辽宁省本溪市高级中学2022高二数学9月月考试题
高二数学9月月考试题文含解析
HY中学2021-2021学年高二数学9月月考试题文〔含解析〕第I卷〔选择题)一、单项选择题(1,0),(2,3)A B两点，那么直线AB的倾斜角是〔〕A. 135︒B. 120︒C. 60︒D. 45︒【答案】C【解析】【分析】利用斜率公式求出直线AB，根据斜率值求出直线AB的倾斜角.【详解】直线AB的斜率为30321ABk-==-，因此，直线AB的倾斜角为60，应选：C.【点睛】此题考察直线的倾斜角的求解，考察直线斜率公式的应用，考察计算才能，属于根底题。
2倍，那么该椭圆的离心率为〔〕A. 13B.12C.22D.32【答案】C【解析】【分析】由题意，2a b＝，再用平方关系算得c b=，最后利用椭圆离心率公式可求出椭圆的离心率．倍，∴22a b ，得a ， 又∵a 2＝b 2+c 2，∴2b 2＝b 2+c 2，可得c b ==，因此椭圆的离心率为e c a ==应选：C ．【点睛】此题给出椭圆长轴与短轴的倍数关系，求椭圆的离心率，考察了椭圆的根本概念和简单性质的知识，属于根底题．0(1)A ，点处射到y 轴上一点(02)B ，后被y 轴反射，那么反射光线所在直线的方程是〔 〕A. 220x y +-=B. 220x y -+=C. 220x yD. 220x y +-=【答案】B 【解析】 【分析】由反射定律得点A 关于y 轴的对称点，又因为B 点也在直线上，根据截距式可得直线方程。
【详解】由题得点(1,0)A 关于y 轴的对称点(1,0)A '-在反射光线所在的直线上，再根据点(0,2)B 也在反射光线所在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为112x y+=-，即220x y -+=，应选B.【点睛】此题直线方程可由两点式或者截距式求出，找到点A 的对称点是打破口，属于根底题。
2244x ky k +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围为〔 〕A. 4k >B. 4k =C. 4k <D.04k <<【答案】D 【解析】 【分析】先化简得到椭圆的HY 方程，再列出关于k 的不等式，解不等式即得k 的取值范围.【详解】由题得2214x y k +=，因为方程2244x ky k +=表示焦点在y 轴上的椭圆，所以04k <<. 应选：D【点睛】此题主要考察椭圆的HY 方程，意在考察学生对该知识的理解掌握程度和分析推理才能.22440x y x y ++-=与222120x y x ++-=的公一共弦长等于( )A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心和半径以及公一共弦所在的直线方程，再利用点到直线的间隔 公式，弦长公式，求得公一共弦的长．【详解】∵两圆为x 2+y 2+4x ﹣4y ＝0①，x 2+y 2+2x ﹣12＝0，② ①﹣②可得：x ﹣2y+6＝0．∴两圆的公一共弦所在直线的方程是x ﹣2y+6＝0，∵x 2+y 2+4x ﹣4y ＝0的圆心坐标为〔﹣2，2〕，半径为22， ∴圆心到公一共弦的间隔 为d ＝0， ∴公一共弦长＝42． 应选：A ．【点睛】此题主要考察圆与圆的位置关系，求两个圆的公一共弦所在的直线方程的方法，点到直线的间隔 公式，弦长公式的应用，属于根底题．6.〔2021全国乙改编〕设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,那么3z x y =+的最大值为A. 5B. 9C. 7D. 8【答案】C 【解析】作出可行域如下列图：作出直线0:3l y x =-，将0l 平移至过点(3,2)A -处时，函数3z x y =+有最大值7，应选C.P 在圆221x y +=上变动时，它与定点()3,0Q 相连，线段PQ 的中点M 的轨迹方程是()A. 22(3)1x y -+=B. 22(23)41x y -+=C. 22(3)4x y ++= D. 22(23)44x y ++=【答案】B 【解析】 【分析】设00(,)P x y ，(,)M x y ，利用中点坐标公式可以求出00232x x y y=-⎧⎨=⎩，代入圆方程中，可以求出中点M 的轨迹方程.【详解】设00(,)P x y ，(,)M x y ，因为M 是线段PQ 的中点，所以有0000323222x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，点P 在圆221x y +=上，所以有22(23)41x y -+=，故此题选B.【点睛】此题考察了求线段中点的轨迹方程，考察了中点坐标公式、代入思想.y x b =+与曲线x =b 的取值范围是〔 〕A. b =B. 11b -<或者b =C. 11b -D. 以上都不对【答案】B 【解析】 【分析】曲线21x y =-表示y 轴右侧的半圆，利用直线与半圆的位置关系可务实数b 的取值范围. 【详解】由21x y =-可以得到221x x y ≥⎧⎨+=⎩，所以曲线21x y =-为y 轴右侧的半圆， 因为直线y x b =+与半圆有且仅有一个公一共点，如下图：所以11b -<≤或者012b b <⎧⎪⎨=⎪⎩，所以11b -<≤或者2b =-，应选B.【点睛】此题考察直线与半圆的位置关系，注意把曲线的方程变形化简时要关注等价变形.224x y +=，直线l ：y x b =+，假设圆224x y +=上恰有4个点到直线l 的间隔 都等于1，那么b 的取值范围为( ) A. ()1,1-B. []1,1-C. 2,2⎡⎤-⎣⎦D.(2,2-【答案】D 【解析】【分析】圆224x y +=上恰有4个点到直线l 的间隔 都等于1，所以圆心到直线l ：y x b =+的间隔 小于1，利用点到直线间隔 求出b 的取值范围.【详解】因为圆224x y +=上恰有4个点到直线l 的间隔 都等于1，所以圆心到直线l ：y x b =+的间隔 小于11b b <⇒<<< D.【点睛】此题考察了直线与圆的位置关系、点到直线的间隔 公式，考察了数形结合思想.()2, 2,,3()1A B -，假设直线10kx y --=与线段AB 有交点，那么实数k 的取值范围是〔 〕A. 3(,4),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B. 34,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 3(,4],2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭ D. 34,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】根据题意知A 、B 两点在直线的异侧或者在直线上，得出不等式〔2k ﹣2﹣1〕×〔﹣k ﹣3﹣1〕≤0，求出解集即可．【详解】根据题意，假设直线l ：kx ﹣y ﹣1＝0与线段AB 相交， 那么A 、B 在直线的异侧或者在直线上， 那么有〔2k ﹣2﹣1〕×〔﹣k ﹣3﹣1〕≤0， 即〔2k ﹣3〕〔k +4〕≥0，解得k ≤﹣4或者k ≥32，即k 的取值范围是〔﹣∞，﹣4]∪[32，+∞〕．应选：C ．【点睛】此题考察直线与线段AB 相交的应用问题，考察了转化思想，是根底题．11.M ，N 分别是曲线222212:4470,:20C x y x y C x y x +--+=+-=上的两个动点，P 为直线10x y ++=上的一个动点，那么PM PN ＋的最小值为〔 〕C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心2(1,0)C 关于10x y ++=的对称点为2(-1,2)C '-，那么||||PM PN +的最小值是1212C C R R --'． 【详解】解：圆221:4470C x y x y +--+=的圆心1(2,2)C ，半径为11R = ，圆222:20C x y x +-=，圆心2(1,0)C ，半径为21R =，圆心2(1,0)C 关于10x y ++=的对称点为2(x,y)C '， x+1y+0++1=022y-0=1x-1⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 解得x=-1y=-2⎧⎨⎩故2(-1,2)C '-112221223PM PN PC R PC R C C '∴+≥-+-≥-==．应选：D ．【点睛】此题考察圆的方程，考察点线对称，考察学生分析解决问题的才能，属于根底题．C 与直线2110x y +-=相切，且圆心C 的坐标为(2,2)，设点P 的坐标为0(1,)y -，假设在圆C 上存在点Q ，使得30CPQ ∠=︒，那么0y 的取值范围是 A. 19[,]22-B. [1,5]-C. [22+D. [22-+【答案】C 【解析】 【分析】由题意点C 到直线2110x y +-=的间隔 ，可求得圆C 的方程，又由存在这样的点Q ，当PQ 与圆C 相切时，转化为30CPQ ∠≥︒，由此列出不等式，求得CP ≤，即可求解.【详解】由题意点(2,2)C 到直线2110x y +-=的间隔 =可得圆C 的方程为22(2)(2)5x y -+-=.假设存在这样的点Q ，当PQ 与圆C 相切时，30CPQ ∠≥︒即可，可得sin sin 30CQ CPQ CP ∠==≥︒，得CP ≤≤.解得：022y ≤≤.【点睛】此题主要考察了直线与圆的综合应用问题，其中解答中求得圆的方程，把存在这样的点Q ，当PQ 与圆C 相切时，转化为30CPQ ∠≥︒，列出不等式，求得CP ≤而求解是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于中档试题.二、填空题l 的倾斜角的变化范围为,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，那么直线斜率的取值范围是_______.【答案】⎣ 【解析】 【分析】根据正切函数的单调性求解.【详解】因为正切函数tan y α=在,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以，当,63ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，tan 3α∈⎣，所以斜率tan k α=∈⎣ 【点睛】此题考察直线的斜率和正切函数的单调性，属于根底题.14.过点P(3，4)在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________. 【答案】y=43x 或者x+y-7=0 【解析】当直线过原点时，设y kx =，因为34k =，故43k =，即43y x =， 当直线不过原点时设1x y a a +=，因为341a a+=，故7a =，即70x y +-=.()P x y ，在直线10x y ＝++上运动，那么()()2211x y +－－获得最小值时点P 的坐标为_______． 【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】将所求目的()()2211x y -+-转化为直线上的点(),x y 到点()1,1的间隔 ，可得点()1,1与直线垂直时两点间的间隔 最小，从而得到过点()1,1且与直线垂直的直线，然后联立得到点P 的坐标.【详解】()()2211x y +－－转化为直线10x y ++＝上的点(),x y 到点()1,1的间隔 的平方， 又点()1,1到直线10x y ++＝的间隔 最小， 过点()1,1且与直线10x y ++＝垂直的直线为y x = 因此两直线联立，10x y y x ++=⎧⎨=⎩，解得1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故点P 的坐标为11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】此题考察定点到直线上点的间隔 的最小值，直线交点问题，属于简单题.16.O ：22 1.x y +=假设直线2y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线互相垂直，那么实数k 的取值范围是______．【答案】(,1][1)-∞-⋃+∞， 【解析】【分析】设两个切点分别为A 、B ，那么由题意可得四边形PAOB 为正方形，根据圆心O 到直线2y kx =+的间隔d ≤k 的范围. 【详解】圆心为()0,0，半径1r =，设两个切点分别为A 、B ，那么由题意可得四边形PAOB 为正方形，故有PO ==∴圆心O 到直线2y kx =+的间隔 d ≤≤即212k +≥，解得1k 或者1k ≤-.故答案为：][(),11,-∞-⋃+∞.【点睛】此题主要考察直线和圆相交的性质，点到直线的间隔 公式的应用，表达了转化的数学思想，属于中档题.三、解答题 1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=.(1)假设12l l ⊥，求m 的值；(2)假设12l l //，求m 的值.【答案】〔1〕12m =；〔2〕1m =- 【解析】【分析】〔1〕利用两条直线垂直的条件，结合两条直线的方程可得1×〔m ﹣2〕+m ×3＝0，由此求得m 的值．〔2〕利用两直线平行的条件，结合两条直线的方程可得23218m m m -=≠，由此求得得m 的值．【详解】〔1〕∵直线l 1：x +my +6＝0，l 2：〔m ﹣2〕x +3y +2m ＝0，由l 1⊥l 2 ，可得 1×〔m ﹣2〕+m ×3＝0，解得12m =． 〔2〕由题意可知m 不等于0,由l 1∥l 2 可得23218m m m -=≠，解得 m ＝﹣1． 【点睛】此题主要考察两直线平行、垂直的条件，属于根底题．()22f x x x =-++〔1〕解不等式()6f x ≥；〔2〕对任意的非零实数x ，有2()2f x m m ≥-+恒成立，务实数m 的取值范围.【答案】〔1〕33x x ≤-≥或 〔2〕12m -≤≤【解析】【分析】〔1〕通过讨论x 的范围去绝对值符号，从而解出不等式。
