2013《金版新学案》高三数学一轮复习 函数 第一章第十节 函数模型及其应用课件
《金版新学案》高三数学一轮复习 函数 第一章第一节 函数练习(理) 北师大版必修1
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．集合A＝{1,2，a}，B＝{2,3，a2}，C＝{1,2,3,4}，a∈R，则集合(A∩B)∩C不可能是()A．{2}B．{1,2}C．{2,3} D．{3}【解析】若a＝－1，(A∩B)∩C＝{1,2}；若a＝3，则(A∩B)∩C＝{2,3}若a≠－1且a≠3，则(A∩B)∩C＝{2}，故选D.【答案】 D2．(2009全国卷Ⅰ)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A ∩B)中的元素共有()A．3个B．4个C．5个D．6个【解析】A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，∁U(A∩B)＝{3,5,8}，故选A.【答案】 A3．(2009年广东卷)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k ＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如右图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()A．3个B．2个C．1个D．无穷多个【解析】M＝{x|－1≤x≤3}，M∩N＝{1,3}，有2个．【答案】 B4．给出以下集合：①M＝{x|x2＋2x＋a＝0，a∈R}；②N＝{x|－x2＋x－2＞0}；③P＝{x|y＝lg(－x)}∩{y|y＝lg(－x)}；④Q＝{y|y＝x2}∩{y|y＝x－4}，其中一定是空集的有()A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】在集合M中，当Δ＝4－4a≥0时，方程有解，集合不是空集；而Q＝{y|y ＝x2}∩{y|y＝x－4}＝{y|y≥0}∩{y|y∈R}＝{y|y≥0}，所以不是空集；在P中，P＝{x|y＝lg(－x)}∩{y|y＝lg(－x)}＝{x|x＜0}∩R＝{x|x＜0}，不是空集；在N中，由于不等式－x2＋x－2＞0⇔x2－x＋2＜0，Δ＝－7＜0，故无解，因此，只有1个一定是空集，所以选B.【答案】 B5．如右图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分所表示的集合．若x，y∈R，A={x|y= }，B={y|y=3x ，x ＞0}，则A#B=( )A ．{x|0＜x ＜2}B ．{x|1＜x ≤2}C ．{x|0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x|0≤x ≤1或x ＞2}【解析】 依据定义，A#B 就是将A ∪B 除去A ∩B 后剩余的元素所构成的集合．对于集合A ，求的是函数y ＝2x －x 2的定义域，解得：A ＝{x|0≤x ≤2}；对于集合B ，求的是函数y ＝3x (x ＞0)的值域，解得B ＝{y|y ＞1}，依据定义得：A#B ＝{x|0≤x ≤1或x ＞2}．【答案】 D6．定义一种集合运算A ⊗B ＝{x|x ∈(A ∪B)，且x ∉(A ∩B)}，设M ＝{x||x|＜2}，N ＝{x|x 2－4x ＋3＜0}，则M ⊗N 所表示的集合是( )A ．(－∞，－2]∪[1,2)∪(3，＋∞)B ．(－2,1]∪[2,3)C ．(－2,1)∪(2,3)D ．(－∞，－2]∪(3，＋∞)【解析】 M ＝{x|－2＜x ＜2}，N ＝{x|1＜x ＜3}，所以M ∩N ＝{x|1＜x ＜2}，M ∪N ＝{x|－2＜x ＜3}，故M ⊗N ＝(－2,1]∪[2,3)．【答案】 B二、填空题(每小题6分，共18分)7．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }只有一个元素，则a 的值为________．【解析】 当a ＝0时，A ＝{－12}； 当a ≠0时，若集合A 只有一个元素，则4－4a ＝0，即a ＝1.综上，当a ＝0或a ＝1时，集合A 只有一个元素．【答案】 0或18．(2009年天津卷)设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N ＋|lg x ＜1}，若A ∩(∁U B)＝{m|m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}，则集合B ＝________.【解析】 A ∪B ＝{x ∈N ＋|lg x ＜1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A ∩(∁U B)＝{m|m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B ＝{2,4,6,8}．【答案】 {2,4,6,8}9．设全集I ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，∁I A ＝{5}，M ＝{x|x ＝log 2|a|}，则集合M 的所有子集是________．【解析】 ∵A ∪(∁I A)＝I ，∴{2,3，a 2＋2a －3}＝{2,5，|a ＋1|}，∴|a ＋1|＝3，且a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2.