第8.5节
回顾：
椭圆、双曲线的第二定义？
到一个定点的距离和它到一条定直线的距离 的比是常数e的点的轨迹： (1)当0<e<1时,是椭圆; (2) 当e＞1时，是双曲线;
(3)当e=1时，它的轨迹是什么？
l P F · F P l
l N
P
·
e＞1
· F ·
e=1
0＜ e ＜ 1
设y 2Px
2
y M
2
所以 P=８.
OF
． ．
x
因为焦点在x轴的正半轴上,所以点M的轨迹方程为 y2=16x．
想一想:
已知一曲线在x轴的上方， 它上面的每一点到点A0,2 的距离 减去到x轴的距离的差是2， 求曲线方程
M
想一想:
例：点P到定点F 1， 0 的距离与 P到l : x 3的距离相等, 求点P的轨迹方程
例1（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程； 解：由y2 = 6x可知对应的抛物经开口向右，又因为 3 3 ｐ＝３，故焦点坐标为F ( ,0) ，准线方程为 x 2 2 （2）已知抛物线的方程是y = －6x2， 求它的焦点坐标和准线方程； 1 2 解:标准方程为: x y ， 故 是开口向下的抛物 1 6 1 1 线。 P ,焦点坐标为 F (0, ) , 准线方程为 y 24 24 12 （3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2）， 求它的标准方程。 解:因焦点在y轴的负半轴上,则抛物线的标准方程为 x 2 = －2py ，易知p=4,故其标准方程为:x 2 = －8y。
新人教版高中数学必修第二册 第8章 8.5.2 直线与平面平行
8．5.2直线与平面平行考点学习目标核心素养直线与平面平行的判定理解直线与平面平行的定义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，会用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面位置关系直观想象、逻辑推理直线与平面平行的性质理解并能证明直线与平面平行的性质定理，明确定理的条件，能利用直线与平面平行的性质定理解决有关的平行问题直观想象、逻辑推理问题导学预习教材P135－P138的内容，思考以下问题：1．直线与平面平行的判定定理是什么？2．直线与平面平行的性质定理是什么？1．直线与平面平行的判定定理文字语言如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号语言a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α图形语言用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：(1)直线a在平面α外，即a⊄α.(2)直线b在平面α内，即b⊂α.(3)两直线a，b平行，即a∥b.2．直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言■名师点拨(1)线面平行的性质定理成立的条件有三个：①直线a与平面α平行，即a∥α；②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即a⊂β.以上三个条件缺一不可．(2)定理的作用：①线面平行⇒线线平行；②画一条直线与已知直线平行．(3)定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．()(2)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α.()(3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行．()(4)若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α.()(5)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√能保证直线a与平面α平行的条件是()A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥cC．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BDD．a⊄α，b⊂α，a∥b答案：D如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则()A．EF与BC相交B．EF∥BCC．EF与BC异面D．以上均有可能解析：选B.因为平面SBC∩平面ABC＝BC，又因为EF∥平面ABC，所以EF∥BC.已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l⊄α”．答案：l⊄α直线与平面平行的判定如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.【证明】连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1.又AB═∥A1B1═∥D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G，所以EF∥平面AD1G.应用判定定理证明线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：①空间直线平行关系的传递性法； ②三角形中位线法； ③平行四边形法； ④成比例线段法．[提醒] 线面平行判定定理应用的误区(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”． (2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．1．如图，下列正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，则不能得出AB ∥平面MNP 的是( )解析：选C.在题图A ，B 中，易知AB ∥A 1B 1∥MN ，MN ⊂平面MNP ，AB ⊄平面MNP ，所以AB ∥平面MNP ；在图D 中，易知AB ∥PN ，PN ⊂平面MNP ，AB ⊄平面MNP ，所以AB ∥平面MNP .2．已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不同在一个平面内，P ，Q 分别是对角线AE ，BD 上的点，且AP ＝DQ .求证：PQ ∥平面CBE .证明：如图，作PM ∥AB 交BE 于点M ，作QN ∥AB 交BC 于点N ，连接MN ，则PM ∥QN ，PM AB ＝EP EA ，QN CD ＝BQ BD . 因为EA ＝BD ，AP ＝DQ ， 所以EP ＝BQ .又因为AB ＝CD ，所以PM ═∥QN ， 所以四边形PMNQ 是平行四边形， 所以PQ ∥MN .又因为PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE，所以PQ∥平面CBE.线面平行性质定理的应用如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.【证明】如图，连接AC，交BD于点O，连接MO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点．又因为点M是PC的中点，所以AP∥OM.又因为AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，所以AP∥平面BDM.因为平面P AHG∩平面BDM＝GH，AP⊂平面P AHG，所以AP∥GH.