函数的单调性教学设计1
函数的单调性教学设计(教案)
2.3 《函数的单调性》教学设计(第一课时)一、教材分析(一)本节内容的地位与作用中学生对函数单调性的学习分为三个阶段，分别为初中通过简单函数的感性认识、高一的严格定义及高二利用导数解决函数的单调性.因此，高一函数单调性概念的学习，起到了承前启后的作用.函数的单调性是学生学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言刻画的概念.因此，单调性的研究方法非常重要，它为以后函数奇偶性、周期性等其它性质的学习提供了方法依据.它是解决函数定义域、值域、数列、不等式、三角函数等问题的有力工具，是高考重点考查的内容之一，同时也是培养学生逻辑推理能力的绝佳素材.(二)教学目标1、知识目标：理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法．2、能力目标：培养学生自主探索能力、分析归纳能力及逻辑推理能力．3、情感目标：通过层层设问，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生的自信心，提高学生学习数学的兴趣.(三)教学重难点重点：函数单调性的概念.难点：（1）函数单调性概念的生成中，如何从图象的直观认识过渡到用符号语言表述；（2）运用定义证明函数的单调性．二、学情分析（一）认知水平1、知识学生通过初中的学习对函数的升、降有了初步的感知；函数的概念及表示的学习为本节内容做好了知识铺垫．2、技能他们初步具备了分析概括能力，但科学的思维方法尚未形成．（二）心理特征他们好奇心强，追求成功的愿望强烈．他们渴望老师给他们提供自主探索的时间及展示自我的空间．但他们抽象思维能力相对薄弱．三、教法分析本着新课改下以学生为主体，教师为主导的教学理念，结合本节课的知识特点及学情分析，决定采用问题式、启发式、探究式相结合的教学法．主要体现在新课引入时的层层设问，概念生成时的启发引导，总结证明步骤时的探究发现等．因幻灯片直观形象且教学容量大，故决定采用多媒体辅助教学．四、学法分析新课标要求学生不仅仅要“学会”，还应当让学生“会学”、“乐学”.在这种理念的指引下，我在教学设计上强调了让学生主动参与，积极探究，同时让学生相互交流与合作．让学生在与老师、同学之间的交流、讨论中完成知识的构建及难点的突破.五、教学过程教学环节教学内容设计思路创设情境引入新课(1)生活常识“糖水加糖味更甜”(2)焦作市某日全天气温图像问题：（1）观察图像，能得出哪些信息？（2）说说一天中气温的变化趋势？由生活情境引入新课，以此激发学生的学习兴趣。
高中数学教学课例《函数的单调性》课程思政核心素养教学设计及总结反思
以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用。通过对
这一节课的学习，既可以让学生掌握函数单调性的概念
和证明函数单调性的步骤，又可加深对函数的本质认
识。也为今后研究具体函数的性质作了充分准备，起到
承上启下的作用。
（按最新版《课程标准》中的目标维度）
理解函数的单调性的意义；了解能用文字语言和符
教学目标 号语言正确表述增函数、减函数、单调性、单调区间的
（5）课堂小结（内容由多媒体给出）师生共同归 纳总结。
通过小结使学生理清本节课的重难点。
（简要写出围绕所要研究的主题搜集的课堂教学 信息，并简要反思在构建高效课堂的背景下，课程教学 要怎么转变才能更好实现育人目标？）
一，根据函数图像来判断函数在区间上的单调性以 课例研究综
及单调区间，通过练习学生已经可以熟练的掌握根据函 述
高中数学教学课例《函数的单调性》教学设计及总结反思
学科
高中数学
教学课例名
《函数的单调性》
称
（简单说明本课的学习内容，说明课题教学的重点
和难点）
函数的单调性一节属高中数学第一册(上)的必修
内容，在高考的重要考查范围之内。函数的单调性是函
数的一个重要性质，也是在研究函数时经常要注意的一
教材分析 个性质，并且在比较几个数的大小、对函数的定性分析
了复习回顾函
（2）数的表达式；第二通过第二问激发学生对探 索研究、学习新知识的热情，为导入新课及顺利完成教 学任务做了思想上的准备。
（3）用多媒体显示增函数、减函数的定义。仔细 体会定义中的两个简单不等关系“”和“或”它刻画 了函数递增或递减的性质。这就是数学魅力！
（4）多媒体给出书 P41 例 1。借助函数的图像看 单调性既形象又直观，是一个好办法。学会根据解析式 和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性 的基本途径。（指出用定义证明的必要性）
《三角函数的单调性》教学设计
《三角函数的单调性》教学设计教学设计：三角函数的单调性教学目标：1.理解三角函数的单调性的概念和规律。
2.通过探究、研究和实例练习，掌握三角函数的单调性。
教学准备：1.幻灯片或黑板、白板等。
2.教学用具：直尺、三角板、计算器等。
教学步骤：第一步：导入（5分钟）1.引导学生回顾正弦函数和余弦函数的定义和图像特征。
2.提问：你们是否注意到正弦函数和余弦函数在一些区间上是递增的，而在另一些区间上是递减的？3.引导讨论，引出单调性的概念。
第二步：理论讲解（10分钟）1.通过幻灯片或黑板、白板等展示正弦函数和余弦函数的图像。
2.讲解正弦函数和余弦函数的单调性规律：正弦函数在区间[0,π]上递增，在区间[π,2π]上递减；余弦函数在区间[0,π/2]上递减，在区间[π/2,π]上递增。
3.讲解单调性的定义：函数在一些区间上的值是单调递增的，意味着函数的值随着自变量的增加而增大；函数在一些区间上的值是单调递减的，意味着函数的值随着自变量的增加而减小。
第三步：实例讲解（15分钟）1.提供一些简单的函数例子，让学生判断它们的单调性。
