弹簧类专题

弹簧类专题

在中学阶段，凡涉及的弹簧都不考虑其质量，称之为“轻弹簧”，是一种常见的理想化物理模型。在《考试说明》中涉及它的知识点有：

①形变和弹力，胡克定律(该知识点为B级要求)；

②弹性势能(A级要求)、弹簧振子等

借助于弹簧问题，能将整个力学知识和方法有机地结合起来、系统起来，因此弹簧问题是高考命题的热点，历年全国以及各地的高考命题中以弹簧为情景的选择题、计算题等经常出现，很好的考察了学生对静力学问题、动力学问题、能量守恒问题、振动问题、功能关系问题等知识点的理解，考察了对于一些重要方法和思想的运用。

一、轻质弹簧的一些特性

性质1、轻弹簧在力的作用下无论是平衡状态还是加速运动状态，各个部分受到的力大小是相同的。其伸长量等于弹簧任意位置受到的力和劲度系数的比值。

1、如图所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为F 的拉力作用，而左端的情况各不相同：①中弹簧的左端固定在墙上；②中弹簧的左端受大小也为 F 的拉力作用；③中弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动；④中弹簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑动 .

若认为弹簧的质量都为零，以依次表示四个弹簧的伸长量，则有（）

A. B. C. D.

性质2、两端与物体相连的轻质弹簧上的弹力不能在瞬间变化——弹簧缓变特性；有一端不与物体相连的轻弹簧上的弹力能

够在瞬间变化为零。

2、如右图1、2、

3、

4中撤出任何一个力的瞬

间，弹簧的长度不会变

化，弹力的大小也不会变

化；但是在图5中撤出力

F的瞬时，弹簧恢复原

长，弹力变为零。

性质3、弹簧的形变有拉伸和压缩两种情形，拉伸和压缩形变对应弹力的方向相反。分析弹力时，在未明确形变的具体情况时，要考虑到弹力的两个可能的方向。

3、如图所示，a、b、c为三个物块，M、N为两个轻质弹簧，R为跨过光滑定滑轮的

轻绳，它们均处于平衡状态.则:（）

A.有可能N处于拉伸状态而M处于压缩状态

B.有可能N处于压缩状态而M处于拉伸状态

C.有可能N处于不伸不缩状态而M处于拉伸状态

D.有可能N处于拉伸状态而M处于不伸不缩状态

性质4、弹力的大小与形变量成正比，方向与形变的方向相反，即F=-kx，是一个线性回复力，物体在弹簧弹力的作用下，通常会做简谐运动。

以简谐运动为模型分析动力学问题会减少错误带来方便。例如一个质量为M 的物

体从高处自由下落在一个弹簧上，试分析物体的运动情况。由简谐运动的知识知道，物

体一旦接触弹簧其运动就进入了简谐振动过程，必定存在一个平衡位置（如图中O 的

位置，重力等于弹力），物体靠近平衡位置的阶段必定是速度增大、加速度减小，远离

平衡位置的阶段，必定是速度减小、加速度增大。

如果结合简谐运动的对称性还可以方便地分析力的变化、能量的变化等问题，应当

注意体会和运用。

性质5、弹性势能和弹力的功

（1） 弹性势能

①弹性势能的大小：弹簧能够储存弹性势能，它储存的弹性势能的大小与弹性形变量的大小和劲度系数有关，212P E kx =（运用此式的定量计算在高中阶段不作要求，只做理解弹性势能的依据）。 ②弹性势能的计算：弹性势能的定量计算依据功能关系或能的转化和守恒定律。 （2）弹力的功

弹力的功是变力的功，因为弹力随着位移是线性变化的，所以弹力功的大小可以用平均力12F F =

求得即，21122

W Fx Fx kx === 说明：

①上式是弹簧由原长到伸长或者压缩x 长度的过程弹力做的功，上式中的F 是形变量为x 时的弹力。

②当形变量由x 1变为x 2时弹力功的大小为22122111()()22

W F x F F x k x x =⋅∆=+∆=- （3）弹力功的特点

弹簧弹力的功与路径无关——同一弹簧在某一过程中弹力的功只是取决于初末状态弹簧形变量的大小，与弹力的作用点经过的路径没有关系。这一点对于计算弹力的功和弹性势能是非常重要的，必须引起重视。