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且P A＝3.F在棱P A上，且AF＝1，E在棱PD上．若CE∥平面BDF，求PE∶ED的值．解：过点E作EG∥FD交AP于点G，连接CG，连接AC交BD于点O，连接FO.因为EG∥FD，EG⊄平面BDF，FD⊂平面BDF，所以EG∥平面BDF，又EG∩CE＝E，CE∥平面BDF，EG⊂平面CGE，CE⊂平面CGE，所以平面CGE∥平面BDF，又CG⊂平面CGE，所以CG∥平面BDF，又平面BDF∩平面P AC＝FO，CG⊂平面P AC，所以FO∥CG.又O为AC的中点，所以F为AG的中点，所以FG＝GP＝1，即G是PF的中点，又EG∥FD，所以E为PD的中点，所以PE∶ED＝1∶1.1．已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是()A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的所有直线不相交解析：选D.若b与α内的所有直线不相交，即b与α无公共点，故b∥α.2．给出下列命题：①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行．其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2 D．3解析：选B.①中，直线可能与平面相交，故①错；②是正确的；③中，一条直线与平面平行，则它与平面内的直线平行或异面，故③错．3．三棱台ABC-A1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面内D．不确定解析：选B.在三棱台ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1.4．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.证明：如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点，连接DF，则DF∥BC1.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.[A基础达标]1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是()A．直线m在平面α外B．直线m与平面α内的两条直线平行C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行D．直线m与平面α内的一条直线平行解析：选C.选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，因为缺少条件m⊄α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行，故选项C符合题意．2.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则()A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能解析：选B.因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.3．已知直线a∥平面α，a∥平面β，α∩β＝b，则a与b()A．相交B．平行C．异面D．共面或异面解析：选B.因为直线a∥α，a∥β，所以在平面α，β中分别有一直线平行于a，不妨设为m，n，所以a∥m，a∥n，所以m∥n.又α，β相交，m在平面α内，n在平面β内，所以m∥β，所以m∥b，所以a∥b.4．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是()A．E，F，G，H一定是各边的中点B．G，H一定是CD，DA的中点C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GCD．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC解析：选D.由于BD∥平面EFGH，由线面平行的性质定理，有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.5．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点解析：选A.因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.6．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分別是对角线A1D、B1D1的中点，则正方体6个表面中与直线EF 平行的平面有________________．解析：如图，连接A 1C 1，C 1D ， 所以F 为A 1C 1的中点， 在△A 1C 1D 中，EF 为中位线， 所以EF ∥C 1D ，又EF ⊄平面C 1CDD 1， C 1D ⊂平面C 1CDD 1，所以EF ∥平面C 1CDD 1. 同理，EF ∥平面A 1B 1BA .故与EF 平行的平面有平面C 1CDD 1和平面A 1B 1BA . 答案：平面C 1CDD 1和平面A 1B 1BA7．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：因为在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝2 2.又E 为AD 的中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，所以EF ∥AC ，所以F 为DC 的中点， 所以EF ＝12AC ＝ 2.答案： 28.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：因为EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ACD ，平面ACD ∩平面AB 1C ＝AC ，所以EF ∥AC ，又E 为AD 的中点，AB ＝2， 所以EF ＝12AC ＝12×22＋22＝ 2.答案： 29．如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形，E 为PC 的中点，PF ＝2FD ，求证：BE ∥平面AFC .证明：如图，连接BD ，交AC 于点O ，取PF 的中点G ，连接EG ，ED ，ED 交CF 于点M ，连接MO .在△PCF 中，E ，G 分别为PC ，PF 的中点， 则EG ∥FC .在△EDG 中，MF ∥EG ，且F 为DG 的中点，则M 为ED 的中点． 在△BED 中，O ，M 分别为BD ，ED 的中点， 则BE ∥MO .又MO ⊂平面AFC ，BE ⊄平面AFC ，所以BE ∥平面AFC . 10．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，C 1D 1的中点，求证：EF ∥平面BDD 1B 1.解：如图，取D 1B 1的中点O ，连接OF ，OB . 因为OF ═∥12B 1C 1，BE ═∥12B 1C 1， 所以OF ═∥BE ，所以四边形OFEB 是平行四边形，所以EF ∥BO . 因为EF ⊄平面BDD 1B 1，BO ⊂平面BDD 1B 1， 所以EF ∥平面BDD 1B 1.[B 能力提升]11．如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，EH ∥FG ，则EH 与BD 的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．