∴M ＝{log 2 2，log 2|－4|}＝{1,2}．【答案】 ∅，{1}，{2}，{1,2}三、解答题(共46分)10．(15分)设集合A ＝{x 2,2x －1，－4}，B ＝{x －5,1－x,9}，若A ∩B ＝{9}，求A ∪B.【解析】 由9∈A ，可得x 2＝9或2x －1＝9，解得x ＝±3或x ＝5.当x ＝3时，A ＝{9,5，－4}，B ＝{－2，－2,9}，B 中元素重复舍去．当x ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8,4,9}，A ∩B ＝{9}满足题意，故A ∪B ＝{－7，－4，－8,4,9}．当x ＝5时，A ＝{25,9，－4}，B ＝{0，－4,9}，此时A ∩B ＝{－4,9}与A ∩B ＝{9}矛盾，舍去．综上所述，x ＝－3且A ∪B ＝{－8，－4,4，－7,9}．11．(15分)已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x|mx ＋1＝0}，且B ⊆A ，求实数m 的值组成的集合．【解析】 A ＝{x|(x －2)(x －3)＝0}＝{2,3}，若m ＝0，B ＝∅⊆A ；若m ≠0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝－1m ，由B ⊆A 得 －1m ＝2，或－1m ＝3，解得m ＝－12，m ＝－13，因此实数m 的值组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－12，－13. 12．(16分)集合A ＝{x|－2≤x ≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．【解析】 (1)当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅满足B ⊆A.当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，需⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－22m －1≤5，可得2≤m ≤3， 综上，m ≤3时有B ⊆A.(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，所以A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)因为x ∈R ，且A ＝{x|－2≤x ≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}，又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立．则①若B ＝∅，即m ＋1＞2m －1，得m ＜2时满足条件．②若B ≠∅，则要满足的条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1m ＋1＞5或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －12m －1＜－2， 解得m ＞4.综上，有m ＜2或m ＞4。
《金版新学案》高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第1课时 函数及其表示精品课件 理 北师大
x＋1≥0， 应有2x－－1x＞≠00，，
2－x≠1.
即xx≠≥1－，1， x＜2，
有－x≠11≤. x＜2，
所以此函数的定义域是{x|－1≤x＜1或1＜x＜2}．
• (2)∵f(2x＋1)的定义域为(0,1)， • ∴1＜2x＋1＜3， • 即f(x)的定义域是(1,3)．
【变式训练】 1.(1)求函数f(x)＝lgx92－－x22x的定义域； (2)已知f(x)的定义域是[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域．
．
知识点
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幂函数、 函数与 方程
1.了解幂函数的概念．
2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝ 的图象， 了解它们的变化情况．
3.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系， 判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
4.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似 解．
函数的 图象
• 求函数解析式的类型与求法
• (1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．
• (2)已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取 值范围．
(3)已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其
他未知量，如f(－x)、f
1 x
等，要根据已知等式再构造其他等式组成方
x2，x＞0， 3.已知函数f(x)＝1，x＝0，
－1x，x＜0.
