数学物理方法姚端正CH10作业解答

数学物理方法姚端正CH10作业解答
题目1
题目描述
求解一维无限深势阱中的薛定谔方程。

解答过程
薛定谔方程为：
$$ -\\frac{{\\hbar}^2}{2m}\\frac{{d^2}\\psi}{{dx^2}} + V(x)\\psi = E\\psi $$
对于一维无限深势阱，即势能为零的区域内，薛定谔方程简化为：
$$ -\\frac{{\\hbar}^2}{2m}\\frac{{d^2}\\psi}{{dx^2}} = E\\psi $$
可以将上式改写为标准形式：
$$ \\frac{{d^2}\\psi}{{dx^2}} = -k^2\\psi $$
其中，$k = \\frac{\\sqrt{2mE}}{{\\hbar}}$。

上述方程为一个二阶常微分方程，可以通过分离变量的方法进行求解。

假设解为$\\psi(x) = A\\sin(kx) + B\\cos(kx)$，代入上式得到：
$$ (A\\sin(kx) + B\\cos(kx))'' = -k^2(A\\sin(kx) +
B\\cos(kx)) $$
化简上式可得：
$$ -Ak^2\\sin(kx) - Bk^2\\cos(kx) = -k^2(A\\sin(kx) +
B\\cos(kx)) $$
通过观察可以发现，上式两边的结果是相等的。

因此，我们只需对振幅因子A和B分别进行求解。

首先，将振幅因子A令为0，代入方程可得到：
$$ B\\cos(kx) = 0 $$
由于$\\cos(kx)$的周期为$2\\pi$，因此得到的解为$x = 0, \\pm \\pi, \\pm 2\\pi, \\cdots$。

接下来，将振幅因子B令为0，代入方程可得到：
$$ A\\sin(kx) = 0 $$
由于$\\sin(kx)$的周期也为$2\\pi$，因此得到的解为$x = \\pm \\frac{\\pi}{2}, \\pm \\frac{3\\pi}{2}, \\pm
\\frac{5\\pi}{2}, \\cdots$。

综上所述，满足一维无限深势阱的薛定谔方程的解为：
$$ \\psi(x) = A\\sin(kx) + B\\cos(kx) $$
其中，A和B分别为常数，k满足$k =
\\frac{\\sqrt{2mE}}{{\\hbar}}$。

题目2
题目描述
求解二维带电粒子在垂直于磁场方向上的运动。

解答过程
二维带电粒子在垂直于磁场方向上的运动可以描述为：
$$ m\\frac{{d^2}\\vec{r}}{{dt^2}} =
q\\vec{v}\\times\\vec{B} $$
其中，m为粒子的质量，q为粒子的电荷，$\\vec{v}$为粒子的速度，$\\vec{B}$为磁场。

对于垂直于磁场方向上的运动，我们可以假设粒子沿着垂直于磁场的方向匀速运动，即$\\vec{v} = v\\hat{j}$。

代入上述方程可得：
$$ m\\frac{{d^2}\\vec{r}}{{dt^2}} =
q(v\\hat{j})\\times\\vec{B} $$
化简上式可得：
$$ m\\frac{{d^2}\\vec{r}}{{dt^2}} = qvB\\hat{k} $$
由于$\\frac{{d^2}\\vec{r}}{{dt^2}}$是$\\vec{r}$对时间的二阶导数，因此可以将上式拆分为x和x两个方向上的二阶微分方程。

对于x方向：
$$ m\\frac{{d^2}x}{{dt^2}} = 0 $$
对于x方向：
$$ m\\frac{{d^2}y}{{dt^2}} = qvB $$
上述方程可以分别进行求解，得到：
x(x)=xx+x
$$ y(t) = \\frac{1}{2}\\frac{q}{m}vBt^2 + Ct + D $$
其中，A、B、C、D为常数。

综上所述，二维带电粒子在垂直于磁场方向上的运动可以由以下方程描述：
x(x)=xx+x
$$ y(t) = \\frac{1}{2}\\frac{q}{m}vBt^2 + Ct + D $$
其中，A、B、C、D为常数。