高二数学上学期9月月考试题含解析试题
双峰县第一中学、县一中2021-2021学年高二数学上学期9月月考试题〔含解析〕一、选择题2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，那么M N ⋂=A. (0,4]B. [0,4)C. [1,0)-D. (1,0]-【答案】B 【解析】试题分析：()()234041014x x x x x --<⇒-+<⇒-<<，故M N ⋂=[0,4)，应选B ．考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的运算．2.0a b >>，那么以下不等式成立的是 A. 22a b <B.11a b> C. a b <D.22a b >【答案】D 【解析】试题分析：由0a b >>，得：2211,,a b a b a b>><，所以，选项A,B,C 均不正确； 因为函数2xy =为增函数，所以22a b >，应选D ． 考点：1、不等式的性质；2、指数函数．3.在等差数列{a n }中，a 5=3，a 9=6，那么a 13=〔 〕 A. 9B. 12C. 15D. 18【答案】A 【解析】试题分析：根据等差数列的性质得出2a 9=a 5+a 13，然后将值代入即可求出结果． 解：∵{a n }是等差数列 ∴2a 9=a 5+a 13 a 13=2×6﹣3=9 应选A ．考点：等差数列的通项公式．ABC ∆中，4AB =，3BC =，2CA =，那么ABC ∆为〔 〕A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据大边对大角可知最大内角为C ；利用余弦定理可求得cos 0C <，可知C 为钝角，从而得到结果. 【详解】AB BC CA >> ABC ∆∴最大内角为C22294161cos 022324BC CA AB C BC CA +-+-===-<⋅⨯⨯且()0,C π∈ ,2C ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ABC ∆∴为钝角三角形此题正确选项：C【点睛】此题考察三角形形状的判断，关键是可以通过求解最大角的余弦值确定最大角所处的范围.{}n a 中，1232a a a ++=，4564a a a ++=，那么101112a a a ++= ．【答案】16 【解析】试题分析：设等比数列{}n a 的公比为q，那么34561232a a a q a a a ++==++，那么()931011121232216a a a q a a a ++=++=⨯=，故填16.考点：等比数列的性质.6.以下函数中，同时满足：①在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( ) A. y ＝tan xB. y ＝cos xC. y ＝tan2x D. y ＝|sin x |【答案】A 【解析】选项里面B D ，所给函数都是偶函数，不符合； 选项里面C 所给的函数的周期为2π，不符合； 应选A0,0a b >>3a 与23b 的等比中项，那么21a b+的最小值为〔 〕 A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D 【解析】3a 与23b 的等比中项，∴2223333a b a b +⨯===， ∴21a b +=，∴21214(2)()448b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =且21a b +=，即11,24a b ==时等号成立．选D ．()2sin()4f x x π=+的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移(0)ϕϕ>个单位后得到的图象关于直线2x π=对称，那么ϕ的最小值是( )A.4πB.3π C.34π D.38π 【答案】D 【解析】将函数π()2sin()4f x x =+的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，得到函数π2sin(2)4y x =+的图象，再向右平移ϕ个单位，得到π2sin(22)4y x ϕ=-+的图象，此图象关于直线π2x =对称，故πππ22π(Z)242k k ϕ⨯-+=+∈，解得3ππ,(Z)82k k ϕ=-∈，又0ϕ>，故min 3π8ϕ=；应选D.点睛：此题考察三角函数的图象变换和三角函数的性质；此题的易错点是“向右平移时，平移单位错误〞，要注意左右平移时，平移的单位仅对于自变量x 而言，如：将sin (0)y A x ωω=>的图象将左平移(0)ϕϕ>个单位时得到函数sin[()]y A x ωϕ=+的图象，而不是sin()y A x ωϕ=+的图象.9.()()()211310m x m x m +--+-<对一实在数x 恒成立，那么实数m 的取值范围是〔 〕 A. ()1,+∞B. (),1-∞-C. 13,11⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D.()13,1,11⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】当1m =-时，不等式为一元一次不等式，可求得解集不为R ，不满足题意；当1m ≠-时，根据一元二次不等式与二次函数图象的关系可得不等式组100m +<⎧⎨∆<⎩，解不等式组求得结果.【详解】当1m =-时，()()()21131260m x m x m x +--+-=-<，解得：3x <∴不等式()()()211310m x m x m +--+-<不恒成立，不合题意当1m ≠-时，由()()()211310m x m x m +--+-<对一实在数x 恒成立可得：()()()210112110m m m m +<⎧⎪⎨∆=--+-<⎪⎩，解得：1311m <- 综上所述：m 的取值范围为：13,11⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭此题正确选项：C【点睛】此题考察一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是可以根据二次函数的图象得到开口方向和判别式的要求；易错点是忽略二次项系数为零的情况，造成求解错误.{}n a 为等差数列,假设11101aa <-,且其前n 项和n S 有最大值,那么使得0n S >的最大值n 为A. 11B. 19C. 20D. 21【答案】B 【解析】因为11101a a <-,所以1011a a 与一正一负,又因为其前n 项和n S 有最大值,所以10110,0a a ><,那么数列{}n a 的前10项均为正数,从第11项开场都是是负数,所以又因为11101a a <-,所以1110a a <-,即10110a a +<,所以使得0n S >的最大值n 为19.选B.{}n a 满足()211232222n n na a a a n N -*+++⋅⋅⋅+=∈，那么12310a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅等于〔 〕 A. 5512⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10112⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 9112⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 6612⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】代入1n =求得1a ；当2n ≥时，可知22123112222n n n a a a a ---+++⋅⋅⋅+=，与等式作差可求得12n na =，可知数列{}n a 为等比数列；由等比数列下标和性质将所求等式化为()5110a a ，求得110a a 后代入求得结果. 【详解】当1n =时，112a =当2n ≥且n *∈N 时，22123112222n n n a a a a ---+++⋅⋅⋅+=1112222n n n n a --∴=-= 12n n a ∴=经历证，1n =时，1a 满足12n n a = ()12n n a n N *∴=∈∴数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列 1102956a a a a a a ∴==⋅⋅⋅= 又1011110111222a a ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 51155123101122a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦此题正确选项：A【点睛】此题考察由数列前n 项和求解数列通项公式、等比数列的判断、等比数列性质应用等知识；关键是可以确定等式为数列的前n 项和的形式，进而根据前n 项和与通项关系求得与n a 有关的数列的通项公式.ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设cos cos 3sin B C A b c C+=，π3B =，那么a c +的取值范围是A. B. 3(2C. 2D. 3[2【答案】A 【解析】因为cos cos 3sin B C A b c C +=，所以sin cos cos 3sin 3A cB bC C +==，由正弦定理可得sin cos cos sin C B C B +=sin 3A，即()sin sin sin 3AB C A +==，所以b =π3B =，所以1sin sin sin a b c A B C ===，所以2π3πsin sin sin sin sin 326a c A C A A A A A ⎛⎫⎛⎫+=+=+-==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2π03A <<，所以ππ5π666A <+<π6A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即a c <+≤， 应选A ．二、填空题ABC ∆中，假设3BC =，AC =3A π∠=，那么B ∠=__________．【答案】6π 【解析】在ABC ∆中，由正弦定理可得AC BC sinB sinA ==，解得12sinB =. 因为AC BC <，所以B A ∠<∠，得6B π=.故答案为：6π.{}n a 中，假设1111n n na a a n +==+，，那么n a = ______ ． 【答案】1n【解析】 【分析】根据条件，确定数列{}n na 为常数数列，即可求出结果.