安徽省第一卷2014届高三上学期月考(三)数学(文)试题 扫描版含答案
安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期教学质量检测(11月月考)数学试题(含答案)
安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期教学质量检测（11月月考）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|y=log3(x2−1)}，集合B={y|y=3−x}，则A∩B=( )A. (0,1)B. (1,2)C. (1,+∞)D. (2,+∞)2.若sinθ(sinθ+cosθ)=25，则tanθ=( )A. 2或−13B. −2或13C. 2D. −23.已知函数f(x)=a−e x1+ae x⋅cos x，则“a=1”是“函数f(x)的是奇函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数f(x)={ax2+e x,x≥0x3−ax2+a,x<0在R上单调，则a的取值范围是( )A. (0,1)B. (0,1]C. [0,1)D. [0,1]5.在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知▵ABC的外接圆半径为1，且a2+c2−b2=2ac,1+2sin A 1−2cos A =sin2C1+cos2C，则▵ABC的面积是( )A. 22B. 32C. 1D. 26.已知一个正整数N=a×1010(1≤a<10)，且N的15次方根仍是一个整数，则这个数15次方根为().(参考数据：lg2≈0.3,lg3≈0.48,lg5≈0.7)A. 3B. 4C. 5D. 67.已知函数f(x)=x ln x，g(x)=e x−x2+a，若∃x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围是( )A. (4−e2,ln4+1−e)B. [4−e2,ln4+1−e]C. (ln4+4−e2,1−e)D. [ln4+4−e2,1−e]8.已知正数x，y满足9x2−1+9y2−1=9xy，则4x2+y2的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题：本题共3小题，共18分。
扬州中学2014届高三上学期月考数学(文)试卷
一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知全集},3,2,1,0{=U 集合},3,2,1{},1,0{==B A 则=B A C U )(__ ___.2.已知向量(12,2)a x =-,()2,1b - =,若→→b a //,则实数x =__ ___.【答案】25 【解析】试题分析：因为向量(12,2)a x =-,()2,1b - =,若→→b a //,则(12)(1)220,25x x -⨯--⨯==，即52x =． 考点：共线向量的性质，考查学生的基本运算能力．3.命题“2,220x R x x ∀∈-+>”的否定是 ．4.设复数z 满足12zi i =+（i 为虚数单位），则z = ．【解析】试题分析：因为12zi i =+，则122iz i i+==-，故2z i =-==解法二：12zi z i ==+=考点：对复数概念的理解，考查学生的基本运算能力．5.设3()lg(f x x x =++，则对任意实数,a b ，"0"a b +≥是"()()0"f a f b +≥的条件．（填＂充分不必要＂，＂必要不充分＂，＂充要＂，＂既不充分也不必要＂之一）6.当且仅当m r n ≤≤时，两圆2249x y +=与22268250(0)x y x y r r +--+-=>有公共点，则n m -的值为 ．考点：圆与圆的位置关系，考查学生的基本运算能力．7.将函数()y f x =的图象上的每一点的纵坐标变为原来的4倍，横坐标变为原来的2倍，然后把所得的图象上的所有点沿x 轴向左平移π2个单位，这样得到的曲线和函数2sin y x =的图象相同，则函数()y f x =的解析式为 ．8.已知函数()221020x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，若实数m )1,0(∈，则函数()()g x f x m =-有个零点.9.设)(x f 是定义在R 上的偶函数,当0<x 时,xe x xf +=)( (e 为自然对数的底数),则)2(ln f 的值为 .【答案】212ln +- 【解析】试题分析：设)(x f 是定义在R 上的偶函数,当0<x 时,xe x xf +=)(,因为ln 20,ln 20>∴-<则()()1lnln 221ln 2ln 2ln 2ln 2ln 22f f ee-=-=-+=-+=-+． 考点：函数的奇偶性求值，考查学生的基本运算能力．10.若函数2()1ax f x x -=-的图象关于点（1，1）对称，则实数a = ．考点：考查三角恒等变化，考查学生基本运算能力. 12.若θθθθsin ln cos ln cos sin ->-ee且),,0(πθ∈则θ的取值范围为 ．【答案】)43,2()2,4(ππππ⋃14.已知O 为△ABC 的外心，,120,2,20=∠==BAC aAC a AB 若AC AB AO βα+=，则βα+的最小值为 ． 【答案】2 【解析】试题分析：如图：以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立直角系：则件 AC AB AC αβ=+，得案为：2．考点：求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值，考查学生的基本运算能力．二、解答题（共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．） 15.（14分）已知全集}.125|{},2)3(log |{,2≥+=≤-==x x B x x A U 集合集合R （Ⅰ）求A 、B ；（2）求.)(B A C U ⋂【答案】（Ⅰ）{}13A x x =-≤≤，}.32|{≤<-=x x B (Ⅱ)}.312|{)(=-<<-=⋂x x x B A C U 或16.（14分）已知向量.)(),cos 2,1(),cos ,22sin 3(n m x f x n x x m ⋅==+=设函数 （I ）求)(x f 的最小正周期与单调递减区间。
浙江省杭州二中2014届高三上学期第二次月考数学(文)试题 Word版含答案
杭州二中2013学年第一学期高三年级第二次月考数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．卷面共150分，考试时间120分钟.第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设为向量，则“0>⋅”是“,a b 的夹角是锐角”的（ ）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要2．在ABC ∆中，13a b C ===，则ABC ∆的面积为( ) A ．3 3 B ．2 3 C ．4 3 D. 33.已知函数12()log 1f x x =-，则下列结论正确的是（ ）Ａ. 1()(0)(3)2f f f -<< Ｂ. 1(0)()(3)2f f f <-< ks5u Ｃ. 1(3)()(0)2f f f <-< Ｄ.1(3)(0)()2f f f <<-4．设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，且12013a =-，，则2a =（ ）A ．2011-B ．2015-C ．2011D ．20155．将函数x x f y sin )('=的图象向左平移4π个单位，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 是( )．sin xD6且α为第二象限角， ） A 7.若数列{}{},n n a b 的通项公式分别是20132012(1)(1),2,n n n n a a b n++-=-=+且n n a b <对任意n N *∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1-12⎡⎫⎪⎢⎭⎣，B ．1-22⎡⎫⎪⎢⎭⎣，C ．3-22⎡⎫⎪⎢⎭⎣，D ．3-12⎡⎫⎪⎢⎭⎣，8．设函数()22360,()()|()|f x x x g x f x f x =-+=+，则()()()1220g g g +++=( ) A ．0B ．38C ． 56D ．1129．设函数()()3402f x x x a a =-+<<有三个零点123,,x x x ，且123x x x <<则下列结论正确的是（ ）A.11x >-B.20x <C.201x <<D.32x > 10.已知()l o g(1),()2l o g (2a af x xg x x t a =+=+>,若[0,1),[4,6)x t ∈∈时，)()()F x g x f x =-（有最小值4，则a 的最小值为（ ） A.1 B.2 C. 1或2 D. 2或4第II 卷（共100分） 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11.已知4cos(),25πθ+=则cos 2θ的值是 . 12.平面向量a b 与的夹角为060，(2,0),223,a a b b =+==则 . 13. 数列{}n a 中，11a =，2,*n n N ∀≥∈，2123n a a a a n ⋅⋅⋅⋅=，则35a a += .14.函数()sin (),()2,()0,f x x x x R f f ωωαβ=∈=-=又且-αβ的最小值等于2π，则正数ω的值为 . 15.已知函数3()f x x x =+的切线过点(1,2)，则其切线方程为 . 16.设实数1x 、2x 、、n x 中的最大值为{}12max n x x x ，，，，最小值{}12min n x x x ，，，，设ABC ∆的三边长分别为a b c 、、，且a b c ≤≤，设ABC ∆的倾斜度为t =max min a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，，若△ABC 为等腰三角形，则17.已知向量αβγ、、满足1α=，αββ-=，()()0αγβγ-⋅-=.若对每一确定的β，γ的最大值和最小值分别是m n 、，则对任意β，m n -的最小值是 .三．解答题（本大题有5小题，共72分） 18. （本题满分14分）已知集合{}2=320A x x x -+≤，集合{}2B=2y y x x a =-+，集合{}2C=40x x ax --≤.命题:p A B ≠∅，命题:q A C ⊆ ks5u(Ⅰ)若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)若命题p q ∧为真命题，求实数a 的取值范围. 19. （本题满分14分）已知函数R x x x x f ∈--=,21cos 2sin 23)(2. (Ⅰ)当]125,12[ππ-∈x 时，求函数)(x f 的最小值和最大值; (Ⅱ)设△ABC 的对边分别为,,a b c ，若c =3，0)(=C f ，sin 2sin B A =，求,a b 的值.20.（本题满分14分）已知OAB ∆中,,,2,3OA a OB b OA OB ====,C 在边AB 上且OC 平分AOB ∠ (Ⅰ)用,a b 表示向量OC ; (Ⅱ)若65OC =,求AOB ∠的大小. 21．