反比例函数及性质
反比例函数及性质
(1) 形如x
k y =( k 是常数，k≠0)的形式，那么y 就称为x 的反比例函数。自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数。．反比例函数的三种不同表达形式：① ②
③
(2) 反比例函数 y=k/x （k≠0）的图象是由两支曲线组成的，这两支曲线常称为 ．
说明：①双曲线的两个分支不能够连接起来；
②两个分支无限靠近x 轴和y 轴，但是永远与 不相交；
③图象既是 ，对称轴是 ；
也是 ，对称中心是 ；
④画反比例函数图象时通常先画出一个分支，然后根据对称性画出另一个分支．
(3)反比例函数的性质：
1、函数经过的象限及增减性：
①当k>0时， ；
。
②当k<0 时， ；
。
2、反比例函数x
k y =( k 是常数，k≠0)图象上任一点向x 轴、y 轴作垂线段得到的基本矩形面积 ；基本三角形面积 。
3、反比例函数x
k y 1=(1k 是常数，1k ≠0)与正比例函数)0(22的常数≠=k x k y 交点坐标就是方程组 的解，且这两个点关于
成中心对称。
4、反比例函数x
k y 1=(1k 是常数，1k ≠0)与一次函数)0(222≠+=k b k b x k y 是常数，与的交点坐标就是方程组 即：
b x k x
k +=21，同乘x 得： ，若这个一元二次方有2个不同的实数根则它们就有 ；若有2个相等的实数根则它
们就有 ；若无解则它们就 。
函数解析式联立的方程组的解就是函数图象交点坐标；函数图象交点的坐标就是解析式联立
成方程组的解；
二、填空（每题3分共30分）
1、已知y 与(2x+1)成反比例且当x=0时，y=2，那么当x=－1时，y=________。
2、如果反比例函数的图象经过点(3,1)，那么k=_______
3、设反比例函数
的图象经过点(x 1,y 1)和(x 2,y 2)且有y 1>y 2，则k 的取值范围是______。4、若点(２,
１)是反比例的图象上一点，当y=6时，则x=_______。5、函数
与y=－2x 的图象的交点的坐标是____________。 6、如果点(m,－2m)在双曲线上，那么双曲线在_________象限。 7、已知一次函数y=ax+b 图象在一、二、三象限，则反比例函数y=的函数值随x 的增大而__________。 8、已知，那么y 与x 成_________比例，k=________，其图象在第_______象限。
9、菱形面积为12cm 2
，且对角线长分别为x cm 和y cm ，则y 关于x 的函数关系式是_________。 10、反比例函数
，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则m 的值是 。
11.已知与 成反比例，且当 时，，那么当 时， . 12．（2012·山东潍坊中考）点P 在反比例函数(k ≠0)的图象上，点Q （2,4）与点P 关于y 轴对称，则反比例函数的解析式为 .
13．已知反比例函数x
m y 33-=，当______m 时，其图象的两个分支在第一、三象限内；当______m 时，其图象在每个象限内y 随x 的增大而增大. 14.若反比例函数x
k y 3-=的图象位于第一、三象限内，正比例函数x k y )92(-=的图象过第二、四象限，则k 的整数值是________.
15.现有一批救灾物资要从A 市运往B 市，如果两市的距离为500千米，车速为每小时千米，从A 市到B 市所需时间为小时，那么与之间的函数关系式为_________，是的
________函数.
16.（2012·河南中考）如图所示，点A 、B 在反比例函数（k ＞
0，x ＞0）的图象上，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、
N ，延长线段AB 交x 轴于点C ，若OM ＝MN ＝NC ，△AOC 的面积
为6，则k 的值为 .
17. 若点A （m ，－2）在反比例函数4y x
=
的图象上，则当函数值
时，自变量x 的取值范围是___________.
18.在同一直角坐标系中，正比例函数x k y 1=的图象与反比例函 数x
k y 2=的图象有公共点，则21k k 0（填“＞”、“＝”或“＜”）. 三、解答题（共46分）
19.（6分）已知一次函数kx y =与反比例函数x y 3=的图象都经过点A （m ，1）．求: （1）正比例函数的解析式；
（2）正比例函数与反比例函数的图象的另一个交点的坐标．
20.（6分）如图，正比例函数12y x =的图象与反比例函数k y x
=(0)k ≠在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知△
的面积为1. （1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），
且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA PB +最小.