（4）弹性势能与弹力功的关系

①弹力做正功时弹性势能减少；弹力做负功时弹性势能增加。

②弹力的功等于弹性势能增量的负值即：12p p p W E E E =-∆=-

二、分析弹簧问题需要特别关注的几点

（1）弹力不能突变的特点——形变的发生和恢复都需要一定的时间，

（2）物体做简谐运动的特点——运动状态存在对称性

（3）弹力做功与路径无关的特点，重力势能只取决于状态的特点

（4）有临界状态和转折状态的特点——分离状态、合力为零状态、拉力和压力转折状态等

（5）弹簧问题多解的特点——对同一大小的弹力弹簧对应两个状态，要注意不要漏解

三、典型例题

一、与物体平衡相关的弹簧问题

1.如图示，两木块的质量分别为m 1和m 2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k 1和k 2，上面木块压

在上面的弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧．在这过程中下面木块移动的距离为( )

A.m 1g/k 1

B.m 2g/k 2

C.m 1g/k 2

D.m 2g/k 2

2.S 1和S 2表示劲度系数分别为k 1，和k 2两根轻质弹簧，k 1>k 2；A 和B 表示质量分别为m A 和

m B 的两个小物块，m A >m B ,将弹簧与物块按图示方式悬挂起来．现要求两根弹簧的总长度最大，则应使( )．

A .S 1在上，A 在上

B .S 1在上，B 在上

C .S 2在上，A 在上

D .S 2在上，B 在上

二、求与弹簧相连物体的瞬时加速度

求解这类问题的方法是：（1）由物体所处的运动状态求出弹簧的弹力；（2）去掉某一个力后（通常是剪断绳子）的瞬间，认为弹簧的弹力不变化，求出物体受到的合力；（3）由牛顿第二定律列方程求解。

3、如图所示，竖直光滑杆上套有一个小球和两根弹簧，两弹簧的一端各与小球相连，另一

端分别用销钉M 、N 固定与杆上，小球处于平衡状态，设拔除销钉M 的瞬间，小球加速度的大

小为12m/s 2，若不拔除销钉M 而拔除销钉N 瞬间，小球的加速度可能是（g=10 m/s 2）

A 、22 m/s 2，方向竖直向上

B 、22 m/s 2，方向竖直向下

C 、2 m/s 2，方向竖直向上

D 、2 m/s 2，方向竖直向下

4、质量分别为m 和2m 的小球P 、Q 用细线相连，P 用轻弹簧悬挂在天花板下，开始系统处

于静止。下列说法中正确的是

A ．若突然剪断细线，则剪断瞬间P 、Q 的加速度大小均为g

B ．若突然剪断细线，则剪断瞬间P 、Q 的加速度大小分别为0和g

C ．若突然剪断弹簧，则剪断瞬间P 、Q 的加速度大小均为g

D ．若突然剪断弹簧，则剪断瞬间P 、Q 的加速度大小分别为3g 和0

三、与动力学相关的弹簧问题

5.如图所示，在重力场中，将一只轻质弹簧的上端悬挂在天花板上，下端连接一个质量

为M 的木板，木板下面再挂一个质量为m 的物体．当剪掉m 后发现：当木板的速率再次为

零时，弹簧恰好能恢复到原长，(不考虑剪断后m 、M 间的相互作用)则M 与m 之间的关系

必定为 ( B )

A.M >m B .M =m C.M

6.如图所示，轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板，在薄板上放重物，用手将重物向

下压缩到一定程度后，突然将手撤去，则重物将被弹簧弹射出去，则在弹射过程中(重物与弹

簧脱离之前)重物的运动情况是 ( C )

