(完整版)16变化的电磁场习题思考题
习题16
16—1．如图所示,金属圆环半径为R ，位于磁感应强度为B 的均匀磁场中，圆环平面与磁场方向垂直。当圆环以恒定速度v 在环所在平面内运动时，求环中的感应电动势及
环上位于与运动方向垂直的直径两端a 、b 间的电势差。 解:（1)由法拉第电磁感应定律i d dt
εΦ
=-，考虑到圆环内的磁通量不变，所以，环中
的感应电动势0i ε=;
（2）利用：()a
ab b v B dl ε=⨯⋅⎰，有：22ab Bv R Bv R ε=⋅=。
【注：相同电动势的两个电源并联，并联后等效电源电动势不变】
16-2．如图所示，长直导线中通有电流A I 0.5=,在与其相距cm 5.0=d
处放有一矩形线圈，共1000匝，设线圈长cm 0.4=l ,宽cm 0.2=a 。 不计线圈自感,若线圈以速度cm/s 0.3=v 沿垂直于长导线的方向向右
运动，求线圈在图示位置时的感应电动势。 解法一：利用法拉第电磁感应定律解决.
首先用0l B dl I μ⋅=∑⎰求出电场分布，易得:02I
B r
μπ=，
则矩形线圈内的磁通量为：00ln
22x a
x
I I l x a
l dr r x
μμππ++Φ=⋅=⎰
， 由i d N d t εΦ=-,有：011()2i N I l d x
x a x dt
μεπ=--⋅
+ ∴当x d =时，有：041.92102()
i N I l a v V d a μεπ-=
=⨯+.
解法二：利用动生电动势公式解决。
由0l B dl I μ⋅=∑⎰求出电场分布，易得：02I
B r
μπ=，
考虑线圈框架的两个平行长直导线部分产生动生电动势， 近端部分：11NB l v ε=， 远端部分：22NB lv ε=，
则：12εεε=-=
00411
() 1.921022()N I N I a l v l v V d d a d d a μμππ--==⨯++。 16-3．电流为I 的无限长直导线旁有一弧形导线,圆心角为 120, 几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度v 平行于长直
导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。 解法一：（用等效法）连接AO 、OB ，圆弧形导线与AO 、OB
A
O
B
形成闭合回路，闭合回路的电动势为0，所以圆弧形导线电动势与 AOB 直导线的电动势相等。
200()ln 222R
AO R
Iv I v
v B dl d x x μμεππ
=⨯⋅=-=-⎰⎰
, 500225
()ln 224
R OB R
Iv Iv v B dl d x x μμεππ=⨯⋅=-=-⎰⎰
, ∴05ln 22
AB AO OB Iv μεεεπ=+=-
. 解法二：（直接讨论圆弧切割磁感应线)从圆心处引一条半径线,与水平负向夹角为θ,那么，
00022(2cos )2(2cos )
I I I
B x R R R μμμππθπθ===
--，再由()v B dl ε=⨯⋅⎰有： sin d B Rd v εθθ=⋅⋅，∴2030
sin 2(2cos )
I
Rv d R πμεθθπθ=-⋅-⎰
05
ln 22
Iv μπ=-
。 16—4．电阻为R 的闭合线圈折成半径分别为a 和a 2的两个圆，如图所示，将其置于与两圆平面垂直的匀强磁场内,磁感应强度按0sin B B t ω=的
规律变化。已知cm 10=a ，T 10220-⨯=B ,rad/s 50=ω，Ω=10R ,求线圈中
感应电流的最大值。
解：由于是一条导线折成的两个圆，所以，两圆的绕向相反。
2220(4)3cos i d d B
a a a B t dt dt
επππωωΦ=-
=--⋅+=， ∴203cos i
a B t I R R
επωω==
A πR ω
B a πI 32202max
1042.910
501021.035--⨯=⨯⨯⨯⨯==。
16—5．匀强磁场中有一长方形导线框，分别以相同的角速
度绕图a 、b 、c 、d 所示的固定转轴旋转,如图16—43所示。证明：四种情况下线圈中感应电流的最大值相等。
t
d d m Φ
ε-=，其中
解：由法拉第电磁感应定律，
m cos ΦBS θ=，θ为线圈平面的法线方向与磁场B 的夹角。则电动势的大小为ωθΦεsin d d m
BS t
==
,ω为线圈旋转的角速度大小。电动势的最大值为max BS εω=，电流的最大值为max /i BS R ω=,R 为线圈的电阻.对于题设的四种情况,因线圈的面积相同,旋转角速度相同,则四种情况下的最大电流均相同。
16—6．如图所示，半径为a 的长直螺线管中,有
0d d >t
B
的磁场，一直导线弯成等腰梯形的闭合回路ABCDA ，总电阻为R ，上底为a ，下底为a 2，求：（1）AD 段、BC 段和闭合回路中的感应电动势；（2）B 、C 两点A
O
B
θ
间的电势差C B U U -.
