直线的倾斜角与斜率知识点
直线的倾斜角、斜率与直线的方程
直线的倾斜角、斜率与直线的方程一、基础知识1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(3)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)定义式：直线l 的倾斜角为α)2(πα≠，则斜率k ＝tan α.(2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y －y 0＝k (x －x 0)不含垂直于x 轴的直线斜截式y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)截距式x a ＋y b＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面内所有直线都适用二、常用结论特殊直线的方程(1)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于x 轴的方程为x ＝x 1；(2)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于y 轴的方程为y ＝y 1；(3)y 轴的方程为x ＝0；(4)x 轴的方程为y ＝0.考点一直线的倾斜角与斜率[典例](1)直线2x cos α－y －3＝0])3,6[(ππα∈的倾斜角的取值范围是()A.3,6[ππ B.3,4[ππ C.]2,4[ππ D.]32,4[ππ(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．[解析](1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈]3,6[ππ，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2·cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．又θ∈[0，π)，所以θ∈]3,4[ππ，即倾斜角的取值范围是3,4[ππ.(2)设PA 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线PA 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由PA 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3]．故直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．[答案](1)B(2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)[变透练清]1.(变条件)若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点A (cos θ，sin 2θ)，B (0,1)，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是________．解析：由题意知cos θ≠0，则斜率k ＝tan α＝sin 2θ－1cos θ－0＝－cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，所以直线AB 的倾斜角的取值范围是]4,0(π∪),43[ππ.答案：4,0(π∪),43[ππ.2.(变条件)若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上，∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是]3,31[.答案：]3,31[3．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：4考点二直线的方程[典例](1)若直线经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，则该直线的方程为_____．(2)若直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为_______．(3)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为_______．[解析](1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.②当横截距、纵截距都不为零时，设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为 3.又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0.(3)设C (x 0，y 0)，则M )22,25(00-+y x ，N )23,27(00++y x .因为点M 在y 轴上，所以5＋x 02＝0，所以x 0＝－5.因为点N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3，即C (－5，－3)，所以M 25,0(-，N (1,0)，所以直线MN 的方程为x1＋y －52＝1，即5x －2y －5＝0.[答案](1)x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0(2)3x －y ＋6＝0(3)5x －2y －5＝0[题组训练]1．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是22的直线方程是________________．解析：由题知，倾斜角为π4或3π4，所以斜率为1或－1，直线方程为y －2＝x －1或y －2＝－(x －1)，即x －y＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝02．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________________．解析：设直线方程的截距式为x a ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a ＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x 2＋1＋y2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.答案：2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0考点三直线方程的综合应用[典例]已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA ―→|·|MB ―→|取得最小值时直线l 的方程．[解]设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA ―→|·|MB ―→|＝－MA ―→·MB ―→＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5＝(2a ＋b ))12(ba +－5＝2b a ＋2ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.[解题技法]与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．[题组训练]1．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为()A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b ))12(ba +＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.2．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与A (－1,0)，B (1,0)两点连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是()A ．[－6，6] B.)66,(--∞∪),66[+∞C.]66,(--∞∪),66[+∞ D.]22,22[-解析：选C设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·y x －1＝3，即y 2＝3x 2－3.－my ＋3m ＝0，2＝3x 2－3，得)31(2-mx 2＋23m x ＋6＝0(m ≠0)，则Δ＝2)32(m －24)31(2-m≥0，即m 2≥16，解得m ≤－66或m ≥66.∴实数m 的取值范围是66,(--∞∪),66[+∞.[课时跟踪检测]1．(2019·合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是()A.33B.3C ．－3D ．－33解析：选A设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是()A.3x －y ＋1＝0B.3x －y －3＝0C.3x ＋y －3＝0D.3x ＋y ＋3＝0解析：选D由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.3．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为()A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选C由题知M (2,4)，N (3,2)，则中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.4．方程y ＝ax －1a表示的直线可能是()解析：选C当a ＞0时，直线的斜率k ＝a ＞0，在y 轴上的截距b ＝－1a＜0，各选项都不符合此条件；当a ＜0时，直线的斜率k ＝a ＜0，在y 轴上的截距b ＝－1a ＞0，只有选项C 符合此条件．故选C.5．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为()A ．3x －y －6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析：选C 因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则()A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D对于直线mx ＋ny ＋3＝0，令x ＝0得y ＝－3n ，即－3n＝－3，n ＝1.因为3x －y ＝33的斜率为60°，直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角是直线3x －y ＝33的2倍，所以直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角为120°，即－mn＝－3，m ＝ 3.7．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B－y ＝k －1，－x ＝2k＝k k －1，＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝k k －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．8．若直线l ：kx －y ＋2＋4k ＝0(k ∈R)交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，则当△AOB 的面积取最小值时直线l 的方程为()A ．x －2y ＋4＝0B ．x －2y ＋8＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选B由l 的方程，得A )0,42(k k +-，B (0,2＋4k )－2＋4kk ＜0，＋4k ＞0，解得k ＞0.因为S ＝12|OA |·|OB |＝12|2＋4kk |·|2＋4k |＝12·(2＋4k )2k ＝12)16416(++kk ≥12(2×8＋16)＝16，当且仅当16k ＝4k ，即k ＝12时等号成立．此时l 的方程为x －2y ＋8＝0.9．以A (1,1)，B (3,2)，C (5,4)为顶点的△ABC ，其边AB 上的高所在的直线方程是________________．解析：由A ，B 两点得k AB ＝12，则边AB 上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y －4＝－2(x －5)，即2x ＋y －14＝0.答案：2x ＋y －14＝010．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为____________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0.答案：4x －3y －4＝011．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是______________．解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，直线l 在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解不等式得k >12或k <－1.答案：(－∞，－1)∪),21(+∞12．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]13．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4))34(+k＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.。
直线的倾斜角与斜率
依题意得,
PA
=(x0,-1),
PQ'
=(2,-4),由两向量共线得-4x0+2=0,解得x0=
1 2
,
∴A
1 2
,0
.
