高三数学书本知识整理(代数部分)
高三数学书本知识整理(代数部分)
一、集合与简易逻辑
1. 集合的元素具有确定性、无序性和互异性?
2. 对集合A、B,AI B 时,你是否注意到“极端”情况:A 或B ;求集合
的子集时是否注意到是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集.
3. 对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次
为2n,2n 1,2n 1,2n 2.
4. “交的补等于补的并,即C u(AI B) C u AUC u B ”;“并的补等于补的交,即
C u(AU B) C U AI C U B
5. 集合的表示法:列举法,描述法,韦恩图。
注意:区分集合中元素的形式:如: A {x|y x2 2x 1} ;B {y|y x2 2x 1};
2 O 2
C {( X, y) | y x 2x 1}
D {x| x x 2x 1} ;
E {(x, y) |y x 2x 1,x Z,y Z};
2 2 y
F {(x, y) | y x 2x 1} ;
G {z| y x 2x 1, z }
x
6. 符号“,”是表示元素与集合之间关系的,符号“,”是表示集合与集合之间关系的。
7. 判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命题,逆命题与其
否命题是等价命题,当一个命题的真假不易判断时,可考虑判断其等价命题的真假;
8. 判断命题充要条件的三种方法:(1)定义法;(2)利用集合间的包含关系判断,若A B,
则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B则A是B的充要条件;(3)等价法:即利用等价关系"A B B A"判断,对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题,一般运用等价法;
9. 反证法:当证明“若p,则q ”感到困难时,改证它的等价命题“若q则p ”成立,
步骤:1、假设结论反面成立;
2、从这个假设出发,推理论证,得出矛盾;
3、由矛盾判断假设不成立,从而肯定结论正确。
矛盾的来源:1、与原命题的条件矛盾;
2、导出与假设相矛盾的命题;
3、导出一个恒假命题。
适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。
10. 书本重要习题:
习题1.3 7 ,8 习题1.5 7 习题1.7 2 ,3,4
复习参考题一(A)11, 12, 13 (B)1,2, 3, 6
二、函数
1?指数
式、
对数式,
m ___ . m
a石n^,a n L a log
a
N N
a n
a b N log a N b(a 0,a 1,N 0),.
a01,log a1 0,log a a 1,Ig 2 lg5 1,log e X In x,
log a b logc b,.
log
a m b—log a b
.
log c a m
2.(1)映射是“’全部射出’加’一箭一雕’”;映射中第一个集合A中的元素必有像,但第二个集合
B中的元素不一定有原像( A中元素的像有且仅有下一个,但B中元素的原像可能没有,也可任意个);函数是“非空数集上的映射”,其中“值域是映射中像集B的子集”.
(2)函数图像与x轴垂线至多一个公共点,但与y轴垂线的公共点可能没有,也可任意个.
(3)函数图像一定是坐标系中的曲线,但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像
(4)原函数与反函数有两个“交叉关系”:自变量与因变量、定义域与值域?求一个函数的反
函数,分三步:逆解、交换、定域(确定原函数的值域,并作为反函数的定义域) .
注意:① f (a) b f 1(b) a ,f[ f 1(x)] x ,f 1[ f (x)] x ,但
1 1
f[f (x)] f [f(X)].
②函数y f(x 1)的反函数是y f 1(x) 1,而不是y f lx 1).
(5)函数解析式的求法:①定义法(拼凑) :②换元法:
③待定系数法:④赋值法:
(6)函数值域的求法:
①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如:
f(x) ax2bx c, x (m, n)的形式;
②逆求法(反求法):通过反解,用y来表示x,再由x的取值范围,通过解不等式,
得出y的取值范围;常用来解,型如:y ax b
,x (m, n);
cx d
④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想;
⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域;
vanTm-ri-vrTi—rnn—mrnrB-rrrvi-srflri
k
⑥基本不等式法:转化成型如:y x (k 0),利用平均值不等式公式来求值域;
x
⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。
3?单调性和奇偶性
判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x) ± f(-x)=0或丄3 1 (f(x)工0);
f(x)
(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同?偶函数在关于原点
对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反?单调函数的反函数和原函数有相同的性;如果奇函数有反函数,那么其反函数一定还是奇函数
注意:(1)确定函数的奇偶性,务必先判定函数定义域是否关于原点对称?确定函数奇偶性的常用方法有:定义法、图像法等等?
对于偶函数而言有:f( X) f (x) f(|x|).
LJ1T1= L? r r F 'L TILL LI r F" 'L EF-n ” 'L ' Z'll'
(2) 若奇函数定义域中有0,则必有f(0) 0.即0 f (x)的定义域时,f(0) 0是f(x)
为奇函数的必要非充分条件?
(3) 确定函数的单调性或单调区间,在解答题中常用:定义法(取值、作差、鉴定) 、导
数法;在选择、填空题中还有:数形结合法(图像法)、特殊值法等等?
(4) 函数单调是函数有反函数的一个充分非必要条件
(5) 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数
的和(或差)” ?
(6) 函数单调是函数有反函数的充分非必要条件,奇函数可能反函数,但偶函数只有
f (x) 0(x {0})有反函数;既奇又偶函数有无穷多个( f (x) 0 ,定义域是关于原点对称的任意一个
数集)?
(7) 复合函数的单调性特点是:“同性得增,增必同性;异性得减,减必异性”.
复合函数的奇偶性特点是:“ 内偶则偶,内奇同外” .
复合函数要考虑定义域的变化。 (即复合有意义)
( 8)导数与函数的单调性的关系
㈠f (x) 0与f(x)为增函数的关系.
3
f (x) 0能推出f(x)为增函数,但反之不一定。如函数f (x) x在(,)上单
调递增,但f (x) 0,.?.f (x) 0是f(x)为增函数的充分不必要条件。
㈡f (x) 0 时,f (x) 0与f(x) 为增函数的关系。
若将f (x) 0的根作为分界点,因为规定f (x) 0 ,即抠去了分界点,此时f(x) 为增函数,就一定有f (x) 0。???当f (x) 0时,f (x) 0是f(x)为增函数的充分
必要条件。
㈢f (x) 0 与f(x) 为增函数的关系。
f(x) 为增函数,一定可以推出f (x) 0 ,但反之不一定,因为f (x) 0 ,即为
f (x) 0或f (x) 0 。当函数在某个区间内恒有f (x) 0 ,则f(x) 为常数,函数不
具有单调性。???f (x) 0是f (x)为增函数的必要不充分条件。
函数的单调性是函数一条重要性质,也是高中阶段研究的重点,我们一定要把握好以上三个关系,用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题,都一律用开区间作为单调区间,避免讨论以上问题,也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题,要谨慎处理。
㈣单调区间的求解过程,已知y f(x)
(1)分析y f (x)的定义域;
( 2)求导数y f (x)
( 3)解不等式f (x) 0 ,解集在定义域内的部分为增区间
( 4)解不等式f (x) 0 ,解集在定义域内的部分为减区间。
我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系,才能准确无误地判断函