反比例函数的定义域和值域
反比例函数的定义域和值域
反比例函数为y=k/x，(k≠0)
因为自变量x在分母上，所以它的定义域是x≠0的全体实数。
因为x≠0且k≠0，所以y≠0，即值域是不等于零的全体实数。
值域的基本概念
定义域表示的是自变量的取值范围，值域表示的是应变量的取值范围。
如：函数y=x+4
x的取值范围就是定义域，y的取值范围就是值域。
自变量不同，求得的定义域也是不同的，值域当然也是不同的。
总结一个简单的方法：先找到自变量和应变量，自变量的取值范围组成的集合就是定义域，应变量的取值范围组成的集合就是值域。
三类函数值域定义域求解技巧
类型1：一次函数
定义域为R，值域为R。当一次项的系数为正时，函数单调递增，在给定区间上按照单调性进行值域的求解即可。当一次项的系数为负时，函数单调递减，在给定区间上按照单调性进行值域的求解即可。
例题1：求f（x）=4 x+4，在(3,4)上的值域
解：f（x）在R上单调递增，所以f（x）的值域为：(f(3),f(4))即函数的值域为：（16,20）
例题2：求f（x）=-4 x+4，在(3,4)上的值域
解：f（x）在R上单调递减，所以f（x）的值域为：(f(4),f(3))即函数的值域为：（-8,-12）
类型2：二次函数
二次函数的单调性和开口方向有关。
当二次函数开口向上时，在对称轴的左侧函数单调递增，对称轴的右侧单调递减，且离对称轴越远，函数值越大。在对称轴处函数有最小值。
当二次函数开口向下时，在对称轴的左侧函数单调递减，对称轴的右侧单调递增，且离对称轴越远，函数值越小。在对称轴处函数有最大值。
解题技巧：在给定区间上求值域时，需要判断给定区间包含对称轴不，不包含对称轴的利用函数单调性，或者我们上面讲的距离对称轴的距离远近的值的大
小进行判断也行。
下面给出例子说明：
例题3：
F（x）=2 x的平方+1，求f（x）在（3,4）上的值域
首先判断开口方向是向上的，其次求出对称轴为x=0，再次判断给定区间是否包含对称轴x=0，不包含的话，按照开口向上的二次函数离对称轴越远，函数值越大的规律进行求解值域即可。
所以值域为：（F（3），F（4））即：（19,33）
例题4：
F（x）=-2 x的平方+1，求f（x）在（3,4）上的值域
首先判断开口方向是向上的，其次求出对称轴为x=0，再次判断给定区间是否包含对称轴x=0，不包含的话，按照开口向下的二次函数离对称轴越远，函数值越大的规律进行求解值域即可。
所以值域为：（F（4），F（3））即：（-31,-17）
类型3：反比例函数
形式:f(x)=k/x，定义域为{x|x不等于0}，当k>0时，图像在一三象限在每一个象限内y随x增大而减小。当k<0时，图像在一三象限在每一个象限内y随x 增大而增大。
例题5：求f(x)=8/x在(4,8)时，求f（x）的值域
根据上面给出的概念进行相关的计算即可
f（x）在（4,8）上单调递减，f(x)的值域为（f(8),f(4)）即：（1,2）
例题6：求f(x)=-8/x在(4,8)时，求f（x）的值域
根据上面给出的概念进行相关的计算即可
f（x）在（4,8）上单调递增，f(x)的值域为（f(4),f(8)）即：（-2,-1）
反比例函数一次函数二次函数性质与图像
反比例函数 1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线 反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。 2、性质： 1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限,y随x的增大而增大。 2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。 定义域为x≠0；值域为y≠0。 3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。 6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关
