电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵编着)(第二版)第7章
第七章 时变电磁场
7-1 设真空中电荷量为q 的点电荷以速度)(c v v <<向正z 方向匀速运动，在t = 0时刻经过坐标原点，计算任一点位移电流。（不考虑滞后效应）
解 选取圆柱坐标系，由题意知点电荷在任意时刻的位 置为),0 ,0(vt ，且产生的场强与角度φ无关，如习题图7-1 所示。设) , ,(z r P φ为空间任一点，则点电荷在P 点产生的电场强度为
3
04R q πεR
E =
，
其中R 为点电荷到P 点的位置矢量，即)(vt z r z r -+=e e R 。那么，由t
t d ∂∂=∂∂=
E
D J 0
ε，得 ()()
(
)
()()()
()
2
522
2
2
2
5
22
4243vt z r
r vt z qv vt z r vt z qrv z
r d -+--+-+-=ππe e J 。
7-2 已知真空平板电容器的极板面积为S ，间距为d ，当外加电压t V V sin 0ω=时，计算电容器中的位移电流，且证明它等于引线中的传导电流。
习题图
7-1 P (r ,φ,z )
x
解 在电容器中电场为t d
V E sin 0
ω=
，则 t d
V t D J d cos 0
0ωωε=∂∂=
， 所以产生的位移电流为
t d
SV S J I d d cos 0
0ωωε=
=；
已知真空平板电容器的电容为d
S
C 0
ε=，所带电量为t CV CV Q ωsin 0==，则传导电流为
t d
SV t CV t Q
I cos cos d d 000ωωεωω===
； 可见，位移电流与传导电流相等。
7-3 已知正弦电磁场的频率为100GHz ，试求铜及淡水中位移电流密度与传导电流密度之比。
解 设电场随时间正弦变化，且t E m x sin ωe E =，则位移电流
t E t
m r x d cos 0ωωεεe D
J =∂∂=
， 其振幅值为m r d E J ωεε0=
传导电流t E m x ωσσsin e E J ==，振幅为m E J σ=，可见
σ
ωεε0r d J J =； 在海水中，81=r ε，m S /4=σ，则
5.1124
10210361
8111
9=⨯⨯⨯⨯
=-ππJ
J d
；
在铜中，1=r ε，m S /108.57⨯=σ，则
87
11
91058.910
8.510210361
1--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯
=ππJ J d
。
7-4 设真空中的磁感应强度为
)106sin(10)(83kz t t y -⨯=-πe B
试求空间位移电流密度的瞬时值。 解 由麦克斯韦方程知t
∂∂+=⨯∇D
J H ，而真空中传导电流0=J ，则位移电流为
B H D J ⨯∇=⨯∇=∂∂=
μ
1
t d ， 求得
)m /A )(106sin(2
10
)
106sin(10284
80
3
kz t kz t k x
x d -⨯-=-⨯-=-ππμe e J
7-5 试证真空中麦克斯韦方程对于下列变换具有不变性
⎪⎩
⎪
⎨
⎧+-='+='θθθθcos sin sin cos B E B B E E c c 式中0 0 /1εμ=c 为真空中的光速。
证明 由于真空中，0=J ，0=ρ，那么，E 及B 应满足的麦克斯韦方程可简化为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧∂∂=⨯∇∂∂-=⨯∇t t
D H B
E ， 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯∇=∂∂⨯-∇=∂∂B
E E B 0
01μεt t 。 将E '及B '代入该方程，即得
)sin cos (θθB E E c +⨯∇='⨯∇，
而
Ε
B B E B E
B ⨯∇+⨯∇=∂∂-∂∂=+-∂∂-=∂'∂θεμθθθθθcos sin cos sin )cos sin (0
0c t t c c
t t -
式中0
01
με=
c 。因此，上式可简化为
)sin cos (cos sin θθθθB E E B B c c t
+⨯∇=⨯∇+⨯∇=∂'
∂-
即
E B '⨯∇=∂'
∂t
-；
同理可证，
B E '⨯∇=∂'∂0
01
μεt ，即麦克斯韦方程对该变换具有不变性。
7-6 对于上题中的变换，试证总能量密度
⎪⎭
⎫
⎝⎛+20 20 2121H E με也具有不变性。
证明 变换后的总能量密度为
)(2121210
22
02020μεμεB E H E w '+'='+'='
分别将变换后的E '及B '代入得，
+++=')cos sin 2sin cos ([2
1
222220θθθθεcEB B c E w
)]cos sin 2cos sin (1222220θθθθμc
EB B c E -+ 考虑到0
01
με=
c ，代入上式，得
)(2
1
)1(2120202020H E B E w μεμε+=+=
' 7-7 用直接代入法证明式（7-5-3）是式（7-5-1）的解。 证明 我们首先求出7-5-3式的一阶偏导数得，
)1)(()1)(() (21v
v r t f v v r t f r r r r +'+--'=∂∂Φ，
)()() (21v
r
t f v r t f t r t
t +'+-'=∂∂Φ； 然后再求得其二阶偏导得，
)1
)(()1)(()) (() (222
122v v r t f v v r t f r r r r
r r r +''+-''=∂∂∂∂=∂∂ΦΦ， )()()) (() (212
2v r
t f v r t f t r t t r t
t +''+-''=∂∂∂∂=∂∂ΦΦ 式中r f 1'，r f 2'，t f 1'，t f 2'代表相应变量的一阶导数；r f 1''、r f 2''、
t f 1''、t f 2''代表相应变量的二阶导数。
显然，
0)
(1) (2
2222=∂∂-∂∂t r v r r ΦΦ 7-8 若平板电容器中填充两层媒质，第一层媒质厚度为d 1，第二层媒质厚度为d 2，极板面积为S ，电容器的外加电压t V V sin 0ω=，试求两种媒质参数分别为下列两种情况时：
① )S/m (1 , ,410 1 1===σμμεr ； )S/m (2 , ,2 2 0 2 2===σμμεr 。 ② 0 , ,110 1 1===σμμεr ；
)S/m (2 , ,22 0 2 r2===σμμε。
电容器中的电场强度，损耗功率及储能。
解 ①设两种媒质中的电场强度分别为1E 和2E ，由于两种媒质均为非理想介质，则电容器中将有传导电流，且其在两媒质的分界面上应该连续，即21J J =，而E J σ=，则有：
⎪⎩⎪
⎨⎧=⋅+⋅=⎰⎰+V d d d d 2212d d 10
2
2
211l E l E E E σσ
习题图7-8
即
⎩⎨
⎧=+=t V d E d E E E sin 0221
12
211ωσσ 得
2
112021 sin d d t V E σσωσ+=
，2112012 sin d d t
V E σσωσ+=
损耗功率为 ()212
1122202122
221
1 sin σσσσωσσσσ++=
+=d d t
V E E P 系统的储能为
⎰⎰
⎰⎰+=+=+=212
1
d 2
1d 21d d 2222112121V V V V V E V E V w V w W W W εε ()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++=2211222
0212
