最新版初中数学教案《等边三角形的性质与判定 2》精品教案(2022年创作)

等边三角形

第1课时 等边三角形的性质与判定

1．掌握等边三角形的定义、性质和判定，明确其与等腰三角形的区别和联系．(重点)

2．能应用等边三角形的知识进行简单的计算和证明．(难点)

一、情境导入

观察下面图形：

师：等腰三角形中有一种特殊的三角形，你知道是什么三角形吗？

生：等边三角形．

师：对，等边三角形具有和谐的对称美．今天我们来学习等边三角形，引出课题．

二、合作探究

探究点一：等边三角形的性质 【类型一】 利用等边三角形的性质求角度

如图，△ABC 是等边三角形，E 是AC 上一点，D 是BC 延长线上一点，连接BE ，DE ，假设∠ABE ＝40°，BE ＝DE ，求∠CED 的度数．

解析：因为△ABC 三个内角为60°，∠ABE ＝40°，求出∠EBC 的度数，因为BE ＝DE ，所以得到∠EBC ＝∠D ，求出∠D 的度数，利用外角性质即可求出∠CED 的度数．

解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°.∵∠ABE ＝40°，∴∠EBC ＝∠ABC －∠ABE ＝60°－40°＝20°.∵BE ＝DE ，∴∠D ＝∠EBC ＝20°，∴∠CED ＝∠ACB －∠D ＝40°.

方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握．

【类型二】 利用等边三角形的性质证明线段相等

如图：等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M ，求证：BM ＝EM .

解析：要证BM ＝EM ，根据等腰三角形的性质可知，证明△BDE 为等腰三角形即可．

证明：连接BD ，∵在等边△ABC 中，D 是AC 的中点，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝12

×60°＝30°，∠ACB ＝60°.∵CE ＝CD ，∴∠CDE ＝∠E .∵∠ACB ＝∠CDE ＋∠E ，∴∠E ＝30°，∴∠DBC ＝∠E ＝30°，∴BD ＝ED ，△BDE 为等腰三角形．又∵DM ⊥BC ，∴BM ＝EM .

方法总结：此题综合考查了等腰和等边三角形的性质，其中“三线合一〞的性质是证明线段相等、角相等和线段垂直关系的重要方法．

【类型三】 等边三角形的性质与全等三角形的综合运用

△ABC 为正三角形，点M 是BC 边上任意一点，点N 是CA 边上任意一点，且BM ＝CN ，BN 与AM 相交于Q 点，∠BQM 等于多少度？

解析：先根据条件利用SAS 判定△ABM ≌△BCN ，再根据全等三角形的性质求得∠BQM ＝∠ABC ＝60°.

解：∵△ABC 为正三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝∠BAC ＝60°，AB ＝BC .在△AMB 和△BNC 中，

∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ，BM ＝CN ，

∴△AMB ≌△BNC (SAS)，∴∠BAM ＝∠CBN ，∴∠BQM ＝∠ABQ ＋∠BAM ＝∠ABQ ＋∠CBN ＝∠ABC ＝60°.

方法总结：等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质探究三角形全等．

探究点二：等边三角形的判定 【类型一】 等边三角形的判定

等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP ＝∠ACQ ，BP ＝CQ ，问△APQ 是什么形状的三角形？试说明你的结论．

解析：先证△ABP ≌△ACQ 得AP ＝AQ ，再证∠PAQ ＝60°，从而得出△APQ 是等边三角形． 解：△APQ 为等边三角形．证明：∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC .在△ABP 与△ACQ 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠ABP ＝∠ACQ ，BP ＝CQ ，

∴△ABP ≌△ACQ (SAS)，∴AP ＝AQ ，∠BAP ＝∠CAQ .∵∠BAC ＝∠BAP ＋∠PAC ＝60°，∴∠PAQ ＝∠CAQ ＋∠PAC ＝60°，∴△APQ 是等边三角形．

方法总结：判定一个三角形是等边三角形有两种方法：一是证明三角形三个内角相等；二是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.

