电磁场理论习题解读

思考与练习一

1．证明矢量3ˆ2ˆˆz y x e e e

-+=A 和z y x e e e ˆˆˆ++=B 相互垂直。 2. 已知矢量 1.55.8z y e ˆe

ˆ+=A 和4936z y e ˆ.e ˆ+-=B ，求两矢量的夹角。 3. 如果0=++z z y y x x B A B A B A ，证明矢量A 和B 处处垂直。

4. 导出正交曲线坐标系中相邻两点弧长的一般表达式。

5．根据算符∇的与矢量性，推导下列公式：

()()()()B A B A A B A B B A ∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇)(

()()A A A A A 2∇⋅-∇=⨯∇⨯2

1 []H E E H H E ⨯∇⋅-⨯∇⋅=⨯⋅∇

6．设u 是空间坐标z ,y ,x 的函数，证明：

u du df u f ∇=∇)(， ()du d u u A A ⋅∇=⋅∇， ()du

d u u A A ⨯∇=⨯∇，()[]0=⨯∇⋅∇z ,y ,x A 。 7．设222)()()(z z y y x x R '-+'-+'-='-=r r 为源点x '到场点x 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点。证明下列结果，

R R R R =∇'-=∇， 311R R R R

-=∇'-=∇，03=⨯∇R R ，033=⋅∇'-=⋅∇R

R R R )0(≠R 〔最后一式在0=R 点不成立〕。

8. 求[])sin(0r k E ⋅⋅∇与[])sin(0r k E ⋅⨯∇，其中0E a ,为常矢量。

9. 应用高斯定理证明 ⎰⎰⨯=⨯∇v s

d dV f s f ，应用斯克斯〔Stokes 〕定理证明⎰⎰=∇⨯s L

dl dS ϕϕ。 10.证明Gauss 积分公式[]⎰⎰⎰⎰⎰∇+∇⋅∇=⋅∇s V

dv d ψφψφψφ2s 。

11.导出在任意正交曲线坐标系中()321q ,q ,q F ⋅∇、()[]321q ,q ,q F ⋅∇∇、

()3212q ,q ,q f ∇的表达式。

12. 从梯度、散度和旋度的定义出发，简述它们的意义，比较它们的差别，导出它们在正交曲线坐标系中的表达式。

1. 证明均匀线电荷密度圆环在圆环平面内任意点的电场强度为零。求圆环平面外任意点的电场的表达式。

2. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介电常数为ε，使介质内均匀带静止自由电荷密度为f ρ，求空间电场与极化体电荷和极化面电荷分布。

3. 已知一个电荷系统偶极矩定义为⎰'''=V

V d )t ,t r r P ()(ρ，利用电荷守恒定律证明P 的变化率为⎰''=V V d t ,dt d )(r J P 。

4. 内外半径分别为1r 和2r 的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流f J ，导体的磁导率为μ，求磁感应强度和磁化电流。

5. 证明均匀介质内极化电荷密度p ρ等于自由电荷密度f ρ的⎪⎭

⎫ ⎝⎛εε01－－倍。

6. 简述Maxwell 方程组各式所对应的实验定律，式中各项的物理意义。为什么说Maxwell 方程组预言了电磁场具有波动的运动形式。

7. 利用Maxwell 方程组，导出电荷守恒定律的表达式。

8. 何谓位移电流，说明位移电流的物理实质与意义，比较传导电流和位移电流之间的异同点。

9. 证明Maxwell 方程组的四个方程中只有两个是独立的，利用两个独立方程组导出电磁场的波动方程。

10. 利用电磁场与介质相互作用的机理，分析介质在电磁场中的性质，并根据介所表现出的质宏观特性进行分类。

11. 证明当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场力线的曲折满足1

212tan tan εεθθ=，其中1ε和2ε分别为两种介质的介电常数，1θ和2θ分别为界面两侧电场线与法线的夹角。

12. 假设自然界存在磁荷，磁荷的运动形成磁流。又假设磁荷产生磁场同电荷产生电场满足同样的实验定律；磁流产生电场同电流产生磁场满足同样的实验定律。请导出在这一假设前提下的Maxwell 方程组表达式。

