《三角函数的诱导公式》(第二课时) 教案

课 题：1.2.3三角函数的诱导公式（二）

教学目的：

能熟练掌握诱导公式一至五，并运用求任意角的三角函数值，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证。

教学重点：诱导公式

教学难点：诱导公式的灵活应用

授课类型：新授课

课时安排：2课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

诱导公式一（其中Z ∈k ）: 用弧度制可写成

ααsin )360sin(=??+k απαsin )2sin(=+k

ααcos )360cos(=??+k απαcos )2cos(=+k

ααtan )360tan(=??+k απαtan )2tan(=+k

公式二： 用弧度制可表示如下：

αα-sin 180sin(=+?） ααπ-sin sin(=+）

αα-cos 180cos(=+?） ααπ-cos cos(=+）

ααtan 180tan(=+?） ααπtan tan(=+）

公式三： αα-sin sin(=-）

ααcos cos(=-）

ααtan tan(-=-）

公式四： 用弧度制可表示如下：

ααsin 180sin(=-?） ααπsin sin(=-）

αα-cos 180cos(=-?） ααπ-cos cos(=-）

ααtan 180tan(-=-?） ααπtan tan(-=-）

公式五： 用弧度制可表示如下：

αα-sin 360sin(=-?） ααπ-sin 2sin(=-）

ααcos 360cos(=-?） ααπcos 2cos(=-）

ααtan 360tan(-=-?） ααπtan 2tan(-=-）

二、讲解范例：

例1．求下列三角函数的值

(1) sin240o； (2)45cos π；(3) cos(-252o)；(4) sin （-6

7π） 解：（1）sin240o=sin(180o+60o)＝－sin60o=23-

(2) 45cos π=cos ??

? ??+4ππ=4cos π-=22-； (3) cos(-252o)=cos252o= cos(180o+72o)=－cos72o=－0.3090；

(4) sin （-67π）=－sin 67π=－sin ??? ?

?+6ππ=sin 6π=21 说明：本题是诱导公式二、三的直接应用．通过本题的求解，使学生在利用公式二、三求三角函数的值方面得到基本的、初步的训练．本例中的（3）可使用计算器或查三角函数表．

例2．求下列三角函数的值

(1)sin(-119o45′)；(2)cos 35π；(3)cos(-150o)；(4)sin 4

7π. 解：(1)sin(－119o45′)=－sin119o45′=－sin(180o-60o15′)

= －sin60o15′=－0.8682 (2)cos 35π=cos(32ππ-)=cos 3π=2

1 (3)cos(-150o)=cos150o=cos(180o-30o) =－cos30o=23-

； (4)sin 47π=sin(42ππ-)=－sin 4

π=22-. 说明：本题是公式四、五的直接应用，通过本题的求解，使学生在利用公式四、五求三角函数的值方面得到基本的、初步的训练．本题中的（1）可使用计算器或查三角函数表．

例3．求值：sin ??? ??-631π－cos ??

? ??-310π－sin 1011π 略解：原式=-sin ??? ?

?

+674ππ-cos ??? ??+342ππ-sin 1011π =-sin ??? ??

+6ππ-cos ??? ?

?+3ππ+sin 10π =sin 6π+cos 3

π+sin 10π =21+21+0.3090=1.3090 . 说明：本题考查了诱导公式一、二、三的应用，弧度制与角度制的换算，是一道比例1略难的小综合题．利用公式求解时，应注意符号．

例4．求值：sin(-1200o)·cos1290o+cos(-1020o)·sin(-1050o)+tan855o.

