初中数学二单元测试及答案

初中数学二单元测试及答案

姓名： 班级： 成绩：

一、选择题.本大题共10小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．如图⑴、⑵、⑶、⑷为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（ ）

A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台

B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台

C ．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台

D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台 2．几何体的三视图如图，则几何体的体积为（ ） A ．

3

π B ．

23

π

C ．π

D ．

43

π

3．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB ，CD 在原正方体中的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交且垂直 C ． 异面 D ．相交成60° 4．若三点(2,3),(5,0),(0,)(0)A B C b b ≠共线，则b =（ ） A ．2

B ．3

C ．5

D ．1

5．与直线:2l y x =平行，且到l ）

A ．2y x =±

B ．25y x =±

C ．15

22

y x =-

± D ．122y x =-±

6．若点(,0)k 与(,0)b 的中点为(1,0)-，则直线y kx b =+必定经过点（ ） A ．(1,2)-

B ．(1,2)

C ．(1,2)-

D ．(1,2)--

7．已知菱形ABCD 的两个顶点坐标：(2,1),(0,5)A C -，则对角线BD 所在直线方程为（ ）

A ．250x y +-=

B ．250x y +-=

C ．250x y -+=

D ．250x y -+=

8. ，则长方体的对角线长为（ ）

A ．

B ．

C ．6

D

9．圆心为(11)，且与直线4x y +=相切的圆的方程是（ ） A ．2

2

(1)(1)2x y -+-=

B ．2

2

(1)(1)4x y -+-=

C ．2

2

(1)(1)2x y +++= D ．2

2

(1)(1)4x y +++=

10．由直线1y x =+上的一点向圆2

2

(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为（ ）

A ．1

B ．

C

D ．3

二、填空题：本大题共4小题．

11. 直线0x ay a +-=与直线(23)0ax a y --=垂直，则a ＝

. 12．已知正四棱台的上下底面边长分别为2，4，高为2，则其斜高为

.

13．一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是一个等腰梯形，其底角为45，腰和上底

均为1. 如图，则平面图形的实际面积为

.

14.设集合{}

22(,)4M x y x y =+≤，{}

222(,)(1)(1)(0)

N x y x y r r =-+->≤.当

M N N =时，则正数r 的取值范围

.

三、解答题：本大题共6小题．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

15．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标：

(0,0),(4,0)A B C ．

⑴ 求边CD 所在直线的方程（结果写成一般式）； ⑵ 证明平行四边形ABCD 为矩形，并求其面积．

16. 如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，

且MN PC MN AB ⊥⊥，.证明：平面P AD ⊥平面PDC .

17. 如图，已知直线1:40l x y +=，直线2:10l x y +-=以及2l 上一点(3,2)P -．求圆心在

1l 上且与直线2l 相切于点P 的圆的方程．

18. 已知正四棱锥P －ABCD 如图.

⑴ 若其正视图是一个边长分别为

2的等腰三角形，求其表面积S 、体积V ；

⑵ 设AB 中点为M ，PC 中点为N ，证明：MN //平面P AD .

19．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，设E 是棱1CC 的中点.

⑴ 求证：BD AE ⊥；

⑵ 求证：//AC 平面1B DE ；⑶．求三棱锥1A B DE -的体积.

20．已知圆2

2

:68210C x y x y +--+=和直线:430l kx y k --+=．

⑴ 证明：不论k 取何值，直线l 和圆C 总相交；

⑵ 当k 取何值时，圆C 被直线l 截得的弦长最短？并求最短的弦的长度．

测试卷参考答案

一、选择题.本大题共10小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． C 2． D 3． D 4． C 5． B 6． A 7． A 8． D 9． A 10．C 二、填空题：本大题共4小题．

11. 0或2

12．

13． 214. 02r <≤

三、解答题：本大题共6小题．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

15．【解】⑴. 过,A B 两点的直线的斜率3

AB k =

，//CD AB ，∴3CD AB k k ==，

又因直线过点(4,0)C ，∴CD 所在直线的方程为：0(4)3

y x -=

-，即40x -=.

⑵. 可求|||2AB BC ==，故矩形ABCD 的面积||||ABCD S AB BC =⋅=.

16.

