5.2反比例函数的图像与性质(2)
§5.2反比例函数的图象与性质（2）
【学习目标】
1、进一步认识反比例函数的图象与性质，逐步提高从函数图象中获取信息的能力；
2、能够运用反比例函数的图象及性质解决有关问题.
【相关链接】
1、写出反比例函数图象的性质.
【预习导航】
1、在坐标纸上作出反比例函数x
y 2
=
的图象，（1）在图象上任取两点P 、Q ，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1，过点Q 分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 2，S 1 与S 2有什么关系？为什么？你能求出S 1 与S 2的值吗？ （2）将反比例函数的图象绕原点旋转︒180后，能与原来的图象重合吗？
猜测一下：
a:对于任意一个在函数k
y x
=
图象上的点M ，它与两坐标轴的垂线与坐标轴围成的矩形的面积有什么规律？
b ：推广：对于任意一个在k
y x
=图象上的点M ，它与x 轴的垂线、原点的连线
以及坐标轴围成的三角形的面积有什么规律？
反比例函数式为y=。
⑴由双曲线上一点向两条坐标轴做垂线段，由这两条垂线段与两坐标州围成的矩形的面积计算。（如图1，以第一象限的图象为例）
由四边形PMON 为矩形。设P 点坐标为（m ，n ），P 在y=图象上，则有mn=k 。
∵OM=
，ON=
∴S 四边形OMPN =OM ·ON=
·
=
=
⑵由双曲线上一点向其中一条坐标轴的作垂线段，并连接这一点与原点的线段，由这两条线段与坐标轴围成的三角形的面积的计算。（如图2，仍以第一象限的图象为例
由图象可知，S △POM =S △PON
=
S 四边形OMPN
=
。
⑷用好双曲线的对称性：双曲线关于原点O 对称，因此双曲线
y=与过原点O
的正比例函数y=k 2x 的交点关于原点O 对称。
2、思考：反比例函数y =
x
k
的图象既是_________图形又是_________图形，它有_________条对称轴，且对称轴互相_________，对称中心是_________.
归纳总结 强化概念
1、本节课你学习了哪些知识？填写表格[2] 一、三象限 二、四象限
正确理解点的坐标的几何意义
例2．（补充）如图，过反比例函数x
y 1
=
（x ＞0）的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ）
（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2
（C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定
已知解析式，求面积
例3．在平面直角坐标系内，过反比例函数x
k
y =
（k ＞0）的图象上的一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为
已知面积，求解析式 例2如图，反比例函数y=－
与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点，交x
轴于点M ，交y 轴于点N ，则S △AOB = 。
3、尝试练习：（1）已知反比例函数的图象经过点（a ，b ），则它的图象一定也经过 （ ） A (－a ,－b ) B (a ,－b ) C (－a ，b ) D （0，0） （2）如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数k
y x
=过点A ，则k 的值是（ ）A ．2 B ．2-
C ．4
D ．4-
（3）如图，A 为反比例函数x
k
y =
图象上一点，AB 垂直x 轴于点B
，若S △AOB ＝3
，则k
的值为 （ ）
A 、 6
B 、 3
C 、
2
3
D 、 不能确定
4、在同一坐标系中作出反比例函数x
y x y x y 3
,2,1===的图象.观察随着k 值的变化，反比例函数的图象有何变化规律？
【跟踪练习】
1、若点（3，6）在反比例函数x
k
y =
(k ≠0)的图象上，那么下列各点在此图象上的是（ ） （A ） （3-，6） （B ） （2，9） （C ） （2，9-）
（D ） （3，6-）
2、点A 为反比例函数图象上一点，它到原点的距离为5，到x 轴的距离为3，若点A 在第二象限内.则这个反比例函数的解析式为 （ ） （A ） 12y x = （B ） 12y x =- （C ） 112y x = （D ） 112y x
=- 3、.函数y =
x
k
(k ＞0)的图象上两点A (x 1, y 1)和B (x 2, y 2),且x 1＞x 2＞0，分别过A 、B 向x 轴作AA 1⊥x 轴于A 1，BB 1⊥x 轴于B 1，则O AA S 1∆_________O BB S 1∆ (填“＞”“=”或“＜”)，若O AA S 1∆=2，则函数解析式为_________.
