(川理工)电磁场与电磁波重要例题、习题
电磁场与电磁波易考简答题归纳
1、什么是均匀平面电磁波？
答：平面波是指波阵面为平面的电磁波。均匀平面波是指波的电场→
E 和磁场→
H 只沿波的传播方向变化，而在波阵面内→
E 和→
H 的方向、振幅和相位不变的平面波。
2、电磁波有哪三种极化情况？简述其区别。
答：（1）直线极化，同相位或相差 180；2）圆极化，同频率，同振幅，相位相差 90或 270；（3）椭圆极化，振幅相位任意。
3、试写出正弦电磁场的亥姆霍兹方程（即亥姆霍兹波动方程的复数形式），并说明意义。
答：0
02222=+∇=+∇→
→→
→
H k H E k E ，式中μεω22
=k 称为正弦电磁波的波数。
意义：均匀平面电磁波在无界理想介质中传播时，电场和磁场的振幅不变，它们在时间上同相，在空间上互相垂直，并且电场、磁场、波的传播方向三者满足右手螺旋关系。电场和磁场的分量由媒质决定。
4、写出时变电磁场中麦克斯韦方程组的非限定微分形式，并简述其意义。
答：⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇→→
→
→→
→→ρεμμ
εE H t H E t E J H )4(0)3()2()1(
物理意义：A 、第一方程：时变电磁场中的安培环路定律。物理意义：磁场是由电流和时变的电场激励的。 B 、第二方程：法拉第电磁感应定律。物理意义：说明了时变的磁场激励电场的这一事实。 C 、第三方程：时变电场的磁通连续性方程。物理意义：说明了磁场是一个旋涡场。 D 、第四方程：高斯定律。物理意义：时变电磁场中的发散电场分量是由电荷激励的。
写出麦克斯韦方程组的微分形式或积分形式，并简述其意义。
答：（1）微分形式 （2） 积分形式 物理意义：同第4题。 5、写出达朗贝尔方程，即非齐次波动方程，简述其意义。 答：→→→-=∂∂-∇J
t A A μμε
2
22
，ε
ρμε
-
=∂Φ∂-Φ∇→→2
2
2t 物理意义：→
J 激励→
A ，源ρ激励Φ，时变源激励的时变电磁场在空间中以波动方式传播，是时变源的电场辐射过程。
6、写出齐次波动方程，简述其意义。
答：0
222=∂∂-∇→
→
t
H H με，0222=∂∂-∇→
→
t E E με
物理意义：时变电磁场在无源空间中是以波动方式运动，故称时变电磁场为电磁波，且电磁波的传播速度为：
με
υ1=
p
7、简述坡印廷定理，写出其数学表达式及其物理意义。
答：（1）数学表达式：①积分形式：⎰⎰⎰
++∂∂
=⋅-→
→τττστεμd E d E H t S d S S
222)2
1
21(，其中，→
→→⨯=H E S ，称为坡印廷矢量。 因为⎰=ττεd E W e
22
1为体积
τ内的总电场储能，⎰=ττμd H W
m
22
1为体积
τ内的总磁场储能，⎰=τ
τσd E
P 2
为体积τ内的
总焦耳损耗功率。于是上式可以改写成：P W W t
S d H E m
e S
++∂∂=⋅⨯-⎰
→
→→)(，式中的S 为限定体积
τ的闭合面。
②微分形式：222)2
12
1(E H E t S σμε++∂∂=⋅∇-→
，其中，→
→→⨯=H E S ，称为坡印廷矢量，电场能量密度为：22
1E w e
ε=，
磁场能量密度：22
1
H w
m
μ=
。 （2）物理意义：对空间任意闭合面S 限定的体积τ
，→
S 矢量流入该体积边界面的流量等于该体积内电磁能量的增加率和焦耳损耗功率。它给出了电磁波在空间中的能量守恒和能量转换关系。
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇→→→→→→→
ρD B t B E t D J H )4(0)3()2()1( ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅⋅∂∂-=⋅⋅∂∂+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰→
→→→→
→→→→→→→→q S d D l d B S d t B l d E S d t D J l d H S S S l s l )4(0)3()2()()1(
8、写出麦克斯韦方程组的复数形式。
答：
ρ
ωω=⋅∇=⋅∇-=⨯∇+=⨯∇→→
→
→→
→→D B B j E D
j J H 0
9、写出达朗贝尔方程组的复数形式。
答：→
→→-=+∇J A A μμεω22，ε
ρμεω-=Φ+Φ∇→
→
22
10、写出复数形式的的坡印廷定理。
答：
⎰⎰⎰-+++=⋅→
→τ
ττωτd w w j d P P P S d S e m T e m S
)(2)(平均平均
其中241H w
m ‘平均
μ=为磁场能量密度的平均值，2'4
1E
w e ε=平均为电场能量密度的平均值。这里场量→
→H E 、分
别为正弦电场和磁场的幅值。
正弦电磁场的坡印廷定理说明：流进闭合面S 内的有功功率供闭合面包围的区域内媒质的各种功率损耗；而流进（或流出）的无功功率代表着电磁波与该区域功率交换的尺度。 坡印廷矢量)2
1Im()21Re(21***→
→→→→→→
⨯+⨯=⨯=H E j H E H E S
为穿过单位表面的复功率，
实部)21Re(*→
→→⨯=H E S 平均为穿过单位表面的平均功率，虚部)
2
1Im(*→→→
⨯=H E Q
平均
为穿过单位表面的无功功率。
11、工程上，通常按
ωε
σ的大小将媒质划分为哪几类？
答：当∞→ωε
σ
时，媒质被称为理想导体； 当
210>>ωε
σ
时，媒质被称为良导体； 当221010<<-ωεσ时，媒质被称为半导电介质；
当210-<<ωε
σ时，媒质被称为低损耗介质； 当0=ωε
σ时，媒质被称为理想介质。
12、简述均匀平面电磁波在理想介质中的传播特性。
答：（1）电场、波的传播方向三者满足右手螺旋关系，电场与磁场处处同相，在传播过程中，波的振幅不变，电场与磁场的振幅之比取决于媒质特性，空间中电场能量密度等于磁场能量密度。
（2）相速度为：με
υ1=p
，频率πω2=f ，
波长：
)(221μεωπ
με
ωπ
με
λ==
=
=
=k k
f T v p 其中， 电场与磁场的振幅比，即本征阻抗：ε
μη=
=y x
H E ，电场能量密度：221
E w e ε=，磁场能量密度：22H w m μ=
二者满足关系：
e
m w E H H w ===
=
2
22
222εμεμμ
14、试写出麦克斯韦位移电流假说的定义式，并简述其物理意义。
答：按照麦克斯韦提出的位移电流假说，电位移矢量对时间的变化率可视为一种广义的电流密度，称为位移电流密度，即
t
D J d ∂∂=
→
→
。物理意义：位移电流一样可以激励磁场，即变化的电场可以激励磁场。
15、简述什么是色散现象？什么是趋肤效应？
答：在导电媒质中波的传播速度随频率变化，这种现象称为色散现象。导电媒质中电磁波只存在于表面，这种现象称为趋肤效应，工程上常用穿透深度δ（m ）表示趋肤程度，
16.相速度和群速度有什么区别和联系？
答：区别：相速度是波阵面移动的速度，它不代表电磁波能量的传播速度，也不代表信号的传播速度。而群速度才是电磁波信号和电磁波能量的传播速度。 联系：在色散媒质中，二者关系为：
ω
υυωυd d p p
g -
=
11，其中，p
ν为相速度，g
ν为群速度。在非色散媒质中，相速度不随频率
变化，群速度等于相速度。
17、写出真空中安培环路定律的数学表达式，说明它揭示的物理意义。
答：∑⎰=⋅→
→I
l d B C
μ，它表明在真空中，磁感应强度沿任意回路的环量等于真空磁导率乘以与该回路相交链的电流的代
数和。
18、写出电荷守恒定律的数学表达式，说明它揭示的物理意义。
dV t S d J V S ⎰⎰∂∂-=⋅ρ
答：电荷守恒定律表明任一封闭系统的电荷总量不变。也就是说，任意一个体积内的电荷增量必定等于流入这个体积的电荷量。
19、简述分界面上的边界条件
答：（1）法向分量的边界条件
A 、→
D 的边界条件S D D n ρ=-⨯→
→
→)(21，若分界面上0=S ρ，则0)(21=-⨯→