【详解】1111n n na a a n +==+，，那么11(1)1n n n a na a ++=== ∴1n a n =. 故答案为1n.【点睛】此题考察根据递推公式计算数列的通项公式的方法，考察转换思想和计算才能.15.,x y 满足约束条件420y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，那么2z x y =+的最大值为__________．【答案】10 【解析】 【分析】画出不等式组表示的可行域，由2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，根据z 的几何意义求出最优解，进而得到所求的最大值． 【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影局部所示．由2z x y =+得2y x z =-+．平移直线2y x z =-+，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 获得最大值．由402x y y +-=⎧⎨=-⎩，解得62x y =⎧⎨=-⎩，故点A 的坐标为(6,2)-， 所以max 26210z =⨯-=． 故答案为10．【点睛】用线性规划求目的函数的最值表达了数形结合在数学中的应用，解题时要先判断出目的函数中z 的几何意义，然后再结合图形求解，常见的类型有截距型、斜率型和间隔 型三种，其中解题的关键是正确画出不等式组表示的可行域．n S 是数列{}n a 的前n 项和，假设()112nn n n S a =-+，那么129S S S ++⋅⋅⋅+=______. 【答案】3411024【解析】 【分析】代入1n =求得1S ；当2n ≥时，将n a 变为1n n S S --，分别在n 为偶数和n 为奇数的时候求得1n S -，然后利用等比数列求和公式求得结果.【详解】当1n =时，1111122S a S =-+=-+ 114S ∴= 当2n ≥且n *∈N 时，()()1112nn n n n S S S -=--+假设n 为偶数，那么112n n S -=假设n 为奇数，那么111111222n n n n S S -++=+= 10n S -∴=2345512911*********44144444102414S S S ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴++⋅⋅⋅+=++++==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-此题正确结果：3411024【点睛】此题考察利用n a 与n S 关系求解通项公式、等比数列求和公式的应用等知识，关键是可以通过分类讨论得到n S ，进而得到{}n S 的奇数项为等比数列.三、解答题2320ax x -+<的解集为{1}A x x b =<<．(1)求a ，b 的值；(2)求函数1()(2)()(1)f x a b x a b x =+--- ()x A ∈的最小值．【答案】〔1〕1，2；〔2〕8. 【解析】分析：第一问应用一元二次不等式解的边界值就是对应的一元二次方程的根，从而将1x =代入，求得a 的值，代入原不等式，解不等式即可求得b 的值；第二问先将,a b 的值代入，之后对式子进展整理，应用根本不等式求得结果.详解：(1)∵不等式2320ax x -+<的解集为{1}A x x b =<< ∴1和b 是方程2320ax x -+=的两根 ,∴2320320a ab b -+=⎧⎨-+=⎩解得1a =，2b =. (2)由(1)得()()114414811f x x x x x =+=-++≥--, 当且仅当()1411x x -=-，即32x A =∈时，函数()f x 有最小值8．点睛：〔1〕利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可求出结果；〔2〕将,a b 的值代入，利用对勾函数的单调性也可以求得结果，也可以利用根本不等式求解.ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，2cos cos cos a B b C c B =+.〔Ⅰ〕求角B 的大小；〔Ⅱ〕假设b =ABC S ∆=，求a c +.【答案】〔1〕3B π=〔2〕a c +=【解析】 【分析】(1)首先可以通过解三角形的正弦定理将2cos cos cos a B b C c B =+转化为2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+，再通过三角形的内角的取值范围得出角B 的值；(2)通过ABC S ∆可计算出ac 的值，再通过解三角形的余弦定理得出a c +的值。
高二数学上学期9月月考试题含解析 试题
HY 中学2021-2021学年高二数学上学期9月月考试题〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.假设a ，b ，c R ∈，且a b >，那么以下不等式一定成立的是〔 〕A. 2c 0a b >-B. ()2a b c0- C. a c b c +>-D.22 ac bc >【答案】B 【解析】【分析】利用不等式的性质或者者举反例逐一分析得解.【详解】对于选项A,20,0,a b c ->≥所以2c 0a b≥-，所以该选项错误；对于选项B, 20,0,a b c ->≥所以()2a b c0-，所以该选项正确；对于选项C,()2a c b c a b c +--=-+不一定大于零，所以该选项错误； 对于选项D,222()0ac bc a b c -=-≥，所以22 ac bc ≥，所以该选项错误. 应选：B【点睛】此题主要考察不等式的性质，意在考察学生对该知识的理解掌握程度和分析推理才能.2.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，假设010,15,A 30a b ===，那么此三角形〔 〕 A. 无解B. 有一解C. 有两解D. 解的个数不确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理求sin B ，与sin A 比拟的大小，判断B 能否取相应的锐角或者钝角. 【详解】由010,15,A 30a b ===及正弦定理，得1015sin 30sin B =，3sin sin 4B A =>，B可取锐角；当B 为钝角时，sin sin()B A π>-，由正弦函数在(,)2ππ递减，B A π<-，可取.应选C.【点睛】此题考察正弦定理，解三角形中何时无解、一解、两解的条件判断，属于中档题.3.不等式23121x x x +-≥-的解集为〔 〕A. (][),12,-∞-⋃+∞B. (]1,1,22⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C. (]1,1,22⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦ D. [)11,2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】利用分式不等式和高次不等式的解法解不等式得解.【详解】由题得2310,21x x x +--≥-所以220,21x x x --≥-所以2)(1)0,21x x x -+≥-（所以210(21)(2)(1)0x x x x -≠⎧⎨--+≥⎩，所以1122x x -≤<≥或. 应选：D【点睛】此题主要考察分式不等式和高次不等式的解法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.4.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 3+a 11+a 13＝9，那么S 17＝〔 〕 A. 51 B. 57C. 42D. 39【答案】A 【解析】 【分析】根据求出9a 的值，再利用等差数列的性质求17S .【详解】由题得11119210123(8)39a d a d a d a d a +++++=+==， 所以93a =，所以1791717351S a ==⨯=. 应选：A【点睛】此题主要考察等差数列的性质和前n 项和的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.5.数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，那么2020a 的值是〔 〕 A. 2 B. -3C. 12-D.13【答案】D 【解析】 【分析】先通过列举找到数列的周期，再利用数列的周期求值.【详解】由题得23451111121311323,,,2111213231123a a a a +-+-==-==-====-++-， 所以数列的周期为4， 所以202041=3a a =. 应选：D【点睛】此题主要考察递推数列和数列的周期，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.6.假设不等式ax 2+ax ﹣1≤0的解集为实数集R ，那么实数a 的取值范围为〔 〕 A. 0≤a≤4 B. ﹣4＜a ＜0C. ﹣4≤a＜0D. ﹣4≤a≤0 【答案】D 【解析】 【分析】讨论0a =和0a ≠时，求出不等式的解集为R 时实数a 的取值范围． 【详解】0a =时，不等式210ax ax +-化为10-，解集为实数集R ；0a ≠时，应满足0a <⎧⎨⎩，所以240a a a <⎧⎨+⎩， 解得40a -<；综上，实数a 的取值范围是40a -． 应选：D ．【点睛】此题考察了含有字母系数的不等式恒成立问题和二次不等式的恒成立问题，是根底题．7.某船只在海面上向正向行驶了xkm 迅速将航向调整为南偏西60°，然后沿着新的方向行驶了km ，此时发现离出发点恰好3km ，那么x 的值是〔 〕 A. 3 B. 6 C. 3或者6 D. 4或者6【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，根据正弦定理计算角度，得出角的大小，分情况求出x 的值． 【详解】设出发点为A ，向东航行到B 处后改变航向到达C ，那么AB x =，3AC =，BC =30ABC ∠=︒，由正弦定理可得：sin sin AC BC ABC BAC =∠∠，即3sin30=︒，sin BAC ∴∠． 60BAC ∴∠=︒或者120︒，〔1〕假设60BAC ∠=︒，那么90ACB ∠=︒，ABC ∆为直角三角形， 26AB AC ∴==，〔2〕假设120BAC ∠=︒，那么30ACB ∠=︒，ABC ∆为等腰三角形，3AB AC ∴==．应选：C ．【点睛】此题主要考察正弦定理在解三角形中的应用，意在考察学生对该知识的理解掌握程度，属于根底题.8.假设关于x 的不等式〔m+1〕x 2﹣mx ﹣1＞0的解集为〔1，2〕，那么m ＝〔 〕 A.32B. 32-C. 34-D.34【答案】B 【解析】 【分析】先根据韦达定理得到方程组，再解方程组即得m 的值.【详解】由题得101211121m m m m ⎧⎪+<⎪⎪+=⎨+⎪⎪⨯=-⎪+⎩，所以32m =-.应选：B【点睛】此题主要考察一元二次不等式解集的性质，意在考察学生对该知识的理解掌握程度和分析推理才能.9.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 2S 4＝a 4S 2，那么20191S S =〔 〕A. 1B. ﹣1C. 2021D. ﹣2021【答案】A 【解析】 【分析】先由得到公比q=-1,再求20191S S 的值得解. 【详解】由题得23311111111()()a q a a q a q a q a q a a q +++=+， 即233q(1)(1)q q q q q +++=+， 所以232(1)(1)q q q q q +++=+， 所以1q =-.所以20191201911(1(1))S 11=1S a a --+=.应选：A【点睛】此题主要考察等比数列的通项和前n 项和公式的应用，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.10.在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD ，2AB =，sinC 6=，那么BC BD =〔 〕 A. 2 B. 3【答案】A 【解析】 【分析】ABD ∆中，由余弦定理222cos 2AB AD BD A AB AD+-=可求cos A ，然后结合同角平方关系可求sin A ，在ABC ∆中，由正弦定理sin sin AB BCC A=，可求BC 即得解. 