5、如图所示，A 、B 是函数y =
x
1
-的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC ∥x 轴，BC ∥y 轴，△ABC 的面积为S ，则（ ）
A.S =1
B.S =2
C.1＜S ＜2
D.S ＜2 6、如图，在反比例函数2
y x
=
（0x >）的图象上，有点1234P P P P ，，，，
它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影
部分的面积从左到右依次为12
3S S S ，，，则123S S S ++= ．
2
y x
=
x
y
O
P 1
P 2
P 3 P 4 1 2
3
4
7、过反比例函数y =
x
2
(x ＞0)图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连结OA 、OB ，设AC 与OB 的交点为E ，△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ）
A.S 1＞S 2
B.S 1＜S 2
C.S 1=S 2
D.S 1、S 2的大小关系不能确定
8、两个反比例函数k y x =和1
y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x =的图象上，
PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1
y x
=的图象于点B ，当点P
在k
y x =的图象上运动时，以下结论：
①△ODB 与△OCA 的面积相等；
②四边形P AOB 的面积不会发生变化；③P A 与PB 始终相等； ④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点． 其中一定正确的是 ． 9、如图，反比例函数x
y 6
=
图象上一点A 的横坐标为2，连接AO 并延长，与双曲线另一分支交于点B.分别过点A 、B 作x 轴的垂线，与x 轴交于点C 、D.（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求平行四边形ACBD 的面积.
反比例函数一次函数二次函数性质与图像
反比例函数 1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线 反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。 2、性质： 1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限,y随x的增大而增大。 2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。 定义域为x≠0；值域为y≠0。 3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。 6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关
于原点对称。 7.设在平面有反比例函数y=k/x 和一次函数y=mx+n ，要使它们有公共交点，则n^2+4k ·m ≥（不小于）0。 8.反比例函数y=k/x 的渐近线：x 轴与y 轴。 9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x 轴对称,并且关于原点中心对称. 10.反比例上一点m 向x 、y 分别做垂线，交于q 、w ，则矩形mwqo （o 为原点）的面积为|k| 11.k 值相等的反比例函数重合，k 值不相等的反比例函数永不相交。 12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。 13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点 一次函数 （一）函数 1、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 （二）一次函数 1、一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
反比例函数的图像与性质
反比例函数的图象和性质 一、反比例函数的定义 函数k y x = （k 为常数，0k ≠）叫做反比例函数，其中k 叫做比例系数，x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数． 二、反比例函数的图象 反比例函数k y x = （k 为常数，0k ≠）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线． 反比例函数k y x =与k y x =-（0k ≠）的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称． 