2016-2017学年四川省成都市彭州市五校联考高二(下)期中数学试卷(文科)
2016-2017学年四川省成都石室中学高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)
2016-2017学年四川省成都石室中学高二下学期期中考试数学（文）试题一、选择题1．复数11ii+-（i 为虚数单位）的虚部是（ ） A. 1 B. -1 C. i D. i -【答案】A【解析】由题意有：()1111i i i i i i-++==-- ， 据此可得复数11ii+-（i 为虚数单位）的虚部是1 . 本题选择A 选项.2．在极坐标系中，过点2,2π⎛⎫⎪⎝⎭且与极轴平行的直线方程是（ ） A. 2ρ= B. 2πθ= C. sin 2ρθ= D. cos 2ρθ=【答案】C 【解析】点2,2π⎛⎫⎪⎝⎭对应的直角坐标为()0,2，则直线的直角坐标方程为2y =，转化为极坐标方程： sin 2ρθ=.3．已知曲线()21a f x x =+在点()()1,1f 处切线的斜率为1，则实数a 的值为（ ）A.32 B. 32- C. 34- D. 43【答案】D【解析】求导函数可得()()222'1ax axf x x +=+函数在点(1,f (1))处切线的斜率为1， ∴f ′(1)=1， ∴341,43a a == . 本题选择D 选项.点睛：导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.4．已知点P 为抛物线24y x =-上的动点，设点P 到此抛物线的准线的距离为1d ，到直线40x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值是（ ）A.52 B. C. 2 D. 【答案】B【解析】点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离， 过焦点F 作直线x+y−4=0的垂线,此时d 1+d 2最小，∵F(−1,0),则12d d +==. 本题选择B 选项.5．一个几何体的三视图如图，则这个几何体的体积为（ ）A.(926π+ B.(826π+ C.(66π+ D.(86π+【答案】D【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个组合体，由一个底面半径为1和一个底面为边长为2故这个几何体的体积(8111223236V ππ+=⨯⨯⨯ 本题选择D 选项.6．若直线l 的参数方程为13{24x t y t=+=-（t 为参数），则直线l 倾斜角的余弦值为（ ）A. 35-B. 45-C. 35D. 45【答案】A【解析】由直线的参数方程可得倾斜角的正切值为： 4tan 3θ-=，该倾斜角为钝角，利用同角三角函数基本关系可求得直线l 倾斜角的余弦值为35- . 本题选择A 选项. 7．已知m ， n 为两条不同的直线， α， β为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ）（1）m α⊆，n α⊆， //m β， ////n βαβ⇒ （2）//n m ， n m αα⊥⇒⊥ （3）//αβ， m α⊆， //n m n β⊆⇒ （4）m α⊥，//m n n α⊥⇒A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】逐一考查所给的四个命题：(1)中，当m ∥n 时不满足//αβ,该说法错误；(2)中，直线垂直于平面内两条相交直线才能垂直于平面，该说法错误； (3)中，只有m,n 在同一个平面之内利用面面平行的判断定理才能证得该结论 (4)中，利用线面垂直的性质定理可知该结论正确. 本题选择B 选项.8．在满足极坐标和直角坐标互化条件下，极坐标方程222123cos 4sin ρθθ=+经过直角坐标系下的伸缩变换1'2{'x x y y==后，得到的曲线是（ ）A. 椭圆B. 双曲线C. 圆D. 直线 【答案】C【解析】∵极坐标方程即：3ρ2cos 2θ+4ρ2sin 2θ=12， ∴直角坐标方程为：3x 2+4y 2=12，即22143x y +=， ∴经过直角坐标系下的伸缩变换后， 得到的曲线方程为())22'2'1243x += ,即x ′2+y ′2=12，∴得到的曲线是圆。
2016-2017学年四川省成都市彭州市五校联考高二(下)期中物理试卷(解析版)
2016-2017学年四川省成都市彭州市五校联考高二（下）期中物理试卷一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一项符合题目要求，错选或不选得0分）1．（3分）下列说法正确的是（）A．麦克斯韦第一次用实验证实了电磁波的存在B．均匀变化的电场可以产生恒定的磁场C．用红外线照射时，大额钞票上用荧光物质印刷的文字会发出可见光D．使电磁波随各种信号而改变的技术叫做解调2．（3分）关于物理原理在技术上的应用，下列说法中正确的是（）A．雨后天空出现彩虹，是光的干涉现象B．激光全息照相是利用了激光相干性好的特性C．用双缝干涉测光波的波长时，若减小双缝间的距离，则同种光波的相邻明条纹间距将减小D．摄影机镜头镀膜增透是利用了光的衍射特性3．（3分）如图所示，电路中完全相同的三只灯泡a、b、c分别与电阻R、电感L、电容C 串联，然后再并联到220V、50Hz的交流电路上，三只灯泡亮度恰好相同．若保持交变电压不变，将交变电流的频率增大到100Hz，则三灯的亮度变化是（）A．三灯亮度不变B．三灯均变亮C．a不变、b变亮、c变暗D．a不变、b变暗、c变亮4．（3分）在如图甲、乙电路中，电阻R、电感线圈L的电阻和灯泡A的电阻均相等．关于灯泡的亮、暗变化情况，下列说法正确的是（）A．在电路甲中，闭合开关S瞬间，A灯将逐渐变亮B．在电路乙中，闭合开关S瞬间，A灯将逐渐变亮C．在电路甲中，断开开关S瞬间，A灯将先变得更亮，然后逐渐变暗D．在电路乙中，断开开关S瞬间，A灯将立即熄灭5．（3分）如图，圆环形导体线圈a平放在水平桌面上，在a的正上方固定一竖直螺线管b，二者轴线重合，螺线管与电源和滑动变阻器连接成如图所示的电路．若将滑动变阻器的滑片P向下滑动，下列表述正确的是（）A．线圈a中将产生俯视顺时针方向的感应电流B．穿过线圈a的磁通量变小C．线圈a有扩张的趋势D．线圈a对水平桌面的压力F N将增大6．（3分）如图所示．L1和L2是输电线，甲、乙是两个互感器，通过观测接在甲、乙中的电表读数，可以间接得到输电线两端电压和通过输电线的电流．若已知图中n1：n2＝100：1，n3：n4＝1：10，V表示数为220V，A表示数为l0A，则下列判断正确的是（）A．甲是电压互感器，输电线两端电压是2.2×104VB．乙是电压互感器，输电线两端电压是2.2×103VC．甲是电流互感器，通过输电线的电流是100AD．乙是电流互感器，通过输电线的电流是0.1A二、多项选择题（本题共6小题，每小题4分，共24分．有多项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错或不选得0分）7．（4分）在匀强磁场中，一矩形金属线框绕与磁感线垂直的转动轴匀速转动，如图甲所示．产生的交变电动势随时间变化的规律如图乙所示．则下列说法正确的是（）A．t＝0.01s时穿过线框的磁通量最小B．该交变电动势的有效值为22 VC．该交变电动势的瞬时值表达式为e＝22sin（100πt）VD．电动势瞬时值为22V时，线圈平面与中性面的夹角为30°8．（4分）如图，甲为一列沿x轴传播的简谐波在t＝0.1s时刻的波形。
2016-2017学年四川省成都市九校联考高三下学期期中数学试卷(文科)【解析版】
2016-2017学年四川省成都市九校联考高三（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜2}，集合B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）关于复数z＝，下列说法中正确的是（）A．|z|＝2B．z的虚部为﹣iC．z的共轭复数位于复平面的第三象限D．z•＝23．（5分）已知直线a，b和平面α，下列说法中正确的是（）A．若a∥α，b⊂α，则a∥bB．若a⊥α，b⊂α，则a⊥bC．若a，b与α所成的角相等，则a∥bD．若a∥α，b∥α，则a∥b4．（5分）某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，得到如下2×2的列联表：由公式K2＝，算得K2≈7.61附表：参照附表，以下结论正确是（）A．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”5．（5分）函数y＝ln cos x（）的图象是（）A．B．C．D．6．（5分）已知sin（α+）＝﹣，α∈（0，π），则cosα＝（）A．B．﹣C．D．﹣7．（5分）某程序框图如图所示，若t＝7，则输出的值为（）A．8B．6C．4D．28．（5分）在区间[0，4]上随机产生两个均匀随机数分别赋给a，b，则|a﹣b|≤1的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率为，则|PF|＝（）A．B．6C．8D．1610．（5分）若函数f（x）＝2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•＝（）A．﹣32B．﹣16C．16D．3211．（5分）三棱锥D﹣ABC及其正视图和侧视图如右图所示，且顶点A，B，C，D均在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．32πB．36πC．128πD．144π12．（5分）设函数f（x）＝lnx﹣ax2﹣bx，若x＝1是f（x）的极大值点，则a 的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）双曲线＝1的渐近线方程是．14．（5分）若x，y满足则z＝x+2y的最大值为．15．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，在[0，+∞）上单调增，且f（2）＝1，则满足f（x﹣1）＞1的x的取值范围是．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，＝sin C，c＝2，则a+b的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）若数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2a n+n．（1）求证：数列{a n﹣1}是等比数列；（2）设b n＝log2（1﹣a n），求数列{}的前n项和T n．18．（12分）在某次测试后，一位老师从本班48同学中随机抽取6位同学，他们的语文、历史成绩如表：（1）若规定语文成绩不低于90分为优秀，历史成绩不低于80分为优秀，以频率作概率，分别估计该班语文、历史成绩优秀的人数；（2）用上表数据画出散点图易发现历史成绩y与语文成绩x具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.1）．参考公式：回归直线方程是y＝bx+a，其中b＝，a＝﹣b．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝2，点E，F分别为AB和PD的中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求点F到平面PEC的距离．20．（12分）已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，圆C2：x2+y2＝2经过椭圆C1的焦点．（1）求C1的方程；（2）过点M（﹣1，0）的直线l与曲线C1，C2自上而下依次交于点A，B，C，D，若＝，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+（3﹣a）lnx，a∈R．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y+1＝0垂直，求a 的值；（2）设f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：f（x1）+f（x2）＞﹣5．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是（ϕ为参数）和（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C1和C2的极坐标方程；（2）射线OM：θ＝α与圆C1的交点分别为O、P，与圆C2的交点分别为O、Q，求|OP|•|OQ|的最大值．23．（10分）设函数f（x）＝|2x+2|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．2016-2017学年四川省成都市九校联考高三（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜2}，集合B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【解答】解：∵集合A＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故选：C．2．（5分）关于复数z＝，下列说法中正确的是（）A．|z|＝2B．z的虚部为﹣iC．z的共轭复数位于复平面的第三象限D．z•＝2【考点】A5：复数的运算．【解答】解：复数z＝＝＝﹣1﹣i，故|z|＝，z的虚部是﹣1，z•＝（﹣1﹣i）（﹣1+i）＝2，故选：D．3．（5分）已知直线a，b和平面α，下列说法中正确的是（）A．若a∥α，b⊂α，则a∥bB．若a⊥α，b⊂α，则a⊥bC．若a，b与α所成的角相等，则a∥bD．若a∥α，b∥α，则a∥b【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：对于A：若a∥α，b⊂α，则a∥b或a与b异面，故错误；对于B，利用线面垂直的性质，可知若a⊥α，b⊂α，则a⊥b，故正确；对于C，若a，b与α所成的角相等，则a与b相交、平行或异面，故错误；对于D，由a∥α，b∥α，则a，b之间的位置关系可以是相交，平行，异面，不一定平行，故本说法不正确．故选：B．4．（5分）某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，得到如下2×2的列联表：由公式K2＝，算得K2≈7.61附表：参照附表，以下结论正确是（）A．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【考点】BL：独立性检验．【解答】解：由题意知本题所给的观测值，K2≈7.61＞6.635，∴这个结论有0.010的机会出错，即有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”．故选：C．5．（5分）函数y＝ln cos x（）的图象是（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【解答】解：∵cos（﹣x）＝cos x，∴是偶函数，可排除B、D，由cos x≤1⇒ln cos x≤0排除C，故选：A．6．（5分）已知sin（α+）＝﹣，α∈（0，π），则cosα＝（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【解答】解：sin（α+）＝﹣＜0α∈（0，π），∈（，），∴∈（π，）cos（）＝．那么：cosα＝cos（）＝cos（）cos+sin（α+）sin＝．故选：D．7．（5分）某程序框图如图所示，若t＝7，则输出的值为（）A．8B．6C．4D．2【考点】EF：程序框图．【解答】解：当S＝0时，满足继续循环的条件，则S＝1，k＝8；当S＝1时，满足继续循环的条件，则S＝3，k＝6；当S＝3时，满足继续循环的条件，则S＝11，k＝4；不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，故选：C．8．（5分）在区间[0，4]上随机产生两个均匀随机数分别赋给a，b，则|a﹣b|≤1的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【解答】解：在区间[0，4]上随机产生两个均匀随机数分别赋给a，b，区域面积为16，则|a﹣b|≤1表示的区域面积为16﹣9＝7，∴所求概率为，故选：B．9．（5分）设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率为，则|PF|＝（）A．B．6C．8D．16【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：∵抛物线方程为y2＝8x，∴焦点F（2，0），准线l方程为x＝﹣2，∵直线AF的斜率为，直线AF的方程为y＝（x﹣2），由，可得A点坐标为（﹣2，4），∵P A⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为4，代入抛物线方程，得P点坐标为（6，4），∴|PF|＝|P A|＝6﹣（﹣2）＝8，故选：C．10．（5分）若函数f（x）＝2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•＝（）A．﹣32B．﹣16C．16D．32【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；H2：正弦函数的图象．【解答】解：由f（x）＝2sin（）＝0可得∴x＝6k﹣2，k∈Z∵﹣2＜x＜10∴x＝4即A（4，0）设B（x1，y1），C（x2，y2）∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点∴B，C两点关于A对称即x1+x2＝8，y1+y2＝0则（+）•＝（x1+x2，y1+y2）•（4，0）＝4（x1+x2）＝32故选：D．11．（5分）三棱锥D﹣ABC及其正视图和侧视图如右图所示，且顶点A，B，C，D均在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．32πB．36πC．128πD．144π【考点】L7：简单空间图形的三视图；LG：球的体积和表面积．【解答】解：由三视图可得：DC⊥平面ABC且底面△ABC为正三角形，如图所示，取AC中点F，连BF，则BF⊥AC，在Rt△BCF中，BF＝2，CF＝2，BC＝4，在Rt△BCD中，CD＝4，所以BD＝4．设球心到平面ABC的距离为d，因为DC⊥平面ABC，且底面△ABC为正三角形，所以d＝2，因为△ABC的外接圆的半径为2，所以由勾股定理可得R2＝d2+22＝8，则该三棱锥外接球的半径R＝2，所以三棱锥外接球的表面积是4πR2＝32π，故选：A．12．（5分）设函数f（x）＝lnx﹣ax2﹣bx，若x＝1是f（x）的极大值点，则a 的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＝﹣ax﹣b，由f'（1）＝0，得b＝1﹣a．