高三数学天天练
高三基础知识天天练 数学选修4-1-1人教版
选修4-1 第1节一、选择题1．若三角形三边上的高分别为a 、b 、c ，这三边长分别为6、4、3，则a ∶b ∶c ＝( )A ．1∶2∶3B ．6∶4∶3C ．2∶3∶4D ．3∶4∶6解析：由三角形面积公式： 12×6a ＝12×4b ＝12×3c ， ∴6a ＝4b ＝3c ，设3c ＝k ，则a ＝k 6，b ＝k 4，c ＝k 3，∴a ∶b ∶c ＝k 6∶k 4∶k32∶3∶4.答案：C2．如下图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，DE ＝5 cm ，则线段BF 的长为( )A ．5 cmB ．8 cmC ．9 cmD ．10 cm解析：∵DE ∥BC ，DF ∥AC ， ∴四边形DECF 是平行四边形， ∴FC ＝DE ＝5 cm ， ∵DF ∥AC ，∴BF FC ＝BD DA， 即BF 5＝84，∴BF ＝10 cm. 答案：D3．Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ∶AC ＝3∶2，则CD ∶BD ＝( )A ．3∶2B ．2∶3C ．9∶4D ．4∶9解析：由△ABD ∽△CBA 得AB 2＝BD ·BC ， 由△ADC ∽△BAC 得AC 2＝DC ·BC ， ∴CD ·BC BD ·BC ＝AC 2AB 2＝49，即CD ∶BD ＝4∶9. 答案：D4．已知：如右图，正方形ABCD 的边长为4，P 为AB 上的点，且AP ∶PB ＝1∶3，PQ ⊥PC ，则PQ 的长为( )A ．1 B.54 C.32D. 2解析：∵PQ ⊥PC ，∴∠APQ ＋∠BPC ＝90°， ∴∠APQ ＝∠BCP ，∴Rt △APQ ∽Rt △PBC ， ∴AP BC ＝AQBP. ∵AB ＝4，AP ∶PB ＝1∶3，∴PB ＝3，AP ＝1， ∴AQ ＝AP ·BP BC ＝1×34＝34， ∴PQ ＝AQ 2＋AP 2＝916＋1＝54. 答案：B5．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( )A ．y 是x 的增函数B ．y 是x 的减函数C ．y 随x 的增大先增大再减小D ．无论x 怎样变化，y 为常数解析：∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝12AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数．答案：D6．如右图所示，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠使点B 落在AD 边的中点E 处，则折痕FG 的长为( )A ．13 B.635 C.656D.636解析：过A 作AH ∥FG 交DG 于H ，则四边形AFGH 为平行四边形．∴AH ＝FG . ∵折叠后B 点与E 点重合，折痕为FG ， ∴B 与E 关于FG 对称．∴BE ⊥FG ，∴BE ⊥AH . ∴∠ABE ＝∠DAH ，∴Rt △ABE ∽Rt △DAH . ∴BE AB ＝AH AD. ∵AB ＝12，AD ＝10，AE ＝12AD ＝5，∴BE ＝122＋52＝13， ∴FG ＝AH ＝BE ·AD AB ＝656.答案：C 二、填空题7．在Rt △ABC 中，CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线，设该图中共有x 个三角形与△ABC 相似，则x ＝________.解析：2个，△ACD 和△CBD . 答案：28．在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE 的面积为6 cm 2，则DE ∶BC 的值为________．解析：△ADE ∽△ABC ，利用面积比等于相似比的平方可得答案． 答案：1∶29．如右图，在直角梯形ABCD 中，上底AD ＝3，下底BC ＝33，与两底垂直的腰AB ＝6，在AB 上选取一点P ，使△PAD 和△PBC 相似，这样的点P 有________个．解析：设AP ＝x ，(1)若△ADP ∽△BPC ，则AD BP ＝APBC，即36－x ＝x 33，所以x 2－6x ＋9＝0，解得x ＝3. (2)若△ADP ∽△BCP ，则AD BC ＝APBP ，即333＝x 6－x ，解得x ＝32， 所以符合条件的点P 有两个． 答案：两 三、解答题10．如右图，BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，过D 作DG ⊥BC 于G ，分别交CE 及BA 的延长线于F 、H .求证：(1)DG 2＝BG ·CG ； (2)BG ·CG ＝GF ·GH .证明：(1)DG 为Rt △BCD 斜边上的高， ∴由射影定理得DG 2＝BG ·CG . (2)∵DG ⊥BC ，∴∠ABC ＋∠H ＝90°， ∵CE ⊥AB ，∴∠ABC ＋∠ECB ＝90°， ∴∠ABC ＋∠H ＝∠ABC ＋∠ECB ， ∴∠H ＝∠ECB .又∵∠HGB ＝∠FGC ＝90°， ∴Rt △HBG ∽Rt △CFG ， ∴BG GF ＝GHGC，∴BG ·CG ＝GF ·GH . 11．如右图，正方形ABCD 中，AB ＝2，P 是BC 边上与B 、C 不重合的任意一点，DQ ⊥AP 于Q .(1)试证明△DQA ∽△ABP ；(2)当点P 在BC 上变动时，线段DQ 也随之变化，设PA ＝x ，DQ ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式．解：(1)∵DQ ⊥AP ，∴∠DQA ＝90°， ∠DAQ ＋∠ADQ ＝90°， 又∵∠DAQ ＋∠BAP ＝90°， ∴∠BAP ＝∠QDA . ∴△DQA ∽△ABP .(2)∵△DQA ∽△ABP ，∴DA AP ＝DQ AB，∴DQ ＝DA ·AB PA ，即y ＝4x. 12．有一块直角三角形木板，如右图所示，∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，AC ＝4 cm.根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁才能使正方形木板面积最大，并求出这个正方形木板的边长．解：如图(1)所示，设正方形DEFG 的边长为x cm ，过点C 作CM ⊥AB 于M ，交DE 于N ，因为S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CM ，所以AC ·BC ＝AB ·CM ，即3×4＝5·CM .所以CM ＝125. 因为DE ∥AB ，所以△CDE ∽△CAB . 所以CN CM ＝DE AB ，即125－x125＝x 5.所以x ＝6037.如图(2)所示，设正方形CDEF 的边长为y cm ， 因为EF ∥AC ，所以△BEF ∽△BCA . 所以BF BC ＝EF AC ，即3－y 3＝y 4.所以y ＝127. 因为x ＝6037，y ＝127＝6035，所以x <y . 所以当按图(2)的方法裁剪时，正方形面积最大，其边长为127cm.。