三、反比例函数的性质 反比例函数k y x = （k 为常数，0k ≠）的图象是双曲线； 当0k >时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小； 当0k <时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大． 注意： ⑴反比例函数k y x =（0k ≠）的取值范围是0x ≠．因此， ①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来． ②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”， 如当0k >时，双曲线k y x =的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小． 这是由于0x ≠，即0x >或0x <的缘故． 如果笼统地叙述为0k <时，y 随x 的增大而增大就是错误的． ⑵由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图象和x 轴、y 轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势． ⑶在画出的图象上要注明函数的解析式． 四、反比例函数解析式的求法 反比例函数的解析式(0)k y k x =≠中，只有一个系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数的解析式．因 此，只需给出一组x 、y 的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式． 五、比例系数k 的几何意义 过反比例函数()0k y k = ≠，图象上一点()P x y ， ，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P 点组成一个矩
第3课时 反比例函数的图象及性质(2)
https://www.360docs.net/doc/8a19158138.html, 大良总校：0757-2222 2203 大良北区：0757-2809 9568 大良新桂：0757-2226 7223 大良嘉信：0757-2232 3900 容桂分校：0757-2327 9177 容桂体育：0757-2361 0393 容桂文华：0757-2692 8831 龙江分校：0757-2338 6968 北滘分校：0757-2239 5188 乐从分校：0757-2886 6441 勒流分校：0757-2566 8686 伦教分校：0757-2879 9900 均安分校：0757-2550 6122 南海桂城：0757-8633 8928 南海黄岐：0757-8599 0018 金色家园：0757-8630 6193 禅城玫瑰：0757-8290 0090 南海大沥：0757-8118 0218 南海丽雅：0757-8626 3368 佛山高明：0757-8828 2262 中山小榄：0760-2225 9911 石岐北区：0760-8885 2255 石岐东区：0760-8888 0277 5.2 反比例函数的图象与性质（2） 课程引入 现在我们已经知道怎样去画一个反比例函数的图象了，那么由其图象我们可以得到哪些知识呢？试一试吧! 课前预习 ※自主阅读 1、反比例函数的图象是____________. 2、反比例函数x y 2 -=的图象在第_________象限内. 3、反比例函数x k y =的图象的位置与k 有怎样关系？ 当o k 时，双曲线分布在 当0 k 时，双曲线分布在 ※质疑问难 ______________________________________________________________________________ 课堂研习 ※ 知识理解 1、观察反比例函数x y x y x y 6 ,4,2=== 的图象，回答下列问题： （1）函数图象分别位于哪几个象限内？ （2）当x 取什么值时，图象在第一象限？当x 取什么值时，图象在第三象限？ （3）在每个象限内，随着x 值的增大，y 的值怎样变化？
反比例函数的图像和性质
反比例函数的图像和性质 反比例函数是数学中的一种基本函数类型，其图像和性质具有 一定的特点。本文将从图像和性质两个方面进行论述。 一、图像 反比例函数的基本形式为y=k/x，其中k为常数，且k不等于0。根据函数的定义域和值域，可得反比例函数的图像具有如下特点： 1. 对称轴：对于反比例函数y=k/x来说，其对称轴为y轴和x 轴，即函数图像关于y轴和x轴对称。 2. 渐近线：反比例函数的图像会与y轴、x轴以及非对称轴 （y=k/x中对称轴为y轴和x轴）形成三条渐近线。当x趋近于正 无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0；当y趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0。 3. 图像形状：反比例函数的图像呈现双曲线的形状，即左右两 侧趋近于无穷大而且不相交。 二、性质