21.（6分）如图所示是某一蓄水池的排水速度h ）与排完水池中的水所用的时间t （h ）之间的函数关系图象．
（1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；
（2）写出此函数的解析式；
（3）若要6 h 排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？
（4）如果每小时排水量是，那么水池中的水要用多少小时排完？
22.（7分）若反比例函数x k y =
与一次函数42-=x y 的图象都经过点A （a ，2）. （1）求反比例函数x
k y =的解析式； （2） 当反比例函数x
k y =的值大于一次函数42-=x y 的值时，求自变量x 的取值范围．
23.（7分）（2012·天津中考）已知反比例函数y=（k 为常数，k ≠1）.
（1）其图象与正比例函数y=x 的图象的一个交点为P ，若点P 的纵
坐标是2，求k 的值；
（2）若在其图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；
（3）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点 A (x 1,y 1)、
B （x 2,y 2）,当y 1＞y 2时，试比较x 1与x 2的大小.
24．（7分）如图，已知直线1y x m =+与x 轴、y 轴分别交于
点A 、B ，与反比例函数2k y x =（x ）的图象分别交于点
C 、
D ，且C 点的坐标为（1-，2）.
⑴分别求出直线AB 及反比例函数的解析式；
⑵求出点D 的坐标；
⑶利用图象直接写出：当x 在什么范围内取值时，1y >2y .
25.（7分）制作一种产品，需先将材料加热达到60 ℃
后，再进行操作．设该材料温度为y （℃），从加热开始
计算的时间为x （min ）．据了解，当该材料加热时，温
度y 与时间x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，
温度y 与时间x 成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加热前的温
度为15 ℃，加热
5分钟后温度达到60 ℃．
（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与x 的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15 ℃时，须停止操作，那么从
开始加热到停止
操作，共经历了多少时间？
反比例函数--性质与定义
- 1 - 反比例函数（1） 【精彩知识】 1．反比例函数的定义 一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示为x k y =（或1-=kx y ）（k 为常数，且0__k ）的形式，那么称y 是x 的 函数。自变量x 与的取值范围是 。 y 是x 的反比例函数?x k y = ?1-=kx y ?k xy =?y 与x 成反比例函数。 2.反比例函数的图象和性质 反比例函数x k y =（0≠k ）的图象是由两支曲线组成的，称为 ，它们关于原点成 对称，关于直线x y ±=成 对称，与两坐标轴 交点。 ①当k ＞0时， 图象（双曲线）的两个分支分别在第 象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而 ； ②当k ＜0时， 图象（双曲线）的两个分支分别在第 象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而 。 3.反比例函数x k y = （0≠k ）中的比例系数k 的几何意义 过双曲线上任一点作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN 所得的矩形PMON 的 面 积 ||||____ S PM PN x y =?=?=； 若 连 接 PO ， 则 __ _==??P O N P O M S S 。
【典例解析】 考点1: 反比例函数的概念 【例1】已知1 22 )2(-++=m m x m m y （1）如果y 是x 正比例函数，求m 的值； （2）如果y 是x 反比例函数，求m 的值。【例2】已知12y y y =-，其中1y 与x 成反比例，2y 与2x +成正比例，且12,y y 所表示的函数图象相交于点P （1，5）。求当5x =时y 的值。变式训练1： 1.已知函数m m x m y 3123--+=是反比例函数，则m 的值为 ；
反比例函数概念与性质
一、反比例函数的概念 1． （ ）可以写成 （ ）的形式，注意自变量x 的指数为 ，在解决有关自 变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2． （ ）也可以写成xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得 到反比例函数的解析式； 3．反比例函数 的自变量 ，故函数图象与x 轴、y 轴无交点． 二、反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x 的取值不能为0，且x 应对称取点（关于原 点对称）． 三、反比例函数及其图象的性质 反比例函数 )0#(k x k y = k 的符号 0>k 0 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性： 图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在D 双曲线的另一支上． 4．k的几何意义 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为． 图1图2 5．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线与双曲线的关系： 当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系． 