第三讲期望效用函数和风险厌恶者的投资行为
第三讲 保险效用理论
S S S
X X X
< E[X ] > E[X ] = E[X ]
三者之一
确定等价值的确定
在前例中：
u ( x) =
x
确定等价值的确定
E[u( X1 )] = 0.999× 2000000+ 0.001× 0 = 141280 . E[u( X 2 )] = 0.999× 1997500+ 0.001× 1997500= 141333 . E[u( X 3 )] = 0.999× 1997800+ 0.001× 1897800= 141340 .
Var( X ) u'' (E[X ]) − k( X ) ≈ 2 u' (E[X ])
Taylor 展开，得：
为此，Arrow（1970）和 Arrow（1970） Arrow Pratt（1964） Pratt（1964）分别把反 映客观风险的因素去掉， 映客观风险的因素 仅留下反映行为主体主观 上对风险的态度部分，提 出绝对风险厌恶度的概念。
X = [x1 , π 1 ; x 2 , π 2 ;L x n , π n ]
S X = u − 1 (E [u ( X 为X的确定值等价。
称
)])
含义是：在行为主体的心 目中，得到确定的结果 S 与采取行动得到的随机变 量X是等价的。
金融心理学第三章
W+W1 W W+W2 对待风险的态度比较(假定效用函数U 严格递增) W+W1
风险偏好者 风险厌恶者 不赌: EU <U (ER ) =U (W ) 可能不赌: EU <U (ER) >U (W ) 不赌: EU <U (ER ) <U (W )
厦门大学嘉庚学院 刘玥
r
r
r
风险中立者 一样: EU =U (ER)=U (W ) 赌: EU =U (ER)>U (W ) 不赌: EU =U (ER)<U (W )
2015-6-25 厦门大学嘉庚学院 刘玥 5
如何解释“圣彼德堡悖论”？
① 最大效用原理：在风险和不确定条件下，个人的 决策行为准则是为了获得最大期望效用值而非最 大期望金额值。 ② 边际效用递减原理：一个人对于财富的占有多多 益善，即效用函数一阶导数大于零；随着财富的 增加，满足程度的增加速度不断下降，效用函数 二阶导数小于零。
风险厌恶者：在公平赌博面前，认为不赌比参赌要好，即参加公平赌 博的预期效用小于不赌的效用。这样的人也叫做避险者。
风险中立者：在公平赌博面前，认为赌与不赌都一样，即参加公平赌 博的预期效用等于不赌的效用。
2015-6-25 厦门大学嘉庚学院 刘玥 8
效用函数
U U2 EU U(W) U1 W+W1 W W+W2 风险偏好者 U U2 U(W) EU U1 风险厌恶者 U U2 EU U(W) U1 W W+W2 风险中立者
含义:引入一个额外的不确定性的消费计划 不会改变原有的偏好。也即消费者对于一 个给定事件中的消费f、g的满意程度并不依 赖于第三种行为h的优劣性 (即独立于第三 种行为)。
财务管理第3章投资组合
中兴 00063 0.13
假设 中兴 0.19
0.07348 0.07348 0.5652 0.3867
例：股票收益的方差
公司名称
联通 60050
中兴 000063
未来 状况 景气
不景 气 景气
不景 气
发生 概率
0.4 0.6
0.4 0.6
可能 期望 报酬 报酬 0.18 0.12 0.08
0.22 0.13 0.07
当两证券的收益率是完全正相关的时候投资组合的风险才 等于单个证券风险与其在组合中的比重的乘积，即投资组 合不具有分散风险的作用。
2、结论： 随着加入投资组合中的资产数量增 加，投资组合的方差不断下降，组合 中的资产相关性越小，则组合的风险 分散效果越好，相反资产收益相关性 越强，则组合的风险分散效果越差。
0.1
2
1/3
0.1
0.05
3
1/3
E rp
2 p
0.15 0.10 0.00167
0.30 0.15 0.01167
资产组合的收益与风险
年 概率
1 1/3
2 1/3
3 1/3
E rp
2 p
资产组合
1
1 A 1B 22
0.075
2
1 A 4B 55
0.09