于原点对称。 7.设在平面有反比例函数y=k/x 和一次函数y=mx+n ，要使它们有公共交点，则n^2+4k ·m ≥（不小于）0。 8.反比例函数y=k/x 的渐近线：x 轴与y 轴。 9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x 轴对称,并且关于原点中心对称. 10.反比例上一点m 向x 、y 分别做垂线，交于q 、w ，则矩形mwqo （o 为原点）的面积为|k| 11.k 值相等的反比例函数重合，k 值不相等的反比例函数永不相交。 12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。 13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点 一次函数 （一）函数 1、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 （二）一次函数 1、一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
反比例函数的定义域和值域
反比例函数的定义域和值域 反比例函数为y=k/x，(k≠0) 因为自变量x在分母上，所以它的定义域是x≠0的全体实数。 因为x≠0且k≠0，所以y≠0，即值域是不等于零的全体实数。 值域的基本概念 定义域表示的是自变量的取值范围，值域表示的是应变量的取值范围。 如：函数y=x+4 x的取值范围就是定义域，y的取值范围就是值域。 自变量不同，求得的定义域也是不同的，值域当然也是不同的。 总结一个简单的方法：先找到自变量和应变量，自变量的取值范围组成的集合就是定义域，应变量的取值范围组成的集合就是值域。 三类函数值域定义域求解技巧 类型1：一次函数 定义域为R，值域为R。当一次项的系数为正时，函数单调递增，在给定区间上按照单调性进行值域的求解即可。当一次项的系数为负时，函数单调递减，在给定区间上按照单调性进行值域的求解即可。
例题1：求f（x）=4 x+4，在(3,4)上的值域 解：f（x）在R上单调递增，所以f（x）的值域为：(f(3),f(4))即函数的值域为：（16,20） 例题2：求f（x）=-4 x+4，在(3,4)上的值域 解：f（x）在R上单调递减，所以f（x）的值域为：(f(4),f(3))即函数的值域为：（-8,-12） 类型2：二次函数 二次函数的单调性和开口方向有关。 当二次函数开口向上时，在对称轴的左侧函数单调递增，对称轴的右侧单调递减，且离对称轴越远，函数值越大。在对称轴处函数有最小值。 当二次函数开口向下时，在对称轴的左侧函数单调递减，对称轴的右侧单调递增，且离对称轴越远，函数值越小。在对称轴处函数有最大值。 解题技巧：在给定区间上求值域时，需要判断给定区间包含对称轴不，不包含对称轴的利用函数单调性，或者我们上面讲的距离对称轴的距离远近的值的大
反比例函数知识点汇总
反比例函数知识点汇总 1.定义与图像特征： 反比例函数的定义为y=k/x，在此函数中，x不等于0，k为常数。反 比例函数的图像特点是：经过第一、二象限两点，以y轴和x轴为渐进线，图像在x轴的正半轴和y轴的正半轴上都不会出现，图像呈现出一种双曲 线的形状。 2.反比例函数的基本性质： (a)定义域：x≠0，即x不能为0。 (b)值域：排除0，即y不能为0。当x趋近于0时，y趋近于无穷大；当x趋近于无穷大时，y趋近于0。 (c)对称中心：该函数关于原点(0,0)对称。 (d)渐进线：图像与x轴和y轴都有渐进线，即当x趋近于无穷大时，y趋近于0；当y趋近于无穷大时，x趋近于0。 (e)单调性：反比例函数在定义域内是单调递减的。 (f)异号性：当x与y异号时，k为负数；当x与y同号时，k为正数。 (g)零点：当x与y相等时，即x=y≠0。 3.确定反比例函数的常数k： y1=k/x1和y2=k/x2 通过消去k，可以得到： y1*y2=k
因此，可以通过已知点的y值的乘积来确定k的值。 4.反比例函数的应用： (a)正比例与反比例的混合问题：当一个问题与正比例和反比例函数 有关时，可以通过组合两种函数来解决问题。例如，当一个物体的质量与 加速度成反比例关系，而力与加速度成正比例关系时，可以通过设置两个 函数来解决问题。 (b)流速与管道宽度：根据波的传播速度，流速与管道宽度成反比例 关系。当管道宽度较小时，流速较大；当管道宽度较大时，流速较小。 (c)投资与收益率：投资的利润与投资金额成反比例关系。当投资金 额较小时，相对的利润率较大；当投资金额较大时，相对的利润率较小。 (d)电阻与电流：电阻与电流成反比例关系，即当电阻较大时，电流 较小；当电阻较小时，电流较大。 总结起来，反比例函数是一种特殊的函数关系，其图像呈现出一种双 曲线的形状。反比例函数具有一些基本性质，如定义域、值域、对称中心 和渐进线等。确定反比例函数的常数k可以通过已知点进行求解。反比例 函数在实际生活中有很多应用，特别是与强度、速度和功率等相关的问题。通过了解反比例函数的知识点，我们能够更好地理解和应用反比例函数在 解决实际问题中的作用。