所以f'（x）＝．①若a≥0，由f'（x）＝0，得x＝1．当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．所以x＝1是f（x）的极大值点．②若a＜0，由f'（x）＝0，得x＝1，或x＝﹣．因为x＝1是f（x）的极大值点，所以﹣＞1，解得﹣1＜a＜0．综合①②：a的取值范围是a＞﹣1．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）双曲线＝1的渐近线方程是y＝±2x．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：∵双曲线标准方程为＝1，其渐近线方程是＝0，整理得y＝±2x．故答案为y＝±2x．14．（5分）若x，y满足则z＝x+2y的最大值为2．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：由足约束条件作出可行域如图，由z＝x+2y，得y＝﹣+．要使z最大，则直线y＝﹣+的截距最大，由图可知，当直线y＝﹣+．过点A时截距最大．联立，解得，∴A（0，1），∴z＝x+2y的最大值为0+2×1＝2．故答案为：2．15．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，在[0，+∞）上单调增，且f（2）＝1，则满足f（x﹣1）＞1的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2）＝1，则f（x﹣1）＞1⇒f（|x﹣1|）＞f（2），又由函数f（x）在在[0，+∞）上单调增，则有|x﹣1|＞2，解可得x＜﹣1或x＞3，即x∈（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）则f（x﹣1）＞1的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）；故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，＝sin C，c＝2，则a+b的最大值为．【考点】HP：正弦定理．【解答】解：∵＝sin C，∴＝sin C＝2cos C，可得tan C＝．C∈（0，π），解得C＝．∴＝＝＝4．∴a＝4sin A，b＝4sin B．则a+b＝4sin A+4sin＝，∵A∈，∴（A+）∈，∴sin∈．∴a+b≤4，当A＝时取等号．故答案为：4．三、解答题（本大题共5小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）若数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2a n+n．（1）求证：数列{a n﹣1}是等比数列；（2）设b n＝log2（1﹣a n），求数列{}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和．【解答】（1）证明：当n＝1时，a1＝S1＝2a1+1，解得a1＝1．当n＞1时，由题意，S n﹣1＝2a n﹣1+（n﹣1），S n﹣S n﹣1＝（2a n+n）﹣[2a n﹣1+（n﹣1）]＝2a n﹣2a n﹣1+1，即a n＝2a n﹣1﹣1．∴a n﹣1＝2（a n﹣1﹣1），即，∴数列{a n﹣1}是首项为﹣2，公比为2的等比数列；（2）解：由（1），，∴，∴b n＝log2（1﹣a n）＝，＝．则．18．（12分）在某次测试后，一位老师从本班48同学中随机抽取6位同学，他们的语文、历史成绩如表：（1）若规定语文成绩不低于90分为优秀，历史成绩不低于80分为优秀，以频率作概率，分别估计该班语文、历史成绩优秀的人数；（2）用上表数据画出散点图易发现历史成绩y与语文成绩x具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.1）．参考公式：回归直线方程是y＝bx+a，其中b＝，a＝﹣b．【考点】BK：线性回归方程．【解答】解：（1）由表中数据，语文成绩为优秀的频率是＝，历史成绩为优秀的频率是＝，故该班语文成绩优秀的人数是48×＝24，历史成绩优秀的人数为48×＝16；…（4分）（2）由表中数据可得，＝×（60+70+74+90+94+110）＝83，＝×（58+63+75+79+81+88）＝74；…（6分）且（x i﹣）（y i﹣）＝1010，＝1678；…（9分）所以回归系数为b＝＝≈0.6，a＝74﹣0.6×83＝24.2；…（11分）所以y与x的线性回归方程为y＝0.6x+24.2．…（12分）19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝2，点E，F分别为AB和PD的中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求点F到平面PEC的距离．【考点】LS：直线与平面平行；MK：点、线、面间的距离计算．（1）证明：设PC的中点为Q，连接EQ，FQ，由题意，FQ∥DC且，【解答】AE∥CD且，故AE∥FQ且AE＝FQ，所以，四边形AEQF为平行四边形所以，AF∥EQ，且EQ⊂平面PEC，AF⊄平面AEC所以，AF∥平面PEC（6分）（2）解：由（1），点F到平面PEC的距离等于点A到平面PEC的距离，设为d．由条件易求，PE＝，PC＝2，EQ＝故，所以由V A﹣PEC ＝V P﹣AEC得，解得（12分）20．（12分）已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，圆C2：x2+y2＝2经过椭圆C1的焦点．（1）求C1的方程；（2）过点M（﹣1，0）的直线l与曲线C1，C2自上而下依次交于点A，B，C，D，若＝，求直线l的方程．【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．【解答】解：（1）由题意，，，解得，∴b＝＝2，∴C1的方程为；（2）设直线l的方程为x＝my﹣1，联立，消去x，得（2m2+3）y2﹣4my﹣10＝0．设A（x1，y1），D（x2，y2），则，联立，消去x，得（m2+1）y2﹣2my﹣1＝0．设B（x3，y3），C（x4，y4），则，∵＝，∴y3﹣y1＝y2﹣y4，从而y1+y2＝y3+y4，即，解得m＝0．∴直线l的方程为x＝﹣1．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+（3﹣a）lnx，a∈R．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y+1＝0垂直，求a 的值；（2）设f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：f（x1）+f（x2）＞﹣5．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：（1）∵f′（x）＝x﹣a+＝，∴k＝f′（1）＝4﹣2a，∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y+1＝0垂直，∴k＝﹣，∴4﹣2a＝﹣，解得a＝（2）由题意，x1，x2为f′（x）＝0的两根，∴，∴2＜a＜3，又∵x1+x2＝a，x1x2＝3﹣a，∴f（x1）+f（x2）＝（x12+x22）﹣a（x1+x2）+（3﹣a）lnx1x2，＝f（x）＝﹣a2+a﹣3+（3﹣a）ln（3﹣a），设h（a）＝﹣a2+a﹣3+（3﹣a）ln（3﹣a），a∈（2，3），则h′（a）＝﹣a﹣ln（3﹣a），∴h″（a）＝﹣1+＝＞0，故h′（a）在（2，3）递增，又h′（2）＝﹣2＜0，当a→3时，h′（a）→+∞，∴∃a0∈（2，3），当a∈（2，a0）时，h（a）递减，当a∈（a0，3）时，h（a）递增，∴h（a）min＝h（a0）＝﹣a02+a0﹣3+（3﹣a0）ln（3﹣a0）＞﹣a02+a0﹣3+（3﹣a0）（﹣a0）＝a02﹣2a0﹣3＝（a0﹣2）2﹣5＞﹣5．∴∀a∈（2，3），h（a）＞﹣5，综上，f（x1）+f（x2）＞﹣5．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是（ϕ为参数）和（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C1和C2的极坐标方程；（2）射线OM：θ＝α与圆C1的交点分别为O、P，与圆C2的交点分别为O、Q，求|OP|•|OQ|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【解答】解：（1）圆C1和C2的参数方程分别是（ϕ为参数）和（β为参数），普通方程分别为（x﹣2）2+y2＝4，x2+（y﹣1）2＝1，极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝2sinθ；（2）设P，Q对应的极径分别为ρ1，ρ2，则|OP|•|OQ|＝ρ1ρ2＝4sin2α，∴sin2α＝1，|OP|•|OQ|的最大值为4．23．（10分）设函数f（x）＝|2x+2|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝|2x+2|﹣|x﹣2|＝，当x＜﹣1时，不等式即﹣x﹣4＞2，求得x＜﹣6，∴x＜﹣6．当﹣1≤x＜2时，不等式即3x＞2，求得x＞，∴＜x＜2．当x≥2时，不等式即x+4＞2，求得x＞﹣2，∴x≥2．综上所述，不等式的解集为{x|x＞或x＜﹣6}．（Ⅱ）由以上可得f（x）的最小值为f（﹣1）＝﹣3，若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t 恒成立，只要﹣3≥t2﹣t，即2t2﹣7t+6≤0，求得≤t≤2．。
2016-2017学年四川省成都市龙泉中学、温江中学等五校联考高二上学期数学期中试卷带解析(文科)
2016-2017学年四川省成都市龙泉中学、温江中学等五校联考高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A 1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是（）A．（1，0，0）B．（1，0，1）C．（1，1，1）D．（1，1，0）2．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是（）A． B． C． D．3．（5分）与直线l：3x﹣5y+4=0关于原点对称的直线的方程为（）A．3x+5y+4=0 B．3x﹣5y﹣4=0 C．5x﹣3y+4=0 D．5x+3y+4=04．（5分）若实数x，y满足不等式组合，则x+y的最大值为（）A．9 B．C．1 D．5．（5分）设点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB 相交，则l的斜率k的取值范围（）A．k≥或k≤﹣4 B．≤k≤4 C．﹣4≤k≤D．k≥4或k≤﹣6．（5分）已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线的一支C．抛物线D．圆7．（5分）如果椭圆+=1的弦被点（1，1）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x+2y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．2x+y﹣3=0 D．x+2y+3=08．（5分）已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=3，从点P（﹣1，﹣3）发出的光线，经x轴反射后恰好经过圆心C，则入射光线的斜率为（）A．﹣ B．﹣ C．D．9．（5分）已知椭圆C 1：=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣y2=4有相同的右焦点F2，点P是椭圆C1和双曲线C2的一个公共点，若|PF2|=2，则椭圆C1的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知下列选项，其中错误的是（）①过圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4外一点M（3，1），且与圆相切的直线方程为3x ﹣4y﹣5=0；②方程Ax2+By2=1（A＞0，B＞0）表示椭圆方程；③平面内到点F1（0，4），F2（0，﹣4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线；④方程﹣=1（mn＞0）表示焦点在x轴上的双曲线．A．①②③④B．①②③C．③④D．②④11．（5分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M （2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B．C．4 D．12．（5分）已知点P（m，n）在椭圆+=1上，则直线mx+ny+1=0与椭圆x2+y2=的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．（5分）若三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，则x=．14．（5分）不论k为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是．15．（5分）已知直线L经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L的方程是．16．（5分）已知点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线的离心率等于．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知直线l1：2x+y+2=0，l2：mx+4y+n=0（1）若l1⊥l2，求m的值，；（2）若l1∥l2，且它们的距离为，求m、n的值．18．（12分）某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载若干件新产品A、B，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排，有关数据如下表：分别用x，y表示搭载新产品A，B的件数．总收益用Z表示（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）问分别搭载新产品A、B各多少件，才能使总预计收益达到最大？并求出此最大收益．19．（12分）已知圆心在直线y=4x上，且与直线l：x+y﹣2=0相切于点P（1，1）．（Ⅰ）求圆的方程；（II）直线kx﹣y+3=0与该圆相交于A、B两点，若点M在圆上，且有向量（O为坐标原点），求实数k．20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C 有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且a2=2b．（1）求椭圆的方程；（2）直线l：x﹣y+m=0与椭圆交于A，B两点，是否存在实数m，使线段AB的中点在圆x2+y2=5上，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．22．（12分）已知椭圆的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且该椭圆的离心率与双曲线=1的离心率互为倒数．（Ⅰ）求椭圆的方程；（II）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（﹣a，0），点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且•=4，求y0的值．2016-2017学年四川省成都市龙泉中学、温江中学等五校联考高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是（）A．（1，0，0）B．（1，0，1）C．（1，1，1）D．（1，1，0）【解答】解：根据题意，可得∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，∴点B1在x轴上的射影点为A（1，0，0），可得B1的横坐标为1；点B1在y轴上的射影点为C（0，1，0），可得B1的纵坐标为1；点B1在z轴上的射影点为D1（0，0，1），可得B1的竖坐标为1．由此可得点B1的坐标是（1，1，1）．故选：C．2．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是（）A． B． C． D．【解答】解：∵双曲线标准方程为，其渐近线方程是=0，整理得y=±x．故选：B．3．（5分）与直线l：3x﹣5y+4=0关于原点对称的直线的方程为（）A．3x+5y+4=0 B．3x﹣5y﹣4=0 C．5x﹣3y+4=0 D．5x+3y+4=0【解答】解：直线l：3x﹣5y+4=0关于原点对称，设坐标（x，y）是所求直线方程上的点，那么：坐标（x，y）关于原点对称为（﹣x，﹣y）在直线l上，则有：﹣3x+5y+4=0，化简可得：3x﹣5y﹣4=0．故选：B．4．（5分）若实数x，y满足不等式组合，则x+y的最大值为（）A．9 B．C．1 D．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，∵直线z=x+y过可行域内点A（4，5）时z最大，最大值为9，故选：A．5．（5分）设点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围（）A．k≥或k≤﹣4 B．≤k≤4 C．﹣4≤k≤D．k≥4或k≤﹣【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k PA，即k≥=，或k≤=﹣4，∴k≥，或k≤﹣4，即直线的斜率的取值范围是k≥或k≤﹣4．故选：A．6．（5分）已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线的一支C．抛物线D．圆【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a，|PQ|=|PF2|，∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a．∴|F1Q|=2a．∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，∴动点Q的轨迹是圆．故选：D．7．（5分）如果椭圆+=1的弦被点（1，1）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x+2y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．