角的概念的推广练习题
角的概念的推广练习题
班级________ 姓名________
一、选择题：
1、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是 （ ） A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360° 2．若α 是第四象限角，则
2
α
是（ ）． A ．第二象限角 B ．第三象限角 C ．第一或第三象限角 D ．第二或第四限角 3、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝
B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝
C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝
D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝
4、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）
A ．B=A ∩C
B ．B ∪C=
C C ．A ?C
D ．A=B=C
5.下列各角中，与-1050°的角终边相同的角是 ( )
????30-D C30 60-B. 60.A
6.若α是锐角，则180°－α是( )
A.第一象限角
B.第二角限角
C.第三象限角
D.第四象限角 7、如果x 是第一象内的角，那么（ ）
（A ）x 一定是正（B ）x 一定是锐角（C ）-3600 8、设A={θ∣θ为正锐角}，B={θ∣θ为小于900的角}， C={θ∣θ为第一象限的角}，D={θ∣θ为小于900的正角}。则下列等式中成立的是（ ） （A ）A=B （B ）B=C （C ）A=C （D ）A=D 二、填空题： 1.一昼夜时针转过多少度？ 2.跳水运动员后滚翻两周半跳水，转过多少度？ 3、－1120°角所在象限是______________________ 4、与角－1560°终边相同角的集合中最小的正角是 . 5.将-885°化为α + k ·360°(0°＜α＜360°，k ∈Z )的形式是______________________ 6、终边在x 轴上的角的集合是____________________；终边在y 轴上的角的集合是_________________。 三、解答题： 1、写出与-2250角终边相同角的集合，并在这个集合中求出-7200~10800内的所有角。 2、求θ，使θ与 900-角的终边相同，且[] 1260 180，-∈θ． 3、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1） 210-； （2）731484'- ． 4、写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α写出来. (1)－15° (2) 124°30′ 角的概念的推广一教学设计 哈尔滨市交界职业高中杜银霞 课题：角的概念推广（第一课时） 教学目的： 1?掌握用旋转”定义角的概念，理解并掌握正角”负角”象限角”终边相同的角”的含义。 2. 掌握所有与a角终边相同的角（包括a角）的表示方法。 3?从射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化观点审视事物，从而深刻理解推广后的角的概念。 教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。 教学难点：终边相同的角的表示。 设计理念： 本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的。 教学过程： 一、复习引入： 1. 回忆：初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。 这种概念的优点是形象、直观、容易理解，角的范围是O°WaW 360°,但其仅从图形的形状来定义角，弊端在于狭隘” 2. 生活中很多实例会不在范围0° 角平分线定理 角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。 ■ 三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。 【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。 ■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。 ■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。 ■逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 ■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例， 如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC 提供四种证明方法： 已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC 已知和证明1图 证明：方法1：（面积法） S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM, S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM, ∴S△ABM：S△ACM=AB:AC 又△ABM和△ACM是等高三角形，面积的比等于底的比， 证明2图 即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM ∴AB／AC=MB／MC 方法2（相似形） 过C作CN‖AB交AM的延长线于N 则△ABM∽△NCM ∴AB/NC=BM/CM 又可证明∠CAN=∠ANC ∴AC=CN ∴AB／AC=MB／MC 证明3图 方法3（相似形） 过M作MN‖AB交AC于N 则△ABC∽△NMC, ∴AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC 又可证明∠CAM=∠AMN ∴AN=MN ∴AB/AC=AN/NC ∴AB／AC=MB／MC 第1课时周期现象与角的概念的推广 1.