答案
(1)
29 4
,
35 4
(2)
1 2
,0
两条直线垂直的判定与应用
判断两条直线是否垂直的两种方法 1.利用直线的斜率判断: (1)在两条直线斜率都存在的前提下,只需看它们的斜率之积是否等于-1即可; (2)一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,这两条直线也垂直. 2.利用直线的方向向量判断: 设直线l1的方向向量为n,直线l2的方向向量为m,则l1⊥l2⇔n⊥m⇔n·m=0.
1-(-2) 3 -1-(-2)
所以 y 3 的最大值为8,最小值为 4 .
x2
3
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
1.理解两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件. 2.能根据直线的斜率判断两条直线平行或垂直. 3.能应用两条直线平行或垂直解决相关问题,理解用代数法解决几何问题.
两条直线(不重合)平行的判定
两条直线平行的判定与应用
判断两条不重合的直线是否平行的两种方法 1.利用直线的斜率判断,其方法步骤是:
2.利用直线的方向向量判断:求出两直线的方向向量,通过判断两向量是否共线,进而判断两 直线是否平行.
(1)已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A
13 4
,
51 4
、B
-
5 4
,-
3 4
∴点D的坐标为
29 4
,
35
4.
(2)解法一:Q(2,3)关于x轴的对称点为Q'(2,-3),设A(x0,0),
知识要点-直线的倾斜角与斜率和直线方程---副本教师
第1讲 直线的倾斜角与斜率及直线方程1、直线的倾斜角与斜率: 对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范围是[00，1800)直线的倾斜角α与斜率k 的关系:当α090≠时， k 与α的关系是αtan =k ；α090=时，直线斜率不存在；经过两点P 1(x 1,y 1)P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式是1212x x y y k --=；三点C B A ,,共线的充要条件是AC AB k k = 2.直线方程的五种形式:点斜式方程是()y y k x x -=-00；不能表示的直线为垂直于x 轴的直线 斜截式方程为b kx y +=；不能表示的直线为垂直于x 轴的直线两点式方程为121121x x x x y y y y --=--；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线截距式方程为1=+bya x ；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线. 一般式方程为0=++c by ax . 3.几种特殊直线的方程:①过点),(b a P 垂直于x 轴的直线方程为x=a;过),(b a P 垂直于y 轴的直线方程为y=b ②已知直线的纵截距为b ,可设其方程为b kx y +=; ③已知直线的横截距为a ,可设其方程为a my x +=; ④过原点的直线且斜率是k 的直线方程为y=kx★重难点突破★重点: 理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程 难点:在求直线方程时,条件的转化和设而不求的运用重难点:结合图形,把已知条件转化为确定直线位置的要素,从而顺利求出直线方程 （1）倾斜角与斜率的对应关系涉及这类问题的题型一般有：（1）已知倾斜角(或范围)求斜率(范围)（2）已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围)，如： 问题1：直线023tan=++y x π的倾斜角α是A.3πB. 6π C. 32π D. 3π-问题2: 求直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围问题3：已知函数)10(,)(≠>=a a a x f x且，当1)(0><x f x 时，，方程 aax y 1+=表示的直线是★热点考点题型探析★考点1 直线的倾斜角和斜率题型1 ：已知倾斜角(或范围)求斜率(或范围)或已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围) [例1 ]已知经过),12,(),2,(--m m B m A 的直线的倾斜角为α，且oo13545<<α，试求实数m 的取值范围。
高二数学倾斜角与斜率知识点
高二数学倾斜角与斜率知识点数学是一门抽象而精确的科学，其中许多概念和知识点都与我们日常生活息息相关。
在高二数学学习中，倾斜角与斜率是重要的概念之一。
本文将详细介绍倾斜角与斜率的概念及其应用。
一、倾斜角的定义与性质倾斜角，也称为斜率角，是指直线相对于水平线或者坡面的倾斜程度。
在直角坐标系中，可以通过斜率来计算倾斜角。
具体来说，若直线的斜率为k，则其倾斜角θ满足tanθ=k。
倾斜角具有以下性质：1. 垂直线的倾斜角为90度或π/2弧度；水平线的倾斜角为0度或0弧度。
2. 同一条直线上的两个不同点的连线的倾斜角相等。
3. 平行的直线具有相同的倾斜角。
4. 相互垂直的两条直线的倾斜角之积为-1。
二、斜率的计算与性质斜率描述了直线上各点间的变化率，可以理解为直线的倾斜程度。
在直角坐标系中，设直线通过两个点P(x₁, y₁)和Q(x₂, y₂)，则直线的斜率k满足k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)。
斜率具有以下性质：1. 垂直线的斜率不存在；水平线的斜率为0。
2. 同一条直线上的所有点的斜率相等。
3. 平行的直线具有相同的斜率。
4. 若直线的斜率为k，则与水平线的倾斜角θ满足tanθ=k。
三、倾斜角与斜率的应用倾斜角和斜率在实际问题中具有广泛的应用，特别是在几何图形和物理学中。
1. 图形的倾斜角：通过计算两点的坐标可以确定直线的斜率，从而求得直线相对于水平线的倾斜角。
这对于理解图形的形状和方向非常重要。
2. 道路的坡度：道路的坡度实际上就是道路的倾斜角。
通过计算两个位置的高度差和水平距离，可以求得坡度，从而了解道路的陡峭程度，对工程设计和施工有着重要意义。
3. 物体的运动：对于物体在直角坐标系中的运动，可以通过斜率来描述速度的变化。
倾斜角和斜率帮助我们理解物体在不同位置上的速度和方向。
总结：倾斜角与斜率是高二数学中的重要概念，其应用广泛。
倾斜角可以通过斜率来计算，用于描述直线相对于水平线的倾斜程度。
斜率则是描述直线各点间变化率的指标。
第二章 2.2.1 第1课时 直线的倾斜角与斜率
