电磁场与电磁波习题及答案

1

1 麦克斯韦I 方程组.的微分形式 是：J . H =J JD,\ E = _。「|_B =0,七出=：

2静电场的基本方程积分形式为：

性£虏=0

3理想导体（设为媒质 2）与空气（设为媒质 1）分界 面

上，电磁场的边界条件为：4线性且各向同性媒质的 本构关系方程是：5电流连续性方程的微分形式为：。

6电位满足的泊松方程为；在两种完纯介质分界面上 电位满

足的边界 。7应用镜像法和其它间接方法解静 态场边值问题的理论依据是。

8.电场强度E Aj 单位是,

电位移D t 勺单位是。9.静电场的两个基本方程的微分 形式为“黑E =0 Q D = P ； 10.—个直流电流回路除 受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安 培力作用

1 .在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A,并令

冒=%，的依据是（c.V 值=0

）

2 . “某处的电位 中=0,则该处的电场强度 E=0

的说法是（错误的

）。

3 .自由空间中的平行双线传输线，导线半径为

a ,线

间距为D ,则传输线单位长度的电容为

4 .点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（ 1/r2

）。

5 . N 个导体组成的系统的能量 W =1£ q * ,其中e i 2 t i i 是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。

6 .为了描述电荷分布在空间流动的状态， 定义体积电流

密度J,其国际单位为（a/m2 ）

7 .应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）

分布。

8 .如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一 定为

零 ）。

9 .真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度

dB 随

该点到电流元距离变化的规律为（ 1/r2 ）。 10.半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存

于（整个空间

）。

三、海水的电导率为 4S/m,相对介电常数为 81,求频 率为1MHz 时，位幅与导幅比值？

三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为：

E = e x E m cos t

则位移电流密度为：

J d =— = -ex ：-. ■ 0 r E m Sin t

；t

其振幅彳1为：J dm = 网 5E m = 4.5X10- E m 传导电 流的振幅值为： J cm -二- E m = 4E m 因此：Jm =1.125/0

J -

cm

四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。 试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。

（15 分）

四、解：由高斯定理

7L D LdS =q 得 D =—q^ D=e 「D =er —q-^

性 "

4nr 2

4nr 2

I

空间的电场分布E - D -e r —q-^

；O

4 0

导体球的电位

U =二也=W 黑=得3晶=3

a a - a 4 二；0r

4 二；0a

导体球的电容C = 9 =4二；0a

U

五、两块无限大接地导体板分别置于

x=0和x=a 处，

其间在x=x0处有一面密度为 仃C/m 2的均匀电荷分

布，如图所示。求两导体板间的电场和电位。 （20

分） 解：d-^ =0

0 ：： x =：： x 0 ; d-i 2 =0 x 0 ：： x :: a

dx

dx

得.1 x = C 1x ' DI 0 :二 x ::： x 0 ;

2

x = C 2 x R 为:：x ：

a

, s -=;-s=o=o=J

TDTBTETH ♦ aTQTG-

la

7 .唯一性定理

8 .V/m C/m2 * — P 3J =——'一〔=一— _ 5. :t 6. ； 1 一 2

2

6.电介质的极性分子在无外电场作用下，所有正、负电「讲2”）狮股义中心不相*合，而形成电偶极子，但由于电偶

P .x 极就方向不规励, 电偶极矩的矢量和为零。在外电场作

解得G 二一二x0-a,D i =0,C2=_£X0,D2=—

©a °a 心

所以中1 (x )=仃(a _x0)x (0W x Wh)