(1)画出函数的图象； (2)求f(1)，f(－1)，f[f(－1)]的值．
解析： (1)分别作出f(x)在x＞0，x＝0，x＜0段上的图象，如图所 示，作法略．
• 【思考探究】 2.若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？
《金版新学案》高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第3课时 函数的奇偶性与周期性精品课件 理
• 2．对于有些复杂的函数，有时需要将函数进行化简或应用定义的等价
形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x)＝0⇔
＝±1(f(x)≠0)．
• 3．对于分段函数的奇偶性的判断应分段逐一判断，然后统一下结论．
判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|x|(x2＋1)；(2)f(x)＝ x＋1x；
• (2)对函数周期性的考查，主要涉及判断函数的周期、利用周期性 求函数值，以及解决与周期有关的函数综合问题．充分利用题目 提供的信息，迁移到有定义的范围上进行求值是解答此类问题的 关键．
• (2010·全国新课标卷)设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－ 2)＞0}＝( )
(2)∵f(x)的定义域为[－2,2]， －2≤1－m≤2
∴有－2≤1－m2≤2 ， 解得－1≤m≤ 3 ① 又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴在[－2,2]上递减， ∴f(1－m)＜－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m＞m2－1， 即－2＜m＜1 ② 综合①②可知，－1≤m＜1.
值是( )
A．－13
1 B.3
1 C.2
D．－12
解析： ∵函数f(x)＝ax2＋bx在x∈[a－1,2a]上为偶函数，
∴b＝0，且a－1＋2a＝0，即b＝0，a＝13.
∴a＋b＝13. 答案： B
• 3．已知f(x)在R上满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则 f(2 013)＝( )
数；
• 若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数， 即非奇非偶函数．
• 【思考探究】 奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函 数具有奇偶性的什么条件？
2013年普通高考数学一轮复习 第7讲 函数模型及其应用精品学案.doc
2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第7讲函数模型及其应用一．课标要求：1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。
二．命题走向函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。
高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。
出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。
预测2013年的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。
（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；（2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。
三．要点精讲1．解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：2．解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。
《金版新学案》高三数学一轮复习 函数 第一章第二节 函数的概念及其表示法练习(理) 北师大版必修1
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．设f ：x →x 2是从集合A 到集合B 的映射，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 为( )A ．∅B ．{1}C ．∅或{2}D ．∅或{1}【解析】 由已知x 2＝1或x 2＝2，解之得，x ＝±1或x ＝±2.若1∈A ，则A ∩B ＝{1}，若1∉A ，则A ∩B ＝∅.故A ∩B ＝∅或{1}．【答案】 D2．下列四组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x 100【解析】 ∵y ＝x －1与y ＝(x －1)2＝|x －1|的对应法则不同，故不是同一函数；y ＝x －1(x ≥1)与y ＝x －1x －1(x ＞1)的定义域不同，∴它们不是同一函数；又y ＝4lg x(x ＞0)与y ＝2lg x 2(x ≠0)的定义域不同，因此它们也不是同一函数，而y ＝lg x －2(x ＞0)与y ＝lg x 100＝lg x －2(x ＞0)有相同的定义域，值域与对应法则，故它们是同一函数．【答案】 D3．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x (x ≤0)log 2x(x ＞0)，那么f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫14的值为( ) A ．9 B.19C ．－9D ．－19 【解析】 由于f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫14＝f ⎝⎛⎭⎫log 214＝f(－2)＝3－2＝19，故选B. 【答案】 B4．(2009年安徽卷)设a ＜b ，函数y ＝(x －a)2(x －b)的图象可能是( )【解析】 当x ＞b 时，y ＞0，x ＜b 时，y ≤0.故选C.【答案】 C5．已知f ：x →－sin x 是集合A(A ⊆[0,2π])到集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12的一个映射，则集合A 中的元素个数最多有( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【解析】 A ⊆[0,2π]，由－sin x ＝0得x ＝0，π，2π；由－sin x ＝12得x ＝7π6，11π6，∴A 中最多有5个元素，故选B.