§2.2 直线及其方程 2.2.1 直线的倾斜角与斜率 第1课时 直线的倾斜角与斜率学习目标 1.理解直线的倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.2.体会用斜率和倾斜角刻画直线的倾斜程度，并掌握它们之间的关系．知识点一 直线的倾斜角定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x 轴相交，将x 轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角．(1)倾斜角θ的取值范围是0°~180°．(2)直线与x 轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°；直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角为90°. (3)每一条直线都有唯一的倾斜角．思考 当直线的倾斜角为锐角时，直线一定经过哪些象限？当直线的倾斜角为钝角时，直线一定经过哪些象限？答案 当直线的倾斜角为锐角时，直线一定经过一、三象限，当直线的倾斜角为钝角时，直线一定经过二、四象限． 知识点二 直线的斜率1．定义：一般地，如果直线l 的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k ＝tan θ为直线l 的斜率；当θ＝90°时，直线l 的斜率不存在． 2．两点的斜率公式若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线l 上两个不同的点，则当x 1≠x 2时，直线l 的斜率为k ＝y 2－y 1x 2－x 1，当x 1＝x 2时，直线l 的斜率不存在；当y 1＝y 2时，直线l 的斜率为0. 思考 每一条直线都有倾斜角和斜率吗？答案 每一条直线都有唯一确定的倾斜角，但并不是所有直线都有斜率，垂直于x 轴的直线，倾斜角为90°，斜率不存在，其它直线既有倾斜角，又有斜率．1．斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(×)2．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大．(×)3．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率k＝tan α.(×)4．任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．(×)一、直线的倾斜角例1(1)已知直线l的倾斜角为θ－25°，则角θ的取值范围为()A．25°≤θ<155°B．－25°≤θ<155°C．0°≤θ<180°D．25°≤θ<205°答案 D解析因为直线l的倾斜角为θ－25°，所以0°≤θ－25°<180°，所以25°≤θ<205°.(2)已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是()A．0°≤α<90°B．90°≤α<180°C．90°<α<180°D．0°<α<180°答案 C解析直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.反思感悟(1)解答本类题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围来解答．(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．跟踪训练1已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为．答案60°或120°解析有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.二、直线的斜率例2经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(－2,3)，D(2，－1)；(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．解(1)存在．直线AB的斜率k AB＝5－34－2＝1，即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.(2)存在．直线CD的斜率k CD＝－1－32－(－2)＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.(3)不存在．因为x P＝x Q＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，所以倾斜角α＝90°.反思感悟(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记．倾斜角α0°30°45°60°120°135°150°斜率k 03313－3－1－33跟踪训练2(1)若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为()A. 3 B．－ 3 C.33D．－33答案 A(2)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为．答案0三、直线的倾斜角、斜率的应用例3(1)如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，则m＝. 答案－6解析k AB＝m－1－2－2＝1－m4，k AC＝8－16－2＝74，∵A，B，C三点共线，∴k AB＝k AC，即1－m4＝74，∴m＝－6.(2)已知直线l的斜率为k，倾斜角为α，若45°<α<135°，则k的取值范围为()A．(－1,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．[－1,1]D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)答案 B解析∵k＝tan α，45°<α<135°，由正切函数图像知当45°<α<135°时，tan α∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，∴k的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．反思感悟(1)斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的．直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因．(2)由k＝tan α可知直线的倾斜角与斜率，知一求一．由一个的范围，求另一个的范围时应画出正切函数的图像，注意倾斜角的范围．跟踪训练3已知直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角θ的取值范围是()A．0°≤θ≤45°B．0°<θ<180°C．0°≤θ≤45°或90°<θ<180°D．0°≤θ≤45°或135°≤θ<180°答案 C解析 k AB ＝m 2－11－2＝－m 2＋1≤1，由正切函数y ＝tan x 的图像知，当tan θ∈(－∞，1)时，0°≤θ≤45°或90°<θ<180°， 故选C.数形结合法求倾斜角或斜率范围典例 直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围． 解 如图所示．设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α， ∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)， ∴45°≤α≤120°.[素养提升] (1)已知两点求斜率，由斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求得；由倾斜角(范围)求斜率(范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决．(2)涉及直线与线段的交点问题常利用数形结合及公式求解，培养学生直观想象的数学核心素养．1．(多选)给出下列四个选项，其中正确的是( ) A ．若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α<180° B ．