用下，极性分子的电矩发生 ,使电偶极矩的矢量和不再为零，而产生。

7.根据场的唯一性定理在静态场的边值问题中，只要满足给定的条件，则泊松方程或拉普拉斯方程的

二％a -x

取（x ■1a）（x0

E _ 5 _ e_d d 1 x _£二"" 0 x x

E i ——• 1 ।x - e x — e x 0 ... x ... x°।

dx ^a

. . d d 2 x x c x0

E2 - 2x - -e x -------------------------- = e x —x0 :: x :: a

dx 0a

六、有一平行金属板电容器，极板面积为lxb,板间

距离为d,用一块介质片（宽度为b、厚度为d,介电常数为£）部分填充在两极板之间，如图所示。设极板间外加电压为U0,忽略边缘效应，求介质片所受的静电力。

六、解：平行板电容器的电容为：

C = ；0

（l ~x）b■■:经所以电容器内的电场能量为：d d

1 2 bU2

W e =—CU0 0[ ；0（l -x）；x]

22d

W e

由E =―e a不变可求得介质片受到的静电

-g i

力为匚汹 b（一；O）U；

力为：F x = ------------- U不变= -------------------------

ex |U O2d

1.旋度矢量的恒等与零梯度矢量的恒等与零。

2.在静电场中，导体表面的电荷密度仃与导体外的电,、，，0 4一一，一，

位函数满足的关系式。

3.极化介质体积内的束缚电荷密度与极化强度之间的关系式为。

4.若密绕的线圈匝数为N ,则产生的磁通为单匝时的

倍，其自感为单匝的倍。

5.如果将导波装置的两端短路，使电磁波在两端来回反射以产生振荡的装置称为。解是。

8.谐振腔品质因素Q定义为。

9.在导电媒质中，电磁波的传播速度（相速）随

_改变的现象，称为色散效应。

10.在求解静电场的边值问题时，常常在所研究的区域之外，用一些假想的电荷代替场问题的边界，这种求解方法称为法。

11.若电介质的分界面上没有自由电荷，则电场和电位移应满足的边界条件分别为 ,O 12.电磁波的恒定相位点推进的速度，称为 , 而包络波上某一恒定相位点推进的速度称为。13在任何导波装置上传播的电磁波都可分为三种模式，它们分别是波、波和波

判断题

1.应用分离变量法求解电、磁场问题时，要求整个场域内媒质必须是均匀、线性的。（）

2. 一个点电荷Q放在球形高斯面中心处。如果此电荷被移开原来的球心，但仍在球内，则通过这个球面的电通量将会改变。（）

V

L 二

3.在线性磁介质中，由I的关系可知，电感系数不

仅与导线的几何尺寸、材料特性有关，还与通过线圈的

电流有关。（）

_____ __ _ __ _ ___________ _ ____ ___ ___________ _P , 4.电磁波垂直入射至两种媒质分界面时，反射系数与

p

透射系数T之间的关系为1+ =7。（）

5.损耗媒质中的平面波，其电场强度和磁场强度在空间上互相垂直、时间上同相位。（）

6.均匀平面波中的电场能量与磁场能量相等。（）

7位移电流和传导电流都是电荷定向运动形成的。（）

国（X州％（XW足得边界条件为

i 0)=0, 2 a )=0; i X0 = 2 X0 ,

1

8.在时变电磁场中，只有传导电流与位移电流之和才是

连续的。（）

9.若有两个带电导体球的直径，与球间距离差不多，它们之间的静电力等于把每个球的电量集中于球心后所形

成的两个点电荷之间的静电力。0

第三套1 .在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导

磁率为以，则磁感应强度B和磁场H满足的方程为：13.答：电磁波包络或能量的传播速度称为群速。

群速V g与相速V p的关系式为：v =—+―

g. d v p

1 - -------

V p d，

14.写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？

15.答：位移电流：J；=史位移电流产生磁效应代Ft

表了变化的电场能够产生磁场，使麦克斯韦能够预言电磁场以波的形式传播，为现代通信打下理论基础。

2.设线性各向同性的均匀媒质中，*2* " 0称为

方程。

3.时变电磁场中，数学表达式S=Ex：H称为

4.在理想导体的表面，的切向分量等于零。

5.矢量场A（r）穿过闭合曲面S的通量的表达式为：

6.电磁波从一种媒质入射到理想表面时，电磁波将发生全反射。

7.静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。

8.如果两个不等于零的矢量的等于零，则此两个矢量必然相互垂直。

9.对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合关系。

10.由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用函数的旋度来表示。

E

11.已知麦克斯韦第二方程为含，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式

12.答：意义：随时间变化的磁场可以产生电场。

其积分形式为：. E dl = - - dS C S日

13.试简述唯一性定理，并说明其意义。

14.答：在静电场中，在给定的边界条件下，拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯一的，这一定理称为唯一性定理。它的意义：给出了定解的充要条件：既满

