八年级全册全套试卷测试卷附答案

八年级全册全套试卷测试卷附答案

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．如图，△ABC 中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，现以D为顶点作一个60°角，使角两边分别交AB，AC边所在直线于M，N两点，连接MN，探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．

（1）如图1，若∠MDN的两边分别交AB，AC边于M，N两点．猜想：BM+NC=MN．延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，再证明两次三角形全等可证．请你按照该思路写出完整的证明过程；

（2）如图2，若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，其它条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，请直接写出你的猜想（不用证明）．

【答案】（1）过程见解析；（2）MN= NC﹣BM．

【解析】

【分析】

（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根据∠MDN

=60°，∠BDC=120°，可证∠MDN =∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，进而得到

MN=BM+NC．

（2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的证明方法，先证△BMD≌△CED（SAS），再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论．

【详解】

解：（1）如图示，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE．

∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°，

∴∠DBC=∠DCB=30°

∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°，

在△MBD与△ECD中，

∵BD CD

MBD ECD BM CE

，

∴△MBD≌△ECD（SAS），

∴MD=DE，∠BDM=∠CDE

∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，

∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°，

在△DMN与△DEN中，

∵MD DE

MDN EDN DN DN

，

∴△DMN≌△DEN（SAS），

∴MN=NE=CE+NC=BM+NC．

（2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM．

理由：在CA上截取CE=BM．∵△ABC是正三角形，

∴∠ACB=∠ABC=60°，

又∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BCD=∠CBD=30°，

∴∠MBD=∠DCE=90°，

在△BMD和△CED中

∵BM CE

MBD ECD BD CD

，

∴△BMD≌△CED（SAS），

∴DM= DE，∠BDM=∠CDE

∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，

∴∠NDE=∠BDC-（∠BDN+∠CDE）=∠BDC-（∠BDN+∠BDM）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，

即：∠MDN =∠NDE=60°，

在△MDN和△EDN中

∵ND ND

EDN MDN ND ND

，

∴△MDN≌△EDN（SAS），

∴MN =NE=NC﹣CE=NC﹣BM．

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

2．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.

（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?

如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.

（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合）,点F 为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC ，试判断△DEF 的形状.

【答案】（1）见解析（2）成立（3）△DEF 为等边三角形 【解析】

解：（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴∠BDA ＝∠CEA=900． ∵∠BAC ＝900，∴∠BAD+∠CAE=900． ∵∠BAD+∠ABD=900，∴∠CAE=∠ABD ．

又AB="AC" ，∴△ADB ≌△CEA （AAS ）．∴AE=BD ，AD=CE ． ∴DE="AE+AD=" BD+CE ． （2）成立．证明如下：

∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=1800—α．∴∠DBA=∠CAE ． ∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC ，∴△ADB ≌△CEA （AAS ）．∴AE=BD ，AD=CE ． ∴DE=AE+AD=BD+CE ．

（3）△DEF 为等边三角形．理由如下：

由（2）知，△ADB ≌△CEA ，BD=AE ，∠DBA =∠CAE ， ∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=600． ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ．∴∠DBF=∠FAE ．

∵BF=AF ，∴△DBF ≌△EAF （AAS ）．∴DF=EF ，∠BFD=∠AFE ． ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600． ∴△DEF 为等边三角形．

（1）因为DE=DA+AE ，故由AAS 证△ADB ≌△CEA ，得出DA=EC ，AE=BD ，从而证得DE=BD+CE ．

（2）成立，仍然通过证明△ADB ≌△CEA ，得出BD=AE ，AD=CE ，所以DE=DA+AE=EC+BD ． （3）由△ADB ≌△CEA 得BD=AE ，∠DBA =∠CAE ，由△ABF 和△ACF 均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=600，FB=FA ，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ，即∠DBF=∠FAE ，所以△DBF ≌△EAF ，所以FD=FE ，∠BFD=∠AFE ，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF 是等边三角形．

3．如图，在ABC ?中，90C ∠=?，4cm AC BC ==，点D 是斜边AB 的中点．点E 从点B 出发以1cm/s 的速度向点C 运动，点F 同时从点C 出发以一定的速度沿射线CA 方向运动，规定当点E 到终点C 时停止运动．设运动的时间为x 秒，连接DE 、DF ．