若k 是直线的斜率，则k ∈RC ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 答案 ABC2．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是( ) A ．(4,2)与(－4,1) B ．(0,3)与(3,0) C ．(3，－1)与(2，－1) D ．(－2,2)与(－2,5) 答案 D解析 D 项，因为x 1＝x 2＝－2，所以直线垂直于x 轴，倾斜角为90°，斜率不存在． 3．若经过A (m ,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m 等于( ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 答案 A解析 由tan 45°＝2－31－m＝1，得m ＝2.4．已知直线l 过点A (3－3，6－3)，B (3＋23，3－3)，则直线l 的斜率为 ，倾斜角为 ． 答案 －33150° 解析 k AB ＝(3－3)－(6－3)(3＋23)－(3－3)＝－333＝－33，设倾斜角为θ，又0°≤θ＜180°，且tan θ＝－33. ∴θ＝150°.5．已知直线l 经过点A (1,2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围为 ．答案 [0,2]解析 如图所示，直线l 过点A 且不经过第四象限，则直线l 在l 2与l 1之间，∴2l k ≤k l ≤1l k ， 又2l k ＝0，1l k ＝2，∴0≤k l ≤2.1．知识清单： (1)直线的倾斜角．(2)直线的斜率以及两点的斜率公式． 2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：垂直于x 轴的直线斜率不存在，倾斜角存在且为90°.1．已知点A (3，1)，B (33，3)，则直线AB 的倾斜角是( ) A ．60° B ．30° C ．120° D ．150° 答案 B 解析 k AB ＝3－133－3＝33， ∴tan θ＝33且0°≤θ＜180°， ∴θ＝30°.2．已知经过点P (3，m )和点Q (m ，－2)的直线的斜率为2，则m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D.43答案 D解析 由m －(－2)3－m ＝2，得m ＝43.3.若图中直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2答案 D解析 由题图可知，k 1<0，k 2>0，k 3>0， 且l 2比l 3的倾斜角大．∴k 1<k 3<k 2.4．直线l 过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0°≤α≤90°B ．90°≤α<180°C ．90°≤α<180°或α＝0°D ．90°≤α≤135°答案 C5．(多选)已知直线l 的斜率的绝对值为3，则直线l 的倾斜角为( ) A ．60° B ．30° C ．120° D ．150° 答案 AC解析 由题意知|tan α|＝3，即tan α＝3或tan α＝－3， ∴直线l 的倾斜角为60°或120°. 故选AC.6．(多选)已知点A (2，－1)，若在坐标轴上存在一点P ，使直线P A 的倾斜角为45°，则点P 的坐标为( ) A ．(0,1) B ．(－1,0) C ．(3,0) D ．(0，－3) 答案 CD解析 若设点P 的坐标为P (x ,0)， 则k ＝0－(－1)x －2＝tan 45°＝1，∴x ＝3，即P (3,0)． 若设点P 的坐标为P (0，y )， 则k ＝y －(－1)0－2＝tan 45°＝1，∴y ＝－3，即P (0，－3)．故选CD.7．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率是 ． 答案3解析 设直线PQ 的倾斜角为θ，则0°≤θ<180°，∵k PQ ＝－3，∴tan θ＝－3，则θ＝120°. 将直线绕点P 顺时针旋转60°， 所得直线的倾斜角为60°， ∴其斜率为tan 60°＝ 3.8．已知经过坐标平面内两点A (1,2)，B (－2,2m －1)的直线的倾斜角α满足45°<α<60°，则实数m 的取值范围为 ． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫3－332，0解析 k AB ＝(2m －1)－2－2－1＝3－2m 3＝1－23m ，又k AB ＝tan α且45°＜α＜60°， ∴1<tan α<3，即1<1－23m <3，解得3－332<m <0.9．已知直线l 经过两点A (－1，m )，B (m ,1)，问：当m 取何值时， (1)直线l 与x 轴平行？ (2)直线l 与y 轴平行？ (3)直线l 的斜率为13？(4)倾斜角为锐角？解 (1)当m ＝1时，l 与x 轴平行． (2)当m ＝－1时，l 与y 轴平行． (3)k l ＝1－m m ＋1＝13，解得m ＝12.(4)k l ＝1－mm ＋1>0，即(m －1)(m ＋1)<0，解得－1<m <1.10．若A (2,2)，B (a ,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，求证：1a ＋1b ＝12.证明 由于A ，B ，C 三点共线，所以此直线的斜率既可用A ，C 两点的坐标表示，也可用B ，C 两点的坐标表示，于是b －2－2＝b －a， 由此可得a ＋b ＝12ab ，两边同时除以ab ，得1a ＋1b ＝12.11．已知直线l 1过点A (－1，－1)和B (1,1)，直线l 2的倾斜角是直线l 1的倾斜角的2倍，则直线l 2的斜率是( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．不存在答案 D解析 1l k ＝1－(－1)1－(－1)＝1，∴l 1的倾斜角为45°， 故l 2的倾斜角为90°， 故l 2的斜率不存在，故选D.12．若某直线的斜率k ∈(－∞，3]，则该直线的倾斜角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π3 B.⎣⎡⎦⎤π3，π2 C.⎣⎡⎦⎤0，π3∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π3，π 答案 C解析 ∵直线的斜率k ∈(－∞，3]， ∴k ≤tan π3，又α∈[0，π)，∴该直线的倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3∪⎝⎛⎭⎫π2，π.故选C. 13．已知直线l 1的倾斜角为α(α≠0)，若直线l 2与l 1关于x 轴对称，则直线l 2的倾斜角为 ，两直线l 1与l 2的斜率之和为 ． 答案 π－α 0解析 如图，∵l 1与l 2关于x 轴对称，∴α＝β＝γ.又θ＋α＋β＝π，∴θ＋α＝π－β＝π－α.故l 2的倾斜角为π－α.所以1l k ＋2l k ＝tan α＋tan (π－α)＝tan α－tan α＝0.14．已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (2，－1)的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围为 ．答案 (－∞，－1]∪[3，＋∞)解析 ∵直线l 与线段AB 有公共点，∴直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PB ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k P A .