解：（1)首先考虑OAD ∆,2
133224
OAD S a a a ∆=⋅=， ∴234OAD d dB dB
S a d t d t d t
ε∆Φ=-=-⋅=-⋅
感1， 而DA l
AO
OD
AD
DA
E d l E d l E d l E d l E d l εε=⋅=⋅+⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰涡
涡涡涡涡感1
∴234AD d B
a d t
ε=
⋅
； 再考虑OBC ∆，有效面积为2
123
OAD S a π=⋅扇，∴26dB a d t πε=-⋅
感2, 同理可得：26
BC dB
a d t
π
ε=
⋅
； 那么，梯形闭合回路的感应电动势为：23(
)64BC AD dB
a d t
π
εεε=-=-
⋅
，逆时针方向。 (2)由图可知，AB CD a ==，所以，梯形各边每段a 上有电阻5
R
r =，
回路中的电流:23()64a d B
I R R d t
επ==-⋅
,逆时针方向； 那么,2232()510B C BC BC dB
U U I r I R a dt
πεε+-=⋅-=⋅-=-⋅
。
16-7．圆柱形匀强磁场中同轴放置一金属圆柱体，半径为R ，高为h ，
电阻率为ρ，如图所示。若匀强磁场以d B
k dt =（0k k >，为恒量) 的规律变化，求圆柱体内涡电流的热功率。
解:在圆柱体内任取一个半径为r ，厚度为dr ，高为h 的小圆柱通壁，
有：2l d B E dl r dt π⋅=
⋅⎰涡，即：22d B r k r dt
εππ=⋅=涡， 由电阻公式l
R S ρ
=，考虑涡流通过一个d r 环带，如图， 有电阻：2r
R h d r πρ=，
而热功率：2222
3
()22k r k h d P i R r dr r hdr
πππρρ===，
∴224
3028R k h k h R P r d r ππρρ
==⎰。
16-8．一螺绕环，每厘米绕40匝,铁心截面积2cm 0.3，磁导率0200μμ=，绕组中通有电流mA 0.5,环上绕有二匝次级线圈,求：(1)两绕组间的互感系数;（2）若初级绕组中的电流在s 10.0内由A 0.5降低到0,次级绕
组中的互感电动势。
涡流
解：已知40
40000.01
n ==初匝，2N =次，50200810μμπ-==⨯，42310S m -=⨯。 （1）由题意知螺绕环内：B nI μ=，则通过次级线圈的磁链： N BS N n I S ψμ==次次次， ∴54428104000310 6.0310M N nS H I ψμπ---=
==⨯⨯⨯⨯⨯=⨯次
初
；
（2）4250
6.0310 3.02100.1
I M
V t ε--∆-==⨯⨯=⨯∆初次。 16-9．磁感应强度为B 的均匀磁场充满一半径为R 的圆形空间B ，一金属杆放在如图14—47所示中位置，杆长为2R ，其中一半位于磁场内,另一半位于磁场外。当0d B
dt
>时，求：杆两端感应电
动势的大小和方向。
解:∵ac ab bc εεε=+，而：Oab
ab d dt
εΦ=-
扇形， ∴a b
ε=2233[]d R d B R B dt -=
， Obc
bc d dt ε∆Φ=-
=22[]1212d R R d B B dt dt
ππ--=
，∴a c ε=223[]12R R d B
dt π+; ∵
0d B
dt
>,∴0a c ε>，即ac ε从a c →。
16-10．一截面为长方形的螺绕环,其尺寸如图所示，共有N 匝，求此螺绕环的自感。 解：如果给螺绕环通电流，有环内磁感应强度:
012()2N I B R r R r μπ=
<<则S
B d S Φ=⋅⎰⎰,有:
2
1
0201
ln
22R R N I h R N I
h dr r R μμππΦ=⋅⋅=⎰
利用自感定义式：L I ψ
=，有：L =202
1ln 2N h R R μπ。 16-11．均匀磁场B
被限制在半径R =10 cm 的无限长圆柱
空间内，方向垂直纸面向里．取一固定的等腰梯形回路abcd ,梯形所在平面的法向
与圆柱空间的轴平行,位
已知π=3
1
θ，
置如图所示．设磁感强度以d B /d t =1 T/s 的匀速率增加，cm 6==Ob Oa ，求等腰梯形回路中感生电动势的大小和
方向．
答案：mV 68.3，指向:沿adcb 绕向
× ×
× × R
B c
b a O θ
解：大小： mV 68.3d d )sin 2121(d d d d 22=⋅-==Φ=
t
B
Oa R t B S t θθξ 指向:沿adcb 绕向。
16-12．一圆形线圈A 由50匝细导线绕成，其面积为4cm 2
,放在另一个匝数等于100匝、半径为20cm 的圆形
线圈B 的中心，两线圈同轴.设线圈B 中的电流在线圈A 所在处激发的磁场可看作匀强磁场。求: （1）两线圈的互感；
（2）当线圈B 中的电流以50A/s 的变化率减小时，线圈A 中的感生电动势的大小。 解：设B 中通有电流I ，则在A 处产生的磁感应强度为：
002242B B B B B
N I N I B R R R μμππ=⋅=
(1）A 中的磁通链为：02A B A A A A B
N N I
N BS S R μψ==
⋅。则：02A B A
A
B
B
N N S M I R μψ=
=
,
∴74
76410501004102010 6.281020.2
M H ππ----⨯⋅⋅⋅⨯=
=⨯=⨯⋅. （2）∵0646.281050 3.14102A B A A B N N S d d I
V d t R dt
μψ--=⋅=⨯⋅=⨯，∴43.1410A V ε-=⨯。
16—13．如图，半径分别为b 和a 的两圆形线圈（b >>a ）,在0=t 时共面放置，大圆形线圈通有稳恒电流
I ,小圆形线圈以角速度ω绕竖直轴转动,若小圆形线圈的电阻为R ，求：（1）当小线圈转过 90时，小线圈所受的磁力矩的大小;
(2)从初始时刻转到该位置的过程中，磁力矩所做功的大小。 解：利用毕-萨定律,知大线圈在圆心O 处产生的磁感应强度为：
02I
B b
μ=,由于b >>a ,可将小圆形线圈所在处看成是匀强磁场， 磁感应强度即为02I
B b
μ=，所以，任一时间穿过小线圈的磁通量：
02cos 2I
B S a t b
μπωΦ=⋅=⋅，
小线圈的感应电流：2
01sin 2I d a i t R dt b R μωπωΦ=-=⋅,
小线圈的磁矩：2
02(sin )2m a I a p i S t a b R μωπωπ==⋅⋅，
（1）由m M p B =⨯,有:22
24
202
sin sin 4m I a M p B t t b R
μωπωω=⋅=⋅
当2
t π
ω=
时：22
24
024I a M b R
μωπ=
;
(2)A M d θ=⋅⎰
22
24
2224
2234
2
0002
2
2
220
1cos 2sin 44216I a I a I a t t d t d t b R
b R
Rb
π
π
μωπμωπμωπωωωω-=
=
=⎰
⎰。
•
A
B
16—14．一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成，两者半径分别为1R 和2R ，导体圆柱的磁导率为1μ,筒与圆柱之间充以磁导率为2μ的磁介质.电流I 可由中心圆柱流出,由圆筒流回。求每单位长度电缆的自感系数.