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结 反比例函数是数学中的一个重要概念，广泛应用于科学、工程和 经济等领域。本文将全面介绍反比例函数的基本概念、性质、图像和 解题方法，希望能给读者提供一个全面的理解。 一、反比例函数的基本概念 反比例函数是指形如 y=k/x 的函数，其中 k 是一个常数。反比 例函数的特点是自变量和因变量之间的关系呈现出反比例关系，即当 自变量增大时，因变量减小；当自变量减小时，因变量增大。反比例 函数中的 k 常称为比例系数，它决定了函数的图像形态和性质。 二、反比例函数的性质 1. 定义域和值域：反比例函数的定义域为除去 x=0 的所有实数，值域为除去 y=0 的所有实数。这是因为在反比例函数中，分母不能为0，所以自变量不能为0；而当自变量为0时，因变量无定义。 2. 对称性：反比例函数具有坐标原点对称性，即对于任意的 x 和 y，有 y=k/x 和 x=k/y 成立。 3. 增减性：反比例函数在定义域内是单调函数，当 x1 > x2 时，有 y1 < y2 成立。 4. 渐近线：当自变量趋近于正无穷或负无穷时，反比例函数的 值趋近于0。所以反比例函数有两条渐近线，即 x 轴和 y 轴。 三、反比例函数的图像 反比例函数的图像呈现出一条日照树的形状，随着自变量的增大，因变量逐渐减小。图像与 x 轴有一个渐近线，与 y 轴有一个渐近线。为了更好地理解反比例函数的图像，可以选择几组不同的 k 值，绘制 出它们的图像进行比较。 四、反比例函数的解题方法 反比例函数在解决实际问题时经常用到，以下列举几种常见的解 题方法： 1. 求解比例系数 k：已知反比例函数的某个点 (x0, y0)，可以
正反比例函数的知识点总结
正反比例函数的知识点总结 正反比例函数是数学中的一种特殊函数形式。在实际问题中，经常会遇到正反比例关系。掌握正反比例函数的性质和应用，对于解决实际问题具有重要意义。本文将对正反比例函数的知识点进行总结。 一、正反比例函数的定义 正反比例函数是指一个函数，其自变量的增加（或减少），导致因变量的减少（或增加），且二者之间存在比例关系。正反比例函数可以用函数表达式 y = k / x 表示，其中 k 是常数。 二、正反比例函数的特点 1. 零点：当 x = 0 时，正反比例函数的值不存在，即 y 无 定义。这是因为分母不能为零。 2. 定义域：正反比例函数的定义域为一切非零实数。即x ≠ 0。 3. 值域：正反比例函数的值域为一切非零实数。即y ≠ 0。 4. 斜率：正反比例函数的斜率为常数 k。斜率的绝对值越大，表示函数的增减速度越快。 三、正反比例函数的图像 正反比例函数的图像是一条经过原点的反比例曲线。当自变量 x 增加时，因变量 y 线性减少；当自变量 x 减少时，因变量 y 线性增加。当 x = 1 时，因变量 y 的值等于常数 k，即 y = k。因此，正反比例函数的图像与 y 轴交于一点。 四、正反比例函数的性质 1. 点积性质：对于正反比例函数 y = k / x，任意两个点 (x1, y1) 和 (x2, y2) 满足 x1 * y1 = x2 * y2。 2. 乘法性质：对于正反比例函数 y = k / x，若 x 的具体值
为 a，y 的具体值为 b，则 a * b = k。 五、正反比例函数的应用 正反比例函数在实际问题中有广泛的应用，下面以几个具体的例子来说明。 1. 第一类应用：速度和时间的关系。在匀速直线运动中，速 度与时间成反比例关系。当时间增加时，速度减小；当时间减小时，速度增加。 2. 第二类应用：面积和边长的关系。正方形的面积与边长成 正比例关系。当边长增加时，面积增加；当边长减小时，面积减小。 3. 第三类应用：工作时间和工作人数的关系。工作人数越多，完成一项任务所需的时间越短；工作人数越少，完成一项任务所需的时间越长。 4. 第四类应用：成本和产量的关系。对于某一种产品，成本 与产量成反比例关系。当产量增加时，单位成本减少；当产量减少时，单位成本增加。 六、正反比例函数的解题方法 解决正反比例函数相关问题的常用方法有以下几种： 1. 代入法：通过给定的条件，代入函数表达式中求解未知量。 2. 比例法：根据已知条件，设置比例关系方程，求解未知量。 3. 图像法：画出正反比例函数的图像，根据图像得出结论。 综上所述，正反比例函数是一种常见的数学函数形式，具有广泛的应用价值。掌握正反比例函数的定义、特点、性质和应用，能够帮助我们更好地理解和应用数学知识，解决实际问题。在实际应用中，我们需要灵活运用正反比例函数的解题方法，使数学与现实紧密结合，为解决实际问题提供有效的数学工具