→→D D n
B 、→
B 的边界条件0)(21=-⨯→
→
→B B n
（2）切向分量的边界条件 A 、→
E 的边界条件0)
(21=-⨯→
→
→E E n
B 、→H 的边界条件→
→
→→=-⨯S
J H H n )(21，若分界面上0=→
S
J ，则0)(21=-⨯→
→→H H n
（3）理想导体（
∞=σ）表面的边界条件
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧=⇔=⋅=⇔=⋅=⇔=⨯=⇔=⨯→→→
→→
→→→
→→→→00)4(0
0)3(00)2()1(ερερS n S
n t S t S E E n B B n E E n J H J H n ，
式中→
n
是导体表面法线方向的单位矢量。上述边界条件说明：在理想导体与空气的分界面上，如果导体表面上分布有电荷，则
在导体表面上有电场的法向分量，则由上式中的④式决定，导体表面上电场的切向分量总为零；导体表面上磁场的法向分量总
为零，如果导体表面上分布有电流，则在导体表面上有磁场的切向分量，则由上式中的（1）决定。
重要习题例题归纳
第二章 静电场和恒定电场
一、例题：
1、例2.2.4（38
P ）半径为0r 的无限长导体柱面，单位长度上均匀分布的电荷密度为l ρ。试计算空间中各点的电场强度。
解：作一与导体柱面同轴、半径为r 、长为l 的闭合面S ，应用高斯定律计算电场强度的通量。
当0r r <时，因为导体内无电荷，因此有0=⋅⎰→
→S
S d E ，故有0=→
E ，导体内无电场。
当0r r
>时，因为电场只在r 方向有分量，电场在两个底面无通量，因此
2ερπl rl E dS E dS a a E S d E l r
S r r S r r r r S =⋅=⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰→→→→ 则有：r E l r 02περ= 2、例2.2.6（39
P ）圆柱坐标系中，在m r 2=与m r 4=之间的体积内均匀分布有电荷，其电荷密度为3/-⋅m C ρ。利用高
斯定律求各区域的电场强度。
解：因为电荷分布具有轴对称性，因此电场分布也关于z 轴对称，即电场强度在半径为r 的同轴圆柱面上，其值相等，方向在r 方向上。现作一半径为r ，长度为L 的同轴圆柱面。
当m r 20≤≤时，有02=⋅=⋅⎰→
→rL E S d E r S
π，即0=r E ；
当m r m
42≤≤时，有)4(1220-=⋅=⋅⎰→
→r L rL E S d E r S
πρεπ，因此，)4(220-=r r
E r ερ；
当m r 4≥时，有L rL E S d E r S
πρεπ0
122=⋅=⋅⎰→
→，即r E r 06ερ=。
3、例2.3.1（41P ）真空中，电荷按体密度)1(220a
r -=ρρ分布在半径为a 的球形区域内，其中0
ρ为常数。试计算球内、
外的电场强度和电位函数。
解：（1）求场强：
当a r >时，由高斯定律得
2224επQ E r S d E S
=
=⋅⎰
→
→
而Q 为球面S 包围的总电荷，即球形区域内的总电荷。
300242
00
2
15
8
)(44)(a dr a r r dr r r Q a
a
πρπρπρ=-==⎰⎰
因此
2
0302152r a a E r
ερ→
→
=
当a r <时
)
53(44)(1
42530002
012
1a r r dr r r E r S d E r
S -===⋅⎰⎰→
→
επρπρεπ
因此
)33(2
3001a r r a E r
-=→
→ερ （2）球电位；
当a r >时，取无穷远的电位为零，得球外的电位分布为
r
a r d E r r
03022152)(ερ=
⋅=Φ⎰
∞→
→
当a r =时，即球面上的电位为
20152ερa S =
Φ 当a r <时
)1032(2)(2
4220011a r r a r d E r a r
S +-=
⋅+Φ=Φ⎰→
→
ερ 4、例2.4.1（48P ）圆心在原点，半径为R 的介质球，其极化强度)0(≥=→
→
m r a P m r 。试求此介质球束缚体电荷密度和球表面束缚面电荷密度。
解：在球坐标系中，因为极化强度中与有关，具有球对称性，故
当R r <时，122
)2()(1-→
+-=∂∂-
=⋅-∇=m m
p
r m r r r
r P ρ
当R r =时，m m r r pS R R a a P n =⋅=⋅=→
→
→
→ρ。
5、例2.4.2（49P ）有一介质同轴传输线，内导体半径为cm r 11=，外导体半径cm r 8.13=。两导体间充满两层均匀介质，
它们分界面的半径为cm r 5.12
=，已知内、外两层介质的介电常数为02017,4εεεε==；击穿电场强度分别为
./k 100,/k 12021cm V E cm V E m m ==问：
（1）内、外导体间的电压U 逐渐升高时，哪层介质被先击穿？（2）此传输线能耐的最高电压是多少伏？
解：当内、外导体上加上电压U ，则内外导体上将分布l ρ+和l ρ-的电荷密度。因为电场分布具有轴对称性，在与传输线同轴的半径为r 的柱面上，场的大小相等，方向在→
r a 方向。选同轴的柱面作为高斯面，根据高斯定律可得
当1r r
<时，000==r r D E ；
当21r r r <<时，r D l r πρ21=或r
r E l l r
01182περπερ==；
当32r r r <<时，r D l r
πρ22=或
r
r E l l r 022142περπερ== 。 可以看出，两层介质中电场都在内表面上最强，且在分界面上不连续，这是在分界面上存在束缚电荷的缘故。在介质1中，1
r r =处场强最大为
1
011182r r E l
l r m περπερ=
=
，
在介质2中，2r r =处场强最大为
2
0222142r r E l l r m περπερ=
=
因为12
r r >，显然r r E E 12>，在两种介质中最大场强的差值为：
)147(141481
220201021-=-=
-r r r r r E E l l l r m r m περπερπερ
代入1r 和2r 的值得
r m r m r m r m E r r E E E 21
2221625.1)147(
=-=-
当介质2内表面上达到cm V /k 100的电场强度时，介质1内表面已达到cm V /k 5.162的电场强度，因此，介质1在介质2被击穿前早已被击穿。而当介质1内表面上达到击穿电场强度时
cm V r r E l
l r m /k 120821
0111===
περπερ
即
10
12042r l
⨯=περ 因此，介质1和介质2内的电场分布为
cm V r
r r r E l l r /k 120821
011===
περπερ
cm V r
r r r E l l r /k 712041421022⨯===
περπερ
故，传输线上的最大电压不能超过
V r r r r r r dr
r r dr r r dr E dr E U r r r r r r r r r r m k 16.61ln 7480
ln
12074801202
311211
121322
1
3
2
2
1
=+=+=+=⎰⎰
⎰⎰
6、例2.7.1（59P ）半径为R 的导体球上带电量为Q ，试计算空间中的电场分布、电位分布和静电能量。 解：当R r <时，对于导体球，球内无电场，球面为等位面。
当R r ≥时，利用高斯定律，电场强度为
2
04r Q E r πε=
电位分布为
r
Q ⋅=
Φ0
41πε 球面上的电位为
R
Q R ⋅=
Φ0
41πε 此导电球储存的静电能为
R
Q Q W R e 208121⋅
=Φ=πε 而空间任一点的能量密度为
J r
Q E w e 4
0222
03221επε== 静电场储存的静电能为
J R
Q dr w r W
R R
e e
022
84πεπ=
=⎰∞
二、习题
2.20 （本题与例2.