【答案】 B6．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……，用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是( )【解析】 对于乌龟，其运动过程可分为两段，从起点到终点乌龟没有停歇，其路程不断增加，到终点后等待兔子这段时间路程不变，此时图象为水平线段，对于兔子，其运动过程可分为三段：开始跑得快，所以路程增加快；中间睡觉时路程不变；醒来时追赶乌龟路程增加快，分析图象可知，选B.【答案】 B二、填空题(每小题6分，共18分)7．已知集合M ＝{－1,1,2,4}，N ＝{0,1,2}，给出下列四个对应关系：①y ＝x 2，②y ＝x ＋1，③y ＝2x ，④y ＝log 2|x|，其中能构成从M 到N 的映射的是________．【解析】 根据函数与映射的定义知④正确．【答案】 ④8．已知f ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x－1，则f(x)＝________. 【解析】 设1＋1x＝t(t ≠1)， 则x ＝1t －1， ∴f(t)＝11t －1－1＝t －2(t ≠1)． f(x)＝x －2(x ≠1)．【答案】 x －2(x ≠1)9．如图，函数f(x)的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f(3)的值等于________．【解析】 由图象知f(3)=1，f =f(1)=2.【答案】 2三、解答题(共46分)10．(15分)(1)已知f(x －2)＝3x －5，求f(x)；(2)已知f(1－cos x)＝sin 2x ，求f(x)；(3)若f{f[f(x)]}＝27x ＋26，求一次函数f(x)的解析式．【解析】 (1)令t ＝x －2，则x ＝t ＋2，t ∈R ，由已知有：f(t)＝3(t ＋2)－5＝3t ＋1，故f(x)＝3x ＋1.(2)∵f(1－cos x)＝sin 2x ＝1－cos 2x ，令1－cos x ＝t ，cos x ＝1－t ，∵－1≤cos x ≤1，∴0≤1－cos x ≤2，∴0≤t ≤2，∴f(t)＝1－(1－t)2＝－t 2＋2t(0≤t ≤2)，故f(x)＝－x 2＋2x(0≤x ≤2)．(3)设f(x)＝ax ＋b ，f[f(x)]＝a 2x ＋ab ＋b ，f{f[f(x)]}＝a(a 2x ＋ab ＋b)＋b ＝a 3x ＋a 2b ＋ab ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝27，a 2b ＋ab ＋b ＝26. 解得a ＝3，b ＝2.则f(x)＝3x ＋2，f[f(x)]＝3(3x ＋2)＋2＝9x ＋8.f{f[f(x)]}＝3(9x ＋8)＋2＝27x ＋26，∴a ＝3，b ＝2，f(x)＝3x ＋2为所求． 11．(15分)已知f(x)＝x 2＋2x －3，用图象法表示函数g(x)＝f(x)＋|f(x)|2. 【解析】 当f(x)≤0，即x 2＋2x －3≤0，－3≤x ≤1，g(x)＝0.当f(x)＞0，即x ＜－3或x ＞1，g(x)＝f(x)＝(x ＋1)2－4.∴g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧0， －3≤x ≤1(x ＋1)2－4 x ＜－3或x ＞1 图象如下图所示．12．(16分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P ＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)【解析】 设一次订购量为m 个时，零件的实际出厂单价恰降为51元．由题意，得60－(m －100)×0.02＝51，得m ＝550.故当一次订购550个时，零件实际出厂单价恰为51元．(2)由题意，知当0＜x ≤100时，f(x)＝60；当100＜x ＜550时，f(x)＝61－(x －100)·0.02＝62－x 50； 当x ≥550时，f(x)＝51.∴函数P ＝f(x)的表达式是f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60， 0＜x ≤100，x ∈N ＋62－x 50， 100＜x ＜550，x ∈N＋.51， x ≥550.x ∈N ＋(3)由(2)知当销售一次订购500个零件和1 000个零件时销售单价分别为62－50050＝52元和51元，故其利润分别是500×52－500×40＝6 000元和1 000×51×40＝1 1000元．。
【金版新学案】2013版高考数学总复习 课时作业10 函数的应用 文 新人教B版
课时作业(十) 函数的应用A 级1．某厂日产手套总成本y (元)与手套日产量x (副)的关系式为y ＝5x ＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )A ．200副B ．400副C ．600副D ．800副2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长9.5%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f (x )图象大致为( )3．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出时间t (分钟)与打出费s (元)的函数关系如图，当打出150分钟时，这两种方式费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元D.403元4．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x 、y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14 5．(2011·卷)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x ＜A ，c A ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,166．有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________．(围墙厚度不计)7．