高一数学(人教A版)直线与直线垂直-2ppt课件
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【公开课】直线与平面垂直(第一课时)课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
旗杆与地面
如何定义直线与平面垂直？能否把直观的形象数学化？
塔体与地面
支架与地面
探究一：直线与平面垂直的定义
问题1：在阳光下直立于地面的旗杆 AB与它在地面的影子BC垂直吗？
直线AB垂直BC
问题2：随着太阳位置的变化，旗杆 AB与它在地面的影子BC是否保持垂
A
直？
直线AB垂直所有过点B的直线
问题3：旗杆所在直线AB是否与地面
判断下列语句是否正确:(若不正确，请举出反例) 1.如果一条直线和一个平面垂直，那么它与平面 内所有的直线都垂直.( ) 2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那
么它与平面垂直.( × )
a
b
我们来思考
问题4：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已 知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已 知平面的直线有几条？
思考：能改为“两条 平行直线”吗？
文字语言：
如果一条直线与一个平面内的 两条相交直线 都垂直，
那么该直线与此平面垂直.
图形语言： l
符号语言：
P
α
mn
转化
线面垂直
转化
空间问题
线线垂直 平面问题
直线与平面垂直的判定定理：
思考：能改为“两条 平行直线”吗？
文字语言：
如果一条直线与一个平面内的 两条相交直线 都垂直，
探究活动
请同学们拿出准备好的三角形纸片，按以下步骤完成实物 操作：①过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD；
②将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).
思考： (1)折痕AD与桌面垂直吗？ (2)如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？为什么？
A
A
B
高一数学(人教A版)平面与平面垂直的概念及判定-2ppt课件
一个平面内的一条直线垂直于另一个平
面即可．而由直线和平面垂直的判定定
C
理知，还需要证明这条直线与另一个平
面内的两条相交直线垂直．
A
本题中，利用直线与平面垂直的性
•
B
O
质以及圆的性质易得所需条件．
证明：∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC．
P
∵点C是圆周上不同于A，B的任意一点，
且AB是☉O的直径，
用符号语言表示为：
已知平面α，β，直线a ． a α 且a⊥ β，则 α ⊥β．
用图形表示为：
a
这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与 平面垂直．
下面，我们通过具体的例题来看一下平面与 平面垂直的判定定理的应用．
例题 如图所示，在正方体ABCD-A'B'C'D'中， 求证：平面A'BD⊥平面ACC'A'．
这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线（铅垂
线），那么墙面与地面垂直．类似地，在长方体ABCD-
A'B'C'D'中，平面ABB'A'经过平面ABCD的一条垂线AA'，此
时，平面ABB'A'垂直于平面ABCD．同样地，平面ADD'A'也
垂直于平面ABCD． D'
C'
A'
B'
D A
C
B
一般地，我们有下面判定两个平面互相垂直的定理： 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两 个平面垂直．
D'
C'
A'
B'
D A
2.3.1_直线与平面垂直的判定_课件3(新人教版A必修2)
1．直线与平面垂直的概念 2．直线直
数学思想方法： 3．数学思想方法：转化的思想 空间问题 平面问题
P M N A C
B
第２个 垂线 空间角 平面的一条斜线和它在平 Ａ θ Ｏ 面内的射影所成的锐角， 面内的射影所成的锐角，叫做 α 这条直线和这个平面所成的角
斜线在平面上的射影
斜线
Ｐ
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 成的角是0 成的角是0 °的角
(1)四面体P ABC中有几个直角三角形 (1)四面体P-ABC中有几个直角三角形 四面体 (2)指出PB,PC与平面ABC所成的角 (2)指出PB,PC与平面ABC所成的角 指出PB,PC与平面ABC AC,PC与平面PAB所成的角 AC,PC与平面PAB所成的角 与平面PAB P
A
C B
知识小结
直线和平面所成角的范围是[0° 90° 直线和平面所成角的范围是[0°，90°] 两条异面直线所成的角,(0,900] 两条异面直线所成的角
例２ 分别指出对角线 1C 分别指出对角线A
与六个面所成的角. 与六个面所成的角
D1 A1
1
C1 B1 C
1
D A B
练习 在Rt△ABC中,∠B=90°,P为 Rt△ABC中,∠B=90°,P为 ABC所在平面外一点,PA⊥平面 所在平面外一点,PA⊥平面ABC △ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC
⊥ α ，求证 b ⊥ α .