【详解】由题意可设AB AD x ==，BD =， ABD ∆中由余弦定理可得，2222222413cos 223x x xAB AD BD A AB ADx +-+-===，(0,)A π∈，sin A ∴=sin C =ABC ∆中，由正弦定理可得，sin sinAB BCC A=，=BC ∴=那么2xBC BD ==， 应选：A ．【点睛】此题主要考察了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，解题的关键是纯熟应用根本公式.11.在等差数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，假设90S >，100S <，那么在912129,,,S S S a a a ⋯中最大的是〔 〕A. 11S aB. 88S aC. 55S aD. 99S a【答案】C 【解析】【分析】由题意知5600a a ＞，＜ ．由此可知569121256900...0,0,...0S S S S S a a a a a ，，，>>><<，所以在912129...S S S a a a ，，，中最大的是55S a ． 【详解】由于191109510569()10()9050222a a a a S a S a a ++====+＞，（）＜ ， 所以可得5600a a ＞，＜． 这样569121256900...0,0,...0S S S S Sa a a a a ，，，>>><<， 而125125S S S a a a ⋯⋯＜＜＜，＞＞＞ ，所以在在912129...S S S a a a ，，，中最大的是55S a ． 应选C ．【点睛】此题考察等数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．属中档题.12.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()()222cos cos ab c a B b A abc +-⋅+=，假设ABC ∆的外接圆半径为3，那么ABC∆的周长的取值范围为〔 〕 A. (]2,4 B. (]4,6C. ()4,6D. (]2,6【答案】B 【解析】 【分析】先根据正弦定理与余弦定理化简条件得C ，再根据正弦定理得c ，最后根据余弦定理求+a b最大值，由三角形三边关系确定+a b 范围，即得ABC ∆的周长的取值范围. 【详解】因为()()222cos cos ab c a B b A abc+-⋅+=，所以()2cos cos abcosC sinA B sinB A absinC ⋅+=，()2sin cosC A B sinC ⋅+=，21cosC =，3C π=, c 223sin π== 因此()()()()22222222223344a b a b c a b abcosC a b ab a b ab a b ++=+-=+-=+-≥+-⨯=.即()22244a b a b +≤+≤，,因为2a b c +>=,所以(]4,6a b c ++∈,选B.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合条件灵敏转化边和角之间的关系，从而到达解决问题的目的.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.13.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，假设a ＝3，c ＝7，C=60°，那么边长b ＝_________. 【答案】8 【解析】 【分析】由余弦定理得到b 的方程，解方程即得解. 【详解】由余弦定理得2149=9+232b b -⨯⨯， 即23400b b --=， 所以b=8或者-5〔舍〕. 故答案为：8【点睛】此题主要考察余弦定理解三角形，意在考察学生对该知识的理解掌握程度，属于根底题.14.数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n+1＝2S n 〔n ∈N *〕，那么a n ＝____________.【答案】211232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，， 【解析】 【分析】利用项和公式求解即可.【详解】由题得1122(2)n nnn a S a S n +-=⎧⎨=≥⎩，两式相减得+1=32)n n a a n ≥（，即+1=32)n na n a ≥（， n=1时，2212,23a a a =∴=≠， 所以数列{a n }从第2项起是等比数列，所以n-2=232)n a n ⋅≥（， 所以数列的通项为211232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，，. 故答案为：211232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，， 【点睛】此题主要考察项和公式求数列的通项，意在考察学生对该知识的理解掌握程度，属于根底题.15.数列{}n a 满足()1223,2,4n n a a a a n N *+==-=∈ ，那么数列{}na 的通项公式为__________．【答案】2122n n n a n n +⎧=⎨-⎩，为奇数，为偶数【解析】 【分析】由题得到该数列的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差都是4，再求数列的通项得解.【详解】因为()1223,2,4n n a a a a n N*+==-=∈，所以该数列的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差都是4，当n 为奇数时，1=3+1)42n 12n n a +-⨯=+（， 当n 为偶数时，=2+1)42n 22n na -⨯=-（.故数列的通项为2122n n n a n n +⎧=⎨-⎩，为奇数，为偶数.故答案为：2122n n n a n n +⎧=⎨-⎩，为奇数，为偶数【点睛】此题主要考察数列通项的求法，意在考察学生对该知识的理解掌握程度.ABC ∆中，120C =︒，tan 5tan A B =，那么sin sin AB的值是______.1 【解析】 【分析】根据C 的值利用余弦定理得到a b c 、、的一个关系式；再将tan 5tan A B =化切为弦得到第二个a b c 、、的关系式，两式联立消去c ，从而得到a b 、的关系式，化简可得ab的值，即为sin sin AB的值. 【详解】由余弦定理可得：2222cos c a b ab C =+-，那么222c a b ab =++；又因为tan 5tan A B =，所以sin cos 5sin cos A B B A =，化简得222323a c b -=； 两式联立消2c 得22250a ab b --=，那么2()250a a bb --=，解得ab=；由正弦定理可知：sin =sin A aB b. 【点睛】解三角形的问题中，出现了有关正切的条件，要注意将其转化为正、余弦的形式去处理，因为这对后面去使用正、余弦定理睬更加的便捷.三、解答题：一共70分。
高二数学9月月考试题含解析 试题
思南中学2021-2021学年高二数学9月月考试题〔含解析〕创作单位：*ＸＸＸ创作时间：2022年4月12日 创作编者：聂明景考前须知：1．在答题之前填写上好本人的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写上在答题卡上第I 卷〔选择题)一、单项选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分){}|2A x R x =∈≥，2{|20}B x R x x =∈--<那么以下结论正确的选项是〔 〕A. AB R = B. A B ϕ⋂≠C. ()R A C B ⊆D.()R A C B ⊇【答案】C 【解析】集合{}{}222A x R x x R x x 或=∈≥=∈≥≤-{}2{|20}|12B x R x x x R x =∈--<=∈-<< {}|12A B x R x x ∴=∈>-≤-或,所以A 错误A B B ∴⋂=∅∴，错误{}|22R C B x R x x =∈≥≤-或,()R A C B ∴⊆,所以C 正确，D 错误故答案选C(12)a =-，，b (1,1)=，m a b =+，n a b λ=-，假如m n ⊥，那么实数λ=〔 〕A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A 【解析】()12a =-，，() 1,1b →= ()2,1mab∴→=→+→=-()1,2nabλλλ→=→-→=---(),21mnmnλ→⊥→∴→⋅→=-()()120λ+---=,4λ∴=故答案选A3.执行如下图的程序框图，假设输入的a ，b 的值分别为1，1，那么输出的S 是〔〕A. 29B. 17C. 12D. 5【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】1,1,4,31,3,3,73,7,2,177,17,1a b n S a b n S a b n S a b n ===============完毕，输出17S = 故答案选B【点睛】此题考察了程序框图的计算，属于常考题型.4.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，那么抽取的42人中，编号落入区间[]481,720的人数为〔 〕 A. 12 B. 11C. 14D. 13【答案】A 【解析】【分析】由抽取的样本人数，确定每组样本的容量，计算出编号落入区间[]1,720与[]1,480各自的人数再相减.【详解】由于抽取的样本为42人，所以840人要分成42组，每组的样本容量为20人， 所以在区间[]1,480一共抽24人，在[]1,720一共抽36人，所以编号落入区间[]481,720的人数为362412-=人.【点睛】此题考察系统抽样抽取样本的根底知识，考察根本数据处理才能.5.如图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为〔 〕A. 253πB.263πC. 223πD. 233π【答案】A 【解析】 【分析】由三视图复原原几何体，可知原几何体为球的组合体，是半径为2的球的34与半径为1的球的14，再由球的体积公式计算即可． 【详解】由三视图复原原几何体，如下图，可知原几何体为组合体，是半径为2的球的34与半径为1的球的14， 其球的组合体的体积33341425V 2143433πππ=⨯⨯+⨯⨯= . 应选：A ．【点睛】此题考察了三视图复原原几何体的图形，求球的组合体的体积，属于中档题．6.2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，那么,,a b c 的大小关系为A. c b a <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】利用利用0,1,2等中间值区分各个数值的大小。
高二数学9月月考试题理含解析试题