解：原式＝－sin(120o+3·360o)cos(210o+3·360o)

+cos(300o+2·360o)[-sin(330o+2·360o)]+tan(135o+2·360o)

＝－sin120o·cos210o－cos300o·sin330o+tan135o

＝－sin(180o－60o)·cos(180o+30o)

－ cos(360o－60o)·sin(360o-30o)+)

45180cos()45180sin(?-??-? =sin60o·cos30o+cos60o·sin30o－tan45o=

23·23+21·21-1=0 说明：本题的求解涉及了诱导公式一、二、三、四、五以及同角三角函数的关系．与前面各例比较，更具有综合性．通过本题的求解训练，可使学生进一步熟练诱导公式在求值中的应用．

例5．化简：)

sin()5cos()4cos()3sin(αππαπααπ--?---?+. 略解：原式=)]sin([)cos(cos )sin(απαπααπ+-?+?+=α

αcos cos =1. 说明：化简三角函数式是诱导公式的又一应用，应当熟悉这种题型．

例6．化简：)()

2cos()2sin(])12([sin 2])12([sin Z n n n n n ∈--+-?+++?αππαπαπα 解：原式=)

2cos()2sin(]2)sin[(2]2)sin[(αππαππαπαπ----+++n n n n =ααπααπcos sin )sin(2)sin(-++ =ααααcos sin sin 2sin -- =α

cos 3-. 说明：本题可视为例5的姐妹题，相比之下，难度略大于例5．求解时应注意从所涉及的角中分离出2π的整数倍才能利用诱导公式一．

例7．求证：)sin()cos()2cos()4sin()tan()

sin()cos()4cos()3sin(πααπαπαππαπαπαπαπα++---=-----+- 证明：左边=)cos()sin()sin()cos(cos ]4)sin[(απαπαπαπαπαπ-------+-+ =α

αααααπcos sin sin cos cos )sin(-++ =

ααααααcos sin sin cos sin cos 22?--=()()

ααααααααsin cos sin cos cos sin )sin (cos -+?- =α

αααcos sin cos sin +?， 右边=ααααsin cos cos sin --?-=α

αααcos sin cos sin +?， 所以，原式成立．

例8．求证ααααα3tan )360sin()

540sin(1)180cos()cos(1=-?+-?+?+- 证明：左边＝αα

ααααααsin sin 1cos cos 1sin )180sin(1cos cos 1--=--?- ＝α

αααα

ααα

2222cos cos sin sin sin sin 1cos cos 1=--＝tan 3α＝右边， 所以，原式成立．

说明：例7和例8是诱导公式及同角三角函数的基本关系式在证明三角恒等式中的又一应用，具有一定的综合性．尽管问题是以证明的形式出现的，但其本质是等号左、右两边三角式的化简．

例9．已知παπαπ22321)cos(<<-=+，

．求：)2sin(απ-的值． 解：已知条件即21cos =

α， 又παπ22

3<<， 所以：)cos 1(sin )2sin(2αααπ---=-=-=2

3)21

(12=- 说明：本题是在约束条件下三角函数式的求值问题．由于给出了角α的范围，因此，α的三角函数的符号是一定的，求解时既要注意诱导公式本身所涉及的符号，又要注意根据α的范围确定三角函数的符号．

例10．已知223)

360tan(1)720tan(1+=?--?++θθ,求: )2(cos 1)](sin 2)cos()sin()([cos 222πθπθθπθπθπ--?

-+-?++-的值. 解：由223)

360tan(1)720tan(1+=?--?++θθ，得 222tan )224+=+θ（， 所以2

22242

22tan =++=θ

故 )

2(cos 1)](sin 2)cos()sin()([cos 222πθπθθπθπθπ--?-+-?++- =θθθθθ222cos 1]sin 2cos sin [cos ?

++ =1＋tan θ＋2tan 2θ =1+2)22(222?+2

22+=. 说明：本题也是有约束条件的三角函数式的求值问题，但比例9要复杂一些．它对于学生熟练诱导公式及同角三角函数关系式的应用．提高运算能力等都能起到较好的作用．