∵k P A ＝－1－42－(－3)＝－1，k PB ＝－1－22－3＝3， ∴直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．15．若三点A (3,1)，B (－2，k )，C (8,1)能构成三角形，则实数k 的取值范围为 ． 答案 (－∞，1)∪(1，＋∞)解析 k AB ＝k －1－2－3＝1－k 5，k AC ＝1－18－3＝05＝0. 要使A ，B ，C 三点能构成三角形，需三点不共线，即k AB ≠k AC ，∴1－k 5≠0，∴k ≠1. 16．已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)，求y ＋3x ＋2的最大值和最小值．解 因为y ＋3x ＋2＝y －(－3)x －(－2)， 故y ＋3x ＋2表示曲线y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)上的点P (x ，y )与点Q (－2，－3)连成直线的斜率k PQ . 画出y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)的图像，如图所示．所以k QA ≤k PQ ≤k QB .由已知得A (1,1)，B (－1,5)， 所以k QA ＝43，k QB ＝8.所以43≤k PQ ≤8，故y ＋3x ＋2的最大值为8，最小值为43.。
倾斜角与斜率知识点总结--2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2.1.1 倾斜角与斜率知识点总结知识点一、倾斜角1.当直线l 与x 轴相交时,以x 轴为基准,x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角（简记：交右上）2.规定：当直线l 与x 轴平行或重合时,规定直线l 的倾斜角为0°3.范围：0°≤α<180°4.作用：(1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度;(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可5.强调：倾斜角还可以这样定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定:与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.6.考查题型：题型1.倾斜角的定义；2.倾斜角的范围；3.已知x=数，求倾斜角；4.已知y=数，求倾斜角 典型例题题型1.倾斜角的定义例1：求图中各直线的倾斜角．题型2.倾斜角的范围例2：判断下列是否正确： 1．任意一条直线都有倾斜角 2．直线倾斜角的范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭3．直线倾解角的范围是(0,)π题型3.已知x=数，求倾斜角例3：直线1x =的倾斜角是____________， 题型4.已知y=数，求倾斜角例4：直线y=-2的倾斜角是____________，知识点二、斜率1. 定义：一条直线的倾斜角α（α≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率2. 当α=90°时，直线斜率不存在3. 常用小写字母k 表示,当已知直线的倾斜角是，k=tan α4. 范围：R5. 作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度6. 直线经过两点P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)，x 1≠x 2,则直线的斜率公式为k=y 2-y 1x 2-x 1注意：运用公式的前提是x 1≠x 2,即直线不与x 轴垂直.斜率公式与P 1,P 2在直线上的位置无关,在直线上任取两点,得到的斜率是相同的.需注意公式中横、纵坐标之差的顺序7. 考查题型：题型1.已知倾斜角求斜率；2.已知斜率求倾斜角；3.已知两点求斜率；4.已知两点求倾斜角 典型例题题型1.已知倾斜角求斜率 例5：判断下列是否正确：1.若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为tan α2.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率3.若一条直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为α4.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率5.若两条直线的倾斜角不相等，则它们中倾斜角大的，斜率较小6.倾斜角和斜率都是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度7.若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；8.若两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角也一定相等；9.若两条直线的斜率不相等，则它们中斜率大的，其倾斜角也大． 题型2.已知斜率求倾斜角例6：图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2题型3.已知两点求斜率例7：下列两点确定的直线的斜率不存在的是（ ） A ．(42)，，(41)-， B ．(0)2，，(2)0， C ．(4)1-，，(3)1-， D ．(22)--，，(23)--，例8：已知直线经过两点(A ，(),0B a 且直线的倾斜角为6π，则a =（ ） A ．2-B ．4C ．0D ．不存在例9：经过点M （﹣2，m 2）、N （m ，4）的直线的斜率等于2，则m 的值为（ ） A ．0 B ．0或﹣2 C ．﹣2D ．0或2例10：如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（ ）A ．k 1＜k 3＜k 2B ．k 3＜k 2＜k 1C ．α1＜α3＜α2D ．α3＜α2＜α1题型4.已知两点求倾斜角例11：已知()1,A a ，()4,0B ，其中()a ∈，则直线AB 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．π3π0,,π64⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．πππ3π,,6224⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．ππ,46⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．π3π,64⎛⎫ ⎪⎝⎭练习：1．下列说法中，正确的是（ ）A ．直线的倾斜角为α，且tan 0α>，则α为锐角B ．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC ．若直线的倾斜角为α，则sin 0α>D ．任意直线都有倾斜角α，且90α≠︒时，斜率为tan α2．直线1l ，2l ，3l 在平面直角坐标系中的位置如图所示，记直线m l 的倾斜角和斜率分别为mα和m k ，其中1m =，2，3，则1α，2α，3α中最大的是________；3.过点P (m )，Q ，4)的直线的倾斜角为60°，则m 的值为（ ） A ．