372第三十七讲一维无限深势阱 - 副本
高二物理竞赛课件一维无限深势阱
满足归一化条件,另外
z
和
1 me
z
z
还要满足边界条件.
有限深势阱能带
有限
无限
有效质量
En k
E n,0
2k 2 2m 0
2
m
2 0
nn
un0 k p un0 2 En0 En0
E n,0
2k 2
2
1
m
0
m 022k2
nn
un0
k
p
un0
En0 En0
2
E n,0
2k 2 2me
2 2
z
1
me z z
nz
zV
z nz
z
Enz
nz
z,
波函数形式为
B expz,z lz 2
nz
Acoskz, lz A sinkz, lz
B exp z
2
2
,
z z z
lz
lz lz 2
2 2
其中 k
2meI Enz 2
,
2meII V0 Enz 2
,
nz z
一维无限深势阱
一维无限深势阱
E nz
2 2 2me ,hLz2
nz2 ,nz
1,2,3,
有限深真实势阱,仅存在着几个束缚态，
E nz nz2, 系数变小,能级降低.这是由于
势垒降低,电子产生贯穿（Δx↑→ Δ p↓
→ p↓）.当 lz 0,Enz (发散)电子 态接近于势垒中的布洛赫态.
.
1
me1m0 Nhomakorabeam 022k2
nn
un0 k p un0 En0 En0
量子力学中的无限深势阱问题
量子力学中的无限深势阱问题量子力学是描述微观世界的物理学理论，它在解释和预测微观粒子行为方面具有重要的作用。
其中，无限深势阱问题是量子力学中的一个经典问题，它帮助我们理解波函数的性质以及粒子在势场中的行为。
无限深势阱问题是指一个粒子被限制在一个势能在某个区域内为无限大，在区域外为零的势场中运动。
这个问题可以用一维的情况来描述，假设势阱的宽度为L，那么势阱内的势能函数可以表示为：V(x) = 0, 0 < x < LV(x) = ∞, x < 0 或者 x > L在经典力学中，粒子在势场中的运动是由牛顿第二定律描述的，而在量子力学中，粒子的运动状态由波函数来描述。
波函数是量子力学中的基本概念，它是一个复数函数，可以用来描述粒子的位置和动量。
对于无限深势阱问题，我们可以使用定态薛定谔方程来求解。
定态薛定谔方程可以表示为：-ħ²/2m * d²ψ(x)/dx² + V(x)ψ(x) = Eψ(x)其中ħ是普朗克常数的约化形式，m是粒子的质量，E是粒子的能量，ψ(x)是粒子的波函数。
在势阱内部，势能V(x)为零，因此定态薛定谔方程可以简化为：-ħ²/2m * d²ψ(x)/dx² = Eψ(x)这是一个简化的定态薛定谔方程，可以通过求解这个方程来得到粒子在势阱内部的波函数。
根据边界条件，当x=0或者x=L时，势能V(x)为无穷大，因此波函数必须为零。
这意味着在势阱的两个边界处，波函数的值为零。
根据上述条件，我们可以得到波函数的一般形式为：ψ(x) = A * sin(kx)其中A是归一化常数，k是波数，可以通过边界条件来确定。
当x=0时，波函数为零，因此有sin(0) = 0，这意味着kx = 0，即k = 0。
当x=L时，波函数为零，因此有sin(kL) = 0，这意味着kL = nπ，其中n是一个整数。
通过边界条件，我们可以得到k的取值为：k = nπ/L由于波函数必须是归一化的，我们可以通过归一化条件来确定归一化常数A。
一维无限深势阱
n*dx
=
a −a
A sin ⎢⎣⎡
nπ 2a
(x
+
a)⎥⎦⎤dx
= aA2 = 1
A= 1 a
ψn =
1 a
sin
⎡ ⎢⎣
nπ 2a
(
x
+
a)⎥⎦⎤
ψ
n
( x, t )
=
ψ
− i Et
ne h
=
1 a
sin
⎡ ⎢⎣
nπ 2a
(x
+
a)⎥⎦⎤
⋅
−i
eh
Et
En
=
n2π 2h 2 8μA2
ΔEn
=
En +1
§2.6 一维无限深势阱 （1） 序
一维运动 相互作用用势函数 U 表示
势场
⎧散射场 ⎩⎨束缚态
势垒
方形势阱
⎧方形势阱 ⎪⎪谐振子势阱 ⎪⎨δ 阱 ⎪⎩周期阱
一维无限深势阱，图 2.1 所示
Fig 2.1 一维无限深势阱
（2） 一维无限深势阱 在一维空间中运动的粒子，粒子在一定区域内（x=-a 到 x=a）为零，而在此区域外，势能为无
a −a
⎢⎣⎡cos
n
+ n′ 2a
(
x
+
a)
−
cos
n
− n′ 2a
(
x
+
a)⎥⎦⎤
dx
=0
——此即为波函数的正交条件。
