参数方程的概念解答题(1)

1．椭圆中心在原点,焦点在x 轴上,椭圆上的一点到两个焦点的距离之和是6,
焦距是求椭圆的参数方程.
答案：
3cos (2sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩
为参数) 解答：
由题意,设椭圆的方程为22
221,x y a b
+=
，则3,a c ==∴2,b = ∴椭圆的普通方程为22221,32x y +=化为参数方程得3cos (2sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩
为参数). 可先根据题目条件求出椭圆的普通方程,然后化为参数方程.
2．选取适当参数,把直线方程23y x =+化为参数方程.
答案：
1,21?x t y t =-⎧⎨=+⎩
(t 为参数) 解答：
选,t x =则23,y t =+由此得直线的参数方程,? 23
x t y t =⎧⎨=+⎩(t 为参数). 也可选1,t x =+则21,y t =+参数方程为1,21x t y t =-⎧⎨=+⎩
(t 为参数). 3．已知直线l 过点()3,4P ,且它的倾斜角120θ︒=.
(1)写出直线l 的参数方程；
(2)求直线l 与直线10x y -+=的交点坐标.
答案：
(1) 13,24? x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
(t 为参数); (2) ()3,4.
解答：
(1)直线l 的参数方程为3cos1204sin120x t y t ︒︒⎧=+⎨=+⎩(t 为参数),
即13,24? x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数).
(2)
把13,24? x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
代入10,x y -+=
得13410,2t ---+=解得0t =. 把0t =
代入13,24? 2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
得两直线的交点坐标为()3,4.
4．已知直线l 的方程为，点()1,1P 在直线l 上，写出直线l 的参数方程，并求点P 到点()5,4M 和点()2,6N -的距离.
答案：
解答：
由直线方程3410x y -+=可知,直线的斜率为
34,设直线的倾斜角为α, 则334tan ,sin ,cos 455
ααα===. 又点()1,1P 在直线l 上,所以直线l 的参数方程为()41,531.5x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
为参数 因为354410⨯-⨯+=,所以点M 在直线l 上. 由4155
t +=,得5t =,即点P 到点M 的距离为5. 因为点N 不在直线l 上,故根据两点的距离公式, 可得
PN ==. 5．根据所给条件,把曲线的普通方程化为参数方程.
(1)22
12135
x y -
-+=, 1x θ=+.(θ为参数) (2)210,1x y x x t -+-==+.(t 为参数)
答案：
(1) ()1,2,
x y θθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数；
(2) ()21,
31,
x t t y t t =+⎧⎨=++⎩为参数. 解答：
(1)
将1x θ=+代入()
()
2212135x y --+=
得：2y θ=+.
∴()1,2,
x y θθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数
这就是所求的参数方程.
(2)将1x t =+代入210x y x -+-=得：
()2
21111y x x t t =+-=+++-
231t t =++ ∴()21,31,x t t y t t =+⎧⎨=++⎩
为参数 这就是所求的参数方程.
6．指出下列参数方程表示什么曲线？
①14cos 24sin x t y t =+⎧⎨=-+⎩
(t 为参数)； ②5cos 3sin x t y t =⎧⎨=⎩
(t 为参数). 答案：
①()()22
1216,x y -++=它表示以()1,2-为圆心,半径为4的圆； ②22
1,259
x y +=它表示中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆.
解答：
①()()22221216cos 16sin 16,x y t t -++=+=即()()22
1216,x y -++=它表示以()1,2-为圆心,半径为4的圆. ②22
22cos sin 1,53x y t t ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即221,259x y +=它表示中心在原点,焦点在x 轴上的椭
圆.
7．把下列参数方程化为普通方程,并判断方程所表示的曲线的类型.
(1)cos sin x a y b θθ
=⎧⎨=⎩(θ为参数,a,b 为常数,且0a b >>)； (2)sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩
(φ为参数, a,b 为正常数)； (3)2
22x pt y pt
⎧=⎨=⎩(t 为参数,p 为正常数). 答案： (1) 22
221,x y a b
+=这是一个长轴长为2a,短轴长为2b,中心在原点的椭圆; (2) 22
221,x y a b
-=这是一条双曲线; (3) 22,y px =这是一条抛物线
解答：
(1)由22
cos sin 1,θθ+=得22
221,x y a b += 这是一个长轴长为2a,短轴长为2b,中心在原点的椭圆.
