2022湖南岳阳中考数学试卷+答案解析

2022年湖南岳阳中考数学

一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，满分24分。在每小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项)

1. 8的相反数是()

A.1

8B.8 C.－1

8

D.－8

2.某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是()

A.圆柱

B.圆锥

C.三棱柱

D.四棱柱

3.下列运算结果正确的是()

A.a+2a=3a

B.a5÷a=a5

C.a2·a3=a6

D.(a4)3=a7

4.某村通过直播带货对产出的稻虾米进行线上销售，连续7天的销量(单位：袋)分别为105，103，105，110，108，105，108，这组数据的众数和中位数分别是()

A.105，108

B.105，105

C.108，105

D.108，108

5.如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C=40°，则∠1的度数是()

A.30°

B.40°

C.50°

D.60°

6.下列命题是真命题的是()

A.对顶角相等

B.平行四边形的对角线互相垂直

C.三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点

D.三角分别相等的两个三角形是全等三角形

7.我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为()

A.25

B.75

C.81

D.90

8.已知二次函数y=mx2－4m2x－3(m为常数，m≠0)，点P(x P，y P)是该函数图象上一点，当0≤x P≤4时，y P≤－3，则m的取值范围是()

A.m≥1或m<0

B.m≥1

C.m≤－1或m>0

D.m≤－1

二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，满分32分)

9.要使√x−1有意义，则x的取值范围是.

10. 2022年5月14日，编号为B－001J的C919大飞机首飞成功。数据显示，C919大飞机的单价约为653 000 000元，数据653 000 000用科学记数法表示为.

11.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若BC=6，则

CD=.

12.分式方程3x

=2的解为x=.

x+1

13.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是.

14.聚焦“双减”政策落地，凸显寒假作业特色。某学校评选出的寒假优质特色作业共分为四类：A(节日文化篇)，B(安全防疫篇)，C(劳动实践篇)，D(冬奥运动篇)。下面是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图，则B类作业有

份。

15.( 4分)喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟。丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛。如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB=200米，则点P到赛道AB的距离约为米(结果保留整数，参考数据：√3≈1.732).

16.( 4分)如图，在☉O中，AB为直径，AB=8，BD为弦，过点A的切线与BD 的延长线交于点C，E为线段BD上一点(不与点B重合)，且OE=DE.

(1)若∠B=35°，则AD的长为(结果保留π)；

=.

(2)若AC=6，则DE

BE

三、解答题(本大题共8小题，满分64分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.( 6分)计算：|－3|－2tan 45°+(－1)2 022－(√3－π)0.

18.( 6分)已知a2－2a+1=0，求代数式a(a－4)+(a+1)(a－1)+1的值。

19.( 8分)如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE=CF，连接DE，DF。请从以下三个条件：①∠1=∠2；②DE=DF；③∠3=∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD为菱形。

(1)你添加的条件是(填序号)；

(2)添加了条件后，请证明▱ABCD为菱形。

20.( 8分)守护好一江碧水，打造长江最美岸线.江豚，麋鹿，天鹅已成为岳阳“吉祥三宝”的新名片。某校生物兴趣小组设计了3张环保宣传卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同。

(1)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为；

(2)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的概率。

21.( 8分)如图，反比例函数y=k

(k≠0)与正比例函数y=mx(m≠0)的图象交于点

x

A(－1，2)和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接AC，BC.

(1)求该反比例函数的解析式；

(2)求△ABC的面积；

(3)请结合函数图象，直接写出不等式k

x

22.( 8分)为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干。若购买3根A种跳绳和1根B 种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需300元。

(1)求A，B两种跳绳的单价各是多少元；

(2)若该班准备购买A，B两种跳绳共46根，总费用不超过1 780元，那么至多可以购买B种跳绳多少根？

23.( 10分)如图，△ABC和△DBE的顶点B重合，∠ABC=∠DBE=90°，

∠BAC=∠BDE=30°，BC=3，BE=2.

(1)特例发现：如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论：

AD

=，直线AD与直线CE的位置关系是；

CE

(2)探究证明：如图2，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点D恰好落在线段AC上，连接EC，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)拓展运用：如图3，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转α(19°<α<60°)，连接AD、EC，它们的延长线交于点F，当DF=BE时，求tan(60°－α)的值。

图1图2 图3

24.( 10分)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y=x2+bx+c经过点

A(－3，0)和点B(1，0)。

(1)求抛物线F1的解析式；

(2)如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；

(3)如图3，将(2)中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点(点C在点D的左侧)。

①求点C和点D的坐标；

②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点(点M，N与点C，D不重合)，试求四边形CMDN面积的最大值。

图1 图2图3

2022年湖南岳阳中考数学

（参考答案）

1.D8的相反数是－8，故选D.