8．波函数可视为两波波函数的迭加
ψ = c e + c e i h
(
nπh 2a
−
Ent
)
−
一维无限深势阱
A e ikx B e ikx , ( x ) F e k3 x G e k3 x , C e ikx ,
2 2
x0 0 xa xa
(k k3 ) sh k3a B 2 , 2 A (k k3 ) shk3a 2ikk3chk3a
1 x x 1 x x shx (e e ), chx (e e ). 2 2
ik1 x
2
x0 0 xa xa
2 Beik x B e ik x
ik1 x 3 Ce C e (C 0) ik1 x
这里 k1 因子
ikx e 波数为K的平面波， 则是向左运动的平面波。在I、II两
x 0,
2mE ，k 2 2m( E V0 ) 。考虑到时间 ikx iEt / i t ，因此 代表向右运动的 e e
2
1 2
所以几率密度与 (1
2
/a )
2
1 2
成比例。
一、方势垒
1.方势垒是：
§3.3势垒贯穿 U(x)
U0
x 0 or 0, U ( x) U 0 0 0 x a
xa
0 a x
其特点是： (1)对于势阱，波函数在无穷远处趋于零，能谱是分立的。但 对于势垒，波函数在无穷远处不为零。下面将看到，粒子能量 可取任意值。 (2)按照经典力学观点，若E<U0 ,则粒子不能进入势垒,在x=0处 全被弹回；若 E> U0, 则粒子将穿过势垒运动。 但从量子力学的观点，由于粒子的波动性，此问题将与波 透过一层介质相似，总有一部分波穿过势垒，而有一部分波被 反射回去。因此，讨论的重点是反射和透射系数。
一维无限深方势阱中的能量本征态
一维无限深方势阱中的能量本征态1. 引言在量子力学中，一维无限深方势阱是一个经典的问题。
研究一维无限深方势阱中的能量本征态，可以帮助我们更好地理解量子力学中的基本概念和原理。
通过对这一问题的深入探讨，我们可以揭示能量本征态的性质、数学描述以及物理意义，从而为我们理解更为复杂系统的量子行为奠定基础。
2. 能量本征态的概念能量本征态是指在某一势场中，系统的波函数满足薛定谔方程，并且具有确定的能量值。
在一维无限深方势阱中，系统的势能在有限区间内为无穷大，而在无限远处为零。
在区间内，粒子的动能足够克服势能，所以能量本征态中的波函数不为零，在无穷远处趋于零。
3. 数学描述对于一维无限深方势阱，我们可以通过薛定谔方程来描述能量本征态。
薛定谔方程可以写作：\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \] 其中 \( E \) 为能量本征值，\( \psi(x) \) 为能量本征态的波函数，\( m \) 为粒子的质量，\( \hbar \) 为约化普朗克常数。
在一维无限深方势阱中，我们可以通过求解该薛定谔方程得到能量本征态的波函数形式和能量值。
4. 能量本征态的求解与性质通过求解一维无限深方势阱中的薛定谔方程，我们可以得到一系列的能量本征态。
这些能量本征态之间呈现离散的能级，且能级间隔相等。
这一性质恰好符合了量子力学中的能量量子化条件，从而验证了能量本征态的物理意义。
5. 主题文字的再次提及通过以上对能量本征态的深入讨论，我们可以看到，一维无限深方势阱中的能量本征态不仅是一个重要的量子力学问题，更是我们理解量子力学基本原理的重要工具之一。
能量本征态的性质和数学描述为我们提供了在量子力学中理解和描述复杂系统的基础。
6. 总结与回顾通过本文对一维无限深方势阱中的能量本征态的全面评估，我们不仅了解了能量本征态的基本概念和数学表达，更深入地理解了能量本征态的物理意义。
一维无限深势阱 (2)
论文题目：一维无限深势阱简述制作人：刘子毅（应用物理（1））学号：09510113一维无限深势阱一、引言Hu = Eu,,2222Eu Vu dxu d m =+- (1) 在图中Ⅰ区，-a/2<x<a/2,式中的V=0；在图中Ⅱ区，x<-a/2和x>a/2, V=∞. 现在解Ⅰ区情况的方程，V=0，（1）式成为.2,22222mEk u k u mE dx u d =-=-= 设axe u =，那么u a u n2=，代入上式，u k u a 22-=ik a ±=所以ikx ikx Be Ae u -++=kx D kx C u sin cos += （2）（2）式是Ⅰ区的通解。