反比例函数难题技巧
反比例函数难题技巧 反比例函数是初中数学中的一种重要函数，它的特点是当自变量增大时，函数值会减小；当自变量减小时，函数值会增大。在解决反比例函数难题时，我们需要掌握一些技巧。 一、反比例函数的定义 反比例函数可以表示为y=k/x（k≠0），其中k为常数。它的定义域为x≠0，值域为y≠0。 二、解决反比例函数难题的基本步骤 1. 确定变量和常数 在解决反比例函数难题时，首先需要明确哪一个变量是自变量，哪一个变量是因变量，并确定常数k的值。 2. 求解未知数 根据已知条件列出方程式，并通过代数运算求解未知数。例如：已知y=k/x，在x=3时y=4，求k和y在x=6时的值。
3. 绘制图像 根据求得的结果绘制出反比例函数的图像。这可以帮助我们更直观地理解问题，并检验我们的计算是否正确。 三、常见类型难题及其解法 1. 已知两组数据点求k和函数式 如果已知两组数据点(x1,y1)和(x2,y2)，如何求出常数k和反比例函数式？ 首先可以利用已知数据点列出方程组： y1=k/x1 y2=k/x2 将两个方程式中的k消去，得到： y1x2=y2x1
从而可以解出常数k的值。然后再将k代入其中一个方程式，即可求出反比例函数式。 2. 已知函数式和一组数据点求另一组数据点 如果已知反比例函数的函数式为y=k/x，且已知一组数据点(x1,y1)，如何求出另一组数据点(x2,y2)？ 根据反比例函数的定义，有： x1y1=k 因此可以利用这个等式来求解另一组数据点。首先确定常数k的值，然后代入函数式中即可得到另一个数据点。 3. 求最大值或最小值 在某些问题中，需要求解反比例函数的最大值或最小值。这时需要注意以下几个问题： （1）如果自变量x在定义域内无上限或下限，则反比例函数没有最大值或最小值。
反比例函数知识点归纳
反比例函数知识点归纳 定义：形如函数y=k/x(k为常数且k≠0)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x 是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数。 函数y=k/x 称为反比例函数，其中k≠0，其中x是自变量， 1.当k>0时，图象分别坐落于第一、三象限，同一个象限内，y随x的减小而增大;当k<0时，图象分别坐落于二、四象限，同一个象限内,y随x的减小而减小。 2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。 3.x的值域范围就是：x≠0; y的取值范围是：y≠0。 4..因为在y=k/x(k≠0)中，x无法为0，y也无法为0，所以反比例函数的图象不可能将与x轴平行，也不可能将与y轴平行。 但随着x无穷减小或是无穷增加，函数值无穷收敛于0，故图像无穷吻合于x轴 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x(即第一三，二四象限角平分线)，对称中心是坐标原点。 (k为常数，k≠0)的形式，那么表示y就是x的反比例函数。 其中，x是自变量，y是函数。由于x在分母上，故取x≠0的一切实数，看函数y的取值范围，因为k≠0，且x≠0，所以函数值y也不可能为0。 补足表明：1.反比例函数的解析式又可以译成： (k就是常数，k≠0). 2.要求出反比例函数的解析式，利用待定系数法求出k即可. 反比例函数解析式的特征 ⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数(也叫做比例系数)，分母中含有自变量，且指数为1。 ⑵比例系数 ⑶自变量的取值为一切非零实数。 ⑷函数的值域就是一切非零实数。 形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数。