2.示例1：f(x)=2x+3、引导学生解出函数的导数为2，说明函数是递增的。
3.示例2：g(x)=-3x^2+5x+2、引导学生解出函数的导数为-6x+5，当x>5/6时，导数小于0，说明函数是递减的。
4.其他类似的例子。
第四步：探究活动（25分钟）1.配合幻灯片或黑板、白板，给出三角函数的问题，让学生以小组为单位进行讨论和解答。
2. 问题1：sin(x)在[0, 2π]上的单调性是什么？3. 问题2：cos(x)在[3π/2, 4π]上的单调性是什么？4.鼓励学生手工绘制函数图像，并使用计算器或三角板验证答案。
5.学生进行小组展示，展示他们的解题过程和答案。
第五步：归纳总结（10分钟）1.引导学生总结正弦函数和余弦函数的单调性规律。
2.学生分组讨论，并撰写总结报告。
鼓励学生在总结中使用例子和图表来说明规律。
《函数的单调性》教学设计范文
《函数的单调性》教学设计《函数的单调性》教学设计范文作为一名人民教师，就不得不需要编写教学设计，借助教学设计可以更大幅度地提高学生各方面的能力，从而使学生获得良好的发展。
我们该怎么去写教学设计呢？下面是小编精心整理的《函数的单调性》教学设计范文，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
一、教材分析本节内容是北师大版数学必修1第二章第3节函数的单调性，两课时内容，本节是第一课时。
函数的单调性是函数的重要性质，学生在初中阶段，通过一次函数、二次函数、反比例函数的学习已经对函数的增减性有了一个初步的感性认识。
高中阶段，进一步用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果，有利于培养学生的理性思维。
从知识的结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又为后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的学习作准备，也为利用导数研究单调性的相关知识奠定了基础。
在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用。
函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用。
二、学情分析在初中阶段通过对一次函数、二次函数、反比例函数的学习已经对函数的增减性有了初步的感性认识，同时经过初中的学习学生已具备了一定的观察、发现、分析、抽象、概括能力，为函数单调性的学习做好了准备,但是把具体的、直观形象的函数单调性的特征用数学符号语言进行定量刻画对高一的学生来说比较困难，同时单调性的证明又是学生在函数学习中首次接触到的代数论证内容，刚上高一的学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的'。
三、教学目标1、知识与技能：(1)使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念；(2)初步掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法步骤。
2、过程与方法：（1）通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；（2）通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。
函数单调性-完整版教学设计
函数的单调性（第一课时）学科：数学年级：高一课型：新授【学习目标】1、通过已学过的初等代数函数的图像，能了解单调函数的图像特征；并能用根据任意两点的坐标大小关系尝试归纳出单调函数的定义。
2、通过本课时的学习，运用单调函数的定义，逐步掌握判断及证明一些简单函数的单调性的一般方法。
3、通过对函数单调性的证明，能充分体验比较法，从而加深对逻辑推理的数学思想方法的认识。
【学习重点】通过对单调函数的定义的学习理解，逐步掌握用定义判断单调性的一般方法。
【学习难点】给定区间上有增有减函数的单调性研究中，对如何划分区间，寻找分界点，从而确定因式的符号，会成为你思维的难点。
【课前预习】1、作出下列初等代数函数的图像 f (x)2x 1=- 1f (x)x=2f (x)x = 2、观察右图函数图像中的变化趋势 在x (,a]∈-∞上，随着x 的增加，函数值y_________； 在x [a,b]∈上，随着x 的增加，函数值y__________；在x [b,c]∈上，随着x 的增加，函数值y__________；在x [c,)∈+∞上，随着x 的增加，函数值y__________。
【学习过程】（一）学习函数单调性的概念1、在图1上取两点()11A(x ,f x )，()22B(x ,f x )，是否能找到A 、B 两点坐标之间的数量关系？当A 、B （A左B 右）两点变化时，上述数量关系是否变化？2、根据上述研究，给增函数下定义。
阅读课本上有关函数的单调性的定义，你觉得的其中的关键词在哪些？为什x b a c O y么？3、类比增函数的定义，给减函数下个定义。
4、学习单调函数、单调区间的概念。
函数的增减区间与定义域之间存在什么关系？（二）单调函数的判断及证明写出引例中函数的单调区间。
例1：（如图）是定义在闭区间[5,5]-上的函数y f (x)=的图像，根据图像说出y f (x)=的单调区间，以及在每一单调区间上，y f (x)=是增函数还是减函数。
高中数学函数单调性教案教学设计
高中数学函数单调性教案教学设计一、教学任务及对象1、教学任务本节课的教学任务是围绕高中数学中的函数单调性进行设计。