通过实例使学生感受自然界存在着丰富的周期现象,使学生经历数据分析以及观察散点图特征的学习过程,领悟、思考周期现象. 2.观察实例,理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的概念及表示方法.通过类比正、负数的规定,认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用. 今天是星期一,7天后是星期几?21天后是星期几?86天后是星期几? 问题1:在现实生活中,具有周期现象的实例:海水的潮汐、候鸟的迁徙、四季变化、钟摆运动、一星期的往复、物理中的简谐振动、地球绕太阳公转等. 问题2:什么是角?角有哪些元素?怎样区分不同旋转方向所成的角? 平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫作角;旋转开始时的射线叫作角的边,旋转终止时的射线叫作角的边,射线的端点叫作角的顶点. 为了表示不同旋转方向所形成的角,可以把按逆时针方向旋转所形成的角叫作,按顺时针方向旋转所形成的角叫作,把没有旋转的射线也看成一个角,叫作. 问题3:什么是象限角?各象限角怎么表示?轴线角怎么表示? 当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是. 第一象限角的集合为; 第二象限角的集合为; 第三象限角的集合为; 第四象限角的集合为. 终边落在x轴上,角的集合为{x|x=k·180°,k∈Z},终边落在y轴上,角的集合为{x|x=k·180°+90°,k∈Z},所以终边落在坐标轴上,角的集合 为. 问题4:终边相同的角 一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S=,即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与的和. (1)终边相同角的前提条件:角的顶点在坐标原点,角的始边与x轴的重合. (2)对于终边相同的角应注意以下两点: ①k是;②α是. (3)k·360°与α之间是“+”号,如k·360°-30°可看成.(k∈Z) (4)终边相同的角相等,但相等的角的终边相同,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的倍. (5)一般地,终边相同的角的表达形式. 1.经过一个小时,手表上的时针旋转了(). A.30° B.-30° C.15° D.-15° 2.下列自然现象:月亮东升西落,气候的冷暖,昼夜变化,火山爆发.其中是周期现象的有(). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.角-950°12'的终边(除端点外)在第象限. 4.写出与70°角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来. 周期现象的简单应用 如果今天是星期一,那么从明天算起,第100天是星期(). A.二 B.三 C.四 D.五 终边相同的角 在0°~360°之间,求出与下列各角终边相同的角,并判断下列各角是第几象限角. (1)825°17';(2)-1046°. 角平分线的定义是什么 本文是关于角平分线的定义是什么，仅供参考，希望对您有所帮助，感谢阅读。 角平分线的定义 角平分线定义(Anglebisectordefinition)从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线(bisectorofangle)。三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。其它解释：角平分线是在角的型内及形上，到角两边距离相等的点的轨迹。 角平分线的性质 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 (逆定理)在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。 三角形的角平分线定义 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线(也叫三角形的内角平分线)。由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。三角形的角平分线交点一定在三角形内部。 角平分线的其它解释 角平分线可以看作是到角两边距离相等的所有点的集合。 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线(也叫三角形的内角平分线)。由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。由于三角形有三个内角，所以三角形有三个角平分线。三角形的角平分线交点一定在三角形内部。 角平分线的作法 在角AOB中，画角平分线 方法一：1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M， N。 2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点p。 3.作射线Op。 则射线Op为角AOB的角平分线。 