某电脑公司2012年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2014年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2012年到2014年，每年经营总收入的年增长率相同，2013年预计经营总收入为________万元．8．(2012·某某模拟)生活经验告诉我们，当水注进容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，(A)对应________；(B)对应________；(C)对应________；(D)对应________．9．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．10．(2012·某某模拟)某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？11．一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？B 级1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况2．(2012·某某二模)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x >20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为________________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)3．(2012·某某模拟)经过调查发现，某种新产品在投放市场的30天中，前20天其价格直线上升，后10天价格呈直线下降趋势．现抽取其中4天的价格如表所示：(1)(2)若销售量g (x )与时间x 的函数关系式为：g (x )＝－x ＋50(1≤x ≤30，x ∈N )，问该产品投放市场第几天，日销售额最高？答案：课时作业(十)A 级1．D 利润z ＝10x －y ＝10x －(5x ＋4 000)≥0.解得x ≥800. 2．D 依题意知，ax ＝a (1＋9.5%)y，所以y ＝log 1.095x ，故选D. 3．A 依题意可设s A (t )＝20＋kt ，s B (t )＝mt ，又s A (100)＝s B (100)，∴100k ＋20＝100m ，得k －m ＝－0.2，于是s A (150)－s B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10， 即两种方式费相差10元，选A.4．A 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.5．D 由函数解析式可以看出，组装第A 件产品所需时间为cA＝15，故组装第4件产品所需时间为c4＝30，解得c ＝60，将c ＝60代入cA＝15得A ＝16. 6．解析： 设矩形的宽为x m. 则矩形的长为200－4xm (0<x <50)， 面积S ＝x (200－4x )＝－4(x －25)2＋2 500. 故当x ＝25时，S 取得最大值2 500(m 2)． 答案： 2 500 m 27．解析： 设年增长率为x ，则有40040%×(1＋x )2＝1 690,1＋x ＝1310，因此2013年预计经营总收入为40040%×1310＝1 300(万元)．答案： 1 3008．解析： A 容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应； B 容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C 、D 容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线形，但C 容器细，D 容器粗，故水高度的变化为：C 容器快，与(3)对应，D 容器慢，与(2)对应．答案： (4) (1) (3) (2)9．解析： 七月份的销售额为500(1＋x %)， 八月份的销售额为500(1＋x %)2， 则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000， 即25(1＋x %)＋25(1＋x %)2≥66，令t ＝1＋x %，则25t 2＋25t －66≥0， 解得t ≥65或者t ≤－115(舍去)，故1＋x %≥65，解得x ≥20.故x 的最小值为20. 答案： 2010．解析： (1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆． (2)设每辆车的月租金为x 元(x ≥3 000)，租赁公司的月收益为y 元， 则y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050－x －3 00050×50－⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050×150 ＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050，当x ＝4 050时，y max ＝307 050.所以每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元． 11．解析： (1)设每年降低的百分比为x (0<x <1)，故到今年为止，该森林已砍伐了5年．B 级1．B 设该股民购这支股票的价格为a ，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n＝a ×1.1n ，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n＝0.99n·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．2．解析： 当x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100； 当x >20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100， 0<x ≤20，160－x ， x >20(x ∈N *)．当0<x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x >20时，160－x <140，故x ＝16时取得最大年利润．答案： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100， 0<x ≤20，160－x ， x >20(x ∈N *) 163．