反比例函数 1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线 反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。 2、性质： 1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。 >0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。 定义域为x≠0；值域为y≠0。 3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。 6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。 7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。 8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。 9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x 轴对称,并且关于原点中心对称. 10.反比例上一点m 向x 、y 分别做垂线，交于q 、w ，则矩形mwqo （o 为原点）的面积为|k| 值相等的反比例函数重合，k 值不相等的反比例函数永不相交。 12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。 13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点 一次函数 （一）函数 1、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 （二）一次函数 1、一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数及性质 一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零 反比例函数图象及性质 【知识点】 定义：一般的，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成(k 为常数，k≠0，x≠0），其中k 叫做反比例系数，x 是自变量，y 是x 的函数，x 的取值范围是不等于0的一切实数,且y 也不能等于0。 表达式：y*x=-1,y=x^(-1)*k ，y=kx^-1（k 为常数(k≠0），x 不等于0） 函数的图像：当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，两个分支无限接近x 和y 轴，但永远不会与x 轴和y 轴相交. 函数的性质：Y 与x 的变化： 当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y 随x 的增大而减小； 当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y 随x 的增大而增大。 因为在(k≠0)中，x 不能为0，y 也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x 轴相交，也不可能与 y 轴相交，只能无限接近x 轴，y 轴。 面积： 在一个反比例函数图像上任取两点，过点分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为|k|， 反比例函数上一点 向x 、y 轴分别作垂线，分别交于y 轴和x 轴，则QOWM 的面积为|k|，则连接该矩形的对角线即连接OM,则RT △OMQ 的面积=?|k|。 对称性： 类型一：函数性质，比较大小 例1.如果两点P 1（1，y 1）和P 2（2，y 2）在反比例函数x y 1 = 的图象上，那么y 1与y 2间的关系是（ ） A. y 2＜y 1＜0 B.y 1＜y 2＜0 C.y 2＞y 1＞0 D.y 1＞y 2＞0 例2.对于函数3x k y x +＝ （k ＞0）有以下四个结论： ①这是y 关于x 的反比例函数； 第17讲 反比例函数的图象与性质 考点·方法·破译 1．反比例函数的定义：形如k y x = （或1 y kx -=，k ≠0）,y 叫做x 的反比例函数. 2．反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，关于y ＝x 或y ＝－x 轴对称，关于原点O 成中心对称，当k ＞0时，图象的两支分别在第一、三象限，当k ＜0时，图象的两支分别在第二、四象限， 3．反比例函数的性质：当k ＞0时，在每个象限内，y 随x 增大而减小；当k ＜0时，在每个象限内，y 随x 增大而增大. 经典·考题·赏析 【例１】（西宁）已知函数k y x =-中，x ＞0时，y 随x 增大而增大，则y ＝kx －k 的大致图象为（ ） k ＞0，而一 次 A 01．已知反比例函数a y x =（a ≠0）的图象，在每一象限内，y 的值随着x 值增大而减小， 则一次函数y ＝－ax ＋a 的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 02．（龙岩）函数y ＝x ＋m 与m y x =（m ≠0）在同一象限内的图象可以是（ 03（2， y 1随着x 其中正确结论的序号是 . 【例2】如图，A 、B 分别是反比例函数 10y x =，6y x =图象上的点，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OB 、OA ，OA 交BD 于E 点，△BOE 的面积为S 1，四边形ACDE 的面积为S 2，则S 2－S 1＝ . A B C D A B C D 【解法指导】在反比例函数 k y x =中，k的几何意义为： 中 12 2121 106 ( )()2 2222 ODE OBE k k S S S S S S ∆∆ -=+-+=-=-= 【 变式题组】 01．