证明：连接pM,pN 在△pOM和△pON中 ∵OM=ON,pM=pN,pO=pO ∴△pOM≌△pON(SSS) ∴∠pOM=∠pON，即射线Op为角AOB的角平分线 当然，角平分线的作法有很多种。下面再提供一种尺规作图的方法供参考。 方法二：1.在两边OA、OB上分别截取OM、OC和ON、OD，且使得OM=ON，OC=OD; 2.连接CN与DM，他们相交于点p; 3.作射线Op。 则射线Op为角AOB的角平分线。 角平分线的举例 求证：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。 如图，若AD是△ABC的角平分线，则 BD/DC=AB/AC 。 证明：作CE∥AD交BA延长线于E。 ∵CE∥AD ∴△BDA∽△BCE ∴BA/BE=BD/BC ∴ BA/AE=BD/DC ∵CE∥AD ∴∠BAD=∠E,∠DAC=∠ACE ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD ∴∠BAD=∠CAD=∠ACE=∠E 即∠ACE=∠E 2.平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，习惯上规定：__________叫做正角；__________叫做 负角；__________叫做零角。 画图时，常用_________来表示旋转的方向和旋转 的绝对量；由旋转生成的角，又常叫做_________。 4.设θ是任意角，所有与θ终边相同的角以及θ角本身组 成的集合可记为_______________。 _____重合，角的始边与_____重合，角的终边在第几象限内，就把这个角叫做______；如果角的终边在坐标轴上，则认为这个角______，也称为象限界角。 6.终边在x+轴、x-轴、x轴上的角的集合可以分别记为 ______________、____________、____________；终边在y+轴、y-轴、y轴上的角的集合可以分别记为 ______________、____________、____________;终边在坐标轴上的角的集合可记为____________。 8.终边落在x轴上方、y轴右侧的角的集合可以分别记为___________________、____________________ 。 ____________、____________、_____________. 、 10.若α是第四象限角，则1800－α是第几象限角? 12.判断下列命题的真假： (2).在坐标系中讨论角时，第一象限的角都是锐角， 锐角都是第一象限的角； (4).第二象限的角一定大于第一象限的角； 称，α与1800-α角的终边关于y轴对称. 14.若角α与β的终边互为反向延长线，则α、β应满足的关系式为_________________ 。 为_________________ 。 系式为_________________。 16.若角α与β的终边关于y 轴对称，则α、β应满足的关系式为_________________ 。 17.若角α与x ＋450有相同的终边，β与x －450有相同的终 《角的概念的推广》——教学设计 一、教材分析 1、地位与作用 我校使用的是高等教育出版社由李广全、李尚志编写的基础模块《数学》教材。角的概念的推广来自本教材的第五章的第一节。这节课主要内容是角的概念的推广，首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了象限角的概念。本节课的学习具有以下必要性： 1、在实际生活中应用广泛。 2、是前面所学函数类型的延伸。 3、是描述旋转运动和周期性现象的重要特征量。 4、是专业的重要学习工具。 2、课时安排 5.1.1节：任意角的概念的推广，45分钟。 3、教学目标 知识目标：掌握用旋转定义角的概念；理解并掌握“正角”、“负角”、“象限角”的含义，培养学生用运动变化观点审视事物。 能力目标：通过布置课前任务——培养学生的自学能力； 通过让学生讨论、讲解——锻炼学生的语言表达能力； 通过让学生解决生活中与数学相关的问题——提高学生分析问题、解决问题的能力。 情感目标：通过解决生活中的数学问题——让学生感悟数学的实用性； 通过小组活动——培养学生的团队协作意识。 4、教学重点难点 教学重点：理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握象限角的判断方法。 教学难点：旋转方向的观察、象限角的判断。 二、学情分析 学习对象为中职一年级学生，虽然有一定的观察能力，他们普遍对初中数学有恐惧感，数学基础普遍较差；学生重视专业课，忽视基础课的学习；学生对新内容的学习有一定的兴趣和积极性，但缺乏耐心和恒心。 三、教学策略选择与设计 针对职业学校学生、学科特点，更多的学习活动设计将以观察、识别、分析、判断、讨论为主线，以掌握方法、步骤为目标，让学生更能体会到数学的实用性。引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。 教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学策略：（1）引导发现法。通过已学过角的定义来发现角的概念是可以推广的。 （2）任务驱动法。通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。 （3）多媒体法。通过讲解、归纳、概括来介绍角的有关要概念，通过练习来达到巩固知识、突出重点、解决难点。 教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：（1）分类学习法：了解数学知识是有规律可循的，要弄清角的分类及分类的方法。 （2）合作学习法：通过分组合作让学生学会观察、分析和解决问题。 §2 角的概念的推广 【教学目标】 1.通过实例，理解角的概念推广的必要性，了解任意角的概念，根据角的旋转方向，能判断正角、负角和零角； 2.学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法； 3.