A.一直加速运动 B ．匀加速运动

C.先加速运动后减速运动 D ．先减速运动后加速运动

四、功和能中的弹簧问题

与弹簧相关的综合问题无一不涉及弹力做功和能量转化问题，解决这类问题最关键的环节是：

（1）分析物体的受力情况并结合初始条件明确物体做什么运动

（2）根据功的计算公式分析在每一个过程或者阶段中有哪些力做功、哪些力不做功、哪些力做正功或者做负功。

（3）着眼系统根据功能关系明确哪些能量在增加或者减少

（4）注意到重力的功和弹力的功的重要特点列方程求解。

1、一个物体与弹簧组成的系统机械能守恒的问题

12、如图所示，轻质弹簧竖直放置在水平地面上，它的正上方有一金属块从高处自由下落，从金属块自由下落到第一次速度为零的过程中

A ．重力先做正功，后做负功

B ．弹力没有做正功

C ．金属块的动能最大时，弹力与重力相平衡

D ．金属块的动能为零时，弹簧的弹性势能最大 P Q

解析：要确定金属块的动能最大位置和动能为零时的情况，

就要分析它的运动全过程弄清楚物体的运动情况。为了物体弄清

运动情况，必须做好受力分析。可以从图3-19看出运动过程中的

情景。

从图上可以看到在弹力N＜mg时，a的方向向下，v的方向

向下，金属块做加速运动。当弹力N等于重力mg时，a=0加速

停止，此时速度最大。所以C选项正确。弹力方向与位移方向始

终反向，所以弹力没有做正功，B选项正确。重力方向始终与位移同方向，重力做正功，没有做负功，A 选项错。速度为零时，恰是弹簧形变最大时，所以此时弹簧弹性势能最大，故D正确。

所以B，C，D为正确选项。

答案：B C D

误区警示：（1）错解思维过程分析：金属块自由下落，接触弹簧后开始减速，当重力等于弹力时，金属块速度为零。所以从金属块自由下落到第一次速度为零的过程中重力一直做正功，故A错。而弹力一直做负功所以B正确。因为金属块速度为零时，重力与弹力相平衡，所以C选项错。金属块的动能为零时，弹力最大，所以形变最大，弹性势能最大。故D正确。（2）错解原因分析：形成以上错解的原因是对运动过程认识不清。对运动性质的判断不正确。金属块做加速还是减速运动，要看合外力方向（即加速度方向）与速度方向的关系。

总结升华：

（1）对于较为复杂的物理问题，认清物理过程，建立物情景是很重要的。做到这一点往往需画出受力图，运动草图，这是应该具有的一种解决问题的能力。

（2）分析问题可以采用分析法和综合法：如C选项中动能最大时，速率最大，速率最大就意味着它的变化率为零，即a=0，加速度为零，即合外力为零，由于合外力为mg-N，因此得mg=N，D选项中动能为零，即速率为零，单方向运动时位移最大，即弹簧形变最大，也就是弹性势能最大。

（3）题中金属块和弹簧在一定时间和范围内做往复运动是一种简运振动。从简谐运动图象可以看出位移变化中速度的变化，以及能量的关系。

举一反三：

【变式】如图所示，水平地面上沿竖直方向固定一轻质弹簧，质量为M的小球，由弹簧上高H处自由落下，刚接触到弹簧时的速度为V，在弹性限度内，弹簧被小球作用的最大压缩量为h，那么弹簧在被

压缩了h时，弹性势能为（）

A、mgH

B、mgh

C、mgh+mv2

D、mgH+mv2

E、mg（h+H）

思路点拨：这类问题较简单，从能的转化上看只是弹簧的弹性势能与物体的动、势能之间的转化，明确系统的初末状态由动能定理或能量守恒等知识即可解决。

解析：以系统机械能守恒为依据解题

（1）将物体刚接触弹簧时作为系统的初状态，弹簧最大压缩时作为末状态，则这一过程系统减少的重力势能和动能mgh+mv 2

全部转化为弹性势能E P ，所以选项C 正确； （2）从着眼系统从全过程看，物体从弹簧上方高Ｈ处自由下落至弹簧的最大压缩量h 时，重力势能减少了：＝ｍｇ（ｈ＋Ｈ），由于末态系统速度为零，减少的重力势能最终全部转化为弹簧的弹性势能，所以选项E 正确。正确答案为（C 、E ）。

答案：C 、E

2、两个物体和弹簧组成的系统——能量守恒与临界状态相结合的问题

13．如图所示，质量分别为m 和M 的A 、B 两重物用劲度系数为k 的轻质弹簧竖直地连接起来，使弹簧为原长时，两物从静止开始自由下落，下落过程中弹簧始终保持竖直状态。当重物A 下降距离h 时，重物B 刚好与地面相碰，假定碰后的瞬间重物B 不离开地面（B 与地面做完全非弹性碰撞）但不粘连。为使重物A 反弹时能将重物B 提离地面，试问下落高度h 至少应为多少？（提示：弹簧形变量为x 时的弹性势能为E P =）