2221122202211 sin sin 2d d t V d d d t V d S σσωσεσσωσε ②当01=σ时，则电容器中传导电流中断，媒质①中存在位移电流，两媒质之间的分界面上逐渐积累表面电荷，最后导致媒质②中的电场为零。
此时，V d E =11t d V E ωsin 1
1=
⇒，02=E 。损耗功率为零，系统能量仅储藏在媒质①中，即
t V d S V E W W V sin 2d 21
2201
121111ωεε===⎰
。 7-9 已知电磁波的合成电场的瞬时值为
),(),(),(21t z t z t z E E E +=
式中
⎪⎩
⎪⎨⎧--=-=)3 10cos(
04.0),() 10sin(03.0),(8
281πππkz t t z kz t t z x x e E e E 。 试求合成磁场的瞬时值及复值。
解 根据题意，电场分量E 1的复值为kz x e j 12
03.0-=e E 。电
场分量E 2的瞬时值可写为
)
6
10sin(04.0 )
2
3
10sin(04.0)3 10cos(04.0),(8882π
ππ
π
ππ
π+
-=+
-
-=--=kz t kz t kz t t z x x x e e e E 对应的复值为
)
6
j(22
04.0π
--=kz x
e
e E
那么，合成电场的复值为
kz x
e e j 6j
)04.003.0(2
1-+=π
e E
由H E ωμj -=⨯∇，得
z E y E z E x
y x z x y ∂∂=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⨯∇=ωμωμωμ
1j 1j
1
j e e e E H 求得
kz
y
e e j 6j
)
04.003.0(2
1-+=μ
επ
e H 对应的磁场分量的瞬时值分别为
) 10sin(03
.0),(81kz t t z y -=πμ
ε
e H 3
10cos(04.0)6 10sin(04
.0),(882ππμεππμε--=+-=kz t kz t t z y y e e H 7-10 用直接代入法证明，式（7-10-2a ）及式（7-10-2b ）分别是式（7-10-1a ）及式（7-10-1b ）的解。
证明 将7-10-2a 式代入7-10-1a 式的左边，由于其中的拉普拉斯算子是对场点r 的运算，因此与源点r '无关，可将其放入积分号之内。考虑到μεω22=k ，再令
()()()222z z y y x x R '-+'-+'-=
'-=r r
则()r A 的表达式可写为
()()()⎰⎰'-''
--''=
''
-'=
V kR
V k V R V d e 4d e 4j j r J r r r J r A r r π
μπ
μ
()()⎰'-'⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∇'=
∇V kR V R d e 4j 2
2
r J r A π
μ
式中
()()
⎪⎭
⎫ ⎝⎛∇+⎪⎭⎫ ⎝⎛∇⋅∇+∇=⎪⎭⎫
⎝⎛∇⋅∇=⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-----R R R R R kR kR kR kR kR 1e 1e 2e 1e 1e 2j j j 2j j 2
其中
()
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∇--z R y R x R k kR kR z y x e e e j j e j e ⎪⎭
⎫ ⎝⎛'-+'-+'
--=-R z z R y y R x x k kR z y x e e e j e j
令R
z z R y y R x x '
-+'-+'-=z
y x
e e e Q ，则 ()
Q kR kR k j j e j e ---=∇
同理可得 Q e e e z y x 2
33311R R z z R y y R x x R -=⎪⎭
⎫ ⎝⎛'-+'-+'
--=⎪⎭⎫ ⎝⎛∇ 则 (
)
()
2j 2j j e j 1e j 1e
R k R k R kR kR kR
---=⎪⎭
⎫
⎝⎛-⋅-=⎪⎭
⎫
⎝⎛∇⋅∇Q Q
利用公式()A A A ⋅∇+∇⋅=⋅∇ΦΦΦ，得
()()()()()Q
Q Q ⋅∇-+-∇⋅=-⋅∇=∇⋅∇=∇-----kR
kR
kR kR kR k k k j j j j j 2e j e
j e j e e
()R
k k kR
kR
2
e j e j j 2---+-=
综上所述，又知()R R πδ412-=⎪⎭
⎫
⎝⎛∇，最后求出
()R R k R kR
kR πδ4e e j 2j 2
--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-- 那么，将上式代入，得
()()()()[]
()()⎰⎰
'
-'
-'
'-='-'=
+∇V kR V kR V R V R k d e d e 44j j 22δμπδπ
μr J r J r A r A 考虑到r r '-=R 及δ函数的对称性，()()r r r r -'='-δδ，则上述积分式可表示为
()()()r r r
r r J r r r J -'
-'
-'-'-='-''-⎰k V k V j j e d e
μδμ
当r r ='时，则
()[
]
()r J r J r
r r
r μμ-='-='-'-k j e
即得
()()()r J r A r A μ-=+∇22k
同法可证7-10-1b ；故7-10-2式是7-10-1式的解。
7-11 已知某真空区域中时变电磁场的时变磁场瞬时值为
) sin(20cos 2),(y k t x t y y x -=ωe H
试求电场强度的复数形式、能量密度及能流密度矢量的平均值。
解 由) sin(20cos 2),(y k t x t y y x -=ωe H ，可得其复值为
y
k x y xe
y j 20cos )(-=e H
因真空中传导电流为零，E D J H 0j j ωεω=+=⨯∇，得
y H y H z H x z x z x y ∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂-∂∂=⨯∇=
e e e H E 00
0j 1
j 1
j ωεωεωε 即
y
k z y xe
j 20cos 120-=πe E
能量密度的平均值
x y H y E w av 20cos 104)(2
1
)(21272020-⨯=+=πμε
能流密度的平均值
x y c av 20cos 120)Re()Re(2*πe H E S S =⨯==
7-12 已知真空中正弦电场的复矢量为
)34(02.0 j e )j 45j 3()(z x z y x +--+=πe e e r E
① 试证电场强度E 的等相面为平面；② 试求磁感应强度B 、平均储能密度w 及复能流密度矢量S c 。 解 ①令空间相位因子const )34(02.0=+z x π，即
const 34=+z x
显然这是一个平面方程。因此，等相面为平面。
②由麦克斯韦方程，B E ωj -=⨯∇E B ⨯∇=⇒ω
j
求得磁感应强度和磁场强度分别为
)34(02.0j e )4j 53(10)(z x z y x +-++-=πω
π
e e e r B )34(02.0j 0
e )4j 53(10)(z x z y x +-++-=
πωμπ
e e e r H 平均能量密度为
02
00202050)1(252121εμεμε=+=+=
c H E w av 复能流密度矢量为
()z x c e e ΗE S 340
*+=
⨯=ωμπ
。 7-13 若真空中正弦电磁场的电场复矢量为
)
3(