解：考虑到2
12
m W LI =和22m B w μ=，可利用磁能的形式求自感。
由环路定理，易知磁场分布:
11212121
2()()22B r R B R r R I r R I r μπμπ⎧=<⎪⎪⎨
⎪=≤<⎪⎩
则：2212
1222m m B B W w dV dV dV μμ==+⎰⎰⎰
∴单位长度的磁能为：
12
1
122220112
11
()2()22222R R m R Ir I W rdr rdr l R r μμππμπμπ=⋅+⋅⎰⎰22122
1ln 164I I R R μμππ=+，
利用2
/2m W LI =，有单位长度自感:12
21
ln
82R L R μμππ=+.
16—15．一电感为H 0.2,电阻为Ω10的线圈突然接到电动势V 100=ε，内阻不计的电源上，在接通0.1s 时，求：(1）磁场总储存能量的增加率；（2)线圈中产生焦耳热的速率；（3）电池组放出能量的速率。
解:（1）利用磁能公式2
12
m W LI =及LC 电路通电暂态过程()(1)R t L I t e R ε-=-，
有磁场总储能:2222
1()[(1)](1)22R R t t L
L m L W t L e e R R
εε--=-=-， 对上式求导得储能增加率：2
()(1)R R t t L L dW t e e dt R
ε--=-，
将 2.0L H =，10R =Ω，100V ε=，0.1t s =代入,有：0.1()
238t s dW t J s dt ==；
（2）由
2dQ
P I R dt
==，有线圈中产生焦耳热的速率： 222
2()[(1)](1)R R t t L L dQ t I R e R e dt R R εε--==-=-;代入数据有：
0.1()152t s
dQ t J s dt ==；
(3）那么，电池组放出能量的速率:2
(1)R
t L d E I e dt R
εε-==-,
代入数据有：0.1390t s d E
J s dt
==。
16—16。 在一对巨大的圆形极板(电容121.010C F -=⨯）上,加上频率为50Hz ，峰值为51.7410V ⨯的交变电压，计算极板间位移电流的最大值。
解：设交变电压为：cos m u U t ω=,利用位移电流表达式：D d q
I d t =,
有:sin D m du
I C CU t d t
ωω==-，而2f ωπ=， ∴1255225010 1.7410 5.4610Dm
m I f CU A ππ--==⨯⨯⨯⨯=⨯。
16—17．一球形电容器, 内导体半径为R 1，外导体半径为R 2．两球间真空。 在电容器上加电压，内球对外球的电压为t U U ωsin 0=．假设ω不太大，以致电容器电场分布与静态场情形近似相同，求两球间各处的位移电流密度，再计算通过半径为r (R 1 < r 〈 R 2) 的球面的总位移电流． 答案：
00122
2
10cos )
(r t U R R r R R ⋅-ωωε，t U R R R R ωωεcos 40122
10-π 解：由静电学计算： 0r
代表r 方向单位矢量 0
204)(r r
t q E
επ= 04)(επ=
t q U )1
1(2
1R R -210124))((R R R R t q επ-=
012221)(r R R r R UR E
-=
00122
21sin )
(r t U R R r R R
⋅-=ω 位移电流密度为 t E t D J ∂∂=∂∂= 0
ε00122210cos )
(r t U R R r R R
⋅-=ωωε 过球面的总位移电流 24d r J S J I π⋅==⎰⋅ t U R R R R ωωεcos 40122
10-π=
思考题16
16-1．图为用冲击电流计测量磁极间磁场的装置.小线圈与冲击电流计相接,线圈面积为A ，匝数为N ，电阻
为R ，其法向n
与该处磁场方向相同，将小线圈迅速取出磁场时，冲击电流计测得感应电量为q ，试求小线圈所在位置的磁感应强度。
解：11d NBA
q Idt dt dt R R dt R R
εΦ∆Φ=====⎰⎰⎰，
∴R q B NA
=.
16-2．如图所示,圆形截面区域内存在着与截面相垂直的磁场，磁感应强度随时间变化.
(a ）磁场区域外有一与圆形截面共面的矩形导体回路abcd ，以ab ε表示在导体ab 段上产生的感生电动势，I 表示回路中的感应电流，则
A ．00==I ab ε；
B ．00≠=I ab ε；
C ．00
=≠I ab ε； D ．00
≠≠I ab ε。
（b ）位于圆形区域直径上的导体棒ab 通过导线 与阻值为R 的电阻连接形成回路，以ab ε表示在 导体ab 段上产生的感生电动势,I 表示回路中的 感应电流,则：
A ．00==I ab ε；
B ．00≠=I ab ε；
C ．00
=≠I ab ε； D ．00
≠≠I ab ε。
答:（a ）选C ；（b ）选B 。
16-3．在磁感应强度为B 的均匀磁场内，有一面积为S 的矩形线框,线框回路的电阻为R （忽略自感）,线框绕其对称轴以匀角速度ω旋转（如图所示）。
（1）求在如图位置时线框所受的磁力矩为多大?
