江苏省启东中学高二数学上学期期末考试试题

第6题图江苏省启东中学2015-2016学年度第一学期期终考试高二数学（文理）试卷一、填空题：（本大题共14大题，每小题5分，共70分） 1. 已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝为 ． 2. 复数212ii-=+ ． 3. 女子国际象棋世界冠军中国江苏选手侯逸凡与某计算机进行人机对抗赛，若侯逸凡获胜的概率为0.65，人机和棋的概率为0.25，那么侯逸凡不输的概率为________．4.若命题2",(1)10"x R x a x ∃∈+-+<使是假命题，则实数a 的取值范围是 ．5. 若双曲线2212x y m m-=的一条准线方程是1y =，则实数m 的值是___ _ ． 6. 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a .类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，若其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ．7. 双曲线191622=-y x 上的点P 到点(5,0)的距离为8.5，则点P 到左准线的距离为___ ____．8．抛物线y x 42=的弦AB 过焦点F ，且AB 的长为6，则AB 的中点M 的纵坐标为 ．9. 复数z 满足21z i -+=，则12z i +-的最小值为 ．10. 当a 为任意实数时，直线(2a ＋3)x ＋y －4a ＋2＝0恒过定点P ，则过点P 的抛物线的标准方程是__________________．11. 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率 ．12. 已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为________．13. 若()f n 为21n +*()n N ∈的各位数字之和，如2141197+=，19717++=，则(14)17f =；记1()()f n f n =，21()(())f n f f n =，…，1()(())k k f n f f n +=，*k N ∈，则2016(8)f = .14. 设点1A ，2A 分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点，若在椭圆C 上存在异于点1A ，2A 的点P ，使得2PO PA ⊥，其中O 为坐标原点，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .二、简答题：（本大题共6小题，共90分）15. （本小题14分）一个袋中有红、白两种球各若干个，现从中一次性摸出两个球，假设摸出的两个球至少有一个红球的概率为715，至少一个白球的概率为1315，求摸出的两个球恰好红球白球各一个的概率．16. （本小题14分）设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17. （本小题15分）从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？18. （本小题15分） 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为 12，且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足PA →·PB →＝PM → 2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．19. （本小题16分）已知关于x 的绝对值方程|x 2＋ax ＋b |＝2，其中a ，b ∈R . (1)当a ，b 满足什么条件时，方程的解集M 中恰有3个元素？(2)在条件（1）下，试求以方程解集M 中的元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的充要条件．20. （本小题16分） 已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>上的一动点P 到右焦点的最短距离为22（1）求椭圆C 的方程；（2）设()4,0P ，,A B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（3）在（2）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，求OM ON ⋅u u u u r u u u r的取值范围．高二数学（附加题）21.（本小题10分）已知P 是椭圆22194x y +=上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，求动点Q 的轨迹方程．22.（本小题10分）已知22()n xx -*()n ∈N 的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.求展开式中含32x 的项．23.(本小题10分)如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面,,60,90ABC PA AB ABC BCA ︒︒=∠=∠=,点D ，E 分别在棱,PB PC 的中点，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值的大小；24.（本小题10分）是否存在a 、b 、c使得等式1·22+2·32+…+n (n +1)2=12)1(+n n (a n 2+bn +c ) 对于一切正整数n PEDCBA都成立？证明你的结论．江苏省启东中学2015-2016学年度第一学期期终考试答案1. ,sin 1x R x ∃∈> 2．i - 3． 0.94. 13x -≤≤ 5． －３ ６．318a7． 258．２ 9．321- 10. y 2＝32x 或x 2＝－12y 11. 1013115212.53.或52-13．８ 14．2(,1)215.解：设摸到的两个球均为红色的事件为A ，一红一白的事件为B ，均为白球的事件为C.显然，A 、B 、C 为互斥事件，依题意：⎩⎪⎨⎪⎧P （A ＋B ）＝715，P （B ＋C ）＝1315，P （A ＋B ＋C ）＝1⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）＋P （B ）＝715，P （B ）＋P （C ）＝1315，P （A ）＋P （B ）＋P （C ）＝1⇒P(B)＝13. 即两个球恰好红球白球各一个的概率为13.16. 设命题p ：实数x 满足x2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0， 又a >0，所以a <x <3a ， 当a ＝1时，1<x <3，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0，得2<x ≤3， 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是{x |2<x <3}； (2)设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a >0}，B ＝{x |⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0}，则B A ，又A ＝{x |a ≤x ≤3a }，B ＝{x |2<x ≤3}，则0<a ≤2，且3a ≥3，(a －1)＋(3a －3)2≠0 所以实数a 的取值范围是{a |1<a ≤2}．