不确定解析：选A.因为EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，所以EH∥平面BCD.因为EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD.12．已知直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于a的直线()A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，一定不在α内C．只有一条，一定在α内D．有无数条，一定在α内解析：选C.若这样的直线不只一条，由基本事实4知，这些直线互相平行，这与这些直线都过点P矛盾，因此只有一条．又由直线与平面平行的性质定理知，这条直线一定在α内．13.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD 中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，所以OM∥PD，又OM⊄平面PCD，且OM⊄平面PDA，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC均相交．14.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF，M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE.证明：因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB ＝90°，所以△ABC ∽△EFG ，∠EGF ＝90°，由于AB ＝2EF ，因此BC ＝2FG .如图，连接AF ，由于FG ∥BC ，FG ＝12BC ，在▱ABCD 中，M 是线段AD 的中点，则AM ∥BC ，且AM ＝12BC ， 因此FG ∥AM 且FG ＝AM ，所以四边形AFGM 为平行四边形，因此GM ∥F A .又F A ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，所以GM ∥平面ABFE .[C 拓展探究]15．如图，斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点D 1为A 1C 1上的点．当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1?解：如图，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1. 连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质，知四边形A 1ABB 1为平行四边形，所以点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点，所以OD 1∥BC 1.又因为OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1，所以BC 1∥平面AB 1D 1.所以当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1.。
多次相遇问题(解析版)
多次相遇问题（解析版）一、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N 个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键 几个全程多人相遇追及的解题关键 路程差【例 1】 小明和小红两人在长100米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为6米/秒，小红的速度为4米/秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟．在这段时间内，他们迎面相遇了多少次？【解析】 第一次相遇时，两人共跑完了一个全程，所用时间为：1006410÷+=（）(秒)．此后，两人每相遇一次，就要合跑2倍的跑道长，也就是每20秒相遇一次，除去第一次的10秒，两人共跑了126010710⨯-=(秒)．求出710秒内两人相遇的次数再加上第一次相遇，就是相遇的总次数．列式计算为：1006410÷+=（）(秒)，1260101023510⨯-÷⨯=（）（），共相遇35136+=(次)。
注：解决问题的关键是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程长．【例 2】 A 、B 两地间有条公路，甲从A 地出发，步行到B 地，乙骑摩托车从B 地出发，不停地往返于A 、B 两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达B 地时，乙追上甲几次？【解析】第一次追上第一次相遇乙甲F E B由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在1008020-=(分钟)内所走的路程恰等于线段FA 的长度再加上线段AE 的长度，即等于甲在(80100+)分钟内所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍(18020=÷)，则BF 的长为AF 的9倍，所以，甲从A 到B ，共需走80(19)800⨯+=(分钟)乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为一个AB 全程．从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个AB 全程，因此，追及时间也变为200分钟(1002=⨯)，知识精讲所以，在甲从A到B的800分钟内，乙共有4次追上甲，即在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟．【例 3】（难度等级3）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的23，二人相遇后继续行进，甲到B地、乙到A地后立即返回．已知两人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是100千米，那么，A、B两地相距千米．【解析】由于甲、乙的速度比是2:3，所以在相同的时间内，两人所走的路程之比也是2:3．第一次相遇时，两人共走了一个AB的长，所以可以把AB的长看作5份，甲、乙分别走了2份和3份；第二次相遇时，甲、乙共走了三个AB，乙走了236⨯=份；第三次相遇时，甲、乙共走了五个AB，乙走了2510⨯=份．乙第二次和第三次相距10－6=4（份）所以一份距离为：100÷4=25（千米），那么A、B两地距离为：5×25＝125（千米）【巩固】（难度等级※※※）小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人第一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相遇(追上也算作相遇)，则甲、乙两地的距离为千米．【解析】由于两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本题中追上也算相遇，所以两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追及．①如果第二次相遇为迎面相遇，如下图所示，两人第一次在A处相遇，第二次在B处相遇．由于第一次相遇时两人合走1个全程，小王走了3千米；从第一次相遇到第二次相遇，两人合走2个全程，所以这期间小王走了326⨯=千米，由于A、B之间的距离也是3千米，所以B与乙地的距离为(63)2 1.5-÷=千米，甲、乙两地的距离为6 1.57.5+=千米；李王乙甲甲王李乙②如果第二次相遇为同向追及，如上图，两人第一次在A处相遇，相遇后小王继续向前走，小李走到甲地后返回，在B处追上小王．在这个过程中，小王走了633-=千米，小李走了639+=千米，两人的速度比为3:91:3=．所以第一次相遇时小李也走了9千米，甲、乙两地的距离为9312+=千米．所以甲、乙两地的距离为7.5千米或12千米．【巩固】（难度级别3）A，B两地相距540千米。