（宁波）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数 k y x =过点A，则k的值是（）A． 2 B．－2 C．4 D．－4 02．（兰州）如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线 3 y x =（x＞0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（） A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大后减小 03．（牡丹江）如图，点A、B是双曲线 3 y x =上的点，分经过A、B两点向x轴、y轴作垂 线，若S 阴影 ＝1，则S1＋S2＝. 04．（河池）如图，A、B是函数 2 y x =的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y 轴，△ABC的面积记为S，则（） A．S＝2 B．S＝4 C．2＜S＜4 D．S＞4 05．（泰安）如图，双曲线 k y x =（k＞0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（） A． 1 y x =B． 2 y x =C． 3 y x =D． 6 y x = 【例3】（成都）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函 数 m y x =的图象交于点A（－2，1），B（1，n）两点 ⑴试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； 第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图 状元廊学校数学思维方法讲义之三 年级：九年级 §第3讲 反比例函数（1） 【精彩知识】 1．反比例函数的定义 一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示为x k y = （或1-=kx y ）（k 为常数，且0__k ）的形式，那么称y 是x 的 函数。自变量x 与的取值范围是 。 y 是x 的反比例函数⇔x k y =⇔1-=kx y ⇔k xy =⇔y 与x 成反比例函数。 2.反比例函数的图象和性质 反比例函数x k y = （0≠k ）的图象是由两支曲线组成的，称为 ，它们关于原点成 对称，关于直线x y ±=成 对称，与两坐标轴 交点。 ①当k ＞0时， 图象（双曲线）的两个分支分别在第 象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而 ； ②当k ＜0时， 图象（双曲线）的两个分支分别在第 象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而 。 3.反比例函数x k y = （0≠k ）中的比例系数k 的几何意义 过双曲线上任一点作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN 所得的矩形PMON 的面积|| ||__S P M P N x y =⋅=⋅=；若连接PO ，则 ____==∆∆P O N P O M S S 。 【典例解析】 考点1: 反比例函数的概念 【例1】已知1 2 2)2(-++=m m x m m y （1）如果y 是x 正比例函数，求m 的值； （2）如果y 是x 反比例函数，求m 的值。 【例2】已知12y y y =-，其中1y 与x 成反比例，2y 与2x +成正比例，且12,y y 所表示的函数图象相交于点P （1，5）。求当5x =时y 的值。 变式训练1： 1.已知函数m m x m y 3123--+= 是反比例函数，则m 的值为 ； 2. 若y 与 x 1成反比例函数，x 与z 1 成正比例函数，则y 是z 的（ ） A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．二次函数 考点2: 反比例函数的图象和性质 【例3】若M ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21y 、N ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-2,41y 、P ⎪⎭⎫ ⎝⎛3,21y 三点都在函数x k y 12--=的图象上，则 321y y y 、、的大小关系为（ ） A 、2y ＞3y ＞1y B 、2y ＞1y ＞3y C 、3y ＞1y ＞2y 【例4】如图，一次函数y =x +3的图象与x 轴，y 轴交于 A ， B 两点，与反比例函数x y 4 = 的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①△CEF 与△DEF 的面积相等；②△AOB ∽△FOE ；③△DCE ≌△CDF ； ④AC BD =．其中正确的结论 是 。 变式训练2： 1. 如图，过点C （1,2）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y =－x +6于A 、B 两点，若反比例函数k y x =（x ＞0）的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是（ ） A ．2≤k ≤9 B . 2≤k ≤8 C . 2≤k ≤5 D . 5≤k ≤8 反比例函数知识点汇总 1.定义与图像特征： 反比例函数的定义为y=k/x，在此函数中，x不等于0，k为常数。反 比例函数的图像特点是：经过第一、二象限两点，以y轴和x轴为渐进线，图像在x轴的正半轴和y轴的正半轴上都不会出现，图像呈现出一种双曲 线的形状。 2.反比例函数的基本性质： (a)定义域：x≠0，即x不能为0。 (b)值域：排除0，即y不能为0。当x趋近于0时，y趋近于无穷大；当x趋近于无穷大时，y趋近于0。 (c)对称中心：该函数关于原点(0,0)对称。 (d)渐进线：图像与x轴和y轴都有渐进线，即当x趋近于无穷大时，y趋近于0；当y趋近于无穷大时，x趋近于0。 (e)单调性：反比例函数在定义域内是单调递减的。 (f)异号性：当x与y异号时，k为负数；当x与y同号时，k为正数。 (g)零点：当x与y相等时，即x=y≠0。 3.确定反比例函数的常数k： y1=k/x1和y2=k/x2 通过消去k，可以得到： y1*y2=k 因此，可以通过已知点的y值的乘积来确定k的值。 4.反比例函数的应用： (a)正比例与反比例的混合问题：当一个问题与正比例和反比例函数 有关时，可以通过组合两种函数来解决问题。例如，当一个物体的质量与 加速度成反比例关系，而力与加速度成正比例关系时，可以通过设置两个 函数来解决问题。 (b)流速与管道宽度：根据波的传播速度，流速与管道宽度成反比例 关系。当管道宽度较小时，流速较大；当管道宽度较大时，流速较小。 (c)投资与收益率：投资的利润与投资金额成反比例关系。当投资金 额较小时，相对的利润率较大；当投资金额较大时，相对的利润率较小。 (d)电阻与电流：电阻与电流成反比例关系，即当电阻较大时，电流 较小；当电阻较小时，电流较大。 总结起来，反比例函数是一种特殊的函数关系，其图像呈现出一种双 曲线的形状。反比例函数具有一些基本性质，如定义域、值域、对称中心 和渐进线等。确定反比例函数的常数k可以通过已知点进行求解。反比例 函数在实际生活中有很多应用，特别是与强度、速度和功率等相关的问题。通过了解反比例函数的知识点，我们能够更好地理解和应用反比例函数在 解决实际问题中的作用。 数学反比例函数知识点 知识梳理： 知识点l. 反比例函数的概念 一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x或y=kx-1（k为常数，k≠0）的形式， 那么称y是x的反比例函数。反比例函数的概念需注意以下几点： （1）k是常数，且k不为零； （2）自变量x的取值范围是x≠0一切实数. （3）因变量y的取值范围是y≠0一切实数。 知识点2. 反比例函数的图象及性质 1．反比例函数y=k/x的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。 2．反比例函数的图象关于原点对称、与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 3．画反比例函数的图象时要注意的问题： （1）画反比例函数图象的方法是描点法； （2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是，因此不能把两个分支连接起来。（3）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势。 反比例函数的性质: y=k/x(k≠0)的变形形式为xy=k（常数）所以： （1）其图象的位置是： 当k﹥0时，x、y同号，图象在第一、三象限； 当k﹤0时，x、y异号，图象在第二、四象限。 （2）若点(m,n)在反比例函数y=k/x(k≠0)的图象上，则点（-m,-n）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称。 （3）当k﹥0时，在每个象限内，y随x的增大而减小； 当k﹤0时，在每个象限内，y随x的增大而增大； 知识点3. 反比例函数解析式的确定。 （1）反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式y=k/x(k≠0)中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。 因此只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入y=k/x(k≠0)中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。 （2）用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： 反比例函数的性质 单调性：k>0时，函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。相交性：图象不与x轴、y轴相交。对称性：图象是中心对称图形，也是轴对称图形。 扩展资料 反比例函数性质 单调性 当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小； 当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。 k>0时，函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。 相交性 因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x 轴，y轴。 面积 在一个反比例函数图像上任取两点，过点分别作x轴，y轴的.平行线，与坐标轴围成的矩形面积为|k|，反比例函数上一点向x 、y 轴分别作垂线，分别交于y轴和x轴，则QOWM的面积为|k|，则连接该矩形的对角线即连接OM,则RT△OMQ的面积=|k|。 图像表达 反比例函数图象不与x轴和y轴相交的渐近线为：x轴与y轴。 k值相等的反比例函数图象重合，k值不相等的反比例函数图象永不相交。 |k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。 对称性 反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图象也是轴对称图形，其对称轴为y=x或y=-x；反比例函数图象上的点关于坐标原点对称。 图象关于原点对称。若设正比例函数y=mx与反比例函数交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。反比例函数关于正比例函数y=±x轴对称,并且关于原点中心对称。 