足方程又满足边界条件的解是正确的。

15.什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。

三、计算题（每小题10分，共30分）

16.按要求完成下列题目

（1）判断矢量函数B = _y2e x+xz&是否是某区域的

磁通量密度？（2）如果是，求相应的电流分布。

解：（1）根据散度的表达式寸点汨、+也丫+也z将矢

B

女 7 改

量函数B代入，显然有V B=0故：该矢量函数为某

区域的磁通量密度。

（2）电流分布为：

J 1 _ -

」V MB

e

a

(2y +zf z ]

（汾）

（2分）

（1分）

?x

___

t x

-y2

1L

乩

e y

玲

xz

-x&

十

16 矢量A = 2e x + e v - 3e z x y z

B =5?x - 叫

—ez，求

（

1) A+B (2) A B 解：1A+B=7&X—2?y—4?z 2AB = 10 — 3 + 3 = 10

17.在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式

为E = G?x3E0—e y4E0 e-kz 1.试写出其时间表达式；2.说明电磁波的传播方向；

解：（1）该电场的时间表达式为：E（z,t ）= Re（Ee 侬）

E z,t = @x3E0-?y4E o cos t - kz

由于相位因子为e-jkz,其等相位面在xoy平面，传播方向为z轴方向。

4

18 .均匀带电导体球，半径为a ,带电量为Q。试求

球内任一点的电场球外任一点的电位移矢量

解：（1）导体内部没有电荷分布，电荷均匀分布在导

体表面，由高斯定理可知在球内处处有：±JDdS=0

S

故球内任意一点的电位移矢量均为零，即E~=0 r

由于电荷均匀分布在r = a的导体球面上，故在r > a 的球面上的电位移矢量的大小处处相等，方向为径向，

即D = D0?r ,由高斯定理有g D，dS = Q即

S

4nr2D0 =Q 整理可得：D = D0?r =-^3?『r >a

4 丁2

19.设无限长直导线与矩形回路共面，（1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（画X）；（2）设矩形

回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。解：建立如图坐标

通过矩形回路中的磁感应强度的方向为穿入纸面，即

为？y方向。在xoz平面上离直导线距离为x处的磁感

应强度可由下式求出：qB ，di =N0I即：B=?电

c ' 2 二x 通过矩形回路中的磁通量

d b a/2 , ,

o I 01a । d = B dS = - ---- dxdz = -------- In --------

S x‘z./2 2：x 2 二d b

20.解：（1）由于所求区域无源，电位函数满足拉普拉斯方程设：电位函数为e（x,y）,满足方程：炉帼,y户丝+磔=0 Q）利用分离变量法:

次：y

d 2 f

x,y = f x g y ：x2；g

▽

k；

虬f =*l x=a =*l y T改=0，"（x,y的通解可写为:

QO

x, y = " A n Sin n 1

再由边界条件:

求得A n A =独1 _c osn 7t n

rAn 11 cosn 儿

n 二槽内的电位分布为

；2U0d , n 二口

x,y =、 -------- 1 - cos Tts i n——x e a1

n』n 二 a

.在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为

名，则电位移矢量D和电场E满足的方程为：

O

2.设线性各向同性的均匀媒质中电位为*,媒质的介

电常数为名，电荷体密度为A,电位所满足的方为

O

3.时变电磁场中，坡印廷矢量的数学表达式为

O

4.在理想导体的表面，电场强度的分量等于零。

5.表达式：网「P S称为矢量场A（C穿过闭合曲面S的

O

6.电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波将发生。

7.静电场是保守场，故电场强度沿任一条闭合路径的

积分等于。

8.如果两个不等于零的矢量的点积等于零，则此两个矢量必然相互。

9.对横电磁波而言，在波的传播方向上电场、磁场分量为。

10.由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场

是场，因此，它可用磁矢位函数的旋

度来表示。

简述题（每小题5分，共20分）

答：磁通连续性原理是指：磁感应强度沿任一闭合曲面的积分等于零，或者是从闭合曲面S穿出去的通量

等于由S外流入S内的通量。其数学表达式为：

■ B dS = 0

S

12.答：当一个矢量场的两类源（标量源和矢量源）在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。亥姆霍兹定理告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等），需要从散度和旋度两个方面去研究，或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究。

13.答：其物理意义：随时间变化的磁场可以产生电

场。方程的微分形式：px E = q

t

14.答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。极化可以分为：线极化、圆极化、椭圆极化。

+ k ： f = 0

- k y g = 0

- k 2 =0

y

根据边界条件

-n

二y

x e a

QO

二、A n sin

n 1

1

2

15.矢量函数A = —yx e x+ yzeZ, 试求（1）V A（2）

解:

t A J

水

二-2xy y

、A

FAy

十——

y

（3

分）

（2

分）

e x

▽M A

= 孝2

-yx

2 =&z -e,x

e y

e

T

o

e

$

i

yz

（3

分）

（2

分）

16.矢量A =2e x —2g , B

二？x

—a，求（1）A-B （2）求出两矢量的夹角

解：1A-B =28 -2e z - e x §

e x e y -2e Z （3分）

（2分）

2根据A B = ABCOSH A B=（2& _2?z 乂e x —e y ）=2 cos 6= 2 =-所以9 =6°

2 2,2 2

17.方程给出一球族

解：（1）0=ex & +ey 亳+&掾（3分）

=&2x+e y2y+32z （2 分）

、、? 2 a 4 ⑵"扁所"=京系& e y2 .5

18.放在坐标原点的点电荷在空间任一点r （1）求出电力线方程；（2）画出电力线。

1E q-^er

4 ：

qr 3 =-J（gx+eyy +&z 外力线4，立o r 4 -7. o r

方程得A =X =A对上式积分得

dx dy dz

y - C1 x

式中，C1，C2为任意常数。z - C2 y

（2）电力线图18-2所

示。解：（1）镜像电荷所在的位置如图19-1所示。（2）如图19-2所示任一点（x, y, z）处的电位为

q 1 1 1 1

Q = ----- ———十一——I

4 二;0 「1 「2 ' 「4

「1 =沁一12 +（y _2 2 +z2

其中, r2 =｛（x_1 j+（y+2 2+z2

门=《（x+1 2+（y+2 2 +z2

r4 =、：（x+1 2 +（y -2 2 +z2

20.设时变电磁场的电场强度和磁场强度分别为：

E =E o cos（ t _ ；）H = H o COS（ t 一m）

写出电场强度和磁场强度的复数表达式

证明其坡印廷矢量的平均值为：

一1 _ 一

S av =-E o^H o C O*s《）

解：1电场强度的复数表达式E = E o e」电（电场强

度的复数表达式H =H o e」m

，一1 *

（2）据S av = —Re（E M H ）得

2

S av = 2 ReE o H o e—j（e—m）=、E o H°cos（e-m）

21.设沿+z方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到

理想导体，如图2所示，该电磁波电场只有x分量即

E=e x E o e」F求出反射波电场的表达式；求出区域1媒质的波阻抗。

解：（1）设反射波电场E r=exE r e j®

区域1中的总电场为

E E r =?x（E°e jz E r e jz）

根据z = o导体表面电场的切向分量等于零的边界条

件彳导E r = -E o

反射波电场的表达式为E r=-e x E o e j：z

191俵点电荷位于金属直角劈上方，如图算峥-求

画出镜像‘电荷所在的位置直角劈任意一点（内/冽处的

（2）媒质1的波阻抗n =图

-q 因而得=12。♦二二377（j）