05.0 j e )3j 2j ()(z x z y x +-+--=πe e e r E
试求电场强度的瞬时值E (r ,t )，磁感应强度的复矢量B (r )及复能流密度矢量S c 。
解 由)
3(
05.0j e )3j 2j ()(z x z y x +-+--=πe e e r E 可知
()z x z k y k x k z y x +=++=⋅305.0π
r k
求得
π305.0=x k ，0=y k ，π05.0=z k
π1.022
2=++=z y x k k k k
则
70
01042.9⨯==
μεωk
（rad/s ）
那么电场强度的瞬时值为
)]3(05.01042.9sin[)3j 2j (2)(7z x t ,t z y x +-⨯+--=πe e e r E
同上题，由麦克斯韦方程，求得磁感应强度为
)
3(
05.0j e )3j 2(10)(z x z y x +---=
πω
π
e e e r B
复能流密度矢量为
(
)
z x c e e H E S +=
⨯=3520
*ωμπ。
7-14 已知真空中时变电磁场的电场强度在球坐标系中的瞬时值为
) cos(sin ),(00
r k t r
E t -=ωθθ
e r E 式中0 0 0μεω=k ，试求磁场强度的复数形式、储能密度及能流密度的平均值。 解 由()r k t r
E t 00
cos sin ),(-=ωθθe r E 获知电场的复数形式为
r k r
E 0j 0
e sin 2)(-=θθ
e r E 同理由E B ⨯∇=
ω
j
，得 r
k r
k E 0j 00e 2sin )(-=ωθφ
e r B 那么，储能密度及能流密度的平均值分别为
θεμεμε22
200022
02020sin 24414141r
E B E H E w m m m m av =+=+= θμε2
2
2000*
sin 2)Re()Re(r
E r
c av e H E S S =⨯== 7-15 若真空中两个时变电磁场的电场强度分别为
⎪⎩⎪⎨⎧==--z
x z x E z E z 002001j 202j 101e
)(e
)(μεωμεωe E e E 试证总平均能流密度等于两个时变场的平均能流密度之和。
证明 令合成电场强度和磁场强度分别为
)()()(21z z z E E Ε+=；)()()(21z z z H H H +=
根据给定的电场强度两个分量，由麦克斯韦方程，可以分别求得磁场强度的两个分量为
z
y
E z 001
j 100
01e )(μεω
με-=e H ；z
y
E z 002
j 200
02e )(μεω
με-=e H
对应的瞬时值分别为
())sin(,11101z k t E t z x -=ωe E ；
())sin(,22202z k t E t z x -=ωe E
())sin(,1110001z k t E t z y
-=ωμεe H ；())sin(,22200
02z k t E t z y -=ωμεe H 则总能流密度的瞬时值为
()()[]()()[]t z t z t z t z t z ,,,,),(2121H H E E S +⨯+=
()()()()[]t z t z t z t z ,,,,2211H E H E ⨯+⨯= ()()()()[]t z t z t z t z ,,,,2112H E H E ⨯+⨯+
式中()()[]t z t z ,,11H E ⨯的周期为π
ω21
1=
T ；()()[]t z t z ,,22H E ⨯的周期为π
ω22
2=
T 。而()()[]t z t z ,,12H E ⨯及()()[]t z t z ,,21H E ⨯也是周期函数，但是它们的周期为2
2
1212112422π
ωωπωπω===T T 。因此，总能流密度的时间平均值为
()()[]()()[]t t z t z T t t z t z T S T T d ,,1
d ,,1
2
1
2
2
2
111
av
⎰⎰
⨯+⨯=H E H E
()()()()[]⎰⨯+⨯+
120
2
1
1
2
12
d ,,,,1T t t z t z t z t z T H E H E
由此可见，第一项为第一个时变电磁场的能流密度的时间平均值，第二项为第二个时变电磁场的能流密度的时间平均值。但是式中第三项积分值为零，因为
()()()()[]⎰⨯+⨯12
2
1
1
2
12
d ,,,,1T t t z t z t z t z T H E H E
t c z t c z t E E T T d sin sin 2
12120100
0012
12
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰
ωωμε 由于T 12既是正弦函数⎪⎭⎫
⎝⎛-c z t 1sin ω的周期的整倍数，又是
正弦函数⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-c z t 2sin ω的周期的整倍数，因此对于周期T 12
的平均值一定为零。积分演算的结果也会是零。这就证实
21av av av S S S +=
7-16 已知E E J H ωεσj ++'=⨯∇及H E j ωμ-=⨯∇，试证此时复能量定理为
⎰⎰⎰'⋅+⋅=⋅-V
*V
*J E E E S S d ) (d ) (d V V S
c σ
⎰-+V
d )(2 j V w w eav mav ω
并解释其物理意义。
证明 已知)()()(***H E E H H E S ⨯∇⋅⨯∇⋅=⨯⋅∇=⋅∇-c 又知H E ωμj -=⨯∇及****E E J H ωεσj -+'=⨯∇，那么，
****E E E E J E H H S ⋅+⋅-'⋅-⋅-=⋅∇ωεσωμj j c
则
⎰⎰⎰⎰⋅-⋅+'⋅+⋅=⋅-V V
V
S
c V
V
V *
***d )2
121(2j d )(d )(d E E H H J E E E S S εμωσ 即
⎰⎰⎰⎰-+'⋅+⋅=⋅-V
V
V
eav mav S
c V
w w V V **d )(2j d )(d )(d ωσJ E E E S S 其物理意义是，流进有源区S 内的复能流密度矢量通量的实部等于S 内的损耗功率以及源区本身的损耗功率。
因此，复能流密度矢量c S 的实部代表单向流动的能量，虚部表示能量的转换。
7-17 若考虑媒质极化和磁化损耗，认为εεε''-'=j ，
μμμ''-'=j 。试证无外源区)0(='J 中的能量定理为 ⎰⎰⎰⋅-⋅''+⋅''=⋅-V
*V
**E E H H E E S S d ) (d ) (d V
V S
c σμεω⎰-+V
d )(2 j V w w eav mav ω
并解释其物理意义。
证明 同上题，由于0='J ，εεε''-'=j ，μμμ''-'=j ，则
E E H )j (j εεωσ''-'+=⨯∇，****E E E H εωεωσ'''+=⨯∇j - H H H E μωμωμμω'''-=''-'-=⨯∇-j )j (j
代入c S 中得
*
****c E E E E E E H H H H S ⋅''-⋅'+⋅-⋅''-⋅'-=⋅∇εωεωσμωμωj j 则
⎰⎰⎰⎰-+⋅+⋅''+⋅''=⋅-V
eav mav V
V
S
c V
w w V
V ***d )(2j d )(d )(d ωσμεωE E H H E E S S
其物理意义是，流进无源区S 内的复能流密度矢量通量的实部等于S 内的热损耗功率以及磁化损耗和极化损耗功率的和。复能流密度矢量c S 的实部代表单向流动的能量，虚部表示能量的转换。
电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵编着)(第二版)全套