3.1同类型）半径为a 的带点球，其体电荷密度为)0(0≥=n r n ρρ，0ρ为常数，求球内外各处的电位和
电场强度。
解：（1）求场强，利用高斯定律 当a r <时，
1214επQ E r S d E S
=
=⋅⎰
→
→
而Q 为球面S 包围的总电荷，即球形区域内的总电荷。
30)3(4επρτρτ+=
=+⎰n r d Q n
因此， 0
1
01)3(ερ+=+→
→
n r a E n r
当a r
>时，
3020
2
00
22
2
)3(4sin 1
1
4επρϕθρθετρεππ
π
τ+=
==
=⋅+→
→⎰
⎰
⎰⎰⎰n a d r r d dr d E r
S d E n n a S
所以，
2
03
02)3(r n a a E n r
ερ+=+→
→
（2）求电位，取无穷远处的电位为零，则 当a r ≤时
)2
()3(22
200
211+++∞
∞++-+=+==Φ⎰
⎰⎰n n n a
a r
r
a n r a n dr E dr E Edr ερ
当a r >时
r
n a dr E n r
03022)3(ερ+=
=Φ+∞⎰
2.23 如图所示，内导体球半径为
a ，外导体球壳内半径为
b ，外半径为
c ，如果内导体球带电量为Q ，外导体球壳不带电。
求：（1）两导体上的电荷分布；（2）导体内外各处的电场强度；（3）导体内外各处的电位分布。 解：（1）内导体球带电量为Q ，因为静电感应，所以外导体球壳内表面带电量为Q -，外表面带电量为Q +。 内导体球的电荷体密度为
3
31433
4a Q a Q
Q ππτρ=
==；外导体球壳的内表面电荷面密度
为：2
24b
Q πρ-=；外导体球壳外表面电荷面密度为：2
34c Q πρ=
。 （2）求场强，利用高斯定律， 当a r <时，球内无电场，即01=→
E ；
当b r a <<时，
2
020
22
2
44r
Q a E Q
E r
S d E r
S
πεεπ→
→→
→
=⇒=
=⋅⎰
当c r b <<时，无电场，即03=→
E ；
当c r >时，
2
040
42444r
Q a E Q
E r S d E r
S
πεεπ→
→
→
→=⇒=
=⋅⎰
（3）求电位，取无穷远处得电位为零， 当a r <时，
)111(4043211c
b a Q
dr E dr E dr E dr E c
c b
b a
a r
+-=
+++=⎰⎰⎰⎰∞
πεϕ 当b r a <<时，
)111(404322c
b r Q
dr E dr E dr E c
c b
b r
+-=
++=⎰⎰⎰∞
πεϕ 当c r b <<时，
c
Q dr E dr E c
c r
04334πεϕ=
+=⎰⎰∞
当c r >时，
r
Q dr E r
0444πεϕ=
=⎰∞
2.30 一圆心在原点，半径为
a 的介质球，其极化强度)0(≥=→
→
n ar a P n r 。试求
（1）此介质球束缚体电荷密度和球表面束缚面电荷密度。 （2）求球内外各点的电位。 解：（1）介质球内束缚电荷体密度为：
122
)2()(1-→
+-=∂∂-
=⋅-∇=m n
p ar n ar r r
r P ρ 束缚电荷面密度为：
1+→
→
→
→=⋅⋅=⋅=n n r r pS a a a a a P n ρ
（2）先求介质球内自由电荷的体密度：
题2.23图
a
Q
c
b
1
00)2()(-→
→→→
→→→→⋅-+=
⋅∇=⇒⋅∇+⋅∇=⋅∇+⋅∇=+⋅∇=⋅∇=n r
n a D P D P E P E D εεερε
εεερ 然后求球内外各点的场强：
当a r <时，因为→
→
→
+=P E D 10ε且→
→
=1E D ε，所以，0
1εε-=→→
n
r
ar a E
当a r ≥时，由高斯定律有：
2224επQ E r S d E S
=
=⋅⎰
→
→
而
30
20
2104sin )2(εεπεϕθθεεετρππ
τ
-=⋅⋅-+==+-⎰
⎰⎰
⎰n a n a d drd r r n Q d Q ，所以：2
0032)(r a a E n r εεεε-=+→→
再求球内外各点的电位：
当a r <时，
)
())(1()(002011211εεεεεεϕ-+
-+-=
+=+++∞
⎰⎰n n n a
a r
a n r a a dr E dr E
当a r ≥时，
r
a dr E n r
⋅-=
=+∞
⎰)(003
21εεεεϕ 2.31（略） 第四章 恒定磁场
一、例题
1、例4.2.1（105P ）计算真空中半径为R 的长直圆柱形载流铜导线的磁场。 解：由真空中安培环路定律， 在R r <处，有
2
022
022R Ir B I R r rB l d B C
πμππμπϕϕ=⇒==⋅⎰→
→
在R r >处，有
r
I B I rB l d B C
πμμπϕϕ2200
=⇒==⋅⎰→
→
2、例4.2.2（106P ）在无限长柱形区域m r m 31<<中，沿纵向流动的电流，其电流密度为r z e a J 25-→
→
=，其他地方电流密
度0=→
J 。求各区域中的磁感应强度。
解：利用安培环路定律，有：
I rB l d B C
02μπϕ==⋅⎰→
→（其中I 为回路C 围成的面积上穿过的电流强度） 当m r 1<时，0=I ，则0=→
B
当m r m 31<<时，
A e e r S d J I r r 2220
1
215)21(5--→→
++-=⋅=⎰
⎰
πππ
， T
e r
e r r I r B r 20200415)12(452--++-==μμπμϕ 当m r 3≥时，
A e e S d J I 2620
31
2
15235--→
→
+-
=⋅=⎰
⎰
πππ
，T e r e r I r B 206004154352--+-==
μμπμϕ 3、例4.5.1（P 117）同轴线的内导体半径为a ，外导体的半径为b ，外导体的厚度忽略不计。并设导体的磁导率是0
μ，内、外导体间充满磁导率为
μ的均匀介质，内、外导体分别通以大小都等于I 但方向相反的电流，求各处的→
H 和→
B 。
解：由安培环路定律：⎰
⎰
→
→→
→
⋅=⋅S
l
S d J l d H 可知
当a r ≤≤0时，
52，即
r a I H 2
2πϕ=
和
r a
I B 202πμϕ=。 当b r a ≤≤时，
I
r H l d H l
==⋅⎰→
→πϕ2，即
r I H πϕ2=
和r
I B πμϕ2=
当b r >时，
,
02==⋅⎰→
→
r H l d H l πϕ由对称性可知，.0==→
→
H B
4、例4.5.2（P 117）无限长铁质圆管中通过电流I ，管的内、外半径分别为a 和b 。已知铁的磁导率为μ，求管壁中和管内、
外中的→
B ，并计算铁中的磁化强度→
M 和磁化电流分布。
解：（1）求→
B ： 当b r a ≤≤时，
)
()(22222a r a b I r H l d H l -⋅-==⋅⎰→→πππϕ
则有：
r I a b a r a H πϕ
22
222⋅--=→
→和r
I a b a r a H B πμμϕ22222⋅--==→→→
当∞≤≤r b 时，
I
r H l d H l
==⋅⎰→
→
πϕ2
则有：
r I a H πϕ
2→
→=和r
I a H B πμμϕ20
0→→→
== 当a r ≤≤0时，,02==⋅⎰
→
→
r H l d H l
πϕ由对称性可知，.0==→
→
H B
（2）求铁中的磁化强度：
在b r a ≤≤的管壁空间内有磁化强度为 r
I a b a r a H B
a M r πμμμϕϕ2)1(
)(
22220
⋅--⋅-=-=→
→→
→
→
故管壁内的磁化体电流为
)
()1(
220a b I
a M J z m --=⨯∇=→
→
→
πμμ 在分界面a r =时b r =处的磁化面电流为
在a r =处：0)(=-⨯=→
→→r ms
a M J
在b r =处：
b
I a a M J z r ms πμμ2)1(
0--=⨯=→
→
→
→
例4.6.1（P 120）如图4.6.3所示，铁芯环的内半径为a ，轴半径0r ，环的横截面半径为矩形，且尺寸为h d ⨯。
已知h a
>>和铁心的磁导率0μμ>>，磁环上绕有N 匝线圈，通以电流为I
。试计算环中的→
B 、→
H 和Φ。
解：在忽略环外漏磁的条件下，环内→
H 的环积分为
002,22r NI H B r NI H NI r H l d H l
πμμππϕϕϕϕ===
⇒==⋅⎰→
→
铁心环内的磁通为
S r NI dh r NI ⋅==
Φ0
022πμπμ
当磁环上开一很小切口，即在磁路上有一个小空气隙时，根据磁通连续性方程，我们近似地认为磁感应线穿过空气隙时仍均匀分布在截面上。由磁场边界条件可知：铁心内的磁感应强度与空气中的磁感应强度相等，即→
→
=0B B ,当两个区域中的磁场强度
不同，于是
NI t H t r H l d H l
=+-=⋅⎰→
→00)2(ϕϕπ
这里t
为空气隙的宽度，且0
2r t π<<，在磁环内，
μ
→
→
=
B H ，在空气隙中，
0μ→
→
=
B H ，代入上式得
NI t B t r B =+
-0
0)2(μπμ
ϕ
ϕ
将上式中左边分子分母同乘以面积S ，则上式又可改写为
1
00002)2(-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-=Φ⇒=+-ΦS t S t r NI NI S t S t r μμπμμπ
铁心和空气隙中的磁感应强度为
1
002-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-=Φ
=μμπt t r NI S B 而磁路中ϕ
H 和0ϕH 分别为 （a ） （b ）
[]
10000)(2--+==
μμμπμμϕ
ϕt r NI B H
[]10000
)(2--+==μμμπμμϕϕt r NI B H 二、习题
4.10 一根通有电流I 的长直导线埋在不导电的均匀磁性介质中，求出→
H 、→
B 、→
M 及磁化电流分布。
解：利用安培环路定律：r