12 B ．13C ．14D ．154.已知点A （2，0），(3,B ，则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．30°B ．45°C ．120°D ．135°5.已知直线l 过不同的两点A (5，6)，B (5，y )，则l 的斜率（ ） A ．等于0B ．等于5C ．不存在D ．与y 的取值有关6.若直线经过A (1，0)，B (4，两点，则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°7．过点()2,P m -和(),4Q m 的直线的斜率是1，则m =_______.8．若斜率(,[1,)k ∈-∞+∞，求倾斜角α的范围_________________.2.1.1 倾斜角与斜率知识点总结例题和练习答案例1：【答案】（1）60︒；（2）135︒；（3）150︒． 【详解】（1）如图①，可知OAB ∠为直线1l 的倾斜角，因为30ABO ∠=︒，所以60OAB ∠=︒，即直线1l 的倾斜角为60︒． （2）如图②，可知xAB ∠为直线2l 的倾斜角，45OBA ︒∠=，45︒∴∠=OAB ，135xAB ︒∴∠=，即直线2l 的倾斜角为135︒．（3）如图③，可知OAC ∠为直线3l 的倾斜角， 18012060ABO ︒︒︒∠=-=，30BAO ︒∴∠=，150OAC ︒∴∠=，即直线3l 的倾斜角为150︒．① ② ③ 例2：1.对；2.错；3.错 例3：【答案】2π【详解】解：直线1x =垂直于x 轴，所以倾斜角为2π，故答案为：2π； 例4：【答案】0 【详解】解：直线y=-2平行于x 轴，所以倾斜角为0 故答案为：0例5：1.×2.×3.×4.×5.×6.√7.√8.9.× 例6：【答案】D【详解】由题可得，直线l 1的倾斜角为钝角， ∴直线l 1的斜率k 1＜0，由于l 2、l 3的倾斜角为锐角，且l 2的倾斜角大于直线l 3的倾斜角， ∴k 2＞k 3＞0， ∴k 1＜k 3＜k 2， 故选：D ． 例7：【答案】D 【详解】当两个点横坐标相同时，过这两点的直线斜率不存在， D 选项中的两个点横坐标相同，过这两点的直线斜率不存在. ABC 中两点确定的直线斜率存在. 故选：D 例8：【答案】A 【详解】由题设，直线的斜率6tan πk ==k ==，=2a =-. 故选：A 例9：【答案】A 【详解】经过点M （﹣2，m 2）、N （m ，4）的直线的斜率等于2，可得：2422m m -=+，解得m =0或m =﹣2（舍去）． 故选:A ．例10：【答案】AD 【详解】如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，倾斜角分别为α1，α2，α3， 则k 2＞k 3＞0，k 1＜0，3202παα<<<，α1为钝角，所以k 1＜k 3＜k 2，α3＜α2＜α1. 故选：AD ． 例11：【答案】A 【详解】由斜率公式得3a k =-，当a =AB k = 当3a =时，1AB k =-，所以斜率的取值范围是⎛- ⎝⎭， 由正切函数的图像可知倾斜角的范围是π30,π,π64⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭．故选：A 1.【答案】AD 【详解】解：对于A ，因为0180α︒≤<︒，且tan 0α>，则α为锐角，故A 正确；对于B ，虽然直线的斜率为tan α，但只有0180α︒≤<︒时，α才是此直线的倾斜角，故B 错误；对于C ，因为0180α︒≤<︒，所以sin 0α≥，故C 错误；对于D ，任意直线都有倾斜角α，且90α≠︒时，斜率为tan α，故D 正确. 故选：AD.2.【答案】2α 1k 【详解】由图观察可知2l 的倾斜角最大，2l ，3l 的倾斜角为钝角，斜率为负，1l 倾斜角为锐角，斜率为正，所以1k 最大． 故答案为：2α，1k ． 3.【答案】C 【详解】因过点P (m )，Q ，4)的直线的倾斜角为60°， 于是得直线PQ 斜率tan 603k ===m 14=，所以m 的值为14.故选：C 4.【答案】C 【详解】点A （2，0），(3,B ，则直线AB 的斜k = 则直线的倾斜角120°，故选：C ． 5.【答案】C 【详解】因点A (5，6)，B (5，y )是不同的两点，且A 、B 的横坐标相同，则直线l 与x 轴垂直， 所以l 的斜率不存在. 故选：C 6.【答案】D 【详解】因直线经过A (1，0)，B (4，两点，则直线AB 的斜率等于k ==设直线AB 的倾斜角等于θ，则有tan θ=，而 0180θ≤<，于是得150θ=， 所以直线AB 的倾斜角为150. 故选：D 7.【答案】1. 【详解】 由题知412m m-=--， ∴1m =. 故答案为：1.8.【答案】2[,)(,)4223ππππ【详解】由题意，直线的倾斜角[0,)απ∈，则tan k α=，且斜率(,[1,)k ∈-∞+∞，当(,k ∈-∞时，2,23ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； 当[1,)∈+∞k 时，[,)42ππα∈，综上可得，倾斜角2[,)(,)4223ππππα∈.故答案为：2[,)(,)4223ππππ.。
直线的倾斜角、斜率与直线的方程考点和题型归纳
直线的倾斜角、斜率与直线的方程考点和题型归纳一、基础知识1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准， x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)定义式：直线l 的倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2，则斜率k ＝tan α. (2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上， 且x 1≠x 2，则l 的斜率 k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面内所有直线都适用二、常用结论特殊直线的方程(1)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于x 轴的方程为x ＝x 1； (2)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于y 轴的方程为y ＝y 1； (3)y 轴的方程为x ＝0； (4)x 轴的方程为y ＝0. 考点一 直线的倾斜角与斜率[典例] (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．[解析] (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2·cos α∈[1， 3 ]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]． 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2) 设P A 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线P A 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP＝－3，当直线l 由P A 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－ 3 ]．