通过观察、联想得出相应的数学规律的学习过程，体会由特殊到一般的数学思维方法. 【教学重点】 1.了解任意角的概念，初步理解正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的概念； 2.初步学会终边相同的角的表示方法. 【教学难点】 终边相同的角的集合的表示方法. 【教学方法】 六环节分层导学法 【课前准备】 （学案导学）教师编印导学案，提前两天下发，指导学生完成并检查. 学生预习教材P6-8相关内容，完成优化设计基础知识梳理部分和导学案自主学习部分内容，形成对角的概念的推广的初步认识；学有余力的同学尝试完成优化设计典型例题领悟部分和导学案合作探究部分，至少明确本节课的研究主线. （小组交流）学生分组交流讨论，分享自己的学习心得，解决个别同学存在的困惑，共同梳理出自己小组存在的问题，以便在课堂上得到及时解决。 （检查反馈） 学生自主学习能力比较差，主要存在以下问题： 1)书写不够规范，角的单位“°”容易漏写； 2)思维不够严谨，审题不仔细，做题往往不注意条件； 3)终边相同的角的表示方法掌握不熟练； 4)概念辨析缺乏方法. 完成较好的学生有：白焕焕、杨宇、杨强、何楠. 【教学过程】 一、导入新课 初中阶段我们学习了“角的概念”，请大家思考一下问题： （1）初中学过的角是如何定义的，角的范围又是怎样的？ （2）跳水运动员在空中身体的旋转周数如何用角度来表示？ （3）汽车在前进和后退中，车轮转动的角度如何表示才合理？ （4）工人师傅在拧紧或拧松螺丝时，扳手转动的角度如何表示比较合适？ 学生围绕以上问题进行讨论，从而得出正角、负角和任意角的有关概念. 教师对学生的回答进行总结，并强调：在日常生活中，我们经常要遇到大于360°的角及按不同方向旋转而成的角，这些都说明了我们研究推广角的概念的必要性. 之后提出本节课的主要问题，即在初中学习的基础上，将角的概念推广到任意角. 【板书】角的概念的推广 二、展示评价 学生以组推荐代表展示导学案的完成情况，并回答问题：本节课中学习了哪些新概念，这些概念分别是如何定义的？其他同学补充完善，不同组别之间展开交流点评，教师根据学生的回答情况进行板书，并点拨、激励、评价. 展示形式：实物投影展示导学案的完成情况，口头表述回答教师所提问题. 三、导引探究 教师引导学生重点探究象限角的判定与终边相同角的表示方法，学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法. 探究1：判断角所在象限 例1在0°~360°之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： （1）480°；（2）-760°；（3）932°； 归纳小结：判断角α所在象限的方法：先在0°~360°之间，找出与所求角终边相同的角β，因为α与β终边相同，因此只需判断角β所在象限，即为角α所在象限. 跟踪训练1：象限角的概念： 第一象限角的集合可表示为____________ ______； 第二象限角的集合可表示为_________ ________ _； 第三象限角的集合可表示为； 一、选择题：角的概念的推广练习题 班级姓名 二、填空题： 1.一昼夜时针转过多少度？ 2.跳水运动员后滚翻两周半跳水，转过多少度？ 1、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（） A．45°－4×360°B．－45°－4×360°C．－45°－5×360°D．315°－5×360° 2.若是第四象限角，则是（）． 2 A．第二象限角B．第三象限角 C．第一或第三象限角D．第二或第四限角 3、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（） A．｛α∣90°<α<180°｝B．｛α∣90°＋ k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z｝ C．｛α∣－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z｝ D．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝ 4、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C 关系是（） A．B=A∩C B．B∪C=C C．A ?C D．A=B=C 5.下列各角中，与-1050°的角终边相同的角是( ) 3、－1120°角所在象限是 4、与角－1560°终边相同角的集合中最小的正角是. 5.将-885°化为+ k·360°(0°＜＜360°，k∈Z)的形式是 6、终边在x 轴上的角的集合是；终边在y 轴上的角的集合是。 三、解答题： 1、写出与-2250 角终边相同角的集合，并在这个集合中求出-7200~10800 内的所有角。 2、求，使与- 900 角的终边相同，且∈[-180 ，1260 ]． A.60? B. - 60? C30? D - 30? 3、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： 6.若是锐角，则180°－是( ) A.第一象限角 B.第二角限角 C.第三象限角 D.第四象限角 7、如果x 是第一象内的角，那么（） （A）x 一定是正（B）x 一定是锐角（C）-3600 1.1.1角的概念的推广（学案） 班级姓名 一、学习目标： 1. 理解“旋转”定义角的概念，掌握“正角”、“负角”、“零角”的意义． 2. 理解终边相同的角的意义，掌握与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法. 二、学习重点： 理解并掌握正角、负角和零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法. 一、课前预习： 1.