I a
H I l d H C
πϕ
2→→→→=⇒=⋅⎰
所以： r
I a H B πμμϕ
2→
→
→
==
r
I a H H H B
M 00002)(πμμμμμμϕ
-==-=→→→
→
→→
所以磁化电流密度：
00
1=∂∂∂∂∂∂=
⨯∇=→
→
→
→→ϕ
ϕϕM z r a a r a r M J z
r
m
r
I a n M J z
m 002)(πμμμ--=⨯=→
→
→
→
4.11（略）
4.17 本题与例4.6.1解法完全相同，故省略。
第五章 时变电磁场
一、例题
1、例题5.4.1（P 140） 已知自由空间中)sin(0z t E a E y βω-=→
→
，求时变电磁场的磁场分量→H ，并说明场→E 和→
H 构成了一个
沿
z 方向传播的行波。
解：由麦克斯韦方程t
B E ∂∂-=⨯∇→
→
可得
t B E z y x a a a y
z
y x ∂∂-=∂∂∂∂∂∂→→
→
→
即 t B z t E a x ∂∂-=-→
→
)cos(0
βωβ
对时间积分可得
)sin(0
z t E a B x
βωω
β--=→
→ 这里积分常数忽略不计，于是
)sin(00z t E a H x
βωω
μβ--=→
→
由此可见，场→
E 和→
H 相互垂直，它们随时间和空间是按正弦波的方式传播的，它是一个行波。
2、例5.5.1（P 144）在两导体平板（d z z ==,0）限定的空气中传播的电磁波，已知波的电场分量为
)cos()cos(
0x k t d
z
E a E x x -=→
→ωπ式中，x k 为常数。
（1）试求波的磁场分量；（2）验证波的各场分量满足边界条件；（3）求两导体表面上的面电荷和面电流密度。 解：（1）由麦克斯韦第二方程
t
H E ∂∂-=⨯∇→
→
μ可得
)sin()cos(1000x k t d
z E k a x E a y E a t H x x y z y z x -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=∂∂→→→→
ωπμμ
于是
)
cos()cos(
)sin()cos(0000
x k t d
z
E k a dt x k t d
z
E k a H x x
y
x x
y --=-=→→
→
⎰ωπω
μωπμ
（2）由导体与空气的边界条件可知，在0=z 和d z =的导体表面上应该有电场强度的切向分量→
t E 和磁感应强度的法向分
量0=n
B 。而当0=z 和d z =时，0===t y x E E E 和0==n z B B ，可见电磁波的场分量自然满足边界条件。
（3）由导体与空气的边界条件可知，在导体的表面上有
n S E 0ερ=和→
→→⨯=H n J S
在0=z 的表面上，→
→
=z a n 。于是
)cos(000
0x k t E E x z z
S -===ωεερ
)
cos()cos()
(00000
x k t E k a x k t E k a a H
a J x x
x
x x
y z z z S -=--⨯=⨯=→
→
→
=→
→
→
ωω
μωω
μ
在d z =的表面上，→
→-=z a n 。于是
)cos(000x k t E E x d
z z
S --===ωεερ
)
cos()cos()()(0000x k t E k a x k t E k a a H
a J x x
x
x x
y
z d
z z S -=-⨯-=⨯-=→
→
→
=→
→
→
ωω
μωω
μ
二、习题
5.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场)(cos 5mT t a B z ω→
→
=，滑片的位置由
[])cos 1(35.0t x ω-=确定，轨道终端接有电阻Ω=2.0R ，试求i 。
解：磁通量为：
→
→⋅=ΦS B
)7.0(2.0cos 5x t -⨯⨯=ω
)]cos 1(35.07.0[cos t t ωω--⨯= )cos 1(cos 35.0t t ωω+=
所以，感应电动势为：
dt
d u Φ-
= 故：
)cos (cos 75.112t t dt
d dt d R R u i ωω+-=Φ-==
))(cos 21(sin 75.1mA t t ωωω+=
5.2（略）。 5.15（略）。
5.16 本题与例5.5.1解答过程完全相同，故略。 5.17（略）。
5.22 在1=r μ和50=r ε的均匀区域中，有
T e H a B m V e a E z t j m y z t j z )(0)(,/20βωβωμπ-→
→-→→==
如果波长为m 78.1=λ
，求ω和m H 。
解：由由麦克斯韦方程t
B E ∂∂-=⨯∇→
→
可得
t B E z y
x a a a z
z
y x ∂∂-=∂∂∂∂∂∂→→
→
→
即
?=⇒∂∂-=∂∂-∂∂→
→→
m z y z x H t
B x E a y E a （自己求哈）
?
278.1222==⇒====με
λπ
ωπβπμεωπλk （自己求哈） 第六章 平面电磁波
例题6.2.1 频率为100MHz 的正弦均匀平面电磁波在各向同性的均匀理想介质中沿)(z +方向传播，介质的特性参数为4=r ε，
1=r
μ。设电场只有
x 方向的分量，即x x E a E →
→=；当m z t 8
1,0==时，电场等于其振幅m V /104-，试求：
（1）该正弦电磁波的),(t z E →
和),(t z H →
；
（2）该正弦电磁波的传播速度；
（3）该正弦电磁波的平均坡印廷矢量。
解：各向同性的均匀理想介质中沿)(z +方向传播的正弦均匀平面电磁波可由标准的余弦函数来表示，即
)cos(),(φβω+-=→
→z t E t z E m
而波的电场分量是沿
x 方向的，因此，波的电场分量可写成
)cos(),(x m x z t E a t z E φβω+-=→
→
式中m V E m /104-=。
而
m rad f k /344200πεμπμεωβ=
=== 再由m z t 81,0==时，m V E E m x /10)0,8
1(4-==得
0=+-x z t φβω
故
6
8164ππβφ=⨯=
=z x 则 （1）)/)(6
34102cos(10),(84m V z t a t z E x πππ+-⨯=-→→
)/)(6
34102cos(10601),(84m A z t a E a H a t z H y x y
y y ππππη+-⨯===-→→→→ （2）波的传播速度为 s m /105.1411800⨯===
εμμεν （3）波的电场和磁场分量的复矢量可写成 )634(410ππ---→→=z j x e
a E ，)634(46010πππ---→→=z j y e a H 故波的平均坡印廷矢量为 28)634(4)634(4*/120106010)10Re(21)Re(21m W a e a e a H E S z j y z j x π
πππππ-→--→---→→→→=⨯=⨯=
习题部分；因为本章习题与上题解法基本相似，故不再赘述。
《电磁场与电磁波》习题参考答案
《电磁场与电磁波》知识点及参考答案 第1章 矢量分析 1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所 产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。 2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无旋场，由散度源所 产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。 3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是： 散度（高斯）定理：S V FdV F dS ??=?? ?和 斯托克斯定理： s C F dS F dl ???=??? 。 4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。（ √ ） 5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（ √ ） 6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（ √ ） 7、梯度的方向是等值面的切线方向。（ × ） 8、标量场梯度的旋度恒等于0。（ √ ） 9、习题, 。
第2章 电磁场的基本规律 （电场部分） 1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。 2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。 3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是： V V s D dS dV Q ρ?==? ?和 0l E dl ?=?。 4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ??=和0E ??=。 5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。 6、在两种媒质分界面的两侧，电场→ E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→ B 的法向分量 B 1n －B 2n ＝0。 7、在介电常数为 的均匀各向同性介质中，电位函数为 22 11522 x y z ?= +-,则电场强度E =5x y z xe ye e --+。 8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。 9、电荷只能在分子或原子范围内作微小位移的物质称为( D )。 A.导体 B.固体 C.液体 D.电介质 10、相同的场源条件下，真空中的电场强度是电介质中的( C )倍。 A.ε0εr B. 1/ε0εr C. εr D. 1/εr 11、导体电容的大小( C )。 A.与导体的电势有关 B.与导体所带电荷有关 C.与导体的电势无关 D.与导体间电位差有关 12、z ＞0半空间中为ε=2ε0的电介质，z ＜0半空间中为空气，在介质表面无自由电荷分布。
