等腰三角形和等边三角形的教案

13.3.1 等腰三角形的性质（第1课时）

学习目标：

1.探索并证明等腰三角形的两个性质.

2.能利用性质证明两个角相等或两条线段相等.

3.结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用.

教学重点难点：

重点：探索并证明等腰三角形的性质.

难点：等腰三角形性质证明中辅助线的添加和对性质2的理解

教学流程：

一、情境导入，初步认识

导入一：如图1所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？

图1

教师提出问题：仔细观察自己剪出的三角形纸片，你能发现这个三角形有什么特征吗？学生思考.

教师：同学们剪下的等腰三角形纸片大小不同，形状各异，是否都具有上述所概括的特征？学生思考.

导入二：在前面的学习中,我们认识了轴对称图形,探究了轴对称的性质,并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形,还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案.这节课我们就从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形.

问题：(1)三角形是轴对称图形吗?

(2)什么样的三角形是轴对称图形?

学生组内讨论交流后,由代表给出结论,最后老师给出完整的问题结论：

(1)有的三角形是轴对称图形,有的三角形不是.

(2)满足轴对称条件的三角形就是轴对称图形,也就是将三角形沿某一条直线对折后,两部分能够完全重合的就是轴对称图形.

我们这节课就来认识一种轴对称图形——等腰三角形.

二、合作探究，达成目标

问题1：在练习本上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，折一折，上面得出的结论仍然成立吗？由此你能概括出等腰三角形的性质吗？

学生动手操作，并思考教师提出的问题，小组讨论交流后汇报等腰三角形的性质；教师进一步补充总结等腰三角形的性质：

(1)等腰三角形的两个底角相等；

(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

问题2：利用实验操作的方法，我们发现并概括出等腰三角形的性质1和性质2.对于性质1，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？

(1)你能根据结论画出图形，写出已知、求证吗？

(2)结合所画的图形，你认为证明两个底角相等的思路是什么？

(3)如何在一个等腰三角形中构造出两个全等三角形呢？

学生在教师的指导下对等腰三角形的性质1、性质2进行证明，教师巡视指导并总结. 已知：△ABC 中，AB=AC. 求证：∠B=∠C.

你还有其他方法证明性质1吗？ 总结：要证角相等需要证明三角形全等，可以作底边上的高或顶角的平分线来构造全等三角形.

问题3：性质2可以分解为三个命题，你能分别证明吗？本节课证明“等腰三角形底边上的中线也是底边上的高和顶角的平分线”.

学生分小组分别证明，教师注意辅导.

问题4：在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发现等腰三角形具有什么特征？

学生回顾，并思考问题，教师总结等腰三角形具有什么特征：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴. 三、达标检测，反思目标

1．等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是( ) 2．在△ABC 中， AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为___．

3．在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和∠C 的度数.

A

B D

C 四、总结梳理，内化目标

(1).等腰三角形以顶角平分线（底边上的中线或底边上的高）所在直线为对称轴。

(2)性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成：等边对等角）. (3)性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（简写成：三线合一）. 五、板书设计

等腰三角形的性质

性质1：等边对等角 性质2：三线合一

13.3.1 等腰三角形的判定（第2课时）

学习目标：

1.探索等腰三角形的判定定理.

2.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.

3.了解等腰三角形的尺规作图. 教学重点难点：

重点：理解和运用等腰三角形的判定定理. 难点：等腰三角形判定的应用 教学流程：

一、情境导入，初步认识

导入：对于一个三角形,怎样判定它是不是等腰三角形呢?我们已经知道的方法是看它是否有两条边相等.现在我们将学习另一种判定方法. 二、合作探究，达成目标

问题1：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边有什么关系？

学生独立思考问题，并在教师的帮助下回答问题，尝试用不同方法进行证明. 问题2：问题1的结论中命题的题设和结论又分别是什么？如何证明这个命题？

命题的题设：一个三角形有两个角相等.结论：这两个角所对的边相等. 已知：如图1，在△ABC 中，∠B=∠C.求证：AB =AC.

图1

图2

证法1：如图1，作△ABC 的角平分线AD. 在△BAD 和△CAD 中，{∠B =∠C,

∠1=∠2,AD =AD,

∴ △BAD ≌△CAD(AAS).∴ AB=AC.