解析： (1)由题意知：当1≤x ≤20(x ∈N )时，f (x )＝k 1x ＋b 1且f (4)＝34，f (12)＝42，解得f (x )＝x ＋30.当21≤x ≤30(x ∈N )时，f (x )＝k 2x ＋b 2且f (21)＝48，f (28)＝34， 解得f (x )＝90－2x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋30，1≤x ≤20，x ∈N 90－2x ，21≤x ≤30，x ∈N.(2)设销售额为y 元，则y ＝f (x )g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3050－x ，1≤x ≤20，x ∈N 90－2x50－x ，21≤x ≤30，x ∈N.当1≤x ≤20，x ∈N 时，对称轴为x ＝10， 则当x ＝10时，y max ＝1 600.当21≤x ≤30，x ∈N 时，对称轴为x ＝952，当x ＝21时，y max ＝1 392.所以当x ＝10时，y max ＝1 600. 答：产品投放市场第10天，日销售额最高，销售额为1 600元．。
《金版新学案》高三数学一轮 坐标系与参数方程课件 新人教A版选修44
4．柱坐标系与球坐标系 设空间中一点M的直角坐标为(x，y，z)，M点 在xOy坐标面上的投影为M0，M0点在xOy平面 上的极坐标为(ρ，θ)，则三个有序数ρ、 数组(ρ，θ，z) 称为空间中点M的 θ、z构成的_____________ 柱坐标．在柱坐标中，限定ρ≥0,0≤θ<2π，z为 任意实数．由此可见，柱坐标就是平面上的 极坐标，加上与平面垂直的一个直角坐标． 因此，由平面上极坐标和直角坐标的变换公 式容易得到：
( ρ， θ 刻画(如图所示)． 这两个数组成的有序数对 ______________
称为点 M 的极坐标，ρ 称为极径，θ 称为极角．
【思考探究】
1.极点的极坐标如何表示？
提示： 规定极点的极坐标是极径 ρ＝ 0， 极角可取任意角．
3．极坐标与直角坐标的转化 设 M 为平面上的一点，它的直角坐标为 (x，y)， 极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立： x＝ρcos θ ，或 ρsin θ y＝ _______
圆心为 (3,3)，半径为 3 2， 圆的直角坐标方程为 (x－3)2＋ (y－ 3)2＝ 18， 即 x2＋ y2－6x－ 6y＝0， 将 x＝ρcos θ， y＝ ρsin θ 代入上述方程， 得 ρ2－6ρ(cos θ＋ sin θ)＝ 0， π 即 ρ＝6 2cosθ－ . 4
x′＝ 3x， 后， 圆的方程 x2＋ y2＝ 1 可以变为 y′ ＝ 2y
x′2 y′2 ＋ ＝ 1，是一个椭圆的方程． 9 4
极坐标与直角坐标的互化
直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而 极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形， 构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整 体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ 及方程两边平方是常用的变形方法．但对方 程进行变形时，方程必须保持同解，因此应 注意对变形过程的检验．
《金版新学案》新课标人教A版必修1教学课件：1.2.1 函数的概念
对于集合A中任意一个实数x，按照 ④ √ 对应关系f：x→y＝0，在集合B中都 有唯一一个确定的数0和它对应集合. ⑤ × 集合B不是数集
集合A中的元素3在B中没有对应元 ⑥ × 素，且A中元素2在B中有两个元素5 和6与之对应
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
[题后感悟] 判断一个对应关系是否为函数要 依据函数的定义，把握3个要点： ①两集合是否为非空数集； ②对集合A中的每一个元素，在B中是否都有元 素与之对应； ③A中任一元素在B中的对应元素是否唯一．简 单地说，函数是两非空数集上的单值对应．
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
1.判断下列对应是否是函数？ 1 (1)A＝R，B＝R，f：x→y＝ 2； x (2)A＝N，B＝N*，f：x→y＝|x－2|； (3)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4. (4)A＝[－2,2]，B＝{1}，f：x→y＝1
必修1 第一章
∴原函数的定义域为[－2,1)∪(1，＋∞)
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
5－x≥0 (2)要使函数有意义，需满足 2－x≠0 x＋1≠0 x≤5 x≠2 x≠－1
，即
∴原函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,2)∪ (2,5]
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
⇔
∴函数定义域是(－∞，－3)∪(－3，－2]∪(0,1) ∪(1，＋∞)．
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
3.(1)已知函数 f(x)的定义域为[0,2]， 求 f(x－1)的定义域； (2)已知函数 f(x＋1)的定义域为[－1,1]，求 f(x) 的定义域．
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若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为 100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字 作答)． 【解析】 高峰时段的电价由两部分组成，前50千瓦时电价为
50×0.568元，后150千瓦时为150×0.598元．低谷时段的电价由两部分组 成，前50千瓦时电价为50×0.288元，后50千瓦时为50×0.318元，∴电价 为50×0.168＋150×0.598＋50×0.288＋50×0.318＝148.4(元)．
A．3万～4万元 B．4万～5万元
C．5万～6万元 D．2万～3万元 【解析】 ∴x＝ 设存入的本金为x，则x·2%·20%＝138.64， ＝34 660.