（本小题满分15分）在数列{}n a 中，点1(,),*n n P a a n N +∈在直线2y x k =+上，数列{}n b 满足条件：112,().n n n b b a a n N *+==-∈(Ⅰ)求证: 数列{}n b 是等比数列； (Ⅱ)若2121log ,,n n n n nc b s c c c b ==+++求12602n n s n +->+成立的正整数n 的最小值. 22．（本小题满分15分） 已知函数()1ln(02)2xf x x x=+<<-. (Ⅰ)是否存在点(,)M a b ，使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(Ⅱ)定义1221n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中*n ∈N ，求2013S ；（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，令12n n S a +=，若不等式2()1n am n a ⋅>对*n ∀∈N 且2n ≥恒成立，求实数m 的取值范围.ks5u第二次月考数学试卷（文科）答案：BCCAB BCDCB11.725- 12. 1 13. 359256141616a a +=+= 14. 1 ks5u15. 420,7410x y x y --=-+= 16. 1 17. 1218. 解：{}222(1)11,1y x x a x a a B y y a =-+=-+-≥-∴=≥-,{}{}232012A x x x x x =-+≤=≤≤, {}240C x x ax =--≤(Ⅰ)由命题p 是假命题，可得=A B ∅，即得12,3a a ->∴>. (Ⅱ) p q ∧为真命题，∴p q 、 都为真命题，ks5u 即AB ≠∅，且AC ⊆ ∴有121404240a a a -≤⎧⎪--≤⎨⎪--≤⎩，解得03a ≤≤.19. 解: (Ⅰ)2122cos 12sin 2321cos 2sin 23)(2---=--=x x x x x f 1)62sin(--=πx由]125,12[ππ-∈x ，∴26x π-∈2[,]33ππ-,()12x f x π∴=-的最小值为13x π-=,()f x 的最大值是0.-------7分(Ⅱ)由0)(=C f 即得()sin(2)106f C C π=--=，而又(0,)C π∈，则112(,),266662C C πππππ-∈-∴-=，∴3C π=，则由 22222222cos 3b a b a c a b ab C a b ab==⎧⎧⎨⎨=+-=+-⎩⎩即 解得1,2a b ==.----------14分 20. (1) OC =3255a b +; (2) AOB ∠=23πks5u 21．解: (Ⅰ)依题意1112,222()2n n n n n n n n n n n a a k b a k a a kb a k a k k a k b +++=+∴=+-=+∴=+=++=+=又12,b = 而12n nbb +=，∴数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列.即得1222n n n b -==，为数列{}n b 的通项公式. -------6分ks5u (Ⅱ)由2211log 2log 2.2n n n n n n c b n b ==⋅=-⋅2312()1222322n n n s c c c n -=-+++=⨯+⨯+⨯++⨯23412122232(1)22n n n s n n +∴-=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯上两式相减得 23112(12)22222212n nn n n s n n ++-=++++-⨯=-⨯-11222n n n ++=-⨯-由12602n n s n +->+，即得11260,260n n n n ++⋅>∴>，又当4n ≤时，15223260n +≤=<，当5n ≥时，16226460.n +≥=>故使12602n n s n +->+成立的正整数的最小值为5. -------14分22．解：（1）假设存在点(,)M a b ，使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上，则函数()y f x =图像的对称中心为(,)M a b . 由()(2)2f x f a x b +-=，得21ln1ln 2222x a xb x a x-+++=--+， 即22222ln 0244x axb x ax a -+-+=-++-对(0,2)x ∀∈恒成立，所以220,440,b a -=⎧⎨-=⎩解得1,1.a b =⎧⎨=⎩ 所以存在点(1,1)M（Ⅱ）由（1）得()(2)2(02)f x f x x +-=<<.令i x n =，则()(2)2i if f n n+-=(1,2,,21)i n =⋅⋅⋅-. 因为1221()()(2)(2)n S f f f f n n n n =++⋅⋅⋅+-+-①，所以1221(2)(2)()()n S f f f f n n n n=-+-+⋅⋅⋅++②，由①+②得22(21)n S n =-，所以*21()n S n n =-∈N . 所以20132201314025S =⨯-=.-------10分（Ⅲ）由（2）得*21()n S n n =-∈N ，所以*1()2n n S a n n +==∈N . 因为当*n ∈N 且2n ≥时，2()121ln ln 2n a m n m n n m a n n ⋅>⇔⋅>⇔>-. 所以当*n ∈N 且2n ≥时，不等式ln ln 2n m n >-恒成立minln ln 2n m n ⎛⎫⇔>- ⎪⎝⎭. 设()(0)ln xg x x x =>，则2ln 1()(ln )x g x x -'=. 当0x e <<时，()0g x '<，()g x 在(0,)e 上单调递减；当x e >时，()0g x '>，()g x 在(,)e +∞上单调递增. 因为23ln 9ln 8(2)(3)0ln 2ln 3ln 2ln 3g g --=-=>⋅，所以(2)(3)g g >， 所以当*n ∈N 且2n ≥时，[]min 3()(3)ln 3g n g ==. 由[]min ()ln 2m g n >-，得3l n 3l n 2m >-，解得3ln 2ln 3m >-.实数m 的取值范围是3ln 2(,)ln 3-+∞.-------15分。
山西省曲沃中学2014届高三上学期第一次月考数学(文)试题 Word版含答案
曲沃中学2014届高三上学期第一次月考数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1.若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（ ）A ．相交B ．异面C ．平行D ．异面或相交2.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )A ．0个B ．1个C ．0个或1个D ．1个或无数个3.若曲线y=4x 的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直,则l 的方程为（ ）A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=04.平面α，β，γ两两互相垂直，且交于点A ，点B 到α，β，γ的距离均为1，则A 、B 两点之间的距离|AB|＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．25. 若集合A ＝{x|ax 2－ax ＋1<0}＝Φ，则实数a 的值的集合是( )A ．{a|0<a<4}B ．{a|0≤a<4}C ．{a|0<a ≤4}D ．{a|0≤a ≤4}6.若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )A ．112 B.5 C.4 D. 927.设l 是直线，a ，β是两个不同的平面 ( )A. 若l ∥a ，l ∥β，则a ∥βB. 若l ∥a ，l ⊥β，则a ⊥βC. 若a ⊥β，l ⊥a ，则l ⊥βD. 若a ⊥β, l ∥a ，则l ⊥β8.将正方形（如图1）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ）9.设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若S n ＝10，则n 的值是( )A ．11B ．99C ．120D ．12111. 已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为（ ） AB． C ．132 D．12.设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是( )(A)3[,6]2- (B)3[,1]2-- (C)[1,6]- (D)3[6,]2- 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知t>0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为_____ 14.四边形ABCD 在斜二测画法下的直观图是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为2，则原四边形的面积是_________.15.已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为正方形。
(安徽皖智1号卷)全国高三数学上学期月考试卷(二)文(含解析)
（安徽皖智1号卷）全国2023届高三数学上学期月考试卷（二）文（含解析）第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分在每题给出的四个选项中，只 有一项为哪一项符合题目要求的．1．设集合U ={-2，-1，0，1，2，3，4}，A={一1，0}，B={0，1，2，3，4}，那么=( )A.{-2,1}B.{-2}C.{-2,0}D.{0,1,2,3,4}2．以下命题中，真命题是( )A ．存在x<0，使得2x>1B ．对任意x ∈R ，x 2 -x+l>0C ． “x>l ”是“x>2”的充分不必要条件D ．“P 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的必要而不充分条件3. 已知向量|a |=2,| b |=l ，且a 与b 的夹角为争那么a 与a +2b 的夹角为( )A ．6πB ．3πC ．2π D ．23π 4．已知倾斜角为θ的直线，与直线x-3y+l=0垂直，那么2223sin -cos θθ=( ) A ．103 B ．一103 C ．1013 D ．一1013 5．设a=0.520152,log 2016,sin1830b c -︒==，那么a ，b ，c 的大小关系是( )A. a>b>cB. a >c> bC. b> c > aD. b > a > c6．函数2cos 22y x x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的图象是（ ）7．假设向量m= (-1，4)与n=(2，t)的夹角为钝角，那么函数f (t)=t 2—2t+1的值域是 ( )A ．()1,8181,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. [0,81) (81,+∞)D. [0,+∞)8．在△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b, c ，假设3,a b c b a =，3， 那么tanA=( )AB ．1 C．3D.9．在边长为2的正三角形ABC 中，2,3BC BD CA CE AD BE ==⋅=，则A ．1B ．-1C ．3D ．-310已知12()2cos ,,()2,()0,12f x x x R f x f x πω⎛⎫=+∈== ⎪⎝⎭又且|x 1-x 2|的最小值 是53π，那么正数ω的值为( ) A ．310 B ．35 C ．103 D ．5311．假设对∀x ，y 满足x> y>m>0，都有yInx<xlny 恒成立，那么m 的取值范围是( ) A. (0,e) B.(0,e] C. [e,e 2] D.[e, +∞)12．定义在R 上的奇函数f (x)满足f (x+1)=f （一x ），当x ∈(0，1)时， 1211log ||,22()10, 2x x f x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，那么f (x)在区间[1，32]内是( ) A ．增函数且f （x ）>0 B ．增函数且f (x)<oC ．减函数且f (x)>0D ．减函数且f （x ）<0第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13．函数1()tan 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为 。