0.075
0.06
0.225
0.27
0.125
➢ 历史数据是母集团从取出的样本，所以历史数 据的平均值和方差以及标准差的定义可以参照 前面的样本的情形下各自的定义。
➢二、资产组合的收益和风险的度量
➢对于资产组合，组合的收益率：
rp
n i 1
riWi
➢Wi是资产i的权重，即投资比例。
第三章 资产风险与收益分析
第二节
均值和方差分析
风险――收益的数学度量 证券之间关联性――协方差与相关系数 资产组合方差的计算
投资组合风险分散
均值――方差准则（MVC）
一、风险――收益的数学度量
收益的度量 资产收益率 单个资产
持 有 期 收 益 率 算 术 平 均 收 益 率 几 何 平 均 收 益 率
资产组合
（二）效用函数的应用――风险态度
• 消费者的偏好是指消费者根据自身的愿望对不 同消费束之间的一个排序。 • 无差异曲线――偏好的图形描述 • 效用函数――偏好的数学表示
消费者偏好
效用及效用函数
（二）效用函数的应用――风险态度
• 对待风险的态度可以分为三类：风险厌恶型、 风险中性型和风险偏好型。 • 在不确定性效用分析中，经常以彩票为例来说
将标准差转变为变异系数后，可以将不同预 期报酬率的投资进行比较。 例1：中国联通（600050）和中兴通讯（000063）
二、资产风险之间关联度――协方差与相关系数
1、协方差
如果已知证券 i 和证券 j 的收益率的联合分
布，则其协方差记作 Cov(ri , rj ) 。
协方差是测算两个随机变量之间相互关系的
票价格上涨至200元，但时隔1年，在第2年年末它又跌回到了100 元。假定这期间公司没有派发过股息，这样，第1年的投资收益 率为100％（R1＝（200-100）/100=1=100%），第2年的投资收益 率则为－50%(R2= (100-200)/200=-0.5＝－50％)。 用算术平均收益率来计算，这两年的平均收益率为25％，而实际 上，在整个投资期间，投资者并未赚到任何净收益。
ij ＝1，两个收益率完全正相关； ij ＝－1，两个收益率完全负相关； ij ＝0，两个收益率无任何关系。
第3章讲义(2010)
第三章 不确定项下的投资决策风险和不确定性风险、不确定性与确定的定义金融决策是时序决策，它们包括：选择，选择的结果向将来延伸。
由于将来是未知的，金融决策不可避免的在不确定条件下进行。
为了开始我们对投资决策准则的研究，必须对“确定”、“风险”和“不确定”进行概念上的区分。
在此基础上，我们然后才能构筑在不确定条件下决策的标准上层结构。
奈特（Knight ）《风险、不确定性与利润》(1921) Frank H. Knight (1885-1972)Knight 不承认“风险=不确定性”，提出“风险(risk)”是有概率分布的随机性（randomness with knowableprobabilities ） ，而“不确定性(uncertainty)”是不可能有概率分布的随机性(randomness with unknowable probabilities )。
Knight 的观点被普遍接受。
但是这一观点成为研究方法上的区别。
风险来自于未来结果的不确定性，但是风险又与不确定性不同。
确定性排除了任何随机事件发生的可能性,它是哲学意义上的前因后果必然关系的体现. 风险则意味着我们对未来可能发生的所有事件,以及他们发生概率的大小有准确地认识,但是对于究竟哪一种事件会发生一无所知.换句话说,我们知晓未来的概率分布,这种概率分布也许来自于经验或者客观事物本身的规律不确定性意味着即便我们能够知道未来世界的可能状态(结果), 但是它们发生的概率仍然是不清楚的。
风险与不确定性在实际应用中的区别对于风险形象的理解是：想象我们在掷一枚质地均匀的硬币，我们知道只会出现字或者花两种结果，而且其可能性各为50%，但是在硬币落地前，我们不会知道究竟哪一种结果会出现，这实际上是一个古典概率随机试验模型。
注意到这与我们在日常生活中，赋予风险这个词的明显负面意义有所不同。