【答案】 A
4．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2003年产生 的垃圾量为a吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨， 2008年的垃圾量为________吨．
此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模
型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模 型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题
时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．
2．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下 问题： (1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
数N 对数lgN
数N 对数lgN
1.010 1.015 1.017 1.310 2.000 0.0043 0.0065 0.0073 0.1173 0.3010
3.000 5.000 12.48 13.11 13.78 0.4771 0.6990 1.0962 1.1176 1.1392
【解析】
(1)设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，则y·(1＋
(3)对于一些较复杂的应用问题，有时仅构造一个数学模型还不能根本解
决问题，需先服装当季节即将来临时，价格呈现上升趋 势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20 元的价格平稳销售；10周后，当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到 16周末，该服装已不再销售． (1)试建立价格p(元)与周次t之间的函数关系式； (2)若此服装每周进价q(元)与周次t之间的关系为q＝－0.125(t－8)2＋12， t∈[0,16]，t∈N，试问该服装第几周每件销售利润最大？
3．解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模
型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利 用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下：
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)； (参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg1.2≈0.079，lg2≈0.3010，
lg1.012≈0.005，lg1.009≈0.0039)
【解析】 (1)1年后该城市人口总数为：
行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用电价格表 高峰月用电量 高峰电价(单位：元 /千瓦时) (单位：千瓦时) 50及以下的部分 0.568 超过50至200的部分 0.598 超过200的部分 0.668
低谷时间段用电价格表 低谷月用电量 低谷电价(单位：元 /千瓦时) (单位：千瓦时) 50及以下的部分 0.288 超过50至200的部分 0.318 超过200的部分 0.388
【答案】 148.4
2．(2009年上海卷)有时可用函数f(x)＝
描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习 次数(x∈N＋)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知 识有关． (1)证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降； (2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为 (115,121](121,127](127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是
第十节
函数模型及其应用
1．几类函数模型 (1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)． (2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(3)指数函数型模型：y＝abx＋c(b>0，且b≠1)．
(4)对数函数型模型：y＝mloga x＋n(a>0，a≠1)． (5)幂函数型模型：y＝axn＋b(a≠0)．
数，然后利用解决二次函数的最值问题求出S的最大值．
分段函数模型 某影院共有1 000个座位，票价不分等次，根据该影院的经营经 验，当每张票价不超过10元时，票可全部售出，当每张票价高于10元时， 每提高1元，将有30张票不能售出．为了获得更好的收益，需给影院定一个 比较合理的票价，要求它符合以下三个基本条件：①为方便找零与算账， 票价为1元的整数倍；②影院放映一场电影的成本费用支出为5 750元，票 房收入必须高于成本支出；③用x(元)表示每张票的票价，用y(元)表示该影 院放映一场的净收入(除去成本费用支出后的收入部分)． (1)求函数y＝f(x)的解析式和它的定义域； (2)试问在符合基本条件的前提下，每张票价定为多少时，放映一场的净 收入最大？
－30x2＋1 x>10，
300x－5 750>0，
115 解得 5.75<x< . 3
由于 x∈N，∴6≤x≤38， ∴y 1 000x－5 750， (6≤x≤10，x∈N)，
2 －30x ＋1
＝
300x－5 750，
(10<x≤38，x∈N).