【证明】设PD 中点为H ，连接NH 、AH ，则NH 是三角形PCD 的中位线，NH =//1

2

CD ，

而MA =//1

2CD ，故MA =

//NH ，四边形AMNH 为平行四边形，//AH MN .

而//MN AB DC AB ⊥，，故MN DC ⊥，又MN PC PC DC C ⊥=，，

故MN ⊥平面PCD ，而//AH MN ，故AH ⊥平面PCD ， AH ⊂平面P AD ，故平面P AD ⊥平面PDC .

17. 【解】设圆心为(,)C a b ，半径为r ，依题意，4b a =-.

设直线2l 的斜率21k =-，过,P C 两点的直线斜率PC k ，因2PC l ⊥，故21PC k k ⨯=-，

∴2(4)

13PC a k a

---=

=-，解得1,4a b ==-.||r PC ==.

所求圆的方程为222

(1)(4)x y -++=.

18.

【解】⑴. 设CD 中点为E ，则正四棱锥的正视图为三角形PME .

依题意，2PM PE ME ===，

故几何体的表面积S ＝1422242⎛⨯⨯+⨯= ⎝，

体积V ＝

1

43

⨯=

. ⑵. 设PD 中点为F ，连接NF ，AF .

则NF 为三角形PCD 的中位线，故NF =//1

2

CD ，

MA =//12

CD ，故NF =//MA ，四边形MNF A 为平行四边形， //MN AF ，MN ⊄平面P AD ，AF ⊂平面P AD ，故MN //平面P AD .

19．

【证明】连接BD ，AE . 因四边形ABCD 为正方形，故BD AC ⊥，

因EC ⊥底面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，故EC BD ⊥，又EC AC C =， 故BD ⊥平面AEC ，AE ⊂平面AEC ，故BD AE ⊥. ⑵. 连接1AC ，设1

1AC B D G =，连接GE ，

则G 为1AC 中点，而E 为1C C 的中点，故GE 为三角形1ACC 的中位线，

//AC GE ，GE ⊂平面1B DE ，AC ⊄平面1B DE ，故//AC 平面1B DE .

⑶. 由⑵知，点A 到平面1B DE 的距离等于C 到平面1B DE 的距离， 故三棱锥1A B DE -的体积11A B DE C B DE V V --=，

而111

11121223323C B DE D B CE B CE V V S DC --⎛⎫==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭

，三棱锥1A B DE -的体积为23. 20．⑴. 【证明】

方法一：圆C 的方程可化为：2

2

2

(3)(4)2x y -+-=，圆心为(3,4)C ，半径2r =. 直线l 的方程可化为：(4)3y k x =-+，直线过定点(4,3)P ，斜率为k . 定点(4,3)P 到圆心(3,4)C

的距离d r =<， ∴定点(4,3)P 在圆C 内部，∴不论k 取何值，直线l 和圆C 总相交.

方法二：圆C 的方程可化为：2

2

2

(3)(4)2x y -+-=，圆心为(3,4)C ，半径2r =. 圆心(3,4)C 到直线:430l kx y k --+=

的距离d =

22

22122111k k k d k k ++==+++，因()

()221210k k k +-=-≥，2

12k k +≥，2

211

k k +≥， 故222

21241

k

d r d r k =+

<=<+≤，，∴不论k 取何值，直线l 和圆C 总相交. ⑵. 圆心(3,4)C 到直线:430l kx y k --+=

的距离d =

C 被直线l

截得的弦长＝=，

当0k =

时，弦长=； 当0k ≠

时，弦长=1

y k k

=+

的值域. 由函数知识可以证明：函数在(1)-∞-，上单调递增，在(10)-，上单调递减，在(01)，上单调递减，在(1)+∞，上单调递增（证明略）

， 故当0k <时，函数在1k =-处取得最大值－2；当0k >时，函数在1k =处取得最小值2. 即1

2k k +≥或12k k

+-≤， 故1

1012k k <

+≤或11012k k

-<+≤，可得

2

101k k --

<+≤或2

011k k <+-

≤，即2111

k k

--

+≤≤且201k k

-

≠+，

22341k k -+≤≤且2

331k k

-≠+，

4

且≠.

综上，当1k =

时，弦长取得最小值1k =-时，弦长取得最大值4.