（1）填空：ABC S ?=______2cm ；

（2）当1x =且点F 运动的速度也是1cm/s 时，求证：DE DF =；

（3）若动点F 以3cm /s 的速度沿射线CA 方向运动，在点E 、点F 运动过程中，如果存在某个时间x ，使得ADF ?的面积是BDE ?面积的两倍，请你求出时间x 的值． 【答案】（1）8;(2)见解析；（3）4

5

或4. 【解析】 【分析】

（1）直接可求△ABC 的面积；

（2）连接CD ，根据等腰直角三角形的性质可求：∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，即BD=CD ，且BE=CF ，即可证△CDF ≌△BDE ，可得DE=DF ；

（3）分△ADF 的面积是△BDE 的面积的两倍和△BDE 与△ADF 的面积的2倍两种情况讨论，根据题意列出方程可求x 的值． 【详解】 解：（1）∵S △ABC =1

2

?AC×BC ∴S △ABC =

1

2

×4×4=8（cm 2） 故答案为：8

（2）如图：连接CD

∵AC=BC ，D 是AB 中点 ∴CD 平分∠ACB 又∵∠ACB=90°

∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°

∴CD=BD

依题意得：BE=CF

∴在△CDF与△BDE中

BE CF

B DCA

BD CD

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴△CDF≌△BDE（SAS）

∴DE=DF

（3）如图：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，

∵AD=BD，∠A=∠B=45°，∠AND=∠DMB=90°

∴△ADN≌△BDM（AAS）

∴DN=DM

当S△ADF=2S△BDE．

∴

1

2

×AF×DN=2×

1

2

×BE×DM

∴|4-3x|=2x

∴x1=4，x2=

4

5

综上所述：x=

4

5

或4

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象，全等三角形的性质和判定，利用分类思想解决问题是本题的关键．

4．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，他们的运动时间为

t(s).

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由

（2）判断此时线段PC和线段PQ的关系，并说明理由。

（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变，设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由。

【答案】（1）△ACP≌△BPQ，理由见解析；

（2）PC=PQ且PC⊥PQ，理由见解析；

（3）存在；

1

1

t

x

=

?

?

=

?

或

2

3

2

t

x

=

?

?

?

=

??

．

【解析】

【分析】

（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ；

（2）由（1）得出PC=PQ，∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；

（3）分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．【详解】

解：（1）如图（1），△ACP≌△BPQ，理由如下：

当t=1时，AP=BQ=1，

∴BP=AC=3，

又∵∠A=∠B=90°，

在△ACP和△BPQ中，

AP BQ

A B

AC BP

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ACP≌△BPQ（SAS）．

（2）PC=PQ且PC⊥PQ，理由如下：

由（1）可知△ACP≌△BPQ

∴PC=PQ，∠ACP=∠BPQ，

∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．

∴∠CPQ=90°，

∴PC⊥PQ．

（3）如图（2），分两种情况讨论：

当AC=BP，AP=BQ时，△ACP≌△BPQ，则

34t

t xt

=-

?

?

=

?

，

解得

1

1

t

x

=

?

?

=

?

，

当AC=BQ，AP=BP时，△ACP≌△BQP，则，

3

4

xt

t t

=

?

?

=-

?

解得

2

3

2

t

x

=

?

?

?

=

??

综上所述，存在

1

1

t

x

=

?

?

=

?

或

2

3

2

t

x

=

?

?

?

=

??

使得△ACP与△BPQ全等．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，能熟练进行全等的分析判断以及运用分类讨论思想是解题关键．

5．操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE．

（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；

（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；

拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．

【答案】（1）见解析；（2）70°；（3）2

【解析】

【分析】

（1）根据SAS证明△BAD≌△CAE即可．

（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．

（3）同法可证△BAD≌△CAE，推出EC=BD=4，由∠BEC=∠BAC=120°，推出∠FCE=30°即可解决问题．

【详解】

（1）证明：如图1中，

∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，

∴∠EAD＝∠CAB，

∴∠EAC＝∠DAB，

∵AE＝AD，AC＝AB，

∴△BAD≌△CAE（SAS）．

（2）解：如图1中，设AC交BE于O．

∵∠ABC＝∠ACB＝55°，

∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，

∵△BAD≌△CAE，

∴∠ABO＝∠ECO，

∵∠EOC＝∠AOB，

∴∠CEO＝∠BAO＝70°，

即∠BEC＝70°．

（3）解：如图2中，

∵∠CAB＝∠EAD＝120°，

∴∠BAD＝∠CAE，

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠BAD＝∠ACE，BD＝EC＝4，同理可证∠BEC＝∠BAC＝120°，∴∠FEC＝60°，