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结 反比例函数知识点总结 若k为常数，则函数y=k/x就是反比例函数，自变量和自变量的函数分别是x和y，又因为反比例函数式本身是一个分数，所以x 可以是任意不等于0的实数。同时，函数式有时候也写成y=k·x^（-1）或者k=xy.反比例和正比例函数以及一次函数等都是二次函数的基础，它们的应用一样广泛，所以不要轻视反比例函数。 那么，怎样学好反比例函数？其实反比例函数不难，只要能理清思路，把反比例函数知识点理清，把反比例函数图像理解透彻，一切是那么容易，总之，只要你能熟练数形结合，任何函数学习都会轻松很多。 步骤/方法以下是反比例函数知识点总结 1、反比例函数的表达式 X是自变量，Y是X的函数 y=k/x=k·1/x xy=k y=k·x^（-1）（即：y等于x的负一次方，此处X必须为一次方） y=kx(k为常数且k≠0，x≠0）若y=k/nx此时比例系数为：k/n 2、函数式中自变量取值的范围 ①k≠0；②在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数；③函数y的取值范围也是任意非零实数。
解析式y=k/x其中X是自变量，Y是X的函数，其定义域是不等于0的一切实数 y=k/x=k·1/x xy=k y=k·x^（-1） y=kx(k为常数(k≠0），x不等于0） 3、反比例函数图象 反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线（hyperbola）， 反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。 4、反比例函数中k的几何意义是什么？有哪些应用？ 过反比例函数y=k/x（k≠0），图像上一点P（x，y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=x 的绝对值*y的.绝对值=（x*y）的绝对值=|k| 研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P 作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积 S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。 所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。从而有k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。 5、反比例函数性质有哪些？ 1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。
反比例函数的定义域,对应关系和值域
反比例函数的定义域,对应关系和值域 反比例函数又称为倒数函数，是一类常见的函数类型，其定义形式为f(x)=1/x，其中 x不等于0。在数学中，反比例函数是一种特殊的有理函数类型，其可以表达为两个变量之比的倒数形式。反比例函数在数学上有广泛的应用，包括经济、工程、科学以及统计等领域。 反比例函数的定义域是指函数的自变量可以取哪些值。由于反比例函数的定义形式为 1/x，其中x不能等于0，因此反比例函数的定义域为除0以外的所有实数，即定义域为 x∈R∗（R∗表示除0以外的实数集）。 对应关系 反比例函数的对应关系是指函数的自变量和因变量之间的关系。反比例函数的对应关 系可以用一个二元组(x,y)表示，其中x是函数的自变量，y是函数的因变量。由于反比例函数的定义形式为f(x)=1/x，如果自变量x越大，则函数值f(x)越小。具体来说，对于反比例函数，如果x1和x2是自变量，且x1>x2，则f(x1) 反比例函数的概念与性质 反比例函数是数学中常见的一类函数，其表达形式为y = k/x，其中k是一个非零常数，x和y分别表示自变量和因变量。 概念： 反比例函数是一种特殊的函数，其特点是自变量和因变量呈反比关系。当自变量的值增大时，因变量的值就会减小；反之，当自变量的值减小时，因变量的值就会增大。这种函数在实际问题中往往具有很重要的意义。 性质一：定义域和值域 反比例函数的定义域为除了x=0以外的所有实数，因为分母不能为零；而值域则为除了y=0以外的所有实数。 性质二：图像特征 反比例函数的图像是一个开口向下或者开口向上的双曲线。这是因为当x的绝对值趋近于无穷大时，y的值会趋近于0，而当x的绝对值趋近于0时，y的值会趋近于无穷大。 性质三：关于坐标轴的对称性 反比例函数的图像关于原点对称。也就是说，如果一个点（x，y）在函数的图像上，那么对应的点（-x，-y）也在图像上。这是因为当自变量取相反数时，函数的值也会取相反数。 性质四：零点问题 反比例函数的零点是x等于k的时候，因为此时分母为0，因变量 为零。换句话说，当x等于k时，函数的图像与x轴相交，这是图像的一个特殊点。 性质五：渐近线 反比例函数的图像会有两条渐近线，分别是x轴和y轴。当x趋近 于正无穷或者负无穷时，函数的值会趋近于0，也就是说，函数的图像会无限接近x轴。