2x+y﹣3=0 D．x+2y+3=0【解答】解：设过点A（1，1）的直线与椭圆相交于两点，E（x1，y1），F（x2，y2），由中点坐标公式可知：，则，两式相减得：+=0，∴=﹣，∴直线EF的斜率k==﹣，∴直线EF的方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），整理得：2y+x﹣3=0，故选：A．8．（5分）已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=3，从点P（﹣1，﹣3）发出的光线，经x轴反射后恰好经过圆心C，则入射光线的斜率为（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：根据反射定律，圆心C（2，﹣1）关于x轴的对称点D（2，1）在入射光线上，再由点P（﹣1，﹣3）也在入射光线上，可得入射光线的斜率为=，故选：C．9．（5分）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣y2=4有相同的右焦点F2，点P是椭圆C1和双曲线C2的一个公共点，若|PF2|=2，则椭圆C1的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，不妨设P在第一象限，∵|PF2|=2，∴|PF1|=6，∴2a=|PF2|+|PF2|=8，∴a=4．∵双曲线C2：x2﹣y2=4可化为=1，∴c==2∵椭圆C1：=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣y2=4有相同的右焦点F2，∴c=2，∴椭圆C1的离心率为e==，故选：B．10．（5分）已知下列选项，其中错误的是（）①过圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4外一点M（3，1），且与圆相切的直线方程为3x ﹣4y﹣5=0；②方程Ax2+By2=1（A＞0，B＞0）表示椭圆方程；③平面内到点F1（0，4），F2（0，﹣4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线；④方程﹣=1（mn＞0）表示焦点在x轴上的双曲线．A．①②③④B．①②③C．③④D．②④【解答】解：①过圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4外一点M（3，1），且与圆相切的直线方程为3x﹣4y﹣5=0或x=3，错误；②方程Ax2+By2=1（A＞0，B＞0）表示椭圆方程，A=B，表示圆，错误；③平面内到点F1（0，4），F2（0，﹣4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是射线，错误；④方程﹣=1（m＞0，n＞0）表示焦点在x轴上的双曲线，错误．故选：A．11．（5分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M （2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B．C．4 D．【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，∴2+=3∴p=2∴抛物线方程为y2=4x∵M（2，y0）∴∴|OM|=故选：B．12．（5分）已知点P（m，n）在椭圆+=1上，则直线mx+ny+1=0与椭圆x2+y2=的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切【解答】解：∵P（m，n）在椭圆+=1上，∴，，圆x2+y2=的圆心O（0，0）到直线mx+ny+1=0的距离：d==，∴直线mx+ny+1=0与椭圆x2+y2=的位置关系为相交或相切．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．（5分）若三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，则x=3．【解答】解：三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，，，⇒1×（﹣10）=﹣5（x﹣1）⇒x=3故答案为314．（5分）不论k为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是（2，3）．【解答】解：直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0即k（2x﹣y﹣1）+（﹣x﹣3y+11）=0，根据k的任意性可得，解得，∴不论k取什么实数时，直线（2k﹣1）x+（k+3）y﹣（k﹣11）=0都经过一个定点（2，3）．故答案为：（2，3）．15．（5分）已知直线L经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L的方程是x=﹣4和4x+3y+25=0．【解答】解：圆心（﹣1，﹣2），半径r=5，弦长m=8，设弦心距是d，则由勾股定理，r2=d2+（）2d=3，若l斜率不存在，直线是x=﹣4，圆心和它的距离是﹣3，符合题意，若l斜率存在，设直线方程y+3=k（x+4），即kx﹣y+4k﹣3=0，则d==3，即9k2﹣6k+1=9k2+9，解得k=﹣，所以所求直线方程为x+4=0和4x+3y+25=0，故答案为：x=﹣4和4x+3y+25=0．16．（5分）已知点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C 1的准线的距离为p，则双曲线的离心率等于．【解答】解：取双曲线的一条渐近线：，联立解得，故A．∵点A到抛物线的准线的距离为p，∴，化为．∴双曲线C2的离心率．故答案为．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知直线l1：2x+y+2=0，l2：mx+4y+n=0（1）若l1⊥l2，求m的值，；（2）若l1∥l2，且它们的距离为，求m、n的值．【解答】解：（1）直线l1：y=﹣2x﹣2，斜率是﹣2，直线l2：y=﹣x﹣，斜率是：﹣，若l1⊥l2，则﹣2•（﹣）=﹣1，解得：m=﹣2；（2）若l1∥l2，则﹣2=﹣，解得：m=8，∴直线l1：y=﹣2x﹣2，直线l2：y=﹣2x﹣，在直线l 1上取点（0，﹣2）， 则（0，﹣2）到l 2的距离是： d==，解得：n=28或﹣12．18．（12分）某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载若干件新产品A 、B ，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排，有关数据如下表：分别用x ，y 表示搭载新产品A ，B 的件数．总收益用Z 表示（Ⅰ）用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （Ⅱ）问分别搭载新产品A 、B 各多少件，才能使总预计收益达到最大？并求出此最大收益．【解答】解：（Ⅰ）解：由已知x ，y 满足的数学关系式为，且x∈N ，y ∈N ，该二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分．…（6分）（Ⅱ）解：设最大收益为z万元，则目标函数z=80x+60y．作出直线l a：4x+3y=0并平移，由图象知，当直线经过M点时，z能取到最大值，由解得且满足x∈N，y∈N，即M（9，4）是最优解，所以z max=80×9+60×4=960（万元），答：搭载A产品9件，B产品4件，能使总预计收益达到最大值，最大预计收益为960万元．…（12分）19．（12分）已知圆心在直线y=4x上，且与直线l：x+y﹣2=0相切于点P（1，1）．（Ⅰ）求圆的方程；（II）直线kx﹣y+3=0与该圆相交于A、B两点，若点M在圆上，且有向量（O为坐标原点），求实数k．【解答】解：（Ⅰ）设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣4a）2=r2因为直线相切，圆心到直线的距离，且圆心与切点连线与直线l 垂直可得a=0，r=，所以圆的方程为：x2+y2=2…（6分）（II）直线与圆联立：得：（1+k2）x2+6kx+7=0，△=8k2﹣28＞0，解得．设A（x1，y1），B（x2，y2），，M代入圆方程：，求得k=…（12分）20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C 有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（I）将（1，﹣2）代入抛物线方程y2=2px，得4=2p，p=2∴抛物线C的方程为：y2=4x，其准线方程为x=﹣1（II）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=﹣2x+t，由得y2+2y﹣2t=0，∵直线l与抛物线有公共点，∴△=4+8t≥0，解得t≥﹣又∵直线OA与L的距离d==，求得t=±1∵t≥﹣∴t=1∴符合题意的直线l存在，方程为2x+y﹣1=021．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且a2=2b．（1）求椭圆的方程；（2）直线l：x﹣y+m=0与椭圆交于A，B两点，是否存在实数m，使线段AB的中点在圆x2+y2=5上，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由题意得e==，a2=2b，a2﹣b2=c2，解得a=，b=c=1故椭圆的方程为x2+=1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x 0，y0）．联立直线y=x+m与椭圆的方程得，即3x2+2mx+m2﹣2=0，△=（2m）2﹣4×3×（m2﹣2）＞0，即m2＜3，x 1+x2=﹣，所以x0==﹣，y0=x0+m=，即M（﹣，）．又因为M点在圆x2+y2=5上，可得（﹣）2+（）2=5，解得m=±3与m2＜3矛盾．故实数m不存在．22．（12分）已知椭圆的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且该椭圆的离心率与双曲线=1的离心率互为倒数．（Ⅰ）求椭圆的方程；（II）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（﹣a，0），点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且•=4，求y0的值．【解答】解：（1）抛物线的焦点坐标为，所以…（1分）双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率e==，解得：a=2，所以b2=1…（3分）∴椭圆方程为：；…（4分）（2）由（1）知A（﹣2，0），且直线l的斜率必存在，设斜率为k，则直线方程为：y=k（x+2），设点B的坐标为（x1，y1），联立方程，方程消去y整理得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0…（5分）A，B两点坐标满足上述方程，由韦达定理得，所以，所以A（﹣2，0），B的坐标为，…（6分）线段AB的中点为M，则M点坐标为…（7分）以下分两种情况：①当k=0时，点B的坐标为（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是，…（8分）②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为，令x=0，解得，由…（9分）∴•=﹣2x1﹣y0（y1﹣y0），=﹣2×+（+），==4…（10分）整理得：…（11分）综上所述，或．…（12分）。
2017年四川省成都市九校联考高二文科下学期数学期中考试试卷
2017年四川省成都市九校联考高二文科下学期数学期中考试试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 在复平面内，复数，则的共轭复数的模为A. B. C. D.2. 函数，则的值为A. B. C. D.3. 已知，表示两条不同直线，表示平面．下列说法正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则4. 已知为函数的极小值点，则A. B. C. D.5. 已知函数，存在，使得，则实数的取值范围是A. B.C. D.6. 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区户家庭，得到如下统计数据表：收入万元支出万元根据上表可得回归直线方程，其中，，据此估计，该社区一户收入为万元家庭年支出为A. 万元B. 万元C. 万元D. 万元7. 函数，的最大值是A. B. C. D.8. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是A. B. C. D.9. 若对任意的，恒有，则的取值范围是A. B. C. D.10. 甲、乙两人约定在下午间在某地相见，且他们在之间到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是A. B. C. D.11. 已知是定义在上的偶函数，且当，成立（是函数的导数），若，，，则，，的大小关系是A. B. C. D.12. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，若存在过的直线分别交双曲线的左、右支于，两点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知，，为的导函数，，则．14. 甲、乙两位学生参加数学文化知识竞赛培训．在培训期间，他们参加的次测试成绩记录如下：甲：，，，，，乙：，，，，，现要从甲、乙两位同学中选派一人参加正式比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派同学参加合适．15. 已知椭圆：与双曲线：有相同的右焦点，点是与的一个公共点，若，则椭圆的离心率等于．16. 已知函数，若存在唯一的零点且，则的取值范围是．三、解答题（共6小题；共78分）17. 某校举行环保知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从得分不低于分的试卷中随机抽取名学生的成绩（得分均为正数，满分分），进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：（1）求，的值；（2）若从成绩较好的第，，组中，按分层抽样的方法抽取人参加社区志愿者活动，并从中选出人做负责人，求人中至少有人是第四组的概率．18. 如图，在三棱柱中侧棱垂直于底面，，点是的中点．求证：（1）；（2） 平面；（3）若．，求三棱锥的体积．19. 年月日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取后和后作为调查对象，随机调查了位，得到数据如表：生二胎不生二胎合计后后合计参考数据：（参考公式：，其中）（1）以这个人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市后公民中随机抽取位，记其中生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；（2）根据调查数据，是否有以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由．20. 已知函数．（1）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；（2）求函数的单调区间；（3）若函数在上是减函数，求实数的取值范围．21. 已知椭圆：经过点，离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）设过点的直线与相交于，两点，求面积的最大值．22. 已知函数，其中，为自然对数的底数，是的导函数．（1）求的极值；（2）若，证明：当，且时，．答案第一部分1. C2. B3. B 【解析】选项A中，平行于同一平面的两条直线可以平行、相交、异面，故选项A是错误的；选项B中，由线面垂直的性质知：直线垂直于平面，则直线垂直于平面内的任意一条直线，故选项B正确；选项C中，可能在平面内，故选项C错误；选项D中，两直线垂直，其中一条直线与一个平面平行，则另一条直线和这个平面可以平行、相交、也可以在平面内，故选项D错误．4. D5. B6. A7. C8. D9. D 【解析】原不等式可化为，令，故只需，由知在上单调递增；在上单调递减．故，即，解得．10. B11. A 12. C第二部分13.【解析】，．14. 甲15.【解析】由题意，不妨设在第一象限，双曲线：可化为，因为，则，则，即，由椭圆的定义可知：，所以．因为椭圆：与双曲线：有相同的右焦点，所以椭圆的离心率为．16.【解析】当时，有两个零点，不合题意，故，，令，得，．若，由三次函数图象知有负数零点，不合题意，故．由三次函数图象及知，，即，化简得，又，所以．第三部分17. （1）由频率和等于，所以．．（2）因为第三、第四、第五组的学生数的比例是，所以利用分层抽样从中选人，第三、第四、第五组选取的学生人数分别是人，人，人．设第三组选取的学生为，，．第四组选取的学生为，．第五组选取的学生为．则从人中任意选出人的所有方法种数是：，，，，，，，，，，，，，，共种．其中至少人是第四组的方法种数是：，，，，，，，，共种．所以人中至少有人是第四组的概率是．18. （1）在直三棱柱中，平面，所以，又，，所以平面，所以．（2）设与的交点为，连接，如图．因为为平行四边形，所以为中点，又是的中点，所以是三角形的中位线，则，又平面，平面，所以 平面．（3）因为，，所以，到平面的距离，所以．19. （1）由已知得该市后“生二胎”的概率为，且，，，，，其分布列如下：所以．（2）假设生二胎与年龄无关，，所以有以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．20. （1）由已知，得由题意，得解得．（2）函数的定义域为．①当时，，的单调递增区间为；②当时．当变化时，的变化情况如下：极小值由上表可知，函数的递减区间是；递增区间是．（3）由，得根据题意，在上恒成立，即在上恒成立．令，在上，因为所以在为减函数，从而因此，．21. （1）由点在椭圆上得，又，所以由得：，，，故椭圆的标准方程为．（2）当轴时，不合题意，故设：，，，将代入，得：．当，即时，，所以，又点到直线的距离，所以的面积．设，则，，因为，当且仅当时，即时等号成立，且满足，所以的面积的最大值为．22. （1）的定义域为，，当时，在时成立，所以在上单调递增，无极值；当时，，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，有极小值．（2）当时，的定义域为，，由，解得．当变化时，，变化情况如下表：单调递减极小值单调递增因为，且，则（不妨设）．设函数，所以．因为当时，，所以，所以当时，．所以函数在上单调递增，所以，即当时，，因为，所以，又，所以，因为在上单调递增，，且，又，所以，所以．。