∵CF⊥EF，

∴∠F＝90°，

∴∠FCE＝30°，

∴EF＝1

2

EC＝2.

【点睛】

本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

6．已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.

(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.

(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出

∠EDF=90°，即△DEF 是等腰直角三角形；

(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF ≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF 是等腰直角三角形. 【详解】 解：（1）连结AD ,

∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D 为BC 中点 , ∴AD ⊥BC ,BD=AD , ∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°, 又∵BE=AF ,

∴△BDE ≌△ADF （SAS ）, ∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,

∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°, ∴△DEF 为等腰直角三角形. （2）连结AD

∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D 为BC 中点 , ∴AD=BD ,AD ⊥BC , ∴∠DAC=∠ABD=45° , ∴∠DAF=∠DBE=135°, 又∵AF=BE ,

∴△DAF ≌△DBE （SAS ）, ∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,

∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°. ∴△DEF 为等腰直角三角形. 【点睛】

本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．

7．已知：AD 是ABC ?的高，且BD CD =.

（1）如图1，求证：BAD CAD ∠=∠；

（2）如图2，点E 在AD 上，连接BE ，将ABE ?沿BE 折叠得到'A BE ?，'A B 与AC 相交于点F ，若BE=BC ，求BFC ∠的大小；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接EF ，过点C 作CG EF ⊥，交EF 的延长线于点

G ，若10BF =，6EG =，求线段CF 的长.

图1. 图2. 图3.

【答案】（1）见解析，（2）BFC ∠=60（3）8=CF . 【解析】 【分析】

（1）根据等腰三角形三线合一，易得AB=AC ，BAD CAD ∠=∠；

（2）在图2中，连接CE ，可证得BCE ?是等边三角形，60BEC ∠= ，30BED ∠=且由折叠性质可知1

'2

ABE A BE ABF ∠=∠=

∠，可得BFC FAB ABF ∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 260BED =∠=；

（3）连接CE ，过点E 分别作EH AB ⊥于点H ，EM BF ⊥于点M ，EN AC ⊥于点

N ，可证得

Rt BEM Rt CEN ???，BM CN =，BF FM CF CN -=+，可得线段CF 的长. 【详解】

解：（1）证明：如图1，AD BC ⊥，BD CD = AB AC ∴=

BAD CAD ∴∠=∠；

图1

（2）解：在图2中，连接CE

ED BC ⊥，BD CD = BE CE ∴= 又BE BC = BE CE BC ∴== BCE ∴?是等边三角形

60BEC ∴∠= 30BED ∴∠=

由折叠性质可知1

'2

ABE A BE ABF ∠=∠=

∠ 2ABF ABE ∴∠=∠ 由（1）可知2FAB BAE ∠=∠

BFC FAB ABF ∴∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 223060BED =∠=?=

图2

（3）解：连接CE ，过点E 分别作EH AB ⊥于点H ，EM BF ⊥于点M ，EN AC ⊥于点N

'ABE A BE ∠=∠，BAD CAD ∠=∠ EM EH EN ∴==

AFE BFE ∴∠=∠ 又60BFC ∠= 60AFE BFE ∴∠=∠=

在Rt EFM ?中，

906030FEM ∠=-= 2EF FM ∴=

令FM m =，则2EF m = 62FG EG EF m ∴=-=-

同理1

2

FN EF m =

=，2124CF FG m ==- 在Rt BEM ?和Rt CEN ?中，EM EN =，BE CE = Rt BEM Rt CEN ∴???

BM CN ∴=

BF FM CF FN ∴-=+ 10124m m m ∴-=-+ 解得1m = 8CF ∴=

图3

故答案为（1）见解析，（2）BFC ∠= 60（3）8CF =. 【点睛】

本题考查翻折的性质，涉及角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识点，属于较难的题型.