同样地，当y趋近于正无穷或者负无穷时，函数的 值会趋近于0，函数的图像会无限接近y轴。 结论： 反比例函数是一种重要的函数类型，在实际问题中经常出现。了解 反比例函数的概念和性质可以帮助我们更好地理解数学中的种种问题，同时也有助于我们在实际生活中解决各种与反比关系相关的情况。 反比例函数关于y轴对称 反比例函数是数学中常见的函数，它表示两个变量之间的反比例关系。当反比例函数关于 y轴对称时，这种函数关系可以用反比例函数的函数式来表示：y=k/x，其中k是常量， 表示反比例函数的斜率。 反比例函数关于y轴对称的特性，可以从图像上体现出来。可以看出，反比例函数的图像 是一条抛物线，它以y轴为对称轴。由于反比例函数的斜率k始终保持不变，因此反比例 函数的图像也具有对称性。 反比例函数的定义域和值域也受到y轴对称的影响。一般来说，反比例函数的定义域是(0, ∞)，值域是(-∞, ∞)。因为它是关于y轴对称的，因此反比例函数的x值和y值的取值范 围也是相同的，也就是说：它的定义域和值域是一样的。 反比例函数关于y轴对称的性质，也可以用导数来体现。对于反比例函数来说，它的导数 是-k/x2。由于反比例函数关于y轴对称，因此其导数也是负数，它的绝对值总是不变的。 反比例函数关于y轴对称的性质，也可以在空间图形上体现出来。对于反比例函数来说， 它的空间图形是一个椭圆，它以y轴为对称轴。椭圆的两条焦线分别是x轴和y轴，因此椭圆的x轴和y轴是对称的。 反比例函数关于y轴对称的性质，也可以从反比例函数的图形来理解。反比例函数的图形 是一条抛物线，它以y轴为对称轴。这条抛物线是由两个相交的半曲线组成的，其中一个 半曲线的斜率是正的，另一个半曲线的斜率是负的，这两个半曲线的斜率之和为零，所以 反比例函数关于y轴对称。 总之，反比例函数关于y轴对称是数学中一种常见的性质，它表明两个变量之间的反比例关系。反比例函数的图像、定义域和值域、导数以及空间图形都受到y轴对称的影响，这 也为我们理解反比例函数提供了重要依据。 反比的符号 反比的符号 一、引言 在数学中，反比例关系是指两个变量之间的关系，其中一个变量的值 增加时，另一个变量的值会减少。这种关系可以用反比例函数来表示，并且在图像上呈现出一条叫做反比例直线的直线。而在表示反比例函 数时，我们需要用到一种特殊的符号——反比号。 二、反比号的定义 反比号（∝）是一个用于表示两个变量之间存在反比例关系的符号。 它通常写成“y ∝ 1/x”的形式，其中y和x分别代表两个变量。这个符号可以理解为“与其它因素成正比”，也就是说，当一个变量增加时，另一个变量会随之减少。 三、反比例函数 1. 反比例函数的定义 在数学中，我们可以用一个函数来表示两个变量之间的反比例关系。 这个函数被称为反比例函数，通常写成y=k/x或y=k÷x（k为常数）。其中k被称为常数项或者称为反比例常数。 2. 反比例函数图像 当我们把反比例函数图像画出来时，会发现它呈现出一条直线。这条 直线被称为反比例直线。在这条直线上任意两点的坐标都满足y=k/x 的关系。 3. 反比例函数的性质 反比例函数有以下几个性质： （1）定义域：x≠0。 （2）值域：y≠0。 （3）单调性：当x增加时，y减少；当x减少时，y增加。 （4）渐近线：反比例函数的图像有两条渐近线，分别是x轴和y轴。 四、反比例关系在实际生活中的应用 反比例关系在现实生活中有很多应用。以下是一些常见的例子： 1. 电阻与电流之间的关系 在电路中，电阻与电流之间存在反比例关系。当电阻增加时，电流会 减少；当电阻减少时，电流会增加。这种关系可以用欧姆定律来表示。 2. 时间与速度之间的关系 在物理学中，时间与速度之间也存在着反比例关系。当速度增加时， 所需时间就会减少；而当速度减小时，则需要更长时间才能完成同样 的距离。 3. 人口密度与土地面积之间的关系 在城市规划中，人口密度与土地面积之间也存在着反比例关系。通常 情况下，人口密度越高，所需的土地面积就越小。 五、结论 反比例关系是数学中一种常见的关系，可以用反比例函数来表示。而 正比例函数和反比例函数 综合解说 客观世界是不断运动和变化着的，在这些变化着的事物中，存在各种各样的变量。在同一变化过程中，一些变量之间相互依存，一个变量的变化会引起其他变量的相应变化。函数是体现运动变化的基本数学概念，它从数量角度刻画事物变化的过程，表达变量之间确定的依赖关系。 本章引入了函数的概念，重点讨论正比例函数和反比例函数，并借助与图像的直观，得到它们的一些基本性质，进而应用这些概念和性质，解决一些简单的实际问题。 