2、一维无限深阱电子的基态222222282n mdh n md E n == π n=1、2、3…… 无量纲处理：以波尔半径2200me a ε=里德伯20242ε me R y =分别为长度和能量单位能量可化为21d E π3、数值模拟当n=1时，1E 和d 的一组数值用计算机编程模拟如下： 设d 从0.3 3.0 include ‹stdio.h › include ‹math.h ›main() { double e,d,c; int i; c=3.14,d=0.3; for(i=0;i ‹10;i++) { e=c/(d*d); printf(“%lf ”，&e)； d=d+0.3;} }d 的取值利用画图软件描绘出横坐标为d ，纵坐标为E 的曲线 设d 从0.3 3.0，能量化简为：21dE π=模拟如下：。
一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率
一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率在量子力学中，一维无限深势阱是一个经典的模型系统，用于研究粒子在受限空间内的性质和行为。
其中，粒子的能量是一个非常重要的物理量，其可能的测量值和相应的几率分布是量子力学中的基本课题之一。
在本文中，我们将深入探讨一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率，并从简到繁地进行全面评估，帮助读者更深入地理解这一主题。
1. 一维无限深势阱的基本概念在一维无限深势阱中，粒子被限制在一个无限深的势阱内运动，即在势阱内能量为负无穷，在势阱外能量为正无穷。
这样的势阱能够构建一个简单而理想化的量子力学模型，便于对粒子的性质进行研究。
2. 粒子在一维无限深势阱中的波函数和能量本征态根据量子力学的基本原理，粒子在一维无限深势阱中的波函数可以用薛定谔方程进行描述。
解出薛定谔方程后，可以得到粒子的能量本征态和对应的波函数表达式，这些能量本征态对应着粒子可能的能量。
3. 能量的可能测量值和相应的几率分布在量子力学中，能量的测量值是一个物理量的可能取值，其对应的几率分布描述了在测量中可能得到某个值的概率。
对于粒子在一维无限深势阱中的能量，我们可以通过对波函数进行归一化处理，得到能量的可能测量值和相应的几率分布。
这些可能的测量值和几率分布将帮助我们理解粒子在势阱内的能量分布规律。
4. 总结与回顾通过对一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率进行全面评估，我们可以更深入地理解量子力学中的基本概念和原理。
这也有助于我们在实际研究或应用中更灵活地处理粒子能量的测量和分布问题。
个人观点和理解：量子力学中的一维无限深势阱模型是一个简单而重要的系统，通过对其粒子能量的可能测量值和相应的几率进行深入研究，我们可以更好地理解量子世界中的奇妙规律。
对于我而言，通过撰写本文并深入思考这一主题，我对量子力学中的能量测量和分布问题有了更全面的认识，并且能够更好地应用于我的研究和工作中。
量子力学中一维无限深势阱问题两种解题方法的比较
量子力学中一维无限深势阱问题两种解题方法的比较一维无限深势阱是量子力学中一个经典的问题，可以用两种方法进行求解：定态微扰论和定态井底近似。
1. 定态微扰论：定态微扰论是量子力学中解决简单势场问题常用的一种方法。
在无限深势阱问题中，可以将无穷深方势阱视为定态问题的微扰，将该势场加入到系统的哈密顿量中，然后使用微扰论进行求解。
定态微扰论的步骤如下：- 首先，将无限深方势阱问题的哈密顿量记为H0，并找到H0的本征函数和本征能量。
- 然后，将无穷深势阱视为微扰，将微扰项H'加入到哈密顿量。
- 使用微扰论的公式，展开本征函数和本征能量的泰勒级数，得到微扰的一阶修正项。
- 最后，将微扰项的一阶修正项加到H0的本征能量上，得到精确的能级修正。
2. 定态井底近似：定态井底近似是另一种求解一维无限深势阱问题的常用方法。
该方法的核心思想是将无穷深方势阱问题看作是薛定谔方程在势能井底附近的近似解。
定态井底近似的步骤如下：- 首先，将无限深方势阱的势能井底近似为一个宽度为a的矩阵势阱，且矩阵势阱的势垒高度为无穷大。
- 然后，将定态薛定谔方程在矩阵势阱内求解，得到在该势阱内的本征函数和本征能量。
- 最后，将势能井底趋于无穷深，即将势阱的势垒高度取极限使其趋于无穷大，此时得到的本征函数和本征能量就是无限深方势阱问题的精确解。
