21.6波函数

4π p h
2
2
2
Ψ
Ψ t
E Ek
h
2 2 2

p
i2 π h
2
EΨ
k
(v c )

2 mE
一维运动自由粒子 的含时薛定谔方程
Ψ
2
8 π m x
i
h Ψ 2 π t
21.6波函数
薛定谔方程
第21章 量子物理
若粒子在势能为 E p 的势场中运动
E Ek Ep
21.6波函数
薛定谔方程
第21章 量子物理
薛定谔方程是量子力学的一个基本假设,它既不 可能从已有的经典规律推导出来,也不可能直接从实 验事实总结出来(因为波函数本身是不可观测的).实际 上是“猜” 加“凑”出来的.方程的正确性只能靠实 践检验.到目前为止,实践检验它是正确的. 下面不是推导,而是作为便于初学者接受的一种引导.
21.6波函数
薛定谔方程
第21章 量子物理
薛定谔，奥地利人，是著名的 理论物理学家，量子力学的重要奠 基人之一。他同时在固体的比热、 统计物理、原子光谱及镭的放射性 等方面的研究都有很大成就。
薛定谔对分子生物学的发展也做过工作。由于他 的影响，不少物理学家参与了生物学的研究工作，使 物理学和生物学相结合，形成了现代分子生物学的最 显著的特点之一。
如果把波函数在空间各点的振幅同时增大一倍， 并不影响粒子在空间各点的几率。所以将波函数乘 上一个常数后，所描写的粒子的状态并不改变。
21.6波函数
薛定谔方程
第21章 量子物理
以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只 有一种符合标准条件
符合
不符合
不符合
不符合
21.6波函数
薛定谔方程
第21章 量子物理
某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为
归一化条件
Ψ
2
dV 1
21.6波函数
薛定谔方程
第21章 量子物理
４)波函数应满足的条件 ①标准条件 粒子在某一个时刻t，在空间某点上粒子出现的几 率应该是唯一的、有限的，所以波函数必须是单值的、 有限的；又因为粒子在空间的几率分布不会发生突变， 所以波函数还必须是连续的。 波函数必须满足“单值、有限、连续”的条件，称 为波函数的标准条件。也就是说，波函数必须连续可 微，且一阶导数也连续可微。 ②归一化条件 由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以任 意时刻，在整个空间发现粒子的总几率应是1。所以 2 应有： | | dV 1
a
a a 粒子在0到a/2区域内出现的概率
21.6波函数
二
薛定谔方程
第21章 量子物理
薛定谔方程（非相对论情形） 自由粒子薛定谔方程的建立
自由粒子平面波函数
Ψ ( x, t ) y 0e
Ψ
2
i
2π ( Et px ) h
上式取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得
x 自由粒子
2

d y
2 (x) 2

8π m h
2
2
dx
( E E p )y ( x ) 0
21.6波函数
y
2
薛定谔方程
2
第21章 量子物理
在三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程
x
2

y y
2

y
2
z
2

8π m h
2
2
( E E p )y 0

2 2
拉普拉斯算子
定态薛定谔方程
21.6波函数
E p 0,
d y
2 2
薛定谔方程
0 xa
2
第21章 量子物理
E p , x 0 , x a y 0, ( x 0, x a )
Ep

2
8π
mE
2
y 0
k y 0
2
dx
k
h
mE
2
8π
d y
2
h
dx
2
o
a
x
y ( x ) A sin kx B cos kx
21.6波函数
一
薛定谔方程
第21章 量子物理
波函数 概率密度 1）经典的波与波函数 机械波
y ( x , t ) A cos 2π ( t x

)
电磁波
E ( x , t ) E 0 cos 2π ( t
H ( x,t) H
0
x

x
)
)
cos 2π ( t
i 2 π ( t x )
a
k 8 π mE h
2 2
E n
2
h
2 2
8 ma
o
a
基态能量 E 1
h
2 2
x
, ( n 1)
h
2 2
8 ma
2 激发态能量 E n n
, ( n 2 ,3 , )
8 ma
一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 .
21.6波函数
y
2 2
薛定谔方程
y ( x ) A sin kx
2
sin
0
2
x
a

dx 1
0

2
dx
2 a
a/2

0
sin
2
x
a
dx
1 2
(3)概率最大的位置应该满足
2 a
解得
a 2
A
2
1
A
d dx

2

2 a
sin
2 x a
0
(2)粒子的概率密度为

2

2
sin
2
x
即当 2 x k , k 0 , 1 , 2 , 时，粒子出现的概率最大。因 为0<x<a，故得x=a/2，此处粒 子出现的概率最大。
经典波为实函数

y ( x , t ) Re[ A e

]
21.6波函数
薛定谔方程
第21章 量子物理
2）量子力学波函数（复函数）
描述微观粒子运动的波函数
微观粒子的波粒二象性
自由粒子能量 E 和动量 p 是确定的，其德布罗
意频率和波长均不变 ， 可认为它是一平面单色波 .
Ψ( x, y, z, t ) h E p h
x,
(0 x a )
21.6波函数
波动方程
薛定谔方程
d y
2
第21章 量子物理
Ep
dx
2

8 π mE h
2
2
y 0
波函数
0, ( x 0, x a )
nπ a x, (0 x a )
y (x)
2 a
o
2 a
2
a
sin

x
概率密度 能量 量子数
y (x)
En n
2 2
E En y y n ( x )
能量本征值 能量本征函数
21.6波函数
薛定谔方程
第21章 量子物理
三 一维势阱问题 粒子势能 E p 满足的边界条件
0 x a
Ep

Ep
意义
0,
E p , x 0, x a
o
a
x
1）是固体物理金属中自由电子的简化模型； 2）数学运算简单，量子力学的基本概念、原理 在其中以简洁的形式表示出来 .
2
2

sin
nπ a
x
h
2 2
8 ma
n 1, 2 , 3 ,
21.6波函数
薛定谔方程
第21章 量子物理
结论： 1）能量量子化： 2 2 2
En n 2ma
2
(n 1,2,3)
2）能量的本征函数
y n ( x)
2 a sin nx a
n x a
3) 概率分布
P y n ( x) n
德布罗意波（概率波）不同于 经典波（如机械波、电磁波）
经 典 波
是振动状态的传播 波强（振幅的平方）代 表通过某点的能流密度
能流密度分布取决于空 间各点的波强的绝对值。
德布罗意波
不代表任何物理量的传播 波强（振幅的平方）代表粒 子在某处出现的概率密度
概率密度分布取决于空间各 点波强的比例，并非取决于 波强的绝对值。 因此，将波函数在空间各 因此，将波函数在空间各 点的振幅同时增大 C倍，则 个处的能流密度增大 C2 倍， 点的振幅同时增大 C倍，不影 响粒子的概率密度分布，即 变为另一种能流密度分布状 和C 所描述德布罗意波的状 态。 态相同。 波动方程无归一化问题。 波函数存在归一化问题。
21.6波函数
x 例：作一维运动的粒子被束缚在0<x<a x A sin 的范围内，已知其波函数为： a 求：(1)常数A；(2)粒子在0到a/2区域内出现的概率；(3)粒子在何处 出现的概率最大？
薛定谔方程
第21章 量子物理
解：(1)由归一化条件
a
a/2



2
dx A
2

2 a
sin
2
21.6波函数
薛定谔方程
nπ a
y
n
第21章 量子物理
2
y ( x ) A sin
x
y (x)

2 a