2-2 已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为： ) 0,1,0( ,4 )1,0,1( ,1 )1,0,0( ,1332211P C q P C q P C q === 试求位于)0,1,0(-P 点的电场强度。 解 令321,,r r r 分别为三个电电荷的位置321,,P P P 到P 点的距离，则 21=r ，32=r ，23=r 。 利用点电荷的场强公式r e E 2 04r q πε= ，其中r e 为点电荷q 指向场点 P 的单位矢量。那么， 1q 在P 点的场强大小为0 2 1 011814πεπε= = r q E ，方向为 ()z y r e e e +- =2 11。 2q 在P 点的场强大小为0 2 2 022121 4πεπε= = r q E ，方向为 ()z y x r e e e e ++- =3 12。 3q 在P 点的场强大小为0 2 3 033414πεπε= = r q E ，方向为y r e e -=3 则P 点的合成电场强度为 ?? ???????? ??++???? ??+++- =++=z e e e E E E E y x 312128141312128131211 0321πε 2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为6102-?C ，相距为2cm ， 如习题图2-4所示。试求：①P 点的电位；②将电量为6102-?C 的点电荷由无限远
处缓慢地移至P 点时，外力必须作的功。 解 根据叠加原理，P 点的合成电位为 ()V 105.24260?=? =r q πε? 因此，将电量为C 1026 -?的点电荷由无限远处缓慢地移到P 点，外力必须做的功为()J 5==q W ? 2-6 已知分布在半径为a 的半圆周上的电荷线密度 πφφρρ≤≤=0 ,sin 0l ，试求圆心处的电场强度。 解 建立直角坐标，令线电荷位于xy 平面，且以y 轴为对称，如习题图2-6所示。那么，点电荷l l d ρ在圆心处产生的电场强度具有两个分量E x 和E y 。由于电荷分布以y 轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的y E 分量，即 习题图2-4 习题图2-6
《电磁场与电磁波》习题参考答案
《电磁场与电磁波》知识点及参考答案 第1章 矢量分析 1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所 产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。 2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无旋场，由散度源所 产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。 3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是： 散度（高斯）定理：S V FdV F dS ??=?? ?和 斯托克斯定理： s C F dS F dl ???=??? 。 4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。（ √ ） 5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（ √ ） 6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（ √ ） 7、梯度的方向是等值面的切线方向。（ × ） 8、标量场梯度的旋度恒等于0。（ √ ） 9、习题, 。
第2章 电磁场的基本规律 （电场部分） 1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。 2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。 3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是： V V s D dS dV Q ρ?==? ?和 0l E dl ?=?。 4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ??=和0E ??=。 5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。 6、在两种媒质分界面的两侧，电场→ E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→ B 的法向分量 B 1n －B 2n ＝0。 7、在介电常数为 的均匀各向同性介质中，电位函数为 22 11522 x y z ?= +-,则电场强度E =5x y z xe ye e --+。 8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。 9、电荷只能在分子或原子范围内作微小位移的物质称为( D )。 A.导体 B.固体 C.液体 D.电介质 10、相同的场源条件下，真空中的电场强度是电介质中的( C )倍。 A.ε0εr B. 1/ε0εr C. εr D. 1/εr 11、导体电容的大小( C )。 A.与导体的电势有关 B.与导体所带电荷有关 C.与导体的电势无关 D.与导体间电位差有关 12、z ＞0半空间中为ε=2ε0的电介质，z ＜0半空间中为空气，在介质表面无自由电荷分布。
电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤,曹伟)第7章习题解答
第7章习题解答 7.6 如题7.6图所示相距为a 的平板金属波导，当/0y ∂∂=时，沿z 方向可传播 TEM 模、TE 模和TM 模。试求：（1）各种模式的场分量；（2）各种模式的传播常数；（3）画出基本模式的场结构及其导体表面的传导电流。 解：(1) 各种模式的场分量 对TEM 模，在均匀波导横截面上的分布规律与同样边界条件下的二维静态场的分布规律是完全一样的。对静电场情况，无限大平板之间的电场强度为均匀电场0E ，则对应的TEM 模中电场为 j t 0e kz x x x E e E e E -== 利用平面波电场与磁场关系，即 j 0t t w 1 e 120π kz z y E H e E e Z -= ⨯= 对TE 模，0=z E ，而z H 满足的导波方程为 22t c 0z z H k H ∇+= 式中2 2 2 c k k γ=+，2 2t 2x ∂∇=∂，则上式变成 22c 2 d 0d z z H k H x += 因此波动方程的解为 c c sin cos z H A k x B k x =+ 由0=x 时 0=∂∂x H z 可得到0=A ；由a x =时0=∂∂x H z 可得到c sin 0k x =，即c m k a π= 。因此 πcos z m m x H H a = 式中m H 取决于波源的激励强度。由于波沿着z 方向传播，则j z k γ=，因此 z k ==利用各横向场分量与纵向场分量之间关系可以得到 j 22c c 0 j ππj sin e z x k z z y m E H m m x E H k x k a a ωμωμ-=∂==-∂ j 22c c j j ππsin e 0z k z z z z x m y k H k m m x H H k x k a a H -∂=- =∂= 对TM 模，0=z H ，而z E 满足的导波方程为 22c 2 d 0d z z E k E x += 因此波动方程的解为 c c sin cos z E A k x B k x =+ 由0=x 时0=z E 可得到0=B ；由a x =时0=z E 可得到c sin 0k x =，即c m k a π=。因此 πsin z m m x E E a = 式中m E 取决于波源的激励强度。利用各横向场分量与纵向场分量之间关系可以得到