1正比例函数 【知识结构框图表】 【本节解读】 人们在认识和描述某一事物时，经常会用“量”来具体表达事物的某些特征，量是用“数”来表明大小的。数与度量单位结合在一起，就是数量。经常涉及的量有长度、面积、体积、质量、温度、时间、速度等。 【基础知识与要点拨】 1.变量和常量 在变化过程中，可以去不同数值的量叫做变量，保持数值不变的量叫做常量。 比如：圆的周长C与直径D的关系为C＝πD。C、D是变量，π是常量。 2.函数和自变量 在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x的允许围，变量y随着x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量。“y是x的函数”用记号y＝f(x)表示，括号的字母表示自变量，括号外的字母f表示y随着x的变化而变化的规律。f(a)表示当x＝a时的函数值。 3.定义域和值域 函数的自变量允许取值的围，叫做这个函数的定义域。对应于自变量的函数值的取值围，叫做值域。 4.正比例 如果两个变量的每一组对应值的比值是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正 比例。用数学式子表示两个变量x、y成正比例，就是y k x =或者y kx =，其中，k是不为零 的常数。 反比例函数 正比例函数 定义域和值域 函数解析式函数 k 幂函数与反比例函数（教师版） 【知识梳理】 1. 反比例函数 形如(0)k y k x = ≠的函数称为反比例函数. (1) 定义域: {|0,R}x x x ≠∈; (2) 值域: {|0,R}x x x ≠∈; (3) 奇偶性: 奇函数; (4) 单调性: 当0k >时, 其图像出现在1,3象限, 在每个象限中单调递减; 当0k >时, 其图像出现在2,4象限, 在每个象限中单调递增; (5) 图像: 双曲线, 直线0x =和0y =是它的渐近线. 2. 幂函数 形如(Q)k y x k =∈的函数称为幂函数. 需要注意的是, 这里的系数规定为1. 3. 幂函数的图像 (1) 幂函数(Q)k y x k =∈的作图可按以下流程进行(为讨论方便, 设0,1≠k ): (2) 幂函数过定点(1,1); (3) 设n k m = (m , n 既约), 则y ①当m , n 都为奇数时, 它是一个奇函数; ②当m 是奇数, n 是偶数时, 它是一个偶函数; ③当m 是偶数, n 是奇数时, 它是一个非奇非偶函数; (4) 0(0)=≠y x x 是一个特殊的幂函数, 其图像为直线1=y 去掉点(0,1); (5) 幂函数为偶函数⇔图像出现在第二象限; 为奇函数⇔图像出现在第三象限. 【基础训练】 1. 已知一次函数1y ax =+的图像与反比例函数k y x = 的图像交于点(2,3)M 与N , 则||MN = 2. 幂函数()f x 的图像经过点 , 则(8)f =3. 函数12(0)y x x x =+< 单调递增区间为单调递减区间为4. 当幂函数(Q)k y x k =∈ 的图像满足: (1)不经过原点; (2)不与坐标轴相较; (3)不是(0,)+∞上的减函数, 则k =_______; 解: 不经过原点, 则0k ≤ ; 不与坐标轴相交, 则0k ≤; 不是(0,)+∞的减函数, 则是(0,)+∞增函数或者常值函数, 若是增函数, 则0k >, 但此时函数必过原点; 若是常值函数, 则0k =, 则符合题意. 5. 作出下列函数的大致图像. (1)3 2 y x =; (2)43 y x =; (3)53 y x =; (4)23 y x -=. 【例题解析】 例1. 在2 2919 ()(279)m m f x m m x -+=--中, 当m 为何值时, (1) ()f x 是正比例函数, 且它的图像的倾斜角为钝角? (2) ()f x 是反比例函数, 且它的图像在第一, 三象限?. 解: (1)由题意, 倾斜角为钝角, 则斜率小于0, 得2 2 3 or 6919139 127902m m m m m m m m ==⎧⎧-+=⎪⎪ ⇔⇒=⎨⎨-≤≤--<⎪⎪⎩⎩; (2)由题意, 图像在第一, 三象限, 则22790m m -->, 得2 2 4 or 5919159 (,1)(,)27902m m m m m m m m ==⎧⎧-+=-⎪⎪ ⇔⇒=⎨⎨∈-∞-⋃+∞-->⎪⎪⎩⎩. (,-∞[0反比例函数的概念与性质
反比例函数关于y轴对称
反比的符号
正比例函数与反比例函数
11.幂函数与反比例函数(教师版)