【类型二】 等边三角形的性质和判定的综合运用

图①、图②中，点C 为线段AB 上一点，△ACM 与△CBN 都是等边三角形．

(1)如图①，线段AN 与线段BM 是否相等？请说明理由；

(2)如图②，AN 与MC 交于点E ，BM 与CN 交于点F ，探究△CEF 的形状，并证明你的结论．

解析：(1)由等边三角形的性质可以得出△ACN ，△MCB 两边及其夹角分别对应相等，两个三角形全等，得出线段AN 与线段BM 相等．(2)先求∠MCN ＝60°，通过证明△ACE ≌△MCF 得出CE ＝CF ，根据等边三角形的判定得出△CEF 的形状．

解：(1)AN ＝BM .理由：∵△ACM 与△CBN 都是等边三角形，∴AC ＝MC ，CN ＝CB ，∠ACM

＝∠BCN ＝60°.∴∠MCN ＝60°，∠ACN ＝∠MCB .在△ACN 和△MCB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝MC ，∠ACN ＝∠MCB ，NC ＝BC ，

∴

△ACN ≌△MCB (SAS)．∴AN ＝BM .

(2)△CEF 是等边三角形．证明：∵△ACN ≌△MCB ，∴∠CAE ＝∠CMB .在△ACE 和△MCF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠CAE ＝∠CMF ，AC ＝MC ，∠ACE ＝∠FCM ，

∴△ACE ≌△MCF (ASA)，∴CE ＝CF .∴△CEF 是等边三角形．

方法总结：等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了根底，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件．

三、板书设计

等边三角形的性质和判定

1．等边三角形的定义；

2．等边三角形的性质；

3．等边三角形的判定方法．

本节课让学生在认识等腰三角形的根底上，进一步认识等边三角形．学习等边三角形的定义、性质和判定．让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中，进一步开展空间观念，锻炼思维能力．让学生在学习活动中，进一步产生对数学的好奇心，增强动手能力和创新意识．在这节课中，要学生充分的自主探究，尝试提出问题和解决问题，开展学生的自主探究能力．

三角形的稳定性

【知识与技能】

1.通知过观察、实践、想象、推理、交流等活动，让学生了解三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用.

2.培养实事求是的学习作风和学习习惯.

【过程与方法】

1.通过提问、合作讨论以及小组交流方式探究三角形的稳定性.

2.实物演示，激发学习兴趣，活泼课堂气氛.

3.探究质疑，总结结果.和学生共同探究三角形稳定性的实例，答复课前提出的疑惑.

【情感态度】

1.引导学生通过实验探究三角形的稳定性，培养其独立思考的学习习惯和动手能力.

2.通过合作交流，养成学生互助合作意识，提高数学交流表达能力.

【教学重点】

了解三角形稳定性在生产、生活中的实际应用.

【教学难点】

准确使用三角形稳定性于生产生活之中.

一、情境导入，初步认识

课前准备：木条〔用硬纸条代替〕假设干、小钉假设干、小黑板.

问题1 工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，钢架桥，其中道理是什么？

问题 2 盖房子时,在窗框未安装好之前.木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,为什么要这样做呢? 活动挂架为什么做成四边形？

【教学说明】问题设立要让学生体会三角形在生产和生活中的应用，并引导思考为什么要在这些地方用三角形，另一些地方又要用到四边形.注意接纳学生其他不同的思路.教师讲课前，先让学生完成“自主预习〞.

二、思考探究，获取新知

老师演示P6探究内容，也可叫学生亲手实验，通过实际操作加深学生印象，完后请学生们交流讨论后答复得出了什么？教师根据学生们的答复进行简要归纳.

【归纳结论】三角形木架形状不会改变，四边形木架形状会改变，这就是说，三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.

还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变.这是因为斜钉一根木条后，四边形变成了两个三角形，由于三角形有稳定性，窗框在未安装好之前也不会变形.

三、运用新知，深化理解

1.如图，一扇窗户翻开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是 .

2.以下列图形中哪些具有稳定性?

【教学说明】本节课的内容较少，题目比较简单，在学生独立完成后，要求学生说明理由.

【答案】1.三角形具有稳定性.

2.〔1〕〔4〕〔6〕中的图形具有稳定性.

四、师生互动，课堂小结

三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.

1.布置作业：从教材“习题”中选取.

2.完成练习册中本课时的练习.

本节课学习三角形稳定性，并板书课题.完成的教学目标是通过观察、实践、想象、推理、小组交流合作，使同学们了解三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用，培养同学们实事求是的学习作风和学习习惯，以及自主学习和独立思考的能力.