（2）为维持线框匀角速度转动，外力矩对线框每转一周需作的功为多少? 答：（1）由cos cos BS BS t ϕωΦ==，
而：1
sin I BS t R R
ε
ωω=
=
,
∴21
sin m p I S BS t R
ωω==；
（2）2221
sin sin m M B p t B S t R ωωω==，
∴222222
01sin B S W Md B S d R R ππωθωθθ===⎰⎰。
16-4．一平板电容器充电以后断开电源,然后缓慢拉开电容器两极板的间距，则拉开过程中两极板间的位移电流为多大?若电容器两端始终维持恒定电压，则在缓慢拉开电容器两极板间距的过程中两极板间有无位移电流?若有位移电流，则它的方向怎样？
答：(1）利用位移电流表达式：D d q
I d t =，由于平板电容器充电以后断开的电源,所以q 在电容器两极板拉开
过程中不变化，有0D I =；
（2)有位移电流,电容器两端维持恒定电压,两极板间距增加时场强变小，q 下降且引起σ下降,使位移电流降低。位移电流的方向与场线方向相反。
16-5．图a 为一量值随时间减小,方向垂直纸面向内的变化电场， 均匀分布在圆柱形区域内，试在图b 中画出: （1）位移电流的大致分布和方向； （2）磁场的大致分布和方向。
答：(1)20d dE I R dt επ=，（0dE
dt <），位移电流在圆柱形区域内
均匀分布，分布具有轴对称性；
（2）应用安培环路定理：
r R <时，000222d I d E
B r r R d r
μμεπ=
=内，B 内与r 成正比, r R ≥时,002
d E
B R d r
με=
外,B 外为定值不变。
16—6．空间有限的区域内存在随时间变化的磁场,所产生的感生电场场强为E i ，在不包含磁场的空间区域中
分别取闭合曲面S ，闭合曲线l ，则：
A ．
i i
00S l
E d S E d l ⋅=⋅=⎰⎰⎰，
; B ．i
i
00S
l
E d S E dl ⋅=⋅≠⎰⎰⎰，；
C ．i
i
00S
l
E d S E dl ⋅≠⋅=⎰⎰
⎰，； D ．i
i
0,0S
l
E d S E dl ⋅≠⋅≠⎰⎰⎰。
答：选B 。
16—7．试写出与下列内容相应的麦克斯韦方程的积分形式： （1)电力线起始于正电荷终止于负电荷；（2）磁力线无头无尾；(3）变化的电场伴有磁场； （4）变化的磁场伴有电场。
解：(1）i S D d S q ⋅=∑⎰；(2）0S B d S ⋅=⎰；（3）c S D
H dl I d S t
∂⋅=+⋅∂∑⎰⎰S
(4）S
B
E dl d
S t
∂⋅=-⋅∂⎰⎰
S d
I B
《电磁场理论与电磁波》课后思考题
《电磁场理论与电磁波》课后思考题 第一章 P30 1.1 如果u r u r u r u v g g A B =A C ，是否意味着u r u v B =C ？为什么？ 答：否。 1.2 如果??u r u r u r u v A B =A C ，是否意味着u r u v B =C ？为什么？ 答：否。 1.3 两个矢量的点积能是负的吗？如果是，必须是什么情况？ 答：能。当两个矢量的夹角θ满足(,]2 πθπ∈时。 1.4 什么是单位矢量？什么是常矢量？单位矢量是否是常矢量？ 答：单位矢量：模为1的矢量； 常矢量：大小和方向均不变的矢量（零矢量可以看做是特殊的常矢量）； 单位矢量不一定是常矢量。例如，直角坐标系中，坐标单位矢量,,x y z e e e r r r 都是常矢 量；圆柱坐标系中，坐标单位矢量,ρφe e r r 不是常矢量，z e r 是常矢量；球坐标系中， 坐标单位矢量,,r θφe e e r r r 都不是常矢量。 1.5 在圆柱坐标系中，矢量ρφz a b c =++u r r r r A e e e ，其中a 、b 、c 为常数，则u r A 能是常矢量 吗？为什么？ 答：否。因为坐标单位矢量,ρφe e r r 的方向随空间坐标变化，不是常矢量。 1.6 在球坐标系中，矢量cos sin r θa θa θ=-u r r r A e e ，其中a 为常数，则u r A 能是常矢量吗？为什么？ 答：是。对cos sin r θa θa θ=-u r r r A e e 转换为直角坐标系的表示形式，化简可得22(cos sin )z z a θθe ae ==+=u r r r L A 。 1.7 什么是矢量场的通量？通量的值为正、负或0分别表示什么意义？ 答：通量的概念：d d d n S S ψψF S F e S ==?=????r r r r （曲面S 不是闭合） d d n S S F S F e S =?=???r r r r 蜒ψ（曲面S 是闭合） 通过闭合曲面有 净的矢量线穿出S 内有正通量源 <ψ有净的矢量线进入，S 内有负通量源 进入与穿出闭合曲 面的矢量线相等，S 内没有通量源 1.8 什么是散度定理？它的意义是什么？ 答：散度定理：d d S V F S F V ?=????r r r ? 意义：面积表示的通量=体积表示的通量 1.9 什么是矢量场的环流？环流的值为正、负或0分别表示什么意义？ 答：环流的概念：Γ(,,)d C F x y z l =??r r ? 环流的值为正、负或0分别表示闭合曲线C 内有正旋涡源、负旋涡源和无旋涡源。 1.10什么是斯托克斯定理？它的意义是什么？斯托克斯定理能用于闭合曲面吗？
电磁场与电磁波习题及答案
1麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+?,B E t ???=-?,0B ?=,D ρ ?= 2静电场的基本方程积分形式为： C E dl =? S D ds ρ =? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为： 3.00n S n n n S e e e e J ρ??=? ?=?? ?=?? ?=?D B E H 4线性且各向同性媒质的本构关系方程是： 4.D E ε=,B H μ=,J E σ= 5电流连续性方程的微分形式为： 5. J t ρ??=- ? 6电位满足的泊松方程为 2 ρ ?ε?=- ； 》 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。 12??= 1212n n εεεε??=?? 7应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理 论依据是: 唯一性定理。 8.电场强度E 的单位是V/m ，电位移D 的单位是C/m2 。 9．静电场的两个基本方程的微分形式为 0E ??= ρ?=D ； 10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A ，并令 B A =??的依据是（ 0B ?= ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ” 的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ )ln( 1 a a D C -= πε ）。 。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω= 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?= =-? 其振幅值为：3 04510.dm r m m J E E ωεε-==? , 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510.dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S S d q =? 得2 4q D r π= 24D e e r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r r a a a q q U d d d r a πεπε∞∞ ∞ ==== ??? 导体球的电容04q C a U πε== $
第12章变化的电磁场作业解读
第12章 变化的电磁场 思考题 12.1 在电磁感应定律t d d ?ε-=中，负号的意义是什么？你是怎样根据正负号来确定感应电动势的方向的？ 答：负号反映了感应电动势的方向，是愣次定律的体现。用正负符号来描述电动势的方向，首先应明确电动势的正方向（即电动势符号为正的时候所代表的方向）。在电磁感应现象中电动势的正方向即是所选回路的绕行方向，由于回路的绕行方向与回路所围面积的法线方向（即穿过该回路磁通量的正方向）符合右手螺旋，所以，回路电动势的正方向与穿过该回路磁通量的正方向也符合右手螺旋。原则上说，对于穿过任一回路的磁通量，可以任意规定它的正负，因此，在确定感应电动势的方向的时，可以首先将穿过回路的磁通量规定为正，然后，再按右手螺旋关系确定出该回路的绕行方向（即电动势的正方向）。最后，再由电动势ε的符号，若ε的符号为正即电动势的方向与规定的正方向相同，否则相反。 12.2 如图，金属棒AB 在光滑的导轨上以速度v 向右运动，从而形成了闭合导体回路ABCDA 。楞次定律告诉我们，AB 棒中出现的感应电流是自B 点流向A 点，有人说：电荷总是从高电势流向低电势。因此B 点的电势应高于A 点，这种说法对吗？为什么? 答：这种说法不对。回路ABCD 中AB 棒相当于一个电源，A 点是电源的正极，B 点是电源的负极。这是因为电源电动势的形成是非静电力做功的结果，非静电力在将正电荷从低电势的负极B 移向高电势的正极A 的过程中，克服了静电力而做功。所以正确的说法是：在作为电源的AB 导线内部，正电荷从低电势移至高电势。是非静电力做正功；在AB 导线外部的回路上，正电荷从高电势流至低电势，是静电力做正功。因此，B 点的电势低，A 点的电势高。 12.3 一根细铜棒在均匀磁场中作下列各种运动(如图)，在哪种运动中铜棒内产生感应电动势？其方向怎样? (1) 铜棒向右平移(图a )。 (2) 铜棒绕通过其中心的轴在垂直于B 的平面内转动(图b )。 (3) 铜棒绕通过中心的轴在平行于B 的平面内转动(图c )。 答：(a)无；(b)由中心指向两端；(c)无。 图12.2 思考题12.3图 (a) (b) (c) A B 图12.1 思考题12-2图
电磁场与电磁波理论思考题
《电磁场与电磁波理论》思考题 第1章思考题 1.1什么是标量？什么是矢量？什么是矢量的分量？ 1.2什么是单位矢量？什么是矢量的单位矢量？ 1.3什么是位置矢量或矢径？直角坐标系中场点和源点之间的距离矢量是如何表示的？ 1.4什么是右手法则或右手螺旋法则？ 1.5若两个矢量相互垂直，则它们的标量积应等于什么？矢量积又如何？ 1.6若两个矢量相互平行，则它们的矢量积应等于什么？标量积又如何？ 1.7若两个非零矢量的标量积等于零，则两个矢量应垂直还是平行？ 1.8若两个非零矢量的矢量积等于零，则两个矢量应垂直还是平行？ 1.9直角坐标系中矢量的标量积和矢量积如何计算？ 1.10什么是场？什么是标量场？什么是矢量场？ 1.11什么是静态场或恒定场？什么是时变场？ 1.12什么是等值面？它的特点有那些？ 1.13什么是矢量线？它的特点有那些？ 1.14哈密顿算子为什么称为矢量微分算子？ 1.15标量函数的梯度的定义是什么？物理意义是什么？ 1.16什么是通量？什么是环量？ 1.17矢量函数的散度的定义是什么？物理意义是什么？ 1.18矢量函数的旋度的定义是什么？物理意义是什么？ 1.19什么是拉普拉斯算子？标量和矢量的拉普拉斯运算分别是如何定义的？ 1.20直角坐标系中梯度、散度、旋度和拉普拉斯算子在的表示式是怎样的？ 1.21三个重要的矢量恒等式是怎样的？ 1.22什么是无源场？什么是无旋场？ 1.23为什么任何一个梯度场必为无旋场？为什么任何一个无旋场必为有位场？ 1.24为什么任何一个旋度场必为无源场？为什么任何一个无源场必为旋度场？ 1.25高斯散度定理和斯托克斯定理的表示式和意义是什么？ 1.26什么是矢量的唯一性定理？ 1.27在无限大空间中是否存在既无源又无旋的场？为什么？ 1.28直角坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的？ 1.29圆柱坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的？ 1.30球面坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的？