中学2021-2021学年高二数学9月月考试题 理〔含解析〕一、单项选择题〔一共12小题,每一小题5分，一共60分)(1,3,2)A -，(2,3,2)B -，那么,A B 两点间的间隔 为〔 〕B. 25C. 5【答案】C 【解析】A 〔1，3，-2〕、B 〔-2，3，2〕，那么A 、B 两点间的间隔 5=应选Cl310y +-=，那么直线l 的倾斜角为〔 〕A. 0150B. 0120C. 060D. 030【答案】A 【解析】由直线l 310y +-=，可得直线的斜率为k=3-，设直线的倾斜角为α〔0°≤α＜180°〕，那么tanα=3-，∴α=150°． 应选：A ．1x ya b-=在y 轴上的截距为( ) A. b B. b -C. bD. b ±【答案】B 【解析】【分析】令x ＝0，求出y 的值即为所求. 【详解】直线1x y a b -=，令x ＝0，解得y ＝﹣b ，∴直线1x ya b-=在y 轴上的截距为﹣b ． 应选：B ．【点睛】此题考察直线方程的纵截距的求法，注意直线性质的合理运用，属于根底题．4.直线10y +-=与直线30my ++=平行，那么它们之间的间隔 是( ) A. 1 B.54C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】由题意两直线平行，得12m m=⇒=，由直线10y +-=可化为220y +-=，再由两直线之间的间隔 公式，即可求解.【详解】由题意直线10y +-=与直线30my ++=平行，那么12m m=⇒=，即230y ++=10y +-=可化为220y +-=， 所以两直线之间的间隔为54d ==，应选B. 【点睛】此题主要考察了两条平行线的间隔 的求解，其中解答中根据两直线的平行关系，求得m 的值，再利用两平行线间的间隔 公式求解是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.(2,5)P 关于直线1x y +=的对称点的坐标是( )A. (5,2)--B. (4,1)--C. (6,3)--D.(4,2)--【答案】B 【解析】 【分析】设点P 〔2，5〕关于直线x+y=1的对称点Q 的坐标为〔m ，n 〕，利用垂直及中点在轴上这两个条件求出m 、n 的值，可得结论．【详解】设点P 〔2，5〕关于直线x+y=1的对称点Q 的坐标为〔m ，n 〕，那么由题意可得5(1)12,4, 1.25122n m m n m n -⎧⋅-=-⎪⎪-∴=-=-⎨++⎪+=⎪⎩ 故答案为：B ．【点睛】〔1〕此题主要考察点关于直线对称的点的坐标的求法，意在考察学生对该知识的掌握程度和分析推理计算才能.(2) 求点11(,)P x y 关于直线l:0ax by c对称的点22(,)P x y '的坐标，可以根据直线l 垂直平分PP '得到方程组212112121022y y a b x x x x y y a b c -⎧-⨯=-⎪-⎪⎨++⎪⋅+⋅+=⎪⎩，解方程组即得对称点22(,)P x y '的坐标.(2,3),(3,2)A B ---，直线l 方程为10kx y k -++-=，且直线l 与线段AB 相交，求直线l的斜率k 的取值范围为〔 〕 A. 34k ≥或者 4k ≤- B. 34k ≥或者 14k ≤-创作；朱本晓 2022年元月元日C. 344k -≤≤ D. 344k ≤≤【答案】A 【解析】 【分析】先求出线段AB 的方程，得出()51332x y y =---≤≤-，在直线l 的方程中得到11y k x -=-，将513x y =--代入k 的表达式，利用不等式的性质求出k 的取值范围。
2021-2022学年辽宁省本溪市第二十五中学高二数学文月考试题含解析
2021-2022学年辽宁省本溪市第二十五中学高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，.直线与曲线和分别相交于A，B两点，且曲线在A处的切线与曲线在B处的切线斜率相等，则a的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】分别求导，根据题意，在上有解，方程在上有解转化为函数与函数的图象在上有交点，计算得到答案.【详解】函数的定义域为，，.因为曲线在A处的切线与在B处的切线斜率相等，所以在上有解，即方程在上有解.方程在上有解转化为函数与函数的图象在上有交点，令过原点且与函数的图象相切的直线的斜率为k，只须，令切点为，则，又，所以，解得，于是，所以.故答案选A【点睛】本题考查了曲线的切线问题，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.2. 不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（）参考答案：A3. 过点且平行于直线的直线方程为（）A． B．C．D．参考答案：A4. 命题“”的否定是（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到答案。
【详解】根据全称命题的否定是特称命题，所以命题“”的否定是“”；故答案选C【点睛】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题。
5. 已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为A．2 B．1 C．-4 D．4 参考答案：A6. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A． B． C． D．参考答案：C7. 为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：由最小二乘法得y与x的线性回归方程为，则当时，繁殖个数y的预测值为（）A. 4.9B. 5.25C. 5.95D. 6.15参考答案：B【分析】根据表格中的数据，求得样本中心为，代入回归直线方程，求得，得到回归直线的方程为，即可作出预测，得到答案．【详解】由题意，根据表格中的数据，可得，即样本中心为，代入回归直线方程，即，解得，即回归直线的方程为，当时，，故选B．【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的特征，求得回归直线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8. 已知集合A={x||x﹣a|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}，若A∩B=?，则实数a的取值范围是( ) A．B．（2，3）C．参考答案：B【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】根据绝对值的性质和一元二次不等式的解法分别求出集合A和B，再根据A∩B=?，说明集合A与集合B没有公共元素，从而进行求解；【解答】解：∵集合A={x||x﹣a|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}，∴A={x|a﹣1≤x≤a+1}B={x|x≥4或x≤1}，∵A∩B=?，∴解得2＜a＜3，故选B；【点评】此题主要考查交集和并集的定义，还考查绝对值的性质，解题过程中要理解空集的含义，此题是一道基础题；9. 数据5，7，7，8，10，11的标准差是（）A．8B ．4C ．2D ．1参考答案：C10. 己知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．2 B．3 C．D．参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由x=﹣1是抛物线y 2=4x 的准线，推导出点P 到直线l 1：4x ﹣3y+6=0的距离和到直线l 2：x=﹣1的距离之和的最小值．【解答】解：∵x=﹣1是抛物线y 2=4x 的准线， ∴P 到x=﹣1的距离等于PF ， ∵抛物线y 2=4x 的焦点F （1，0）∴过P 作4x ﹣3y+6=0垂线，和抛物线的交点就是P ，∴点P 到直线l 1：4x ﹣3y+6=0的距离和到直线l 2：x=﹣1的距离之和的最小值 就是F （1，0）到直线4x ﹣3y+6=0距离，∴最小值==2．故选：A ．【点评】本题考查抛物线性质的应用，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线的性质，注意等价转化思想的合理运用．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数f （x ）=（x 2﹣5x+6）的单调递增区间为 ．参考答案：（﹣∞，2）考点： 复合函数的单调性． 专题： 函数的性质及应用．分析： 令t=x 2﹣5x+6＞0，求得函数的定义域，根据f （x ）=t ，本题即求函数t 在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t 在定义域内的减区间．解答： 解：令t=x 2﹣5x+6＞0，求得函数的定义域为{x|x ＜2或x ＞3}，且f （x ）=t ，故本题即求函数t 在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t 在定义域{x|x ＜2或x ＞3}内的减区间为（﹣∞，2）， 故答案为：（﹣∞，2）．点评： 本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题． 12. 已知，则= 。
高二数学9月测试试题 文
英杰2021-2021学年度第一学期九月测试高二年级数学〔文科〕试卷满分是：150分 时限：120分钟一、选择题〔一共12小题，每一小题5分，满分是60分.〕1、设集合}52|{},7,5,3,1{≤≤==x x B A ，那么B A =〔 〕A.}3,1{B.}7,1{C.}5,3{D.}7,5{2、函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥+-=3,23,2)(2x x x x x f x ，那么))2((f f =〔 〕 A.14 B.12 C3、点)1,33(),1,3(-B A ，那么直线AB 的倾斜角为〔 〕A.︒30B.︒60C.︒120D.︒1504、记n S 为等差数列}{n a 前n ,48,24654==+S a a 那么}{n a 的公差为〔 〕A.1B.2 C5、ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，假设B a A b cos sin =，那么角B =〔 〕A.︒30B.︒45C.︒60D.︒906、两条不同的直线n m ,，两个不同的平面βα,，那么以下命题中正确的选项是〔 〕 βαβα⊥⊥,//,n m ，那么n m ⊥βαβα⊥⊥,,//n m ，那么n m //βαβα⊥⊥⊥,,n m ，那么n m ⊥βαβα//,//,//n m ，那么n m //7、不等式0322<--x x 的解集为A ，不等式062<-+x x 的解集为B ，不等式02<++b ax x 的解集为B A ，那么b a +=〔 〕A.3-B.1-8、直线0121=-+ay x l ：与01)12(2=---ay x a l ：平行，那么a =〔 〕4141 D.41 9、设函数)3cos()(π+=x x f ，那么以下结论错误的选项是．．．．．．〔 〕 A.)(x f 的一个周期是π2- B.)(x f 的图象关于直线π38=x 对称 C.)(π+x f 的一个零点为6π=x D.)(x f 在),2(ππ上单调递减10、ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，假设︒=+-=60,6)(22C b a c ，那么ABC ∆的面积为〔 〕 A.3 B.239 C.233 D.33 11、假设圆422=+y x 上只有两个不同的点到直线0=+-a y x l ：的间隔 为1，那么实数a 的取值范是〔 〕 A.)2,2(- B.),2(+∞ C.)2,23(-- D.)23,2()2,23( --12、在四面体BCD A -中，2,3======CD AB BD AD BC AC .那么AD 与平面BCD 所成角的余弦值为〔 〕 A.31 B.33 C.36 D.32 二、填空题〔一共4小题，每一小题5分，满分是20分.〕13、设向量)1,(),2,1(m b a =-= ，假设向量b a 2+与b a -2平行，那么b a ⋅= ▲ .14、函数)0,0(4)(>>+=a x xa x x f 在3=x 时获得最小值，那么a = ▲ . 15、等比数列}{n a 中，384,3103==a a ，那么n a = ▲ .16、假设实数y x ,满足3)2(22=+-y x ，那么xy 的最大值为 ▲ . 三、解答题〔一共6小题，满分是70分.解容许写出相应文字说明和必要解题步骤.〕17、〔本小题满分是10分〕等差数列}{n a 前三项之和为9-，前三项之积为15-.〔1〕求等差数列}{n a 的通项公式；〔2〕假设}{n a 为递减数列，记11+⋅=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和n S . 18、〔本小题满分是12分〕ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且-+=C A B 222sin sin sinC A sin sin 3.〔1〕求角B 的大小；〔2〕假设2=b ，且ABC ∆的面积为3，求c a ,.19、〔本小题满分是12分〕ABC ∆中，点A 的坐标是)3,1(，AB 边上的中线所在直线的方程是012=+-y x ，AC 边上的中线所在直线的方程是1=y .〔1〕求BC 边所在直线的方程；〔2〕求ABC ∆的外接圆方程.20、〔本小题满分是12分〕如图，直三棱柱111C B A ABC -中， BC AC AA BC AC ⊥===,11.〔1〕求三棱锥11ABC A -的体积；〔2〕求证：B A AC 11⊥.21、〔本小题满分是12分〕 A 1C 1B 1 BC A直线87)12()2(+=+++m y m x m l ：.〔1〕求直线l 经过的定点M 的坐标；〔2〕假设直线l 与圆4)3()2(22=-+-y x C ：交于A 、B 两点，求||AB 的最小值； 〔3〕过定点M 作圆9)2(22=++y x D ：的切线，求切线所在直线的方程.22、〔本小题满分是12分〕函数15)12()(2-+-=x m x x f .〔1〕假设)(x f 在区间)2,0(上不是单调函数，务实数m 的取值范围；〔2〕求函数)(x f 在区间]2,0[上的最小值.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高二数学9月月考试题含解析_1