四川省成都市九校2016_2017学年高二数学下学期期中联考试题理201704130278
2016～2017 学年度（下期）高 2015 级期中联考试卷理科数学考试时间共120 分钟，满分150 分试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用0.5 毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
第Ⅰ卷选择题（共60 分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）→→→→1．三棱柱ABC—A1B1C1 中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A1B等于( ) A．a＋b－c B ．a－b＋cC．－a＋b＋c D ．－a＋b－c2．函数f (x) sin x e x ，则f '(0)的值为( )第1题图A．1 B．2 C．3 D．03. 已知m，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥αx4．函数f (x) 的单调递减区间是( )ln xA．(0,e)B．(e,)C．(0,1),(1,e)D. (,e)5．在棱长为2 的正方体ABCD A1B1C1D1 中，O 是底面ABCD 的中心，E、F 分别是CC1 、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD1 所成的角的余弦值等于( )珍贵文档A．15B．10C．4D．2 5 5 53珍贵文档专业文档珍贵文档－π，π6．已知函数 f (x )＝x －sin x ，若 x 1，x 2∈2 2 ，且 f (x 1)＋f (x 2)>0，则下列不等式中正确的是()A ．x 1>x 2B ．x 1<x 2C ．x 1＋x 2>0D ．x 1＋x 2<07. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3， 则正视图中的 x 的值是()A ． 3B ． 92C ．3 D ．22第 7 题图8．若对任意的 x >0，恒有 ln x ≤px －1(p >0)，则 p 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．[1，＋∞)9．甲、乙两人约定在下午 4:30 5:00 间在某地相见，且他们在 4:30 5:00 之间 到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人 20 分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是()3 8A ．B ．4 97 11 C ．D ．161210．如图在一个 60的二面角的棱上有两个点 A ，B ，线段分别 AC 、BD 在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 AB ，且 AB ＝AC ＝ a ，BD ＝ 2a ，则 CD 的长为 ( ) CA ． 2aB ． 5a A BC ． aD ． 3a D11．已知函数 f ( x ) ax 3bx2cx d 的图象如图所示，则b 1的取值范围是( )a 1第 10 题图yA ． ( 3 , 1 )B ． (2 ,1) 1 22 2 5 -1 0xC ． (1 ,3 )专业文档珍贵文档D ． ( 3,1)2 22第 11 题图专业文档珍贵文档xy x 2 y 212．已知 F 1 ， F 2 分别为双曲线C ：a2 b 21 的左、右焦点， 若存在过F 1 的直分别交 双曲线C 的左、右支于 A ， B 两点，使得 BAF 2BF 2 F 1 ，则双曲线C 的离心率e 的 取值范围是()A ． 3,B ． 1,2 5C. 3,2 5D ． 1,3第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13． 1 x 2dx = ． 0第 12 题图2 2 2 214．已知椭圆 C 1 : 2 2 ab1(a b 0) 与双曲线 C 2 : x y 4 有相同的右焦点F 2 ，点 P 是 C 1 和 C 2 的一个公共点，若PF 22 ，则椭圆 C 1 的离心率等于．15．四棱柱 ABCD －A1B1C1D1 中，底面为平行四边形，以顶点 A 为端点的三条棱长都 相等，且两两夹角为 60°.则线段 AC1 与平面 ABC 所成角的正弦值为.me x 16．已知函数 f x 1 x 2x1，若存在唯一的正整数 x 0 ，使得 f x 0 0 ，则实数 m 的取值范围为．三、解答题（本大题共 6 小题，第 17 题满分 10 分，18-22 每题满分 12 分，共 70 分； 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中， ACBC ，点 D 是 AB 的中点，求证：（Ⅰ） ACBC 1 ；（Ⅱ） AC 1 // 平面 B 1CD ．C 1 B 1A 1专业文档珍贵文档C BDA专业文档珍贵文档18．某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于 50 分的试 卷中随机抽取 100 名学生的成绩(得分均为整数，满分 100 分)进行统计，请根据频率 分布表中所提供的数据，解答下列问题：（Ⅰ）求 a 、b 的值；（Ⅱ）若从成绩较好的第 3、4、5 组中按分层抽样的方法抽取 6 人参加市汉字听 写比赛，并从中选出 2 人做种子选手，求 2 人中至少有 1 人是第 4 组的概率．19．已知函数 f (x )＝x 2＋2a ln x .（Ⅰ）若函数 f (x )的图象在(2，f (2))处的切线斜率为 1，求实数 a 的值； （Ⅱ）求函数 f (x )的单调区间；2（Ⅲ）若函数 g (x )＝ ＋f (x )在[1,2]上是减函数，求实数 a 的取值范围． x专业文档珍贵文档2 2 2220．在四棱锥 P - ABCD 中，△ PAB 为正三角形，四边形 ABCD 为矩形，平面PAB 平面 ABCD ， AB =2 AD ， M ,N 分别为 PB ,PC 的中点.（Ⅰ）求证： MN //平面 PAD ；（Ⅱ）求二面角 B —AM —C 的大小；（Ⅲ）在 BC 上是否存在点 E ，使得 EN ⊥平面 AMN ？BE 若存在，求 BC的值；若不存在，请说明理由．21．已知椭圆 C : x y1 a b 0 经过点 P (1,3) ，离心率 e3a b（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；22 ．（Ⅱ）设过点E 0 , 2 的直线l 与C 相交于 P , Q 两点，求 OPQ 面积的最大值．专业文档珍贵文档22．已知 f ( x )1 x2 ， g ( x ) a ln x ( a 0) .2（Ⅰ）求函数 F ( x )（Ⅱ）若函数 G ( x )取值范围；f ( x )g ( x ) 的极值；f ( x )g ( x ) ( a 1) x 在区间 (1, e ) 内有两个零点，求的 e（Ⅲ）函数h ( x ) g x x 1，设 x (0,1) ， x (1, ) ，若 h ( x ) h ( x ) x1 2 21存在最大值，记为 M (a ) ，则当 a e 1时，M (a ) 是否存在最大值？若存在，求出e其最大值；若不存在，请说明理由．专业文档珍贵文档2016～2017学年度（下期）高2015级期中联考数学（理科）参考答案及评分建议一、 选择题：（每小题5分，共60分）1.D ；2.B ；3.B ；4.C ；5.A ；6.C ；7.A ；8.D ；9.B ； 10.A ； 11.D ； 12.C ； 二、 填空题（每小题5分，共20分）13.13；14. 2； 15 . 13； 16 . 273,e e ⎛⎤⎥⎝⎦；三、 解答题（共70分）17．证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，所以，1CC AC ⊥，又AC BC ⊥，1BC CC C =I ， 所以，AC ⊥平面11BCC B ，所以，1AC BC ⊥. ………..………（5分） （2）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ，11BCC B 为平行四边形，所以O 为1B C 中点，又D 是AB 的中点，所以OD 是三角形1ABC 的中位线，1//OD AC ，又因为1AC ⊄平面1B CD ，OD ⊂平面1B CD ，所以1//AC 平面1B CD .………（10分）A 1C 1B 1ABCDO18．(1)a ＝100－5－30－20－10＝35，b ＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30. ………（4分）(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为，第3组：660×30＝3人，第4组：660×20＝2人，第5组：660×10＝1人，所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人．……..………（6分）设第3组的3位同学为A 1、A 2、A 3，第4组的2位同学为B 1、B 2，第5组的1位同学为C 1，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)．其中第4组被入选的有9种，所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为915＝35.……………（12分） 19. (1)f′(x)＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax，由已知f′(2)＝1，解得a ＝－3. ……… 4分(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞). ……… 5分①当a≥0时，f′(x)＞0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)； ……… 6分②当a ＜0时，f′(x)＝2(x ＋－a)x －－ax.当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：] Z单调递增区间是(－a ，＋∞). ……… 8分(3)由g(x)＝2x ＋x 2＋2aln x ，得g′(x)＝－2x 2＋2x ＋2ax，由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数， 则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立， 即－2x 2＋2x ＋2ax≤0在[1,2]上恒成立．即a≤1x －x 2在[1,2]上恒成立. (10)分令h(x)＝1x－x 2，在[1,2]上h′(x)＝－1x 2－2x ＝－(1x 2＋2x)＜0，所以h(x)在[1,2]上为减函数，h(x)min ＝h(2)＝－72，所以a≤－72.故实数a 的取值范围为{a|a≤－72}. ……… 12分20. （Ⅰ）证明：∵M ，N 分别是PB ，PC 中点因为二面角B AM C --是锐二面角，所以二面角B AM C --等于45o ……………….8分 （Ⅲ）存在……………….9分设(1,,0)E λ，则11(,22EN λ=--u u u r ，由0EN AM EN MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u ru u u r u u u u r可得12λ=， 所以在BC 存在点E ，使得EN ⊥平面AMN ， 此时12BE BC =.……………….12分 21.（Ⅰ）由点P 在椭圆上得，221314a b+=①22c e a ==又所以② 由①②得2223,4,1c a b ===，故椭圆C 的标准方程为2214x y +=……………….5分 112222:=2,(,),(,).214x y kx P x y Q x y x y kx y ιι⊥-=-+=（II ）当轴时不合题意，故设将代入得22(14)16120.k x kx +-+=221,221238=16(43)0,441k k k x k PQ x O PQ d OPQ ±∆->>=+=-==∆当即时，从而又点到直线的距离所以的面积21=241OPQ S d PQ k ∆⋅=+ ......................9分244,0,.444....................4,22..0.1OPQ t t t S t t tt t k t OPQ ∆=>==+++≥==∆>∆则因为当且仅当，即的面积最大值为1分22.：（1）解：21()()()ln (0)2F x f x g x ax x x ==> ∴'11()ln (ln )22F x ax x ax ax x =+=+ ………1分由'()0F x >得12x e->，由'()0F x <，得120x e-<<∴()F x 在12(0,]e -上单调递减，在12[,)e -+∞上单调递增， ∴12min ()()4aF x F e e-==-，()F x 无极大值. ………3分 （2）解：21()ln (1)2G x x a x a x =-+-∴'()(1)()1a x a x G x x a x x+-=-+-= 又10,a x e e><<，易得()G x 在1(,1]e 上单调递减，在[1,)e 上单调递增，要使函数()G x 在1(,)e e内有两个零点，需1()0(1)0()0G e G G e ⎧>⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩，即2211021102(1)02a a e e a e a e a -⎧++>⎪⎪⎪+-<⎨⎪⎪+-->⎪⎩，………5分 ∴22212212222e a e e a e e a e -⎧>⎪+⎪⎪<⎨⎪⎪->⎪-⎩，∴2211222e a e e -<<+，即的取值范围是2211(,)222e e e -+. ………7分 （3）若02a <≤，∵2'2(1)()x ax h x x--+=在(0,)+∞上满足'()0h x ≤， ∴()h x 在(0,)+∞上单调递减，∴21()()0h x h x -<. ∴21()()h x h x -不存在最大值. ………8分 则2a >.∴方程210x ax -+=有两个不相等的正实数根，令其为,m n ，且不妨设01m n <<<则1m n amn +=⎧⎨=⎩.()h x 在(0,)m 上单调递减，在(,)m n 上调递增，在(,)n +∞上单调递减，对1(0,1)x ∀∈，有1()()h x h m ≥；对2(1,)x ∀∈+∞，有2()()h x h n ≤， ∴21max [()()]()()h x h x h n h m -=-.∴11()()()(ln )(ln )M a h n h m a n n a m m n m=-=-+--+11ln()()n a m n m n m=+-+-. 将1a m n n n =+=+，1m n=代入上式，消去,a m 得 21111()()ln 2()2[()ln ()]M a n n n n n n n n n n=++-=++-∵12a e e <≤+，∴11n e n e+≤+，1n >. 据1y x x =+在(1,)x ∈+∞上单调递增，得(1,]n e ∈. 设11()2()ln 2()x x x x xxϕ=++-，(1,]x e ∈.'22211111()2(1)ln 2()2(1)2(1)ln x x x x x x x x xϕ=-++++--=-，(1,]x e ∈. ∴'()0x ϕ>，即()x ϕ在(1,]e 上单调递增.∴max 114[()]()2()2()x e e e e e eϕϕ==++-=∴()M a 存在最大值为4e.………12分。
四川省成都市双流中学2016-2017学年高二(下)期中数学试卷