通过对函数单调性的深入学习，使学生能够理解并掌握函数单调性的定义，能够运用单调性的性质和判定方法解决实际问题。
此外，通过问题驱动和实例分析，培养学生逻辑思维能力和数学素养，激发学生对数学学科的兴趣。
2、教学对象本节课的教学对象为高中一年级学生。
经过初中数学的学习，他们已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。
然而，对于函数单调性的概念和判定方法，学生可能还较为陌生。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，采用适当的教学策略，帮助他们顺利掌握这一部分知识。
同时，针对不同学生的学习特点和能力，设计分层教学活动，使全体学生都能在原有基础上得到提高。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握函数单调性的定义，能够准确描述单调递增和单调递减函数的特点。
（2）学会运用单调性的判定方法，分析给定函数的单调性，并能够解决实际问题。
（3）掌握函数单调性的性质，如：单调函数的和、差、积、商等运算规律。
（4）通过实例，了解函数单调性在现实生活中的应用，提高学生将数学知识应用于实际问题的能力。
2、过程与方法（1）采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳等过程，探索函数单调性的规律。
（2）运用师生互动、生生互动的教学方式，培养学生合作、探究、表达的能力。
（3）通过举例子、画图、解析等手段，帮助学生直观地理解函数单调性的概念，提高解决问题的能力。
（4）设置不同难度的练习题，让学生在练习中巩固知识，逐步提高解题技巧。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学学科的兴趣，激发他们探索数学知识的热情。
（2）通过学习函数单调性，使学生体会数学的严谨性和逻辑性，提高数学素养。
（3）培养学生勇于面对困难、积极解决问题的态度，增强他们克服困难的信心。
（4）引导学生认识到数学在现实生活中的重要性，提高他们运用数学知识解决实际问题的意识。
函数的单调性教学设计(完整版)
函数的单调性教学设计（完整版）(文档可以直接使用，也可根据实际需要修改使用,可编辑欢迎下载）函数的单调性教学设计石嘴山市第十四中学王玲一、大纲分析函数单调性是研究函数概念基础上学习的第一性质，依据普通高中《数学课程标准》和《数学教学大纲》，教学重点确立为：判断或证明函数单调性的方法步骤。
又因为教学对象是高一新生，准确进行逻辑推理比较困难，所以把函数单调性的定义，判断或证明函数单调性确立为教学难点。
二、教材分析1、教材的地位与作用本课是人民教育出版社高中数学第一册第二章第三节的内容。
函数的单调性是函数重要性质之一，应用非常广泛，在教材中起着承上启下的作用一方面，是初中相关内容的深化、提高，使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识；另一方面，通过对函数单调性的学习，可以利用函数单调性的定义判断某些函数的单调性及单调区间；比较两个数的大小；解方程或不等式；求函数的值域、最值等。
三、教学建议分析研究著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”问题，充分调动学生积极性，营造亲切活跃的课堂氛围；渗透建模思想，培养学生应用数学的意识，通过实例使学生感受单调性的内涵，缩短心理距离，降低理解难度。
四、教学目标（1）知识目标：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．（2）能力目标：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学思想和方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．（3）情感目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．五、教学重点、难点重点：函数单调性的定义；判断、证明函数的单调性.难点：归纳并抽象函数单调性的定义.六、学法、教法分析对学生来说，函数的单调性早已有所了解，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质。
高中数学《函数的单调性》教学设计 新人教A必修1
《函数的单调性》教学设计一、设计理念：1、重视数学概念、公式的发生、发展过程，在概念的形成过程中培养学生发现问题、研究问题、解决问题的能力2、重视学生的学习过程，在教学中注重培养学生独立思考、相互交流、合作探究的能力3、重视诱思探究的教学理论在课堂教学中的渗透，在课堂教学中要体现“教师为主导、学生为主体”，教师启发诱导，学生自主探究，激发学生的学习兴趣、培养学生良好的思维习惯和思维品质二、设计思路：1、以函数的单调性的概念为主线，贯穿于整个教学过程中对函数单调性概念的深入而准确的认识往往是学生认知过程的难点。
因此在教学中突出对概念的分析一方面是为了分析函数单调性的定义，另一方面让学生掌握如何学会、弄懂一个概念的方法，也为今后对其他数学概念的学习有所帮助。
使用单调性的定义证明具体函数的单调性是教学中的又是一个难点。
使用单调性的定义证明具体函数的单调性是对单调性定义的深层理解，给出“作差、变形、定号”的具体步骤是非常必要的，一方面是有利于学生理解函数单调性的概念；另一方面有利于学生掌握证明方法、形成证明思路。
另外也为今后学习不等式证明中的作差法做一定的铺垫。