17. 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？解析：列出每种情况的基本事件总数，然后找出满足条件的基本事件的个数进行计算即可．于是：(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．Ω由6个基本事件组成，而且可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件A 由4个基本事件组成，所以P (A )＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)}，由9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件B 由4个基本事件组成，所以P (A )＝49.18. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足PA →·PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．解析 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得，(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)＞0， 所以k 1＞－12.又x 1＋x 2＝8k 12k 1－13＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21， 因为PA →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)·(x 2－2)(1＋k 21)＝|PM |2＝54.即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54.所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 12k 1－13＋4k 21＋4(1＋k 21)＝4＋4k 213＋4k 21＝54，解得k 1＝±12. 因为k 1＞－12，所以k 1＝12.于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .19. 已知关于x 的绝对值方程|x 2＋ax ＋b |＝2，其中a ，b ∈R .(1)当a ，b 满足什么条件时，方程的解集M 中恰有3个元素？(2)试求以方程解集M 中的元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的充要条件． 解 (1)原方程等价于x 2＋ax ＋b ＝2， ① 或x 2＋ax ＋b ＝－2，②由于Δ1＝a 2－4b ＋8>a 2－4b －8＝Δ2，∴Δ2＝0时，原方程的解集M 中恰有3个元素，即a 2－4b ＝8；(2)必要性：由(1)知方程②的根x ＝－a 2，方程①的根x 1＝－a 2－2，x 2＝－a2＋2，如果它们恰为直角三角形的三边，即(－a2)2＋(－a2－2)2＝(－a2＋2)2， 解得a ＝－16，b ＝62.充分性：如果a ＝－16，b ＝62，可得解集M 为{6，8，10}，以6，8，10为边长的三角 形恰为直角三角形．∴a ＝－16，b ＝62为所求的充要条件．20. 已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>上的一动点P 到右焦点的最短距离为22-，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长． （1）求椭圆C 的方程；（2）设()4,0P ，,A B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（3）在（2）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，求OM ON ⋅u u u u r u u u r的取值范围．20．解：（1）由题意知222a c a cbc ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩， 解得22a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，故椭圆C 的方程为22142x y +=． …………………………4分（2）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．由22(4),1.42y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)163240k x k x k +-+-=． ①设点11(,)B x y ，22(,)E x y ，则11(,)A x y -．直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--． 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+．将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入，整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由①得 21221621k x x k +=+，212232421k x x k -=+代入②整理，得1x =．所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ． …………………………10分 （3）当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-，(,)M M M x y ，(,)N N N x y ．由22(1),1.42y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)4240m x m x m +-+-=．∴22421M N m x x m +=+，222421M N m x x m -=+， 22321M N m y y m =-+．则M N M N OM ON x x y y ⋅=+u u u u r u u u r 222222224341712121212221m m m m m m m -+=-=-=--⋅++++． 因为20m ≥，所以21711422212m ---⋅<-+≤．所以1[4,)2OM ON ⋅∈--u u u u r u u u r ．当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =．解得6(1,)M ，6(1,)N -． 此时12OM ON ⋅=-u u u u r u u u r ．所以OM ON ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是1[4,]2--． (16)21. 已知P 是椭圆22194x y +=上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，求动点Q 的轨迹方程．解析 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2，即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y2，又P 在椭圆上，则22()()22194x y--+=. 即2213616x y +=。