2016-2017学年四川省成都市双流中学高二（下）期中数学试卷一、选择题：1、设全集U={1，2，3，4}，集合S={1，3}，T={4}，则（∁U S）∪T等于（）A、{2，4}B、{4}C、∅D、{1，3，4}2、已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（）A、∀x∉R，2x=5B、∀x∈R，2x≠5C、∃x 0∈R，2 =5D、∃x 0∈R，2 ≠53、圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A、﹣B、﹣C、D、24、由直线x= ，x=2，曲线y=﹣及x轴所围图形的面积为（）A、﹣2ln2B、2ln2C、D、5、已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是（）A、﹣6B、5C、38D、﹣106、在正项等比数列{a n}中，a1008•a1009= ，则lga1+lga2+…+lga2016=（）A、2015B、2016C、﹣2015D、﹣20167、一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）A、B、C、D、8、执行如图所示的程序框图，若输出的n=4，则输入整数p的最大值是（）A、4B、7C、8D、159、若函数y=2sinωx（ω＞0）在上的最小值是﹣2，但最大值不是2，则ω的取值范围是（）A、（0，2）B、D、0﹣（﹣）﹣，﹣ω，ω ，2）．故选：B．【分析】根据x∈求出ωx的取值范围，结合题意列出ω的不等式组，从而求出ω的取值范围．10、【答案】B【考点】利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解：f′（x）=e x﹣x﹣m，若函数f（x）有极值，则f′（x）有零点，即g（x）=e x和h（x）=x+m有2个不同的交点，g（x）的切线与h（x）平行，设切点是（x0，），则切线斜率是：k= =1，故x0=0，故切线方程是：y=x+1，g（x）=e x和h（x）=x+m有2个不同的交点，则m＞1，故选：B．【分析】求出函数的导数，问题转化为g（x）=e x和h（x）=x+m有2个不同的交点，求出临界值即可．11、【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y= x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选C．【分析】首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形MF1F2，运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率．12、【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x，∵f'（x）＞1﹣f（x），∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵，即e x f（x）＞e x+5，∴g（x）＞5，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=6﹣1=5，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）故选：A．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．二、<b >填空题</b>13、【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：的导数为y′= ，可得曲线在处的切线的斜率为k= =1，由斜率公式可得k=tanα=1，（0≤α＜π，且α≠ ），解得倾斜角为．故答案为：．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由直线的斜率公式，结合特殊角的正切公式即可得到所求角．14、【答案】【考点】同角三角函数基本关系的运用【解析】【解答】解：∵α为第三象限的角，∴cosα= = ，则tanα= ．故答案为【分析】根据同角三角函数基本关系式，求解即可．15、【答案】【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：A，M，E三点共线，∴存在实数λ使得：= ；B，M，D三点共线，∴存在实数μ使得：；∴；∴；∴所以根据平面向量基本定理得；∴；∴，；∵；∴= ；∴．故答案为：．【分析】根据A，M，E三点共线，和B，M，D三点共线，再根据共线向量基本定理以及向量的加法、减法运算即可得到：存在实数λ，μ使得，，，然后根据平面向量基本定理即可得出，从而可表示出，，所以根据已知条件及数量积的运算即可求出．16、【答案】1【考点】数列的求和【解析】【解答】解：当n=1时，2S1=6﹣a1，∴a1=6，∵2S n=6﹣a n，∴2S n﹣1=6﹣a n﹣1，∴2a n=﹣a n+a n﹣1，∴3a n=a n﹣1，∴数列{a n}以6为首项，以为公差的等差数列，∴a n=6×（）n﹣1，∴=2n，∴b2﹣b1=2，b3﹣b2=4，…b n﹣b n﹣1=2（n﹣1），累加可得b n﹣b1=2（1+2+3+…+n﹣1）=n（n﹣1），∴b n=n（n﹣1）+2，∴= ≤ = ﹣，n≥2，∴T n= + + +…+ ≤ + + +…+ = +1﹣+ ﹣+…+ ﹣= ﹣＜1，n≥2时，即T n＜1，当n=1时，T1= ＜1，综上所述T n＜1，∴m的最小值为1故答案为：1．【分析】先根据数列的递推公式可得数列{a n}以6为首项，以为公差的等差数列，再根据对数的运算性质化简=2n，利用累加法求出b n=n（n﹣1）+2，再放缩裂项求和求出T n＜1，问题得以解决．三、<b >解答题</b>17、【答案】（1）解：f'（x）=x2﹣2bx+2．时，f'（x）=x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2），令f'（x）＞0解得x＜1或x＞2．所以，时函数的单调递增区间为（﹣∞，1），（2，+∞）．令f'（x）＜0解得1＜x＜2．所以，时函数的单调递减区间为（1，2）（2）解：因为x=﹣1是函数y=f（x）的一个极值点，则f'（﹣1）=0，故：1+2b+2=0解得：，此时f'（x）=x2﹣2bx+2=x2+3x+2，令f'（x）=0解得：x=﹣2或x=﹣1．则x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下．x （﹣∞，﹣2）﹣2（﹣2，﹣1）﹣1（﹣1，+∞）f'（x） + 0 ﹣0 +f（x）递增极大值递减极小值递增故此时x=﹣1时，f（x）有极小值；x=﹣2时，f（x）有极大值；则当x＞﹣2时，f（x）≥f（﹣1）＞0，显然函数在（﹣2，+∞）上无零点．又，（也可取x=﹣4等），则f（﹣3）f（﹣2）＜0，结合函数在（﹣∞，﹣2）上单调递增，故由零点存在定理知，函数在（﹣∞，﹣2）上必有唯一零点．综上：若x=﹣1是函数y=f（x）的一个极值点，则此时函数y=f（x）在R上有唯一零点【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据x=﹣1是函数y=f（x）的一个极值点，求出b的值，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而判断函数的零点个数即可．18、【答案】（1）解：=．可得：函数y=f（x）的最小正周期（2）解：因为a，b，c成等比数列，可得：b2=ac，在△ABC中，由余弦定理有：，又由0＜B＜π，得．又，由，得，则，故，故f（B）的取值范围是【考点】三角函数的化简求值，三角函数中的恒等变换应用，余弦定理【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=﹣2sin（2x+ ），利用周期公式即可计算得解．（2）由等比数列的性质可得：b2=ac，由余弦定理可求cosB ，可得范围，进而可求范围，利用正弦函数的性质可求，即可得解．19、【答案】（1）解：从编号1﹣5的五位推销员中随机选出两位，他们的年推销金额组合如下{2，3（1）}，{2，3（2）}，{2，4}，{2，5}，{3（1），3（2）}，{3（1），4}，{3（1），5}，{3（2），4}，{3（2），5}，{4，5}共10种．其中满足两人年推销金额不少于7万元的情况共有6种，则所求概率（2）解：由表中数据可知：，由上公式可得，．故，又当x=11时，，故第6名产品推销员的工作年限为11年，他的年推销金额约为5.9万元【考点】线性回归方程【解析】【分析】（1）列举基本事件，即可求出概率；（2）将表中数据，先求出x，y的平均数，累加相关的数据后，代入相关系数公式，计算出回归系数，得到推销金额y关于工作年限x的线性回归方程，将工作年限为11年代，代入推销金额y关于工作年限x的线性回归方程，即可预报出他的年推销金额的估算值．20、【答案】（1）证明：连结OC，∵AC=BC，O是AB的中点，故OC⊥AB．又∵平面ABC⊥平面ABEF，故OC⊥平面ABE，于是OC⊥OF．OC⊥OE，又OE⊥FC，∵OF⊥平面OFC，∴OE⊥OF，又∵OC⊥OF，∴OF⊥平面OEC，∴OF⊥EC．（2）由（I）得AB=2AF．不妨设AF=1，AB=2．∵∠FCA为直线FC与平面ABC所成的角，∴∠FCA=30°，∴FC=EC=2，△EFC为等边三角形．设FO∩EB=P，则O，B分别为PF，PE的中点，△PEC也是等边三角形．取EC的中点M，连结FM，MP，则FM⊥CE，MP⊥CE，∴∠FMP为二面角F﹣CE﹣B的平面角．在△MFP中，FM=MP= ，FP=2 ，故cos∠FMP= = =- ，即二面角F﹣CE﹣B的余弦值为﹣【考点】直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（Ⅰ）连结OC，则OC⊥AB，从而得到OC⊥OE，进而得到OF⊥OE，由此能证明OF⊥EC．（Ⅱ）由（I）得AB=2AF．设AF=1，AB=2．由∠FCA为直线FC与平面ABC所成的角，知∠FCA=30°，由已知条件推导出∠FMP为二面角F﹣CE﹣B的平面角，由此能求出二面角F﹣CE﹣B的余弦值21、【答案】解：（Ⅰ）由已知2a=4 ，得a=2 ，又c=2 ．∴b2=a2﹣c2=4．∴椭圆Γ的方程为．（Ⅱ）由，得4x2+6mx+3m2﹣12=0，①∵直线l与椭圆Γ交于不同两点A、B，∴△=36m2﹣16（3m2﹣12）＞0，解得m2＜16．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两根，则，．∴|AB|= = = ．又由|AB|=3 ，得﹣，解得m=±2据题意知，点P为线段AB的中垂线与直线y=2的交点．设AB的中点为E（x0，y0），则=﹣，，当m=2时，E（﹣），∴此时，线段AB的中垂线方程为y﹣=﹣（x+ ），即y=﹣x﹣1．令y=2，得x0=﹣3．当m=﹣2时，E（），∴此时，线段AB的中垂线方程为y+ =﹣（x﹣），即y=﹣x+1．令y=2，得x0=﹣1．…（1分）综上所述，x0的值为﹣3或﹣1【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（Ⅰ）由已知2a=4 ，c=2 ．由此能求出椭圆Γ的方程．（Ⅱ）由，得4x2+6mx+3m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中垂线性质、中点坐标公式，结合已知条件能求出x0的值．22、【答案】（1）解：f（x）的定义域为（0，+∞），∵f′（x）= ﹣ax+b=0，∴b=a﹣1，∴f′（x）= ﹣ax+a﹣1=﹣，当f′（x）＞0时，∵x＞0，a＞0，解得0＜x＜1，当f′（x）＜0时，∵x＞0，a＞0，解得x＞1，∴当f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减（2）解：假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值跟随切线”，则k AB= = ﹣+a﹣1，f′（）= ﹣+a﹣1，又k AB=f′（）得= ，∴ln =t，（t＞1），则lnt=2﹣，（t＞1），此式表示有大于1的实数根，令h（t）=lnt+ ﹣2（t＞1），则h′（t）= ＞0∴h（t）是（1，+∞）上的增函数，∴h（t）＞h（1）=0，与lnt=2﹣，（t＞1）有大于1的实数根相矛盾，∴函数f（x）的图象上不存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值跟随切线”【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（1）根据对数函数的定义求得函数的定义域，根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，利用f′（1）=0，代入导函数化简即可得到a与b的关系式，用a表示出b；然后分别令导函数大于0和小于0得到关；（2）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间．。
2016-2017学年四川省成都七中实验学校高二下学期期中考试数学(文)试题
成都七中实验学校2016-2017学年下期半期考试高二年级 数学试题（文）一、选择题（每小题5分，共60分。
）1、已知{}{}{}6,2,4,1,3,4,6U x N x P Q =∈<==，则()U C P Q = （ ） A 、{}3,4 B 、{}3,6 C 、{}1,3 D 、{}1,42、函数()sin xf x x e =+，则()'0f的值为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、0 3、已知m n 、表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A 、若,m n αα ，则m n B 、若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥ C 、若,m m n α⊥⊥，则n α D 、若,m m n α⊥ ，则n α⊥4、已知向量()()()3,1,0,1,3,a b c t ===-．若2a b + 与c 垂直，则实t 数的值为 ( )A 、1B 、1-C 、2-D 、3- 5、已知a 为函数3()3f x x x =-的极小值点，则a =（ ） A 、1- B 、2- C 、2 D 、1 6、函数()()1ln xf x x x=>单调递减区间是（ ） A 、()1,+∞ B 、()21,e C 、(),e +∞ D 、()1,e 7、函数()cos ,0,22x f x x x π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的最大值是（ ）A 、1B 、4πC 、3122π+D 、162π+ 8、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则 正视图中的x 的值是（ ） A 、3 B 、92 C 、32D 、29、若对任意的0x >，恒有()ln 10x px p ≤->成立，则p 的取值范围是（ ） A 、()0,1 B 、(]0,1 C 、()1,+∞ D 、[)1,+∞10、甲、乙两人约定在下午4:305:00 间在某地相见，且他们在4:305:00 之间到达的 时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人20分钟，若另一人仍不到则可以 离去，则这两人能相见的概率是（ ） A 、34 B 、89 C 、716 D 、111211、已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当()()(),0,'0x f x xf x ∈-∞+< 成立（()'f x 是函数()f x 的导数），若()21log 22a f =，()()ln 2ln 2b f =，()22c f =-，则,,a b c 的 大小关系是（ ）A 、a b c >>B 、b a c >>C 、c a b >>D 、a c b >> 12、已知函数()32f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则12b a ++的取值范围是( ) A 、21,52⎛⎫- ⎪⎝⎭ B 、13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 、35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ D 、31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题（每小题5分，共20分。
2015-2016年四川省成都市彭州市五校联考高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2015-2016学年四川省成都市彭州市五校联考高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，B＝{x||x|＜2}，则A∩B＝（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜0}C．{x|0＜x＜2}D．{x|﹣2＜x＜3} 2．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝log2x，则f （﹣2）的值等于（）A．1B．﹣1C．2D．﹣23．（5分）要得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，应该把函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移4．（5分）已知向量，若．则＝（）A．B．C．2D．45．（5分）设a＝0.5，b＝0.9，c＝log50.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c 6．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a6＝9，则log3a1+log3a2+…+log3a10＝（）A．12B．2+log35C．8D．107．（5分）三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为（）A．2B．4C．D．168．（5分）如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A．i≤2014？B．i≤2016？C．i≤2018？D．i≤2020？9．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+c2﹣bc，bc＝4，则△ABC的面积为（）A．B．1C．D．210．（5分）若函数f（x）＝ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）＝log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．11．（5分）已知l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l∥α，m∥α，则l∥m B．若l⊥m，m∥α，则l⊥αC．若l⊥α，m⊥α，则l∥m D．若l⊥m，l⊥α，则m∥α12．（5分）已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝2f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1，则当x∈[﹣10，10]时，y＝f（x）与g（x）＝log4|x|的图象的交点个数为（）A．13B．12C．11D．10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）某大学中文系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的学生比为5：4：3：1，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生．14．（5分）已知正数x、y，满足+＝1，则x+2y的最小值．15．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值为．16．（5分）已知函数，，给出下列结论：①函数f（x）的值域为；②函数g（x）在[0，1]上是增函数；③对任意a＞0，方程f（x）＝g（x）在[0，1]内恒有解；④若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立，则实数a的取值范围是．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（10分）已知向量．令f（x）＝，（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的值．18．（12分）等差数列{a n}中，a1＝﹣1，公差d≠0且a2，a3，a6成等比数列，前n项的和为S n．（1）求a n及S n；（2）设b n＝，T n＝b1+b2+…+b n，求T n．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明P A∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．20．（12分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[70，80）的概率．21．