除了图像特点外，反比例函数还具有以下性质： 1. 变化趋势：反比例函数的特殊之处在于当自变量x增大时， 因为分母逐渐增大，所以函数值y会逐渐减小；反之，当x减小时，函数值y会逐渐增大。 2. 强调比值关系：反比例函数中，自变量和因变量之间存在着 比值关系。当自变量增大或减小时，因变量的大小相应呈现相反 的变化。 3. 零点和定义域：反比例函数在定义域内除了零点x=0外，它 的函数值不为零。定义域一般为除零点的所有实数。 4. 单调性：反比例函数在定义域内通常是单调的，当自变量增 大时，因变量会单调减小；当自变量减小时，因变量会单调增大。 5. 特殊情况：当反比例函数中的常数k为正数时，其图像位于 第一象限和第三象限；当k为负数时，图像位于第二象限和第四 象限。这决定了函数图像关于原点的对称性。
综上所述，反比例函数的图像呈现双曲线的形状，具有对称轴、渐近线等特点。同时，反比例函数的性质包括变化趋势、比值关系、零点和定义域、单调性以及特殊情况等。在实际问题中，反 比例函数具有广泛的应用，比如经济学中的供需关系、物理学中 的电阻和电流关系等。通过研究反比例函数的图像和性质，可以 更好地理解和应用数学知识。
反比例函数的图象与性质(二)教案
初中数学八年级下册反比例函数的图象和性质 第二课时 教学目标：1、进一步理解函数的三种表示方法； 2、能根据图象分析和掌握反比例函数的性质，感受数形结合的数学思想方法； 3、会用待定系数法求反比例函数的关系式 教学重点：会用待定系数法求反比例函数的关系式 教学难点：分析并掌握反比例函数的性质 教学过程： 一、 情境创设 展示学生作业中（P82第1题）的6个反比例函数图象，引导学生进行分类并说明分类的依据 二、 探索活动（一） 1、 探索图象的特征； （1） 每个函数的图象分别在哪几个象限？ （2） 在每一个象限内，随着x 的增大，y 是怎样变化的？ （3） 反比例函数的图象与x 轴有交点吗？与y 有交点吗？为什么？ 由此得到反比例函数图象的性质： 反比例函数y=k x (k 为常数，k ≠0)的图象是双曲线 当k ＞0时，双曲线的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小； 当k 〈0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大； 2、 再用函数的观点分析反比例函数的特征 三、 例题教学 例1、 已知反比例函数y =k x 的图象经过A （2，—4）。 （1）k 的值 （2）这个函数的图象在哪几个象限？y 随x 的增大怎样变化？ （3）画出函数的图象 （4）点B （12 ，—16）、C （—3，5）在这个函数的图象上吗？ 例2、若反比例函数y= 24212-+m x m 的图象经过第二、四象限，求函数的解析式。 四、探索活动（二） 如果将反比例函数的图象绕原点旋转0180，你有什么发现？
将反比例函数的图象绕原点旋转0 180后，能与原来的图象重合。因此我们可以得出一个结论： 反比例函数y=k x 的图象是中心对称图形，它的对称中心是坐标系的原点 五、练习 1、反比例函数①y=2 x ；②y= 1 3x ；③7y= — 10 x ；④y= 3 100x 的图象中： （1）在第一、萨那象限的是，在第二、四象限的是（2）在其所在的象限内，y随x的增大而增大的是 2、已知反比例函数的图象经过点A（—6，—3）。 （1）写出函数关系式 （2）这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？ （3）点B（4，9 2 ），C（2，—5）在这个函数的图象上吗？ 3、已知反比例函数y=k x (k≠0)与一次函数y=x 的图象有交点, 则k 的范 围是______ . 六、小结 七、作业 P86 3、4
九年级数学上册 5.2 反比例函数的图象与性质(第二课时)教学设计 (新版)北师大版
2.反比例函数的图象与性质（二） 一、学生知识状况分析 函数是研究现实世界变化规律的一个重要数学模型，学生曾在七年级下册和八年级上册学习过“变量之间的关系”和“一次函数”等相关知识，对函数的概念和研究函数的方法有了初步的认识和了解．特别是在学习一次函数时，学生已经掌握了如何画一次函数的图象，探究过一次函数的性质，积累了一定的活动经验和方法感悟，在此基础上学习反比例函数的图象与性质，可以让学生进一步领悟函数的概念，进一步积累探究函数图象和性质的方法，为后续探究二次函数的图像和性质做好知识上和方法上的铺垫． 二、教学任务分析 《反比例函数的图象与性质》安排在北师大版教材九年级上册，共分两课时，本节课是第二课时．在第一课时中，学生已经学会如何画反比例函数的图象，并对0k >和0k <时函数图象的特点有了初步的认识，本节课主要是在第一课时的基础上，通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数的自身规律，在质疑、讨论、交流中增强学生对图象的感知能 力，加深对反比例函数 k y x = 性质的理解和掌握。由此，本节课的教学目标制定如下： 知识与技能目标： 能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式探索并理解反比例函数的主要性质． 提高学生观察、分析能力和对图象的感知水平，领会研究函数的一般要求． 过程和方法目标： 让学生经历知识的探究过程，通过全面的观察和比较，积累数学方法和活动经验． 逐步提高观察和归纳分析能力，体验数形结合和分类讨论的数学思想． 