高三基础知识天天练 数学7-6人教版
第7模块 第6节[知能演练]一、选择题1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式： ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→； ④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④中(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→， 所以选A. 答案：A2．如右图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2，给出以下结论：①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0； ②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC →＝0.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：容易推出：SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0， 所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形， SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2， 所以SA →·SB →＝2·2·cos ∠ASB ，SC →·SD →＝2·2·cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确；其余三个都不正确，故选B. 答案：B3．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2 B.12a 2 C.14a 2D.34a 2 解析：AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14(a 2cos60°＋a 2cos60°)＝14a 2.答案：C4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1→上且AM →＝121→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216aB.66aC.156aD.153a 解析：以D 为原点建立如右图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )， N (a ，a ，a2)．设M (x ，y ，z )∵点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→，∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3得M (2a 3，a 3，a 3)，∴|MN →|＝(a －23a )2＋(a －a 3)2＋(a 2－a 3)2＝216a . 答案：A 二、填空题5．下列命题中不．正确的所有命题的序号是________． ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．解析：①正确；②不正确，因为a ，b 共线，不一定有|a |－|b |＝|a ＋b |成立；③不正确，因为a 、b 共线，也可得a 与b 所在直线重合；④不正确；若O ∉平面ABC ，则OA →、OB →、OC →不共面，由空间向量基本定理知，P 可为空间任一点，所以P 、A 、B 、C 四点不一定共面．答案：②③④6．已知三点A (1,0,0)，B (3,1,1)，C (2,0,1)，则 (1)CB →与CA →的夹角等于________； (2)CB →在CA →方向上的投影等于________． 解析：CB →＝(1,1,0)，CA →＝(－1,0，－1)． (1)cos 〈CB →，CA →〉＝CB →·CA →|CB →||CA →|＝－1＋0＋02·2＝－12，∴〈CB →，CA →〉＝2π3；(2)CB →在CA →方向上的投影＝CB →·CA →|CA →|＝－1＋0＋02＝－22.答案：(1)2π3 (2)－22三、解答题7．已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，O 为原点，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b? 解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2. (2)假设存在一点E 满足题意OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2) ＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )， 若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE →⊥b ， 此时点E 的坐标为(－65，－145，25)．8．如右图，在棱长为a 的正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ＝x ，其中0≤x ≤a ，以O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz .(1)写出点E 、F 的坐标； (2)求证：A 1F →⊥C 1E →；(3)若A 1、E 、F 、C 1四点共面，求证：A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.解：(1)E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)． (2)证明：∵A 1(a,0，a )、C 1(0，a ，a )，∴A 1F →＝(－x ，a ，－a )，C 1E →＝(a ，x －a ，－a )． ∴A 1F →·C 1E →＝－ax ＋a (x －a )＋a 2＝0. ∴A 1F →⊥C 1E →.(3)证明：∵A 1、E 、F 、C 1四点共面， ∴A 1E →、A 1C 1→、A 1F →共面．视A 1E →与A 1C 1→为一组基向量，则存在唯一实数对λ1、λ2，使A 1F →＝λ1A 1C 1→＋λ2A 1E →， 即(－x ，a ，－a )＝λ1(－a ，a,0)＋λ2(0，x ，－a )＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝－aλ1，a ＝aλ1＋xλ2，－a ＝－aλ2，解得λ1＝12，λ2＝1.于是A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.[高考·模拟·预测]1．如右图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12＋12b ＋c C.12a －12b ＋cD ．－12a －12b ＋c解法一：B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12＋12b ＋c ，∴选A.解法二：∵B 1M →＝B 1A 1→＋A 1A →＋AM →＝(－a )＋c ＋a ＋b 2＝－12a ＋12b ＋c .答案：A2．已知直线AB 、CD 是异面直线，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，且AB ＝2，CD ＝1，则异面直线AB 与CD 所成角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：∵AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →2×1＝CD →22＝12.∴AB →与CD →所成角为60°.答案：C3．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：OE →＝12(OD →＋OA →)＝12[12(OC →＋OB →)＋OA →]＝12a ＋14b ＋14c .答案：12a ＋12b ＋14c4．如右图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值为________．解析：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴正半轴建立空间直角坐标系， 则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)， B 1(1,1,1)，B (1,1,0)，C (0,1,0)， ∴M (1，12，1)，N (1,1，12)，∴AM →＝(0，12，1)，CN →＝(1,0，12)，∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →|·|CN →|＝12(12)2＋12×12＋(12)2＝25. 答案：255．在▱ABCD 中，AB ＝AC ＝CD ＝a ，∠ACD ＝90°，现将它沿对角线AC 折成60°的二面角．(1)求B 、D 两点间的距离；(2)求异面直线AC 与BD 所成角的大小． 解：(1)∵AB ＝AC ＝CD ＝a ， ∴|AB →|＝|AC →|＝|CD →|＝a . ∵AB ∥CD ，∠ACD ＝90°. ∴∠BAC ＝90°， ∴AB ⊥AC ，AC ⊥CD .由于二面角B －AC －D 的度数为60°，∴〈AB →，CD →〉＝60°. ∴AB →·AC →＝0，AC →·CD →＝0， BA →·CD →＝a ·a ·cos120°＝－12a 2.∵BD →＝BA →＋AC →＋CD →，∴|BD →|2＝(BA →＋AC →＋CD →)2＝|BA →|2＋|AC →|2＋ |CD →|2＋2(BA →·AC →＋AC →·CD →＋CD →·BA →) ＝a 2＋a 2＋a 2＋2(0＋0－12a 2)＝2a 2.∴|BD →|＝2a .故B 、D 两点间的距离为2a . (2)设异面直线AC 与BD 所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈AC →，BD →〉|＝|AC →·BD →|AC →||BD →||.由于AC →·BD →＝AC →·(BA →＋AC →＋CD →)＝AC →·BA →＋AC →2＋AC →·CD →＝0＋a 2＋0＝a 2， ∴cos θ＝|AC →·BD →|AC →||BD →||＝|a 2a ·2a |＝22.由于0°<θ≤90°，∴θ＝45°.故异面直线AC 与BD 所成角的大小为45°.[备选精题]6．如右图所示，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (2)证明平面AMD ⊥平面CDE ； (3)求二面角A －CD －E 的余弦值．解：如题图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M (12，1，12)．(1)解：BF →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，－1,1)， 于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12·2＝12.所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(2)证明：由AM →＝(12，1，12)，CE →＝(－1,0,1)，AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0.因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊆平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)解：设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧u ·CE →＝0，u ·DE →＝0.于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0.令x ＝1，可得u ＝(1,1,1)．又由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1)． 所以，cos 〈u ，v 〉＝u ·v |u ||v |＝0＋0＋13·1＝33.因为二面角A －CD －E 为锐角，所以其余弦值为33.。