第五章距离测量
一.视距测量原理
1.视线水平时的距离和高差公式 1.视线水平时的距离和高差公式
16
视距间隔l = N - M D = d + f + δ 令K c D D h = = = = =
l d= f p f D = l + ( f +δ ) p
——视距乘常数 f/p ——视距乘常数； f+δ ——视距加常数 f+δ ——视距加常数 通常取K Kl + c 通常取K＝100, c ≈ 0, 100l ii-v
13
距离丈量的误差及注意事项
影响丈量精度的因素： 影响丈量精度的因素： 定线误差、倾斜误差、对点误差、读数误差、尺长误差、 定线误差、倾斜误差、对点误差、读数误差、尺长误差、 温度变化的影响、拉力不均匀、尺垂曲、 温度变化的影响、拉力不均匀、尺垂曲、地形起伏的影响 等。 若要达到1/2000的精度， 若要达到1/2000的精度， 1/2000的精度 则单项误差的影响不得 大于尺长的1/10000, 大于尺长的1/10000,即 1/10000,即 30m钢尺，误差<3mm 30m钢尺，误差<3mm。 <3mm。 钢尺 (1).定线偏差 (1).定线偏差<0.42/2m; 定线偏差<0.42/2m; (2).倾斜误差<1° (2).倾斜误差<1°,或h<0.4m; 倾斜误差<1
20
§4-3 电磁波测距仪测距
概述：利用发射电磁波来测定距离的各种测距仪统称EDM。 EDM。 概述：利用发射电磁波来测定距离的各种测距仪统称EDM
一.光电测距基本原理
1.原理 1.原理
D=1 ct 2 Nhomakorabea21
2.分类 分类 按光源分: 按光源分 光电 普通光源
九年级数学中考真题试卷
2024年长春市初中学业水平考试数学本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．根据有理数加法法则，计算()23+-过程正确的是（ ）A ．()32++B ．()32+-C ．()32-+D ．()32--2．南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照片，图②是其航拍照片，则图③是“四角亭”景观的（ ）．A ．主视图B ．俯视图C ．左视图D ．右视图3．在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则a Ð的大小为（ ）A ．54oB ．60oC ．70oD ．72o4．下列运算一定正确的是（ ）A ．236a a a ×=B ．236a a a ×=C ．()222ab a b =D ．()235a a =5．不等关系在生活中广泛存在．如图，a 、b 分别表示两位同学的身高，c 表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）A ．若a b >，则a c b c+>+B ．若a b >，b c >，则a c >C ．若a b >，0c >，则ac bc >D ．若a b >，0c >，则a b c c>6．2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A 时，位于海平面R 处的雷达测得点R 到点A 的距离为a 千米，仰角为q ，则此时火箭距海平面的高度AL 为（ ）A ．sin a q 千米B ．sin a q 千米C ．cos a q 千米D ．cos a q千米7．如图，在ABC V 中，O 是边AB 的中点．按下列要求作图：①以点B 为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO 于点D ，交BC 于点E ；②以点O 为圆心、BD 长为半径画弧，交线段OA 于点F ；③以点F 为圆心、DE 长为半径画弧，交前一条弧于点G ，点G 与点C 在直线AB 同侧；④作直线OG ，交AC 于点M ．下列结论不一定成立的是（ ）A ．AOM BÐ=ÐB ．180OMC C Ð+Ð=o C ．AM CM =D ．12OM AB =8．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，点()4,2A 在函数()0,0k y k x x=>>的图象上．将直线OA 沿y 轴向上平移，平移后的直线与y 轴交于点B ，与函数()0,0k y k x x =>>的图象交于点C ．若BC =B 的坐标是（ ）A ．(B ．(0,3)C ．(0,4)D ．(0,二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．9．单项式22a b -的次数是 ．10= ．11．若抛物线2y x x c =-+（c 是常数）与x 轴没有交点，则c 的取值范围是 ．12．已知直线y kx b =+（k 、b 是常数）经过点()1,1，且y 随x 的增大而减小，则b 的值可以是 ．（写出一个即可）13．一块含30°角的直角三角板ABC 按如图所示的方式摆放，边AB 与直线l 重合，12cm AB =．现将该三角板绕点B 顺时针旋转，使点C 的对应点C ¢落在直线l 上，则点A 经过的路径长至少为 cm ．（结果保留p ）14．如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是 AC 的中点，DE AB ^于点E ，交AC 于点F ，DB 交AC 于点G ，连结AD ．给出下面四个结论：①ABD DAC Ð=Ð；②AF FG =；③当2DG =，3GB =时，FG =④当 2BD AD =，6AB =时，DFG V上述结论中，正确结论的序号有 ．三、解答题：本题共10小题，共78分．15．先化简，再求值：32222x x x x ---，其中x =．16．2021年吉林省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成A 、B 、C 三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率．17．《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．18．如图，在四边形ABCD 中，90A B Ð=Ð=°，O 是边AB 的中点，AOD BOC Ð=Ð．求证：四边形ABCD 是矩形．19．某校为调研学生对本校食堂的满意度，从初中部和高中部各随机抽取20名学生对食堂进行满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a ．高中部20名学生所评分数的频数分布直方图如下图：（数据分成4组：67x £<，78x £<，89x £<，910x ££）b ．高中部20名学生所评分数在89x £<这一组的是：8.0 8.1 8.2 8.2 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8c ．初中部、高中部各20名学生所评分数的平均数、中位数如下：平均数中位数初中部8.38.5高中部8.3m根据以上信息，回答下列问题：(1)表中m 的值为________；(2)根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”．