比较两种方法：- 定态微扰论适用于一般情况下的微扰问题，可以求得很多物理量的修正。
但是在计算过程中需要进行级数展开，需要考虑到每一阶的修正项，计算较为复杂。
- 定态井底近似是一种近似方法，适用于无穷深方势阱问题的求解。
它将无穷深方势阱问题转化为一个简单的矩阵势阱问题，简化了问题的求解过程。
- 在求解一维无限深势阱问题时，定态井底近似更加简单快速，能够直接得到问题的精确解。
而定态微扰论的应用范围更广，在求解一些复杂问题时更具有优势。
综上所述，定态井底近似适用于一维无限深势阱问题的精确解，而定态微扰论适用于更一般的微扰问题，并具有更广泛的应用范围。
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k 2 i x 0
d x 2 k x 0 2 dx
2
U ( x)
其通解为： ( x) C sin
kx
C 和 为待定常数，由边界条件确定。 4、定常数：由边界条件：因为在势阱壁上波函 数必须单值、连续。
i (0) C sin(k o ) C sin( ) 0
0 (0 x a ) U ( x) ( x 0 , x a )
2 d 2 ( x ) U ( x ) ( x ) E ( x ) 2 2m dx
0 (0 x a ) U ( x) ( x 0 , x a )
U ( x)
（5）对应原理： b）波函数
n 1,2,3, 2 nx sin( ), (0 x a ) a a
( x)
（经典）
n
4 x
n ( x)
E4
粒子在势阱中的波函数的 波形很象两端固定弦的驻波，
2a n n
3 x
E3
2 x
波的波长随能级的增高而缩短。
34 2 n2 2 2 ) 3.14 2 2 (1.054 10 2 17 2 En n 37 n eV 0.605 10 n J 31 10 2 2 2 9.11 10 (10 ) 2me a
E1＝37（eV）， E2＝148（eV）
34 2 2 (1.054 10 ) 3.14 6 2 En n2 = 2 10 n (eV ) 27 14 2 2 1.67 10 (10 )
2
E
( n 1 , 2 , 3 , ) En n 2 2ma
2 2 2
n4 n3 n2 n 1
0
16E1
9 E1 4 E1
结果说明：粒子被束缚在 势阱中，能量只能取一系列分 立值，即它的能量是量子化的。
当 n = 1 时：E1 2ma 2
2 2
a x
E1
为粒子的基态能量。
求：1）常数A；2）粒子在0到a/2区域内出现的概率； 3）粒子在何处出现的概率最大？ 解：2）粒子的概率密度为：
2 2 x sin a a
2
a/2
2 A a
粒子在 0 到 a / 2 区域内出现的概率：
a/2
0
2 dx a
2
0
1 1 1 2 sin xdx x sin 2 x sin dx 2 4 a 2
1 1 sin xdx 2 x 4 sin 2 x
2
a 2 0
2
dx A
2
2
sin
0
a
2
x
a
dx 1
A
sin
x
a dx A 1 a 2
2
2 A a
例3：作一维运动的粒子被束缚在0 < x < a 的范围内， x 已知其波函数为：
x A sin a
2
x
例3：作一维运动的粒子被束缚在0 < x < a 的范围内， x 已知其波函数为：
x A sin a
求：1）常数A；2）粒子在0到a/2区域内出现的概率； 3）粒子在何处出现的概率最大？
d ( x) 3） 0 概率最大的位置应该满足： dx
2
A
2 a
2 2 x 2 d sin d ( x) x x 2 2 x a a 2 = 2 sin cos = 2 sin 0 dx dx a a a a a a
21.7.1 一维无限深势阱
作业：练习41 波函数 薛定谔方程； 一维势阱 势垒 隧道效应
一维定态薛定谔方程
d 2 ( x ) 2m 2 ( E U ) ( x ) 0 2 dx
21.7.1 一维势阱 (一维定态薛定谔 一维无限深势阱中运动的粒子问题 方程的应用） 设有一粒子处在势能为U的力场中，并沿X轴作一 维运动，粒子的势能U（x）满足下列条件：
h 2
把质子看作是局限于原子核大小的无限深势阱中，有
E1＝2（MeV）， E2＝8（MeV）
例5：设想一电子在一无限深方势阱中运动， 求：电子在原子尺度 a =10-10 m和普通尺度 a =10-2 m 势阱宽度范围的相邻能级的能量差。
n ( x)