b
n
证明： 证明：在平面 α 内作 a 两条相交直线m， ． 两条相交直线 ，n． 因为直线 a ⊥ α， 根据直线与平面垂直的定义知 α m a ⊥ m, a ⊥ n. 又因为 b // a 所以 b ⊥ m, b ⊥ n. 是两条相交直线， 又 m ⊂ α , n ⊂ α , m, n 是两条相交直线， 所以 b ⊥ α .
数学思想方法： 3．数学思想方法：转化的思想 空间问题 平面问题
P M N A C
B
第２个 垂线 空间角 平面的一条斜线和它在平 Ａ θ Ｏ 面内的射影所成的锐角， 面内的射影所成的锐角，叫做 α 这条直线和这个平面所成的角
斜线在平面上的射影
斜线
Ｐ
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 成的角是0 成的角是0 °的角
(1)四面体P ABC中有几个直角三角形 (1)四面体P-ABC中有几个直角三角形 四面体 (2)指出PB,PC与平面ABC所成的角 (2)指出PB,PC与平面ABC所成的角 指出PB,PC与平面ABC AC,PC与平面PAB所成的角 AC,PC与平面PAB所成的角 与平面PAB P
A
C B
知识小结
直线和平面所成角的范围是[0° 90° 直线和平面所成角的范围是[0°，90°] 两条异面直线所成的角,(0,900] 两条异面直线所成的角
例２ 分别指出对角线 1C 分别指出对角线A
与六个面所成的角. 与六个面所成的角
D1 A1
1
C1 B1 C
1
D A B
练习 在Rt△ABC中,∠B=90°,P为 Rt△ABC中,∠B=90°,P为 ABC所在平面外一点,PA⊥平面 所在平面外一点,PA⊥平面ABC △ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC
⊥ α ，求证 b ⊥ α .
b
n
证明： 证明：在平面 α 内作 a 两条相交直线m， ． 两条相交直线 ，n． 因为直线 a ⊥ α， 根据直线与平面垂直的定义知 α m a ⊥ m, a ⊥ n. 又因为 b // a 所以 b ⊥ m, b ⊥ n. 是两条相交直线， 又 m ⊂ α , n ⊂ α , m, n 是两条相交直线， 所以 b ⊥ α .
8.6.3第1课时平面与平面垂直的判定定理课件高一下学期数学人教A版
探究新知
观察 建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与水平 面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为 墙面垂直于水平面，否则他就认为墙面不垂直于水平面．你能 明白这种方法的道理吗？
No
Image
猜想： 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，
那么这两个平面互相垂直.
探究新知
已知：AB , AB (图１) 求证：
受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？
β
α
以二面角的棱上任意一点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
探究新知
二面角的平面角说明:
(1)角的顶点在棱上;
B
(2)角的两边分别在两个面内;
β
(3)角的边都垂直于二面角的棱。
lO
A α
A
A
l
O
B
O B
猜想： 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，
那么这两个平面互相垂直.
探究新知
5．平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这 两个平面垂直.
a a
简记：线面垂直
a
面面垂直
例题讲解
例1:已知：如图, 正方体ABCD-A'B'C'D'. 求证：平面A′BD⊥平面ACC'A'.
使G1，G2，G3三点重合，重合后记为G- SEF，则四面体S-EFG中
必有( ).
A.SG⊥△EFG所在平面
S
G3
B.SD⊥△EFG所在平面 F
C.GF⊥△SEF所在平面
D
D.GD⊥△SEF所在平面 G1
高中数学2-3-3直线与平面垂直的性质课件新人教A版必修
[答案]
(1)∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，
∴SA⊥BC. ∵ABCD为矩形，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB， ∴BC⊥AE.又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC. 又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC， 又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD.∴DC⊥AG. 又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF， ∴SC⊥AG，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD.