2.C由题图可知，这个立体图形是三棱柱，故选C.

3.A选项A中，a+2a=3a，故本选项正确；

选项B中，a5÷a=a4，故本选项错误；

选项C中，a2·a3=a5，故本选项错误；

选项D中，(a4)3=a12，故本选项错误.

故选A.

4.B将数据105，103，105，110，108，105，108按从小到大的顺序排列为103，105，105，105，108，108，110，最中间的数据(第4个数据)为105，所以这组数据的中位数为10

5.因为105出现的次数最多，所以这组数据的众数为105.故选B.

5.C如图，∵CD⊥l，∴∠CDE=90°，

∴∠CED=180°－∠CDE－∠C=180°－90°－40°=50°.

∵l∥AB，∴∠1=∠CED=50°.

故选C.

6.A选项A中，对顶角相等，故本选项正确；

选项B中，平行四边形的对角线互相平分，故本选项错误；

选项C中，三角形的内心是它的三个内角的平分线的交点，故本选项错误；

选项D中，三角分别相等的两个三角形是相似三角形，不一定是全等三角形，故本选项错误.

故选A .

7.B 设城中有x 户人家，依题意，得x +1

3x =100， 解得x =75.故选B .

8.A ∵y =mx 2－4m 2x －3=m (x －2m )2－4m 3－3，

∴二次函数y =mx 2－4m 2x －3(m 为常数，m ≠0)的图象的对称轴为直线x =2m. ①当m <0时，2m <0，∴图象的开口向下，对称轴在y 轴左侧， ∴当0≤x P ≤4时，y P 随x P 的增大而减小. 又当x P =0时，y P =－3， ∴当0≤x P ≤4时，y P ≤－3， ∴m <0.

②当m >0时，2m >0，∴图象的开口向上，对称轴在y 轴右侧， ∴当0≤x P ≤4时，y P 随x P 的增大而减小或y P 随x P 的增大先减小后增大. 当x P =0时，y P =－3；

当x P =4时，y P =16m －16m 2－3≤－3，∴m ≤0或m ≥1，(利用一元二次方程的解法可得16m －16m 2－3=－3的解为m 1=0，m 2=1，利用相应函数图象可得16m －16m 2－3≤－3的解集为m ≤0或m ≥1) ∴m ≥1.

综上，m <0或m ≥1. 故选A . 9.答案 x ≥1

解析 ∵√x −1有意义，∴x －1≥0，∴x ≥1. 10.答案 6.53×108

解析 653 000 000=6.53×108. 11.答案 3

解析 ∵在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ， ∴BD =CD =1

2BC =1

2×6=3. 12.答案 2 解析

3x x+1

=2.

方程两边同乘x +1，得3x =2(x +1). 解这个整式方程得x =2. 检验：当x =2时，x +1=3≠0， 所以x =2是原分式方程的解. 13.答案 m <1

解析 ∵关于x 的一元二次方程x 2+2x +m =0有两个不相等的实数根， ∴Δ=22－4×1×m >0，解得m <1， ∴实数m 的取值范围是m <1. 14.答案 20

解析 由统计图可知，C 类作业有30份，占作业总份数的30%， ∴作业的总份数为30÷30%=100(份)， ∴B 类作业的份数为100－25－30－25=20(份). 15.答案 87

解析 如图，过点P 作PH ⊥AB 于点H ，则∠APH =30°，∠BPH =60°. 设AH =x 米，则在Rt △APH 中，PH =AH tan30°=√33

=√3x (米)，

在Rt △PBH 中，BH =PH ·tan 60°=√3x ·√3=3x (米). ∵AB =AH +BH ，∴x +3x =200，∴x =50， ∴PH =√3x =50√3≈50×1.732=86.6≈87(米).

16.答案 (1)

14π9

(2)25

39

解析 (1)∵AB =8，∴OA =OB =1

2AB =4. ∵∠B =35°，∴∠AOD =2∠B =70°， ∴AD

的长=70π×4180=14π9. (2)如图，连接AD ， ∵AB 为圆O 的直径，

∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC.