①在被调查的学生中，设初中部、高中部对食堂“非常满意”的人数分别为a 、b ，则a ________b ；（填“>”“<”或“=”）②高中部共有800名学生在食堂就餐，估计其中对食堂“非常满意”的学生人数．20．图①、图②、图③均是33´的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A 、B 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD ，使其是轴对称图形且点C 、D 均在格点上．(1)在图①中，四边形ABCD 面积为2；(2)在图②中，四边形ABCD 面积为3；(3)在图③中，四边形ABCD 面积为4．21．区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶112小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y （千米）与在此路段行驶的时间x （时）之间的函数图象如图所示．(1)a 的值为________；(2)当112x a ££时，求y 与x 之间的函数关系式；(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）22．【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边ABC V 中，3AB =，点M 、N 分别在边AC 、BC 上，且AM CN =，试探究线段MN 长度的最小值．【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．【问题解决】如图②，过点C 、M 分别作MN 、BC 的平行线，并交于点P ，作射线AP ．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：（1）证明：AM MP =；（2）CAP Ð的大小为 度，线段MN 长度的最小值为________．【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，ABC V 是等腰三角形，四边形BCDE 是矩形，2AB AC CD ===米，30ACB Ð=°．MN 是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M 在AC 上，点N 在DE 上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM DN =．钢丝绳MN 长度的最小值为多少米．23．如图，在ABC V 中，5AB AC ==，6BC =．点D 是边BC 上的一点（点D 不与点B 、C 重合），作射线AD ，在射线AD 上取点P ，使AP BD =，以AP 为边作正方形APMN ，使点M 和点C 在直线AD 同侧．(1)当点D 是边BC 的中点时，求AD 的长；(2)当4BD =时，点D 到直线AC 的距离为________；(3)连结PN ，当PN AC ^时，求正方形APMN 的边长；(4)若点N 到直线AC 的距离是点M 到直线AC 距离的3倍，则CD 的长为________．（写出一个即可）24．在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，抛物线22y x x c =++（c 是常数）经过点()2,2--．点A 、B 是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为m 、m -，点C 的横坐标为5m -，点C 的纵坐标与点A 的纵坐标相同，连结AB 、AC ．(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)求证：当m 取不为零的任意实数时，tan CAB Ð的值始终为2；(3)作AC 的垂直平分线交直线AB 于点D ，以AD 为边、AC 为对角线作菱形ADCE ，连结DE ．①当DE 与此抛物线的对称轴重合时，求菱形ADCE 的面积；②当此抛物线在菱形ADCE 内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大时，直接写出m 的取值范围．1．D【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握“将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同”成为解题的关键．根据将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同即可解答．【详解】解：()()2332+---=．故选D ．2．B【分析】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解决本题的关键．根据三视图主视图、俯视图、左视图的定义即可解答．【详解】解：由题意可知图③是从“四角亭”上方看到的，即为俯视图．故选B ．3．D【分析】本题考查了多边形内角与外角，正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关键．根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可得到结论．【详解】解：(52)180180725a -´°Ð=°-=°，故选：D ．4．C【分析】本题考查了单项式乘单项式、同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．根据单项式乘单项式的运算法则计算并判断A ；根据同底数幂的乘法法则计算并判断B ；根据积的乘方运算法则计算并判断C ；根据幂的乘方运算法则计算并判断D ．【详解】解：A ．2236a a a ×=，故本选项不符合题意；B ．235a a a ×=，故本选项不符合题意；C ．()222ab a b =，故本选项符合题意；D ．()236a a =，故本选项不符合题意；故选：C ．5．A【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答．【详解】解：由作图可知：a b >，由右图可知：a c b c +>+，即A 选项符合题意．故选：A ．6．A【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解【详解】解：由题意得：sin AL AL AR a q ==∴sin AL a q =千米故选：A7．D【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出AOM B Ð=Ð，根据平行线的判定得出OM BC ∥，根据平行线的性质得出180OMC C Ð+Ð=o ，根据平行线分线段成比例得出1AM AO CM OB==，即可得出AM CM =．【详解】解：A ．根据作图可知：AOM B Ð=Ð一定成立，故A 不符合题意；B ．∵AOM B Ð=Ð，∴OM BC ∥，∴180OMC C Ð+Ð=o 一定成立，故B 不符合题意；C ．∵O 是边AB 的中点，∴AO BO =，∵OM BC ∥，∴1AM AO CM OB==，∴AM CM =一定成立，故C 不符合题意；D ．12OM AB =不一定成立，故D 符合题意．8．B【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．如图：过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，过点C 作y 轴的垂线交y 轴于点D ，先根据点A 坐标计算出sin OAE Ð、k 值，再根据平移、平行线的性质证明DBC OAE Ð=Ð，进而根据sin sin CD DBC OAE BCÐ==Ð求出CD ，最后代入反比例函数解析式取得点C 的坐标，进而确定2CD =,4OD =，再运用勾股定理求得BD ，进而求得OB 即可解答．