1. 利用电场Gauss 定律分别求电荷面密度为s ρ的无穷大导体板和半无穷大导体在上半空间导体平面附近产生的电场，比较所得到结果的差别。你能从这一差别中得到什么结论。

〔a 〕 无穷大导体薄板 〔b 〕半无穷大导体

2. 求如图所示的一同轴线如图所示，内外导体的半径分别为a 和b ，将其与电压为V 电源相连接，内导体上的电流强度为I 。求同轴线内电场和磁场的分布，计算穿过两导体间常数=φ平面单位长度上的磁通量。

3. 证明在无电荷分布的区域，电位既不能达到极大值，也不能达到极小值。

4. 平行板电容器内有两层介质，厚度分别为l 1和l 2，介电常数为1ε和2ε，今在两板极接入电动势ε为的电池，求

〔1〕电容器两板上的自由电荷面密度f ω；

〔2〕介质分界面上的自由电荷面密度f ω。

若介质是漏电的，电导率分别为1σ和2σ，当电流达到恒定时，上述两个结果如何？

5. 电位函数在理想导体边界上有两种表述形式：〔1〕（常数）0

φφ=；〔2〕

s n

ρφε=∂∂-。指出这两个边界条件所对应的物理模型和导体所处的状态。 6. 一长为l 的圆筒形电容器，内外半径分别为a 和b ，两导体之间充满了介电常数为ε的介质。

〔1〕当电容器带电荷量Q 时，忽略边缘效应，求电容器内电场的分布； 〔2〕求电容器的电容；

〔3〕假设将电容器接到电压为V 电源上，并且电容器内介质被部分的拉出电容器，忽略边缘效应，求介质受到的作用力的大小和方向。

7. 比较恒定电流的电场与静电场的异同点，证明当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场力线的曲折满足

1

212tan tan σσθθ=，其中1σ和2σ分别为两种介质的电导率。

8. 面偶极层为带等量正负面电荷密度σ±而靠得很近的两个面所形成面偶极层，定义为：l P σσ0lim →∞→=l 。证明下述结果：〔1〕在面电荷两侧，电位法向微商有跃变，而电位是连续的。〔2〕在面偶极层两侧，电位有跃变P ⋅=

-n ˆ0

121εφφ。而电位法向微商是连续的。 9. 证明在试用A 表示一个沿z 方向的均匀恒定磁场B 0，写出A 的两种不同表示式，证明二者之差为无旋矢量场。

10. 证明两载有恒定电流的闭合线圈之间的相互作用力的大小相等，方向相反〔但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律〕。

11. 已知某个磁场的磁矢势2

0B e ˆρφ＝A ，其中B 0是常数。证明该磁场是均匀的。

12. 在什么样的情况下，可以用磁标位描述磁场，磁标位满足什么样的方程和边界条件。

13. 电阻、电容和电感是电路理论中基本元件，它们反应的是什么特性参数，表达了导电介质和导体系统的什么性质。

14. 总结静电场、恒定电流电场和恒定电流磁场的基本性质，分析它们性质的异同点。思考为什么静态电磁场〔包括静电场、恒定电流电场和恒定电流磁场〕满足同样类型的数学物理方程。

思考与练习四

1. 设有无穷长的线电流I 沿z 轴流动，在Z<0的空间内充满磁导率为μ的均匀介质，Z>0的区域为真空，试用唯一性定理求磁感应强度B ，然后求出磁化电流分布。

2. 总结分离变量方法的基本步骤，讨论分离变量方法应用的前提，分析分离变量方法的基本思想，概括分离变量方法的实质，归纳常用的三个坐标系中分离变量方法的基本方程。

3. 在均匀外电场中置入半径为a 的导体球，用分离变量法求导体球上电势0Φ和导体球带总电荷Q 两种情况下的电位函数〔设未置入导体球前坐标原点的电位为0ϕ〕。

4. 在很大的电解槽中充满电导率为2σ的液体，使其中流有均匀的电流0f J ，今在液体中置入一个电导率为1σ的小球，求稳恒时电流分布和面电荷分布，讨论21σσ>>与12σσ>>两种情况的电流分布的特点。