第一中学2021-2021学年高二数学9月月考试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题，一共60.0分〕1.已如向量()1,1,0a =，()1,0,1b =-且ka b +与a 互相垂直，那么(k = ) A. 13 B. 12 C. 13- D. 12- 【答案】B【解析】根据题意，()()()1,1,01,0,21,,2ka b k k k +=+-=-，因为()ka b a +⊥，所以()·0ka b a +=，那么()111020k k ⨯-+⨯+⨯=，即12k =，应选B ()()1,1,2,2,1,3a b =-=，那么向量,a b 的夹角的余弦值为〔 〕A. 21-B. 42-【答案】D【解析】试题分析：由向量()()1,1,2,2,1,3a b =-=，可得6,14a b ==且()()1,1,22,1,35a b ⋅=-⋅=，所以向量,a b的夹角的余弦值为5cos ,426a ba b a b ⋅〈〉===⨯⋅，应选D ． 考点：空间向量的夹角．3.点(4,1,3),(2,5,1)A B -，假设1,3AC AB =那么点C 的坐标为〔 〕 A. 715(,,)222- B. 107(,1,)33- C. 573(,,)222- D.3(,3,2)8-【答案】B【解析】 13AC AB =，()13OC OA OB OA ∴=+-=()()21211074,1,32,5,1,1,333333OA OB ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭，应选B. 4.假设直线l 的一个方向向量()a 222=-，，，平面α的一个法向量为()b 111=-，，，那么〔〕A. l αB. l α⊥C. l α⊂D. A 、C 都有可能【答案】B【解析】 【分析】 直线的一个方向向量()222a =-，，，平面α的一个法向量为()111b =-，，，可得2a b =，即可判断出结论．【详解】解: 直线的一个方向向量为()222a =-，，，平面α的一个法向量为()111b =-，， 那么2a b =，∴l α⊥，应选B ．【点睛】此题考察了向量的一共线定理，属于根底题．5.如图，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，且2OM MA =，BN NC =，那么MN 等于( )A. 221332a b c ++ B. 122121a b c +- C. 122132a b c -++ D.123122a b c -+ 【答案】C【解析】【分析】BN NC =，可得1()2ON OB OC =+，由2OM MA =，可得23OM OA =， 可得MN ON OM =-，即可求出．【详解】解：BN NC =，1()2ON OB OC ∴=+，2OM MA =，23OM OA ∴=， 2121()233212MN ON OM OB OC OA a b c ∴=-=++-=-+，应选C ． 【点睛】此题考察了空间向量的加减运算，属于根底题．6.对于空间任意一点O 和不一共线的三点A 、B 、C ，有如下关系：OP =111OA OB OC 632++，那么〔〕A. 四点O,A,B,C 必一共面B. 四点P 、A 、B 、C 必一共面C. 四点O 、P 、B 、C 必一共面D. 五点O 、P 、A 、B,C 必一共面 【答案】B【解析】【分析】由一共面向量根本定理即可得出．【详解】解：由OP=111OA OB OC632++，1111632++=，可得四点P、A、B、C必一共面．应选B．【点睛】此题考察了一共面向量根本定理，属于根底题．7.下列图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据〔单位：件〕假设这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，那么x和y的值分别为A. 5，5B. 3，5C. 3，7D. 5，7 【答案】B【解析】【分析】利用茎叶图、中位数、平均数的性质直接求解．【详解】由茎叶图得：∵甲、乙两组各5名工人某日的产量数据〔单位：件〕假设这两组数据的中位数相等，∴65＝60+y，解得y＝5，∵平均值也相等，∴5662657074596167657855x+++++++++=，解得x＝3．应选B．【点睛】此题考察实数值的求法，考察茎叶图、中位数、平均数的性质等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．8.总体由编号为01，02，03，...，49，50的50个个体组成，利用随机数表〔以下选取了随机数表中的第1行和第2行〕选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开场由左向右读取，那么选出来的第4个个体的编号为〔〕A. 05B. 09C. 07D. 20 【答案】C【解析】【分析】从随机数表第1行第9列和第10列数字开场，由左到右依次选取两个数字，且小于或者等于50的编号，注意重复数值要舍去，由此求出答案.【详解】根据题意，从随机数表第1行第9列和第10列数字开场，由左到右依次选取两个数字，其中小于或者等于50的编号依次是08,02,14,07,43，可知选出的第4个值为07，应选C.【点睛】此题主要考察了简单的随机抽样中的随机数表法的应用，其中解答中熟记随机数表法的抽取方法，依次抽取是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题.9.己知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：假设求得其线性回归方程为 6.5ˆyx a =+，那么预计当广告费用为6万元时的销售额为 A. 42万元B. 45万元C. 48万元D. 51万元 【答案】C【解析】【分析】根据上表中的数据，求得样本点中心(),x y ，代入回归直线的方程，求得a 的值，得到回归直线的方程，即可求解．【详解】由题意，根据上表中的数据，可得2x =，22y =，即回归方程经过样本点中心(),x y ，又由线性回归方程为 6.5ˆyx a =+，所以22 6.52a =⨯+，解得9a =， 所以 6.59ˆyx =+，当6x =时，ˆ48y =，应选C 【点睛】此题主要考察了回归直线方程的应用问题，其中解答中熟记回归直线方程的性质，求得回归直线的方程是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题．10.一组数据X 1，X 2，…，X n 的平均数是3，方差是5，那么数据3X 1+2，3X 2+2，…，3X n +2的平均数和方差分别是〔〕A. 11,45B. 5,45C. 3,5D. 5,15【答案】A【解析】【分析】 假设X 1，X 2，…，X n 的平均数是x ，方差是2S ，那么数据12n aX b X b X b ++⋯+，a ，，a 的平均数为ax b +，方差为22S a ．【详解】解：∵一组数据X 1，X 2，…，X n 的平均数是3，方差是5，∴数据3X 1+2，3X 2+2，…，3X n +2的平均数为3×3＋2＝11，方差为：23545⨯=．应选A ．【点睛】此题考察平均数、方差的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意平均数、方差的性质的合理运用．11.如图在一个60的二面角的棱上有两个点A ，B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，且1,2AB AC BD ===，那么CD 的长为〔 〕A. 13 C. 2 5【答案】C【解析】【分析】由可得CD CA AB BD →→→→=++，利用数量积的性质即可得到答案． 【详解】CA AB ⊥，BD AB ⊥；∴0CA AB →→⋅=，0BD AB →→⋅=； 又CA 与BD 分别所在面的二面角为60，∴0,60AC BD →→<>=，即0,120CA BD →→<>=CD CA AB BD →→→→=++；∴22222()()()()()222CD CA AB BD CA AB BD CA AB AB BD CA BD →→→→→→→→→→→→→=++=+++⋅+⋅+⋅ 由于1,2AB AC BD ===， ∴ 2222()=()()()222CD CA AB BD CA AB AB BD CA BD →→→→→→→→→→+++⋅+⋅+⋅ 011400212cos120=+++++⨯⨯⨯62=-4=∴CD 的长为2【点睛】此题考察向量在立体几何中的应用，纯熟掌握向量的运算和数量积运算是解题的关键，属于中档题．12.()()()1,2,3,2,1,2,1,1,2OA OB OP ===，点Q 在直线OP 上运动，那么当QA QB ⋅获得最小值时，点Q 的坐标为〔 〕 A. 131,,243⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 133,,224⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】由点Q 在直线OP 上运动，可得存在实数λ使得OQ OP λ==〔λ，λ，2λ〕，利用数量积可得QA QB ⋅，再利用二次函数的单调性即可得出．【详解】∵点Q 在直线OP 上运动，∴存在实数λ使得OQ OP λ==〔λ，λ，2λ〕，∴()1232QA λλλ=---，，，()2122QB λλλ=---，，． ∴QA QB ⋅=〔1﹣λ〕〔2﹣λ〕+〔2﹣λ〕〔1﹣λ〕+〔3﹣2λ〕〔2﹣2λ〕＝6λ2﹣16λ+10＝62474()39λ-+， 当且仅当43λ=时，上式获得最小值， ∴Q 448333⎛⎫ ⎪⎝⎭，，．应选C ．【点睛】纯熟掌握向量一共线定理、数量积运算及二次函数的最值等是解题的关键，考察学生推理才能与计算才能．二、填空题〔本大题一一共4小题，一共20.0分〕13.某高级中学一共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人．那么该校高二年级学生人数为_________．【答案】300【解析】由题意得高二年级应抽取45201015--=人，那么高二年级学生人数为1590030045⨯=，故答案为300.点睛：此题考察分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性一样，这是解决抽样问题的根据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以做到知二求一；用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学一共有900名学生，算出高二年级学生人数.14.平面α的一个法向量为()11,2,2n =-，平面β的一个法向量为()22,4,n k =--，假设αβ∥，那么k 的值是__________.【答案】4【解析】【分析】利用向量一共线定理即可得出．【详解】解：αβ，12//n n ∴，∴存在实属λ使得21n n λ=12242k λλλ=-⎧⎪∴=-⎨⎪-=⎩解得：4k =．故答案为4.【点睛】此题考察了向量一共线定理，属于根底题．15.