电磁场与电磁波习题集
电磁场与电磁波 补充习题 1 若z y x a a a A -+=23，z y x a a a B 32+-=,求： 1 B A +；2 B A ?；3 B A ?；4 A 和B 所构成平面的单位法线；5 A 和B 之间较 小的夹角；6 B 在A 上的标投影和矢投影 2 证明矢量场z y x a xy a xz a yz E ++=是无散的，也是无旋的。 3 若z y x f 23=，求f ?，求在)5,3,2(P 的f 2?。 5 假设0
《电磁场与电磁波》试题12及答案
《电磁场与电磁波》试题（12） 1． （12分）无限长同轴电缆内导体半径为R 1，外导体半径为R 2，内外导体之间的电压为U 。现固定外导体半径R 2，调整内导体半径R 1，问： （1）内外导体半径的比值R 1 /R 2为多少时内导体表面上的电场强度最小，和最小电场强度E min =？； （2）此时电缆的特性阻抗Z 0为多少？（设该同轴电缆中介质的参数为μ0和ε0）。 2． （12分）距半径为R 的导体球心d （d >R ）处有一点电荷q 。问需要在球上加多少电荷Q 才可以使作用于q 上的力为零，此时球面电位?为多少？ 3． （10分）半径为R 的薄金属圆柱壳等分为二，互相绝缘又紧密靠近，如图所示。上半圆柱壳的电位为（+U ），下半圆柱壳的电位为（-U ）。圆柱壳内充满介电常数为ε的均匀电介质，且无空间电荷分布。写出阴影区内静电场的边值问题。 题3图 题4图 4． （10分）图示装置用以测量磁性材料的特性，上下为两个几何形状对称，相对磁导率为μr1的U 形磁轭，被测样品的相对磁导率为μr2（磁轭和样品的磁导率均远大于μ0），磁化线圈的匝数为N ，电流为I ，尺寸如图所示。求： （1）样品中的磁场强度H ； （2）样品中的磁化强度M 与线圈电流I 间的关系。 5． （12分）面积为A 的平行圆形极板电容器，板间距离为d ，外加低频电压，板间介质的电导率为γ，介电常数为ε。求电源提供的复功率S 。 6． （12分）一内阻为50Ω的信号源，通过50cm 长的无损耗传输线向负载馈电，传输线上电磁波的波长为100cm ，传输线终端负载Z L =50+j100Ω，信号源的电压 t U u m S ωcos =
成都理工大学 电磁场与电磁波期末复习-完结版
1、电磁波传播是你能量传播吗？答：是 2、矢量的标积（点乘）：<物理意义>如果作用在某一物体上的力为A，当使该物体发生位移时，位移矢量为B，则A·B表示力A使物体位移所作的功。 3、矢量的矢积（叉乘）：<物理意义>当B表示作用在一物体上的力，而A表示力臂矢量，则矢积表示作用于物体的力矩。 4、方向导数： 5、标量场的梯度：<物理意义>标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数; 梯度的大小为该点标量函数的最大变化率，即该点最大方向导数; 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，Ф它指向函数的增加方向. 6、通量的物理意义：借用矢量线的概念，通量可以认为是矢量穿过曲面Ｓ的矢量线总数，矢量线也叫通量线，穿出的为正，穿入的为负。矢量场也可称为通量面密度矢量。 7、散度的物理意义：矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；散度代表矢量场的通量源的分布特性。 8、旋度的物理意义：矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。在矢量场中，若,称之为旋度场(或涡旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源)；[讲课时用的时间比较长，可能会会考。] 9、
10、电流连续性方程： 11、B（磁感应强度）和H（磁场强度）的区别： 12、电位移矢量（D）和电场强度（E）的区别： 13、 14、例题： 15、例题（传 导电流和位移 电流的和为0）：
16、麦克斯韦方程组积分 形式： 17、麦克斯韦方程组微分形式： 18、确定场的三个条件：旋度、散度、边界。
19、静态场包括：静电场、恒定磁场、恒定电场。 20、 21、 22、由21与20推出： 23、（磁场属于有旋场，静磁场也是有旋场，公式重点。） 24、有源是散场，无源是无散场。 25、镜像法（大题）： 26、（这是重点啊同志们！时变电场！）
《电磁场与电磁波》习题参考答案
《电磁场与电磁波》知识点及参考答案 第1章 矢量分析 1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F ∇⋅≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所 产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。 2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ∇⨯≡，则矢量场是无旋场，由散度源所 产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。 3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是： 散度（高斯）定理：S V FdV F dS ∇⋅=⋅⎰ ⎰和 斯托克斯定理： s C F dS F dl ∇⨯⋅=⋅⎰⎰ 。 4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。（ √ ） 5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（ √ ） 6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（ √ ） 7、梯度的方向是等值面的切线方向。（ × ） 8、标量场梯度的旋度恒等于0。（ √ ） 9、习题1.12, 1.16。
第2章 电磁场的基本规律 （电场部分） 1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。 2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。 3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是： V V s D d S d V Q ρ⋅==⎰ ⎰和 0l E dl ⋅=⎰。 4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ∇⋅=和0E ∇⨯=。 5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。 6、在两种媒质分界面的两侧，电场→ E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→ B 的法向分量 B 1n －B 2n ＝0。 7、在介电常数为e 的均匀各向同性介质中，电位函数为 22 11522 x y z ϕ= +-,则电场强度E =5x y z xe ye e --+。 8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。 9、电荷只能在分子或原子范围内作微小位移的物质称为( D )。 A.导体 B.固体 C.液体 D. 10、相同的场源条件下，真空中的电场强度是电介质中的( C )倍。 A.ε0εr B. 1/ε0εr C. εr D. 1/εr 11、导体电容的大小( C ) A.与导体的电势有关 B.与导体所带电荷有关 C.与导体的电势无关 D.与导体间电位差有关 12、z ＞0半空间中为ε=2ε0的电介质，z ＜0半空间中为空气，在介质表面无自由电荷分布。
《电磁场与电磁波》试题8及答案
《电磁场与电磁波》试题（8） 一、填空题（每小题 1 分，共 10 分） 1．已知电荷体密度为ρ，其运动速度为v ，则电流密度的表达式为： 。 2．设线性各向同性的均匀媒质中电位为φ，媒质的介电常数为ε，电荷体密度为零，电位 所满足的方程为 。 3．时变电磁场中，平均坡印廷矢量的表达式为 。 4．时变电磁场中，变化的电场可以产生 。 5．位移电流的表达式为 。 6．两相距很近的等值异性的点电荷称为 。 7．恒定磁场是 场，故磁感应强度沿任一闭合曲面的积分等于零。 8．如果两个不等于零的矢量的叉积等于零，则此两个矢量必然相互 。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的 三者符合右手螺旋关系。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是连续的场，因此，它可用磁矢位函数 的 来表示。 二、简述题 （每小题 5分，共 20 分） 11．已知麦克斯韦第一方程为??????? ????+=?S C S d t D J l d H ，试说明其物理意义，并写出方程 的微分形式。 12．什么是横电磁波？ 13．从宏观的角度讲电荷是连续分布的。试讨论电荷的三种分布形式，并写出其数学表达式。 14．设任一矢量场为)(r A ，写出其穿过闭合曲线C 的环量表达式，并讨论之。 三、计算题 （每小题5 分，共30分） 15．矢量 4?3?2?z y x e e e A -+= 和x e B ?= ，求 （1）它们之间的夹角； （2）矢量A 在B 上的分量。 16．矢量场在球坐标系中表示为r e E r ?= ， （1）写出直角坐标中的表达式； （2）在点)2,2,1(处求出矢量场的大小。 17．某矢量场 x e y e A y x ??+= ，求 （1）矢量场的旋度；
(完整版)电磁场与电磁波试题及答案.