求证：MN∥AD1.
[分析]
要证线线平行，根据条件“MN⊥平面A1DC”，
可联想到线面垂直的性质定理，故只需证AD1⊥平面A1DC即 可．
[证明]
∵四边形ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.
又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1. ∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC. 又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.
名师辨误做答
易错点 [例4] [错解]
证明说理过程不清晰，理由与结论衔接不恰当 已知a⊄α，a⊥b，b⊥α，求证a∥α. ∵b⊥α，a⊥b，∴a⊂α或a∥α.
又∵a⊄α，∴a∥α. [错因分析] 推理逻辑不严密，理由与结论衔接不恰当． [思路分析] 本题垂直关系比较分散，不能按平面几何的 方法进行论证，应将其集中到一个平面内，然后用平面几何 知识解决．
[答案]
90°
新课引入
如上图，将书打开直立在桌面上，观察到书的书脊AB和 各页边沿与桌面都是垂直的位置关系，可以判断“书脊AB和 各页的边沿是平行的”．你能说出判断的理由吗？带上这个 问题我们共同进入本节课的学习．
自主预习 阅读教材P70～71，回答下列问题． 直线与平面垂直的性质定理 文字 语言 符号 语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 a⊥α ⇒ b⊥α
高一数学 人教A版必修2 第三章 3.1.1、2直线的倾斜角与斜率、两条直线平行与垂直的判定 课件
(2)由斜率的定义 k＝tan α， 得 α＝60°时， k＝tan 60°＝ 3， 当 α＝135°时，k＝tan 135°＝－1，当 k＞0 时， 0°＜α＜90°；当 k＜0 时，90°＜α＜180°. 答案： (1)D (2) 3 －1 0°＜α＜90° 90°＜α＜180°
[归纳升华] 1．根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图，则直线向上的 方向与 x 轴的正方向所成的角，即为直线的倾斜角． 2．直线的斜率 k 随倾斜角 α 增大时的变化情况： ①当 0°≤α＜90°时，随 α 的增大，k 在[0，＋∞)范围内增大； ②当 90°＜α＜180°时，随 α 的增大，k 在(－∞，0)范围内增大.
[特别提醒] 在[0°，180°)范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
倾斜角 α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率 k
0
3 3
1
3
－ 3 －1
－
3 3
3．过点 P(0，－2)的直线 l 与以 A(1,1)、B(－2,3)为端点的线段有公共点，
则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( )
D．60°或 120°
(2)直线 l 的倾斜角为 α，斜率为 k，则当 k＝________时，α＝60°；当 k＝
________时，α＝135°；当 k＞0 时，α 的范围是____________；当 k＜0 时，α
的范围是________．
解析： (1)如图，直线 l 有两种情况，故 l 的倾斜角为 60°或 120°，故选 D.
[归纳升华] 求过两点的直线的斜率及倾斜角的方法 (1)已知两点坐标求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等， 其斜率不存在；若不相等，可用公式来求． (2)α＝0°⇔k＝0；0°<α<90°⇔k>0；90°<α<180°⇔k<0；α＝90°⇔斜率不存 在；若求 α 的具体值，可用公式 k＝tan α 求解.
[归纳升华] 1．根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图，则直线向上的 方向与 x 轴的正方向所成的角，即为直线的倾斜角． 2．直线的斜率 k 随倾斜角 α 增大时的变化情况： ①当 0°≤α＜90°时，随 α 的增大，k 在[0，＋∞)范围内增大； ②当 90°＜α＜180°时，随 α 的增大，k 在(－∞，0)范围内增大.