角的概念的推广 （１）“旋转”形成角 在平面内，角可以看做是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.旋转起始时的射线叫做角的，终止时的射线叫做角的，射线的端点叫做角的 . （２）角的表示方法：①常用字母A，B，C等表示；②也可以用字母α、β、γ等表示； ③特别是当角作为变量时，常用字母x表示. （３）“正角”、“负角”与“零角” 按逆时针方向旋转所得到的角为，如图1-1中，α为正角；而按顺时针方向旋转所得到的角为，如图1-2中，β为负角.我们还规定：当一条射线没有旋转时，也把 α=?. 它看成一个角，叫做 .这样，零角的始边和终边重合.如果角α是零角，那么0 2.象限角与象限界角 为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标重合；（2）使角的始边和x轴重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角就叫做 3．与α有相同终边的角，连同α在内可以表示为 二、预习自测： 1.一昼夜时针转过多少度？ 2.跳水运动员后滚翻两周半跳水，转过多少度？ 3.下列各角中，与-1050°的角终边相同的角是 B. - A 60 . 60 - ? ? C30 ? ?30 D 4.将-885°化为α+ k·360°(0°＜α＜360°，k∈Z)的形式是 A.-165°+ (-2)·360° B.195°+ (-3)·360° C. 195°+ (-2)·360° D.165°+ (-3)·360° 5.下列命题中正确的是 A.第一象限角一定不是负角 B.小于90°的角一定是锐角 C.钝角一定是第二象限角 D.终边相同的角一定相等 6.若α是锐角，则180°－α是 A.第一象限角 B.第二角限角 C.第三象限角 D.第四象限角 三、合作探究 合作探究一：角概念的理解 锐角是第几象限角？第一象限的角都是锐角吗？ 例1.射线OA绕端点O顺时针旋转80o到OB位置，接着逆时针旋转250o到OC位置，然后 ∠大小. 再顺时针旋转270o到OD位置，求AOD 合作探究二：象限角的理解 如果α是第一象限的角，那么α的取值范围可以表示为怎样的不等式？其它几个象限呢？一____________________________________________________ 二______________________________________________________ 三______________________________________________________ 四_______________________________________________________ 合作探究三：轴线角的理解 第一节：角的概念的推广及弧度制 一、基础知识 1、角的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置得到的图形（正角：逆时针；负角：顺时针；零角：没做任何旋转） 2、象限角：以角的顶点为原点，以角的始边为x 轴的非负半轴建立直角坐标系，由角的终边所在位置确定象限角（终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限称为“轴上角”或“象限界角”） 3、与α终边相同的角（连同α在内）可写作{}Z k k x x s ∈+==,360|α 4、弧度的定义：圆周上弧长等于半径的弧所对的圆心角 '18573.571801 ==∏ =rad 1801∏= 5、弧长公式及扇形面积公式 R l l ||||R 22αα=?=∏∏ lR R S S 2 1||21||R 222==?=∏∏αα 二、重要题型剖析 1、常用的角的集合表示法 （1）终边相同的角 例1、当α的终边分别落在x 轴的正半轴上，y 轴的负半轴上时，则α用弧度制表示，分别组成的集合 例2、①终边落在x 轴上的角的集合 ②终边落在y 轴上的角的集合 ③终边落在坐标轴上的角的集合 ④终边落在第一三象限平分线上角的集合 （2）区域角和对顶角 例1、写出阴影区域表示的角α集合（包括边界） 例2、①终边在第一象限角的集合 ②终边在第一四象限角的集合 ③终边在第二象限角的集合 ④终边在第一二象限角的集合 ⑤终边在第三象限角的集合 ⑥终边在第二三象限角的集合 （3）对称角 2、已知角x 所在象限求232x x x 、、所在象限 例1、若θ为第三象限，求 32θθ、所在象限并在该象限表示出来 3、旋转角度的应用题 例1、当12点过4 1小时的时候，时钟的长短针的夹角为多少弧度？ 例2、时针走过2小时40分，则分针转过的角为多少？ 【典型例题】 例1.已知：如图所示，/ C=/ C'= 90 °, AC= AC 求证：（1）Z ABC=Z ABC ; （2）BO BC（要求：不用三角形全等判定）. 分析：由条件/ C=Z C = 90°, AO AC，可以把点A看作是/ CBC平分线上的点，由此可打开思路. 证明：（1）vZ C=Z C = 90°（已知）， ??? ACL BC, AC丄BC （垂直的定义）. 又??? AO AC （已知）， ???点A在/CBC勺角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）. ? / ABC=Z ABC. （2）vZ C=Z C；Z ABC=Z ABC, ?180°—（/ C+Z ABC = 180°—（/ C '+/ ABC）（三角形内角和定理）即/ BAC=Z BAC, ??? AC L BC, AC L BC, ?BO BC （角平分线上的点到这个角两边的距离相等）. 评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性. 例 2.女口图所示，已知△ ABC中, PE// AB交BC于E, PF// AC交BC于F, P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分Z BAC 并说明理由. 