∵AC与圆O相切，

∴∠BAC=90°.

∵AB=8，AC=6，

∴BC=√AB2+AC2=√82+62=10，

∴AD=AB·AC

BC =8×6

10

=4.8，

∴BD=√AB2−AD2=√82−4.82=6.4.∵OE=DE，OB=OD，

∴∠EOD=∠EDO，∠B=∠BDO，∴∠EOD=∠B，又∠EDO=∠BDO，∴△EOD∽△OBD，

∴OE

OB =OD

BD

，即OE

4

=4

6.4

，

∴OE=2.5，

∴DE=OE=2.5，

∴BE=BD－DE=6.4－2.5=3.9，

∴DE

BE =2.5

3.9

=25

39

.

17.解析原式=3－2×1+1－1=1.

18.解析∵a2－2a+1=0，∴a2－2a=－1，∴a(a－4)+(a+1)(a－1)+1

=a2－4a+a2－1+1

=2a2－4a

=2(a2－2a)

=2×(－1)

=－2.

19.解析 解法一：(1)①.

(2)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴∠A =∠C.

在△ADE 和△CDF 中，{∠1=∠2,

∠A =∠C,AE =CF,

∴△ADE ≌△CDF (AAS)，

∴AD =CD ，

∴四边形ABCD 是菱形.

解法二：(1)③.

(2)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴∠A =∠C.

在△ADE 和△CDF 中，{∠A =∠C,

AE =CF,∠3=∠4,

∴△ADE ≌△CDF (ASA)，

∴AD =CD ，

∴四边形ABCD 是菱形.

20.

解析 (1)13.

(2)根据题意，列表如下：

由表格可知，共有6种等可能的情况，其中抽到的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的情况有2种，∴P (抽到的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”)=26=1

3. 21.

解析 (1)∵反比例函数y =k x (k ≠0)的图象过点A (－1，2)，

∴2=k −1，∴k =－2，

∴反比例函数的解析式为y =－2x .

(2)∵正比例函数y =mx (m ≠0)的图象过点A (－1，2)，

∴2=－m ，∴m =－2，

∴正比例函数的表达式为y =－2x.

联立，得{y =−2x,y =−2x ,

解得{x =−1,y =2或{x =1,y =−2, ∴点B 的坐标为(1，－2).

∵点A (－1，2)与点C 关于y 轴对称，

∴点C 的坐标为(1，2).

由点A ，B ，C 的坐标可知AC ∥x 轴，BC ∥y 轴，

∴AC ⊥BC ，

∴S △ABC =12AC ·BC =12×2×4=4.

(3)由图象可知，不等式k x

22.

解析 (1)设A 种跳绳的单价为x 元，B 种跳绳的单价为y 元.

根据题意，得{

3x +y =140,5x +3y =300, 解得{x =30,y =50. 答：A 种跳绳的单价为30元，B 种跳绳的单价为50元.

(2)设购买B 种跳绳a 根，则购买A 种跳绳(46－a )根，

根据题意，得50a +30(46－a )≤1 780，

解得a ≤20，

∴至多可以购买B 种跳绳20根.

23.

解析 (1)√3；垂直.

提示：∵∠ABC =∠DBE =90°，∠BAC =∠BDE =30°，BC =3，BE =2，

∴∠BCA =∠BED =60°，

∴AB=BC×tan∠BCA=3×tan 60°=3×√3=3√3，

BD=BE×tan∠BED=2×tan 60°=2×√3=2√3.

当点D，E分别在AB，BC上时，AD=AB－BD=3√3－2√3=√3，EC=BC－BE=3－2=1，

∴AD

CE =√3

1

=√3.

当点D，E分别在AB，BC上时，直线AD与直线CE的位置关系即直线AB与直线CB的位置关系，是垂直.

(2)(1)中的结论仍然成立.

证明：∵∠ABC=∠DBE=90°，

∴∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠CBE，

∴∠ABD=∠CBE.

在△BAD和△BCE中，∵∠ABD=∠CBE，AB

CB =DB

EB

=√3

1

，

∴△BAD∽△BCE，

∴AD

CE =AB

CB

=√3

1

=√3，∠BAD=∠BCE，

∴∠ACB+∠BCE=∠ACB+∠BAD=90°，即∠ACE=90°，

∴AD⊥CE.