思路点拨：系统在B 物体着地之后A 物体做简谐运动，先压缩弹簧后被反弹，当A 上升过程中弹簧的拉力等于B 的重力时，B 开始离开地面，此运动过程系统的机械能守恒

解析：B 触地时，弹簧为原长，A 的速度为：

A 压缩弹簧，后被向上弹起弹簧又恢复原长时，因机械守恒，可知A 的速度仍为：

A 继续向上运动拉伸弹簧，设法V A =0时弹簧伸长量为x ，则要使此时

B 能被提前离

地面，应有：kx=Mg

而在此弹簧被拉伸的过程对A 和弹簧有：

由上几式可解得：

答案：

总结升华：抓住临界状态解题往往会使得解题过程简化，如本题中V A =0时弹簧伸长量为x ， B 恰好被提前离地面，就是一个临界状态，对应的临界条件是：kx=Mg

9、如图，质量为1m 的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为2m 的物体B 相

连，弹簧的劲度系数为k ，A 、B 都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，

一端连物体A ，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A 上方的一段绳沿

竖直方向。现在挂钩上挂一质量为3m 的物体C 并从静止状态释放，已知它恰好能使B

离开地面但不继续上升。若将C 换成另一个质量为)(31m m 的物体D ，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B 刚离地时D 的速度的大小是多少？已知重力加速度为g 。

解析：开始时，A 、B 静止，设弹簧压缩量为x 1，有

g m kx 11= ①

挂C 并释放后，C 向下运动，A 向上运动，设B 刚要离地时弹簧伸长量为x 2，有

g m kx 22= ②

B 不再上升，表示此时A 和

C 的速度为零，C 已降到其最低点。由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧性势能的增加量为

)()(21213x x mg x x g m E +-+=∆ ③

C 换成

D 后，当B 刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，设B 刚离地时D 的速度的大小为v ，由能量关系得

E x x g m x x g m m v m v m m ∆-+-++=++)()()(2

1)(21211211321213 ④ 由③④式得 )()2(21211231x x g m v m m +=+ ⑤ 由①②⑤式得k

m m g m m m v )2()(2312

211++= 即为B 刚离地时D 的速度。

五、与弹簧相关的临界问题或极值问题

这类问题是弹簧问题中的热点和难点，它往往能够比较全面的考察考生的分析综合能力。解决这类问题的方法是：根据物体所处的运动状态运用牛顿定律、功能关系或者能量守恒定律、胡克定律等列出方程——以弹簧的伸长量或弹簧的弹力为自变量进行动态分析，从中找出临界状态、极值状态、转折状态以及对应的条件——计算并进行必要的讨论。

相互接触的物体间可能存在弹力相互作用。对于面接触的物体，在接触面间弹力变为零时，它们将要分离。抓住相互接触物体分离的这一条件，就可顺利解答相关问题。

两个相互接触的物体被弹簧弹出，这两个物体在什么位置恰好分开？这属于临界问题。“恰好分开”既可以认为已经分开，也可以认为还未分开。认为已分开，那么这两个物体间的弹力必然为零；认为未分开，那么这两个物体的速度、加速度必然相等。同时利用这两个结论，就能分析出当时弹簧所处的状态。这种临界问题又分以下两种情况：

1．仅靠弹簧弹力将两物体弹出，那么这两个物体必然是在弹簧原长时分开的。

例3．如图所示，两个木块A 、B 叠放在一起，B 与轻弹簧相连，弹簧下端固定在水平面上，用竖直向下的力F 压A ，使弹簧压缩量足够大后，停止压缩，系统保持静止。这时，若突然撤去压力F ，A 、B 将被弹出且分离。下列判断正确的是 A ．木块A 、B 分离时，弹簧的长度恰等于原长 B ．木块A 、B 分离时，弹簧处于压缩状态，弹力大小等于B 的重力

C ．木块A 、B 分离时，弹簧处于压缩状态，弹力大小等于A 、B 的总重力

D ．木块A 、B 分离时，弹簧的长度可能大于原长

解：以A 为对象，既然已分开，那么A 就只受重力，加速度竖直向下，大小为g ；又未分开，A 、B 加速度相同，因此B 的加速度也是竖直向下，大小为g ，说明B 受的合力为重力，所以弹簧对B 没有弹力，弹簧必定处于原长。选A 。此结论与两物体质量是否相同无关。