分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理.根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出Z 1 = Z 2,再利用平行线推得Z 3=Z 4,最后用角平分线的定义得证. 解：AD平分Z BAC ??? D到PE的距离与到PF的距离相等， ???点D在Z EPF的平分线上. ? Z 1 = Z 2. 又??? PE// AB ???/ 1 = Z 3. 5.1 角的概念的推广 【教学目标】 1．理解正角、负角、终边相同的角、第几象限的角等概念，掌握角的加减运算． 2．通过观察实例，使学生认识角的概念推广的可能性和必要性，树立运动变化的观点，并由此深刻理解任意角的概念． 3．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想． 【教学重点】 理解任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、第几象限的角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法． 【教学难点】 任意角和终边相同的角的概念． 【教学方法】 本节采用教师引导下的讨论法，结合多媒体课件，带领学生发现旧概念的不足之处，进而探索新的概念．讲课过程中，紧扣“旋转”两个字，让学生在动手画图的过程中深刻理解任意角的概念． 环节教学内容师生互动设计意图 复习导入1．复习初中学习过的角的定义． 2．提出新问题： 运动员掷链球时，旋转方向可以 是逆时针也可以是顺时针，旋转量也不 止一个平角，那如何来度量角的大小 呢？ 师：初中学过的角的定义是 什么？ 生：在平面内，角可以看作 一条射线绕着它的端点旋转而 成的图形． 师：如图： ∠AOB=∠BOA=120 ， B 初中时的角不考虑旋转方 向，只考虑旋转的绝对量 而且角的范围在0~360°． 复习旧知，使学生 发现旧知识的局限性， 激发学习新知识的兴 趣． 新课1．任意角的概念． （1）射线的旋转方向： 逆时针方向——正角； 顺时针方向——负角； 没有旋转——零角． 画图时，常用带箭头的弧来表示旋 转的方向和旋转的绝对量．旋转生成的 角，又常称为转角． 教师画图说明正角，负角， 零角，以及角的始边、终边. 教师小结：由旋转方向的 不同定义正负角，由旋转量的不 同得到任意范围内的角． 《角的概念的推广》一一教学设计 一、教材分析 1、地位与作用 我校使用的是高等教育出版社由李广全、李尚志编写的基础模块《数学》教材。角的概念的推广来自本教材的第五章的第一节。这节课主要内容是角的概念的推广，首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了象限角的概念。本节课的学习具有以下必要性： 1、在实际生活中应用广泛。 2、是前面所学函数类型的延伸。 3、是描述旋转运动和周期性现象的重要特征量。 4、是专业的重要学习工具。 2、课时安排 5.1.1节：任意角的概念的推广，45分钟。 3、教学目标 知识目标：掌握用旋转定义角的概念；理解并掌握“正角”、“负角”、“象限角”的含义，培养学生用运动变化观点审视事物。 能力目标：通过布置课前任务一一培养学生的自学能力； 通过让学生讨论、讲解一一锻炼学生的语言表达能力； 通过让学生解决生活中与数学相关的问题一一提高学生分析问 题、解决冋题的能力。 情感目标：通过解决生活中的数学问题一一让学生感悟数学的实用性； 通过小组活动一一培养学生的团队协作意识。 4、教学重点难点 教学重点：理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握象限角的判断方法。 教学难点：旋转方向的观察、象限角的判断。 二、学情分析 学习对象为中职一年级学生，虽然有一定的观察能力，他们普遍对初中数学有恐惧感，数学基础普遍较差；学生重视专业课，忽视基础课的学习；学生对新内容的学习有一定的兴趣和积极性，但缺乏耐心和恒心。 三、教学策略选择与设计 针对职业学校学生、学科特点，更多的学习活动设计将以观察、识别、分析、判断、讨论为主线，以掌握方法、步骤为目标，让学生更能体会到数学的实用性。引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。 教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习，充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学策略： （1）引导发现法。通过已学过角的定义来发现角的概念是可以推广的。 （2）任务驱动法。通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。 （3）多媒体法。通过讲解、归纳、概括来介绍角的有关要概念，通过练习来达到巩固知识、突出重点、解决难点。 教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导： （1）分类学习法：了解数学知识是有规律可循的，要弄清角的分类及分类的方法。 （2）合作学习法：通过分组合作让学生学会观察、分析和解决问题。 角平分线的性质和判定复习 一知识要点： 1. 角平分线的作法（尺规作图） 思考：这一画法的根据是什么？ 2. 角平分线的性质及判定 （1）角平分线的性质： 文字表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 几何表达： ∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，（已知） ∴PA＝PB．（角平分线的性质） 思考：这一性质定理的根据是什么？ （2）角平分线的判定： 文字表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 几何表达： ∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB（已知） ∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（角平分线的判定） 二、典型例题 角平分线的性质一 例题1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( ) A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边距离相等 例题2 如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，△ABC的面积等于90，AB=18，BC=12，则求DE的长. 例题3 已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，求证： CF=EB。 D F E C B A 例题4 已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD＝CD，求证：∠B＝∠C. 例题5 已知:如图所示,点O在∠BAC的平分线上,BO⊥AC,CO⊥AB,垂足分别为D，E,求证：OB＝OC. 例题6 如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB,垂足为E,且AB=10 cm,求△DEB的周长. A F D E B 角的概念的推广练习题 班级________ 姓名________ 一、选择题： 1、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是 （ ） A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360° 2．若是第四象限角，则 2 α 是（ ）． A ．第二象限角 B ．第三象限角 C ．第一或第三象限角 D ．第二或第四限角 3、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝ B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝ C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝ D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝ 4、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C= C C ．A ?C D ．A=B=C 5.下列各角中，与-1050°的角终边相同的角是 ( ) ????30-D C30 60-B. 60.A 6.若α是锐角，则180°－α是( ) A.第一象限角 B.第二角限角 C.第三象限角 D.第四象限角 7、如果x 是第一象内的角，那么（ ） （A ）x 一定是正（B ）x 一定是锐角（C ）-3600x-2700或00x900 （D ）xxk3600xk3600+900 kZ 8、设A=为正锐角，B=为小于900的角}， C={为第一象限的角}，D={为小于900的正角}。则下列等式中成立的是（ ） （A ）A=B （B ）B=C （C ）A=C （D ）A=D 二、填空题： 1.一昼夜时针转过多少度 2.跳水运动员后滚翻两周半跳水，转过多少度 3、－1120°角所在象限是______________________ 4、与角－1560°终边相同角的集合中最小的正角是 . 5.将-885°化为α + k ·360°(0°＜α＜360°，k ∈Z )的形式是______________________ 6、终边在x 轴上的角的集合是____________________；终边在y 轴上的角的集合是_________________。 三、解答题： 1、写出与-2250角终边相同角的集合，并在这个集合中求出-7200~10800内的所有角。 2、求θ，使θ与ο 900-角的终边相同，且[ ]ο ο1260180， -∈θ． 3、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1）ο 210-； （2）731484'-ο ． 4、写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α写出来. (1)－15° (2) 124°30′ 初二数学知识点归纳：角平分线的定义 初二数学知识点归纳：角平分线的定义 角平分线的性质一、本节学习指导角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。二、知识要点 1、角平 分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。如下图：OC平分∠AOB ∵OC平分∠AOB ∴∠AOC=∠BOC 2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】如第一个图：∵OC平分 ∠AOB(或∠1=∠2)，PE⊥OA,PD⊥OB ∴PD=PE,此时我们知道 △OPE≌△OPD(直角三角形斜边是OP即公共边，直角边斜边) 3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。如第一个图：∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE ∴OC平分∠AOB(或∠1=∠2)一、本节学习指导角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关 题型。其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。 