(3)∵∠ABC=∠DBE=90°，

∴∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠CBE，

∴∠ABD=∠CBE.

在△BAD和△BCE中，∵∠ABD=∠CBE，AB

CB =DB

EB

=√3

1

，

∴△BAD∽△BCE，

∴AD

CE =AB

CB

=√3

1

=√3，∠BAD=∠BCE，

∴∠BCF+∠BCE=∠BCF+∠BAD=180°.

∵四边形ABCF中，∠BCF+∠BAD+∠ABC+∠F=360°，∠ABC=90°，∴∠F=90°.

在Rt △BDE 和Rt △FED 中，{DE =ED,BE =FD,

∴Rt △BDE ≌Rt △FED (HL)，

∴BD =FE.

又∵BE =DF ，∴四边形BDFE 是平行四边形.

又∵∠F =90°，∴四边形BDFE 是矩形，

∴∠BEF =∠BDF =∠BDA =90°，EF =BD =2√3，

∴∠BAF =90°－α，

∴∠CAF =∠BAF －∠BAC =90°－α－30°=60°－α.

在Rt △BEC 中，EC =√BC 2−BE 2=√32−22=√5，

∴tan ∠CAF =tan(60°－α)=CF AF =EF−EC AD+DF =

√3EC+DF =√3−√5√3×√5+2=√3−√5√15+2

=8√5−9√311. 24.

解析 (1)∵抛物线F 1：y =x 2+bx +c 经过点A (－3，0)和点B (1，0)，

∴{0=9−3b +c,0=1+b +c,解得{b =2,c =−3, ∴抛物线F 1的解析式为y =x 2+2x －3.

(2)抛物线F 2的解析式为y =－x 2+2x +3.

理由：由(1)知，抛物线F 1：y =x 2+2x －3经过点A (－3，0)、点B (1，0)和点(0，－

3).

∵抛物线F 2与抛物线F 1关于原点O 成中心对称，

∴抛物线F 2经过点(3，0)、点(－1，0)和点(0，3).

设抛物线F 2的解析式为y =mx 2+nx +d ，

将(3，0)，(－1，0)，(0，3)分别代入，

得{0=9m +3n +d,

0=m −n +d,d =3,

解得{m =−1,n =2,d =3, ∴抛物线F 2的解析式为y =－x 2+2x +3.

(3)①由题意，得抛物线F 3的解析式为y =－x 2+2x +5，

联立，得{y =x 2+2x −3,y =−x 2+2x +5,

解得{x =−2,y =−3或{x =2,y =5, ∴点C 的坐标为(－2，－3)，点D 的坐标为(2，5).

②连接CD，将四边形CMDN分成△CDN与△CDM.

当点M，N运动时，若△CDN的面积与△CDM的面积分别取到最大值，则四边形CMDN的面积取到最大值.

设过点C，D的一次函数的图象的解析式为y=kx+t，

则{−3=−2k+t,

5=2k+t,解得{

k=2,

t=1,

∴过点C，D的一次函数的图象的解析式为y=2x+1.

将直线y=2x+1向上平移，得到直线y=2x+g(g≠1)，使直线y=2x+g与抛物线F3相切于点N，此时△CDN的面积最大，

则－x2+2x+5=2x+g，化简，得x2+g－5=0，令Δ=0，则g=5.

联立，得{y=2x+5,

y=−x2+2x+5,解得{

x=0,

y=5,∴此时点N的坐标为(0，5).

将直线y=2x+1向下平移，得到直线y=2x+h(h≠1)，使直线y=2x+h与抛物线F1相切于点M，此时△CDM的面积最大，

则x2+2x－3=2x+h，化简，得x2－h－3=0，令Δ=0，则h=－3.

联立，得{y=2x−3,

y=x2+2x−3,解得{

x=0,

y=−3,∴此时点M的坐标为(0，－3).

∴当四边形CMDN的面积取到最大值时，点M的坐标为(0，－3)，点N的坐标为(0，5)，

又∵点C的坐标为(－2，－3)，点D的坐标为(2，5)，

∴CM∥x轴，DN∥x轴，∴CM∥DN.

又∵CM=DN=2，∴四边形CMDN是平行四边形，

∴四边形CMDN的最大面积为CM×(y D－y C)=2×(5+3)=16.