【详解】解：如图，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，过点C 作y 轴的垂线交y 轴于点D ，则AE y ∥轴，∵()4,2A ，∴4OE =，OA ==∴sin OE OAE OA Ð===∵()4,2A 在反比例函数的图象上，∴428k =´=．∴将直线OA 向上平移若干个单位长度后得到直线BC ，∴OA BC ∥，∴OAE BOA Ð=Ð，∵AE y ∥轴，∴DBC BOA Ð=Ð，∴DBC OAE Ð=Ð，∴sin si n CD DBC OAE BC Ð===Ð=2CD =，即点C 的横坐标为2，将2x =代入8y x =，得4y =，∴C 点的坐标为()2,4，∴2CD =,4OD =，∴1BD ==，∴413OB OD BD =-=-=,∴B (0,3)故选：B ．9．3【分析】此题考查单项式有关概念，根据单项式次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．【详解】单项式22a b -的次数是：213+=，故答案为：3．10【分析】利用二次根式的性质化简，再相减．==【点睛】本题考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式的化简及性质．11．14c >【分析】本题主要考查了抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点问题，掌握抛物线2y ax bx c =++与x 轴没有交点与20x x c -+=没有实数根是解题的关键．由抛物线与x 轴没有交点，运用根的判别式列出关于c 的一元一次不等式求解即可．【详解】解：∵抛物线2y x x c =-+与x 轴没有交点，∴20x x c -+=没有实数根，∴2141140c c D =-´´=-<，14c >．故答案为：14c >．12．2（答案不唯一）【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“0k >，y 随x 的增大而增大；0k <，y 随x 的增大而减小”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出1k b =+，由y 随x 的增大而减小，利用一次函数的性质，可得出0k <，若代入1k =-，求出b 值即可．【详解】解：∵直线y kx b =+（k 、b 是常数）经过点()1,1，∴1k b =+．∵y 随x 的增大而减小，∴0k <，当1k =-时，11b =-+，解得：2b =，∴b 的值可以是2．故答案为：2（答案不唯一）13．8π【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键．由旋转的性质可得60ABC A BC ¢Ð=Ð=°,即120AB A ¢Ð=°，再根据点A 经过的路径长至少为以B 为圆心，以AB 为半径的圆弧的长即可解答．【详解】解：∵将该三角板绕点B 顺时针旋转，使点C 的对应点C ¢落在直线l 上，∴60ABC A BC ¢Ð=Ð=°,即120ABA ¢Ð=°，∴点A 经过的路径长至少为120128π180p °××=°．故答案为：8π．14．①②③【分析】如图：连接DC ，由圆周角定理可判定①；先说明BDE AGD Ð=Ð、ADE DAC Ð=Ð可得DF FG =、AF FD =，即AF FG =可判定②；先证明V V ∽ADG BDA 可得AD GD BD AD=,即AD GDDG BG AD=+,代入数据可得AD =，然后运用勾股定理可得AG =AF FG =即可判定③；如图：假设半圆的圆心为O ，连接,,OD CO CD ，易得60AOD DOC Ð=Ð=°，从而证明,AOD ODC V V 是等边三角形，即ADCO 是菱形，然后得到30DAC OAC Ð=Ð=°，再解直角三角形可得DG =ADG S =V ，最后根据三角形的中线将三角形平分即可判定④．【详解】解：如图：连接DC ，∵D 是 AC 的中点，∴ AD DC =,∴ABD DAC Ð=Ð，即①正确；∵AB 是直径，∴90ADB Ð=°，∴90DAC AGD Ð+Ð=°，∵DE AB^∴90BDE ABD Ð+Ð=°,∵ABD DAC Ð=Ð，∴BDE AGD Ð=Ð，∴DF FG =，∵90BDE ABD Ð+Ð=°，90BDE ADE Ð+Ð=°,∴ADE ABD Ð=Ð，∵ABD DAC Ð=Ð，∴ADE DAC Ð=Ð，∴AF FD =，∴AF FG =,即②正确；在ADG △和BDA △,90ADG BDA DAG DBA Ð=Ð=°ìíÐ=Ðî，∴V V ∽ADG BDA ，∴AD GD BD AD =,即AD GD DG BG AD=+,∴223AD AD=+，即AD =,∴AG ==∵AF FG =，∴12FG AG =③正确；如图：假设半圆的圆心为O ，连接,,OD CO CD ，∵ 2BD AD =，6AB =，D 是AC 的中点，∴ 1,3AD DC AB ==∴60AOD DOC Ð=Ð=°，∵OA OD OC ==，∴,AOD ODC V V 是等边三角形，∴3OA AD CD OC OD =====，即ADCO 是菱形，∴1302DAC OAC DAO Ð=Ð=Ð=°，∵90ADB Ð=°，∴tan tan 30DG DAC AD Ð=°=DG =∴11322ADG S AD DG =×=´V ∵AF FG=∴12DFG ADG S S ==V V ④错误．故答案为：①②③．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．15．2x ，2【分析】本题考查了分式的化简求值问题，先算分式的减法运算，再代入求值即可．【详解】解：原式()23222222x xx xx x x--===--∵x=∴原式2=16．1 3【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．先列表确定出所有等可能的结果数以及这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果数，然后再利用概率公式计算即可．【详解】解：列表如下：A B CA A，A A，B A，CB B，A B，B B，CC C，A C，B C，C共有9种等可能的结果，其中这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果有3种，所以这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率为31 93 =．17．共33人合伙买金，金价为9800钱【分析】设共x人合伙买金，金价为y钱，根据“每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设共x人合伙买金，金价为y钱，依题意得：4003400 300100x yx y-=ìí-=î，解得：339800xy=ìí=î．答：共33人合伙买金，金价为9800钱．【点睛】本题考查了二元-次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．18．证明见解析．【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．利用SAS 可证明AOD BOC ≌△△，得出AD BC =，根据90A B Ð=Ð=°得出AD BC ∥，即可证明四边形ABCD 是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形ABCD 是矩形．