四川省绵阳市三台中学2014届高三上学期第一次月考数学文试题 Word版含答案
三台中学2014届高三数学（文）第一次考试试题一、选这题（共50分）1.已},6|{},1|{2≤+=<=x x x B x x A 则A B = ( )A 、(]2,1B 、[)1,3-C 、(]3,-∞-D 、(]2,∞- 2.函数()2()log 6f x x =-的定义域是（ ）A ．{}|6x x >B ．{}|36x x -<<C ．{}|3x x >-D ．{}|36x x -<≤ 3.“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.函数[]3,0,342∈+-=x x x y 的值域是[ ]A.[]3,0B.[]0,1-C.[]3,1-D.[]2,0 5、设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ） AB ．4 C．．2 6、已知函数3,10()[(5)],10x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，其中x N ∈，则(8)f =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．77.已知函数2)(xx e e x f --=，则下列判断中正确的是( )A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数 8．若函数2)1(log )(223++++=x x b ax x f 在)0,(-∞上有最小值－5，（a ，b 为常数），则函数)(x f 在),0(+∞上（ ）A ．有最大值9B ．有最小值5C ．有最大值3D ．有最大值59.函数()y f x =与()y g x =的图像如下图：则函数()()y f x g x =⋅的图像可能是（ ）A B C D10. 函数()f x的定义域为D，若存在闭区间[m,n] ⊆D，使得函数()f x满足：①()f x在[m,n]上是单调函数；②()f x在[m,n]上的值域为[2m,2n]，则称区间[m,n]为()y f x=的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（）①)0()(2≥=xxxf；②()()xf x e x=∈R；③)0(14)(2≥+=xxxxf；④)1,0)(81(log)(≠>-=aaaxf xaA．①②③④ B．①②④C．①③④ D．①③二填空题（共25分）11．函数f(x)＝2x＋b，点P(5,2)在函数f(x)的反函数f－1(x)的图象上，则b＝________.12.函数212()log(23)f x x x=-++的单调递增区间为：_______13.设()f x是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x=2(1)x x-，5()2f-=_____.14.曲线y＝13x3＋x在点⎝⎛⎭⎪⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为________15.已知函数f(x)满足f(x＋1)＝1f x，且f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k有四个零点，则实数k的取值范围是________．三解答题（共75分）16．(本小题满分12分)计算：（1）021)51(1212)4(2---+-+-（2）91log161log25log532∙∙17.（12分）已知集合{}73|<≤=xxA,{}102|<<=xxB,{}axaxC<<-=5|. （1）求BA ,()A BRð;（2）若()BAC⊆,求a的取值范围.18．（本小题满分12分）已知函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数，且满足()()()(),31f xy f x f y f =+=(1)求()()9,27f f 的值 (2)解不等式()()82f x f x +-<19. （本小题满分12分）已知p:113x --≤2,q:x 2-2x+1-m 2≤0(m>0).若¬p 是¬q 的充分不必要条件,求实数m 的取值范围.20.．(本小题满分13分) 已知定义域为R 的函数ab x f x x+-=22)(是奇函数.(1)求b a ,的值; (2)用定义证明)(x f 在()+∞∞-,上为.(3)若对于任意R t ∈,不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立,求k 的范围.21. (本小题满分14分)已知f (x )＝ln x ＋x 2－bx .(1)若函数f (x )在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；(2)当b ＝－1时，设g (x )＝f (x )－2x 2，求证函数g (x )只有一个零点．三台中学2014届高三第一次答案一选择题：1——5 BDACB 6-----10 DAAAC9. 由函数f(x),g(x)的图像可知，f(x),g(x)分别是偶函数，奇函数，则f(x)g(x)是奇函数，可排除B ，又∵函数()()y f x g x =⋅的定义域是函数()y f x =与()y g x =的定义域的交集(,0)(0,)-∞+∞ ，图像不经过坐标原点，故可以排除C 、D ，故选A10 ① f （x ）=x 2（x ≥0），存在“倍值区间”[0，2]；②f （x ）=e x （x ∈R ），构建函数g （x ）=e x -2x ，∴g ′（x ）=e x-2， ∴函数在（-∞，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增， ∴函数在x=ln2处取得极小值，且为最小值．∵g （ln2）=2-2ln2＞0，∴g （x ）＞0恒成立，∴e x-2x=0无解，故函数不存在“倍值区间”； ③)0(14)(2≥+=x x xx f倍值区间为[0，1]； ④)1,0)(81(log )(≠>-=a a a x f x a ，1()log ()28x a f x a x =-=等价于：2108x x a a -+=存在两个不等的根，故存在“倍值区间”二填空题：11:：1 12： （-1,1） 13 12-14 1915 (0，14]15：∵f (x ＋1)＝1f x ，∴f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期为2的周期函数，当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]， ∴f (－x )＝－x ，又f (x )为偶函数，∴f (x )＝－x ， 当x ∈[1,2]时，x －2∈[－1,0]，∴f (x －2)＝－x ＋2， ∴f (x )＝－x ＋2， 同理当x ∈[2,3]时，f (x )＝x －2，∴在区间[－1,3]上f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1≤x <0x 0≤x <1－x ＋2 1≤x <2x －2 2≤x ≤3，∵g (x )在[－1,3]内有四个零点，∴f (x )与y ＝kx ＋k 的图象在[－1,3]内有四个交点，∵y ＝kx ＋k 过定点A (－1，0)，又B (3,1)，k AB ＝14，∴0<k ≤14.三解答题：16解： （Ⅰ）原式=112121221--++-=112222121-+++--=22221+⋅-=2222=+ (6)（Ⅱ）原式=2543223log 2log 5log --∙∙=165lg 3lg )2(3lg 2lg )4(2lg 5lg 2=-∙-∙ (6)17、解：（1）{}102|<<=x x B A , 因为{}|37A x x x =<≥R 或ð, 所以(){}|23710A B x x x =<<≤<R 或ð………………………………………4 （2）由（1）知{}102|<<=x x B A ,①当C =φ时,满足()B A C ⊆,此时a a ≥-5,得25≤a ; ………………………8 ②当C ≠φ时,要()B A C ⊆,则⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-<-，，，10255a a a a 解得325≤<a . 由①②得,3≤a .…………………………………………………………………………………………….12 18（1）()()()()()()9332,27933f f f f f f =+==+= …………………4 （2）()()()()889f x f x f x x f +-=-<⎡⎤⎣⎦ 而函数f(x)是定义在()0,+∞上为增函数8089(8)9x x x x x >⎧⎪∴->⇒<<⎨⎪-<⎩即原不等式的解集为(8,9) (12)19.解:由113x --≤2,得-2≤x ≤10. “¬p ”:A={x|x>10或x<-2}……………………………………………………3 由x 2-2x+1-m 2≤0,得1-m ≤x ≤1+m(m>0) (6)∴“¬q ”:B={x|x>1+m 或x<1-m,m>0}. ∵¬p 是¬q 的充分而不必要条件,∴A B.结合数轴有0,110,12,m m m >⎧⎪+⎨⎪--⎩≤≥解得0<m ≤3 (12)20解：（1）.1,0)0(,R )(==∴b f x f 上的奇函数为.1),1()1(=-=-a f f 得又 经检验1,1==b a 符合题意 (3)(2)任取2121,,x x R x x <∈且)12)(12()12)(21()12)(21(12211221)()(211221221121-------=-----=-x x x x x x x x x x x f x f =)12)(12()22(22112++-x x x x.R )(,0)()(0)12)(12(,022,21212121上的减函数为又x f x f x f x x x x x x ∴>-∴>++∴>-∴< (8)(3) R t ∈,不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立, )2()2(22k t f t t f --<-∴ )(x f ∴为奇函数, )2()2(22t k f t t f -<-∴)(x f ∴为减函数, .2222t k t t ->-∴即t t k 232-<恒成立,而.3131)31(32322-≥--=-t t t .31-<∴k …………13 21.