《电磁场与电磁波》习题参考答案
《电磁场与电磁波》知识点及参考答案之宇文皓月创 作 第1章矢量分析 10，则矢量场是无散场，由旋涡源所发生，通过任何闭合曲面S的通量等于0。 20，则矢量场是无旋场，由散度源所发生，沿任何闭合路径的环流等于0。3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是： 4、在有限空间V中，矢量场的性质由其散度、旋度和V鸿沟上所满足的条件唯一的确定。（√） 5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（√） 6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（√） 7、梯度的方向是等值面的切线方向。（×） 8、标量场梯度的旋度恒等于0。（√） 9、习题1.12, 1.16。 第2章电磁场的基本规律 （电场部分）
1、静止电荷所发生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。 2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。 3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是： V V s D dS dV Q ρ⋅==⎰ ⎰和0 l E dl ⋅=⎰ 。 4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ∇⋅=和 0E ∇⨯=。 5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。 6、在两种媒质分界面的两侧，电场→ E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0； 而磁场→ B 的法向分量 B 1n －B 2n ＝0。 7、在介电常数为 的均匀各向同性介质中，电位函数为 22 11522x y z ϕ= +-,则电场强度E = 5x y z xe ye e --+。 8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体概况为等位面；在导体概况只有电场的法向分量。 9、电荷只能在分子或原子范围内作微小位移的物质称为( D )。 A.导体B.固体 C.液体D.电介质 10、相同的场源条件下，真空中的电场强度是电介质中的( C )倍。 A.ε0εr B. 1/ε
电磁场与电磁波习题及答案
1 1 麦克斯韦I 方程组.的微分形式 是：J . H =J JD,\ E = _。「|_B =0,七出=： 2静电场的基本方程积分形式为： 性£虏=0 3理想导体（设为媒质 2）与空气（设为媒质 1）分界 面 上，电磁场的边界条件为：4线性且各向同性媒质的 本构关系方程是：5电流连续性方程的微分形式为：。 6电位满足的泊松方程为；在两种完纯介质分界面上 电位满 足的边界 。7应用镜像法和其它间接方法解静 态场边值问题的理论依据是。 8.电场强度E Aj 单位是, 电位移D t 勺单位是。9.静电场的两个基本方程的微分 形式为“黑E =0 Q D = P ； 10.—个直流电流回路除 受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安 培力作用 1 .在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A,并令 冒=%，的依据是（c.V 值=0 ） 2 . “某处的电位 中=0,则该处的电场强度 E=0 的说法是（错误的 ）。 3 .自由空间中的平行双线传输线，导线半径为 a ,线 间距为D ,则传输线单位长度的电容为 4 .点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（ 1/r2 ）。 5 . N 个导体组成的系统的能量 W =1£ q * ,其中e i 2 t i i 是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6 .为了描述电荷分布在空间流动的状态， 定义体积电流 密度J,其国际单位为（a/m2 ） 7 .应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性） 分布。 8 .如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一 定为 零 ）。 9 .真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度 dB 随 该点到电流元距离变化的规律为（ 1/r2 ）。 10.半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存 于（整个空间 ）。 三、海水的电导率为 4S/m,相对介电常数为 81,求频 率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： E = e x E m cos t 则位移电流密度为： J d =— = -ex ：-. ■ 0 r E m Sin t ；t 其振幅彳1为：J dm = 网 5E m = 4.5X10- E m 传导电 流的振幅值为： J cm -二- E m = 4E m 因此：Jm =1.125/0 J - cm 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。 试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。 （15 分） 四、解：由高斯定理 7L D LdS =q 得 D =—q^ D=e 「D =er —q-^ 性 " 4nr 2 4nr 2 I 空间的电场分布E - D -e r —q-^ ；O 4 0 导体球的电位 U =二也=W 黑=得3晶=3 a a - a 4 二；0r 4 二；0a 导体球的电容C = 9 =4二；0a U 五、两块无限大接地导体板分别置于 x=0和x=a 处， 其间在x=x0处有一面密度为 仃C/m 2的均匀电荷分 布，如图所示。求两导体板间的电场和电位。 （20 分） 解：d-^ =0 0 ：： x =：： x 0 ; d-i 2 =0 x 0 ：： x :: a dx dx 得.1 x = C 1x ' DI 0 :二 x ::： x 0 ; 2 x = C 2 x R 为:：x ： a , s -=;-s=o=o=J TDTBTETH ♦ aTQTG- la 7 .唯一性定理 8 .V/m C/m2 * — P 3J =——'一〔=一— _ 5. :t 6. ； 1 一 2
电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵编着)(第二版)第7章
第七章 时变电磁场 7-1 设真空中电荷量为q 的点电荷以速度)(c v v <<向正z 方向匀速运动，在t = 0时刻经过坐标原点，计算任一点位移电流。（不考虑滞后效应） 解 选取圆柱坐标系，由题意知点电荷在任意时刻的位 置为),0 ,0(vt ，且产生的场强与角度φ无关，如习题图7-1 所示。设) , ,(z r P φ为空间任一点，则点电荷在P 点产生的电场强度为 3 04R q πεR E = ， 其中R 为点电荷到P 点的位置矢量，即)(vt z r z r -+=e e R 。那么，由t t d ∂∂=∂∂= E D J 0 ε，得 ()() ( ) ()()() () 2 522 2 2 2 5 22 4243vt z r r vt z qv vt z r vt z qrv z r d -+--+-+-=ππe e J 。 7-2 已知真空平板电容器的极板面积为S ，间距为d ，当外加电压t V V sin 0ω=时，计算电容器中的位移电流，且证明它等于引线中的传导电流。 习题图 7-1 P (r ,φ,z ) x