(完整版)16变化的电磁场习题思考题
习题16 16—1．如图所示,金属圆环半径为R ，位于磁感应强度为B 的均匀磁场中，圆环平面与磁场方向垂直。当圆环以恒定速度v 在环所在平面内运动时，求环中的感应电动势及 环上位于与运动方向垂直的直径两端a 、b 间的电势差。 解:（1)由法拉第电磁感应定律i d dt εΦ =-，考虑到圆环内的磁通量不变，所以，环中 的感应电动势0i ε=; （2）利用：()a ab b v B dl ε=⨯⋅⎰，有：22ab Bv R Bv R ε=⋅=。 【注：相同电动势的两个电源并联，并联后等效电源电动势不变】 16-2．如图所示，长直导线中通有电流A I 0.5=,在与其相距cm 5.0=d 处放有一矩形线圈，共1000匝，设线圈长cm 0.4=l ,宽cm 0.2=a 。 不计线圈自感,若线圈以速度cm/s 0.3=v 沿垂直于长导线的方向向右 运动，求线圈在图示位置时的感应电动势。 解法一：利用法拉第电磁感应定律解决. 首先用0l B dl I μ⋅=∑⎰求出电场分布，易得:02I B r μπ=， 则矩形线圈内的磁通量为：00ln 22x a x I I l x a l dr r x μμππ++Φ=⋅=⎰ ， 由i d N d t εΦ=-,有：011()2i N I l d x x a x dt μεπ=--⋅ + ∴当x d =时，有：041.92102() i N I l a v V d a μεπ-= =⨯+. 解法二：利用动生电动势公式解决。 由0l B dl I μ⋅=∑⎰求出电场分布，易得：02I B r μπ=， 考虑线圈框架的两个平行长直导线部分产生动生电动势， 近端部分：11NB l v ε=， 远端部分：22NB lv ε=， 则：12εεε=-= 00411 () 1.921022()N I N I a l v l v V d d a d d a μμππ--==⨯++。 16-3．电流为I 的无限长直导线旁有一弧形导线,圆心角为 120, 几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度v 平行于长直 导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。 解法一：（用等效法）连接AO 、OB ，圆弧形导线与AO 、OB A O B
大学物理习题答案-第16章-电磁场
第16章 电磁场 参考答案 一、选择题 1(A)，2(A)，3(C)，4(C)，5(D)，6(D)，7(C)，8(B)，9(B)，10(B) 二、填空题 (1). )2/cos(/d d π+==t A NbB t x NbB ωωε 或t NBbA ωωεsin =. (2). πBnR 2, O . (3). 相同(或22 1R B ω), 沿曲线由中心向外. (4). 小于, 有关. (5). 0 (6). )8/(2220a I πμ. (7). 9.6 J. (8). ?????S S D t ??d 或 t D /d d Φ , ?????-S S B t ??d 或 t m /d d Φ-. (9). t E R d /d 02 επ， 与E ?方向相同（或由正极板垂直指向负极板）. (10). t B r d /d 2 1 . 三 计算题 1. 如图所示，有一半径为r =10 cm 的多匝圆形线圈，匝数N =100，置于均匀磁场B ? 中(B = 0.5 T )．圆形线圈可绕通过 圆心的轴O 1O 2转动，转速 n =600 rev/min ．求圆线圈自图示的初始位置转过π2 1时， (1) 线圈中的瞬时电流值(线圈的电阻R 为 100 Ω，不计自感)； (2) 圆心处的磁感强度．(μ0 =4π×10-7 H/m) 解：(1) 设线圈转至任意位置时圆线圈的法向与磁场之间的夹角为θ，则通过该圆线圈平面的磁通量为 θΦcos 2r B π=, nt t π==2ωθ ∴ nt r B ππ=2cos 2 Φ 在任意时刻线圈中的感应电动势为 nt n r NB t N πππ=Φ -=2sin 2d d 2 nt n BNr ππ=2sin 222 t Τ I nt R n NBr R i m π=ππ==22sin 2sin 22 当线圈转过π /2时，t =T /4，则 987.0/22 =π==2R NBn r I i m A (2) 由圆线圈中电流I m 在圆心处激发的磁场为 ==')2/(0r NI B m μ 6.20×10-4 T 方向在图面内向下，故此时圆心处的实际磁感强度的大小 500.0) (2 /1220≈'+=B B B T 方向与磁场B ρ 的方向基本相同． ?
电磁场思考题
电磁场思考题
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第一章 1.什么是矢量场的通量？通量的值为正、负或0分别表示什么意义？ 解答：矢量场F 穿出闭合曲面S 的通量为： dS e F dS F s n s ⎰⎰==··ψ 当⎰>s dS F 0·时，表示穿出闭合曲面S 的通量多于进入的通量，此时闭合曲面内必有发出 矢量线的源，成为正通量源。 当⎰⋅c dl F 0或⎰<⋅c dl F 0，表示场中有产生该矢量的源，称为漩涡源。 ⎰=⋅c dl F 0，表示场中没有产生该矢量场的源。 4.什么是斯托克斯定理？它的意义是什么？ 斯托克斯定理能用于闭合曲面吗？ 解答：在矢量场F 所在的空间中，对于任一以曲线C 为周界的曲面S ，存在如下重要关系式： ⎰⎰⋅=⋅⨯∇s c dl F dS F ，称为斯托克斯定理。
(完整版)电磁场试题及答案