(1)∵f (x )在(0，＋∞)上递增，∴f ′(x )＝1x＋2x －b ≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立， (2)即b ≤1x＋2x 对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴只需b ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋2x min (x >0)， (4)∵x >0，∴1x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝22时取“＝”，∴b ≤22，∴b 的取值范围为(－∞，22]．…………………………………………………6 (2)当b ＝－1时，g (x )＝f (x )－2x 2＝ln x －x 2＋x ，其定义域是(0，＋∞)， ∴g ′(x )＝1x－2x ＋1＝－2x 2－x －1x ＝－x －12x ＋1x， (9)令g ′(x )＝0，即－2x ＋1x －1x＝0，∵x>0，∴x＝1，当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0，∴函数g(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减， (12)∴当x≠1时，g(x)<g(1)，即g(x)<0，当x＝1时，g(x)＝0.∴函数g(x)只有一个零点． (14)。
江西省南昌三中2014届高三8月第一次月考数学(文)试题 Word版含答案
南昌三中2013—2014学年度上学期第一次月考高三数学（文）试卷一、选择题：（每题5分，共50分）1.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为（ ）(A)6 (B)5 (C)4 (D)3 2.命题“对任意x R∈,都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x R ∈,都有20x < B ．不存在x R ∈,都有20x < C ．存在0x R ∈,使得200x ≥ D ．存在0x R ∈,使得200x <3.已知i 是虚数单位,则=-+-)2)(1(i i（ ）A ．i +-3B ．i 31+-C ．i 33+-D ．i +-14.函数y=ln(1-x)的定义域为（ ）A ．（0,1） B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]5.给定两个命题p ,q .若p ⌝是q 的必要而不充分条件,则p 是q ⌝的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D . 既不充分也不必要条件 6.已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（ ）A ．9B ．6C ．-9D ．-67.已知sin2α=23,则cos 2(α+4p )=（ ） A ．61 B ．31 C ．21 D ．32 8.已知函数)(x f 为奇函数,且当0>x 时,xx x f 1)(2+=,则=-)1(f（ ） A ．2B ．1C ．0D ．-29sincos 23αα==若 （ ） A ．23-B ．13-C ．13D ．2310.已知a 、b 是单位向量,0=⋅b a .若向量c 满足|b a c --|=1,则|c |的最小值为 （ ）A 1BC 1+D 2+二、填空题：（每题5分，共25分）11.函数2sin 2y x x =+的最小正周期T 为 ；16．定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=.若当01x ≤≤时.()(1)f x x x =-,则当 10x -≤≤时,()f x =________________.13.设x x x f 3cos 3sin 3)(+=，若对任意实数x 都有|)(x f |≤a ,则实数a 的取值范围是 14. 在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b >且 则B = ；15.设1e 、2e 为单位向量,非零向量21e y e x +=,x 、y ∈R.若1e 、2e 的夹角为6π,||b 的最大值等于 _______.三、解答题：(共75分)16. （本题满分12分）已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，若A ÍB ，求实数a 的范围．17.（本题满分12分）已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x. ①求f(x);②求f(x)在区间[-1，1]上的最大值和最小值.18.（本题满分12分）已知(cos ,sin ),(cos ,sin ),(1,0)a b c ααββ===.（1）若23a b ⋅= ，记θβα=-，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+-θπθ2sin sin 2的值；（2）若2παk ≠，()Z k k ∈≠πβ，且a ∥()b c + ，求证：2tan tan βα=.19. （本题满分12分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且113.a b a c a b c+=++++ （1）求角A 的大小；（2）若12c a b =+=求b 的值。
数学理卷·2014届安徽省望江中学高三上学期第五次月考(2013.12)
2014届望江中学高三第五次月考数学试题卷（理科）2013-12-21时间：120分钟满分：150分命题人：李玉明审题人：周涛本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分考查内容为：集合、简易逻辑；函数与导数；三角函数；平面向量；数列；不等式。
注意事项：1.考生在答题前，请务必将自己的姓名、班级、座位号号等信息填在答题卡上．2.选择题每小题选出答案后填在答题卷上，答在试卷上无效．3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卷上每题对应的答题区域内. 答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题，共50分）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5. 在函数y＝f(x)的图象上有点列(x n，y n)，若数列{x n}是等差数列，数列{y n}是等比数列，则函数y＝f(x)的解析式可能为（）A． f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝4x2 C．f(x)＝log3x D． f(x)＝x6. 已知一元二次不等式()<0f x 的解集为则(10)>0x f 的解集为（ ）A ．{}|<-1>lg2x x x 或 B ．{}|-1<<lg2x x C ．{}|<-lg2x x D ．{}|>-lg2x x8. 已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φx ∈R 恒成立，且）9．已知向量a 、b 满足||1,()(2)0a a b a b =+⋅-= ，则||b的取值范围为（ ）A ．[1,2]B ．[2,4]C 10．函数()fx 的定义域为D,若对于任意12,x x D ∈,当12x x <时都有12()()f xf x ≤,则称函数()f x 在D 上为非减函数,设函数()f x 在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件:①(0)0f =;(1)1()f x f x -=-, 于（ ）A ．1 DⅡ卷 非选择题 （共100分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）11．在ABC ∆中，若，则BC 边上的高等于 .12.设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = x y 2-的最小值为 ； 13.已知数列{},22*∈+=N n n n S S n a nn n ，，且项和为的前数列{},3log 42+=n nn b a b 满足*∈N n ，则.__________=n b ；14.已知sin x +sin y ，则x y 2cos sin -的取值范围为 ；15.三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16. （本小题12分）已知二次函数2()4f x ax x c =-+,且()0f x <的解集是（1-，5）．(l)求实数a ，c 的值；(2)求函数()f x 在[]0,3x ∈上的值域．17. （本小题12分） 的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式； ，求αcos 的值．18. （本小题12分） 已知函数()ln f x x x =.(l)求()f x 的单调区间和极值；(2)m 的最大值．19. （本小题13分）已知集合，A B ≠∅ ,求实数m 的取值范围?20. （本小题13分）如图，山顶有一座石塔BC ，已知石塔的高度为a .（Ⅰ）若以,B C 为观测点，在塔顶B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A处的俯角为β，用,,a αβ表示山的高度h ；（Ⅱ）若将观测点选在地面的直线AD 上，其中D 是塔顶B 在地面上的射影. 已知石塔高度20a =,当观测点E 在AD 上满足时看BC 的视角(即BEC ∠)最大，求山的高度h .21. （本小题13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值;(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,第20题2014届望江中学高三第五次月考数学试题卷（理科）参考答案一 、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCBADCBCDB二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）13. 12-n 14. 15. 4三、解答题：（本大题共6小题；共75分）16. 解：（1）由()0f x <，得：240ax x c -+<，不等式240ax x c -+<的解集是()1,5-， 故方程240ax x c -+=的两根是1215x x ==-，， …………………3分， 所以1,5a c ==- …………………6分（2）由（1）知， ()224529f x x x x ==﹣﹣（﹣）﹣． ∵x∈[0，3]， )(x f 在[0，2]上为减函数，在[2，3]上为增函数． ∴当x=2时， )(x f 取得最小值为f （2）=﹣9． 