1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。 2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为,,0,D B H J E B D t t ρ∂∂∇⨯=+ ∇⨯=-∇⋅=∇⋅=∂∂，(3分)（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。 1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。 2. 时变场的一般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。 (或矢量式2n D σ=、20n E ⨯=、2s n H J ⨯=、20n B =) 1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。 2. 答矢量位,0B A A =∇⨯∇⋅=；动态矢量位A E t ϕ∂=-∇- ∂或A E t ϕ∂+ =-∇∂。库仑规范与洛仑兹规范的作用都是限制A 的散度，从而使A 的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。 1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 2. s A ds φ= ⋅⎰⎰ 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。若Ф> 0，流出S 面的通量大于流入的 通量，即通量由S 面内向外扩散，说明S 面内有正源若Ф< 0，则流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面内汇集，说明S 面内有负源。若Ф=0，则流入S 面的通量等于流出的通量，说明S 面内无源。 1. 证明位置矢量x y z r e x e y e z =++ 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。 2. 证明在直角坐标系里计算 ，则有 ()()x y z x y z r r e e e e x e y e z x y z ⎛⎫ ∂∂∂∇⋅=++⋅++ ⎪∂∂∂⎝⎭ 3x y z x y z ∂∂∂= ++=∂∂∂ 若在球坐标系里计算，则 23 22 11()()()3r r r r r r r r r ∂∂∇⋅= ==∂∂由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。
电磁场与电磁波试题与答案
电磁场与微波技术基础试题 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题2分，共20分) 1.设一个矢量场 =x x+2y y+3z z，则散度为( ) A. 0 B. 2 C. 3 D. 6 2.人们规定电流的方向是( )运动方向。 A.电子 B.离子 C.正电荷 D.负电荷 3.在物质中没有自由电子，称这种物质为( ) A.导体 B.半导体 C.绝缘体 D.等离子体 4.静电场能量的来源是( ) A.损耗 B.感应 C.极化 D.做功 5.对于各向同性介质，若介电常数为ε，则能量密度we为( ) A. ? B. E2 C. εE2 D. εE2 6.电容器的大小( ) A.与导体的形状有关 B.与导体的形状无关 C.与导体所带的电荷有关 D.与导体所带的电荷无关 7.电矩为的电偶极子在均匀电场中所受的作用力和库仑力矩为( ) A. =0,Tq= ? B. =0, = × C. = ?， = × D. = ?， =0 8.在 =0的磁介质区域中的磁场满足下列方程( ) A. × =0, ? =0 B. ×≠0, ?≠0 C. ×≠0, ? =0 D. × =0, ?≠0 9.洛伦兹条件人为地规定的( ) A.散度 B.旋度 C.源 D.均不是 10.传输线的工作状态与负载有关，当负载短路时，传输线工作在何种状态?( ) A.行波 B.驻波 C.混合波 D.都不是 二、填空题(每空2分，共20分) 1.两个矢量的乘法有______和______两种。 2.面电荷密度ρs( )的定义是______，用它来描述电荷在______的分布。
电磁场与电磁波：练习题参考答案
一、填空题 1、电荷守恒定律的微分形式是 ，其物理意义是[任何一点电流密度矢量的散度等于该点电荷 体密度随时间的减少率]； 2、麦克斯韦第一方程=⨯∇H D J t ∂+ ∂，它的物理意义是[电流与时变电场产生磁场]；对于静态场， =⨯∇H [J ]]； 3、麦克斯韦第二方程E ⨯∇B ∂，它表明[时变磁场产生电场]； 对于静态场,E ⨯∇=[0],它表明静态场是[无旋场]； 4、坡印廷矢量S 是描述时变电磁场中电磁功率传输的一个重要的物理量,S =[E H ⨯],它表示[通过垂直于功 率传输方向单位面积]的电磁功率； 5、在两种不同物质的分界面上,[电场强度，（或E ）]矢量的切向分量总是连续的, [磁感应强度，（或B ）]矢量的法向分量总是连续的； 6、平面波在非导电媒质中传播时,相速度仅与[媒质参数，（或μ、ε）]有关,但在导电媒质中传播时,相速度还与[频率，（或f ，或ω）],这种现象称为色散； 7、两个同频率,同方向传播,极化方向互相垂直的线极化波合成为圆极化波时,它们的振幅[相等],相位差为[2π，（或－2π，或90）]； 8.均匀平面波在良导体中传播时,电场振幅从表面值E 0下降到E 0/e 时 所传播的距离称为[趋肤深度],它的值与[频率以及媒质参数]有关。 二、选择题 1、能激发时变电磁场的源是[c] a.随时间变化的电荷与电流 b 随时间变化的电场与磁场 c.同时选a 和b 2、在介电常数为ε的均匀媒质中,电荷体密度为ρ的电荷产生的电场为),,(z y x E E =,若E D ε=成立,下面 的表达式中正确的是[a] a. ρ=⋅∇D b. 0/ερ=⋅∇E c. 0=⋅∇D 3、已知矢量)()23(3mz y e z y e x e B z y x +--+= ,要用矢量B 描述磁感应强度,式中 必须取[c(0=⋅∇B )] a. 2 b. 4 c. 6 4、导电媒质中,位移电流密度d J 的相位与传导电流密度J 的相位[a] a.相差2π b.相同或相反 c.相差4 π 5、某均匀平面波在空气中传播时,波长m 30=λ,当它进入介电常数为04ε=ε的介质中传播时,波长[b] a.仍为3m b.缩短为1.5m c. 增长为6m 6、空气的本征阻抗π=η1200,则相对介电常数4=εr ,相对磁导率1=μr ,电导率0=σ的媒质的本征阻抗为[c]. a.仍为)(120Ωπ b. )(30Ωπ c. )(60Ωπ 7、z j y z j x e j e e e E π-π-+=2242 ,表示的平面波是 [b] a.圆极化波 b.椭圆极化波 c.直线极化波 8、区域1(参数为0,,10101===σμμεε)和区域2(参数为0,20,520202===σμμεε)的分界面为0=z 的平 面。已知区域1中的电场)]5cos(20)5cos(60[z t z t e E x +ω+-ω= V/m ，若区域2中的 电场)50cos(z t A e E x -ω= V/m ,则式中的A 值必须取[b]
(川理工)电磁场与电磁波重要例题、习题
电磁场与电磁波易考简答题归纳 1、什么是均匀平面电磁波？ 答：平面波是指波阵面为平面的电磁波。均匀平面波是指波的电场→ E 和磁场→ H 只沿波的传播方向变化，而在波阵面内→ E 和→ H 的方向、振幅和相位不变的平面波。 2、电磁波有哪三种极化情况？简述其区别。 答：（1）直线极化，同相位或相差 180；2）圆极化，同频率，同振幅，相位相差 90或 270；（3）椭圆极化，振幅相位任意。 3、试写出正弦电磁场的亥姆霍兹方程（即亥姆霍兹波动方程的复数形式），并说明意义。 答：0 02222=+∇=+∇→ →→ → H k H E k E ，式中μεω22 =k 称为正弦电磁波的波数。 意义：均匀平面电磁波在无界理想介质中传播时，电场和磁场的振幅不变，它们在时间上同相，在空间上互相垂直，并且电场、磁场、波的传播方向三者满足右手螺旋关系。电场和磁场的分量由媒质决定。 4、写出时变电磁场中麦克斯韦方程组的非限定微分形式，并简述其意义。 答：⎪⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎪ ⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇→→ → →→ →→ρεμμ εE H t H E t E J H )4(0)3()2()1( 物理意义：A 、第一方程：时变电磁场中的安培环路定律。物理意义：磁场是由电流和时变的电场激励的。 B 、第二方程：法拉第电磁感应定律。物理意义：说明了时变的磁场激励电场的这一事实。 C 、第三方程：时变电场的磁通连续性方程。物理意义：说明了磁场是一个旋涡场。 D 、第四方程：高斯定律。物理意义：时变电磁场中的发散电场分量是由电荷激励的。 写出麦克斯韦方程组的微分形式或积分形式，并简述其意义。 答：（1）微分形式 （2） 积分形式 物理意义：同第4题。 5、写出达朗贝尔方程，即非齐次波动方程，简述其意义。 答：→→→-=∂∂-∇J t A A μμε 2 22 ，ε ρμε - =∂Φ∂-Φ∇→→2 2 2t 物理意义：→ J 激励→ A ，源ρ激励Φ，时变源激励的时变电磁场在空间中以波动方式传播，是时变源的电场辐射过程。 6、写出齐次波动方程，简述其意义。 答：0 222=∂∂-∇→ → t H H με，0222=∂∂-∇→ → t E E με 物理意义：时变电磁场在无源空间中是以波动方式运动，故称时变电磁场为电磁波，且电磁波的传播速度为： με υ1= p 7、简述坡印廷定理，写出其数学表达式及其物理意义。 答：（1）数学表达式：①积分形式：⎰⎰⎰ ++∂∂ =⋅-→ →τττστεμd E d E H t S d S S 222)2 1 21(，其中，→ →→⨯=H E S ，称为坡印廷矢量。 