情感、态度和价值观目标： 经历小组合作与交流活动，在质疑、追问、讨论中达成共识，发展合作能力和语言表达能力. 在教学目标的基础上制定如下的教学重点、教学难点： 重点：探索反比例函数的主要性质. 难点：理解反比例函数性质的探索过程，从“数”和“形”两方面综合考虑问题． 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节： 第一环节： 要点回顾 铺平道路；第二环节：设问质疑 探究尝试；第三环节：实际运用 巩固新知；第四环节：激趣质疑 再探新知；第五环节：活学活用 巩固提高；第六环节：总结串联 纳入系统；第七环节：分层达标 课后延伸. 第一环节：要点回顾 铺平道路 内容： 下列函数中，哪些是反比例函数？ （1） 11y x = + （2）3y x -= （3）21y x = （4）2y x = （5）1 3y x =
反比例函数的图象和性质(第2课时) 课型：新授课
课题：反比例函数的图象和性质（第2课时）课型：新授课教学内容九年级下册反比例函数的图象和性质 教学目标知识技能使学生会用描点的方法画反比例函数图象。 使学生理解并掌握反比例函数的图象性质，并能运用它解决 有关问题。 情感态度在自主探究反比例函数性质的过程中，让学生初步感知反比例函数图象的对称性。 培养学生勤于动手，乐于探索的习惯。 教学重点画反比例函数图象，理解反比例函数性质。 教学难点理解反比例函数性质，并能灵活应用。 学情分析：学生已经学习过一次函数，对研究函数的图象和性质的思想方法已有所了解，在此基础上探索反比例函数的图象和性质，学生通过类比的方法学习，实现知识的正迁移，可以学得比较轻松.但反比例函数的图象有两个分支，与一次函数图象区别较大，学生容易走进误区。 教学过程设计 教学 环节 教学内容设计意图 活动一 自主1、反比例函数的一般形式是____ ___. 2、正比例函数y=3x的图象是一条，怎样画 出它的图像（即画图像的步骤）其图象有哪些性质？ 3、我们已经学习了一次函数和二次函数的哪些内 通过复习正比 例函数的图象与 性质，以及研究函 数的一般方法，为
学习容，是如何研究的？ 4、反比例函数的图象又是怎样的呢？ 学习反比例函数 图象奠定基础， 活动二 小组合作探究1、画反比例函数 x y 6 =与的图象。 列表： 描点、连线： 2、观察上面两个反比例函数的图象，它们有哪些异 同点，是由什么决定？（请你先在小组中说说） 3、当k取不同的值，上述结论是否适用所有的反比 例函数？（教师赋予k不同的值，在几何画板中演示 反比例函数的图象。要求学生注意观察图象与k值的 变化，以及与坐标轴的位置关系。 4、反比例函数的图象及性质： x …… …… …… y=k x k＞0 k＜0 图象是直观描 述和研究函数的 重要工具，通过画 反比例函数的图 象，让学生对反比 例函数图象有一 个感性认识。 通过让学生观 察比较、从而发现 并归纳总结，实现 学生自主参与，探 究新知的目的。 通过动态演示， 验证猜想，加强对 反比例函数的图 象的性质的认识， x y O x y 6 = x y 6 - = x y 6 - =
反比例函数图象与性质（二）
课题 反比例函数图象与性质（二） 学科 数学 课型 新授 年级 九 主备人 马玲 审核人 九年级 班级 姓名 学习目标：进一步研究探讨反比例函数的图象的性质。 学习重点：通过猜想、探讨、归纳概括反比例函数的有关性质。 学习难点：归纳反比例函数图象的有关性质及灵活应用。 一、 温故知新 1、反比例函数的三种三种表达式（1） ；（2） ；（3） 。 2、反比例函数k x k y (= ≠0）的图象及性质 K 值 所在象限 增减性 K ＞0 K ＜0 二、自主探究： 1、如图：P （3，a ）Q （b ，6）都是函数y= x 2 -图象上的点，过点P 分别作两坐标轴的垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形的面积是S 1，过点Q 分别作两坐标轴的平行线，两条平行线与坐标轴围成的矩形的面积是S 2. (1)求a 、b 的值。（2）求S 1、S 2的值。（3）S 1与S 2有什么关系？为什么 ？ 想一想：若P 、Q 是函数y=x 2 图象上的点呢？ 2、在反比例函数y ＝ x k 的图象上取一点P(x,y), 过点P 分别作两坐标轴的垂线， 两条垂线与坐标轴围成的矩形的面积是S 1,围成的三角形的面积是S 2，S 1、S 2 与K 分别有什么关系？ 归纳：过双曲线上 k x k y (= ≠0）任意一点引x 轴和y 轴的垂线，所得矩形面积为 ，围成的直角三角形的面积为 ，k 越大，离原点的距离 。 二、 重点研讨： 1、如图，Rt △ABO 的顶点B 是双曲线x k y =与直线y=-x+k+1在第四象限的交点，BD ⊥x 轴于D ，且S △BDO = （1）求两个函数的解析式（2）求直线与双曲线的两个交点A 、B 的坐标及△AOB 的面积 2、（2011山东）如图，正比例函数12y x = 的图象与反比例函数k y x =(0)k ≠在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知OAM ∆的面积为1. 23
反比例函数的图像和性质(2) (2)