一、填空 1.方程▽2φ=0 称为静电场的（拉普拉斯（微分））方程 2.在静电平衡条件下，导体内部的电场强度 E 为（ 0） 3.线性导电媒质是指电导率不随（空间位置）变化而变化 4.局外电场是由（局外力）做功产生的电场 5.电感线圈中的磁场能量与电流的平方（成正比） 6.均匀平面电磁波中， E 和 I 均与波的传播方向（垂直） 7. 良导体的衰减常数（） 2 8.真空中，恒定磁场安培环路定理的微分形式（▽x B= 0 J） 9.在库伦规范和无穷远参考点前提下，面电流分布的矢量的磁位公式 （A=0Idl ）公式3-43 4R 10.在导体中，电场力移动电荷所做的功转化为（热能） 11.在静电平衡条件下，由导体中 E=0，可以得出导体内部电位的梯度为（ 0 ）（ p4 页） 12.电源以外的恒定电场中，电位函数满足的偏微分方程为 -----（ p26 页） 13.在无源自由空间中，阿拉贝尔方程可简化为---------- 波动方程。 瞬时值矢量齐次（p145 页） 14.定义位移电流密度的微分表达式为------------D = 0 E + P （p123 页）t t t 15.设电场强度 E=4，则0P12 页 16.在单位时间内，电磁场通过导体表面流入导体内部的能量等于导线电阻消 耗的（热能） 17.某一矢量场，其旋度处处为零，则这个矢量场可以表示成某一标量函数的（梯度） 18.电流连续性方程的积分形式为（ s j ? dS =- dq ） dt 19.两个同性电荷之间的作用力是（相互排斥的） 20.单位面积上的电荷多少称为（面电荷密度） 21.静电场中，导体表面的电场强度的边界条件是：（D1n-D2n=ρs） 22.矢量磁位 A 和磁感应强度 B 之间的关系式：（ B =▽ x A） 23.E（Z，t）=e x E m sin（ wt-kz- 错误 !未找到引用源。）+ e y E m cos（wt-kz+ 错误 !未找到引用源。），判断上述均匀平面电磁波的极化方式为：（圆极化）（应该是90％确定） 24.相速是指均匀平面电磁波在理想介质中的传播速度。 25.电位移矢量 D=ε0E+P 在真空中P 的值为（ 0）
电磁场与电磁波第四版课后思考题答案
2.1点电荷的严格定义是什么？ 点电荷是电荷分布的一种极限情况，可将它看做一个体积很小而电荷密度很的带电小球的极限。当带电体的尺寸远小于观察点至带电体的距离时，带电体的形状及其在的电荷分布已无关紧要。就可将带电体所带电荷看成集中在带电体的中心上。即将带电体抽离为一个几何点模型，称为点电荷。 2.2 研究宏观电磁场时，常用到哪几种电荷的分布模型？有哪几种电流分布模型？他们是如何定义的？ 常用的电荷分布模型有体电荷、面电荷、线电荷和点电荷；常用的电流分布模型有体电流模型、面电流模型和线电流模型，他们是根据电荷和电流的密度分布来定义的。 2,3点电荷的电场强度随距离变化的规律是什么？电偶极子的电场强度又如何呢？ 点电荷的电场强度与距离r 的平方成反比；电偶极子的电场强度与距离r 的立方成反比。 2.4简述 和 所表征的静电场特性 表明空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关，静电荷是静电场的通量源。 表明静电场是无旋场。 2.5 表述高斯定律，并说明在什么条件下可应用高斯定律求解给定电荷分布的电场强度。 高斯定律：通过一个任意闭合曲面的电通量等于该面所包围的所有电量的代数和除以 与闭合面外的电荷无 布的电场强度。 2.6简述 和 所表征的静电场特性。 表明穿过任意闭合面的磁感应强度的通量等于0，磁力线是无关尾的闭合线， 表明恒定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源 2.7表述安培环路定理，并说明在什么条件下可用该定律求解给定的电流分布的磁感应强度。 安培环路定理：磁感应强度沿任何闭合回路的线积分等于穿过这个环路所有电流的代数和 倍，即 2.8简述电场与电介质相互作用后发生的现象。 在电场的作用下出现电介质的极化现象，而极化电荷又产生附加电场 2.9极化强度的如何定义的？极化电荷密度与极化强度又什么关系？ 单位体积的点偶极矩的矢量和称为极化强度，P 与极化电荷密度的关系为 极化强度P 与极化电荷面的密度 2.10电位移矢量是如何定义的？在国际单位制中它的单位是什么 电位移矢量定义为 其单位是库伦/平方米 （C/m 2） 2.11 简述磁场与磁介质相互作用的物理现象？在磁场与磁介质相互作用时，外磁场使磁介质中的分子磁矩沿外磁场取向，磁介质被磁化，被磁化的介质要产生附加磁场，从而使原来的磁场分布发生变化，磁介质 ερ/=•∇E 0=⨯∇E ερ/=•∇E 0= ⨯∇E V S 0 0=⋅∇B J B μ =⨯∇0=⋅∇B J B μ=⨯∇0 μC P •∇=-p ρn sp e •=P ρE P E D εε=+=0
电磁场与电磁波课后思考题答案
电磁场与波课后思考题 2-1 电场强度的定义是什么？如何用电场线描述电场强度的大小及方向？ 电场对某点单位正电荷的作用力称为该点的电场强度，以E 表示。 用曲线上各点的切线方向表示该点的电场强度方向，这种曲线称为电场线。 电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。 2-2给出电位与电场强度的关系式，说明电位的物理意义。 静电场中某点的电位，其物理意义是单位正电荷在电场力的作用下，自该点沿任一条路径移至无限远处过程中电场力作的功。 2-3什么是等位面？ 电位相等的曲面称为等位面。 2-5给出电流和电流密度的定义。 电流是电荷的有规则运动形成的。单位时间内穿过某一截面的电荷量称为电流。 分为传导电流和运流电流两种。 传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子运动形成的电流。 运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成的电流。 电流密度：是一个矢量，以J 表示。电流密度的方向为正电荷的运动方向，其大小为单 位时间内垂直穿过单位面积的电荷量。 2-10运动电荷，电流元以及小电流环在恒定磁场中受到的影响有何不同？ 运动电荷受到的磁场力始终与电荷的运动方向垂直，磁场力只能改变其运动方向，磁场 与运动电荷之间没有能量交换。 当电流元的电流方向与磁感应强度B 平行时，受力为零；当电流元的方向与B 垂直时， 受力最大，电流元在磁场中的受力方向始终垂直于电流的流动方向。 