二、知识要点 1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。 OC平分∠AOB ∵OC平分 ∠AOB ∴∠AOC=∠BOC 2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】∵OC平分∠AOB(或∠1=∠2)，PE⊥OA,PD⊥OB ∴PD=PE,此时我们知道△OPE≌△OPD(直角三角形斜边是OP即公共边，直角边斜边) 3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平 分线上。∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE ∴OC平分∠AOB(或∠1=∠2) 4、线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线 段的中点。∵C是AB的中点∴AC=BC 5、垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直。如图：【重点】∵AB⊥CD ∴∠AOC=∠AOD=∠BOC =∠BOD=90° 或∵∠AOC=90° ∴AB⊥CD 注意：要判断两条直线垂直，只要知道这两条相交直线所 形成的四个角中的一个角是直角就可以了。反过来，两条直线互相 垂直，它们的四个交角都是直角。 6、全等三角形的性质：全等三角 3-1角的概念的推广与任意角的三角函数 基础巩固强化 1.已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－4 5，则m 等于( ) A ．－114 B.11 4 C ．－4 D ．4 变式：已知α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝1 5x ，则tan α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43 2．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝sin x }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝tan x }，则A ∩B ＝( ) A ．{(0,0)} B ．{(π，0)，(0,0)} C ．{(x ，y )|x ＝k π，y ＝0，k ∈Z } D ．? 3．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( ) A ．5 B ．2 C ．3 D ．4 4．若sin αtan α<0，且cos α tan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三角限角 D ．第四象限角 5．已知cos θ＝1 2，角α的终边经过点P (sin2θ，sin4θ)，则6sin α＋cos α3sin α－2cos α 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．7 D.75 6．函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b 2＝( ) A ．0 B.2 2 C ．－1 D ．1 7．若点P (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y 的值为________． 8．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P (－4m,3m )(m >0)是角α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________. 9．已知sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π 12)的值为________． 10．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a >0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值． 能力拓展提升 11.已知点P (sin 3π4，cos 3π 4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4 变式：已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.45 12．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 9＋a 17＝π，则cos(a 2＋a 16)的值为( ) A ．－12 B ．－32 C.12 D.32 13．在(0,2π)内使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是______． 4.1 角的概念的推广 【知识归纳】 一、轴线角（终边落在坐标轴上的角）： x 轴正半轴：{}0|360,k k Z αα=?∈；x 轴负半轴：{}00|360180,k k Z αα=?+∈ ； y 轴正半轴：{}00|36090,k k Z αα=?+∈； y 轴负半轴：{}00|36090,k k Z αα=?-∈或{}00|360270,k k Z αα=?+∈； x 轴：{}0|180,k k Z αα=?∈； y 轴： {}00|18090,k k Z αα=?+∈（注意区别） 所有坐标轴：{}0|90,k k Z αα=?∈。 二、象限角： 第一象限角：{}000|36036090,k k k Z αα?<(完整版)角的概念的推广教学设计
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