解 在电容器中电场为t d V E sin 0 ω= ，则 t d V t D J d cos 0 0ωωε=∂∂= ， 所以产生的位移电流为 t d SV S J I d d cos 0 0ωωε= =； 已知真空平板电容器的电容为d S C 0 ε=，所带电量为t CV CV Q ωsin 0==，则传导电流为 t d SV t CV t Q I cos cos d d 000ωωεωω=== ； 可见，位移电流与传导电流相等。 7-3 已知正弦电磁场的频率为100GHz ，试求铜及淡水中位移电流密度与传导电流密度之比。 解 设电场随时间正弦变化，且t E m x sin ωe E =，则位移电流 t E t m r x d cos 0ωωεεe D J =∂∂= ， 其振幅值为m r d E J ωεε0= 传导电流t E m x ωσσsin e E J ==，振幅为m E J σ=，可见 σ ωεε0r d J J =； 在海水中，81=r ε，m S /4=σ，则 5.1124 10210361 8111 9=⨯⨯⨯⨯ =-ππJ J d ； 在铜中，1=r ε，m S /108.57⨯=σ，则
电磁场与电磁波理论基础第七章作业题解答
第七章 平面电磁波的反射和透射 习题解答 7-1．空气中的平面电磁波电场幅值为10V/m ，垂直入射到εr =25的无耗非磁性介质的表面，试确定：（1）反射系数和透射系数；（2）在空气中的驻波比；（3）入射波、反射波和透射波的平均功率流密度。 解 （1）由于空气和无耗非磁性介质的磁导率为 120μμμ=≈ 所以，空气和无耗非磁性介质中的波阻抗分别为 ( )()12120120245 ;πηπηπ= =Ω====Ω 由此得到垂直入射情况下，两理想介质分界面的反射系数和透射系数为 2121241200.6724120r ηηππ ηηππ --= =≈-++ 22122240.3324120t ηπ ηηππ ⨯= =≈++ （2）驻波比定义为 11max min E r S E r 由此得到空气中的驻波比为 1106750611067 r .S .r . （3）假定电场矢量沿x e 方向，入射波沿+Z 方向传播，则可写出垂直入射情况下，入射波、反射波和透射波的电场和磁场复振幅矢量表达式为 ()()()1110 1 10001111i i i i jk z i x jk z jk z i i z x y E e E e E e z z z e e e e E H k E ηηη---⨯⎧=⎪⎨=⨯=⎩=⎪ ()()()()1110000111 111r r jk z r x jk z jk z r r r r z x y z z z E e E e E e e e e e E H k E ηηη-⎧=⎪⎨=⨯⨯=⎪-⎩= ()()()2220220002 111t t t t jk z t x jk z jk z t t z x y E e E e E e z z z e e e e E H k E ηηη---⨯⎧=⎪⎨=⨯=⎩=⎪ 根据平均功率流密度的定义式
电磁场与电磁波理论思考题
《电磁场与电磁波理论》思考题 第1章思考题 1.1什么是标量?什么是矢量?什么是矢量的分量? 1.2什么是单位矢量?什么是矢量的单位矢量? 1.3什么是位置矢量或矢径?直角坐标系中场点和源点之间的距离矢量是如何表示的? 1.4什么是右手法则或右手螺旋法则? 1.5若两个矢量相互垂直,则它们的标量积应等于什么?矢量积又如何? 1.6若两个矢量相互平行,则它们的矢量积应等于什么?标量积又如何? 1.7若两个非零矢量的标量积等于零,则两个矢量应垂直还是平行? 1.8若两个非零矢量的矢量积等于零,则两个矢量应垂直还是平行? 1.9直角坐标系中矢量的标量积和矢量积如何计算? 1.10什么是场?什么是标量场?什么是矢量场? 1.11什么是静态场或恒定场?什么是时变场? 1.12什么是等值面?它的特点有那些? 1.13什么是矢量线?它的特点有那些? 1.14哈密顿算子为什么称为矢量微分算子?
1.15标量函数的梯度的定义是什么?物理意义是什么? 1.16什么是通量?什么是环量? 1.17矢量函数的散度的定义是什么?物理意义是什么? 1.18矢量函数的旋度的定义是什么?物理意义是什么? 1.19什么是拉普拉斯算子?标量和矢量的拉普拉斯运算分别是如何定义的? 1.20直角坐标系中梯度、散度、旋度和拉普拉斯算子在的表示式是怎样的? 1.21三个重要的矢量恒等式是怎样的? 1.22什么是无源场?什么是无旋场? 1.23为什么任何一个梯度场必为无旋场?为什么任何一个无旋场必为有位场? 1.24为什么任何一个旋度场必为无源场?为什么任何一个无源场必为旋度场? 1.25高斯散度定理和斯托克斯定理的表示式和意义是什么? 1.26什么是矢量的唯一性定理? 1.27在无限大空间中是否存在既无源又无旋的场?为什么? 1.28直角坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的? 1.29圆柱坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的? 1.30球面坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的? 2.1什么是体电荷、面电荷、线电荷和点电荷?他们分别是如何定义的?
电磁场与电磁波第二版课后练习题含答案
电磁场与电磁波第二版课后练习题含答案 一、选择题 1. 一物体悬挂静止于匀强磁场所在平面内的位置,则这个磁场方向? A. 垂直于所在平面 B. 并行于所在平面 C. 倾斜于所在平面 D. 无法确定 答案：B 2. 在运动着的带电粒子所在区域内,由于其存在着磁场,因此在该粒子所处位置引入一个另外的磁场,引入后,运动着的电荷将会加速么? A. 会加速 B. 不会加速 C. 无法确定 答案：B 3. 一台电视有线播出系统, 将信号源之中所传输的压缩图像和声音还原出来,要利用的是下列过程中哪一个? A. 光速传输 B. 超声波传输 C. 磁场作用 D. 空气振动 答案：C
4. 一根充足长的长直电导体内有恒定电流I通过，则令曼培尔定律最适宜描述下列哪一项观察? A. 两个直平面电流之间的相互作用 B. 当一个直平面电流遇到一个平行于它的磁场时, 会发生什么 C. 当两个平行电流直线之间的相互作用 D. 当电磁波穿过磁场时会发生什么 答案：C 5. 电磁波的一个特点是什么? A. 电磁波是一种无质量的相互作用的粒子 B. 电磁波的速度跟频率成反比 C. 不同波长的电磁波拥有的能量不同 D. 电磁波不会穿透物质 答案：C 二、填空题 1. 一个悬挂静止的电子放在一个以5000 G磁场中,它会受到的磁力是 ____________N. 假设电子的电荷是 -1.6×10^-19 C. 答案：-8.0×10^-14 2. 在一个无磁场的区域内,放置一个全等的圆形和正方形输电线, 则这两个输电线产生的射界是_____________. 答案：相同的
3. 一个点电荷1.0×10^-6 C均匀带电一个闪电球,当位于该点电荷5.0 cm处时, 该牛顿计的弦向上斜,该牛顿计的尺度读数是 4.0N. 该电荷所处场强的大小约为_____________弧度. 答案：1.1×10^4 三、简答题 1. 解释什么是麦克斯韦方程式? 麦克斯韦方程式是一组描述经典电磁场的4个偏微分方程式，包括关于电场的高斯定律、关于磁场的高斯定律、安培环路定理和法拉第电磁感应定律。 2. 什么是最大传输距离？ 最大传输距离指信号可以在某个给定的传输系统或电路中传输的最远距离。该距离取决于多个因素，包括信号强度，传输媒介以及任何障碍物或干扰者的存在。如果距离过远，信号可能被衰减或丢失，导致数据丢失或通信中断。