当电流环的磁矩方向与磁感应强度B 的方向平行时，受到的力矩为零；当两者垂直时， 受到的力矩最大 2-11什么是安培环路定理？试述磁通连续性原理。 为真空磁导率，70 10π4-⨯=μ (H/m)，I 为闭合曲线包围的电流。 安培环路定理表明：真空中恒定磁场的磁通密度沿任意闭合曲面的环量等于曲线包围的 电流与真空磁导率的乘积。 真空中恒定磁场通过任意闭合面的磁通为0。 磁场线是处处闭合的，没有起点与终点，这种特性称为磁通连续性原理。 2-12什么是感应电动势和感应磁通？ 感应电场强度沿线圈回路的闭合线积分等于线圈中的感应电动势，即 穿过闭合线圈中的磁通发生变化时，线圈中产生的感应电动势e 为 ϕ -∇=E S J I d d ⋅=t q I d d = B v q ⨯=F B l I F ⨯=d ISB B Il IlBl Fl T ====2)(B S I T ⨯=S I =m B T ⨯=m I l B l ⎰ =⋅ 0 d μ ⎰ =⋅S S B 0d t l E l d d d Φ -=⋅⎰ t e d d Φ-=
第9 章 《电磁感应 电磁场理论》复习思考题
第9章 《电磁感应 电磁场理论》复习思考题 一、填空题： 1．飞机以1 s m 200-⋅=v 的速度水平飞行，机翼两端相距离m 30=l ，两端这间可当作连续导体。已知飞机所在处地磁场的磁感应强度B 在竖直方向上的分量T 1025-⨯。机翼两端电势差U 为 0.12V 。 2．当穿过一个闭合导体回路所包围的面积内的 磁通量 发生变化时，在导体回路中就会产生 电流，这种现象称为电磁感应现象。 3．用导线制造成一半径为m 10.0=r 的闭合圆形线圈，其电阻Ω=10R ，均匀磁场B 垂直于线圈 平面。欲使电路有一稳定的感应电流A 01.0=I ，B 的变化率应为__3.18T/s_____________。 4．楞次定律：感生电流的磁场所产生的磁通量总是 阻碍引起感应电流的磁通量的变化。 5．如果导体不是闭合的，即使导体在磁场里做切割磁力线运动也不会产生感应电流，但在导体的 两端产生_感应电动势____。 6．楞次定律是 能量守恒和转换 _定律在电磁现象领域中的表现。 二、单选题 1．感生电场是 。 （A ）由电荷激发，是无源场； （B ）由电荷激发，是有源场； （C ）由变化的磁场激发，是无源场； （D ）由变化的磁场激发，是有源场。 2．关于感应电动势的正确说法是： 。 （A ）导体回路中的感应电动势的大小与穿过回路的磁感应通量成正比； （B ）当导体回路所构成的平面与磁场垂直时，平移导体回路不会产生感应电动势； （C ）只要导体回路所在处的磁场发生变化，回路中一定产生感应电动势； （D ）将导体回路改为绝缘体环，通过环的磁通量发生变化时，环中有可能产生感应电动势。 3．交流发电机是根据 原理制成的。 （A ）电磁感应； B ）通电线圈在磁场中受力转动；（C ）奥斯特实验； （D ）磁极之间的相互作用。 4．将形状完全相同的铜环和木环静止放置，并使通过两环面的磁通量随时间的变化率相等，则不 计自感时， 。 （A ）铜环中有感应电动势，木环中无感应电动势 （B ）铜环中感应电动势大，木环中感应电动势小 （C ）铜环中感应电动势小，木环中感应电动势大 （D ）两环中感应电动势相等。 5．一自感为100mH 的螺线管，通电线圈的电流为5A ，其所储存的磁能为 。 （A ）0.25J （B ）0.5J （C ）1.0J （D ）1.25 J 6．对于法拉第电磁感应定律t d d Φ-=ε,下列说法错误的是 。 （A ）负号表示ε与Ф的方向相反； （B ）负号是约定ε和Φ的正方向符合右手螺旋配合关系时的结果；
变化的电磁场
变化的电磁场 第五章随时间变化的电磁场麦克斯韦方程 研究问题：随时间变化的电磁场的基本性质和运动规律。 §5.1 电磁感应现象与电磁感应定律 一、电磁感应现象 1、电磁感应现象的发现： （1）1820年，奥斯特发现电流的磁效应，引起了相反方向的探索； （2）1831年，法拉第经十年艰苦探索，发现了电磁感应现象——磁的电效应仅在某种东西正在变动的时刻才发生。 2、基本实验事实： （1）闭合的导线回路和永久磁铁之间发生相对运动时，回路中出现电流。感应电流的大小取决于磁铁运动的快慢，感应电流的方向与磁铁移动的方向有关； （2）闭合的导线回路与载流线圈之间发生相对运动时，结果相同； （3）两个线圈都固定，其中一个线圈中的电流发生变化时（闭合电键的开关、电阻值的变化），在另一个线圈中引起感应电流； （4）处在磁场中的闭合导线回路中的一部分导体在磁场中运动，回路中产生感应电流，感应电流的大小和方向取决于导线运动的速度大小和方向。 3、分类： （1）导线回路或回路上的部分导体在恒定不变的磁场（磁铁或电流产生）中运动，回路中出现电流； （2）固定不动的闭合导线回路所在处或其附近的磁场发生变化，回路中出现电流。 4、共同特点：感应电流的产生是由于通过闭合导线回路的磁感应强度 通量发生变化。引起磁感应强度通量变化的原因可以是磁感应强度的
变化，也可以是由于导体在稳定的磁场中运动引起。 二、法拉第电磁感应定律 1、法拉第的研究发现： （1）在相同条件下，不同金属导体中的感应电流与导体的导电能力成正比； （2）感应电流是由与导体性质无关的电动势产生的； （3）即使不形成闭合回路，也会有电动势存在——感应电动势。 （4）结论：对于给定的导线回路，感应电流与感应电动势成正比。电 磁感应现象就是磁感应通量的变化在回路中产生感应电动势的现 象——电磁感应现象的本质。 （5）德国物理学家纽曼和韦伯的工作结论：对于任一给定回路，其中 感应电动势的大小正比于回路所圈围面积的磁通量的变化率。 2、楞次定律： （1）内容：闭合回路中感应电流的方向，总是企图使感应电流产生的 磁场去阻止引起感应电流的磁通量的变化。 （2）感应电流是在感应电动势作用下产生的，因此楞次定律给出了感 应电动势的方向。 （3）楞次定律与能量守恒定律一致。 （4）楞次定律含有惯性意义。自然界一切现象的变化，均系由一种稳 态至另一种稳态，中间必须经过一暂态。通过闭合回路的磁通量 一旦发生变化，即有惯性显示，惯性反对磁通量的变化。 3、法拉第电磁感应定律 （1）内容：不论何种原因使通过回路的磁通量发生变化，回路中产生 的感应电动势的大小与磁通量的变化率成正比。