迷坝九年制学校数学导学案 课 题: 反比例函数的图象与性质（2） 年级：九年级 主备教师：汪启亮 课时：1课时 时间：2017.3.3 学习目标: 1. 会用待定系数法求反比例函数的关系式； 2..能根据图象分析并掌握反比例函数的性质，进一步感受数形结合的思想方法。 重点、难点： 1.反比例函数的性质； 2.反比例函数中k 的几何意义 学习过程 一.【预学提纲】初步感知、激发兴趣 1.反比例函数图象的分布与什么量有关？说出具体有怎样的关系. 2.通过预习发现反比例函数)0(≠=k k x k y 为常数，图象分布的象限一、三象限或二、四象限，请用不等式的内容解释其中的原因? 3.一次函数的图形是一条连续的直线，而反比例函数图像是不连续的，思考并说出原因? 二.【预学练习】初步运用、生成问题 1. 反比例函数1k y x -= 图象每一支曲线上，y 随x 的增大而增大，则k 的值可以是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 2.函数x y 2-=的图象在 象限，且在每个象限内y 随x 的增大而 ． 3. 若反比例函数x k y =的图象在第二、四象限，则直线4y kx =+不经过第 象限。 三.【新知探究】师生互动、揭示通法 问题1. 已知反比例函数x k y = 的图象经过点A （4，—2） (1)求k 的值； (2)这个函数的图象分布在哪些象限？在每个象限内y 随x 的增大怎样变化？ (3)画出此函数的图象； (4)判断点B )4,2(-， C )12,3 2 (-，D (4,2)在这个函数的图象上吗？
(5)点A （4，—2）关于原点x 轴、y 轴、原点的对称点A 1、A 2、A 3在此函数图象上吗？请你说说反比例函数的图象的对称性？ 四.【解疑助学】生生互动、突出重点 问题3.（1）如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，反比例函数x k y = 的图象过点B ， ①写出点B 的坐标和k 的值． ②若点D 是图象上任一点，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，DF ⊥y 轴于E ，求四边形DEOF 的面积． 五.【变式拓展】能力提升、突破难点 问题4. 已知正比例函数1y k x =1(0)k ≠与反比例函数22(0)k y k x = ≠的图象交于A B 、两点，点A 的坐标为(21)，． (1)求正比例函数、反比例函数的表达式；(2)求点B 的坐标； (3)分别过点A B 、作y 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，求四边形ACBD 的面积． 六.【回扣目标】学有所成、悟出方法 1.反比例函数上任一点作坐标轴的垂线段，形成的四边形与k 有着怎么样的关系? 2.说出反比例函数图像的函数增减性?
数学人教版九年级下册反比例函数的图像与性质2
第3课时 反比例函数的图象及其性质（2） 姓名 一、研学导航： 学习目标：进一步理解和掌握反比例函数图象与性质，会用来解决一些较综合的问题； 学习重点：会利用反比例函数的图象和性质解决一些综合问题 ； 学习难点：学会从图象上分析、解决问题； 二、研学过程： (一)复习巩固: 1．画出下列反比例函数的草图，并回答问题。 （1） y = 3x （2）y =x 2- 图象位于 象限， 图象位于 象限， 每一象限内y 随x 的增大而 ； 每一象限内y 随x 的增大而 ； 2．点(2，-3)在反比例函数x k y =的图象上，则k =_______,当x<0时，图象在 第________象限上。 （二）新课学习： 例1：已知反比例函数的图象经过点A(2,6)。 (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随x 的增大如何变化？ (2) 点B(3,4)，C(-)5 4 4,212-，D(2,5)是否在这个函数的图象上？ 例2 如图，是反比例函数x m y 5 -= 的图象的一支。根据图象回答下列问题： （1）图象的另一支位于哪个象限？常数m 的取值范围是什么？ （2）在这个函数的某一支上任取点A(a ,b )和点B ),(b a ''。如果a >a '，那么b 和b '有怎样的大小关系？ 即学即练：
x 1、若双曲线y=x 2 - 经过两点() 11y -，，()23y -，，则有1y ________2y （可填“>”、“=”、“<”）． 2、已知一个反比例函数的图象经过点A(3，-4)。 （1）这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上，y 随x 的增大如何变化？ （2）点B(-3,4)，C(-2,6)，D(3,4)是否在这个函数的图象上？ 3、右图是反比例函数x n y 7 +=(1)图象的另一支位于哪个象限？常数n 的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(a ,b )和点B ),(b a ''那么b 和b '有怎样的大小关系？ 例3．如图，点P 是反比例函数y = x 2 图像上的一点，PE 垂直于x 轴于 A 点，PB 垂直于y 轴于B 点，你能否求出矩形PAOB 的面积？ 