高三数学(文)日日练基础题(含答案)
高三数学（文） 天天练(一)1．如果复数i a a a a z )23(222+-+-+=为纯虚数，那么实数a 的值为（ ）。
A ．－2B ．1C ．2D ．1或 －22. 已知等差数列{a n }中，a 2+a 8=8，则该数列前9项和S 9等于（ ）。
A ．18B ．27C ．36D ．453．棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.4．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： f (1) = －2f (1.5) = 0.625 f (1.25) = －0.984 f (1.375) = －0.260 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = －0.054那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ）。
A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.55．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）。
A ．2- B ．2 C ．4- D ．46．已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x)又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0，则a 的取值范围是（ ）。
A ．(22，3)B ．(3，10)C ．(22，4)D ．(－2，3) 7．已知简谐运动)3sin(2)(ϕ+π=x x f （2||π<ϕ）的图象经过点（0，1），则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为A ．6=T ，6π=ϕB ．6=T ，3π=ϕC ．π=6T ，6π=ϕD ．π=6T ，3π=ϕ 8．下图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为 ．9．函数y=3x 2-2lnx 的单调递减区间为_________. 10.设向量a 与b 的夹角为θ，)3,3(=a ，)1,1(2-=-a b ，则cos θ= ．11.已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2+-=（I ）求函数)(x f 的最小正周期； （II ）求函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0)(πx x f 在的值域. 答案：1.C 2.C 3.108π 4.C 5.D 6.A 7.A 8. 4.6 9.(-√6/6,√6/6) 10.3√10/10 11.（1）π （2）[-√3,1-√3/2]。
高考数学天天练带答案
高考数学天天练五1．若集合2{|90}A x x x =-<，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=*Z yZ y y B 4|且，则集合AB 的元素个数为 .2．已知a b ∈R 、，i 是虚数单位，若(2)a i i b i +=+，则a +b 的值是 . 3．某校高一、高二、高三共有3600名学生，其中高一学生1400名，高二学生1200名，高三学生1000名，现用分层抽样的方法抽取样本，已知抽取高一学生数为21，则每个学生被抽到的概率为 . 4．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1≠q ，且653,,a a a 成等差数列，则6453a a a a ++= ____. 5．若不等式102x m x m-+<-成立的一个充分非必要条件是1132x <<，则实数m 的取值范围是 .6．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，且tan B =则角B 的大小是 .7．已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x 且目标函数y x z +=2的最大值为7，最小值为１，则=++acb a . 8（第8题图）9．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于或等于a 的概率为 .10. 已知P 是△ABC 内任一点，且满足AP xAB yAC =+，x 、y R ∈，则2y x +的取值范围是 ．11.若过点(,)A a a 可作圆2222230x y ax a a +-++-=的两条切线，则实数a 的取值范围是 .12．设首项不为零的等差数列{}n a 前n 项之和是n S ，若不等式22212n n S a a nλ+≥对任意{}n a 和正整数n 恒成立，则实数λ的最大值为 .13．定义在R 上的函数f (x )的图象关于点（43-，0）对称，且满足f (x )= -f (x +23)，f (1)=1，f (0)=-2，则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2009)的值为 .14. 己知：函数()f x 满足()()()()f x y f x f y xy x y +=+++，又()'01f =．则函数()f x 的解析式为 .1．3； 2.1-； 3.3200; 4.3; 5.3441≤≤m ; 6.3π或32π; 7.35;8.（4,8）; 9.21; 10.6π; 11.（0,2）; 123312a a <-<<或.; 13. 15; 14.2.。