故直线l 斜率的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． [答案] (1)B (2)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)[变透练清]1.(变条件)若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点A (cos θ，sin 2 θ)，B (0,1)，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是________．解析：由题意知cos θ≠0，则斜率k ＝tan α＝sin 2θ－1cos θ－0＝－cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，所以直线AB 的倾斜角的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：⎝⎛⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 2.(变条件)若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0. ∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，3. 答案：⎣⎡⎦⎤13，33．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：4考点二 直线的方程[典例] (1)若直线经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________________．(2)若直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________________．(3)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为________________．[解析] (1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.②当横截距、纵截距都不为零时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为 3.又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0. (3)设C (x 0，y 0)，则M ⎝⎛⎭⎪⎫5＋x 02，y 0－22，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋x 02，y 0＋32.因为点M 在y 轴上，所以5＋x 02＝0，所以x 0＝－5.因为点N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3，即C (－5，－3)， 所以M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.[答案] (1)x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0 (2)3x －y ＋6＝0 (3)5x －2y －5＝0[题组训练]1．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是22的直线方程是________________． 解析：由题知，倾斜角为π4或3π4，所以斜率为1或－1，直线方程为y －2＝x －1或y －2＝－(x －1)，即x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝02．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________________．解析：设直线方程的截距式为x a ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a ＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.答案：2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0考点三 直线方程的综合应用[典例] 已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA ―→|·|MB ―→|取得最小值时直线l 的方程．[解] 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA ―→|·| MB ―→|＝－MA ―→·MB ―→＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5 ＝2b a ＋2ab≥4， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.[解题技法]与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．[题组训练]1．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.2．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与A (－1,0)，B (1,0)两点连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是( )A ．[－6， 6 ] B.⎝⎛⎭⎫－∞，－66∪⎝⎛⎭⎫66，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤－22，22 解析：选C 设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·y x －1＝3，即y 2＝3x 2－3.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝⎛⎭⎫1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0(m ≠0)， 则Δ＝⎝⎛⎭⎫23m 2－24⎝⎛⎭⎫1m 2－3≥0，即m 2≥16，解得m ≤－66或m ≥66. ∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞.[课时跟踪检测]1．(2019·合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B.3 C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0D.3x ＋y ＋3＝0解析：选D 由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.3．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选C 由题知M (2,4)，N (3,2)，则中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.4．方程y ＝ax －1a表示的直线可能是( )解析：选C 当a ＞0时，直线的斜率k ＝a ＞0，在y 轴上的截距b ＝－1a ＜0，各选项都不符合此条件；当a ＜0时，直线的斜率k ＝a ＜0，在y 轴上的截距b ＝－1a ＞0，只有选项C符合此条件．故选C.5．