而不确定性则意味着：即便是我们能够知道未来世界的可能状态（结果），它们发生的概率大小仍然是不清楚的，但是如果引入主观概率（subjective probability ），即人为的为每一种状态分配一个概率，则风险与不确定性的界限就变得模糊起来。
行为金融学 第3章 期望效用理论及其受到的挑战PPT课件
效用
偏好
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期望效用理论的公理化假设
• 不确定性决策中，预期效用值：
U(p1x1， p2x2，…，pnxn)=p1u(x1)+…pnu(xn)
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风险态度及效用函数
• 假设一个人面对一个有两种可能结果的财富：P(0<P<1)概 率获得财富X，1－P概率获得财富Y，那么，期望效用值 记作：
•实验结果 • 绝大部分人的选择是（A，D），即在A、B中选择了A， 在C、D中选择了D。
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同结果效应
• 被试者被要求在下面两组彩票中做出选择
• 备选组1
A:（2500，0.33；2400，0.66；0，0.01）
B:（2400）
• 备选组2
C:（2500，0.33；0，0.67）
风险寻求与效用函数
效用
pU(x) + (1-p)U(y) U(px+(1-p)y)
x px+(1-p)y y
财富
U(px, (1-p)y)＜pU(x) + (1-p)U(y)
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风险中立与效用函数
效用
U(px+(1-p)y) pU(x) + (1-p)U(y)
x px+(1-p)y y
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反射效应
• 被试者被要求在下面方案中做出选
择
• 备选组1’
• 备选组1
A’:（-4000，0.80）
收A:（4000，0.80）
益 性
B:（3000）
预 • 备选组2 期C:（4000，0.20）
金融经济学-教学大纲
《金融经济学》教学大纲课程编号：111042B课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课■专业选修课□学科基础课总学时：32 讲课学时：32 实验（上机）学时：0学分：2适用对象：金融工程，金融学，投资学专业先修课程：微观经济学，金融学，微积分，线性代数，概率论一、教学目标（黑体，小四号字）金融经济学是应用微观经济学的思想分析金融决策问题，通过均衡分析和套利分析进行金融资产定价，实现了金融学的公理化。
因此，它属于金融学框架体系中的基础课程，亦是金融各专业的重要课程。
修读对象为已掌握线性代数、概率论等数学基础知识和经济学、金融学等经济理论知识的三、四年级学生。
课程的主要教学目标如下：1、使学生掌握基本的金融经济学概念，能够利用微观经济学的思想对金融市场进行分析，深刻理解金融决策优化；2、掌握均衡定价和套利定价的基本思路和方法，对资产定价的思想有较为清晰系统的认识；3、掌握一定的以金融量化技术处理金融问题的基本思路与方法，为进一步学习、研究现代金融理论打好基础。
二、教学内容及其与毕业要求的对应关系（黑体，小四号字）本课程的主要内容是各经济主体如何在不确定的环境下，通过资本市场，对资源进行跨期最优配置的问题，利用均衡分析和无套利原理实现资产定价。
首先介绍金融经济学的基本含义、要素和所用原理等，其中细讲金融经济学的基本概念、分析框架，加深学生对金融经济学的理解；其次介绍偏好、效用与风险厌恶，其中细讲偏好关系、不确定情形下的效用函数，奠定经济主体行为分析的基础，对阿莱悖论等可以粗讲；在此基础上介绍金融市场均衡和资产估值的两期模型及其多期情形，其中精讲两期模型的形式、经济含义和求解分析，细讲其多期形式和算法，精讲期权定价的二项式方法，粗讲等价鞅测度；最后介绍金融市场中的公司财务问题，其中细讲包含生产活动的阿罗-德布鲁经济的基本含义，经济建模及均衡的求解分析，细讲MM定理，粗讲市场效率问题。