2、加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象、由特殊到一般的数学思维能力的培养始终贯穿于函数单调性概念教学过程中函数单调性的研究方法很具有典型性，体现了对函数研究的一般方法。
在函数单调性的教学中要引导学生逐步学会“直观感受---定性描述---定量刻画---具体应用”的探究方法，这样一方面为了便于对单调性概念有更好地理解，同时也为今后学习函数的其他概念和性质提供一定的参考方法。
3、在单调性概念的教学与研究中要体现出单调性是函数的一个局部性质函数的单调性是研究“当自变量不断增大时，函数值随着增大还是减小”，即函数图像的升降性，与函数奇偶性不同，函数的奇偶性是研究“当自变量的值互为相反数时，函数值是否也互为相反数”，即函数图像的对称性。
函数的单调性与函数的极值是函数的局部性质，与函数的奇偶性、最大（或小）值有着本质的区别，后者是函数的整体性质，在教学中要体现出函数的单调区间是函数定义域上的一个子集（区间），关注的是函数在这个子集上的增减性。
高中数学《函数的单调性》教学设计
1.3.1函数的单调性教学设计一、教学内容分析:函数的单调性是学生在掌握了函数的概念，函数的表示方法等基础知识后，学习的函数的第一个性质，主要刻画了函数在其定义域内某区间上图像（上升或下降）的变化趋势，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据，如在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有着重要应用，而且在解决比较数的大小、解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。
同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。
所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。
二、教学目标设置:（一）知识与技能：1.用准确的数学语言归纳、抽象概括增函数和减函数的定义，并能正确理解单调性的定义；2.利用图像和定义判断函数的单调性，能正确书写单调区间，并能用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性；3.培养学生抽象概括能力、类比化归能力及数形结合思想方法的运用能力。
（二）过程与方法：1. 通过学生熟悉的现实问题创设情境，引出本节课题函数单调性，同时借助多媒体的直观演示，让学生观察图像（上升？下降？）变化趋势，过渡到在区间上用自变量x和相应函数f(x)的变化进行语言表述；2.设置问题引导学生自主探究、尝试、归纳、总结，师生互相讨论交流，最终形成严格的数学概念；3.形成概念后，引导学生自主探究，通过生生互动，师生互动，达到让学生从多种形式认识概念的本质含义，从而加深学生对概念的理解；巩固练习问题（1）为了加深学生对单调性定义中自变量取值“任意”性的理解，是一个很好的问题；问题（2）的变式题体现了“逆向思维”，深化对定义的理解；问题（3）通过教师的引导，针对于数学基础较好、思维较为活跃的一部分学生，对判断方法进行适当的深入和拓展，加深学生对单调性定义的更深层次的理解，同时也为在高三阶段利用导函数研究函数的单调性奠定了良好的知识基础；4.知识应用部分,首先师生合作完成用单调性定义证明一个一次函数单调性，让学生初步体会用符号语言刻画单调性的代数描述过程，然后由教师演示实验（教材中的例题2）让学生直观感知压强和体积的关系,培养了学生数学建模思想和在物理问题中应用数学知识解决问题的能力,最后让学生运用本节课所学知识进行单调性判定和证明,使学生能够学以致用.(三)情感态度与价值观:创设情境引出课题,让学生充分认识到数学源于生活,又能应用于生活,进而激发学生自主学习和主动探究的学习兴趣;在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认知的提升;在概念应用阶段，通过对定义法证明单调性过程的具体分析，以及证明过程的严格板书，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤，培养学生清晰地思维、严谨的数学推理能力；最后先由学生自己独立完成再进行小组合作交流，展示自己用单调性定义证明函数单调性的全过程，培养了学生运用所学知识解决实际问题的能力，增强了学生学好数学的信心.三、学生学情分析:本班学生的数学基础和学习能力存在差异，学生在认知过程中主要存在两个方面的困难：第一，把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来，用数学的符号语言进行描述,比如把定义域内某区间上“随着x 的增大，相应的函数值)(x f 也随着增大”（单调递增）这一特征用该区间上“任意的21x x <，都有)()(21x f x f <”进行刻画，其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的1x ，2x ；第二，利用定义证明函数的单调性过程中，对学生在代数方面严格推理能力的要求较高,教师应该给以适时的点拨和纠正.四、重难点:重点：1. 函数单调性的概念；2.判断和证明函数的单调性.难点：理解函数单调性的概念五、教学策略分析:1. 多媒体演示创设情境，让学生通过观察气温变化曲线图的变化趋势，完成对单调性直观上的一种认识，为概念的引入提供了必要性,并让学生带着问题（什么是函数的单调性？）进入新课;2. 问题串引导学生探究式学习法，小组合作和自主探究相结合，问题作引导，引发积极思考；3.实验器材的恰当使用,提高了课堂的趣味性,丰富了学生的直观感受;4.多媒体展示和学生板演相结合，提高课堂效率的同时兼顾解答的规范性.