而当x=0时， 200295f ==（）（﹣）﹣﹣，当x=3时， 233298f ==（）（﹣）﹣﹣ ∴)(x f 在[0，3]上取得最大值为05f =（）﹣∴函数)(x f 在x ∈[0，3]上的值域为[﹣9，﹣5]． ………………………12分17. 解：(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2，∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，故函数f(x)的解析式为y ＝2sin(2x －π6)＋1. 6分(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ∵0<α<π，∴－π<α－π<π,分18.解 （1)()ln f x x x =()'ln 1f x x ∴=+()'0f x ∴> 有，∴函数()f x 在 …………………..3分()'0f x < 有，∴函数()f x 在 …………………..5分∴ ()f x 在…………………..6分(2) ()223f x x mx ≥-+-即22ln 3mx x x x ≤⋅++ ，又0x > (8)分………………….10分令()'0h x =，解得1x =或3x =- （舍）当()0,1x ∈时，()'0h x <，函数()h x 在()0,1上递减当()1,x ∈+∞时，()'0h x >，函数()h x 在()1,+∞上递增 ………………….11分()()max 14h x h ∴==即m的最大值为4 ………………….12分19. 解法一：问题等价于方程组{221y x mx y x =++=+在[0,2]上有解，即2(1)10x m x +-+=在[0,2]上有解，令2()(1)1f x x m x =+-+，则由(0)1f =知抛物线()y f x =过点(0,1)， ∴抛物线()y f x =在[0,2]上与x 轴有交点等价于2(2)22(1)10f m =+-+≤ ①②20.（1）在△ABC 中，BAC αβ∠=-,90BCA β∠=+,最大，从而BEC ∠最大，解得180h=21.∴ 又11a =,24a ∴=(2)∴ ① ∴当② 由① — ②,得 ()()112211n n n n S Sna n a n n -+-=---+1222n n n a S S -=- ()()1211n n n a na na n n +∴=---+∴数列公差为1的等差数列. ,当1n =时,上式显然成立. 2*,n a n n N ∴=∈(3)证明:由(2)知,2*,n a n n N =∈ ①当1n =时,∴原不等式成立. ②当2n =时,∴原不等式亦成立.③当3n ≥时。
安徽省六安2024-2025学年高三上学期第四次月考(11月)数学试题含答案
六安2025届高三年级第四次月考数学试卷（答案在最后）命题人：时间：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，下列命题不正确的是（）A.若m ∥,n m α⊥，则n α⊥B.若,m m αβ⊥⊥，则α∥βC.若,m m αβ⊥⊂，则αβ⊥D.若m ∥,n ααβ⋂=，则m ∥n【答案】D 【解析】【分析】利用空间线面位置关系逐项分析判断即可.【详解】若m ∥,n m α⊥，则n α⊥,故A 选项正确；由m α⊥，m β⊥，可以推出//αβ，故B 选项正确；由平面与平面垂直的判定定理可知，若,m m αβ⊥⊂，则αβ⊥，故C 选项正确；//m α，n αβ= ，则//m n 或,m n 异面，故D 不正确.故选：D.2.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 的中点，若PA a = ,PB b = ,PC c =，则用基底{},,a b c 表示向量BE为（）A.111222a b c →→→-+B.111222a b c →→→--C.131222a b c →→→-+ D.113222a b c →→→-+【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的加法、减法、数乘运算求解即可.【详解】连接BD ， E 为PD 的中点，111()()222BE BP BD PB BA BC =+=-++111111()()222222PB BA BC PB PA PB PC PB =-++=-+-+-311131222222PB PA PC a b c =-++=-+．故选：C ．3.某学校高二年级选择“物化生”，“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240，90和120.现采用分层抽样的方法选出30位同学进行某项调查研究，则“史地政”组合中选出的同学人数为（）A.8B.12C.16D.6【答案】A 【解析】【分析】根据分层抽样的定义列出式子，进行求解.【详解】由题意得，史地政”组合中选出的同学人数为12030824090120⨯=++.故选：A4.已知数列{}n a 的首项110,1n n a a a +==++，则8a =（）A.48B.80C.63D.65【答案】C 【解析】【分析】首先递推公式变形，结合等差数列的定义，即可求解.【详解】数列{}n a 的首项110,1n n a a a +==++，则：1111n n a a ++=++，整理得：)221=，所以：1=，1=（常数），所以数列是以1=为首项，1为公差的等差数列.()11n n=+-=，整理得：21na n=-（首项符合通项），则：21na n=-，所以：864163a=-=.故选：C5.已知等差数列{}n a满足131,3a a==，前n项和为nS，若12111nnTS S S=+⋯+，则与9T最接近的整数是（）A.5B.4C.2D.1【答案】C【解析】【分析】求出等差数列的前n项，然后由裂项相消法求得n T即可得9T，从而得出结论．【详解】设{}n a的公差为d，则3131122a ad--===，所以()()1(1)11211112,22nnS n n nS n n n nnn-=⎪+⎛⎫=+==-++⎝⎭，则912111111111992121,222311105 nnT TS S S n n n⎛⎫⎛⎫=+⋯+=-+-+⋯+-=-=⨯=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，则与9T最接近的整数是2.故选：C.6.已知数列{}n a满足*712,8,N2,8nna n na na n-⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪≤⎩，若对于任意*n∈N都有1n na a+>，则实数a的取值范围是（）A.1,12⎛⎫⎪⎝⎭B.113,220⎛⎫⎪⎝⎭C.13,120⎛⎫⎪⎝⎭D.31,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组求解即可.【详解】由对于任意*n∈N都有1n na a+>知，数列{}n a为递减数列，所以只需满足89102011392a a a a a a⎧-<⎪⎪<<⎨⎪⎪=>=-⎩，解得13120a <<，故选：C7.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是线段11A C 上一个动点，则下列结论正确的有（）A.不存在M 点使得异面直线BM 与AC 所成角为90B.存在M 点使得异面直线BM 与AC 所成角为30oC.存在M 点使得二面角M BD C --的平面角为45D.当1114A M AC =时，平面BDM 截正方体所得的截面面积为92【答案】D 【解析】【分析】异面直线BM 与AC 所成的角可转化为直线BM 与11A C 所成角，由当M 为11A C 的中点时判断选项A ；当M 与1A 或1C 重合时，直线BM 与AC 所成的角最小判断选项B ；当M 与1C 重合时，二面角M BD C --的平面角最小判断选项C ；对于D ，由1114A M AC =，过M 作EF ∥11D B ，得到四边形EFBD 即为平面BDM 截正方体所得的截面判断.【详解】解：异面直线BM 与AC 所成的角可转化为直线BM 与11A C 所成角，如图所示：当M 为11A C 的中点时，11BM AC ⊥，此时BM 与AC 所成的角为90，所以A 错误；如图所示；当M 与1A 或1C 重合时，直线BM 与AC 所成的角最小，为60o ，所以B 错误；当M 与1C 重合时，二面角M BD C --的平面角最小，1tan 21C OC ∠=>，所以145∠>C OC o ，所以C 错误；对于D ，如图所示：过M 作EF ∥11D B ，交11A B 于F ，交11A D 于E 点，因为1114A M AC =，所以E F ､分别是1111A D A B ､的中点，又11B D ∥BD ，所以EF ∥DB ，四边形EFBD 即为平面BDM 截正方体所得的截面，因为11122EF D B ==，且22115BF DE BB B F ==+=所以四边形EFBD 是等腰梯形，作FG DB ⊥交BD 于G 点，所以()1,222BG BD EF FG =-===，所以梯形的面积为()1922BD EF FG +⨯=，所以D 正确.故选：D8.已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为，在该圆柱内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则a 的最大值为（）A.1B.2C. D.4【答案】D 【解析】【分析】先通过圆柱的轴截面为正方形，可得该圆柱的内切球半径，再去研究球的内接正四面体，从而转化为研究正四面体的外接球问题即可.【详解】因为圆柱的轴截面为正方形，母线长为，若该圆柱内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则该正四面体内接于该圆柱的内切球时，棱长a 最大，如图该正四面体P ABC -的棱长为a ，设点P 在面ABC 内的射影为H ，即PH ⊥面ABC ，则球心O 在PH 上，且OP OA ==，2cos3033AH AB a =⋅= ，所以3PH a ===，所以63OH PH OP a =-=在Rt OAH △中，222OA OH AH =+，即2226333a a ⎛⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭，整理可得：240a a -=，解得4a =或0a =（舍），所以a 的最大值为4，故选：D【点睛】方法点睛：要让正四面体在圆柱内任意转动起来，转化为这个正四面体在圆柱的内切球内，从而问题得解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法-商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n 层有n a 个球，从上往下n 层球的总数为n S ，则（）A.34S a =B.132n n n a a ++-=C.11n n a a n +-=+D.1055a =【答案】ACD 【解析】【分析】由已知题意，探索{}n a 递推规律，由规律得通项n a ，由此判断选项.【详解】由题意得，第n 层有n a 个球，121321,2,3,,a a a a a ==+=+ 11n n a a n +=++.即2123a =+=，31236a =++=，L ，()11232n n n a n +=+++⋅⋅⋅+=，因为3123413610,123410S a a a a =++=++==+++=，所以34S a =，A 正确；由11n n a a n +-=+，当2n =时，322332a a +-=≠，故B 错误，C 正确；由101011552a ⨯==，D 正确；故选：ACD.10.