本课程重点培养学生的逻辑思维和推理能力，且涉及的模型构建及计算较多，可以在除引论外的每章内容结束后设置习题课，并适当布置课后作业，加强对学生平时的练习和考核。
第三章投资者风险偏好与最优资产组合
0.59
WE* 1WD* 0.41
（3）最优风险资产组合的期望收益：rP
rP WD* rD WE* rE 0.141
P2 WD*2 D2 WE*2 E2 2WD* WE* cov(rD , rE ) 0.054
报酬-波动比率为：
SP
rP rf
P
0.1415% 0.39 0.054
请思考
最优资产组合确定的基本步骤是？
现实中投资组合的构建： 年轻人如何构建有效的基金组合？ 如何设计出适合自己的基金投资组合？
风险厌恶型
E(R)
U 标准差或方差
风险偏好型
E(R)
U 标准差或方差
风险中性型
E(R)
U 标准差或方差
三、最优资产组合的选择
前提：风险厌恶型投资者
分离定理：投资者决定持有无风险资产与风险资产 组合的份额
➢ 投资者对风险和收益的偏好状况与该投资者最优风 险资产组合的构成是无关的。
风险厌恶型投资者的最有资产组合的确定思路
1元钱不投资，最终得到确定的收益1元。 （无风险）
投资者的态度决定方案的选择，其态度即为 风险偏好或厌恶。
风险偏好 风险厌恶
Hale Waihona Puke U（0）U（1）U（2）
比较2U(1) 与 U(0) +U(2)
风险中性型效用函数，如：
U (W ) 5W U W 5为常数
2U W 2 0
风险厌恶型效用函数，如：（类似于边际报酬递减规律）
第三章 投资者风险偏好与最优资产组合
第一节 投资者的效用函数
一、投资者的效用
经济学的效用：人们从某事物中获得的主观满足程 度。
苹果、梨子的故事
投资学的效用：投资者对各种不同投资方案的主观 上的偏好指标。
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第三讲：期望效用函数和风险厌恶者的投资行为一、金融市场不确定性（一）金融市场的重要特征：不确定性1、不确定性何以存在（1）政治因素：外交关系紧张、地区冲突等。
（2）经济因素①宏观经济状况②经济政策如提高准备金率、公布国有股减持方案。
③微观主体运营状况等3、意外事件：疾病、恐怖袭击等其中政治因素和经济因素为既存风险。
意外事件为突发危机。
二者的影响有所不同。
2、金融市场的测不准原理索罗斯：1997年亚洲金融危机时，马哈蒂尔称我为金融大鳄。
其实，我只是很多投资者中的一个，世人对我有很多误解。
在这一危机中，我也亏了很多钱，其实我也测不准，我也被证明出错了。
所以，我现在不预测短期的股市走向，因为这太容易被迅速证明是个错误。
我什么也不害怕，也不害怕丢钱，但我害怕不确定性。
3、不确定性和风险（1）观点一：确定性的实质就是风险不确定性”的实质就是风险，风险积聚到一定程度就有可能演化为危机，风险为常态，危机则是偶发。
（2）观点二：风险是不确定性及暴露于不确定性的程度风险是不确定性，以及暴露于不确定性的程度，是个人的，极大部分视你对某议题的了解程度及处理方式而定。
例：蹦级者例：金融市场上的投资者：投资的种类和数量，投资者的技能。
4、“不确定性”对金融市场的影响（1）不确定性情况下的非理性反应：恐慌一是毫无根据的“非理性恐慌”。
例：1981年美国总统里根遇刺事件导致投资者大量拋售美元。
二是能够证明其合理性的恐慌或称“自我实现恐慌”。
．例：“羊群效应”导致的银行挤兑。
）不确定性情况下的理性行为：谨慎投资（2 ①投资目标的确定②投资决策准则二、常用的投资决策准则（一）收益最大准则：、适用性：确定性情况下的决策方法1 例：生产者的最优生产决策问题：利润最大化准则。
(Q)=PQ-C(Q)π(Q)maxπ例：金融投资者在确定性情况下的投资决策。
概率收益率A 6 1B 7 1-6 0.25C 0 0.550 0.25-11 0.2D 11 0.225 0.435 0.2只能比较A和B，不能进行四者之间的比较。
2、缺陷：由于金融市场的重要特征之一就是不确定性，因此收益最大原则在金融经济学中不适用。