(2)由已知sec ,tan ,x y a b ϕϕ=
= 由22sec 1tan ,ϕϕ=+有22
221,x y a b
-=这是一条双曲线. (3)由已知,2y t p =代入22x pt =得2
22,4y p x p
⋅= 即22,y px =这是一条抛物线.
8．已知参数方程()1,01,? x t sin t t y t cos t θθ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭≠⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩
①② (1)若t 为常数，θ为参数，方程所表示的曲线是什么？
(2)若θ为常数，t 为参数，方程所表示的曲线是什么？
答案：
(1) 在x 轴上[-2,2]的一段线段；
(2) 表示x 轴上以(-2，0)和(2，0)为端点的向左、向右的两条射线.
解答：
(1)当1t ≠±时，由①得sin 1x
t t
θ=+， 由②得cos 1y
t t
θ=-. ∴2222111x y t t t t +=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 它表示中心在原点，长轴长为12t t +，短轴长为12t t
-，焦点x 在轴上的椭圆. 当1t =±时，[]
0,2sin ,2,2y x x θ==±∈-,
它表示在x 轴上[-2,2]的一段线段. (2)当()2k k πθ≠
∈Z 时，由①得1sin x t t
θ=+. 由②得1cos y t t θ=-. 平方相减得22224sin cos x y θθ-=，即22
2214sin 4cos x y θθ
-=, 它表示中心在原点，实轴长为4sin θ，虚轴长为4cos θ,焦点在x 轴上的双曲线. 当()Z k k θπ=∈时，0x =，它表示y 轴； 当()Z 2k k πθπ=+∈时，10,y x t t ⎛⎫==±+ ⎪⎝⎭
. ∵12t t +≥(0t >时)或1
2t t +≤-(0t <时)， ∴2x ≥，∴方程为()
02y x =≥,它表示x 轴上以(-2，0)和(2，0)为端点的向左、向右的两条射线.
9．选取适当参数,把直线方程23y x =+化为参数方程.
答案： 121x t y t =-⎧⎨=+⎩
(t 为参数) 解答：
选,t x =则23,y t =+由此得直线的参数方程,? 23x t y t =⎧⎨=+⎩
(t 为参数). 也可选1,t x =+则21,y t =+参数方程为121
x t y t =-⎧⎨=+⎩(t 为参数). 10．连结原点O 和抛物线22y x =上的动点M ，延长OM 到P 点，使OM MP =,求P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线.
答案：
24x y =.
解答：
设()M x y 、为抛物线上的动点,()00P x y 、在抛物线的延长线上,且M 为线段OP 的中点,抛物线的参数方程为22,2,x t y t =⎧⎨
=⎩由中点坐标公式得02044x t y t =⎧⎨=⎩ 变形为20014
y x =,即24x y =. 表示的为抛物线.
11．设质点沿以原点为圆心,半径为2的圆做匀角速运动,角速度为
60πrad/s,试以时间t 为参
数,建立质点运动轨迹的参数方程.
答案： 2cos 602sin 60x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数,0t ≥) 解答：
如图,在运动开始时,质点位于点A 处,此时0,t =设动点(),,M x y 对应时刻,t
由图可知2cos ,,2sin .x y θθ=⎧⎨=⎩又60t πθ=(t 以s 为单位),
∴所求的参数方程为2cos 602sin 60x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数,0t ≥). 12．设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M ，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上点的纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴.
答案：
()()()8sin ,0281cos ,x t t t y t π⎧=-⎪≤≤⎨=-⎪⎩
解答：
轨迹曲线的参数方程为
()()()8sin ,0281cos ,
x t t t y t π⎧=-⎪≤≤⎨=-⎪⎩， 即t π=时,即8x π=时,y 有最大值16.
曲线的对称轴为8x π=.。