六、教学过程:（一）创设情境,引入新知第一,先观察一个图形(函数)(通过多媒体给出承德今年8月8日气温变化曲线图)师：同学们和我一起来观察承德今年8月8日的气温曲线图，如果用函数观点来分析，设时间为t,温度为T,这条曲线表达的是关于这两个变量的函数关系吗？为什么？（学生回答，教师结合学生回答追问：如果设时间t 为自变量，能从图中得出自变量的变化范围吗？师追问：这个函数的定义域及它的对应关系）024681012141618202224510152025303540T t(h)【设计意图】回归函数定义，教师总结：该曲线反映了气温T 随时间t 的变化规律，在区间[0,24]内每给一个时间t 的值，根据图象都有唯一确定的温度T 与之对应，是一个函数.师：观察图象，结合已学过的函数观点,你能说出这一天的气温变化规律吗？(学生独立思考5秒后回答)预案:⑴当天的最高气温,最低气温及何时达到;⑵某些时段温度升高,某些时段温度降低（师追问：最高气温和最低气温是在什么范围研究的？结合学生回答给以及时评价；如果在定义域内一部分一部分地研究，你又会发现什么规律？学生补充）师：归纳关键点：研究函数性质要在整个定义域内研究；在定义域内的某个区间上，随着时间t 的增加，对应温度升高、降低的变化规律就是函数的单调性——引出课题，板书课题）师: 除了气温在某一范围的变化规律，你还能举出生活中具有单调性质的实例吗?预案:⑴承德橡胶坝水库一年中水位随时间的变化;⑵某段时间学生身高的变化.师归纳:抛开实际背景,从函数观点看,它们都反映了在定义域内的某区间上，随着自变量的变化,函数值变大或变小的规律（即函数的单调性）；同学们在初中就已学会用文字来描述函数的单调性,这节课我们就来学习一种更为方便的定义形式——用符号语言对单调性进行代数刻画.【设计意图】生活情境引入新课,可以激发学生的学习兴趣,让学生感悟数学来源于生活，运用数学知识可以解决生活中的实际问题，并向学生提出这节课的学习目标.（二）探索归纳,建构定义第二,进一步研究观察下列函数图象，（师：根据我们刚刚对“函数单调性的初步讨论”）说出函数的变化规律.①x x f =)(②1)(+-=x x f ③2)(x x f =(图象见课件)(学生回答图象变化趋势并描述函数的变化规律，参照学案内容)【设计意图】1.由图象认识增函数与减函数,直观且易于学生接受；2. 为单调函数定义中关键词“区间上”作铺垫；3.让学生初步体会数形结合的思想.探究一：问题1:根据上面的描述,对比函数x x f =)(与2)(x x f =在区间),(+∞-∞上的变化规律,说出它们的不同点?(学生独立思考5秒后回答)预案: 函数x x f =)(在整个定义域上都是增函数, 2)(x x f =是在定义域内的区间),0(+∞上是增函数师追问:如果要定义增函数,应该选择在定义域上还是在定义域内的区间上呢?(学生答)师归纳:单调性应与定义域内的区间相对应.问题2:请归纳函数x x f =)(,12)(+=x x f 在其定义域上和函数2)(x x f =在区间),0(+∞上的共同特征,并试着用符号语言表述“函数)(x f 在定义域内某区间D 上是增函数”.(学生独立思考5秒后回答出共同特征后，进入小组合作探究——如何用符号语言表述“函数)(x f 在定义域内某区间D 上是增函数”)预案:增函数的共同特征:在定义域内某区间D 上,函数值随自变量的增大而增大;（此处不同小组进行符号表述，但学生描述可能不准确，如： 在区间D 上,取两个自变量值21,x x ，当21x x <时，有)()(21x f x f <，则称函数)(x f y =在区间D 上是增函数.）【设计意图】由特殊到一般,归纳得到增函数定义.(此时定义还需进一步完善)第三步:产生认知冲突:讨论：“在函数2)(x x f =的定义域），-（∞+∞上，取两个自变量值2,121=-=x x ，由21x x <,计算得到相应的函数值)()(21x f x f <，则称函数2)(x x f =在），-（∞+∞上是增函数”，这种说法对吗？为什么？(学生独立思考5秒后回答)预案:⑴在定义域），-（∞+∞上不是增函数（举反例如31-=x ，22=x ）;⑵在),0(+∞ 上21,x x 取特殊值;⑶21,x x 取特殊值不具有代表性，任意取,才能代表区间上的所有值.师生合作:归纳得到增函数定义（此处增函数定义得到完善，师完善板书)【设计意图】定义中21,x x 取值的“任意性”是关键点，也是学生理解的难点问题，为了帮助学生对21,x x “任意性”的理解，教师应给以适时的点拨：区间上的值有无数多个，是取不完的，因此应该取任意值，不可由特殊值来代替.（三）严格定义，理解概念（多媒体给出定义）增函数：一般地，设函数)(x f 的定义域为Ｉ如果对于定义域Ｉ内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，则称函数)(x f 在区间D 上是增函数（increasing function ）.师：有了增函数的定义,请你具体谈谈你对“2)(x x f =在区间),0(+∞ 上是增函数”是怎样理解的？（幻灯片给出该问题）预案：对定义域: 研究函数性质，首先应该在定义域内研究; 对区间:针对),0(+∞这个区间, 单调性与定义域内区间相对应,是局部概念;两个自变量的取值的任意性,代表了区间上所有值; 自变量变化与相应函数值变化的一致性.【设计意图】深化对定义的理解.师：有了对函数性质的这些认识，对比增函数的定义，你能给出减函数的定义吗？【设计意图】让学生通过类比，归纳概括出减函数定义.(师:用多媒体给出减函数定义：一般地，设函数)(x f 的定义域为Ｉ 如果对于定义域Ｉ内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，则称函数)(x f 在区间D 上是减函数（decreasing function ）)(师用多媒体给出：如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间.)教师应提出：函数x x f =)(在整个定义域内都是单调的，而函数2)(x x f =在其定义域),(+∞-∞ 内不单调，只在区间),0(+∞ 上单调。