（二）最大期望收益准则1、适用性：不确定性情况下的决策办法2、缺陷：可能导致悖论或者非理性决策例：彼得堡悖论(Petersburg paradox)尼古劳斯·贝努里在圣彼得堡提出的一个概率上的问题，后来被人们称作彼得堡悖论。
这问题是：如果A第一次掷硬币出现正面尠，收入一个便士；到第二次才出现正面，x1便士。
数学理论证明A次出现正面，收入2的数学期望是无穷。
而实际上，X两便士；；第人们会拿多少钱进行赌博？2-3元。
这似乎是个矛盾的结果。
例：金融市场投资．A 100 0.80 0.2B 800 0.10 0.9根据最大期望收益准则，这两个方案似乎没有区别，但大多数的投资者会选择方案A。
3、原因分析：忽略了各方案的风险状况。
（三）不确定情况下通常使用的决策准则、期望效用函数分析法1 例：彼得堡悖论的解决办法将效用函数设为期望收益的函数，如对数函数、幂函数等形式来解决问题。
均值—方差分析法2、套利分析法3、三、期望效用函数分析法（一）偏好的效用函数表示1、二元关系（1）元素的同质性（2）二元关系的性质例：邻居关系满足对称性例：x位于y的左侧满足非对称性、完全性、传递性等2、偏好关系(preference relation)（1）偏好关系的定义：是指具有传递性、完全性和自返性的一个二元关系。
偏好?严格偏好无差别关系~（2）偏好关系满足的性质传递性(transitivity)：完全性(comparability)自反性(reflexivity)（3）偏好关系就是比较投资策略优劣的一种机制。
3、偏好的效用函数表示)?U(yx?y?U(x)表示方法：1、 2、存在性定理：有限或可数集上的偏好关系可以用效用函数表示。
当选择集存在不可数个元素时，存在很多不能用效用函数来刻划的偏好关[注1] 系。
注2]效用值的绝对值并不重要，重要的是相对次序，这也是序数效用论的思想[ 反例：字典序(dictionary order)偏好（二）偏好的期望效用函数表示、期望效用函数1)]U(y)]U(x?E[x?y?E[)]U(xE[离散情况下：为效用乘以发生的概率)]U(xE[连续情况下：使用积分符号、两类期望效用理论2效用函数：主观概率Savage 效用函数：客观概率Von Neuman-Morgenstern3、期望效用函数的存在性概念：简单彩票和复合彩票（1）期望效用函数表示存在的前提条件偏好关系的三个要求独立性或替代公理（independent or substitute axiom）?????)?r??()r?1q,Pp?q,0?[,1]?(p?1,?p,qr?阿基米德公理(Archimedean axiom)?p,q,r?P,p?q?r??a,b?(0,1),rb)(1?bq?a)r?q??1使得ap?(数学上的阿基米德公理[了解]个有用的推论6保序性：?p,q?P,p?q,0?a?b?1?bp?(1?b)q?q?ap?(1?a)q中值性:?p,q,r?P,p?q?r?存在唯一的a?(0,1),使得??)?rp?(q~1其他：????)s(1?)r??,a?(01)?qp?(1?rs?p,q,r,?P,p?q,?s,??)q1?p~(p?~pq,a?(0,1)??p,q?P,????)?rq?1?(?()r~,p,q,r?P,~q,a?(01),?1pp?0,Z,使得?p?P?P?P??ZP Z00Z0（2）期望效用函数存在性的证明（三）期望效用函数表示法的异议1、关于独立性公理：阿莱斯悖论（Allais paradox）计划可能性回报P1 100% 1万P2 89% 1万10% 5万1% 0大多数人认为P1比P2好P3 11% 1万89% 0P4 10% 5万90% 0大多数人认为P4比P3好这违背了独立性公理2、偏好逆转（Preference Reversal）现象卡尼曼通过实验证明，人们的偏好并不存在一个一致的顺序，在作决策时，往往存在一种矛盾的现象，即同一主体在A、B两事物中任选其一时，他若选择A，但在让他转让这两事物时，他却倾向于B的价格比A更高。
例如，在一个实验中，向被试提供以下两中选择：A 28/36的机会赢得10美元B 3/36的机会赢得100美元当让他们任意在两种机会中选择一种时，绝大多数的人都选择A，但当要求他们以卖的的定价更高一些。