[特别提醒] 在[0°，180°)范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
倾斜角 α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率 k
0
3 3
1
3
－ 3 －1
－
3 3
3．过点 P(0，－2)的直线 l 与以 A(1,1)、B(－2,3)为端点的线段有公共点，
则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( )
D．60°或 120°
(2)直线 l 的倾斜角为 α，斜率为 k，则当 k＝________时，α＝60°；当 k＝
________时，α＝135°；当 k＞0 时，α 的范围是____________；当 k＜0 时，α
的范围是________．
解析： (1)如图，直线 l 有两种情况，故 l 的倾斜角为 60°或 120°，故选 D.
[归纳升华] 求过两点的直线的斜率及倾斜角的方法 (1)已知两点坐标求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等， 其斜率不存在；若不相等，可用公式来求． (2)α＝0°⇔k＝0；0°<α<90°⇔k>0；90°<α<180°⇔k<0；α＝90°⇔斜率不存 在；若求 α 的具体值，可用公式 k＝tan α 求解.
人教A版 必修二 第3章 两条直线平行与垂直的判定
证明：∵kAB＝－725－－2－3＝－16，kCD＝－4－ 4－32＝－16，∴kAB ＝kCD，从而 AB∥CD.
又∵kBC＝3－2－－572＝－163，kDA＝2－－3－ －44＝－76，∴kBC≠kDA.
故若 AB⊥BC，则 m＝2 或 m＝－3.
高中数学人教版必修2课件
平行和垂直关系的综合应用 例 3：已知 A(0,1)，B(2,5)，C154，253，D(－1，－3)，试判 断四边形 ABCD 是否为梯形？如果是梯形，是否是直角梯形？
解：∵ 直线 AB 的斜率 kAB＝52－－10＝2， 直线 CD 的斜率 kCD＝125543－－－－31＝2，∴ kAB＝kCD. 又∵直线 AB 和直线 CD 不重合，∴AB∥CD.
高中数学人教版必修2课件
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
1．下列命题中正确命题的个数是( ) ①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；
②若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等；
③若两直线垂直，则这两条直线的斜率之积为－1； ④若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角相等；
⑤若两直线的斜率不存在，则这两条直线平行．
3 C. 3
D．－
3 3
解析：kl1 gkl2 ＝－1，kl1 ＝ 33，∴kl2 ＝－ 3.
高中数学人教版必修2课件
3．直线 l 平行于经过两点 A(－4,1)，B(0,－3)的直线，则
直线的倾斜角为( D )
A．30°
B．45°
C．120°
D．135°
4．原点在直线 l 上的射影是 P(－2,1)，则 l 的斜率为___2.
高中数学人教版必修2课件
∵ 直线 AD 的斜率 kAD＝－－31－－10＝4，直线 BC 的斜率 kBC＝ 215534－－52＝－12，∴ kAD≠kBC，
人教版高一数学《2.3.1直线与平面垂直的判定》课件
A
A
B
CB
D
D
C
如何调整折痕AD的位置，才能使翻折后直线AD与桌 面所在的平面垂直？
A A
B
D
B
DC
C
思考：由上可知当折痕AD垂直平面α内的两条相 交直线时，折痕AD与平面α垂直.由此我们是否能 得出直线与平面垂直的判定方法？
定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
l
m
o
E
A B DC
直线与平面垂直的定义：
如果直线l与平面α 内的任意一条直线都垂直，就称直 线l与平面α 互相垂直。
记作： l⊥α
l
平面的垂线
A
直线的垂面
垂足
思考：如果一条直线垂直于一个平面内的无数 条直线，那么这条直线与这个平面垂直吗？
问题探究（二）：直线与平面垂直的判定
思考：对于一条直线和一个平面，如果根据定义来 判断它们是否垂直，需要解决什么问题？如何操作？
D1 A1
E
D
A
C1 B1
C B
思考:如图，过平面α外一点P引平面α的两条斜 线段PA、PB，斜足为A、B，再过点P引平面α的垂 线，垂足为O，如果PA>PB，那么OA与OB的大小关 系如何？反之成立吗？
P
PA PB OA OB
αA
OB
思考:如图，直线l是平面α的一条斜线，它在平面 α内的射影为b，直线a在平面α内，如果a⊥b， 那么直线a与直线l垂直吗？为什么？反之成立吗？
l
b ab al
αa
思考:我们把平面的一条斜线和它在平面上的射影 所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角. 在实际应用或解题中，怎样去求这个角？
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定课件(新人教版A必修2)1
设两条直线l1与l2的倾斜角分别为1与 2 1, 2 90 斜率分别为k1与k2 , 则
y
l2
1
O
思考： l2时，k1与k2满足什么关系？ l1 金太阳新课标资源网
o
2 1 90
l1
2
o
o
1 tan 2 tan 1 90 tan 1
y
解：
Q A
1 30 直线BA 的斜率kBA 2 2 ( 4) 1 2 1 直线PQ的斜率kPQ 1 (3) 2
P
kBA kPQ 直线BA // PQ.