8．如图，在ABC ?中，CE 为三角形的角平分线，AD CE ⊥于点F 交BC 于点D （1）若9628BAC B ??∠=∠=，，直接写出BAD ∠= 度 （2）若2ACB B ∠=∠， ①求证：2AB CF =

②若

,CF a EF b ==，直接写出BD

CD

= （用含

,a b 的式子表示）

【答案】（1）34；（2）①见详解；②2b

a b

- 【解析】 【分析】

（1）由三角形内角和定理和角平分线定义即可得出答案；

（2

）①证明B BCE ∠=∠，得出BE=CE ，过点A 作//AH BC 交CE 与点H ，则

,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠，得出AH=AC ，H EAH ∠=∠，得出AE=HE ，

由等腰三角形的性质可得出HF=CF ，即可得出结论；

②证明AHF DCF ?，得出AH=DC ，求出HF=CF=a ，HE=HF-EF=a-b ，CE=a+b ，由

//AH BC 得出

AH AE a b

BC BE a b

-==+，进而得出结论． 【详解】

解：（1）∵9628BAC B ??∠=∠=，， ∴180962856ACB ∠=?-?-?=?， ∵CE 为三角形的角平分线， ∴1

282

ACE ACB ∠=

∠=?， ∵AD CE ⊥，

∴902862CAF ∠=?-?=?， ∴966234BAD ∠=?-?=?． 故答案为：34；

（2）①证明：∵22ACB B BCE ∠=∠=∠ ∴B BCE ∠=∠ ∴BE CE =

过点A 作//AH BC 交CE 与点H ，如图所示：

则,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠ ∴AH=AC ，H EAH ∠=∠ ∴AE=HE ∵AD CE ⊥ ∴HF=CF ∴AB=HC=2CF ；

②在AHF △和DCF 中，

H DCF HF CF

AFH DFC ∠=∠??

=??∠=∠?

∴AHF DCF ? ∴AH=DC

∵

,CF a EF b == ∴ HF CF a ==，由①得 AE HE HF EF a b ==-=-， BE CE a b ==+ ∵ //AH BC ∴AH AE a b

BC BE a b

-==+ ∴CD a b

BC a b -=+ ∴

2BD b

CD a b

=-． 故答案为：2b

a b

-． 【点睛】

本题考查的知识点是全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、三角形的角平分线定理等，掌握以上知识点是解此题的关键．

9．已知如图1，在ABC ?中，AC BC =，90ACB ∠=，点D 是AB 的中点，点E 是

AB 边上一点，直线BF 垂直于直线CE 于点F ，交CD 于点G . （1）求证：AE CG =.

（2）如图2，直线AH 垂直于直线CE ，垂足为点H ，交CD 的延长线于点M ，求证：

BE CM =.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】

（1）首先根据点D 是AB 中点，∠ACB =90°，可得出∠ACD =∠BCD =45°，判断出△AEC ≌△CGB ，即可得出AE =CG ；

（2）根据垂直的定义得出∠CMA +∠MCH =90°，∠BEC +∠MCH =90°，再根据AC =BC ，∠ACM =∠CBE =45°，得出△BCE ≌△CAM ，进而证明出BE =CM ． 【详解】

（1）∵点D 是AB 中点，AC =BC ，∠ACB =90°，∴CD ⊥AB ，∠ACD =∠BCD =45°，∴∠CAD =∠CBD =45°，∴∠CAE =∠BCG ． 又∵BF ⊥CE ，∴∠CBG +∠BCF =90°． 又∵∠ACE +∠BCF =90°，∴∠ACE =∠CBG ．

在△AEC 和△CGB 中，∵CAE BCG AC BC ACE CBG ∠=∠??

=??∠=∠?

，∴△AEC ≌△CGB （ASA ），∴AE =CG ；

（2）∵CH ⊥HM ，CD ⊥ED ，∴∠CMA +∠MCH =90°，∠BEC +∠MCH =90°，∴∠CMA =∠BEC ．

在△BCE 和△CAM 中，BEC CMA ACM CBE BC AC ∠=∠??

∠=∠??=?