高三基础知识天天练 数学6-2人教版
第6模块 第2节[知能演练]一、选择题1．设全集I 是实数集R ，M ＝{x |x 2>4}与N ＝{x |2x －1≥1}都是I 的子集，如图所示，则阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |x <2}B ．{x |－2≤x <1}C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |1<x ≤2}解析：∵M ＝{x |x 2>4}＝{x |x <－2或x >2}， N ＝{x |2x －1≥1}＝{x |1<x ≤3}，∴∁I M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ∩(∁I M )＝{x |1<x ≤2}． 即阴影部分所表示的集合为{x |1<x ≤2}．故选D. 答案：D2．已知m >2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝x 2－2x 的图象上，则( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 1<y 3<y 2D ．y 2<y 1<y 3解析：二次函数y ＝x 2－2x 的对称轴为x ＝1，当m >2时，m －1，m ，m ＋1都在对称轴的右边，在对称轴的右边二次函数y ＝x 2－2x 为增函数，故y 1<y 2<y 3，故选A.答案：A3．不等式x 2－x －6－x 2－1>0的解集是( )A ．{x |－2<x <3}B ．{x |x ≤－2或x ≥3}C ．{x |x <－2}D ．{x |x >3}解析：不等式化为x 2－x －6x 2＋1<0，所以x 2－x －6<0⇒－2<x <3.答案：A4．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0}，B ＝{x |x －a <0}，且B A ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．1<a ≤2C ．a >2D ．a ≤2解析：不等式3x －2－x 2<0化为x 2－3x ＋2>0⇒x >2或x <1，由不等式x －a <0，得x <a .要使B A ，则a ≤1.答案：A 二、填空题5．若关于x 的不等式－12x 2＋2x >mx 的解集是{x |0<x <2}，则实数m 的值是________．解析：－12x 2＋2x >mx 可化为x 2＋(2m －4)x <0，由于其解集为{x |0<x <2}，故0,2是方程x 2＋(2m －4)x ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系知，4－2m ＝2，所以m ＝1.故填1.答案：16．关于x 的不等式ax －b >0的解集为(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋bx －2>0的解集为________．答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) 三、解答题7．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋b . (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)当不等式f (x )>0的解集为(－1,3)时，求实数a ，b 的值．解：(1)f (1)＝－3＋a (6－a )＋b ＝－a 2＋6a ＋b －3.∵f (1)>0，∴－a 2＋6a ＋b －3>0，Δ＝24＋4b ，当b ≤－6时，Δ≤0，∴f (1)>0的解集为Ø；当b >－6时，3－b ＋6<a <3＋b ＋6.∴f (1)>0的解集为{a |3－b ＋6<a <3＋b ＋6}．(2)∵不等式－3x 2＋a (6－a )x ＋b >0的解集为(－1,3)，∴f (x )>0与不等式(x ＋1)(x －3)<0同解．∵3x 2－a (6－a )x －b <0的解集为(－1,3)，∴⎩⎨⎧2＝a (6－a )33＝b3，解之得⎩⎨⎧a ＝3±3b ＝9.8．设函数f (x )＝log a (1－ax )，其中0<a <1.(1)判断f (x )在(a ，＋∞)上的单调性； (2)解不等式f (x )>1.解：(1)设f (x )＝log a u (x )，u (x )＝1－ax.∵0<a <1，∴f (x )＝log a u (x )在定义域内是减函数，u (x )＝1－ax在(a ，＋∞)上是增函数，故f (x )在(a ，＋∞)上是减函数．(2)由f (x )>1得log a (1－a x )>1.∵0<a <1，∴不等式可化为0<1－a x <a ，解得a <x <a1－a .故不等式的解集为{x |a <x <a1－a}． [高考·模拟·预测]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤02x －1，x >0，若f (x )≥1，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：将原不等式转化为：⎩⎪⎨⎪⎧ x >02x －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2≥1，从而得x ≥1或x ≤－1.答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(x <0)－x －1(x ≥0)，则不等式x ＋(x ＋1)f (x －1)≤3的解集是( )A ．{x |x ≥－3}B ．{x |x ≥1}C ．{x |－3≤x ≤1}D ．{x |x ≥1或x ≤－3}解析：由函数f (x )可知f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <1－x ，x ≥1，当x <1时，原不等式等价于x ＋(x ＋1)x ≤3，解得－3≤x ≤1，又x <1，所以－3≤x <1； 当x ≥1时，原不等式等价于x ＋(x ＋1)(－x )≤3，即x 2≥－3恒成立． 综上可知不等式的解集为{x |x ≥－3}． 