题目3
题目描述
解析循环数求原点数密度。

解答过程
解析循环数是描述复杂度的一个重要概念，原点数密度是指单位长度上的原点数量。

解析循环数的定义为：
$$ \\alpha =
\\frac{{\\log(\\frac{1}{\\lambda})}}{{\\log(r_0)}} $$
其中，$\\lambda$为分形曲线的缩放因子，x0为分形曲线的曲率半径。

原点数密度的定义为：
$$ \\gamma = \\frac{{\\text{原点数量}}}{{\\text{总长度}}} $$
要求解析循环数求原点数密度，首先需要计算出原点数量和总长度。

对于一个给定的分形曲线，总长度为已知的，因此只需要计算出原点数量即可。

原点数量可以通过对曲线进行采样并统计采样点中曲线经过原点的个数来计算。

综上所述，要求解析循环数求原点数密度，首先需要计算曲线的总长度，然后通过采样计算出原点的数量，最后计算原点数密度。

题目4
题目描述
求解偏微分方程$\\frac{{\\partial u}}{{\\partial t}} =
a\\frac{{\\partial^2u}}{{\\partial x^2}}$。

解答过程
对于偏微分方程$\\frac{{\\partial u}}{{\\partial t}} =
a\\frac{{\\partial^2u}}{{\\partial x^2}}$，其中a为常数。

我们可以使用分离变量的方法进行求解。

设解为x(x,x)=x(x)x(x)，代入上述方程得到：
x′(x)x(x)=xx″(x)x(x)
化简上式可得：
$$ \\frac{{T'(t)}}{T(t)} = a\\frac{{X''(x)}}{X(x)} = -
\\lambda^2 $$
得到两个常微分方程：
$$ T'(t) = -\\lambda^2T(t) $$
$$ X''(x) + \\lambda^2X(x) = 0 $$
第一个方程的解为$T(t) = Ae^{-\\lambda^2t}$，第二个方
程的解为$X(x) = B\\sin(\\lambda x) + C\\cos(\\lambda x)$，其中A、B、C为常数。

假设有一个初始条件x(x,0)=x(x)，代入解的表达式可得到：
$$ f(x) = X(x)T(0) = (B\\sin(\\lambda x) +
C\\cos(\\lambda x))T(0) $$
根据傅里叶级数展开定理的相关知识，我们知道：
$$ f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty}(a_n\\sin(nx) +
b_n\\cos(nx)) = \\sum_{n=1}^{\\infty}c_n\\sin(nx +
\\varphi_n) $$
将上述傅里叶级数展开形式与初始条件进行比较可以得到：$$ B\\sin(\\lambda x) + C\\cos(\\lambda x) = c_n\\sin(nx + \\varphi_n) $$
由于等式左右两边都是关于x的函数，因此可以得到：
$$ B = c_n\\sin(\\varphi_n) $$
$$ C = c_n\\cos(\\varphi_n) $$
综上所述，对于偏微分方程$\\frac{{\\partial
u}}{{\\partial t}} = a\\frac{{\\partial^2u}}{{\\partial x^2}}$，可以通过分离变量的方法求得解的形式为：
$$ u(x, t) = \\sum_{n=1}^{\\infty}(c_n\\sin(nx +
\\varphi_n))e^{-n^2a^2t} $$
其中，x x和$\\varphi_n$为常数。

总结
本文主要解答了数学物理方法姚端正第10章的作业。

通过求解一维无限深势阱中的薛定谔方程，我们得到了该方程的解析解。

此外，我们还讨论了二维带电粒子在垂直于磁场方向上的运动、解析循环数求原点数密度以及偏微分方程
$\\frac{{\\partial u}}{{\\partial t}} =
a\\frac{{\\partial^2u}}{{\\partial x^2}}$的求解方法。

希望本文对读者们在学习数学物理方法时有所帮助。