电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵编着)(第二版)
第五章 恒定磁场 重点和难点 该章重点及处理方法与静电场类似。但是磁感应强度的定义需要详细介绍，尤其要强调磁场与运动电荷之间没有能量交换，电流元受到的磁场力垂直于电流的流动方向。 说明磁导率与介电常数不同，磁导率可以小于1，而且大多数媒质的磁导率接近1。 讲解恒定磁场时，应与静电场进行对比。例如，静电场是无散场，而恒定磁场是无旋场。在任何边界上电场强度的切向分量是连续的，而磁感应强度的法向分量是连续的。 重要公式 磁感应强度定义： 根据运动电荷受力： B v F ⨯=q 根据电流元受力： B l F ⨯=d I 根据电流环受力： B m T ⨯= 真空中恒定磁场方程： 积分形式： I ⎰=⋅l l B 0 d μ ⎰=⋅S S B 0d 微分形式： J B 0 μ=⨯∇ 0=⋅∇B 已知电流分布求解电场强度： 1，A B ⨯∇= V V '' -'=⎰'d ) (4)( 0 r r r J r A πμ
2，V V '' -'-⨯'=⎰'d ) ()( 4)(3 0 r r r r r J r B πμ 毕奥─萨伐定律。 3， I ⎰=⋅l l B 0 d μ 安培环路定律。 面电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为 S ''-'= ⎰'d ) (4)(0 r r r J r A S S πμ S '' -'-⨯'= ⎰'d ) ()(4)( 30 r r r r r J r B S S πμ 线电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为 ⎰ ' ' -' = l r r l r A d 4)(0 I π μ ⎰ ' ' -'-⨯'= l r r r r l r B 3 0 )(d 4)(I π μ 矢量磁位满足的微分方程： J A 0 2μ-=∇ 无源区中标量磁位满足的微分方程： 0 2=∇m ϕ 媒质中恒定磁场方程： 积分形式： I l =⋅⎰l H d ⎰=⋅S S B 0d 微分形式： J H =⨯∇ 0=⋅∇B 磁性能均匀线性各向同性的媒质： 场方程积分形式： ⎰ =⋅l I d μl B ⎰=⋅B S H 0d 场方程微分形式： J B μ=⨯∇ 0=⋅∇H 矢量磁位微分方程： J A 2μ-=∇ 矢量磁位微分方程的解： V V '' -'= ⎰ ' d ) (4)(r r r J r A π μ 恒定磁场边界条件：
电磁场与电磁波第二版答案陈抗生
电磁场与电磁波第二版答案陈抗生 【篇一：2011版电磁场与电磁波课程标准】 xt>课程编号：适用专业：总学时数：学分： 07050021 通信工程本科理论32学时 3 一、课程目的及性质 电磁场与电磁波是通信技术的理论基础，通过本课程的学习，使学 生掌握电磁场的有关定理、定律、麦克斯韦方程等的物理意义及数 学表达式。使学生熟悉一些重要的电磁场问题的数学模型（如波动 方程、拉氏方程等）的建立过程以及分析方法。培养学生正确的思 维方法和分析问题的能力，使学生学会用场的观点去观察、分析和 计算一些简单、典型的场的问题。为后续课程打下坚实的理论基础。 二、本课程的基本内容 第一章矢量分析（一）教学目的与要求 1、理解矢量的标积和矢积； 2、理解标量场的方向导数与梯度； 3、理解矢量场的通量、散度与散度定理； 4、理解矢量场旋度的散度，标量场梯度的旋度； 5、理解亥姆霍兹定理、正交曲面坐标系。（二）教学的重点与难点 1、 2、 3、 矢量场中的散度定理和斯托克斯定理；无散场、无旋场的含义；格 林定理。 （三）课时安排 理论6课时（四）主要内容 第一节：标量与矢量（1）课时 1、 2、 3、 矢量的代数运算矢量的标积与矢积标量场的方向导数与梯度 第二节：矢量场（1）课时 1、矢量场的通量、散度与散度定理 2、 矢量场的环量、旋度与旋度定理 第三节：无散场与无旋场（1）课时 1、矢量场旋度的梯度 2、标量场梯度的旋度 3、格林定理 第四节：矢量场的基本定义和坐标系 1、格林定理 2、矢量场的唯一性定义 3、亥姆霍兹定理 4、正交曲面坐标系（3）课时 第二章静电场（一）教学目的与要求 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、8、 （二）教学的重点与难点 1、 2、 3、 4、 电荷分布与电场强度、电位的关系式；
电磁场与电磁波(杨儒贵_版)课后思考题答案之欧阳德创编
电磁场与波课后思考 题 时间：2021.03.07 创作：欧阳德 1-2 什么是标量与矢量?举例说明. 仅具有大小特征的量称为标量.如:长度,面积,体积,温 度,气压,密度,质量,能量及电位移等. 不仅具有大小而且具有方向特征的量称为矢量.如:力, 位移,速度,加速度,电场强度及磁场强度. 1-3 矢量加减运算及矢量与标量的乘法运算的几何意义 是什么? 矢量加减运算表示空间位移. 矢量与标量的乘法运算表示矢量的伸缩. 1-4 矢量的标积与矢积的代数定义及几何意义是什么? 矢量的标积: ,A 矢量的模与矢 量B 在矢量 θ cos B A B A B A B A B A z z y y x x =++=⋅
A 方 向 上 的 投 影 大 小 的 乘 积 . 矢积: 矢积的方向与矢量A,B 都垂直,且 由矢量A 旋转到B,并与矢积构成右 旋关系,大小为 1-5 什么是单位矢量?写出单位矢量在直角坐标中的表 z y x z y x z y x B B B A A A e e e B A =⨯θsin B A e z θsin B A a e z y x e e e γβαcos cos cos ++=
达式. 模为1的矢量称为单位矢量. 1-6 梯度与方向导数的关系是什么?试述梯度的几何意 义,写出梯度在直角坐标中的表示式. 标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数, 方 向为该点具有最大方向导数的方向. 梯度方向垂直于等值面，指向标量场数值增大的方向 在直角坐标中的表示式: 1-7 什么是矢量场的通量?通量值为正,负或零时分别代 表什么意义? 矢量A 沿某一有向曲面S 的面积分称为矢量A 通过该有向曲面S 的通量,以标量表示，即 通量为零时表示该闭合面中没有矢量穿过. 通量为正时表示闭合面中有源;通量为负时表示闭合 面中有洞. 1-8 给出散度的定义及其在直角坐标中的表示式. 散度：当闭合面S 向某点无限收缩时，矢量A 通过 该闭合面S 的通量 与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A 在该点的散度。 z y x e z e y e x ∂∂+∂∂+∂∂=∇⎰⋅=S S A Ψ d V S V Δd lim div 0Δ⎰⋅=→S A A z A y A x A A div z y x ∂∂+∂∂+∂∂=
电磁场与电磁波课后习题答案全-杨儒贵