（12分）某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为42万元，且每生产1百台的生产成本为15万元（总成本＝固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述规律，完成下列问题：（1）写出利润函数y＝f（x）的解析式（利润＝销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？22．（12分）已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx+1与圆C相交于P、Q两点．（1）求圆C的方程；（2）若•＝﹣2，求实数k的值；（3）过点（0，4）作动直线m交圆C于E，F两点．试问：在以EF为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点M（2，0）？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．2015-2016学年四川省成都市彭州市五校联考高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，B＝{x||x|＜2}，则A∩B＝（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜0}C．{x|0＜x＜2}D．{x|﹣2＜x＜3}【解答】解：由题意可知A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B＝{x|0＜x＜2}．故选：C．2．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝log2x，则f （﹣2）的值等于（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣2）＝﹣f（2），又∵当x＞0时，f（x）＝log2x，∴f（2）＝log22＝1，∴f（﹣2）＝﹣1．故选：B．3．（5分）要得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，应该把函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移【解答】解：要得到函数y＝sin（2x﹣）＝sin[2（x﹣）]的图象，需要将函数y＝sin2x的图象，向右平移单位即可．故选：D．4．（5分）已知向量，若．则＝（）A．B．C．2D．4【解答】解：∵向量，若，∴（2﹣）•＝2﹣＝2（﹣1+x2）﹣（1+x2）＝﹣3+x2＝0，∴x＝±，则＝＝2，故选：C．5．（5分）设a＝0.5，b＝0.9，c＝log50.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c【解答】解：∵0＜＜0.50＝1，c＝log50.3＜log51＝0，而由幂函数y＝可知，∴b＞a＞c．故选：D．6．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a6＝9，则log3a1+log3a2+…+log3a10＝（）A．12B．2+log35C．8D．10【解答】解：根据等比数列的性质：a1a10＝a2a9＝…＝a5a6＝9，∴log3a1+log3a2+…+log3a10＝log3（a1a2•…•a10）＝＝＝10，故选：D．7．（5分）三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为（）A．2B．4C．D．16【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC＝4，AC边上的高为2，在Rt△SBC中，由SC＝4，可得SB＝4，故选：B．8．（5分）如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A．i≤2014？B．i≤2016？C．i≤2018？D．i≤2020？【解答】解：根据流程图，可知第1次循环：i＝2，S＝；第2次循环：i＝4，S＝；…第1008次循环：i＝2016，S＝；此时，设置条件退出循环，输出S的值．故判断框内可填入i≤2016．故选：B．9．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+c2﹣bc，bc＝4，则△ABC的面积为（）A．B．1C．D．2【解答】解：∵a2＝b2+c2﹣bc，∴由余弦定理可得：cos A＝＝＝，又0＜A＜π，∴可得A＝60°，sin A＝，∴S＝bc sin A＝＝．△ABC故选：C．10．（5分）若函数f（x）＝ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）＝log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）＝ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数则f（﹣x）+f（x）＝0即（k﹣1）（a x﹣a﹣x）＝0则k＝1又∵函数f（x）＝ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数则a＞1则g（x）＝log a（x+k）＝log a（x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选：C．11．（5分）已知l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l∥α，m∥α，则l∥m B．若l⊥m，m∥α，则l⊥αC．若l⊥α，m⊥α，则l∥m D．若l⊥m，l⊥α，则m∥α【解答】解：对于A，若l∥α，m∥α，则l与m的位置关系可能为平行、相交或者异面；故A错误；对于B，若l⊥m，m∥α，则l与α平行或者相交；故B错误；对于C，若l⊥α，m⊥α，利用线面创造的性质可得l∥m；故C正确；对于D，若l⊥m，l⊥α，则m∥α或者m⊂α；故D错误；故选：C．12．（5分）已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝2f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1，则当x∈[﹣10，10]时，y＝f（x）与g（x）＝log4|x|的图象的交点个数为（）A．13B．12C．11D．10【解答】解：由题意，函数f（x）满足：定义域为R，且f（x+2）＝2f（x），当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1；在同一坐标系中画出满足条件的函数f（x）与函数y＝log4|x|的图象，如图：由图象知，两个函数的图象在区间[﹣10，10]内共有11个交点；故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）某大学中文系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的学生比为5：4：3：1，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生80．【解答】解：由题意知，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生人数为：＝80（人）．故答案为：80．14．（5分）已知正数x、y，满足+＝1，则x+2y的最小值18．【解答】解：∵正数x、y，满足+＝1，∴x+2y＝＝10+＝18．当且仅当x＞0，y ＞0，，，解得x＝12，y＝3．∴x+2y的最小值是18．故答案为18．15．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值为．【解答】解：画出可行域，目标函数表示可行域内的点（x，y）与点D（﹣2，0）连线的斜率，当其经过点A（1，2）时，取到最大值为．故答案为：．16．（5分）已知函数，，给出下列结论：①函数f（x）的值域为；②函数g（x）在[0，1]上是增函数；③对任意a＞0，方程f（x）＝g（x）在[0，1]内恒有解；④若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立，则实数a的取值范围是．其中所有正确结论的序号是①②④．【解答】解：①当时，f（x）＝单调递增，∴，即．当x∈时，由函数f（x）＝单调递减，∴，即．∴函数f（x）的值域为．因此①正确．②g（x）＝﹣a﹣2a+2，∵x∈[0，1]，∴，因此在[0，1]上单调递减，又a＞0，∴g（x）在[0，1]上单调递增，因此正确．③由②可知：g（0）≤g（x）≤g（1），∴．若任意a＞0，方程f（x）＝g（x）在[0，1]内恒有解，则必须满足f（x）的值域⊆{g（x）|x∈[0，1]}．∴﹣3a+2≤0，，解得，因此③不正确；④存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立，则由③可知：，g（x）min＝g（0）＝﹣3a+2，∴﹣3a+2≤，，解得，∴实数a的取值范围是．正确．综上可知：只有①②④正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（10分）已知向量．令f（x）＝，（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的值．【解答】解：（1）f（x）＝＝（cos x+sin x）（cos x﹣sin x）+2sin x•cos x＝cos2x﹣sin2x+2sin x cos x＝cos2x+sin2x＝，由最小正周期公式得：．（2），则，令，则，从而f（x）在单调递减，在单调递增．即当时，函数f（x）取得最小值．18．（12分）等差数列{a n}中，a1＝﹣1，公差d≠0且a2，a3，a6成等比数列，前n项的和为S n．（1）求a n及S n；（2）设b n＝，T n＝b1+b2+…+b n，求T n．【解答】解：（1）由题意可得，又∵a1＝﹣1，∴（﹣1+d）•（﹣1+5d）＝（﹣1+2d）2，解得：d＝2．∴a n＝﹣1+2（n﹣1）＝2n﹣3．；（2），∴＝．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明P A∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．【解答】解：方法一：（1）证明：连接AC，AC交BD于O，连接EO．∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点在△P AC中，EO是中位线，∴P A∥EO而EO⊂平面EDB且P A⊄平面EDB，所以，P A∥平面EDB（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC∵PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC．①同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．②由①和②推得DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF＝E，所以PB⊥平面EFD．（3）解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB．设正方形ABCD的边长为a，则，．在Rt△PDB中，．在Rt△EFD中，，∴．所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为．方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC＝a．（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG．依题意得．∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且．∴，这表明P A∥EG．而EG⊂平面EDB且P A⊄平面EDB，∴P A∥平面EDB．（2）证明；依题意得B（a，a，0），．又，故．∴PB⊥DE．由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD．（3）解：设点F的坐标为（x0，y0，z0），，则（x0，y0，z0﹣a）＝λ（a，a，﹣a）．从而x0＝λa，y0＝λa，z0＝（1﹣λ）a．所以．由条件EF⊥PB知，，即，解得∴点F的坐标为，且，∴即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．∵，且，，∴．∴．所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为．20．（12分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[70，80）的概率．【解答】解：（Ⅰ）分数在[70，80）内的频率1﹣（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+0.005）×10＝0.3，故成绩落在[70，80）上的频率是0.3，频率分布直方图如下图．（Ⅱ）由题意，[60，70）分数段的人数为0.15×60＝9人，[70，80）分数段的人数为0.3×60＝18人；∵分层抽样在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，∴[60，70）分数段抽取2人，分别记为m，n；，[70，80）分数段抽取4人，分别记为a，b，c，d；设从中任取2人，求至多有1人在分数段[70，80）为事件A，则基本事件空间包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），…（c，d）共15种，则基本事件A包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d0共9种，∴P（A）＝21．（12分）某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为42万元，且每生产1百台的生产成本为15万元（总成本＝固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述规律，完成下列问题：（1）写出利润函数y＝f（x）的解析式（利润＝销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？【解答】解：（1）由题意得G（x）＝42+15x．∴f（x）＝R（x）﹣G（x）＝．（2）①当0≤x≤5时，由﹣6x2+48x﹣42＞0得：x2﹣8x+7＜0，解得1＜x＜7．所以：1＜x≤5．②当x＞5时，由123﹣15x＞0解得x＜8.2．所以：5＜x＜8.2．综上得当1＜x＜8.2时有y＞0．所以当产量大于100台，小于820台时，能使工厂有盈利．（3）当x＞5时，∵函数f（x）递减，∴f（x）＜f（5）＝48（万元）．当0≤x≤5时，函数f（x）＝﹣6（x﹣4）2+54，当x＝4时，f（x）有最大值为54（万元）．所以，当工厂生产400台时，可使赢利最大为54万元．22．（12分）已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx+1与圆C相交于P、Q两点．（1）求圆C的方程；（2）若•＝﹣2，求实数k的值；（3）过点（0，4）作动直线m交圆C于E，F两点．试问：在以EF为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点M（2，0）？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设圆心C（a，a），半径为r．因为圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），所以|AC|＝|BC|＝r，即，解得a＝0，r＝2，所以圆C的方程是x2+y2＝4．…（3分）（2）因为•＝2×2×cos＜，＞＝﹣2，且与的夹角为∠POQ，所以cos∠POQ＝﹣，∠POQ＝120°，所以圆心C到直线l：kx﹣y+1＝0的距离d＝1，又d＝，所以k＝0．…（7分）（3）（ⅰ）当直线m的斜率不存在时，直线m经过圆C的圆心C，此时直线m与圆C的交点为E（0，2），F（0，﹣2），EF即为圆C的直径，而点M（2，0）在圆C上，即圆C也是满足题意的圆．…（8分）（ⅱ）当直线m的斜率存在时，设直线m：y＝kx+4，由，消去y整理，得（1+k2）x2+8kx+12＝0，由△＝64k2﹣48（1+k2）＞0，得或．设E（x1，y1），F（x2，y2），则有①…（9分）由①得，②，③若存在以EF为直径的圆P经过点M（2，0），则ME⊥MF，所以，因此（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＝0，即x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2＝0，…（10分）则，所以16k+32＝0，k＝﹣2，满足题意．…（12分）此时以EF为直径的圆的方程为x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y+x1x2+y1y2＝0，即，亦即5x2+5y2﹣16x﹣8y+12＝0．…（13分）综上，在以EF为直径的所有圆中，存在圆P：5x2+5y2﹣16x﹣8y+12＝0或x2+y2＝4，使得圆P经过点M（2，0）．…（14分）。
四川省双流中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学试题