例4．如图所示，轻弹簧左端固定在竖直墙上，右端与木块B 相连，木块A 紧靠木块B 放置，A 、B 与水平面间的动摩擦因数均为μ。用水平力F 向左压A ，使弹簧被压缩一定程度后，系统保持静止。若突然撤去水平力F ，A 、B 向右运动，下列判断正确的是 A ．A 、B 一定会在向右运动过程的某时刻分开

B ．若A 、B 在向右运动过程的某时刻分开了，当时弹簧一定是原长

C ．若A 、B 在向右运动过程的某时刻分开了，当时弹簧一定比原长短

D ．若A 、B 在向右运动过程的某时刻分开了，当时弹簧一定比原长长

解：若撤去F 前弹簧的压缩量很小，弹性势能小于弹簧恢复原长过程A 、B 克服摩擦阻力做的功，那么撤去F 后，A 、B 虽能向右滑动，但弹簧还未恢复原长A 、B 就停止滑动，没有分离。

只要A 、B 在向右运动过程的某时刻分开了，由于分离时A 、B 间的弹力为零，因此A 的加速度是a A =μg ；而此时A 、B 的加速度相同，因此B 的加速度a B =μg ，即B 受的合力只能是滑动摩擦力，所以弹簧必然是原长。选B 。

2．除了弹簧弹力，还有其它外力作用而使相互接触的两物体分离。那么两个物体分离时弹簧必然不是原长。

例5．如图所示，质量均为m=500g 的木块A 、B 叠放在一起，轻弹簧的劲度为k=100N/m ，上、下两端分别和B 与水平面相连。原来系统处于静止。现用竖直向上的拉力F 拉A ，使它以a=2.0m/s 2的加速度向上做匀加速运动。求：⑴经过多长时间A 与B 恰好分离？⑵上述过程中拉力F 的最小值F 1和最大值F 2各多大？⑶刚施加拉力F 瞬间A 、B 间压力多大？ 解：⑴设系统静止时弹簧的压缩量为x 1，A 、B 刚好分离时弹簧的压缩量为x 2。

kx 1=2mg ，x 1=0.10m 。A 、B 刚好分离时，A 、B 间弹力大小为零，且a A =a B =a 。以B 为对象，用牛顿第二定律：kx 2-mg=ma ，得x 2=0.06m ，可见分离时弹簧不是原长。该过程

A 、

B 的位移s=x 1-x 2=0.04m 。由221at s ，得t=0.2s ⑵分离前以A 、B 整体为对象，用牛顿第二定律：F+kx -2mg=2ma ，可知随着A 、B 加速上升，弹簧形变量x 逐渐减小，拉力F 将逐渐增大。开始时x=x 1，F 1+kx 1-2mg=2ma ，得F 1=2N ；A 、B 刚分离时x=x 2，F 2+kx 2-2mg=2ma ，得F 2=6N

⑶以B 为对象用牛顿第二定律：kx 1-mg-N=ma ，得N =4N

1、匀变速运动过程中弹力变化引起的临界状态

7、一根劲度系数为k ，质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m 的物体，有一

水平板将物体托住，并使弹簧处于自然长度。如图所示。现让木板由静止开始以加速度a(a

＜g ＝匀加速向下移动。求经过多长时间木板开始与物体分离。

思路点拨：对物体受力分析，由牛顿第二定律列出方程，明确匀变速运动过程中合力

大小方向不变，分析板对物体的支持力和弹力的变化情况，找出板与物体分离的条件进行求

解。

解析：设物体与平板一起向下运动的距离为x 时，物体受重力mg ，弹簧的弹力F=kx 和平板的支持力N 作用。

据牛顿第二定律有：mg-kx-N=ma 整理得N=mg-kx-ma

物体匀变速运动，其加速度a 恒定不变，随着物体向下运动X 变大，板对物体的支持力N 变小，当N=0时，物体与平板分离。

所以此时

由，得经过的时间板与物体分离。

A B F k

答案：

总结升华：（1）板与物体分离的状态也就是物体匀变速运动的末状态，分离之后物体做简谐振动，不再是匀变速运动。动态分析是解决综合问题寻找隐含条件和临界条件的重要方法，动态分析的要点是：找出不变量、明确自变量和自变量的变化范围。

8、解析：因为在t=0.2s内F是变力，在t=0.2s以后F是恒力，所以在t=0.2s时，P离开秤盘。此时P受到盘的支持力为零，由于盘和弹簧的质量都不计，所以此时弹簧处于原长。在0_____0.2s这段时间内P向上运动的距离：x=mg/k=0.4m

因为，所以P在这段时间的加速度

当P开始运动时拉力最小，此时对物体P有：N-mg+Fmin=ma，又因此时N=mg，所以有Fmin=ma=240N.