5. 在接地的导体平面上有一半径为a 的半球凸部〔如图〕，半球的球心在导体平面上，点电荷Q 位于系统的对称轴上，并与平面相距为)(a b b >，试用镜象法求空间电位。

V 0

＝0

第6题图 第7题图

6. 如图所示，求解两同轴圆锥面之间区域内电场分布。已知外圆锥面的电位为零，内圆锥面的电位为V 0。在两圆锥的顶点绝缘。

7. 一块极化介质的极化矢量为()r p '，根据电偶极子静电位的公式，极化介质所产生的电位为()V d r

V '⋅'=⎰3041

r r p πεϕ，另外，根据极化电荷公式()r P '⋅∇'-=P ρ与P ⋅=n

ˆp σ，极化介质所产生的电势又可表为

()()⎰⎰'⋅'+''⋅∇'-=s V r

d V d r 0044πεπεϕS r P r P 证明以上两式是等同的。

8. 简述Green 函数方法的基本思想，证明静电场的电位可以表示为：

()()()()

()s d n ,g n ,g dV ,g s v '⎥⎦

⎤⎢⎣⎡'∂'∂-'∂∂'+''=⎰⎰⎰r r r r r r r r φφερφ0 上述公式中()r r ',g 为Green 函数。分析上式右边三项来自何种物理量的贡献。如何理解这三种物理量对静电场的贡献是一致的。

9. 简述镜象法的基本原理，归纳镜象法的基本原则，思虑镜象法的应用

条件。用镜象法求接地导体圆柱壳(半径为R )内线电荷源在圆柱内部空间的电位。设线电荷密度为f ρ,位于圆柱空间内()R a a <。

10.接地的空心导体的内外半径为1R 和2R ，在球内离球心为)(1R a a <处

置一点电荷Q ，用镜象法求电势，导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是在外表？

12. 一无穷大接地导体平面外有一电偶极矩P ，P 到导体平面的距离为a ，与导体平面法线方向的夹角为θ，如图所示。求电偶极矩P 所受到的作用力。

13. 有一个内外半径为1R 和2R 的空心球，位于均匀外磁场0H 内，球的磁

导率为μ，求空腔内的场B ，讨论0μμ>>时的磁屏蔽作用。

14. 将解析函数的性质与静电场性质进行比较，分析解析函数表示静电场的可能性。应用解析函数方法求无穷长导体条横截面积内电位的分布。已知导体条的电位为V 0。

x

思考与练习五

1. 若把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋〔纵场〕和无散〔横场〕两部分，导出E 和B 的这两部分在真空中所满足的方程式，并证明电场的无旋部分对应于库仑场。

2. 利用Maxwell 方程组导出线性均匀各向同性介质中电磁波方程，求出电磁波在介质中传播的速度表达式。简述所得结果与经典物理学之间的矛盾。

3. 从Coulomb 规X 导出Lorentz 规X 的变换关系，并且证明它们之间的变换关系满足规X 变换不变性。

4. 试分析产生势函数[]φ,A 非唯一性的原因，何谓势函数[]φ,A 的规X 和规X 变换。为什么在规X 变换下电磁场和方程保持不变性。

5. 设真空中矢势()t ,r A 可用复数傅里叶展开为

()()()[]

∑⋅-+⋅=k *k k j t j t t ,r k a r k a r A )ex

p ()ex p ( 其中*

k a 是的复共轭。

〔1〕证明展开系数k a 满足谐振子方程02222=+)t (c k dt

)t (d k k a a 〔2〕当选取规X 0=⋅∇A ，0=ϕ时，证明0=⋅k a k

〔3〕 把E 和B 用k a 和表*k a 示出来。

6. 推迟势是D ’Alembert 方程解的一部分，导出D ’Alembert 方程的全部解，说明舍弃另外一部分的原因。分析并理解推迟势的物理意义，

7. 在静态电磁场中，电场和磁场的能量可以表示为

()()⎰⎰⎰=V e dV W r r ρφ21, ()()dV W V

m r J r A ⋅=⎰⎰⎰21 即静态电磁场的能量由电荷和电流与势函数确定，而时变电磁场的能量则不能由电荷和电流与势函数确定，分析产生这一差别的原因。

8. 说明Poynting 矢量()t ,r S 的物理意义。以同轴传输线为例，分析并证明电磁场的能量是通过场传输的。

9. 由于初始条件描述困难，一般时变电磁场波动方程很难直接求解。我们通过Fourier 变换，将一般时变电磁场问题转变为时谐电磁场问题的求解。然而实际应用中，电磁场的初始状态总是存在的，请思考如何处理初始条件与其影响。