()2,1,3a =，()4,2,b x =-，且a b ⊥，那么a b -=________. 【解析】【分析】利用数量积运算性质以及模的计算公式即可求出．【详解】()2,1,3a =，()4,2,b x =-，且a b ⊥2(4)1230x ∴⨯-+⨯+=，解得2x =，[2(a b -∴-==【点睛】此题考察了向量数量积的运算性质，模的计算公式，属于根底题．16.向量{a ，b ，c }是空间的一个单位正交基底，向量{a +b ，a -b ，c }是空间另一个基底，假设向量p 在基底{a +b ，a -b ，c }下的坐标为〔32，-12，3〕那么p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为______．【答案】〔1，2，3〕 【解析】 【分析】由可得p =32〔a +b 〕-12〔a -b 〕+3c ，去括号合并同类项后可得答案． 【详解】解：∵向量p 在基底{a +b ，a -b ，c }下的坐标为〔32，-12，3〕 ∴向量p =32〔a +b 〕-12〔a -b 〕+3c =a +2b +3c ， 故p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为〔1，2，3〕， 故答案为〔1，2，3〕．【点睛】此题考察的知识点是空间向量的根本定理及其意义，空间向量的坐标，难度不大，属于根底题．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70.0分〕17.如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，11A E CF ==．()1求两条异面直线1AC 与1D E 所成角的余弦值； ()2求直线1AC 与平面1BED F 所成角的正弦值．【答案】〔1〕23015〔2〕24221【解析】 【分析】〔1〕以D 为原点，建立空间直角坐标系D-xyz ，那么我们易求出中，各点的坐标，进而求出向量1AC ，1D E 的坐标．代入向量夹角公式，结合异面直线夹角公式，即可得到答案． 〔2〕设出平面BED 1F 的一个法向量为n ，根据法向量与平面内任一向量垂直，数量积为0，构造方程组，求出平面BED 1F 的法向量为n 的坐标，代入线面夹角向量公式，即可求出答案． 【详解】解：〔1〕以D 为原点，建立空间直角坐标系D-xyz 如下图：那么A 〔3，0，0〕，C1=〔0，3，3〕，D1=〔0，0，3〕，E 〔3，0，2〕 ∴1AC =〔-3，3，3〕，1D E =〔3，0，-1〕∴cosθ=1111AC D E AC D E⋅⋅=933310--⨯=-23015那么两条异面直线AC 1与D 1E 所成角的余弦值为23015〔2〕B 〔3，3，0〕，BE =〔0，-3，2〕，1D E =〔3，0，-1〕 设平面BED 1F 的一个法向量为n =〔x ，y ，z 〕由100n D E n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得30320x z y z -=⎧⎨-+=⎩令x=1，那么n =〔1，2，3〕那么直线AC 1与平面BED 1F 所成角的正弦值为|11AC n AC n⋅⋅|=3693314-++⨯=24221【点睛】此题考察的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，异面直线及其所成的角，直线与平面所成的角，用空间向量求直线间的夹角、间隔 ，其中构造空间直角坐标系，将线线夹角及线面夹角问题，转化为向量夹角问题是解答此题的关键．18.如图，四边形ABCD 为正方形，PD⊥平面ABCD ，PD∥QA，QA=AB=12PD.〔I 〕证明：平面PQC⊥平面DCQ 〔II 〕求二面角Q-BP-C 的余弦值.【答案】〔I 〕证明见解析；〔II 〕155-. 【解析】 【分析】首先根据题意以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，,,DA PQ DC 为x 、y 、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ；〔Ⅰ〕根据坐标系，求出,,DQ DC PQ 的坐标，由向量积的运算易得·0,0DQ PQ DC PQ ⋅==；进而可得PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ，由面面垂直的断定方法，可得证明；〔Ⅱ〕依题意结合坐标系，可得B 、,CB BP 的坐标，进而求出平面的PBC 的法向量n 与平面PBQ 法向量m ，进而求出cos ＜m ，n ＞，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案.【详解】如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，,,DA PQ DC 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系. 〔Ⅰ〕依题意有，，，那么，，，所以，，即⊥，⊥.且DQ DC D ⋂=,故⊥平面.又平面，所以平面⊥平面.〔II 〕依题意有，=，=.设是平面的法向量，那么即因此可取设是平面的法向量，那么可取所以15cos(,)5m n =-, 且由图形可知二面角Q BP C --为钝角故二面角的余弦值为考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的断定；向量语言表述面面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角 【此处有视频，请去附件查看】19.如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，D ，E 分别为1BB 和AB 的中点．〔1〕证明：AD ⊥平面1A EC ； 〔2〕求点1B 到平面1A EC 的间隔 . 【答案】(1)详见解析455【解析】试题分析：(1)证明线面垂直，一般方法为利用线面垂直的断定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与论证，可从两个方面出发，一是利用面面垂直得线面垂直，再得线线垂直，二是利用平几知识，如此题中正方形有关性质，(2)求点到直线间隔 ，一般方法为利用等体积法，即根据1111B B A EC C A E V V --=可得111A EC A EB S h S C ∆∆⋅=⋅，分别求出两个三角形面积代入可得点1B 到平面1A EC 的间隔 .试题解析：〔I 〕证明：由,AC BC AE BE ==知CE AB ⊥,又平面ABC ⊥平面11ABB A ，所以CE ⊥平面11ABB A ,而AD 平面11ABB A ，∴AD CE ⊥,在正方形11ABB A 中，由D E ，分别是1BB 和AB 的中点知1AD A E ⊥,而1A E CE E ⋂=，∴AD ⊥平面1A EC .(Ⅱ)解法1: 由〔I 〕AD ⊥平面1A EC ,过1B 点作1//B F AD ， 交1AA 和1A E 分别于点F 和H ,那么1B H ⊥平面1A EC ,即1B H 的长为1B 到平面1A EC 的间隔 ， 在正方形11ABB A 中,易知11Rt A AE Rt B HA ∆~∆，1111553222A EC S AE EC ∆=⋅=⋅⋅= 11111A E A AB A B H = ,即1522B H=,得1455B H =，故1B 到平面1A EC 的间隔 为455.解法2：如图，连接11,B E B C ，在三棱锥11B A EC -中，设1B 到平面1A EC 的间隔 为h ，那么111A EC A EB S h S CE ∆∆⋅=⋅，将111155322A EC S AE EC ∆=⋅==1111111222,322A EB S A B AA CE ∆=⋅=⋅⋅==153h =得455h = 故1B 到平面1A EC 的间隔 为455.20.节能减排以来，100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[)[)[)[)[)[)[]160180180200200220220240240260260280280300，，，，，，，，，，，，，分组的频率分布直方图如图．()1求直方图中x 的值；()2求月平均用电量的众数和中位数；()3估计用电量落在[)220300，中的概率是多少？ 【答案】〔1〕0.0075；〔2〕众数为230，中位数为224；〔3〕0.55. 【解析】 【分析】()1由频率分布直方图中所有的小长方形的面积和为1得到关于x 的方程，解方程可得所求；()2由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得结果；分析可得中位数在[)220240，内，设中位数为a ，解方程()0.452200.012a +-⨯ 50.5=可得a 的值，即为中位数；()3月平均用电量在[)220330，中的概率是()10.0020.00950.01120p =-++⨯． 【详解】()1由频率分布直方图的性质可得，20(0.0020.00950.0110.012⨯+++ 50.0050.0025)1x +++=，解得0.007x =5．()2由频率分布直方图可知，最高矩形的数据组为[)220240，， 故众数为2202402302+=． [)160,220的频率之和为(0.0020.009+ 50.011)200.450.5+⨯=<，[)160,240的频率之和为(0.0020.009+50.0110.0125)200.70.5++⨯=>，∴中位数在[)220,240内，设中位数为y ， 那么()0.452200.012y +-⨯ 50.5.= 解得224y =， 故中位数为224．()3 由频率分布直方图可知，月平均用电量在[)220,330中的概率是P =()10.0020.00950.011200.55-++⨯=．点睛：利用频率分布直方图估计样本的数字特征：(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值；(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和；(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．21.某校为理解学生一次考试后数学、物理两个科目的成绩情况，从中随机抽取了25位考生的成绩进展统计分析．25位考生的数学成绩已经统计在茎叶图中，物理成绩如下：〔Ⅰ〕请根据数据在答题卡的茎叶图中完成物理成绩统计；〔Ⅱ〕请根据数据在答题卡上完成数学成绩的频数分布表及数学成绩的频率分布直方图；数学成绩分组[50，60﹚[60，70﹚[70，80﹚[80，90﹚[90，100﹚[100，110﹚[110，120]频数〔Ⅲ〕设上述样本中第i 位考生的数学、物理成绩分别为x i ，y i 〔i=1，2，3，…，25〕．通过对样本数据进展初步处理发现：数学、物理成绩具有线性相关关系，得到：x =86，y =64，251i =∑〔x i -x 〕〔y i -y 〕=4698，251i =∑〔x i -x 〕2=5524，46985524．求y 关于x 的线性回归方程，并据此预测当某考生的数学成绩为100分时，该考生的物理成绩〔准确到1分〕．附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：ˆb=()121()()ni iiniix x y yx x==---∑∑，ˆa=y-ˆbx．【答案】〔Ⅰ〕详见解析〔Ⅱ〕频数分布表，分布图见解析〔Ⅲ〕，预测当某考生的数学成绩为100分时，该考生的物理成绩为76分【解析】【分析】〔Ⅰ〕以十位数为茎，以个位数为叶填写上；〔Ⅱ〕根据数学成绩的茎叶图计算各组的频数，并计算频率与组距的商作为直方图小矩形的高；〔Ⅲ〕根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程，利用回归方程进展估计．【详解】解：〔Ⅰ〕物理成绩的茎叶图如下图；〔Ⅱ〕数学成绩的频数分布表；数学成绩分组[50，60﹚[60，70﹚[70，80﹚[80，90﹚[90，100﹚[100，110﹚[110，120]频数 1 2 3 7 6 5 1〔Ⅲ〕由得，，∴，∴x=100时，y=75.9≈76，预测当某考生的数学成绩为100分时，该考生的物理成绩为76分．【点睛】此题考察了茎叶图，频率分布直方图的制作，线性回归方程的求解，属于中档题．