当P与盘分离时拉力F最大，Fmax=m(a+g)=360N.

答案：240N、360N

2、极值问题与弹力功的特点

9、如图所示，一劲度系数为k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m=12kg

的物体A、B。物体A、B和轻弹簧竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F

在上面物体A上，使物体A开始向上做匀加速运动，经0.4s物体B刚要离开地面，设

整个过程中弹簧都处于弹性限度内，取g=10m/s2，求：

（1）此过程中所加外力F的最大值和最小值。

（2）此过程中外力F所做的功。

解析：

(1)A原来静止时：kx1=mg ①

当物体A开始做匀加速运动时，拉力F最小，设为F1，对物体A有：

F1＋kx1－mg=ma ②

当物体B刚要离开地面时，拉力F最大，设为F2，对物体A有：

F2－kx2－mg=ma③

对物体B有：kx2=mg④

对物体A有：x1＋x2＝⑤

由①、④两式解得a=3.75m/s2，分别由②、③得F1＝45N，F2＝285N

(2)在力F作用的0.4s内，初末状态的弹性势能相等，由功能关系得：

W F=mg(x1＋x2)+49.5J

答案：(1) 45N，285N (2) 49.5J

总结升华：拉力F的功是变力的功，不能直接用功的计算公式求解，要用功能关系求解；弹簧弹力的功与路径无关，只取决于初、末状态的形变量，这一点必须引起注意。

10、A 、B 两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图9-6所示，已知木块A 、B 质量分

别为0.42 kg 和0.40 kg ，弹簧的劲度系数k =100 N/m ，若在木块A 上作用一个竖

直向上的力F ，使A 由静止开始以0.5 m/s 2的加速度竖直向上做匀加速运动（g =10

m/s 2

）.

（1）使木块A 竖直做匀加速运动的过程中，力F 的最大值；

（2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A 、B 分离的过

程中，弹簧的弹性势能减少了0.248 J ，求这一过程F 对木块做的功.

命题意图：考查对物理过程、状态的综合分析能力.B 级要求. 错解分析：此题难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后，确定两物

体分离的临界点，即当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力 N =0时 ,恰好分离.

解题方法与技巧:

当F =0（即不加竖直向上F 力时），设A 、B 叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的

压缩量为x ，有

kx =（m A +m B ）g

x =（m A +m B ）g /k ①

对A 施加F 力，分析A 、B 受力如图9-7

对A F +N -m A g =m A a ②

对B kx ′-N -m B g =m B a ′ ③

可知，当N ≠0时，AB 有共同加速度a =a ′，由②式知欲使A 匀加速运动，随N 减小F 增大.当N =0时，F 取得了最大值F m ,

即F m =m A （g +a ）=4.41 N

又当N =0时，A 、B 开始分离，由③式知，

此时，弹簧压缩量kx ′=m B （a +g ）

x ′=m B （a +g ）/k ④

AB 共同速度 v 2=2a （x -x ′） ⑤

由题知，此过程弹性势能减少了W P =E P =0.248 J

设F 力功W F ，对这一过程应用动能定理或功能原理 W F +E P -（m A +m B ）g （x -x ′）=21（m A +m B ）v 2 ⑥

联立①④⑤⑥，且注意到E P =0.248 J

可知，W F =9.64×10-2 J

类型四：与简谐运动相关的问题——动力学中一类重要的问题

与弹簧相联系的物体的运动大都是简谐运动，解决这类问题最好的方法就是运用简谐运动的基本规律和结论去分析问题解决问题。为了使问题分析更加准确和快捷，画好运动过程中一些典型状态图是非常必要的，因为分析物理过程的关键常常需要分析其中的典型状态，所以画好典型状态图可以帮助我们轻松解决弹簧类问题。