在边长为6的菱形ABCD 中，π3A ∠=，现将ABD △沿BD 折起到PBD △的位置，使得二面角P BD C --是锐角，则三棱锥P BCD -的外接球的表面积可以是（）A.58πB.45πC.48πD.55π【答案】AD 【解析】【分析】作出二面角的平面角，利用球的性质确定外接球球心位置，求出球的半径，再由角的范围得出半径的范围，即可求出外接球表面积的范围.【详解】如图，由菱形边长为6，π3A ∠=，可知,PDB CDB △△是边长为6的正三角形，取BD 的中点为M ，连接,PM CM ，则,PM BD CM BD ⊥⊥,所以PMC ∠是二面角P BD C --的平面角，设π02PMC θθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，外接球球心为O ，取,E F 分别为,PM CM 靠近M 的三等分点，连接,OE OF ,则EO ⊥平面PBD ，FO ⊥平面BCD ，连接,OC OM ，因为216233MC CF MC MF =⨯=====，所以在Rt OMF △中，tan2OF MF θ=，即tan 22OF MF θθ==，所以22222123tan 2R OC OF CF θ==+=+，由π02θ<<，可知π024θ<<，所以20tan 12θ<<，故21215R <<，所以()24πR 48π,60πS =∈.结合选项可知，AD 符合，BC 不符合.故选：AD11.对于棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计），下列说法正确的是（）A.底面半径为1m,高为1m 的圆锥形罩子（无底面）能够罩住水平放置的该正方体B.以该正方体同一顶点出发的三条棱作为圆锥的母线，则此圆锥的母线与底面所成角的正切值为2C.该正方体内能同时整体放入两个底面半径为0.5m,高为0.8m 的圆锥D.该正方体内能整体放入一个体积为33πm 17的圆锥【答案】BCD 【解析】【分析】选项A ，对照圆锥轴截面和正方体的表面，即可判断；选项B ，以1,,AB AA AD 三条棱作为圆锥母线，底面所在平面为平面1A BD ，等体积法求点A 到平面1A BD 的距离为，可求圆锥的母线与底面所成角的正切值；选项C ，过1AC 的中点P 作1AC 的垂线MN ，分别交11,AC A C 于点,M N ，计算,AP PM 的长度，判断能否放入两个圆锥；选项D ，计算以正方体的体对角线1AC 为圆锥的轴，1C 为圆锥顶点的最大圆锥体积即可，【详解】对于A ，圆锥和正方体高度相同，对照圆锥轴截面和正方体的表面，显然圆锥不可能罩住水平放置的该正方体，A不对；对于B ，如图，以1,,AB AA AD 三条棱作为圆锥母线，底面所在平面为平面1A BD ，等价于求AB 与平面1A BD 所成角的正切值，因为1,A A BD B AA D V V --=，所以1131111132232h ⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点A 到平面1A BD的距离为h ，则此圆锥的母线AB 与底面1A BD232=，B 正确；对于C ，如图，平面11AA C C 内，过1AC 的中点P 作1AC 的垂线MN ，分别交11,AC A C 于点,M N ，13AC =，30.82AP =>，1326tan 0.5224PM AP C AC ∠=⋅=⨯=>，以正方体的体对角线1AC 作为圆锥的轴，正方体内能同时整体放入两个底面半径为0.5m,高为0.8m 的圆锥，C正确；对于D ，以正方体的体对角线1AC 作为圆锥的轴，1C 为圆锥顶点，MN 为圆锥底面圆的直径时，该圆锥的体积为221116333ππππ33421617V PM C P ⎛=⨯⨯=⨯⨯=> ⎝⎭，D 正确.事实上，以正方体的体对角线1AC 作为轴，1C 为顶点的圆锥的体积最大值，显然底面圆心在线段AP 上（不含P 点），设AG x =，当G I 与MN （M 为AC 的四等分点）重合时，MP NP =，因此3204x <≤，因为1AGH AC C ∽△△，所以11AG AH GH AC AC CC ==，则1636,,3333AH x GH x C H x ===，圆锥体积()22113232ππ1,03934V x GH C H x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=-<≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()32209V x x x '=>在320,4⎛ ⎝⎦上恒成立，所以()V x 在0,4⎛ ⎝⎦上单调递增，体积的最大值为ππ41617V ⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭，D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：判断CD 选项的关键是以矩形11AA C C 的中心为圆锥底面圆圆心，体对角线1AC 作为轴，算出圆锥的底面半径和最大高度，对结论时行判断.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一组数据1，2，0，1-，x ，1的平均数是1，则这组数据的中位数为______.【答案】1【解析】【分析】由平均数的公式求得x ，根据中位数的概念求出结果.【详解】这组数据的平均数为1，有()11201116x ++-++=，可求得3x =.将这组数据从小到大重新排列后，观察数据可知最中间的两个数是1与1，其平均数即中位数是(11)21+÷=.故答案为：1.13.已知四棱锥,A EBCD AE -⊥平面BCDE ，底面EBCD 是E ∠为直角，EB ∥DC 的直角梯形，如图所示，且224,CD EB AE DE ====，点F 为AD 的中点，则F 到直线BC 的距离为__________.【答案】2【解析】【分析】以E 为原点，建立空间直角坐标系，向量法求点到直线的距离.【详解】由题意知，AE ⊥平面BCDE ，,BE ED ⊂平面BCDE ，所以,AE BE AE ED ⊥⊥，又BE ED ⊥，故以E 为原点，,,EB ED EA 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，则()()()()0,0,2,2,0,0,4,3,0,0,3,0A B C D ，得()3,1F 所以()()2,23,0,2,3,1BC FB ==- ，记()13,,0,2,3,122BC c a FB BC ⎛⎫====- ⎪ ⎪⎝⎭ ，则4312a =++= ，31122a c ⋅=-=- ，所以F 到直线BC 的距离为22131||()842d a a c =-⋅=-= .故答案为：312.14.若在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,4AB BC AA ===.则四面体11ABB C 与四面体11A C BD 公共部分的体积为__________.【答案】43【解析】【分析】先判断出公共部分的位置，然后利用锥体体积公式来求得正确答案.【详解】记11111,,A D AD O A B AB E BO AC F ⋂=⋂=⋂=，由于1112OA AF BC FC ==，则F 为1AC 的第一个三等分点（靠近A ），连1EF EC ､，E 是1A B 的中点，由于B ∈平面11ABC D ，所以E 到平面11ABC D 的距离E d 是1A 到平面11ABC D 的独立1A d 的一半，则公共部分是三棱锥11111111,332E BFC BFC E BFC A E BFC V S d S d --=⨯=⨯ ，又112253BFC BAC S S == ，作11A H AD ⊥，垂足为H ，根据长方体的性质可知111111111,,,C D A H C D AD C D AD ⊥⋂⊂平面11ABC D ，所以1A H ⊥面11ABC D ，由等面积法可得111242522A H ⨯⨯=⨯⨯，所以1145A d A H ==，故14251143532E BFC V -⨯⨯==⨯.故答案为：43【点睛】方法点睛：几何图形的公共部分和体积计算：通过分析两个几何体公共部分的几何位置，逐步构造关键点，利用三角形面积和锥体体积公式，最终得出公共部分的体积，此方法清晰有效，能充分展示逻辑推理与代数运算等解题技巧.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.设三角形ABC 的内角A B C ､､的对边分别为,,a b c 且()2sin 23sin2A B C +=.（1）求角A 的大小；（2）若3,b BC =332ABC 的周长.【答案】（1）π3A =（2）9【解析】【分析】（1）利用三角形内角和的关系以及二倍角的余弦公式，并由辅助角计算可得结果；还可以根据二倍角的正弦公式求出正切值计算；（2）由三角形面积公式代入计算可得3a b c ===，求出周长.【小问1详解】因为,,A B C 为三角形ABC 的内角，所以()sin sin B C A +=，因为21cos sin 22A A -=，所以()2sin 2A B C +=可化为)sin 1cos A A =-，即sin A A +=πsin 32A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又易知ππ4π,333A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，解得π2π33A +=，即π3A =.【小问2详解】由三角形面积公式得11sin ,322bc A b ==，代入得：1π13sin 232c ⨯=⨯，所以a c =，故ABC V 为正三角形，3a b c ===，周长等于9.16.已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和为3nn S b =+.（1）求1,b a 的值；（2）设221,1,2,3,n n c a n n =+-= ，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）11,2b a =-=（2）()23914n n -+【解析】【分析】（1）根据等比数列中,n n a S 的关系可得解；（2）根据分组求和，利用等比数列、等差数列求和公式得解.【小问1详解】当2n ≥时，1123n n n n a S S --=-=⨯，因为{}n a 是等比数列，所以12a =，又因为113a S b ==+，所以1b =-.【小问2详解】由（1）知123n n a -=⨯，因为26a =，且222 9n na a +=，所以{}2n a 是以6为首项，9为公比的等比数列，()()2421321n n T a a a n ⎡⎤=+++++++-⎣⎦()29123691.9124n n n n n -⋅=⨯+=-+-17.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，112,AC BC AB AB ===⊥平面ABC ，1,AC AC D ⊥点是AC 的中点（1）证明：11AC B C ⊥；（2）求1A D 与平面11BB C C 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）sin 34θ=【解析】【分析】（1）先根据线面垂直性质得出1AC AB ⊥，再应用线面垂直判定定理得出AC ⊥平面11AB C ，进而得出线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，应用线面角求解即可；先根据等体积求出M 到平面11BB C C 距离，再应用线面角的定义进而得出线面角的正弦值.