这就是说，B立场出现，即最低愿意以什么价格出售，他们绝大多数又对．因“失去”抑或因而当对价值进行估计时，人们对“失去”的权重要大于“得到”的权重，）理论，Reversal“得到”的转换，偏好也发生逆转，这就是著名的偏好逆转（Preference理论。
简称PR）者的投资行为四、风险厌恶（risk aversion（一）公平博弈：0h???(1p)ph 定义：期望收益为0的博弈，1、212、数学表示风险厌恶（二）风险厌恶、严格风险厌恶的定义、1风险厌恶和效用函数的凹性2、风险态度（厌恶、爱好或中性）的几种表示法（三）、定义法1 2、效用函数的二阶导数、效用函数形状及数学表示法BDCAW0+h1W0+h2W0CD. 图中的3、风险溢价（risk premium）的正负: 4、绝对风险厌恶的正负金融市场上的投资者绝大多数是厌恶风险的，此类投资者是我们主要的研究对象。
（四）风险厌恶者的最优投资条件 1、前提假设）目标：期望效用的最大化（1 [注]：是期望效用的最大化，而不是期望收益或收益的最大化。
）无摩擦市场（ 2 ①无交易费用，没有税收成本②资产可以无限分割．③没有卖空限制④可任意借贷无风险资产这是一个非常理想化的前提假设，现实中的市场往往不能满足上面的全部条] [注件。
1种无风险资产（3）N种风险资产， j的资金。
4（）初始财富W，a为投资于风险资产j02、命题一∶存在最优投资策略的充要条件假设资本市场允许卖空，若投资者存在最优投资策略，则：~0r?r?｛(0,1) Prob｝∈fj、命题二：投资于风险资产的条件3假设资本市场允许卖空，投资者买入风险资产的充要条件是：至少有一种风险资产的收益率均值大于风险利率。
4、命题三：风险资产投资额的确定：在只存在一个风险很小的风险资产和一个无风险资产的市场里，投资者对其全部初始财富W，至少将γW投资于风险资产的全充要条件是：00???(W(1?ruW))~~f002]r?r)r??[EE[(r]? ff?))?ru((W1f0[注1] γ=1时，上述条件为投资者将其全部财富投资于风险资产的充要条件。
??(W(1?r))u f0，上式取值取决于-这是我们将要讲到的绝对风险厌恶的概[注2] ?))1?ru((W f0念。
五、风险厌恶程度的衡量比较：风险态度和风险厌恶程度的衡量。
马克维茨风险溢价（一）1、定义：是投资者为了避免不确定性而愿意放弃的财富或缴纳的罚金的最大数量。
~~~?)]U[E(w()?(w?)]E[uw: 2、代数表示u3、风险溢价和风险厌恶程度风险溢价越大，投资者愿意缴纳的罚金就越多，投资者越厌恶风险。
4、例1：保险，保险费相当于这里的风险溢价。
U(z)=lnz：2例5 ＄ 0.8＄100.2 ＄30求马克维茨风险溢价。
（二）普拉特-阿罗风险溢价1、可由马科维茨风险溢价的定义式推出，前提是赌博（投资计划）的风险很小，投资者的效用函数二次可微。
~)W(推导：对等式两边，在E进行泰勒展开。
点 2、~??(E(W1u))2??[??]~hPA2?(E(W u))3、两种溢价的相同点和不同点4、例2.3.3：求例2.3.2中的普拉特-阿罗风险溢价例2.3.4：U(z)=lnz0.5 ＄9.9＄100.5 ＄10.1求马克维茨和普拉特-阿罗风险溢价。
根据上述两个例子理解两种溢价的区别和相同之处。
（三）绝对风险厌恶~??(E(W u))1、定义式：- ~?(E(W u))??(u W)?简记为：?(W u)2、绝对风险厌恶和普拉特-阿罗风险溢价的换算关系3、绝对风险厌恶的符号和风险态度：绝对风险厌恶为正，风险厌恶绝对风险厌恶为零，风险中性绝对风险厌恶为负，风险喜爱4、绝对风险厌恶的大小和风险厌恶程度绝对风险厌恶越大，投资者越厌恶风险5、绝对风险厌恶的几何含义表示效用函数曲线或者曲面的弯曲程度绝对风险厌恶和风险资产投资额的变化（数学表示）、6．（1）递增的绝对风险厌恶风险资产为劣等品，财富增加时，投资者减少对风险资产的投资。
（2）常绝对风险厌恶，财富增加时，投资者对风险资产的投资额不变，增加的财富全部用于无风险资产的投资。