，∴△BCE ≌△CAM （AAS ），∴BE =CM ．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

10．小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一个等边ABC ?，如图1，并在边AC 上任意取了一点F （点F 不与点

A 、点C 重合），过点F 作FH A

B ⊥交AB 于点H ，延长CB 到G ，使得BG AF =，连接FG 交AB 于点l .

（1）若10AC =，求HI 的长度；

（2）如图2，延长BC 到D ，再延长BA 到E ，使得AE BD =，连接ED ，EC ，求证：ECD EDC ∠=∠.

【答案】（1）HI =5；(2)见解析. 【解析】 【分析】

（1）作FP ∥BC 交AB 于点P ，证明APF ?是等边三角形得到AH=PH ， 再证明

PFI BGI

???得到PI=BI，于是可得HI =

1

2

AB，即可求解；

（2）延长BD至Q，使DQ=AB，连结EQ，就可以得出BE=BQ，得出△BEQ是等边三角形，就可以得出BE=QE，得出△BCE≌△QDE就可以得出结论．

【详解】

解：如图1，作FP∥BC交AB于点P，

∵ABC

?是等边三角形,

∴∠ABC=∠A=60°,

∵FP∥BC,

∴∠APF=∠ABC=60°, ∠PFI=∠BGI,

∴∠APF=∠A=60°,

∴APF

?是等边三角形,

∴PF=AF,

∵FH AB

⊥，

∴AH=PH,

∵AF=BG,

∴PF=BG,

∴在PFI

?和BGI

?中，

PIF BIG

PFI BGI

PF BG

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

,

∴PFI BGI

???,

∴PI=BI,

∴PI+PH=BI+AH=

1

2

AB,

∴HI=PI+PH =

1

2

AB=

1

10

2

?=5；

(2)如图2，延长BD至Q，使DQ=AB，连结EQ，

∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=BC=AC ，∠B=60°． ∵AE=BD ，DQ=AB ， ∴AE+AB=BD+DQ ， ∴BE=BQ ． ∵∠B=60°，

∴△BEQ 为等边三角形， ∴∠B=∠Q=60°，BE=QE ． ∵DQ=AB ， ∴BC=DQ ．

∴在△BCE 和△QDE 中，

BC DQ B Q BE QE =??

∠=∠??=?

， ∴△BCE ≌△QDE （SAS ）， ∴EC=ED ． ∴∠ECD=∠EDC. 【点睛】

本题考查了等边三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时作出相应辅助线构造全等三角形是关键．本题难度较大，需要有较强的综合能力.

三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）

11．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．

在初中数学课本中重点介绍了提公因式法和运用公式法两种因式

分解的方法，其中运用公式法即运用平方差公式：22

()()a b a b a b -=+-和完全平方公式：2

2

2

)2(a ab b a b ±+=±进行分解因式，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．当一个二次三项式不能直接能运用完全平方公式分解因式时，可应用下

面方法分解因式，先将多项式2ax bx c ++(0)a ≠变形为2()a x m n ++的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式2ax bx c ++的配方法．再运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式． 例如：21124x x ++

22

21111112422x x ????

=++-+ ? ?????

2

112524x ?

?=+- ??

?

1151152222x x ?

???=+++- ????

???

(8)(3)x x =++．

根据以上材料，完成相应的任务：

（1）利用“多项式的配方法”将268x x -+化成2

()a x m n ++的形式为_______；

（2）请你利用上述方法因式分解： ①223x x +-； ②24127x x +-．

【答案】（1）2(3)1x --；（2）①(3)(1)x x +-；②(27)(21)x x +- 【解析】 【分析】

（1）将多项式2233+-即可完成配方；

（2）①将多项式+1-1后即可用配方法再根据平方差公式分解因式进行解答；

②将多项式2233+-即可完成配方，再根据平方差公式分解因式，整理后即可得到结果. 【详解】

解：（1）268x x -+=2226338x x -+-+=2(3)1x --， 故答案为：2(3)1x --； （2）①223x x +-

22113x x =++--

2(1)4x =+- (12)(12)x x =+++- (3)(1)x x =+-．

②24127x x +-

222(2)12337x x =++-- 2(23)16x =+- (234)(234)x x =+++- (27)(21)x x =+-．

【点睛】