例11．已知

)32tan()0()3cos(326αππαπαπ-≠=+<<，求，m m 的值． 解：因为）（3

32παπαπ+-=-， 所以：)]3(cos[)32cos(παπαπ+-=-=)3

cos(πα+-＝－m 由于，326παπ<<所以，2

320παπ<-< 于是：)3

2(cos 1)32sin(2απαπ--=-=21m -， 所以：tan()3

2cos()32sin(

)32(απαπαπ--=-=m m 21-- . 说明：通过观察，获得角3πα+与角απ-32之间的关系式απ-32=π-（3

πα+），为顺利利用诱导公式求cos(απ-32)的值奠定了基础，这是求解本题的关键，我们应当善于引导学生观察，充分挖掘的隐含条件，努力为解决问题寻找突破口，本题求解中一个鲜明的特点是诱导公式中角的结构要由我们通过对已知式和欲求之式中角的观察分析后自己构造出来，在思维和技能上显然都有较高的要求，给我们全新的感觉，它对于培养学生思维能力、创新意识，训练学生素质有着很好的作用．

例12．已知cos 3

2=β，角βα-的终边在y 轴的非负半轴上，求cos ()βα32-的值． 解：因为角βα-的终边在y 轴的非负半轴上，

所以：βα-=)(22Z k k ∈+ππ

，

于是 2（βα-）=)(4πππ∈+k k

从而 ，)(432Z k k ∈++-=-ππββα

所以 ]4)cos[()32cos(πβπβαk +-=-=)cos(βπ-=βcos -=3

2- 说明：本题求解中，通过对角βα-的终边在y 轴的非负半轴上的分析而得的βα-=)(22Z k k ∈+ππ

，还不能马上将未知与已知沟通起来．然而，当我们通过观察，分

析角βα32-的结构特征，并将它表示为2（βα-）β-后，再将βα-=

ππ

k 22+代入，那么未知和已知之间随即架起了一座桥梁，它为利用诱导公式迅速求值扫清了障碍．通过本题的求解训练，对于培养学生的观察分析能力以及思维的灵活性和创造性必将大有裨益．

三、课堂练习：

1．已知sin(α+π)＝ －2

1，则)7cos(1πα+-的值是（ ） （A ）332 (B) －2 (C)－332 (D)±3

32 2．式子)

690sin(630sin )585cos(?-+??-的值是 （ ） （A ）22 (B)2 (C)32 (D)- 3

2 3．α，β，γ是一个三角形的三个内角，则下列各式中始终表示常数的是（ ）

（A ）sin(α+β)+sin γ (B)cos(β+γ)- cos α

(C)sin(α+γ)-cos(-β)tan β

(D)cos(2β+γ)+ cos2α 4．已知：集合?

?????

∈-==Z k k x x P ,3)3(sin |π，集合 ?

?????∈--==Z k k y y Q ,3)21(sin |π，则P 与Q 的关系是 （ ）． （A ）P ?Q

(B)P ?Q (C)P=Q (D)P ∩Q=φ 5．已知ααπ

ααπ

sin )2cos(,cos )2sin(=-=-对任意角α均成立．若f (sin x )=cos2x ，

则f (cos x )等于（ ）．

（A ）-cos2x (B)cos2x (C) -sin2x (D)sin2x

6．已知923)cos()cos(31=----θθπ，则)

5sin()3cos(πθθπ+--的值等于 ． 7．5

4cos 53cos 52cos 5cos ππππ

+++= ． 8．化简：)

360cos()180cos()360tan()900sin()sin(?---+?-?--?--ααααα所得的结果是 ． 9．求证ααααα3cot )360cos()

540cos(1)180sin()sin(1=-?+-?+?--． 10．设f(x )=)(]

)12[(cos )(sin )(cos 222Z n x n x n x n ∈-+-?+πππ， 求f (6π)的值． 答案与提示1．D 2．B 3．C 4．C 5．A 6．±4

3 7．0 8．－2cos α 9．提示：左边利用诱导公式及平方关系，得α

α33sin cos ，右边利用倒数关系和商数关系，得αα33sin cos ，所以左边=右边．10．4

1．提示：分n=2k ，n=2k+1(k ∈z)两种情况讨论，均求得f (x )=sin 2x ．故f (6π)=4

1． 四、小结

应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：

1?用“- α”公式化为正角的三角函数；

2?用“2k π + α”公式化为[0，2π]角的三角函数；3?用“π±α”或“2π - α”公式化为锐角的三角函数

五、课后作业：

六、板书设计（略）

七、、课后记：