10. 从电磁场与介质相互作用的机理，分析为什么不同频率的谐变电磁场中介质的电磁特性参数()()ωμωε、有不同的数值。

11. 证明平面电磁波

()()()()r E k r H r k E r E ⨯=⋅=k

j με，－exp 0

中波矢量k 的方向与能流密度矢量方向，()()r H r E ，满足谐变波动方程 ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+∇=+∇0

02222r H r H r E r E k k 12. 何谓电磁波的极化。证明任意线极化平面波可分解为两个振幅相等、旋转相反的圆极化平面波的叠加。

13. 有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿z 轴传播，一个波沿x 轴方向偏振，另一个沿y 方向偏振，但相位比前者超前2

π，求合成波的偏振。 14. 在均匀无源的空间区域内，如果已知谐变电磁场中的矢量()r A ,证明其电磁场强度与()r A 的关系是：

()()0

02εωμj k A A r E ⋅∇∇+= 其中002εμω＝k 。

思考与练习六

1. 简述天线辐射电磁波的机理，分析影响天线辐射能力的主要因素， 说明这些因素是如何影响天线对电磁波的辐射的。

2. 比较和总结电偶极子和磁偶极子天线的辐射特性，比较同样长度的导线制作成电偶极子和磁偶极子天线对同一频率电磁波的辐射能力，分析并说明为什

么的电偶极子比磁偶极子天线辐射能力强。

3. 理论和实验都证明特性对电磁波的辐射具有方向性，在天线的特性参数中那些是描述天线辐射电磁波的方向特性的。说明产生天线辐射电磁波的方向特性的原因。

4. 求相距为一个波长的两电偶极子天线在自由空间辐射的电磁场的分布。已知两电偶极子天线上的电流强度和初相位完全相同。从该例中，你能够得到同类型多元天线辐射的什么特性。

5. 设有一球对称分布的电荷，沿径向以频率ω作简谐振动，求辐射场，并对结果给以物理解释。

6. 设有电偶极子天线和磁偶极子天线，它们在空间辐射电磁波能流密度相同。请问用这两个天线如何实现圆极化电磁波的辐射。

7. 为测试天线的性能，将天线放置在如图所示的地表面上〔可视为接地的理想导体平面〕，请问此时测量的结果与真空中电偶极子天线的辐射特性有何不同？在测试过程中，由于不小心，将垂直地表面的天线倒放在地面上，结果导致发射机毁坏，并请解释导致发射机毁坏的原因。

第7题图 第10题图 8. 时变电磁场的镜象法与静态电磁场镜象法在形式上完全相同，分析它们具有相同形式的原因。归纳时变电磁场镜象法的基本结果。

9. 何谓天线的阻抗，天线阻抗与那些因素有关。当天线用作发射时，如果天线的阻抗与发射机的内阻抗不匹配，严重时将导致什么结果，为什么？

10. 应用等效原理，求导体平面上如图所示的圆环缝隙在上半径空间的辐射场。圆环缝隙的内外半径分别为a 和b 。

11. 利用相控阵天线可以得到很窄的电磁波辐射波束，简述相控阵天线的基本原理，导出在天线阵长度λ>>L (波长)时，相控阵天线波束宽度的近似表达式。将相控阵天线与光栅衍射特性进行比较，讨论两者之间的相同点。

12. 简述雷达的基本工作原理，画出雷达原理框图，说明雷达各主要组成部分的作用和功能。

思考与练习7

1．什么是介质的波阻抗，它是由介质中的电磁波确定，还是由介质本身确定，为什么？电磁波在波阻抗不匹配的界面上要产生反射，而在波阻抗匹配的界面不产生反射，将它与电路理论中的阻抗匹配相比较，体会波阻抗的含义。