答案：A3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)x 2－2x －6(x <0)，若f (t )>2，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)B ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)解析：当x ≥0时，解不等式x 2－2x －1>2得x >3，当x <0时，解不等式x 2－2x －6>2得x <－2，故t 的取值范围是(－∞，－2)∪(3，＋∞)．故选D.答案：D4．设0<b <1＋a .若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析：(x －b )2>(ax )2⇒(x －b )2－(ax )2>0⇒[(1＋a )x －b ][(1－a )x －b ]>0. 若－1<a <0，则x >b 1＋a 或x <b1－a ，可知不止三个整数解；若0<a <1，则x >b 1－a 或x <b1＋a ，可知不止三个整数解；若a >1，有(x －b )2>(ax )2⇒[(1＋a )x －b ][(a －1)x ＋b ]<0，则－b a －1<x <b1＋a. 又0<b <1＋a ，∴不等式的解集中的整数为－2，－1,0，故－3≤－ba －1<－2，则有2a －2<b ≤3a －3，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<b <a ＋1，3a －3≥b >0，解得1<a <3.答案：C5．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．(1)当a ＝2时，解不等式f (x )－f (x －1)>2x －1； (2)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2x ，f (x －1)＝(x －1)2＋2x －1，由x 2＋2x －(x －1)2－2x －1>2x－1，得2x －2x －1>0，x (x －1)<0,0<x <1.∴原不等式的解集为{x |0<x <1}． (2)f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )是偶函数；当a ≠0时，f (x )＋f (－x )＝2x 2≠0，f (x )－f (－x )＝2ax ≠0，∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．[备选精题]6．已知集合A ＝{x ||x －a |<ax ，a >0}，若f (x )＝sin πx －cos πx 在A 上是单调增函数，求a 的取值范围．解：由|x －a |<ax 得－ax <x －a <ax ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(1＋a )x >a(1－a )x <a .当0<a <1时，A ＝(a 1＋a ，a1－a )；当a ≥1时，A ＝(a1＋a，＋∞)．又f (x )＝sin πx －cos πx ＝2sin(πx －π4)的单调递增区间为[2k －14，2k ＋34]，(k ∈Z )，显然，当a ≥1时，f (x )在A 上不可能是单调增函数，因此，当0<a <1，要使f (x )在A ＝(a 1＋a ，a1－a )上是增函数，只有(a 1＋a ，a 1－a )⊂[－14，34]，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1a 1－a ≤34，解得0<a ≤37，故a 的取值范围为0<a ≤37.。
高三基础知识天天练2-3. 数学 数学doc人教版
第2模块第3节[知能演练]一、选择题1．函数y＝－x2(x∈R)是() A．左减右增的偶函数B．左增右减的偶函数C．减函数、奇函数D．增函数、奇函数解析：∵y＝－x2是开口向下的一条抛物线，∴y＝－x2在(－∞，0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数，不妨设y＝f(x)＝－x2，则f(－x)＝－(－x)2＝－x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．答案：B2．已知函数f(x)在R上是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的解析式是() A．f(x)＝x·(x－2)B．f(x)＝|x|(x－2)C．f(x)＝|x|(|x|－2)D．f(x)＝x(|x|－2)答案：D3．f(x)、g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)＝3f(x)＋5g(x)＋2，若F(a)＝b，则F(－a)等于() A．－b＋4 B．－b＋2C．b－2 D．b＋2解析：依题设F(－x)＝3f(－x)＋5g(－x)＋2＝－3f(x)－5g(x)＋2，∴F(x)＋F(－x)＝4，则F(a)＋F(－a)＝4，F(－a)＝4－F(a)＝4－b.答案：A4．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，T是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间[－T，T]上的根的个数记为n，则n可能为() A．0 B．1C．3 D．5解析：定义在R上的函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0，又f(x)是周期函数，T是它的一个正周期，∴f (T )＝f (－T )＝0，f (－T 2)＝－f (T 2)＝f (－T 2＋T )＝f (T2)．∴f (－T 2)＝f (T2)＝0，则n 可能为5，选D.答案：D 二、填空题5．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 为奇函数，则a ＝________.解析：∵f (1)＋f (－1)＝0⇒2(1＋a )＋0＝0， ∴a ＝－1. 答案：－16．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，对于[－π2，π2]上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1>x 2；②x 21>x 22；③|x 1|>x 2.