2 n x sin( ) a a
（4） 相邻两能级的间隔与势阱宽度有关，且随n 的增加而增加，
2 2 (2n 1) 2ma2
（5）对应原理：
a）粒子的能量：
能级间隔：
2 2 2 2 En n E1 2 2ma
能级相对间隔： 当量子数很大时，可认为能量是连续分布的。 所以经典物理可以看成是量子物理中量子数n→∞ 时的近似。
2、薛定谔方程：
对于在一维空间中运动的粒子，且势函数 U (x) 与时间无关的情况，波函数满足一维定态薛定谔方程：
d 2 ( x ) 2m 2 ( E U ) ( x ) 0 2 dx
U ( x)
2 d 2 ( x ) U ( x ) ( x ) E ( x ) 2 2m dx
阱内： U ( x ) 0
2 2
(0 x a)
d i ( x) E i ( x ) 2 2m dx
阱外：U ( x )
( x 0 , x a)
2 d 2 ( x ) ( x ) E ( x ) 2 2m dx
子限制在 (0) (a ) 0 边界条件： 0→a 范围内。 由标准条件，波函数在阱内外不能突变。
i ( x)
2 n x sin( ), (0 x a) a a
n 1, 2, 3 0, x a)
5、 讨论： 势阱中粒子的波函数和概率密度分布曲线
势阱中粒子的波函数分布曲线 概率密度分布曲线
( x)
n4 n3 n2 n 1
2 2 x sin ( )dx = 0.60 a a
n4 n3 n2
2a 3 a 3
i ( x ) dx =
2
概率
2 2 n x i ( x ) = sin ( ） a a
x
a
n=1
n 1
0
a/2
a
x
2
概率最大。
（2）阱中粒子的能量
n 2mE 由(a)和(b) k 2 和 k 得： a
e 0 这样就把粒
3、解方程： 阱内： (0 x a)
d i ( x) E i ( x ) 2 2m dx
2
2
即为：
d 2 i x dx 2
2mE 2 i x 0
(a)
U ( x)
令： k
2mE
d 2 i x dx
1、 U ( x )
0
( 0 x a)
(x 0 ，x a)
U ( x)
粒子在势阱内受力为零， 势能为零；在阱外势能为无穷 大。粒子只能在宽为 a 的两个 无限高势壁间运动，这种势称 为一维无限深势阱。
意义： 是金属中自由电子的简化模型。自由电子在 一块金属内的运动就相当于粒子在势阱中的运动。
2 sin cos sin 2
2x k , k 0,1,2, 时，粒子出现的概率最大。 即当： a
因为 0 < x < a， 此处粒子出现的概率最大。 故得 x = a / 2，
例4：（P269例21-12）设原子的线度约为10－10m,原 子核的线度约为10-14m,已知电子的质量为me＝ 9.11×10-31kg，质子的质量为mP＝1.67×10-27kg。估 计原子中电子的能量和原子核中质子的能量。 解： 把电子看作是局限于原子大小的无限深势阱中，有
4
n 时 ， P 1 4
例1：（P269例21-13） 设质量为 m 的微观粒子处在宽 度为 a 的一维无限深势阱中，试求：(1) 粒子在 0 x a/4 区间中出现的几率，并对 n = 1 和 n = 的情况算出 概率值。(2) 在哪些量子态上，a/4 处的概率密度最大？
2 2 n ( x ) sin x a a 2 2 2 2 n 2 n a si n a 4 处： ( x ) sin 4 a a 4 a 2 n si n 1 最大时有： 4 n （2k 1） k 0 , 1 , 4 2 n 4k 2 即 : n 2,6,10,
n 为粒子的能量量子数，En 为能量本征值。
阱中粒子的能量
En n 2 2ma
2 2 2
此结论可有德布罗意假设及驻波条件得
h 2
En 2 2ma
2 2 2
（3）粒子最小能量不能为零 因为n不等于0,如果n 2 2 E1 0 2 等于0，波函数为零。 2ma 表明：
(2)
2
解：
1 1 dx tg x 1+x 2
tg
2
=
tg 0=0
② ③
∴ x=0时
④
1 1 dx tg x 1+x 2
tg
4
=1
例3：作一维运动的粒子被束缚在0 < x < a 的范围内， x 已知其波函数为：
x A sin a
求：1）常数A；2）粒子在0到a/2区域内出现的概率； 3）粒子在何处出现的概率最大？ 解：1）由归一化条件：
a 2
2 sin xdx
1 1 x sin 2 x 2 4