四川省双流中学2016-2017学年度下期中期考试高二数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集{}1,2,3,4U =，集合{}{}1,3,4S T ==，则()C S T υ⋃等于（ ） A ．{}2,4B ．{}4C ．φD ．{}1,3,42．已知命题:,25x p x R ∀∈=，则⌝P 为（ ）A ．,25x x R ∀∉=B ．,25x x R ∀∈≠C ．00,25∃∈=x x RD ．00,25∃∈≠x x R 3．圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ） A ．43-B ．34-C ．3D ．24．由直线1,22x x ==，曲线1y x =及x 轴所围成的封闭图形的面积是（ ）A ．1ln 22B ．2ln21-C ．2ln2D ．3ln 25．已知,x y 满足约束条件503x y x y x -≥-⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最小值是（ ）A ．10-B ．6-C ．5D ．386．在正项等比数列{}n a 中，100810091100a a ⋅=，则122016lg lg lg a a a +++=（ ）A ．2015B ．2016C ．2015-D ．2016-7．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为（ ）A ．431+B ．43C ．242315++D ．243315++8．执行如图所示的程序框图，若输出的4n =，则输入整数p 的最大值是（ ）A ．4B ．7C ．8D ．159．若函数()2sin ,0y x ωω=>在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，但最大值不是2，则ω的取值范围是（）A ．()0,2B ．3(0,]2C ．[3,2)2D ．[2,)+∞10．已知函数()212xf x e x mx =--有极值点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1m ≥B ．1m >C ．01m ≤≤D ．01m <<11．已知点21,F F 分别是双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的上，下焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A 2B 3C 23D ．212．定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()'1,06,'f x f x f f x >-=是()f x 的导函数，则不等式()51x f x e>+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．()0,+∞ B ．()(),03,-∞⋃+∞ C ．()(),01,-∞⋃+∞ D ．()3,+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.曲线y =在14x =处的切线的倾斜角为 ．14.已知α为第三象限的角，且sin α=，则tan α= ．15.在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，AE 与BD 交于点M ，1AB =，且16MA MB ⋅=-，则AB AD ⋅= ．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的正整数n 都有26n n S a =-，数列{}n b 满足12b =，且对任意的正整数n 都有1132log 18n n n a b b +⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且数列1n b ⎛⎫ ⎪⎝⎭的前n 项和n T m <对一切n N *∈恒成立，则实数m 的小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数()()32121,3f x x bx x x R =-++∈.（1）若32b =，求函数()y f x =的单调区间； （2）若1x =-是函数()y f x =的一个极值点，试判断此时函数()y f x =的零点个数，并说明理由.18．已知函数()4cos sin 123f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求函数()y f x =的最小正周期；（2）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且,,a b c 成等比数列，求()f B 的范围. 19．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：（1）从编号15-的五位推销员中随机取出两位，求他们年推销金额之和不少于7万元的概率； （2）求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+；若第6名产品推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式为：()()()121ˆˆˆ,==--==--∑∑nii i nii xx x yba y bx xx20．在如下图（1）中的平面多边形ACBEF 中，四边形ABEF 是矩形，点O 为AB 的中点，ABC ∆中，AC BC =，现沿着AB 将ABC ∆折起，直至平面ABEF ⊥平面ABC ，如下图（2），此时OE FC ⊥.（1）证明：OF EC ⊥；（2）若FC 与平面ABC 所成的角为30，求二面角F CE B --的余弦值.21．已知椭圆()2222:10Γ+=>>x y a b a b的右焦点为()222,0F ，且椭圆Γ上的一点M 到其两焦点12,F F 的距离之和为43（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设直线():,l y x m m R =-+∈与椭圆Γ交于不同两点,A B ，且32AB =.若点()0,2P x 满足()0PA PB AB +⋅=，求0x .22．已知函数()21ln 2f x x ax bx =-+且函数()y f x =图象上点()()1,1f 处的切线斜率为0.（1）试用含有a 的式子表示b ，并讨论()f x 的单调性；（2）对于函数图象上的不同两点()()1122,,,A x y B x y 如果在函数图象上存在点()()()00012,,,M x y x x x ∈使得点M 处的切线l AB ，则称AB 存在“跟随切线”.特别地，当1202x x x +=时，又称AB 存在“中值跟随切线”.试问：函数()f x 上是否存在两点,A B 使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出,A B 的坐标，若不存在，说明理由.四川省双流中学2016-2017学年度下期中期考试高二数学试题一、选择题1-5:ADACB 6-10: DABCB 11、12：DA二、填空题13．414.1215.3416.1三、解答题17．解：()2'22f x x bx =-+.（1）32b =时，()()()2'3212f x x x x x =-+=--，令()'0f x >解得1x <或2x >. 所以，32b =时函数的单调递增区间为()(),1,2,-∞+∞. 令()'0f x <解得12x <<. 所以，32b =时函数的单调递减区间为()1,2. （2）因为1x =-是函数()y f x =的一个极值点，则()'10f -=，故：1220b ++=解得： 32=-b ，此时()22'2232f x x bx x x =-+=++，令()'0f x =解得：2x =-或1x =-.则x 变化时，()()',f x f x 的变化情况如下.故此时1x =-时，()f x 有极小值()1106f -=>； 2x =-时，()f x 有极大值()1203f -=>； 则当2x >-时，()()10f x f ≥->，显然函数在()2,-+∞上无零点.又()132f -=-<，（也可取4x =-等），则()()320f f --<，结合函数在(),2-∞-上单调递增，故由零点存在定理知，函数在(),2-∞-上必有唯一零点.综上：若1x =-是函数()y f x =的一个极值点，则此时函数()y f x =在R 上有唯一零点.18．解：()()214sin sin 112sin cos 2f x x x x x x x ⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭cos 222sin 26x x x π⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭.（1）函数()y f x =的最小正周期22T π=.（2）因为,,a b c 成等比数列，2b ac =，在ABC ∆在，由余弦定理有：2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，又由0B π<<，由03B π<≤.又()2sin 26f B B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由03B π<≤，得52,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则 1sin 2,162B π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()[]2sin 22,16f B B π⎛⎫=-+∈-- ⎪⎝⎭，故()f B 的取值范围是[]2,1--.19．从编号15-的五位推销员中随机选出两位，他们的年推销金额组合如下(){}(){}{}{}()(){}(){}(){}2,31,2,32,2,4,2,5,31,32,31,4,31,5，(){}(){}{}32,4,32,5,4,5共10种.其中满足两人年推销金额不少于7万元的情况共有6中，则所求概率63105P ==. （2）由表中数据可知：6, 3.4x y ==，由上公式可得()()()3 1.410.410.63 1.6ˆ0.5,9119b-⨯-+-⨯-+⨯+⨯==+++ˆˆ 3.40.560.4a y bx =-=-⨯=. 故ˆ0.50.4yx =+，又当11x =时，ˆ 5.9y =， 故第6名产品推销员的工作年限为11年，他的年推销金额约为5.9万元.20．解答：（1）连接OC ，则由AC BC =，可知OC AB ⊥，又平面ABC ⊥平面ABEF ，所以OC ⊥平面ABEF ，又,OE OF ⊂平面ABEF ，所以,OC OE OC OF ⊥⊥,又OE FC ⊥，且OC FC C ⋂=，则OE ⊥平面FOC ，所以：OE OF ⊥，则易知：OF ⊥平面COE ，则OF EC ⊥.（2）因为AF AB ⊥，又平面ABC ⊥平面ABEF ，所以AF ⊥平面ABC ，故ACF ∠即为FC 与平面ABC 所成的角，即30ACF ∠=.不妨设1AF =，则AC BC =由（1）的结论可知，1AO BO ==，则OC ，取线段EF 的中点H ，连OH ，则易知，,,OC OB OH 两两垂直，则可以,,OC OB OH 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.则)()()(),0,1,1,E 0,1,1,0,1,0CF B -，设平面CEF 的一个法向量为()1111,,,n x y z =，1100⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩n FE nFC 1111200y y z =⎧⎪+-=111y z =⎧⎪⇒⎨=⎪⎩，令11x =得(1n =. 设平面CEB 的一个法向量为()2222,,n x y z =，2200n BE n BC ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩22200z y =⎧⎪-=222z y =⎧⎪⇒⎨=⎪⎩，令21x =得()21,n =. 记二面角F CE B --大小为θ，则易知θ为钝角，则有121cos cos n ,n 3θ=-<>=-.21．解：（1）由题知c a ==，得a =2224b a c =-=，故椭圆的标准方程为221124x y +=. （2）22221463120124x y x mx m y x m ⎧+=⎪⇒-+-=⎨⎪=-+⎩. 则()212160m ∆=->，解得：44m -<<，且设()()1122,,,A x y B x y 则212123312,24m x x m x x -+==.又：12AB x =+==解得：2m =±.由()()()220PA PB AB PA PB PB PA PB PA +⋅=+⋅-=-=，故PA PB = ①当2m =时,AB 方程为2y x =-+，AB 中点坐标为：31,22⎛⎫⎪⎝⎭，AB 中垂线方程为1y x =-，令2y =得03x =.②当2m =-时，AB 方程为2y x =--，AB 中点坐标为：31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.AB 中垂线方程为1y x =+，令2y =得01x =.综上：01x =或03x =.22．解：函数()y f x =的定义域为()0,+∞，且()1'f x ax b x=-+，又()'10f =，整理得1b a =-. （1）()()()1111'1ax x f x ax b ax a x x x+-+=-+=-+-=. 1）当0a ≥时，易知()0,1x ∈，()()'0,1,f x x >∈+∞时()'0f x <， 故()y f x =在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减. 2）当0a <地，令()'0f x =，解得1x =或1x a=-，则①当11a -=，即1a =-时，()'0f x ≥在()0,+∞上恒成立，则()y f x =在()0,+∞上递增. ②当11a ->，即10a -<<时，当()10,1,x a ⎛⎫∈⋃-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >；当11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()'0f x <.所以：()y f x =在()0,1及1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增：()y f x =在11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减.③当11a -<，即1a <-时，当()10,1,x a ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >；当1,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()'0f x <.所以：()y f x =在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭及()1,+∞上单调递增：()y f x =在1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减.综上：当0a ≥时，()y f x =在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.当10a -<<时，()y f x =在()0,1及1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增：()y f x =在11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.当1a =-时，()y f x =在()0,+∞上递增.当1a <-时，()y f x =在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭及()1,+∞上单调递增；()y f x =在1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减.（2）满足条件的,A B 不存在，理由如下:假设满足条件的,A B 存在，不妨设()()1122,y ,,A x B x y 且120x x <<，则 ()1212121212ln ln 112AB y y x x k a x x a x x x x --==-++---，又 ()12120122''122x x x x f x f a a x x ++⎛⎫==-⨯+- ⎪+⎝⎭，又由题有：()0'AB k f x =，整理可得： 121212ln ln 2x x x x x x -=-+()12112121222122ln 1x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭⇒==*++，令()12,01xt t x =<<，构造函数()()()21ln ,011t g t t t t -=-<≤+，则()()()()22211411t g t t t t t -=-=++，则()0,1t ∈时， ()0g t ≥恒成立，故()y g t =在()0,1上单调递增；所以()0,1t ∈时，()()10g t g <=，所 以()*不可能成立，综上满足条件的,A B 不存在.。