【教案】函数的单调性(第2课时)教学设计人教A版(2019)选择性必修第二册
第五章一元函数的导数及其应用《5．3．1 函数的单调性》教学设计第2课时◆教学目标1．理解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能够利用导数确定函数的单调性以及函数的单调区间；3．能够利用函数的单调性解决有关问题．◆教学重难点◆教学重点：利用导数确定函数的单调性以及函数的单调区间．教学难点：含参函数的单调性以及逆向求参问题．◆课前准备PPT课件．◆教学过程【新课导入】问题1：阅读课本第87~89页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．预设的答案：（1）本节课主要学习函数的单调性；（2）学生已经具有导数概念、导数几何意义、导数计算、函数的单调性等相关的数学概念知识，对函数的单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具有一定的储备．函数的单调性是函数性质中的一个重要性质，学生在必修一中已经学习了函数单调性的内容，如利用函数图象、单调性定义来研究函数的单调性，在学习导数的基础上利用导数相关知识研究函数单调性是导数的一个重要应用，也为下一节学习函数的极值打下基础，因此，本节内容具有承上启下的作用．在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、转化与化归的数学思想方法的渗透．问题2：函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)正负的关系如何？师生活动：学生思考后回答．预设的答案：定义在区间(a ，b )内的函数y ＝f (x )：f ′(x )的正负 f (x )的单调性 f ′(x )＞0 单调递增 f ′(x )＜0单调递减问题师生活动：学生思考后回答，教师完善． 预设的答案：第1步：确定函数的定义域； 第2步：求出导数f ′(x )的零点；第3步：用f ′(x )的零点将f (x )的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x )在各区间上的正负，由此得出函数y ＝f (x )在定义域内的单调性．设计意图：复习前一节课的知识，便于学生更好地学习和理解本节课的知识．发展学生数学抽象、直观想象、数学建模的核心素养．【探究新知】知识点1：三次函数的单调性二次函数是一类重要的函数，而三次函数的导函数是二次函数，所以三次函数也是一类特殊的重要函数，三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的单调性如何呢？这里我们不妨以一具体的三次函数为例进行研究：求函数3211()2132f x x x x =--+的单调区间．师生活动：让学生按步骤求解．教师完善．预设的答案：函数32()2132f x x x x =--+的定义域为R ．对()f x 求导数，得2()2(1)(2)f x x x x x ==+'---． 令()0f x '=，解得1x =-或2x =．1x =-和2x =把函数定义域划分成三个区间，()f x '在各区间上的正负，以及()f x 的单调性如表所示．x (1)-∞-，1-(12)-，2 (2)+∞，+0 -0 + ()f x 单调递增13(1)6f -=单调递减7(2)3f =-单调递增设计意图：通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练利用导数研究函数单调性和单调区间的步骤．发展学生数学运算、直观想象和数学抽象的核心素养．知识总结：三次函数的单调性情形可以有四类：以函数y =x 3为代表的，在整个定义域内单调递增；以函数y =-x 3为代表的，在整个定义域内单调递减；以本例为代表的先增后减再增；相应地函数3211()(21)32f x x x x =---+先减后增再减．知识点2：对数函数与幂函数的增长快慢情况我们知道底数大于1的对数函数与指数大于0的幂函数在(0)+∞，上都是单调递增的，那么它们的增长速度是否一样呢？下面来研究对数函数ln y x =与幂函数3y x =在区间(0)+∞，上增长快慢的情况． 对数函数ln y x =的导数为10((0))y x x'=>∈+∞，，所以ln y x =在区间(0)+∞，上单调递增．当x 越来越大时，1y x'=越来越小，所以函数ln y x =递增得越来越慢，图象上升得越来越“平缓”，如图（1）．幂函数3y x =的导数为230((0))y x x ∈'=>+∞，，所以3y x =在区间(0)+∞，上单调递增．当x 越来越大时，23y x '=越来越大，函数3y x =递增得越来越快，图象上升得越来越“陡峭”，如图（2）．结论：一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”． 【想一想】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． ( ) (2)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( ) 师生活动：学生思考后回答，教师完善．