证法2：如图1，作△ABC 的边BC 上的高AD. ∵ AD 是BC 边上的高，∴ ∠ADB=∠ADC. 在△BAD 和△CAD 中，{∠B =∠C,

∠ADB =∠ADC,AD =AD,

∴ △BAD ≌△CAD(AAS).∴ AB=AC.

证法3：如图2，作△ABC 的中线AD ，作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E,F.

在△DBE 和△DCF 中， {BD =DC,

∠B =∠C,∠BED =∠CFD,

∴ △DBE ≌△DCF(AAS),∴ DE=DF. 又DE ⊥AB,DF ⊥AC ，∴ ∠1＝∠2. 在△ABD 和△ACD 中，{∠B =∠C,

∠1=∠2,AD =AD,

∴△ABD ≌△ACD(AAS),∴ AB=AC.

教师总结等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).

符号语言：∵在△ABC 中，∠B=∠C,∴AB=AC.

思考：与等腰三角形的性质进行比较看有什么区别？

例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.

已知：如图3，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD∥BC.

求证：AB=AC.

图3 图4

证明：∵AD∥BC，

∴∠1=∠B( )，

∠2=∠C( ).

而已知∠1=∠2，∴∠B=∠C.

∴AB=AC( ).

例2 已知等腰三角形底边长为a ，底边上的高为h，求作这个等腰三角形.

学生先思考作图步骤，教师再讲解规范作图方法.

作法：如图4，

(1)作线段AB=a；

(2)作线段AB 的垂直平分线MN，与AB相交于点D；

(3)在MN上取一点C，使DC=h；

(4)连接AC，BC，则△ABC 就是所求作的等腰三角形.

三、达标检测，反思目标

1．一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍.这个三角形是()

2．在△ABC中，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠DBC=_____ ，

∠BDC=_____，图中的等腰三角形有______

四、总结梳理，内化目标

两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).

比较等腰三角形的性质与判定：“等边对等角”与“等角对等边”，条件与结论是对调的，运用逆向思维观察和思考，可以提升自己的理性思维.

五、板书设计

等腰三角形的判定

等腰三角形的判定方法：等角对等边

13.3.2 等边三角形（第1课时）

学习目标：

1.探索等边三角形的性质和判定.

2.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明. 教学重点难点：

重点：探索等边三角形的性质与判定.

难点：等边三角形的性质与判定的区别，等边三角形判定的应用 教学流程：

一、情境导入，初步认识

导入：出示有关等边三角形的图片：

图1 2

图3

这些图片中物体的设计理念都蕴含着一种特殊的等腰三角形,你发现了吗?它又具有怎样的性质呢?这就是本节课我们要研究的内容. 二、合作探究，达成目标

问题1：请分别画出一个等腰三角形和一个等边三角形，结合你画的图形说出它们有什么区别和联系.

教师引导学生总结出它们的区别和联系.区别：等边三角形有三条相等的边，而一般等腰三角形只有两条相等的边.联系：等边三角形是特殊的等腰三角形.

问题2：研究三角形我们一般要看三角形的边、角、对称性等.等腰三角形有哪些特殊的性质呢？

教师提出问题，学生思考，教师引导学生总结出结论. 从边的角度：两腰相等；从角的角度：等边对等角； 从对称性的角度：是轴对称图形、三线合一. 问题3：将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？

问题4：通过填表，我们不难发现“等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°”，你能证明这一结论吗？

师生共同写出本题的已知和求证，学生独立证明，教师巡回辅导. 已知：△ABC 是等边三角形. 求证：∠A=∠B=∠C=60°.

证明：∵ △ABC 是等边三角形， ∴ BC =AC ，BC =AB.

E

D

A C

B

∴∠A =∠B，∠A =∠C.

∴∠A =∠B =∠C .

∵∠A +∠B +∠C =180°，

∴∠A =∠B =∠C =60°.

问题5：利用所学知识判断，等边三角形是轴对称图形吗？若是轴对称图形，请画出它的对称轴.

学生动手画出等边三角形的所有对称轴.