反比例函数性质总结 反比例函数，是高中数学中的重要概念之一。它与直线函数形成鲜 明对比，具有许多独特的性质和特点。本文将对反比例函数的性质进 行总结和探讨。 首先，反比例函数的定义很简单明了。设有两个变量x和y，如果 它们之间的关系可以表示为“y与x成反比例”，即y=k/x（k≠0），那么 我们可以说y是x的反比例函数。其中，k被称为反比例函数的比例常数，它代表了y在x=1时的取值。 其次，反比例函数的图像具有显著特点。通过观察函数图像，我们 可以发现反比例函数始终通过第一象限的原点，并在y轴和x轴上存 在渐近线。也就是说，当x趋向于无穷大或者趋向于零时，y趋向于零 或者无穷大。这一特点使得反比例函数在实际应用中具有广泛的意义，例如电路中的电阻和电流、经济中的供求关系等。 第三，反比例函数的性质中，最重要的是变量之间的乘积保持恒定。具体来说，对于反比例函数f(x)=k/x，当x1和x2是函数定义域内的两 个不相等的数时，它们对应的函数值y1= k/x1和y2= k/x2满足y1*y2 = k。这可以以数学形式表示为：f(x1)f(x2) = k。这一性质通常被称为反 比例函数的乘积性质，它在实际问题中有着广泛的应用。 再次，反比例函数在实际问题中的应用非常广泛。例如，当我们考 虑一个物体从高处自由落体的情况时，落体时间和落体速度之间就是 反比例关系。速度越大，时间就越短。同样地，在化学反应中，反应 物质的浓度和反应速率也是反比例关系。浓度越高，反应速率就越低。 这些实际问题可以通过反比例函数来进行数学建模，从而更好地理解和分析问题。 最后，反比例函数也可以进行函数运算。例如，两个反比例函数可以相加，得到一个新的反比例函数。具体而言，考虑两个反比例函数f1(x)=k1/x和f2(x)=k2/x。它们的和可以表示为f3(x)=k1/x + k2/x = (k1+k2)/x。这种函数运算的性质使得我们可以更灵活地处理反比例函数的问题，从而更好地解决实际应用中的各种情况。 综上所述，反比例函数是数学中一个重要的概念，具有许多独特的性质和特点。它的定义简单明了，图像具有鲜明的特征，乘积保持恒定，广泛应用于实际问题，并且可以进行函数运算。熟练掌握反比例函数的性质，将有助于我们更好地理解和应用数学知识，在解决实际问题中发挥重要的作用。 九年级反比例函数的图象与性质 九年级反比例函数的图象与性质 我们知道反比例函数的图像都是由两支形状相同的曲线组成的，我们称反比例函数的图像为双曲线。接下来小编整理了九年级反比例函数的图象与性质的相关内容，文章希望大家喜欢！ 反比例函数的性质 （1）反比例函数y=xk（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大。 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点。 比例系数k的几何意义 在反比例函数y=xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|。 在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的’三角形的面积是|k|2，且保持不变。 用描点法画反比例函数的图象 步骤：列表———描点———连线。 （1）列表取值时，x≠0，因为x=0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值。 （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确。 （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线。 （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴。 反比例函数的图像和性质学习指南 （1）进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象； （2）能结合函数图象，归纳总结出反比例函数的性质； （3）能应用反比例函数的性质解决相关的问题。 在学一次函数时，我掌握了函数图像的画法： （1）列表，（2）描点，（3）连线。 但是反比例函数自变量在分母上，所以注意： ①列表时自变量取值要均匀和对称， ②x≠0， ③选整数较好计算和描点。 通过观察我可以得出： （1）反比例函数图像由两支曲线组成的，我们把它叫双曲线； （2）当k>0时，两支双曲线分别位于第一、三象限内；在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，两支双曲线分别位于第二、四象限内；在每一象限内，y随x的增大而增大； 反比例函数图象的特征及性质： 反比例函数 x k y =(k ≠0)的图象是由两个分支组成的曲线。 当0>k 时，图象在一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小； 当0 例2．（补充）如图，过反比例函数x y =（x ＞0）的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ） （A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2 （C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能 确定 3．在平面直角坐标系内，过反比例函数x k y =（k ＞0）的图象上的一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为 4． 5． 反比例函数定义 一般的，如果两个变量 x,y 之间的关系可以表示成 y=k/x(k 为常数， k≠0），其中 k 叫做反比例系数， x 是自变量，y 是自变量 x 的函数，x 的取值范围是不等于 0 的一切实数 , 且y 也不能等于 0。k 大于 0 时，图像在一、三象限。 k 小于 0 时，图像在二、四象限 .k 的绝对值表示的是 x 与 y 的坐标形成的矩形的面积。 反比例函数图像及性质 反比例函数图像： 1.