预设的答案： (1)× 切线的“陡峭”程度与|f ′(x )|的大小有关，故错误． (2)√ 函数在某个区间上变化的快慢，和函数导数的绝对值大小一致．【巩固练习】例1设10()ln ()1x f x x g x x>==-，，，两个函数的图象如图所示．判断()f x ，()g x 的图象与1C ，2C 之间的对应关系．师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答，教师完善．预设的答案：因为1()ln ()1f x x g x x ==-，，所以211()()f x g x x x''==，．当1x =时，()()1f x g x ''==； 当01x <<时，()()1g x f x ''>>； 当1x >时，0()()1g x f x ''<<<．所以，()f x ，()g x 在(0)+∞，上都是增函数．在区间(01)，上，()g x 的图象比()f x 的图象要“陡峭”；在区间(1)+∞，上，()g x 的图象比()f x 的图象要“平缓”． 所以，()f x ，()g x 的图象依次是图中的2C ，1C ．设计意图：通过特例，体会函数增长快慢与导数之间的关系，发展学生直观想象、数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养．总结：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”．例2 设g (x )＝ln x －ax 2＋(a －2)x ，a ＜0，试讨论函数g (x )的单调性．师生活动：让学生先求函数的导数，然后思考能否通过解不等式得出函数的单调性．教师完善．预设的答案：先对原函数求导得1()2(2)(1)(21)g x ax a x ax x x=-+-=-+-'(x ＞0)，下面需要对a 分类讨论得函数g (x )的单调性．(1)当a ＜－2时，∵112a -<，∴()(21)()0a x x a g x x =-+->'等价于1()(21)0x x a +->，易得函数g (x )在1(0,)a -和1(,)2+∞上单调递增，同理可得在11(,)2a -上单调递减；(2)当a ＝－2时，21()0(2)x g x x-'=≥恒成立，∴函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；(3)当－2＜a ＜0时，∵112a ->，∴1()(21)()0a x x a g x x =-+->'等价于1()(21)0x x a +->，易得函数g (x )在1(0,)2和1(,)a -+∞上单调递增，同理可得在11(,)2a -上单调递减．设计意图：通过典型例题的分析和解决，帮助学生体会含参函数的求导问题，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养．方法总结：利用导数研究含参函数f (x )的单调区间的一般步骤： 第1步：确定函数f (x )的定义域； 第2步：求出导数f ′(x )的零点；第3步：分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论；第4步：在不同的参数范围内，解不等式f ′(x )＞0和f ′(x )＜0，确定函数f (x )的单调区间．练习：教科书P 89练习1、2设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．【课堂总结】1．板书设计：5．3．1 函数的单调性（第2课时） 新知探究巩固练习 知识点1：形如32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的函数的单调性例1知识点2：函数的变化快慢与导数的关系例2 2．总结概括：三次函数的单调性；自然对数函数与幂函数y =x 3的增长快慢情况；含参函数的单调性问题与分类讨论．师生活动：学生总结，老师适当补充．3．课堂作业：教科书P 97习题5．32教科书P 89练习3【目标检测设计】1．若函数e (si ()n )x f x x a =+在区间,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,)+∞B ．(1,)+∞C ．[1,)+∞D ．(2,)+∞设计意图：进一步巩固函数的单调性与导数的符号关系，恒成立问题的求解模式． 2．试求函数f (x)＝kx －ln x 的单调区间．设计意图：进一步巩固含参函数的单调性的求解方法以及分类讨论思想的应用．3．已知a ∈R ，函数()()32634f x x x a x =-+-．（1）若曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线与直线30x y -=垂直，求a 的值； （2）若函数()f x 在区间()1,4上单调递减，求a 的取值范围．设计意图：进一步巩固导数的几何意义以及根据函数的单调性如何求参数范围的方法． 参考答案：1．Cππ()e (sin ),,22x f x x a x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，()e (sin os 'c )xf x x x a ∴=++．函数()e (sin )x f x x a =+在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，ππ,,()02'2x f x ⎛⎫∴∀∈-≥ ⎪⎝⎭，即sin cos 0x x a ++≥，得πsin cos 24a x x x ⎛⎫≥--=-+ ⎪⎝⎭． 当ππ22x -<<时，π221,14x a ⎛⎫-≤+<∴≥ ⎪⎝⎭，∴实数a 的取值范围是[1,)+∞．