因为⎰=ττεd E W e 22 1为体积 τ内的总电场储能，⎰=ττμd H W m 22 1为体积 τ内的总磁场储能，⎰=τ τσd E P 2 为体积τ内的 总焦耳损耗功率。于是上式可以改写成：P W W t S d H E m e S ++∂∂=⋅⨯-⎰ → →→)(，式中的S 为限定体积 τ的闭合面。 ②微分形式：222)2 12 1(E H E t S σμε++∂∂=⋅∇-→ ，其中，→ →→⨯=H E S ，称为坡印廷矢量，电场能量密度为：22 1E w e ε=， 磁场能量密度：22 1 H w m μ= 。 （2）物理意义：对空间任意闭合面S 限定的体积τ ，→ S 矢量流入该体积边界面的流量等于该体积内电磁能量的增加率和焦耳损耗功率。它给出了电磁波在空间中的能量守恒和能量转换关系。 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇→→→→→→→ ρD B t B E t D J H )4(0)3()2()1( ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅⋅∂∂-=⋅⋅∂∂+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰→ →→→→ →→→→→→→→q S d D l d B S d t B l d E S d t D J l d H S S S l s l )4(0)3()2()()1(
电磁波与电磁场期末复习题(试题+答案)
电磁波与电磁场期末试题 一、填空题（20分） 1．旋度矢量的散度恒等与零，梯度矢量的旋度恒等与零。 2．在理想导体与介质分界面上，法线矢量n r 由理想导体2指向介质1，则磁场满 足的边界条件：01=?B n ρ ρ，s J H n =?1ρρ。 3．在静电场中，导体表面的电荷密度σ与导体外的电位函数?满足的关系式 n ??=?ε σ-。 4．极化介质体积内的束缚电荷密度σ与极化强度P 之间的关系式为P ?-?=σ。 5．在解析法求解静态场的边值问题中，分离变量法是求解拉普拉斯方程的最基本方法；在某些特定情况下，还可用镜像法求拉普拉斯方程的特解。 6．若密绕的线圈匝数为N ，则产生的磁通为单匝时的N 倍，其自感为单匝的2N 倍。 7．麦克斯韦关于位移电流的假说反映出变化的电场要产生磁场。 8．表征时变场中电磁能量的守恒关系是坡印廷定理。 9．如果将导波装置的两端短路，使电磁波在两端来回反射以产生振荡的装置称为谐振腔。 10．写出下列两种情况下，介电常数为ε的均匀无界媒质中电场强度的量值随距离r 的变化规律：带电金属球（带电荷量为Q ）E = 2 4r Q πε；无限长线电荷（电荷线
密度为λ）E = r πελ 2。 11．电介质的极性分子在无外电场作用下，所有正、负电荷的作用中心不相重合，而形成电偶极子，但由于电偶极矩方向不规则，电偶极矩的矢量和为零。在外电场作用下，极性分子的电矩发生转向，使电偶极矩的矢量和不再为零，而产生极化。 12．根据场的唯一性定理在静态场的边值问题中，只要满足给定的边界条件，则泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。 二、判断题（每空2分，共10分） 1．应用分离变量法求解电、磁场问题时，要求整个场域内媒质必须是均匀、线性的。（×） 2．一个点电荷Q 放在球形高斯面中心处。如果此电荷被移开原来的球心，但仍在球内，则通过这个球面的电通量将会改变。（×） 3．在线性磁介质中，由I L ψ = 的关系可知，电感系数不仅与导线的几何尺寸、 材料特性有关，还与通过线圈的电流有关。（×） 4．电磁波垂直入射至两种媒质分界面时，反射系数ρ与透射系数τ之间的关系为1+ρ=τ。（√） 5．损耗媒质中的平面波，其电场强度和磁场强度在空间上互相垂直、时间上同相位。（×） 三、计算题（75分）
电磁场与电磁波例题详解
第1章 矢量分析 例1.1 求标量场z y x -+=2)(φ通过点M (1, 0, 1)的等值面方程。 解：点M 的坐标是1,0,1000===z y x ，则该点的标量场值为 0)(0200=-+=z y x φ。其等值面方程为 ： 0)(2=-+=z y x φ 或 2)(y x z += 例1.2 求矢量场222zy a y x a xy a A z y x ++=的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为 ： z y dz y x dy xy dx 222== 从而有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==z y dz xy dx y x dy xy dx 2222 解之即得矢量方程⎩⎨⎧=-=2 2 21c y x x c z ，c 1和c 2是积分常数。 例 求函数xyz z xy -+=22ϕ在点〔1，1，2〕处沿方向角 3 ,4 ,3 π γπ βπ α= = = 的方向导数。 解：由于 1) 2,1,1(2) 2,1,1(-=-=∂∂==M M yz y x ϕ, 02) 2,1,1() 2,1,1(=-=∂∂==M M xz xy y ϕ, 32) 2,1,1() 2,1,1(=-=∂∂==M M xy z z ϕ, 2 1cos ,22cos ,21cos === γβα 所以
1cos cos cos =∂∂+∂∂+∂∂= ∂∂γϕβϕαϕϕz y x l M 例 求函数xyz =ϕ在点)2,1,5(处沿着点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向导数。 解：点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向矢量为 1734)219()14()59(z y x z y x a a a a a a l ++=-+-+-= 其单位矢量 3147 31433144cos cos cos z y x z y x a a a a a a l ++=++=γβα 5, 10, 2) 2,1,5()2,1,5()2,1,5() 2,1,5() 2,1,5() 2,1,5(==∂∂==∂∂==∂∂xy z xz y yz x ϕ ϕϕ 所求方向导数 314 123 cos cos cos = ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ l z y x l M ϕγϕβϕαϕϕ 例 已知z y x xy z y x 62332222--++++=ϕ，求在点)0,0,0(和点)1,1,1( 处的梯度。 解：由于)66()24()32(-+-++++=∇z a x y a y x a z y x ϕ 所以 623) 0,0,0(z y x a a a ---=∇ϕ ，36) 1,1,1(y x a a +=∇ϕ 例 运用散度定理计算以下积分： ⎰⋅++-+=S z y x S d z y xy a z y x a xz a I )]2()([2322 S 是0=z 和2 2 22y x a z --=所围成的半球区域的外外表。 解：设：)2()(2322z y xy a z y x a xz a A z y x ++-+= 则由散度定理⎰⎰⋅=⋅∇τ τs S d A d A 可得
电磁场与电磁波习题及答案
1 1 麦克斯韦I 方程组.的微分形式 是：J . H =J JD,\ E = _。「|_B =0,七出=： 2静电场的基本方程积分形式为： 性£虏=0 3理想导体（设为媒质 2）与空气（设为媒质 1）分界 面 上，电磁场的边界条件为：4线性且各向同性媒质的 本构关系方程是：5电流连续性方程的微分形式为：。 6电位满足的泊松方程为；在两种完纯介质分界面上 电位满 足的边界 。7应用镜像法和其它间接方法解静 态场边值问题的理论依据是。 8.电场强度E Aj 单位是, 电位移D t 勺单位是。9.静电场的两个基本方程的微分 形式为“黑E =0 Q D = P ； 10.—个直流电流回路除 受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安 培力作用 1 .在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A,并令 冒=%，的依据是（c.V 值=0 ） 2 . “某处的电位 中=0,则该处的电场强度 E=0 的说法是（错误的 ）。 3 .自由空间中的平行双线传输线，导线半径为 a ,线 间距为D ,则传输线单位长度的电容为 4 .点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（ 1/r2 ）。 5 . N 个导体组成的系统的能量 W =1£ q * ,其中e i 2 t i i 是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6 .为了描述电荷分布在空间流动的状态， 定义体积电流 密度J,其国际单位为（a/m2 ） 7 .应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性） 分布。 8 .如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一 定为 零 ）。 9 .真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度 dB 随 该点到电流元距离变化的规律为（ 1/r2 ）。 10.半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存 于（整个空间 ）。 