22.如下图，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CF =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．(1)求证：DF 平面ABE ；(2)求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值．(3)在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 3求出线段BP 的长，假设不存在，请说明理由．【答案】〔I 〕见解析〔II 〕31〔III 〕2BP = 【解析】试题分析：〔Ⅰ〕取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，由题意可得平面ABE 的法向量()3,0,1n =，且(1,DF =-，据此有0DF n ⋅=，那么//DF 平面ABE ．〔Ⅱ〕由题意可得平面BEF 的法向量()23,4m =，结合(Ⅰ)的结论可得531cos 31m n m n θ⋅==⋅，即平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值为31．〔Ⅲ〕设(),2DP DF λλλ==-，[]0,1λ∈，那么()1,2BP λλ=---，而平面ABE 的法向量()3,0,1n =，据此可得3sin cos ,4BP n θ==，解方程有12λ=或者14λ=．据此计算可得2BP =． 试题解析：〔Ⅰ〕取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，那么()1,0,0A ，()1,2,0B ，(E ，(F -，∴(1,BE =--，()0,2,0AB =，设平面ABE 的法向量(),,n x y z =，∴20,20,x y y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩不妨设()3,0,1n =，又(1,DF =-，∴30DF n ⋅=-+=，∴DF n ⊥，又∵DF ⊄平面ABE ，∴//DF 平面ABE ．〔Ⅱ〕∵(1,BE =--，(BF =-，设平面BEF 的法向量(),,m x y z =，∴230,230,x y z x z ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩不妨设()23,3,4m =，∴10531cos 31231m n m n θ⋅===⋅⋅， ∴平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值为53131． 〔Ⅲ〕设()1,2,3DP DF λλ==- (),2,3λλλ=-，[]0,1λ∈，∴(),2,3P λλλ-， ∴()1,22,3BP λλλ=---，又∵平面ABE 的法向量()3,0,1n =， ∴()()2223333sin cos ,421223BP n λλθλλλ--+===++-+，∴28610λλ-+=，∴12λ=或者14λ=． 当12λ=时，33,1,22BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴2BP =；当14λ=时，533,,424BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴2BP =．综上，2BP =．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
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辽宁省本溪市高级中学2022高二数学9月月考试题
本试卷共150分,考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
的．
1．已知集合，集合，则图中的阴影部分表示的集合是
A．[1, 3] B．(1, 3]
C．{-1,2,3} D．{-1,0,2,3}
2．函数在闭区间[]
0,m上有最大值3,最小值为2,的取值范围是
A. B．C ．D ．
3．已知, ,, 则的大小关系是
A．a<b<c B．c<a<b
C．a<c<b D．c<b<a
4．已知函数其中,若的图像如图所示,则函数的图像大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
5．在下列条件中,可判定平面与平面平行的是
A ．,都平行于直线
B ．内存不共线的三点到的距离相等
C ．, 是内的两条直线,且,
D ．, 是两条异面直线,且, , ,
6．点, 是圆上的不同两点,且点,关于直对称,则该圆的半径等于A．B．C ．D ．
7．某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查，则这两种抽样的方法依次是
A．分层抽样，简单随机抽样B．简单随机抽样，分层抽样
C．分层抽样，系统抽样D．简单随机抽样，系统抽样
8．函数
5
()sin()
2
f x x
π
=+是
A ．奇函数 B．非奇非偶函数 C ．常数函数 D．偶函数
9．一个口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸一个球得到白球”，这个事件是
A．随机事件B．必然事件C ．不可能事件D．不能确定
10．已知函数,则下列结论错误的是
A ．的一个周期为
B ．的图像关于直线对称
C ．的一个零点为D．在区间上单调递减
11．设是所在平面内一点，且，则
A．B．C．D．
12．已知角的终边过点，则
A．B．C．3 D．-3
二．填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．
13．设集合，，则________．
14．设公比为的等比数列的前项和为, 若，则________ ．
15．已知函数为常数在区间上的最大值为1，则________．
16. 如图，在中，已知为边的中点.若，垂足为，
则的值为________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．（70分）
17. (10分)如图：某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速20公里/小时，送快件到处，已知
（公里）,，是等腰三角形,．
(1) 试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？
(2) 快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路
追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达处？
18. (12分)已知二次函数满足，且．
（1）求函数的解析式；
（2）求在区间上的最大值和最小值；
（3）当时, 恒成立，求的取值范围．19（12分）已知圆和.
（1）求证：圆和圆相交；
（2）求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
20. (12分)已知函数．
(1) 求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2) 若，求的值．
21. (12分) 某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学
生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50]，[50,60]，…，[90,100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题．
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；
（3）从成绩是[40,50]和[90,100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．
22（12分）在数列中，，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和.
数学试卷答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．C 2．C 3． D 4． A 5． D 6． D
7．D 8．D 9． A 10．B 11．D 12． A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. ;
14. 或;
15. ;
16. .
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
17.解
( 1 )（公里），中，由，得（公里）
于是，由知，快递小哥不能在50分钟内将快件送到处．
( 2 ) 在中，由，得（公里），在
中，，由，得（公里），由
（分钟）知，汽车能先到达处．
18.解
( 1 )根据题意，设二次函数的解析式为由得，则
;又由，则．即
，则有，解可得，，故.
( 2 ) 根据题意，由的结论，，在上为减函数，在上为增函数，又由，，则，则在区间上的最大值为，最小值为
根据题意，当时，恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，又由分析可得：，则有在
上恒成立，；即a的取值范围为．
( 3 ) 根据题意，当时，恒成立，即在上恒成立，由基本不等式的性质分析可得，则有在上恒成立，解可得a的取值范围，即可得答案．
19．（1）证明：圆C1的圆心C1(1,3)，
半径r1＝，圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4，
两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，
|r1－r2|＝4－，
∴|r1－r2|<d<r1＋r2，∴圆C1和C2相交
（2）解：圆C1和圆C2的方程左、右分别相减，得4x＋3y－23＝0，
∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.
圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离
|201823|
3
169
d
+-
==
+
，故公共弦长为216-9=27
20.解
( 1 )由，得
，
所以函数的最小正周期为因为，所以，
所以函数在区间上的最大值为2，则最小值为-1
( 2 ) 由（1）可知，
又因为，所以，
由，得，
从而，
所以.
21.解
( 1 ) 因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4＝1－（0．025＋0．015×2＋0．01＋0．005）×10＝0.3．其频率分布直方图如图所示：
( 2 ) 依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为（0．015＋0．030＋0．025＋0．005）×10＝0．75．
所以，估计这次考试的合格率是75%．
利用组中值估算这次考试的平均分，可得：
45·f1＋55·f2＋65·f3＋75·f4＋85·f5＋95·f6
＝45×0．1＋55×0．15＋65×0．15＋75×0．3＋85×0．25＋95×0．05＝71．
所以估计这次考试的平均分是71分.
( 3 ) [40，50]与[90．100]的人数分别是6和3，所以从成绩是[40，50]与[90，100]的学生中选两人，将[40，50]分数段的6人编号为A1 ， A2 ， A6 ，将[90，100]分数段的3人编号为B1 ， B2 ， B3，从中任取两人，则基本事件构成集合Ω＝{（A1 ， A2），（A1 ， A3）（A1 ， A6），（A1 ， B1），（A1 ， B2），（A1 ， B3），（A2 ， A3），（A2 ， A4），，（B2 ， B3）}共有36个，其中，在同一分数段内的事件所含基本事件为（A1 ，A2），（A1 ， A3）（A1 ， A6），（A2 ， A3）（A5 ， A6），（B1 ， B2），（B1 ， B3），（B2 ， B3）共18个，故概率P＝＝.
22．解：
（1）的两边同时除以，得
所以数列是首项为4，公差为2的等差数列.
（2）由（1）得，所以，故，所以。