简谐运动的规律和结论：简谐运动是变加速运动，物体靠近平衡位置时速度增大加速度减小；远离平衡位置时速度减小，加速度增大；描写运动的各个物理量具有对称性和周期性；简谐运动机械能守恒等。

1、简谐运动的对称性和功能关系的运用

8、劲度系数为k 的轻弹簧两端分别连接质量都是m 的木块P 、Q 如图所示，处于静止状态。现用竖直向下的力F 缓慢压P ，最终使系统处于静止状态。撤去F 后P 做简谐运动而Q 恰好始终不离开地面。求：

（1）物体P 的振幅A 。

图9-7 图9-6

（2）物体P的最大加速度a m。

（3）外力F压物体p所做的功W。

思路点拨：画出运动过程弹簧的几个典型状态，形成清晰的物理情景，运用规律求解。

状态Ⅰ：弹簧处于原长，如图(1)。

状态Ⅱ：放上物体P后静止时位于C点（弹簧被压缩），如图(2)。

状态Ⅲ：用竖直向下的力后F缓慢压P至D点，刚撤去F时（弹簧被压缩至最短），如图(3)。

状态Ⅳ：物体P向上运动至最高点E时（弹簧伸长至最长），如图(4)。

画出上列四个状态图后，此题的物理情境就非常清晰了。

解析：

（1）设放上物体P后，当P静止于C点时弹簧的压缩量为x1，则kx1=mg①C点即为P做简谐运动的平衡位置。

现用力F缓慢压P至D撤去F，C、D间的距离即为振幅A。

又Q恰好始终不离开地面，故P运动至最高点E时，地面对Q的支持力为零，即

kx2=mg②

又因为A＝x1＋x2③

由①②③得A＝2mg/k④

（2）由简谐运动的特点知，P在最高点和最低点的加速度最大，由牛顿第二定律得kA＝ma m⑤

由④⑤得a m＝2g

（3）由①②得x1＝x2

即物体在C、E两点处弹簧的弹性势能相等。

又物体P在C、E两点的动能均为零，故P从C到E的过程中，力F压P做的功

W F＝mg（x1＋x2）=2m2g2/k.

2、有恒定摩擦力的简谐振动的计算

9．一皮带传动装置如图所示，皮带的速度v足够大。一根质量不计、劲度系数为k的轻弹簧一端固定，另一端连一个质量为m的滑块，已知滑块与皮带间的动摩擦因数为μ，当滑块放到皮带上时，弹簧的轴线恰好水平，若滑块放到皮带上的瞬间，滑块的速度为零，且弹簧正好处于自由长度，则当弹簧第

一次伸长到最长时，滑块与皮带间所产生的热量是多少？（已知：简谐振动周期）

解析：由于皮带的速度v足够大，故以皮带为参照物，滑块始终是向右运动，滑块所受到的滑动摩擦力方向始终是向左的。滑块实际上是向左运动，只要弹簧对它的拉力小于摩擦力，滑块是加速运动。当弹簧对它的拉力大于摩擦力，滑块做减速运动，当滑块的速度减小到零时，弹簧的伸长量最大，以后，滑块在弹簧拉力和摩擦力的作用下向右运动。由于滑块在运动过程中所受到的摩擦力的大小和方向都不变，故此滑块在皮带上的运动类似于竖直的弹簧振子，此处的摩擦力相当于竖直弹簧振子的重力，所以滑块的运

动是一个简谐运动。其振幅为，弹簧伸长的最大长度也就是滑块运动的位移（对地）为：

s=2A=2μmg / k，滑块在这段位移是所经历的时间为，

滑块在皮带上的相对路径为，

所以在这段时间内产生的热量。

答案：

总结升华：简谐振动的系统受到恒力的作用时仍然为简谐振动，并且其周期不发生变化。运用类比的思维方式往往会使问题解决方便一些。

3、简谐振动的对称性和临界问题

10．如图所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块B相连，木块A放在木块B上，两木块质量均为m，在木块A上施有竖直向下的力F，整个装置处于静止状态．