故选C ．2．解：函数f (x)＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝k －11kx x x-=． 当k ≤0时，kx －1＜0，∴f ′(x)＜0，则f (x)在(0，＋∞)上单调递减． 当k ＞0时，由f ′(x)＜0，得10kx x -<，解得0＜x ＜1k； 由f ′(x )＞0，得10kx x ->，解得x ＞1k． ∴当k ＞0时，f (x )的单调递减区间为1(0,)k ，单调递增区间为1(,)k+∞．综上所述，当k ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)；当k ＞0时，f (x )的单调递减区间为1(0,)k，单调递增区间为1(,)k +∞．3．解：（1）因为()231212'3x x x a f =-+-，所以曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线斜率()'3273612333k f a a ==-+-=-． 而直线30x y -=的斜率为13，则333a -=-，得2a =．（2）由()f x 在()1,4上单调递减，得()2'3121230f x x x a =-+-≤在()1,4上恒成立，即244a x x ≥-+在()1,4上恒成立．又()1,4x ∈时，2444y x x =-+<，所以4a ≥， 所以a 的取值范围是[4,)+∞．。
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教 学 设 计
上课题目 函数的单调性1 1 章 2 节
高考要求 单调性定义 课时安排
2
教学目标 知识与技能 （1）建立增（减）函数的概念通过观察一些函数图象的特征，形成增 （减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。 （2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。 过程与方法
（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何
意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．．
情感态度和价值观
使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫
感
教学重点
函数的单调性及其几何意义
教学难点
利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
教辅手段 多媒体 上课时间
教学方法 合作探究 授课类型
新授课
教 学 板 书 设 计
函数的单调性
函数的单调性一般是先根据图象判断
，再利用定义证明．画函数图象通常
借助计算机，求函数的单调区间时必
须要注意函数的定义域，单调性的证
明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形
→ 定 号 → 下结论
y
x 1
-1
-1
y
x 1
-1
-1
教 学 过 程
教学环节 教 师 活 动 学生活动 设计意图及
说明
创
设
情
境
（一）创设情景，揭示课题
1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了
相应函数的哪些变化规律： ○1 随x的增大，y的值有什么变化？ ○2 能否看出函数的最大、最小值？ ○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f(x) = x ○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x的增 大，f(x)的值随着 ________ ． （2）f(x) = -x+2 ○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x的增 大，f(x)的值随着 ________ ． （3）f(x) = x2 ○1在区间 ____________ 上， f(x)的值随着x的增大而 ________ ． ○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x的增大而 ________ ． 通过实例 引出新知 自主探究 学生完成 问题 完成例题 分析注意 的问题 分析实例 得到结论 由特殊到
一般
有助于学
生对知识
的理解
学会应用
知识点
注意函数
的变化
会选恰当
方法了解
原因
y
x 1
-1
1
-1
y
x 1
-1
1
-1
y
x 1
-1
1
-1
y x 1 -1 -1 y
x 1
-1
-1
y
x 1
-1
1
-1
教 学 过 程
教学
环节
教 师 活 动 学生活动
设计意图及
说明
3、从上面的观察分析，能得出什么结论？
学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变 化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。 归纳小结 函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步： 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 会画函数 的图象 数形结合
数学思想
渗透
习 题 配 置 及 配 置 说 明
书面作业：课本P45习题1、3题（A组）第1-5题。
教 学 反 思
反思时间： 年 月 日