【小问1详解】由题意，1AB ⊥平面,ABC AC ⊂平面ABC ，所以1AC AB ⊥，又1AC AC ⊥，且11AB AC ⊂､平面1111,AB C AB AC A ⋂=，所以AC ⊥平面11AB C ，因为11B C ⊂平面11AB C ，所以11AC B C ⊥.【小问2详解】法一：由（1）知11AC B C ⊥，又BC //11B C ，所以AC BC ⊥，以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0C B B A ，0,1,0，所以()()()12,0,0,2,2,2,0,1,0CB BB DA ==-= ，()()()1110,1,02,2,22,3,2DA DA AA DA BB =+=+=+-=- ，设平面11BB C C 的法向量为 =s s ，则1202220n CB x n BB x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，所以 =0,1,−1，从而111cos ,34DA n DA n DA n⋅==⋅ ，故直线1A D 与平面11BB C C 所成角的正弦值为34.法二：取11C A 中点M ，则CM //1A D ，CM =1A D ，记CM 与平面11BB C C 所成角为θ，则1111112sin A CC B B M CC B Bd d CM CMθ--==，因为1,BC AC AB ⊥⊥平面ABC ，所以111,,,AB BC AC AB A AC AB ⊥⋂=⊂平面1AB C ,所以BC ⊥平面11,AB C CB ⊂平面1AB C ,所以1BC CB ⊥,1ACB中，1CB ==,所以111111*********,222B C C A B C S B C CB S =⨯=⨯⨯==⨯⨯=由111111A B C C C A B C V V --=，知1111111111133B C C A CC B B A B C S d S AB -⋅=⋅，即1112222A CC B B d -⋅=⨯解得1112A CC B B d -=，过M 做AC 垂线交C 的延长线垂足为H ,122,3MH C A CH ===又2223817CM CH MH =+=+=，所以34sin 34θ=18.如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥,8,4,60BC AD BC DAB ∠=== ，点,E F 在以AD 为直径的半圆上，且 AE EFFD ==，将半圆沿AD 翻折如图2.（1）求证：EF ∥平面ABCD ；（2）当多面体ABE DCF -的体积为32时，求平面ABE 与平面CDF 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）15【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理来求得正确答案.（2）利用几何法，或建立空间直角坐标系，利用向量法来求得平面ABE 与平面CDF 夹角的余弦值.【小问1详解】设O 是AD 的中点，连,,,,,,OB OC OE OF AE EF FD ，依题意，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥,8,4,60BC AD BC DAB ∠=== ，点,E F 在以AD 为直径的半圆上，且 AE EFFD ==，由等边三角形可知A B C D F E ､､､､､分布在同一个圆周上，且AE EF FD DC CB BA =====，则六边形ABCDFE 为正六边形，EF ∴//AD ∥,BC EF ⊄面,⊂ABCD BC 面,ABCD EF ∴∥ABCD .【小问2详解】在图1中连EB 交AD 于1O ，则AD EB ⊥，连FC 交AD 于2O ，则AD FC ⊥，故在图2中，1111111,,,,AD O E AD O B O E O B O O E O B ⊥⊥⋂=⊂平面1EOB ，所以AD ⊥平面1EO B ，同理可证得AD ⊥平面2FO C ，记面ABE 与面CDF 所成角为θ，则1212,6sin EO B FO C EO B FO C S S ∠∠θθ==== ，1221ABE DCF EO B FO C D FO CA EOB V V V V ----=++锥112121132sin 3233EO B EO B FO C S AO S EF S DO θ=⨯+⨯+⨯== ，故πsin 1,2θθ==，即面AEFD ⊥面ABCD .法一（几何法）：延长AB DC ､交于,Q 延长AE DF ､交于,P 则PQ 为面ABE 与面CDF 交线且8,8AP AQ PD QD ====，取PQ 中点M ，连接AM DM ､，则,AM PQ DM PQ ⊥⊥，则AMD ∠即为面ABE 与面CDF 所成角.在AMD中，8AM DM AD ===，故281cos 5AMD +-∠==，故面ABE 与面CDF 所成角的余弦值为15.法二（坐标法）：以1O 为坐标原点，111,,O B O D O E 所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()(()()(0,2,0,,0,0,,4,0,0,6,0,0,4,2A B E C D F-，()(2,0,0,2,AB AE ==，有2020AB n y AE n y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1,x =得()1,n = ，同理可得面CDF 法向量()m = ，设面ABE 与面CDF 所成角为α，故1cos 5m n m n α⋅==⋅ .19.若存在非零常数t ，使得数列{}n a 满足()11231,n n a a a a a t n n +-=≥∈N ，则称数列{}n a 为“()H t 数列”.（1）判断数列：1,3,5,11,152是否为“()2H 数列”，并说明理由；（2）若数列{}n a 是首项为1的“()H t 数列”，数列{}n b 是等比数列，且{}n a 与{}n b 满足212321log n i n n i aa a a ab ==+∑ ，求t 的值和数列{}n b 的通项公式；（3）若数列{}n a 是“()H t 数列”，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11,0a t >>，证明：1e nS n n n t S S -+>--【答案】（1）不是，理由见解析（2）1t =-，12n n b -=.（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由“()H t 数列”定义验证即可；（2）由题可得212321111log n n n i n i aa a a a ab +=++=+∑ ，与212321log ni n n i a a a a a b ==+∑ 相减结合“()H t 数列”定义可得关于t 的方程，即可得答案；（3）要证1e n S n n n t S S -+>--等价于12e n S n n a a a -< ，即1212ln ln ln n n a a a a a a n +++<+++- ，构造函数()ln 1f x x x =-+，利用其单调性可证明结论.【小问1详解】根据“()H t 数列”的定义，则2t =，故11232n n a a a a a +-= ，因为212a a -=成立，3212a a a -=成立，43211113542a a a a -=-⨯⨯=-≠不成立，所以1,3,5,11,152不是“()2H 数列”.【小问2详解】由{}n a 是首项为1的“()H t 数列”，则231,21a t a t =+=+，由{}n b 是等比数列，设公比为q ，由212321log n i n n i aa a a ab ==+∑ ，则212321111log n n n i n i a a a a a a b +=++=+∑ .两式作差可得()2112312121log log n n n n n a a a a a a b b +++=-+- ，即()21123121log n n n a a a a a a q ++=-+ ，由{}n a 是“()H t 数列”，则1231n n a a a a t a +-= ，对于1,n n ≥∈N 恒成立，所以()()211121log n n n a a t a q +++=--+，即()12121log log n n n t a t b b +++=+-对于1,n n ≥∈N 恒成立，则()()22321log 1log t a t q t a t q ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，即()()222(1)log 121log t t q t t t q ⎧+-=⎪⎨++-=⎪⎩，因为0t ≠解得，1,2t q =-=，又由2111211,log a a a b ==+，则11b =，即12n n b -=，故所求的1t =-，数列{}n b 的通项公式12n n b -=.【小问3详解】设函数()ln 1f x x x =-+，则()11f x x'=-，令()0f x '=，解得1x =，当1x >时，()0f x '<，则()ln 1f x x x =-+在区间()1,∞+单调递减，且()1ln1110f =-+=，又由{}n a 是“()H t 数列”，即1231n n a a a a t a +-= ，对于1,n n ≥∈N 恒成立，因为11,0a t >>，则211a t a =+>，再结合121,0,1a t a >>>，反复利用1231n n a a a a t a +=+ ，可得对于任意的1,,1n n n a ≥∈>N ，则()()10n f a f <=，即ln 10n n a a -+<，则ln 1n n a a <-，即1122ln 1,ln 1,,ln 1n n a a a a a a <-<-⋯<-，相加可得1212ln ln ln n n a a a a a a n +++<+++- ，则()12ln n n a a a S n <- ，又因为ln y x =在()0,x ∞∈+上单调递增，所以12e n S n n a a a -< ，又1231n n a a a a t a +-= ，所以1e n S n n a t -+-<，即1e n S n n n S S t -+--<，故1e n S n n n t S S -+>--.【点睛】关键点点睛：本题第三问解题关键为理解“()H t 数列”的定义，通过构造函数()ln 1f x x x =-+利用单调性来证明ln 10n n a a -+<，进而得到()12ln n n a a a S n <- ，得证.。
安徽省涡阳四中2014届高三第八次月考数学(理)试题(扫描版)