2. 如图，点P 在反比例函数的图象上，过P 点作PA ⊥x 轴于A 点，作PB ⊥y 轴 于B 点，矩形OAPB 的面积为9，则该反比例函数的解析式为 ． 3． 如图，过反比例函数x y 1 = （x ＞0）的图象上任意两点A 、B 分别 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ） （A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2 （C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定 三、研学练习： 1. 写一个反比例函数，使它的图象在每个象限内，y 随x 的增大而增大：__ _ ．
第十四讲反比例函数的图像和性质(2)
第十四讲 反比例函数的图像和性质（2） 【基础知识精讲】 反比例函数y=k x （k ≠0）中k 的几何意义： 过函数 y=k x （k ≠0）的图像上任一点),(y x p 作P M ⊥x 轴，P N ⊥y 轴，所得矩形PMON 的面积S =∣xy ∣=∣k ∣； 所得△POM 的面积S = 2 1 ∣k ∣。 【例题巧解点拨】 例1．正比例函数y=x 与反比例函数y= 1 x 的图象相交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD•⊥x 轴于D ，如图1所示，则四边形ABCD 的为_______． (1) (2) (3) 练习：如图2，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF 的面积为8，则反比例函数的表达式是_____________________． 例2.（2005 中考题）如图3两个反比例函数y=3x ，y=6 x 在第一象限内的图象如图所示，点P 1，P 2，P 3……P 2005，在反比例函数y= 6 x 的图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…x 2005，纵坐标分别是1，3，•5•……，•共2005年连续奇数，过点P 1，P 2，P 3，…，P 2005分别作y 轴的平行线与y=3 x 的图 象交点依次是Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2005（x 2005，y 2005），则y 2005=________． 练习：1、如图：函数y=-kx （k ≠0）与y=-4 x 的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC ⊥y 轴，•垂足为点C ，则△BOC 的面积为________． Y X O P (x, y) M N 第1题 第2题
初中数学_反比例函数的图象与性质(2)教学设计学情分析教材分析课后反思
北京师范大学出版社九年级上册 反比例函数图象和性质（2） 教学设计
反比例函数图象和性质(2)
一、复习回顾 1.反比例函数是一个怎样的图象？ 2.反比例函数的图象的位置与k 有怎样的关系？ 二、探究新知 观察反比例函数 的图象，回答下列问题： （1）函数图象分别位于哪几个象限内？ （2）当x 取什么值时，图象在第一象限？当x 取什么值时，图象在第三象限？ （3）在每个象限内，随着x 值的增大，y 的值怎样变化？ 如果k=－2, －4,－6,那么 的图象又有什么共同特征？ 结论： 出示学习目标回顾并回答 学生分析并回答 让学生充学生做到心中有数 看问题逐 个解决 学生展开 246 ,,y y y x x x =-=-=- x y x y x y 6,4,2===
反比例函数的图象是双曲线． ⑴当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内,在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减小. ⑵当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内,在每一象限内，y 的值随x 值的增大而增大. 三、小试牛刀 1.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有____________; 在其所在的象限内，y 随x 的增大而增大的有___________. 2.(1)已知点(-6,y 1),(-4,y 2),都在反比例函数 的图象上，比较y 1、 y 2 的大小关系，你是怎么做的？ (2) 已知点(4,y 3),(6,y 4）在比例函反数 的图象上，试比较y 3、y 4的大小。 (3)已知点(-4,y 5),(6,y 6),都在反比例函数 的图象上，比较y 5、 y 6 分感知反比例函数的图像在每个分支的上y 随x 的变化情况 充分暴露存在的问题 教师引导分析，得出结论， 教师强调增减性是指在每个分支 讨论，找出规律 班内交流 达成共识 学生口答 探究 学生相互交流探 讨，展示 答案，讨 10.3107(1);(2);(3);(4)2100y y y y x x x x -= ===x y 6-= x y 6-=x y 6 -=