（1）突然将力F撤去，若运动中A、B不分离，则A、B共同运动到最高点时，B对A的弹力有多大？

（2）要使A、B不分离，力F应满足什么条件？

思路点拨：力F撤去后，系统做简谐运动，该运动具有明显的对称性，该题利用最高点与最低点的对称性来求解，会简单的多．

解析：

（1）最高点与最低点有相同大小的回复力，只有方向相反，这里回复力是合外力．在最低点，即原来平衡的系统在撤去力F的瞬间，受到的合外力应为F/2，方向竖直向上；当到达最高点时，A受到的合

外力也为F/2，但方向向下，考虑到重力的存在，所以B对A的弹力为．

（2）力F越大越容易分离，讨论临界情况，也利用最高点与最低点回复力的对称性．最高点时，A、B间虽接触但无弹力，A只受重力，故此时恢复力向下，大小位mg．那么，在最低点时，即刚撤去力F 时，A受的回复力也应等于mg，但根据前一小题的分析，此时回复力为F/2，这就是说F/2=mg．则F=2mg．因此，使A、B不分离的条件是F≤2mg．

答案：（1）（2）F≤2mg．

总结升华：简谐运动在对称的位置上，位移以及与位移成正比的回复力、回复加速度大小相等方向相反，其余的物理量其方向不一定相反；回复力是物体在振动方向上的合力，不是某一个力。

五、应用型问题

20..惯性制导系统已广泛应用于弹道式导弹工程中，这个系统的重要元件之一是加速度计，加速度计的构造原理示意图如下图所示。沿导弹长度方向安装的固定光滑杆上套一质量为m的滑块，滑块两侧分别与劲度系数为K的弹簧相连，弹簧处于自然长度，滑块位于中间，指针指示0刻度，试说明该装置是怎样测出物体的加速度的?

[分析] 当加速度计固定在待测物体上，具有一定的加速度时，例如向右的加速度a，滑块将会相对于滑杆向左滑动一定的距离x而相对静止，也具有相同的加速度a，由牛顿第二定律可知：a∝F而F∝x，所以a∝x。因此在标尺相应地标出加速度的大小，而0点两侧就表

示了加速度的方向，这样它就可以测出物体的加速度了。

21.“加速度计”作为测定运动物体加速度的仪器，已被广泛地应用于飞机，潜艇、航天器等装置的制导系统中，如图所示是“应变式加速度计”的原理图，支架A、B固定在待测系统上，滑块穿在A、B间的水平光滑杆上，并用轻弹簧固定于支架A上，随着系统沿水平方向做变速运动，滑块相对于支架发生位

移，滑块下增的滑动臂可在滑动变阻器上相应地自由滑动，并通过电路转换为电信号从1，2两接线柱输出．

巳知：滑块质量为m，弹簧劲度系数为k，电源电动势为E，内阻为r、滑动变阻器的电阻随长度均匀变化，其总电阻R=4r，有效总长度L，当待测系统静止时，1、2两接线柱输出的电压U0=0．4 E，取A到B的方向为正方向，

(1)确定“加速度计”的测量范围．

(2)设在1、2两接线柱间接入内阻很大的电压表，其读数为u，导出加速度的计算式。

(3)试在1、2两接线柱间接入内阻不计的电流表，其读数为I，导出加速度的计算式。

解：（1）当待测系统静上时，1、2接线柱输出的电压 u0=E·R12/（R+r）

由已知条件U0=0.4E可推知，R12=2r，此时滑片P位于变阻器中点，待测系统沿水平方向做变速运动分为加速运动和减速运动两种情况，弹簧最大压缩与最大伸长时刻，P点只能滑至变阻器的最左端和最右端，故有：

a1=kL/2m， a2=-kL/2m

所以“加速度计”的测量范围为 [-k·L/2m，·L/2m]，

(2)当1、2两接线柱接电压表时，设P由中点向左偏移x，则与电压表并联部分

的电阻 R1=(L/2-x)·4r/L

由闭合电路欧姆定律得： I=E/(R+r)

故电压表的读数为：U=I·R1

根据牛顿第二定律得: k·x＝m·a

建立以上四式得: a=kL/2m - 5kLU/（4·E·m），

(3)当1、2两接线柱接电流表时，滑线变阻器接在1，2间的电阻被短路．设P由中点向左偏x，变阻器接入电路的电阻为：

R2=(L/2+x)·4r/L

由闭合电路欧姆定律得: E=I(R2+r)

根据牛顿第二定律得: k·x=m·a

联立上述三式得: a=k·L(E-3I·r)/(4I·m·r)