2. 等效阻抗的意义是什么？设Z ﹥0为介电常数2ε的介质空间，在此介

质前为一介质薄片，厚度为D ，介电常数为1ε。平面波自自由空间垂直入射到介质薄片，如图所示。求证当201εεε=， 4

1λ=D 时〔1λ为电磁波在介质薄片中的波长〕，电磁波无反射而全部透射。

Z

3. 平面电磁波以︒=45θ从真空入射到2=r ε的介质，电场强度垂直于入射面，求反射系数和折射系数。

4. 何谓全反射现象。有一可见平面光波由水入射到空气，入射角为︒60，证明这时将发生全反射，并求折射波沿表面传播的相速度和透入空气的深度。设光波在空气中的波长为cm 501028.6-⨯=λ，水的折射率为33.1=n 。

5. 证明在导电介质体内不存在自由电荷分布。

6. 何谓复介电常数、复波数，其实部和虚部的物理意义是什么。

7. 在设计对潜艇通信时，必须考虑海水是一种良导体。为了使通信距离足够远，请就下面两个问题给出你的设计方案。①有两种不同频率ω1和ω2的发射机和接受机，且ω1＞ω2，请问选择那种频率的通信设备？为什么？②有两种

不同接受特性的天线可供选择，其中天线1对电场敏感，天线2对磁场敏感，选择那种天线作为通信的接受天线？为什么？

8. 平面电磁波由真空倾斜入射到导电介质表面上，入射角为1θ，求导电介质中电磁波的相速度和衰减长度，若导电介质为金属，结果如何？

9. 平面电磁波垂直射到金属表面上，试证明透入金属内部的电磁波能量全部变为焦耳热。

10. 导出电磁波传播的相速度和群速度，它们各代表什么物理意义。考虑两列振幅相同、偏振方向相同、频率分别为ωωd +和ωωd -的线偏振平面波，它们都沿z 轴方向传播。

(1) 求合成波，证明波的振幅不是常数，而是一个波；

(2) 求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。

11. 频率为ω的电磁波在各向异性介质中传播时，若E ，D ，B ，H 仍按()[]t j ω-⋅r k －ex p 变化，但D 不再与E 平行, 证明

(1) 0=⋅=⋅=⋅=⋅E B D B D k B k ，但一般0≠⋅E k 。 (2) ()[]k E k E D ⋅-=221k μ

ω。 (3) 能流S 与波矢k 一般不在同一方向上。

12. 总结和归纳波动的基本现象的基本描述量和基本的特征。

思考与练习8

1. 分析不同频率电磁波传播的特点，总结不同频段电磁波应用的主要领域，说明这些电磁波在这些领域应用的基本原理。

2.简述为什么双导线不能用于电视信号的传输。

3. 为了实现电磁波沿导波系统的传输，简述导波系统须满足的基本要求，分析这些要求是电磁波的那些特性所导致的。

4. 何谓截止频率概念，TEM 模式的传输系统是否存在截止频率。如果TEM 模式传输系统不存在截止频率，理论上可以传输如何频率的电磁波，实际上是否可行。分析所得结果的原因。

5. 无限长的矩形波导管，在0=z 处被一块垂直地插入的理想导体平板完全封闭，求在-∞=z 到0=z 这段管内可能存在的波模。

6. 电磁波)()()(t z k j z e y ,x t ,z ,y ,x ω-=－E E 在波导管中沿z 轴传播，试使用H E 0ωμj -=⨯∇与E H 0ωεj =⨯∇证明电磁场所有分量都可用)(y ,x E z 与)(y ,x H z 这两个分量表示。

7. 写出矩形波导管内磁场H 满足的方程与边界条件。

8. 论证矩形波导管内不存在0m TM 或n TM 0波。

9. 频率为Hz 91030⨯的波，在cm cm 4.07.0⨯的矩形波导管中能以什么波模传播？在cm cm 6.07.0⨯的矩形波导管中能以什么波模传播？

10.定性说明光纤或介质波导传输电磁波的原理。

11.为什么不同频率的电磁波的导波系统有如此大的差别？分析产生这些差别的物理原因。从双导线、同轴线、金属波导、介质波导的发明出发，体会这些系统设计的基本思想和原理。