三、海水的电导率为 4S/m,相对介电常数为 81,求频 率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： E = e x E m cos t 则位移电流密度为： J d =— = -ex ：-. ■ 0 r E m Sin t ；t 其振幅彳1为：J dm = 网 5E m = 4.5X10- E m 传导电 流的振幅值为： J cm -二- E m = 4E m 因此：Jm =1.125/0 J - cm 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。 试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。 （15 分） 四、解：由高斯定理 7L D LdS =q 得 D =—q^ D=e 「D =er —q-^ 性 " 4nr 2 4nr 2 I 空间的电场分布E - D -e r —q-^ ；O 4 0 导体球的电位 U =二也=W 黑=得3晶=3 a a - a 4 二；0r 4 二；0a 导体球的电容C = 9 =4二；0a U 五、两块无限大接地导体板分别置于 x=0和x=a 处， 其间在x=x0处有一面密度为 仃C/m 2的均匀电荷分 布，如图所示。求两导体板间的电场和电位。 （20 分） 解：d-^ =0 0 ：： x =：： x 0 ; d-i 2 =0 x 0 ：： x :: a dx dx 得.1 x = C 1x ' DI 0 :二 x ::： x 0 ; 2 x = C 2 x R 为:：x ： a , s -=;-s=o=o=J TDTBTETH ♦ aTQTG- la 7 .唯一性定理 8 .V/m C/m2 * — P 3J =——'一〔=一— _ 5. :t 6. ； 1 一 2
电磁场与电磁波习题讲解
电磁场与电磁波习题讲解静电场的基本内容
2.7 半径分别为a和b（a>b），球心距离为c（c 恒定电场的基本内容 2.17一个有两层介质(ε1, ε2)的平行板电容器，两种介质的电导率分别为σ1和σ2，电容器极板的面积为S，如图所示。在外加电压为U时，求：(1)电容器的电场强度；(2)两种介质分界面上表面的自由电荷密度；(3)电容器的漏电导；(4)当满足参数σ1ε2=σ2ε1时， 问G/C=?（C为电容器电容）。 恒定磁场的基本内容 4.4如果在半径为a，电流为I的无限长圆柱导体内有一个不同轴的半径为b的 圆柱空腔，两轴线间距离为c，且c+b 2.4 Verify the Pythagorean theorem. In other words, show that 2 22 A B A B +=+ if and only if A is perpendicular to B . 2.8 Show that ()()()()()()A B C D A C B D A D B C ⨯⋅⨯=⋅⋅-⋅⋅ 2.17 Express that position vector ˆˆˆr xx yy zz =++ in the spherical coordinate system. 2.20 ˆˆˆ125S r θπϕ=++ and ˆˆ20.5T r πθ=+ are two vectors at point ()2,,2ππ and ()5,2,2ππ, respectively. Determine (a) S T +,(b) S T ⋅,(c) S T ⨯, (d) the unit vector perpendicular to S T ⨯ and (e) the angle between S and T 2.40 Show that (a) sin cos x φφρρφ∂∂∂=-∂∂∂, and (b)cos sin y φφρρφ ∂∂∂ =+∂∂∂ in the cylindrical coordinate system. 2.41 Show that 22222221x y ρρρρρφ⎡⎤ ⎛⎫∂∂∂∂∂+=+ ⎢⎥ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦ in the cylindrical coordinate system. 2.42 If the electric field intensity in space is given as 00ˆˆcos sin E E r E θθθ=-, find E ∇⋅ and E ∇⨯. 2.44 Given 3 2 2 ˆˆˆF x x x yy x zz =++, verify the divergence theorem when the region is bounded by a cylinder 2216x y += and the planes at 0z =and 2z =. 2.37 Using the rectangular coordinate system, verify that (a) () 0A ∇⋅∇⨯=and (b) ()0f ∇⨯∇= 2.38 In electromagnetic fields, we will define the electric field intensity E as a negative gradient of a scalar function ϕ; i.e.E ϕ=-∇. We will also define the volume charge distribution as 0v E ρε=∇⋅, where 0ε is the permittivity of free space. Determine E and v ρif (a) ()0ln V a ϕφρ= in cylindrical coordinates, where 0V and a are constants, (b) 0cos V r ϕθ=in spherical coordinates, and 0sin V r ϕθ=in spherical coordinates. 2.48 Verify Stokes ’ theorem over a hemispherical surface at 2r =and 02θπ≤≤for a function ˆ100cos F r θ=. 能够给出最后计算结果的，以后都要给出最后计算结果而不是表达式) 3.6 An electron is circling around nucleus of a hydrogen atom at a radius of 0.05nm. Determine the angular velocity and the time period of the electron. 3.8 The surface charge density on a quarter-disc in the first quadrant is 2 cos K C m φ. If the radius of the disc is a, find the E field at a point at ()0,0,P h . 3.13 Two straight uniformly charged lines are extending along the z axis from z =-∞to z =+∞. One line carries a charge distribution of 1C m μand is situated at 3y m =-, and the other line is at 3y m =and has a charge distribution of 1C m μ-. Determine the E field at appoint on the x axis at 4x m =. 3.14 Three infinite electric sheets carrying uniform charge densities of 2,-3 and 0.52 C m μare each separated by a 1-mm air gap, as shown in figure. Find the electric field intensity everywhere in space. 九章习题解答 9.1 设元天线的轴线沿东西方向放置，在远方有一移动接收台停在正南方而收到最大电场强度，当电台沿以元天线为中心的圆周在地面移动时，电场强度渐渐减小，问当电场强度减小到 时，电台的位置偏离正南多少度？ 解：元天线（电基本振子）的辐射场为 j k r θ-=E e 可见其方向性函数为(),sin f θφθ=，当接收台停在正南方向（即090θ=）时，得到最 大电场强度。由 sin θ= 得 045θ= 此时接收台偏离正南方向045±。 9.2 上题中如果接收台不动，将元天线在水平面内绕中心旋转，结果如何？如果接收天线也是元天线，讨论收发两天线的相对方位对测量结果的影响。 解： 如果接收台处于正南方向不动，将天线在水平面内绕中心旋转，当天线的轴线转至沿东西方向时，接收台收到最大电场强度，随着天线地旋转，接收台收到电场强度将逐渐变小，天线的轴线转至沿东南北方向时，接收台收到电场强度为零。如果继续旋转元天线，收台收到电场强度将逐渐由零慢慢增加，直至达到最大，随着元天线地不断旋转，接收台收到电场强度将周而复始地变化。 当接收台也是元天线，只有当两天线轴线平行时接收台收到最大电场强度；当两天线轴线垂直时接收台收到的电场强度为零；当两天线轴线任意位置，接收台收到的电场强介于最大值和零值之间。 9.3 如题9.3图所示一半波天线，其上电流分布为() 1 1cos 2 2m I I kz z ⎛⎫=-<< ⎪ ⎝⎭ （1）求证：当0r l >>时， 020 cos cos 22sin jkr m z I e A kr πθμπθ -⎛⎫ ⎪ ⎝⎭= ⋅ （2）求远区的磁场和电场； （3）求坡印廷矢量； （4）已知 220 cos cos 20.609sin d π πθθθ ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎰ ，求辐射电阻； （5）求方向性系数。 题9.3（1）图完全版电磁场与电磁波习题
电磁场与电磁波课后习题及答案8章习题解答