第一章 矢量分析 第一章 题 解 1-1 已知三个矢量分别为 z y e e e A x 32-+=； z y e e e B x 23++=；z e e C x -=2。试求①|| |,| |,|C B A ；②单位矢量c b a e e e , ,；③B A ⋅；④B A ⨯；⑤C B A ⨯⨯)(及 B C A ⨯⨯)(；⑥B C A ⋅⨯)(及C B A ⋅⨯)(。 解 ① ()143212 22222=-++=++= z y x A A A A 1421322222 2=++=++=z y x B B B B ()51022 22222=-++=++=z y x C C C C ② ()z y e e e A A A e x a 32141 14-+= == ()z y e e e B B B e x b 23141 14++= == ()z e e C C C e x c -= == 25 1 5 ③ 1623-=-+=++=⋅z z y y x x B A B A B A B A ④ z y z y z y x z y x z y B B B A A A e e e e e e e e e B A x x x 51172 1 3321 --=-==⨯ ⑤ ()z y z y e e e e e e C B A x x 223111 2 5117 +-=---=⨯⨯ 因 z y z y z y x z y x C C C A A A e e e e e e e e e C A x x x x x 4521 2 321 ---=--==⨯
则 ()z y z y e e e e e e B C A x x 13862 1 3 452 +--=---=⨯⨯ ⑥ ()()()152131532=⨯+⨯-+⨯-=⋅⨯B C A ()()()1915027=-⨯-++⨯=⋅⨯C B A 。 1-2 已知0=z 平面内的位置矢量A 与X 轴的夹角为α，位置矢量B 与X 轴的夹角为β，试证 βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 证明 由于两矢量位于0=z 平面内，因此均为二维矢量，它们可以分别表示为 ααsin cos A A y e e A x += ββsin cos B B y e e B x += 已知()βα-=⋅c o s B A B A ，求得 ()B A B A B A β αβαβαsin sin cos cos cos += - 即 βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 1-3 已知空间三角形的顶点坐标为)2 ,1 ,0(1-P ，)3 ,1 ,4(2-P 及)5 ,2 ,6(3P 。试问：①该三角形是否是直角三角形；②该三角形的面积是多少？ 解 由题意知，三角形三个顶点的位置矢量分别为 z y e e P 21-=； z y x e e e P 342-+=； z y x e e e P 5263++= 那么，由顶点P 1指向P 2的边矢量为 z e e P P x -=-412 同理，由顶点P 2指向P 3的边矢量由顶点P 3指向P 1的边矢量分别为 z y e e e P P x 8223++=- z y e e e P P x 7631---=-
电磁场与电磁波(杨儒贵_版)课后思考题答案
电磁场与波课后思考题 1-1 什么是标量与矢量?举例说明. 仅具有大小特征的量称为标量.如:长度,面积,体积,温度,气压,密度,质量,能量及电位移等. 不仅具有大小而且具有方向特征的量称为矢量.如:力,位移,速度,加速度,电场强度及磁场 强度. 1-2 矢量加减运算及矢量与标量的乘法运算的几何意义是什么? 矢量加减运算表示空间位移. 矢量与标量的乘法运算表示矢量的伸缩. 1-3 矢量的标积与矢积的代数定义及几何意义是什么? 矢量的标积: ,A 矢量的模与矢量B 在矢量A 方向上的投影大小的乘积. 矢积: 矢积的方向与矢量A,B 都垂直,且 由矢量A 旋转到B,并与矢积构成右 旋关系,大小为 1-4 什么是单位矢量?写出单位矢量在直角坐标中的表达式. 模为1的矢量称为单位矢量. 1-5 梯度与方向导数的关系是什么?试述梯度的几何意义,写出梯度在直角坐标中的表示式. 标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数, 方向为该点具有最大方向导数的方向. 梯度方向垂直于等值面，指向标量场数值增大的方向 在直角坐标中的表示式: 1-6 什么是矢量场的通量?通量值为正,负或零时分别代表什么意义? 矢量A 沿某一有向曲面S 的面积分称为矢量A 通过该有向曲面S 的通量,以标量表示，即 通量为零时表示该闭合面中没有矢量穿过. 通量为正时表示闭合面中有源;通量为负时表示闭合面中有洞. 1-7 给出散度的定义及其在直角坐标中的表示式. 散度：当闭合面S 向某点无限收缩时，矢量A 通过该闭合面S 的通量 与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A 在该点的散度。 直角坐标形式： 1-8 试述散度的物理概念,散度值为正,负或零时分别表示什么意义? 物理概念：通过包围单位体积闭合面的通量。 散度为正时表示辐散,为负时表示辐合,为零时表示无能量流过. 1-9 试述散度定理及其物理概念. 散度定理:建立了区域 V 中的场和包围区域V 的闭合面S 上的场之间的关系θ cos B A B A B A B A B A z z y y x x =++=⋅z y x z y x z y x B B B A A A e e e B A =⨯θsin B A e z θ sin B A a e z y x e e e γβαcos cos cos ++=z y x e z e y e x ∂∂+∂∂+∂∂=∇⎰⋅=S S A Ψ d V S V Δd lim div 0Δ⎰ ⋅=→S A A z A y A x A A div z y x ∂∂+∂∂+∂∂= A ⋅∇=
电磁场与电磁波第7章课后答案
习题 7-1、如果z z H E ,已知,由无源区的麦克斯韦方程,求圆柱坐标系中ϕρϕρH H E E ,,,与z z H E ,的关系。 解： 设z jk z e E E -=),(0ϕρρρ；z jk z e H H -=),(0ϕρρρ 则 E jk z E z ρρ-=∂∂；H jk z H z ρρ-=∂∂ 在圆柱坐标系中展开无源区的麦克斯韦方程 E j H ρρωε=⨯∇；H j E ρρωμ-=⨯∇ 得 ρϕωεϕρE j H jk H z z =+∂∂1 ρϕωμϕ ρH j E jk E z z -=+∂∂1 ϕρωερE j H H jk z z =∂∂-- ϕρωμρ H j E E jk z z -=∂∂-- z E j H H ωεϕρρρρϕ=∂∂-∂∂1 z H j E E ωμϕ ρρρρϕ-=∂∂-∂∂1 由以上几式得 )1(12ϕρωμρρ∂∂+∂∂-=z z z c H j E jk k E )(12 ρωμϕρϕ∂∂+∂∂-=z z z c H j E k j k E )(12ρϕρωερ∂∂-∂∂=z z z c H jk E j k H )(12ϕρρωεϕ∂∂+∂∂- =z z z c H k j E j k H 式中 222z c k k k -= 7-2证明（） 式为式的解。 证明： 由（） 式z z e V e V z V γγ---++=00)( 可得：2200'')()()(γγγγz V e V e V z V z z =+=---+
因此 0222=-V dz V d γ 即 式 7-2、 从图的等效电路，求５) 和式对应的传输线方程的时域形式。 解： 图 )()(1z I Z dz z dV -= ５) )()(1z V Y dz z dI -= ６) 串联支路上的电压为 dV V dt di dz L dz iR V +=++11 （1） 并联支路上的电流为 di i dt du dz C dz uG i +=++11 (2) 由（1）和（2）式得 dz dt di L iR dV )(1 1+-= （3） dz dt du C uG di )(11+-= （4） 两边同除dz 得 )(11dt di L iR dz dV +-= （5） )(11dt du C uG dz di +-= （6） （5）、（6）式就是５) 和式对应的传输线方程的时域形式。 7-3、由１０)、、和９)式推导１１)和 １2)式。