【详解】证明：∵O 是边AB 的中点，∴OA OB =，在AOD △和BOC V 中，90A B OA OB AOD BOC Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî，∴AOD BOC ≌△△，∴AD BC =，∵90A B Ð=Ð=°，∴AD BC ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵90A B Ð=Ð=°，∴四边形ABCD 是矩形．19．(1)8.3(2)①>；②估计其中对食堂“非常满意”的学生人数为360人【分析】（1）由题意知，高中部评分的中位数为第1011，位数的平均数，即8.28.42m +=，计算求解即可；（1）①利用中位数进行决策即可；②根据4580020+´，计算求解即可．【详解】（1）解：由题意知，高中部评分的中位数为第1011，位数的平均数，即8.28.48.32m +==，故答案为：8.3；（2）①解：由题意知，初中部评分的中位数为8.5，高中部评分的中位数为8.3，∴a b >，故答案为：>；②解：∵45 80036020+´=，∴估计其中对食堂“非常满意”的学生人数为360人．【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，利用中位数进行决策，用样本估计总体．熟练掌握条形统计图，中位数，利用中位数进行决策，用样本估计总体是解题的关键．20．(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查网格作图、设计图案、轴对称的性质、平移的性质等知识点，根据轴对称的性质、平移的性质作图是解题的关键．（1）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为2四边形ABCD即可．（2）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为3四边形ABCD即可．（3）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为4四边形ABCD即可．【详解】（1）解：如图①：四边形ABCD即为所求；（不唯一）．（2）解：如图②：四边形ABCD即为所求；（不唯一）．（3）解：如图③：四边形ABCD即为所求；（不唯一）．21．(1)15(2)11902125y x x æö=+££ç÷èø(3)没有超速【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键．（1）由题意可得：当以平均时速为100/千米时行驶时，a 小时路程为20千米，据此即可解答；（2）利用待定系数法求解即可；（3）求出先匀速行驶112小时的速度，据此即可解答．【详解】（1）解：由题意可得：10020a =，解得：15a =．故答案为：15．（2）解：设当11125x ££时，y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b (k ≠0)，则：11761205k b k b ì+=ïïíï+=ïî，解得：902k b =ìí=î，∴11902125y x x æö=+££ç÷èø．（3）解：当112x =时，19029.512y =´+=，∴先匀速行驶112小时的速度为：19.5114/12¸=（千米时），∵114120＜，∴辆汽车减速前没有超速．22．问题解决：（1）见解析（2）30，32；方法应用：线段MN 米【分析】（1）过点C 、M 分别作MN 、BC 的平行线，并交于点P ，作射线AP ，根据平行四边形性质证明结论即可；（2）先证明30CAP MPA Ð=Ð=°，根据垂线段最短求出最小值；（3）过点D 、M 分别作MN 、ED 的平行线，并交于点H ，作射线AH ，连接AD ，求出15MAH Ð=°，进而得45DAH Ð=°，利用垂线段最短求出即可．【详解】解：问题解决：（1）证明：过点C 、M 分别作MN 、BC 的平行线，并交于点P ，作射线AP ，\四边形MNCP 是平行四边形，NC MP MN PC\==，AM NC=Q AM MP \=；（2）在等边ABC V 中，60ACB Ð=°，MP CNQ ∥60PMC ACB \Ð=Ð=°AM MP=Q 30CAP MPA \Ð=Ð=°；当CP AP ^时，CP 最小，此时MN 最小，在Rt ACP V 中，3,30AC CAP =Ð=°13322CP \=´=，\线段MN 长度的最小值为32；方法应用：过点D 、M 分别作MN 、ED 的平行线，并交于点H ，作射线AH ，连接AD ，\四边形MNDH 是平行四边形，,ND MH MN DH MH ED\==，∥AM ND=QAM MH \=，Q 四边形BCDE 是矩形，,90BC ED BCD \Ð=°∥BC MH\∥30ACB CMH \Ð=Ð=°AM MH=Q 15MAH \Ð=°3m,120AC CD ACD ACB BCD ==Ð=Ð+Ð=°Q 30DAC \Ð=°45DAH \Ð=°\当DH AH ^时，DH 最小，此时MN 最小，作CR AD ^于点R ，在Rt ACR V 中，2,30AC CAR =Ð=°1212CR \=´=，AR \=2AD AR \==在Rt ADH V 中，45AD DAH =Ð=°DH AH \==\线段MN 米．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质，垂线段最短及矩形性质，熟练掌握相关性质是解题关键．23．(1)4(2)85(3)177(4)256或259【分析】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握面积法是解题的关键；（1）根据等腰三角形三线合一性质，利用勾股定理即可求解；（2）利用面积法三角形面积相等即可；（3）设AP x =，则BD x =，6CD x =-，过点D 作DH AC ^于Q，根据AQ CQ AC +=，建立方程；即可求解；（4）第一种情况，M ，N 在AC 异侧时，设MQ m =，3NQ m =，则4AN m =，证明CDE ANQ V V ∽，得到CE CD NQ AQ=，即可求解；第二种情况，当M ，N 在AC 同侧，设CD x =，则35CH x =，45DH x =，3425AH x =´，求得3345525x x +´=，解方程即可求解；【详解】（1）解：根据题意可知：Q 5AB AC ==，ABC \V 为等腰三角形，故点D 是边BC 的中点时，AD BC ^；在Rt ADC V 中，4AD ====；（2）根据题意作DH AC ^，如图所示；当4BD =时，则2CD =，设点D 到直线AC 的距离为DH h =，1124522ACD S h =´´=´´V ，解得：85h =；（3）如图，当NP AC ^时，点M 落在AC 上，设AP x =，则BD x =，6CD x =-，过点D 作DH AC ^于Q 则()33655CQ CD x ==-，()44655DQ CD x ==-()44655AQ DQ CD x ===-，AQ CQ AC +=Q ，()()3466555x x \-+-=解得：177x =故177=AP ，所以正方形APMN 的边长为177；（4）如图，M ，N 在AC 异侧时；设MQ m =，3NQ m =，则4AN m=ANQ \V 三边的比值为3:4:5，AQN C \Ð=Ð，CAD C \Ð=Ð，\CDE ANQV V ∽CE CD NQ AQ=\5525326CD =´=当M ，N 在AC 同侧设MQ m =，则3AN AP m ==，2PQ m =，APO \V三边比为2:AQD \V三边比为2:设CD x =，则35CH x =，45DH x =，3425AH x =´3345525x x \+´=解得：259CD x ==综上所述：CD 的长为256或25924．