反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或 第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量 x≠0，函数值 y≠0，所以，它的图像与 x 轴、 y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远 达不到坐标轴。 2. 反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线，反比例函数图像中每一 象限的每一支曲线会无限接近 x 轴、 y 轴，但不会与坐标轴相交（ y≠ 0）。 反比例函数性质： 1.[ 增减性 ] 当 k>0 时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内， y 随 x 的增大而减小； 当 k<0 时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y 随 x 的增大而增大。 2.k>0 时，函数在 x<0 上同为减函数、在x>0 上同为减函数； k<0 时，函数在 x<0 上为 增函数、在 x>0 上同为增函数。定义域为x≠0；值域为y≠ 0。 3.因为在 y=k/x(k ≠ 0) 中， x 不能为 0， y 也不能为 0，所以反比例函数的图象不可能与 x 轴相交，也不可能与 y 轴相交。 4.在一个反比例函数图象上任取两点 P，Q，过点 P，Q分别作 x 轴， y 轴的平行线，与 坐标轴围成的矩形面积为 S1， S2 则 S1=S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x （即 第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。 6.若设正比例函数 y=mx与反比例函数 y=n/x 交于 A、 B 两点（ m、 n 同号），那么 A B 两点关于原点对称。 7.设在平面内有反比例函数 y=k/x 和一次函数 y=mx+n，要使它们有公共交点，则 n^2+4k·m≥（不小于） 0。 8.反比例函数 y=k/x 的渐近线： x 轴与 y 轴。 9.反比例函数关于正比例函数 y=x,y=-x 轴对称 , 并且关于原点中心对称。 10.反比例上一点 m向 x、y 分别做垂线，交于 q、w，则矩形 mwqo（o 为原点）的面积为 |k| 11.k 值相等的反比例函数重合， k 值不相等的反比例函数永不相交。 12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。 13.[ 对称性 ] 反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图像也 是轴对称图形，它的对称轴是 x 轴和 y 轴夹角的角平分线。 反比例函数知识点汇总 反比例函数性质总结 反比例函数是一种常见的数学函数，它在数学和实际问题中都有着重要的应用。在学习反比例函数时，我们需要了解其性质，这样才能更好地理解和运用它。下面我们就来总结一下反比例函数的性质。 首先，我们来看反比例函数的定义。反比例函数是指一个函数，其定义域为实 数集合中除去零的数，而值域为整个实数集合。其函数表达式通常为y=k/x，其中 k为比例系数。 其次，我们来讨论反比例函数的图像特点。反比例函数的图像通常是一条经过 原点的双曲线。当x趋近于正无穷大或负无穷大时，y趋近于零；当x趋近于零时，y趋近于无穷大或负无穷大。这表明反比例函数在图像上具有两个渐近线，分别为 x轴和y轴。 接下来，我们来分析反比例函数的性质。首先是定义域和值域。由于反比例函 数的定义域为实数集合中除去零的数，所以其定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞)，而值域 为整个实数集合。其次是奇偶性。反比例函数是一个奇函数，即f(-x)=-f(x)，这意 味着其图像关于原点对称。再者是单调性。反比例函数在定义域内是单调递减的，即当x1 第1讲 反比例函数的图像及性质 知识要点梳理： 一、反比例函数意义： 形如x k y = （k ≠0，k 为常数），叫做y 是x 的反比例函数 还可以写成1 -=kx y （k ≠0）或xy ＝k （k ≠0）的形式。 二、反比例函数图像的性质：反比例函数x k y = (k ≠0)的图象是由两个分支组成的曲线， 当0>k 时，图象在一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小， 当0 例4．已知反比例函数3 2 )1(--=m x m y 的图象在第二、四象限，求m 值，并指出在每个象限内y 随x 的 变化情况？ 例5．如图，过反比例函数x y 1 = （x ＞0）的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ） （A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2 （C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定 例6．若点A （－2，a ）、B （－1，b ）、C （3，c ）在反比例函数x k y =（k ＜0）图象上，则a 、b 、c 的大小关系怎样？ 例7．如图， 一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数x m y = 的图象交于A （－2，1）、B （1，n ）两点 （1）求反比例函数和一次函数的解析式 （2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围。反比例函数一次函数二次函数性质及图像
反比例函数图象及性质
反比例函数的图象与性质
反比例函数定义与性质
反比例函数知识点汇总
反比例函数知识点
反比例函数的性质
反比例函数性质总结
九年级反比例函数的图象与性质
反比例函数图象的特征及性质
反比例函数的性质
反比例函数性质总结
第1讲 反比例函数及性质