x
B
O
例4 .已知四边形ABCD的四个顶点分别为 A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形 ABCD的形状，并给出证明.
ABC是直角三角形.
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• • • • •
对于两条不同的直线L1，L2： ①两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行 ②若直线L1与L2都有斜率且斜率相等，则L1∥L2 ③若直线L1⊥L2，则他们的斜率互为负倒数 ④若直线L1、L2的斜率互为负倒数，则L1⊥L2 其 中正确命题的个数是（） • A、1 B、2 C、3 D
补充练习:
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1.若A3,2、B 6,1、C a,4 三点共线，则a 的值等于多少?
－3
2.点M 1,2 在直线l上的射影是H 1,4 , 求直线的倾斜角? l
3.在平行四边形ABCD中,已知A 3,-2、B 5, 2 、C -1,4 ， 求 D的坐标？
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思考：l1// l2时，k1与k2满足什么关系？
平面与平面垂直 课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
。
1）角的顶点在棱上
2）角的两边分别在两个面内
3）角的边都要垂直于二面角的棱
3个条件：
A
l
O
10
B
A
O
B
。
。
5.二面角的平面角的范围 [0 ,180 ]
6.直二面角
平面角是直角的二面角叫做直二面角.
A
B
O
步步高P83
例1
如图所示，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－
B的平面角的余弦值.
分析：要证明两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明
其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面．而由直线和平面垂直的
判定定理，还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直．
P
在本题中, 由题意可知BC AC , BC PA,
AC PA A, 从而BC 平面PAC ,
进而平面PAC 平面PBC .
求证：平面A BD 平面ACC A
分析：要证平面ABD 平面ACC A, 根据两个平面垂直的判定定理,
只需证明平面ABD经过平面ACC A的一条垂线即可. 这需利用AC , BD
是正方形ABCD的对角线.
证明： ABCD A B C D是正方体 ,
AA 平面ABCD , AA BD ,
如果棱记作l , 那么这个二面角记作二面角 l 或P l Q .
李志刚课件
思考
如图8.6-22，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”，是指哪个角
大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？
4.二面角的平面角
以二面角的棱上 任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱
1）角的顶点在棱上
2）角的两边分别在两个面内
3）角的边都要垂直于二面角的棱
3个条件：
A
l
O
10
B
A
O
B
。
。
5.二面角的平面角的范围 [0 ,180 ]
6.直二面角
平面角是直角的二面角叫做直二面角.
A
B
O
步步高P83
例1
如图所示，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－
B的平面角的余弦值.
分析：要证明两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明
其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面．而由直线和平面垂直的
判定定理，还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直．
P
在本题中, 由题意可知BC AC , BC PA,
AC PA A, 从而BC 平面PAC ,
进而平面PAC 平面PBC .
求证：平面A BD 平面ACC A
分析：要证平面ABD 平面ACC A, 根据两个平面垂直的判定定理,
只需证明平面ABD经过平面ACC A的一条垂线即可. 这需利用AC , BD
是正方形ABCD的对角线.
证明： ABCD A B C D是正方体 ,
AA 平面ABCD , AA BD ,
如果棱记作l , 那么这个二面角记作二面角 l 或P l Q .
李志刚课件
思考
如图8.6-22，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”，是指哪个角
大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？
4.二面角的平面角
以二面角的棱上 任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