(1)222y x x =+-(2)见详解(3)①9ADCE S =菱形；②3m £-或10m -£<或04m <£【分析】（1）将()2,2--代入22y x x c =++，解方程即可；（2）过点B 作BH AC ^于点H ，由题意得()()22,22,,22A m m m B m m m +----，则4A B BH y y m =-=，2A B AH x x m =-=，因此tan 2BH CAB AHÐ==；（3）①记,AC DE 交于点M ， ()25,22C m m m -+-，而对称轴为直线1x =-，则512m m -+=-，解得：12m =，则32AM =，3AC =，由tan 232DM DM CAB AM Ð===，得3DM =，则6DE =，因此9ADCE S =菱形；②分类讨论，数形结合，记抛物线顶点为点F ，则()1,3F --，故菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，当0m >时，符合题意；当m 继续变大，直至当直线CD 经过点F 时，符合题意， 过点F 作FQ AC ^于点Q ，由CAD FCQ Ð=Ð，得到()()2223215m m m +---=---，解得：4m =4m =+（舍），故04m <£，当4m >了对称轴左侧的抛物线，不符合题意；当0m <时，符合题意：当m 继续变小，直至点A 与点F 重合，此时1m =-，故10m -£<；当m 继续变小，直线AE 经过点F 时，也符合题意，过点F 作FQ AC ^于点Q ，同上可得，()222321m m m +---=--，解得：3m =-或1m =-（舍），当m 继续变小时，仍符合题意，因此3m £-，故m 的取值范围为：3m £-或10m -£<或04m <£【详解】（1）解：将()2,2--代入22y x x c =++，得：442c -+=-，解得：2x =-，∴抛物线表达式为：222y x x =+-；（2）解：过点B 作BH AC ^于点H ，则90AHB Ð=°，由题意得：()()22,22,,22A m m m B m m m +----，∴4A B BH y y m =-=，2A B AH x x m =-=，∴在Rt AHB △中，4tan 22m BH CAB AH mÐ===；（3）解：①如图，记,AC DE 交于点M ，由题意得，()25,22C m m m -+-，由2122b a -=-=-，得：对称轴为直线：1x =- ∵四边形ADCE 是菱形，∴点A 、C 关于DE 对称，2,2AC AM DE DM ==，∵DE 与此抛物线的对称轴重合，∴512m m -+=-，解得：12m =，∴12A x =，∴()13122AM =--=∴3AC =，∵tan 232DM DM CAB AMÐ===，∴3DM =，则6DE =，∴192ADCE S DE AC =´=菱形；②记抛物线顶点为点F ，把1x =-代入222y x x =+-，得：=3y -，∴()1,3F --，∵抛物线在菱形ADCE 内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大，∴菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，当0m >时，如图，符合题意，当m 继续变大，直至当直线CD 经过点F 时，符合题意，如图：过点F 作FQ AC ^于点Q ，∵四边形ADCE 是菱形，∴DA DC =，∴CAD FCQ Ð=Ð，∴tan tan 2FQ FCQ CAD CQÐ=Ð==，∴()()2223215m m m +---=---，解得：4m =4m =（舍），∴04m <£当4m >当0m <时，如图，符合题意：当m 继续变小，直至点A 与点F 重合，此时1m =-，符合题意，如图：∴10m -£<；当m 继续变小，直至直线AE 经过点F 时，也符合题意，如图：过点F 作FQ AC ^于点Q ，同上可得，tan 2FQ FAQ AQ Ð==，∴()222321m m m+---=--，解得：3m =-或1m =-（舍），当m 继续变小时，仍符合题意，如图：∴3m £-，综上所述，m 的取值范围为：3m £-或10m -£<或04m <£【点睛】本题考查了抛物线与几何的综合，菱形的性质，待定系数法求函数解析式，求锐角的正切值，正确理解题意，利用数形结合的思想，找出临界状态是解决本题的关键．。
抛物线及其标准方程
三、抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. N l
M
定点F叫做抛物线的焦点.
定直线l 叫做抛物线的准线.
· F ·
(注意：定点不在定直线上）
MF ︳ ︳ , 则点 M的轨迹是抛物线。 即: 若︳ 1 MN ︳
四、标准方程的推导 ⑴取过焦点F且垂直于准线l的直 y l 线为x轴，线段KF的中垂线y轴 M N 设︱KF︱= p (p＞0) p p x 则F（ 2 ，0），l：x = 2 设点M的坐标为（x，y）， K o F 由定义可知，
（1）y2 = 20x （2）x2=
1 y 2
（3）2y2 +5x =0
（4）x2 +8y =0
焦点坐标
准线方程
1）
（5，0）
1 （0，—） 8 5 （- —，0） 8
x= -5
1 y= - — 8 5 x= — 8
2）
3） 4）
（0，-2）
y=2
go
练习
4. 抛物线 y2 = 2px ( p>0 )上一点M到 p ,则点M到准 焦点的距离是 a a 2 线的距离是 a , 点M的横坐标
所以抛物线的方程是 x2 = - 8y
-2
五、例题讲解 例2.求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程.
解：当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2） 代入x2 =2py，得p= 9/4 当焦点在x轴的负半轴上时， 把A（-3，2）代入y2 = -2px， y
．
A
O
4 9 x ∴抛物线的标准方程为x2 = y或y2= 3 2
作业： P133 8.5 1, 2, 3, 4
8.5.2抛物线及其标准方程
1、填表：
2、准线方程是2-=x 的抛物线的标准方程是 。
3、经过点)2,3(-的抛物线的标准方程是 。
二、自学课本132130-P ,独立思考，为提出问题做好准备。
三、自我检测：
1、点M 与)3,0(F 的距离比它到直线02:=+y l 的距离大2，求点M 的轨迹方程。
2、直线经过抛物线x y 22=的焦点并交于点),(11y x A ,),(22y x B ，且321=+x x ，则
=AB 。
四、提问答疑： 五、例题分析：
1、倾斜角为α的直线经过抛物线)0(22
>=p px y 的焦点F ,与抛物线相交于A 、B 两点,求线段AB 的长及其最小值.
2、证明：若AB 为过抛物线px y 22=的焦点F 的弦，则以AB 为直径的圆必与抛物线的
准线相切。
六、课堂小结： 七、课外作业：
1、证明直线0968=+-y x 与抛物线x y 62=只有一个公共点。
2、斜率为1的直线经过抛物线)0(22>=p px y 的焦点,与抛物线相交于A 、B 两点,且
12=AB ,求p 的值.
3、从抛物线)0(22>=p px y 上各点向x 轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
4、过抛物线px y 22
=的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为1y 、2y ，求证：221p y y -=。
作业（60）
§8.5.2抛物线及其标准方程 2007-12-25。