2014届第八次月考数学试卷参考答案（理科）10．A ∵f ′(x )＝1x －14－34x 2＝－（x －1）（x －3）4x 2，x ∈(0，＋∞)， ∴当x ∈(0，1)时， f ′(x )<0；当x ∈(1，2)时，f ′(x )>0.∴函数f (x )在(0，1)上递减，在(1，2)上递增，∴f (x )在(0，2)上的最小值f (x )min ＝f (1)＝－12. ∵g (x )＝(12)x －m 在(0，2)上单调递减，∴14－m ＝g (2)<g (x )<g (0)＝1－m ， ∴P ＝{m |f (x )min ≥g (x )max }＝{m |－12≥1－m }＝{m |m ≥32}， Q ＝{m |f (x )min >g (x )min }＝{m |－12>14－m }＝{m |m >34}， ∴P ⊆Q .11．{x |1＜x ≤2} ∵log 12(x －1)≥0，∴0＜x －1≤1，解得1＜x ≤2，∴函数f (x )的定义域是{x |1＜x ≤2}．12．44 由三视图可知该几何体是一个长、宽、高分别为6、4、1的长方体和一个底面积为12×4×5、高为2的三棱柱组合而成，其体积V ＝1×4×6＋12×4×5×2＝44（cm 3）.13．43 将ρsin(θ＋π4)＝2化成直角坐标系下的方程为x ＋y ＝22，将ρ＝4化为标准方程为x 2＋y 2＝16，根据直线与圆相交，圆心到直线的距离为2，所截的弦长为d ＝242－22＝4 3.14．8 先做⎩⎨⎧y ≥1，y ≤2x －1的区域如图可知在三角形ABC 区域内，由z ＝x －y 得y ＝x －z 可知，直线的截距最大时，z 取得最小值，此时直线为y ＝x －(－2)＝x ＋2，作出直线y ＝x ＋2，交y ＝2x －1于A 点，由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线x ＋y ＝m 也过A 点，由⎩⎨⎧y ＝2x －1y ＝x ＋2，得⎩⎨⎧x ＝3y ＝5，代入x ＋y ＝m 得，m ＝3＋5＝8.15．①③⑤ 依题意sinA ＋B 2cos A ＋B 2＝2sin A ＋B 2cos A ＋B 2，∵sin A ＋B 2≠0，∴2cos 2A ＋B 2＝1，∴cos(A ＋B )＝0，A ＋B ＝π2，C ＝π2，所以①正确；∵tan A ＝cos B ，∴tan A ＝sin A ，当A ＝0°时成立，显然不成立，②错误；sin 2A ＋cos 2B ＝2sin 2A ＝1，∴sin A ＝22，此时A ＝B ＝π4，③正确；令y ＝sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)，A ∈(0，π2)，此时y ∈(1，2]，④错误；易知⑤正确． 16．解：(1)f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2(12sin x ＋32cos x ) ＝2(cos π3sin x ＋sin π3cos x )＝2sin(x ＋π3)， ∵x ∈[0，π2]，∴x ＋π3∈[π3，5π6]， ∴当x ＋π3＝π2，即x ＝π6时，函数f (x )取得最大值．(6分) (2)由(1)知f (x )＝2sin(x ＋π3)，x ∈[0，π2]．设u ＝x ＋π3，∴u ∈[π3，5π6]，y ＝2sin u 的图像如图所示．∵f (x )-a ＝0有两个实数根，∴a ＝f (x )有两个实根，∴3≤a ＜2.(12分)17．解：(1)设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ，从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品，一共有C 38种不同的选法，选出的3种商品中，没有家电的选法有C 36种．所以，选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为P (A )＝1－C 36C 38＝914.(5分) (2)设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量X ，其所有可能的取值为0，m ，3m ，6m (单位：元)．X ＝0表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以P (X ＝0)＝(1－13)3＝827；同理，P (X ＝m )＝C 13×(1－13)2×13＝49；P (X ＝3m )＝C 23×(1－13)1×(13)2＝29；P (X ＝6m )＝C 33×(13)3＝127.顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是E (X )＝0×827＋m ×49＋3m ×29＋6m ×127＝43m . 由43m ≤100，解得m ≤75. 故m 最高定为75元，才能使促销方案对商场有利．(12分)18．(法一)(1)证明：如图一，连结AC 1与A 1C 交于点K ，连结DK .在△ABC 1中，D 、K 分别为AB 、AC 1的中点，∴DK ∥BC 1.(3分)又DK ⊂平面DCA 1，BC 1⊄平面DCA 1，∴BC 1∥平面DCA 1.5分(2)解：二面角D －CA 1－C 1与二面角D －CA 1－A 互补．如图二，作DG ⊥AC ，垂足为G ，又平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，∴DG ⊥平面ACC 1A 1.作GH ⊥CA 1，垂足为H ，连结DH ，则DH ⊥CA 1，∴∠DHG 为二面角D －CA 1－A 的平面角.(8分)设AB ＝BC ＝CA ＝AA 1＝2，在等边△ABC 中，D 为中点，∴AG ＝14AC ，在正方形ACC 1A 1中，GH ＝38AC 1， ∴DG ＝32，GH ＝38×22＝342，∴DH ＝304. ∴cos ∠DHG ＝GH DH ＝324304＝155.(11分) ∴所求二面角的余弦值为－155.(12分)图一 图二 图三(法二)(1)证明：如图三，以BC 的中点O 为原点建立直角坐标系O －xyz ，设AB ＝BC ＝CA ＝AA 1＝2.则A (0，0，3)，D (12，0，32)，B (1，0，0)，A 1(0，2，3)，C (－1，0，0)，B 1(1，2，0)，C 1(－1，2，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面DCA 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，又CD →＝(32，0，32)，CA 1→＝(1，2，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋z ＝0，x ＋2y ＋3z ＝0.令x ＝1，则z ＝－3，y ＝1， ∴n ＝(1，1，－3).(3分)∵BC 1→＝(－2，2，0)，∴n ·BC 1→＝－2＋2＋0＝0.又BC 1⊄平面DCA 1，∴BC 1∥平面DCA 1.( 5分)(2)解：设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面CA 1C 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CC 1→＝0，m ·CA 1→＝0.又CC 1→＝(0，2，0)，CA 1→＝(1，2，3)，∴⎩⎨⎧y 1＝0，x 1＋3z 1＝0.令z 1＝1，则x 1＝－3， ∴m ＝(－3，0，1).(8分)∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m|·|n |＝－2325＝－155.(11分) ∴所求二面角的余弦值为－155.(12分) 19．解：(1)f (x )＝x 2＋2x －4ln x (x ＞0)，f ′(x )＝2x ＋2－4x ＝2（x ＋2）（x －1）x， 当x ＞1时，f ′(x )＞0，当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，∴f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝3.(5分)(2)f ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2＋2x ＋a x， 若f (x )在(0，1)上单调递增，则2x 2＋2x ＋a ≥0在x ∈(0，1)上恒成立⇒a ≥－2x 2－2x 恒成立，令u ＝－2x 2－2x ，x ∈(0，1)，则u ＝－2(x ＋12)2＋12， ∴a ≥0.若f (x )在(0，1)上单调递减，则2x 2＋2x ＋a ≤0在x ∈(0，1)上恒成立⇒a ≤－2x 2－2x 恒成立， 故a ≤－4.综上，a 的取值范围是(－∞，－4]∪[0，＋∞)．(13分)20．解：(1)由已知得b ＝c ＝2，又∵a 2＝b 2＋c 2＝4，∴椭圆C 方程为x 24＋y 22＝1.(4分) (2)①当直线l 的斜率为0时，则k 1·k 2＝34－2×34＋2＝34；(6分) ②当直线l 的斜率不为0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋1， 将x ＝my ＋1代入x 24＋y 22＝1，整理得(m 2＋2)y 2＋2my －3＝0. 则y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2.(3分) 又x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1，所以k 1·k 2＝3－y 14－x 1·3－y 24－x 2＝（3－y 1）（3－y 2）（3－my 1）（3－my 2）＝9－3（y 1＋y 2）＋y 1y 29－3m （y 1＋y 2）＋m 2y 1y 2＝9－3×－2m m 2＋2＋－3m 2＋29－3m ·－2m m 2＋2＋m 2·－3m 2＋2＝3m 2＋2m ＋54m 2＋6＝34＋4m ＋18m 2＋12.(10分) 令t ＝4m ＋1，∵当k 1·k 2取最大值时，t ＞0，∴k 1·k 2＝34＋2t t 2－2t ＋25＝34＋2（t ＋25t）－2≤1. 所以当且仅当t ＝5，即m ＝1时，取等号．由①②得，直线的方程为x －y －1＝0.(13分)21．解：(1)∵a n －2a n －1＝2n (n ≥2)，∴ a n 2n －a n －12n －1＝1， 即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，∴b n ＝2＋n －1＝n ＋1，(2分)∴1b n b n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2， 即B n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2（n ＋2）.(3分) 由B n ≤λb n ＋1，知n 2（n ＋2）≤λ(n ＋2)，∴λ≥n 2（n ＋2）2对一切n ∈N *恒成立． 又n 2（n ＋2）2＝12（n ＋4n＋4）≤12×（4＋4）＝116，∴λ≥116， 即λ的最小值为116.(6分) (2)由(1)知a n ＝(n ＋1)2n ，∴c n ＝log a n n ＋12＝log 2n 2＝1n ，即C 3n －C n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n . 令f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ，则f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋13n ＋1＋13n ＋2＋13n ＋3， ∴f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋1＋13n ＋2＋13n ＋3－1n ＋1＝13n ＋1＋13n ＋2－23n ＋3＞13n ＋3＋13n ＋3－23n ＋3＝0， 即f (n ＋1)＞f (n )，∴数列{}f （n ）为递增数列．(11分)即当n ≥2且n ∈N *时，f (n )的最小值为f (2)＝13＋14＋15＋16＝1920. 据题意，m 20＜1920，即m ＜19.又m 为整数，故m 的最大值为18.(13分)。