问题6：等边三角形除了用定义(即用边)来判定以外，能否利用角来判定呢？

思考1：一个三角形的三个内角满足什么条件是等边三角形？

思考2：一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形？

教师提出问题，学生思考，并用自己的方法证明.最后师生总结等边三角形的判定方法.判定等边三角形的方法：

1.从边的角度(等边三角形的定义)：三边相等的三角形是等边三角形.

2.从角的角度：

等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.

等边三角形的判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

例如图2，△ABC 是等边三角形，DE∥BC,分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE 是等边三角形.

证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C.

∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，

∴∠A=∠ADE=∠AED.

∴△ADE是等边三角形.

三、达标检测，反思目标

1．已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3 cm，则△ABC的周长____.

2．△ABC是等腰三角形，周长为15 cm且∠A=60°，则BC=_______.

3．如图3△ABC是等边三角形，若点D，E在边AC，AB 的反向延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？

四、总结梳理，内化目标

(1)本节课学习了哪些内容?

(2)等边三角形与等腰三角形相比有哪些特殊的性质？共有几种判定等边三角形的方法？

(3)结合本节课的学习，谈谈研究三角形的方法.

五、板书设计

等边三角形

等边三角形的性质：1.三条边相等

2.三个内角都相等，都为60°

3.三线合一

等边三角形的判定：1.三条边相等（定义）

2.三个角相等

3.一个角是60°的等腰三角形

13.3.2 等边三角形（第2课时）

学习目标：

1.探索含30°角的直角三角形的性质.

2.理解含30°角的直角三角形的性质，并会应用它进行有关的证明和计算.

教学重点难点：

重点：探索并理解含30°角的直角三角形的性质.

难点：探索并理解含30°角的直角三角形的性质，并会应用它进行有关的证明和计算.

教学流程：

一、情境导入，初步认识

导入一：图1是一个三角尺,且∠A=30°,请用刻度尺测量AB与BC的长度,然后比较它们的大小,通过比较把你得出的结论与大家分享.你知道为什么会存在这种关系吗?

图1 图2

导入二：将两个相同的都含有30°角的三角尺摆放在一起,如图2，你能借助这个图形,找出Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?

二、合作探究，达成目标

问题1：等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？问题2：这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？

学生思考问题，并比较各个角、各条边的关系，完成导学案.

教师总结：(1)对折后能形成两个全等的直角三角形；

(2)这个直角三角形的两锐角分别是30°和60°，并且斜边长是30°角所对

直角边长的两倍.

问题3：如图3所示，用两个全等的含30°角的三角尺，能拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？请说说你的方法.你能借助这个图形，找到含30°角的直角△ABC的30°角所对的直角边长与斜边长之间有什么数量关系吗？

图3 4

学生利用三角板动手操作，并归纳自己发现的规律，全班交流.教师引导学生进行猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

问题4：请说一说你猜想的命题中，条件和结论分别是什么？并结合图形，用符号语言表述出来.并思考这个命题是真命题吗？请进行证明.

教师提出问题，学生思考并在导学案中完成证明过程.

已知：如图4，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，求证：BC=1

AB.

2

总结：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

符号语言：∵ 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，

∴ BC=1

2AB.

例 如图5所示是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC ，DE

垂直于横梁AC ，AB=7.4 m ，∠A=30°，立柱BC ，DE 要多长.

图5

解：∵ DE ⊥AC ，BC ⊥

AC ，∠A=30°，

∴ BC=12AB ，DE=1

2AD. ∴ BC=1

2×7.4=3.7(m).

又AD=12

AB ，∴ DE=12

AD=1

2

×3.7=1.85(m).

答：立柱BC 的长是3.7 m ，DE 的长是1.85 m. 三、达标检测，反思目标

1．如图6，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）.

图6

图7

2．如图7，在△ABC 中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD 平分∠ABC ，若AD=6，则CD 等于（ ）.

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 四、总结梳理，内化目标

(1)本节课学习了哪些内容？

(2)在应用含30°角的直角三角形的性质时，能解决哪些问题？需要注意哪些问题？ 五、板书设计

含30°角的直角三角形的性质

在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1

2

AB.

30°