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2016-2017学年四川省成都市彭州市五校联考高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合U=R，Q={x|﹣2≤x≤3}，P={x|x﹣2＜0}，则Q∩（∁U P）=（）A．{x|1≤x≤2}B．{x|x≥1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|2≤x≤3}2．（5分）若复数Z满足Z（i﹣1）=2i（i为虚数单位），则为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣ B．0 C．3 D．4．（5分）设a，b∈R，则“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S=（）A．2 B．6 C．15 D．316．（5分）关于函数f（x）=5sin3x+5cos3x，下列说法正确的是（）A．函数f（x）关于x=π对称B．函数f（x）向左平移个单位后是奇函数C．函数f（x）关于点（，0）中心对称D．函数f（x）在区间[0，]上单调递增7．（5分）某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为（）A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．108．（5分）若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）9．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．310．（5分）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则的最小值为（）A．4 B．12 C．16 D．611．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，P、Q是抛物线上的两点，若△FPQ是边长为2的正三角形，则p的值是（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）是定义在R上且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1，f（x）=x2．如果函数g（x）=f（x）﹣（x+m）有两个零点，则实数m的值为（）A．2k（k∈Z）B．2k或2k+（k∈Z） C．0 D．2k或2k﹣（k∈Z）二、填空题（本大题有5小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.）13．（5分）利用分层抽样的方法在学生总数为800的年级中抽取20名同学，其中女生人数为8人，则该年级男生人数为．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为．15．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a4=18﹣a6﹣a5，则S8=．16．（5分）对任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[﹣3.6]=﹣4，关于函数f（x）=[﹣[]]，有下列命题：①f（x）是周期函数；②f（x）是偶函数；③函数f（x）的值域为{0，1}；④函数g（x）=f（x）﹣cosπx在区间（0，π）内有两个不同的零点，其中正确的命题为（把正确答案的序号填在横线上）．三、解答题：本大题共5小题，75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2bsin A．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a=，c=5，求△ABC的面积及b．18．（12分）如图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名人分配到几所学校，从中安排2人到甲学校去，若n人中仅有两名男生，求安排结果至少有一名男生的概率．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；（2）求三棱锥B1﹣EA1C1的体积．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，且椭圆C过点（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C与y轴负半轴的交点为B，如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点E、F，且B，E，F构成以EF为底边，B为顶点的等腰三角形，判断直线EF与圆x2+y2=的位置关系．21．（12分）已知函数f（x）=e x，g（x）=mx2+ax+b，其中m，a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（I）函数h（x）=xf （x），当a=l，b=0时，若函数h（x）与g（x）具有相同的单调区间，求m的值；（II）记F（x）=f（x）﹣g（x）．当a=2，m=0时，若函数F（x）在[﹣1，2]上存在两个不同的零点，求b的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．2016-2017学年四川省成都市彭州市五校联考高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2017春•彭州市期中）已知集合U=R，Q={x|﹣2≤x≤3}，P={x|x﹣2＜0}，则Q∩（∁U P）=（）A．{x|1≤x≤2}B．{x|x≥1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|2≤x≤3}【解答】解：Q={x|﹣2≤x≤3}，P={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，则∁U P={x|x≥2}，则Q∩（∁U P）=[2，3]，故选：D．2．（5分）（2017春•彭州市期中）若复数Z满足Z（i﹣1）=2i（i为虚数单位），则为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：Z（i﹣1）=2i（i为虚数单位），∴﹣Z（1﹣i）（1+i）=2i（1+i），∴﹣2z=2（i﹣1），解得z=1﹣i．则=1+i．故选：A．3．（5分）（2014•重庆）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣ B．0 C．3 D．【解答】解：∵=（k，3），=（1，4），=（2，1）∴2﹣3=（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）•=0'∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）=0，解得，k=3．故选：C．4．（5分）（2015•雅安模拟）设a，b∈R，则“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a≥1且b≥1则a+b≥2成立，当a=0，b=3时，满足a+b≥2，但a≥1且b≥1不成立，即“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的充分不必要条件，故选：A5．（5分）（2016•绵阳校级模拟）执行如图所示的程序框图，则输出S=（）A．2 B．6 C．15 D．31【解答】解：框图首先给循环变量k和累加变量S赋值k=1，S=1．判断1＜4成立，执行S=1+12=2，k=1+1=2；判断2＜4成立，执行S=2+22=6，k=2+1=3；判断3＜4成立，执行S=6+32=15，k=3+1=4；判断4＜4不成立，跳出循环，输出S的值为15．故选C．6．（5分）（2016•石嘴山校级四模）关于函数f（x）=5sin3x+5cos3x，下列说法正确的是（）A．函数f（x）关于x=π对称B．函数f（x）向左平移个单位后是奇函数C．函数f（x）关于点（，0）中心对称D．函数f（x）在区间[0，]上单调递增【解答】解：对于函数f（x）=5sin3x+5cos3x=10•（sin3x+cos3x）=10sin （3x+），令3x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，可得函数的图象关于直线x=+，k∈Z对称，故A错误．把函数f（x）向左平移个单位后得到y=10sin[3（x+）+]=10sin（3x+）=10cos3x的图象，为偶函数，故B错误．令x=，求得f（x）=10，为函数的最大值，故函数的图象关于直线x=对称，故C错误．在区间[0，]上，3x+∈[，]，故函数f（x）在区间[0，]上单调递增，故D正确．故选：D．7．（5分）（2017•泸州模拟）某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为（）A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．10【解答】解：由表中数据得，，由在直线，得，即线性回归方程为．所以当x=12时，，即他的识图能力为9.5．故选：B．8．（5分）（2014•新课标Ⅱ）若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：f′（x）=k﹣，∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．∴，而y=在区间（1，+∞）上单调递减，∴k≥1．∴k的取值范围是[1，+∞）．故选：D．9．（5分）（2017•西安一模）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【解答】解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．则体积为=，解得x=．故选：C．10．（5分）（2016•江西校级一模）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则的最小值为（）A．4 B．12 C．16 D．6【解答】解：圆（x+3）2+（y+1）2=1的半径为1，圆心（﹣3，﹣1）直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，直线经过圆的圆心．可得：3m+n=2．则=（）（3m+n）=（3+3++）≥3+=6．当且仅当m=，n=1时取等号．故选：D．11．（5分）（2017春•彭州市期中）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，P、Q是抛物线上的两点，若△FPQ是边长为2的正三角形，则p的值是（）A．B．C．D．【解答】解：y2=2px的焦点F（，0），（p＞0）∵正三角形PQF的一个顶点位于抛物线的焦点F，另外两个顶点在抛物线上，∴正三角形PQF关于x轴对称，∴P（x0，1），由P（x0，1）在抛物线上可得1=2px0，∴x0=，∴焦点F到直线AB的距离|﹣|=，解得：p=2±，故选A．12．（5分）（2013•大连模拟）已知f（x）是定义在R上且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1，f（x）=x2．如果函数g（x）=f（x）﹣（x+m）有两个零点，则实数m的值为（）A．2k（k∈Z）B．2k或2k+（k∈Z） C．0 D．2k或2k﹣（k∈Z）【解答】解：由g（x）=f（x）﹣（x+m）=0得f（x）=（x+m）．设y=f（x），y=x+m．因为f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，所以当﹣1≤x≤1时，f（x）=x2．①由图象可知当直线y=x+m经过点O（0，0）时，直线y=x+a与y=f（x）恰有两个公共点，此时m=0，由于函数f（x）是周期为2的函数，所以当m=2k时（k ∈Z），直线y=x+m与曲线y=f（x）恰有两个公共点．②由图象可知直线y=x+m与f（x）=x2相切时，直线y=x+m与曲线y=f（x）也恰有两个公共点．f'（x）=2x，由f'（x）=2x=1，解得x=，所以y=，即切点为（），代入直线y=x+m得m=．由于函数f（x）是周期为2的函数，所以当m=时（k∈Z），直线y=x+m与曲线y=f（x）恰有两个公共点．综上满足条件的实数m的值为m=2k或m=时（k∈Z）．故选D．二、填空题（本大题有5小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.）13．（5分）（2017•乐山二模）利用分层抽样的方法在学生总数为800的年级中抽取20名同学，其中女生人数为8人，则该年级男生人数为480．【解答】解由于样本容量为20，则男生的人数为12人，则该年级男生人数为×800=480，故答案为：48014．（5分）（2015•山东）若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为7．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，由可得A（1，2），z=x+3y，将直线进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值=1+2×3=7．∴z最大值故答案为：715．（5分）（2016•四川二模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a4=18﹣a6﹣a5，则S8=36．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3+a4=18﹣a6﹣a5，∴a3+a4+a6+a5=18，a3+a6=a4+a5=a1+a8．∴2（a1+a8）=18，即a1+a8=9．则S8==36．故答案为：36．16．（5分）（2014•上海模拟）对任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[﹣3.6]=﹣4，关于函数f（x）=[﹣[]]，有下列命题：①f（x）是周期函数；②f（x）是偶函数；③函数f（x）的值域为{0，1}；④函数g（x）=f（x）﹣cosπx在区间（0，π）内有两个不同的零点，其中正确的命题为①③（把正确答案的序号填在横线上）．【解答】解：∵f（x+3）=[﹣[]]=[+1﹣[+1]]=f（x），∴f（x）是周期函数，3是它的一个周期，故①正确．f（x）=[﹣[]]=，结合函数的周期性可得函数的值域为{0，1}，则函数不是偶函数，故②错，③正确．f（x）=[﹣[]]=，故g（x）=f（x）﹣cosπx在区间（0，π）内有3个不同的零点，，2，故④错误．则正确的命题是①③，故答案为：①③三、解答题：本大题共5小题，75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2017春•彭州市期中）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2bsin A．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a=，c=5，求△ABC的面积及b．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）因为a=2bsin A，由正弦定理得sin A=2sin Bsin A，…（2分）由于sin A≠0，故有sin B=，…（4分）又因为B是锐角，所以B=30°．…（5分）=acsin 30°=×3×5×=，…（8分）（Ⅱ）依题意得：S△ABC所以由余弦定理b2=a2+c2﹣2accos B，可得：b2=（3）2+52﹣2×3×5×cos 30°=27+25﹣45=7，…（11分）所以b=．…（12分）18．（12分）（2017•长沙模拟）如图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名人分配到几所学校，从中安排2人到甲学校去，若n人中仅有两名男生，求安排结果至少有一名男生的概率．【解答】解：（Ⅰ）80～90分数段频率为P1=（0.04+0.03）×5=0.35，此分数段的学员总数为21人所以毕业生，的总人数N为N==60，90～95分数段内的人数频率为P1=1﹣（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.1所以90～95分数段内的人数n=60×0.1=6，（Ⅱ）90～95分数段内的6人中有两名男生，4名女生设男生为1，2；女生为3，4，5，6，设安排结果中至少有一名男生为事件A从中取两名毕业生的所有情况（基本事件空间）为12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共15种组合方式，每种组合发生的可能性是相同的，其中，至少有一名男生的种数为12，13，14，15，16，23，24，25，26共9种所以，P（A）==19．（12分）（2017春•彭州市期中）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；（2）求三棱锥B1﹣EA1C1的体积．【解答】证明：（1）过B作CD的垂线交CD于F，则在．在△BCE中，∵BE2+BC2=9=EC2，∴BE⊥BC，∵BB1⊥平面ABCD，∴BE⊥BB1，∵BC∩BB1=B，∴BE⊥平面BB1C1C，（2）∵点E到平面A11C1的距离为AA1=3，∴三棱锥B1﹣EA1C1的体积：====．20．（12分）（2016•绵阳校级模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，且椭圆C过点（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C与y轴负半轴的交点为B，如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点E、F，且B，E，F构成以EF为底边，B为顶点的等腰三角形，判断直线EF与圆x2+y2=的位置关系．【解答】解：（I）由题可知c=2，a2﹣b2=c2，将点（2，1）代入椭圆方程可得+=1，解得a=4，b=2，则椭圆C方程是+=1；（II）设交点为E（x1，y1），F（x2，y2），EF的中点M的坐标为（x M，y M），由，得（1+4k2）x2+8kx﹣12=0，由题可知△=64k2﹣4（1+4k2）（﹣12）＞0恒成立，x1+x2=﹣，x1x2=﹣，可得x M==﹣，y M==1+=，因为△BEF是以EF为底边，B为顶点的等腰角形，所以EF⊥BM．因此BM的斜率k BM=﹣，又点B的坐标为（0，﹣2），所以kBM==﹣，即﹣=﹣，解得k=±，故EF的直线方程为±x﹣4y+4=0，又因为圆x2+y2=的圆心（0，0）到直线EF的距离d==＞，所以直线EF与圆x2+y2=相离．21．（12分）（2017春•彭州市期中）已知函数f（x）=e x，g（x）=mx2+ax+b，其中m，a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（I）函数h（x）=xf （x），当a=l，b=0时，若函数h（x）与g（x）具有相同的单调区间，求m的值；（II）记F（x）=f（x）﹣g（x）．当a=2，m=0时，若函数F（x）在[﹣1，2]上存在两个不同的零点，求b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=e x，函数h（x）=xf（x），∴h（x）=xe x，∴h′（x）=e x+xe x，∵h′（x）=e x+xe x=0，x=﹣1，h′（x）=e x+xe x＞0，x＞﹣1，h′（x）=e x+xe x＜0，x＜﹣1，∴h（x）=xe x，（﹣∞，﹣1）上单调递减，（﹣1，+∞）单调递增，x=﹣1时h（x）取极小值，∵当a=1，b=0时g（x）=mx2+ax+b=mx2+x，若函数h（x）与g（x）具有相同的单调区间，∴﹣=﹣1，m=；（Ⅱ）当m=0，a=2时，F（x）=e x﹣2x﹣b，∴F′（x）=e x﹣2，∵F′（x）=e x﹣2=0，x=ln2，F′（x）=e x﹣2＞0，x＞ln2F′（x）=e x﹣2＜0，x＜ln2，∴F（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，F（x）的最小值为F（ln2）=2﹣2ln2﹣b，∵函数F（x）在[﹣1，2]上存在两个不同的零点，∴2﹣2ln2﹣b＜0，F（﹣1）≥0，F（2）≥0，解得出：b＞2﹣2ln2，b≤+2，b≤e2﹣4，即2﹣2ln2＜b≤+2．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）（2015•陕西）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．【解答】解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（II）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．参与本试卷答题和审题的老师有：刘老师；沂蒙松；whgcn；maths；sxs123；caoqz；刘长柏；qiss；铭灏2016；w3239003；zlzhan；双曲线（排名不分先后）菁优网2017年5月30日。