(2)当 y＝1 000x－5 750 时，x＝10 时，ymax＝4 250， 当 y＝－30x2＋1 300x－5 750 时， 652 25 000 y＝－30x－ ＋ ， 3 3 ∴当 x＝22 时，ymax＝8 330， 即当票价定为 22 元时， 净收入最大， 最大值为 8 330 元．
【解析】 (1)依题意，当 x≤10 时，总收入为 1 000x， ∴y＝1 000x－5 750， 当 x>10 时，总收入为[1 000－30(x－10)]x， ∴y＝[1 000－30(x－10)]x－5 750. 由条件②，必有 y>0， 1 000x－5 750>0， ∴ 或 x≤10，
【答案】 2 500 m2
一次函数与二次函数模型
如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b(b<a)，在AB，AD， CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF都等于x，当x为何值时，四边形 EFGH的面积最大？并求出最大面积． 【思路点拨】 依据图形建立四边形EFGH的面积S关于自变量x的目标函
2．下列函数中，随x的增大而增大速度最快的是(
A．y＝ C．y＝x100 B．y＝100lnx D．y＝100·2x
)
【解析】 ∵在(0，＋∞)上，总存在一个x0，使x>x0时，有
ax>xn>logax.∴排除B、C， 又∵e>2，∴ 的增长速度大于100·2x的增长速度．
【答案】 A
3．从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%， 由各银行储蓄点代扣代收，某人2000年6月1日存入若干万元人民币，年利率为 2%，到2001年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元，则该存款人的本金介 于( )
x)n＝60，则当n＝40时，y＝30，
即30(1＋x)40＝60，∴(1＋x)40＝2，
两边取对数，则40lg(1＋x)＝lg2，
(2)依题意，y≤12.48(1＋1%)10，
得lgy≤lg12.48＋10×lg1.01＝1.1392， ∴y≤13.78，故人口至多有13.78亿． 答：每年人口平均增长率为1.7%,2008年人口至多有13.78亿．
1．(2008年全国卷Ⅰ)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停 车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )
【解析】 由v(t)＝s′(t)，即函数曲线上任一点的切线的斜率为此时刻的
速度，而加速行驶阶段速度在增大，即切线的斜率在增大，同样减速行驶
阶段，切线的斜率在减小，故选A. 【答案】 A
【解析】 2004年垃圾量为a(1＋b),2008年垃圾量为a(1＋b)5.
【答案】 a(1＋b) a(1＋b)5
5.
有一批材料可以建成200 m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成 一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则 围成的矩形最大面积为 .(围墙厚度不计)
(1)本题中的总收益满足的函数关系式已经给出，将利润表示为 月产量的函数，只需利用“总收益＝总成本＋利润”这一关系直接求出即 可．
(2)在函数应用题中，已知等量关系是解题的依据，如本题中“总收益＝
总成本＋利润”，再如“销售额＝销售价格×销售量”等．像几何中的面 积、体积公式等也常用来构造函数关系．
2．三种函数模型的性质
函数性质 在(0，＋ ∞)上的增 减性 增长速度 图象的变 化
y＝ax(a>1) 单调递 增 越来越
快
y＝logax(a>1) 单调递 增 越来越
慢
y＝xn(n>0) 单调递增 相对
平稳
随x增大逐渐表现 随x增大逐渐表 x轴平行一样 为与 y轴平行一样 现为与
随n值变化而 不同
【解析】
(1)当t∈[0,5]时，p＝10＋2t；
当t∈(5,10]时，p＝20；
当t∈(10,16]时，p＝40－2t.