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析：选C 因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D 对于直线mx ＋ny ＋3＝0，令x ＝0得y ＝－3n ，即－3n ＝－3，n ＝1.因为3x －y ＝33的斜率为60°，直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角是直线3x －y ＝33的2倍，所以直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角为120°，即－mn＝－3，m ＝ 3.7．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝kk －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝kk －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．8．若直线l ：kx －y ＋2＋4k ＝0(k ∈R)交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，则当△AOB 的面积取最小值时直线l 的方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．x －2y ＋8＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选B由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4k k ，0，B (0,2＋4k )．依题意得⎩⎨⎧－2＋4k k ＜0，2＋4k ＞0，解得k ＞0.因为S ＝12|OA |·|OB |＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋4k k ·|2＋4k |＝12·(2＋4k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫16k ＋4k ＋16≥12(2×8＋16)＝16，当且仅当16k ＝4k ，即k ＝12时等号成立．此时l 的方程为x －2y ＋8＝0.9．以A (1,1)，B (3,2)，C (5,4)为顶点的△ABC ，其边AB 上的高所在的直线方程是________________．解析：由A ，B 两点得k AB ＝12，则边AB 上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y －4＝－2(x －5)，即2x ＋y －14＝0.答案：2x ＋y －14＝010．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝011．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________________．解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，直线l 在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解不等式得k >12或k <－1.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞12．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]13．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.。
必修二-直线与方程知识点总结
直线与方程总结 【知识点一：倾斜角与斜率】 （1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。
②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00 ③倾斜角α的范围000180α≤< （2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在. 记作tan k α=0(90)α≠⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0tan 00k ==⑵当直线l 与x 轴垂直时, 090α=,k 不存在.②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（）的直线的斜率公式是2121y y k x x -=-③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. （3）求斜率的一般方法：①已知直线上两点，根据斜率公式212121()y y k x x x x -=≠-求斜率；②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率； （4）利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔ 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直. 【知识点三：直线的方程】（1）直线方程的几种形式问题：过两点111222(,),(,)P x y P x y 的直线是否一定可用两点式方程表示？ 【不一定】 (1)若1212x x y y =≠且，直线垂直于x 轴,方程为1x x =； (2)若1212x x y y ≠=且，直线垂直于y 轴,方程为12y y =； (3)若1212x x y y ≠≠且，直线方程可用两点式表示直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式； 利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：方程的条件限制为0,0a b ≠≠，即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度.截距与距离的区别：截距的值有正、负、零。
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直线的倾斜角与斜率知识点
直线的倾斜角和斜率是数学中重要的概念，其也是线性代数中的重要概念，通常情况下，它们可以帮助我们了解一条直线的方向，以及它如何和其他直线相交。
此外，学习直
线的倾斜角和斜率也是理解诸如水平线、垂直线、直角线等相关知识以及线性函数等数学
概念的关键。
直线的倾斜角是指在平面或立体空间中也就是二维或三维空间中，用角度度量两直线
的夹角的一种概念；它的定义为两个直线的夹角。
表示形式为θ，它的单位为度。
而斜率是指给定一条直线上任意两点（x1，y1）和（x2，y2）的连线的斜率的一种数
学概念，它的计算公式为：斜率 = （y2-y1）/（x2-x1）
正如上述定义，斜率可以由一条直线上任意两点求出，而直线的倾斜角则是指给定一
条直线和一个参考线时，两直线之间的夹角。
因此，我们可以根据一条直线的斜率来计算
其倾斜角。
若斜率为K，则倾斜角θ=tan-1K
另外，直线的斜率也可以经由解析形式表示，即求出直线的标准方程。
由直线的标准
方程可以求出直线的斜率。
若直线的标准方程为：y=Kx+b，则斜率K=（∂y/∂x）=K。
此外，当斜率K=0时，表示直线为水平线；若斜率K不存在时，则表示直线为垂直线。
若斜率
K=1时，表示直线为直角线。