其中能使f (x 1)>f (x 2)恒成立的条件序号是________．解析：函数f (x )＝x 2－cos x 显然是偶函数，其导数y ′＝2x ＋sin x 在0<x <π2时，显然也大于0，是增函数，想象其图象，不难发现，x 的取值离对称轴越远，函数值就越大，②满足这一点．当x 1＝π2，x 2＝－π2时，①③均不成立．答案：② 三、解答题7．已知f (x )＝px 2＋23x ＋q 是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数p ，q 的值；(2)判断函数f (x )在(－∞，－1)上的单调性，并加以证明． 解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即px 2＋2－3x ＋q ＝－px 2＋23x ＋q .从而q ＝0，因此f (x )＝px 2＋23x .又∵f (2)＝53，∴4p ＋26＝53.∴p ＝2.(2)f (x )＝2x 2＋23x，任取x 1<x 2<－1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 21＋23x 1－2x 22＋23x 2＝2(x 2－x 1)(1－x 1x 2)3x 1x 2.∵x 1<x 2<－1，∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2<0，x 1x 2>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x )在(－∞，－1)上是单调增函数．8．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在[－1,1]上的解析式； (2)证明f (x )在(0,1)上是减函数．(1)解：只需求出f (x )在x ∈(－1,0)和x ＝±1，x ＝0时的解析式即可，因此，要注意应用奇偶性和周期性，当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，由f (0)＝f (－0)＝－f (0)，且f (1)＝f (－2＋1)＝f (－1)＝－f (1)， 得f (0)＝f (1)＝f (－1)＝0. ∴在区间[－1,1]上有f (x )＝⎩⎨⎧2x4x ＋1x ∈(0，1)，－2x 4x＋1x ∈(－1，0)，0 x ∈{－1，0，1}.(2)证明：当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.设0<x 1<x 2<1， f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝(2x 2－2x 1)(2x 1＋x 2－1)(4x 1＋1)(4x 2＋1).∵0<x 1<x 2<1.∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，故f (x )在(0,1)上单调递减．[高考·模拟·预测]1．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2008)＋f (2009)的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：f (－2008)＋f (2009)＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 22＝1.答案：C2．已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )·f (x )，则f (52)的值是( )A ．0 B.12 C ．1D.52解析：令g (x )＝f (x )x ，则g (－x )＝f (－x )－x ＝－f (x )x ＝－g (x )，∴g (x )为奇函数．又g (x ＋1)＝f (x ＋1)x ＋1＝f (x )x ＝g (x )．∴g (52)＝f (52)52＝g (12)＝g (－12)＝－g (12)，∴g (12)＝0，∴f (52)＝0.故选A. 答案：A3．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：∵f (x －4)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝f (x )．∴f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)，f (80)＝f (0)＝0.而f (x )在[0,2]上是增函数，∴f (1)≥f (0)＝0.∴f (－25)<f (80)<f (11)．故选D.答案：D4．函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则( ) A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )是奇函数 C ．f (x )＝f (x ＋2) D ．f (x ＋3)是奇函数解析：由题意f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，即f (x )＝－f (2－x )且f (x )＝－f (－2－x )．∴f (x )＝－f (2－x )＝f [－2－(2－x )]＝f (x －4)，∴f (－x ＋3)＝f (－x －1)＝－f [2－(－x －1)]＝－f (x ＋3)，故选D. 答案：D5．定义在R 上的增函数y ＝f (x )对任意x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )． (1)求f (0)；(2)求证：f (x )为奇函数；(3)若f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0. (2)令y ＝－x ，得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，又f (0)＝0，则有 0＝f (x )＋f (－x )．即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立， 所以f (x )是奇函数．(3)证法一：因为f (x )在R 上是增函数，又由(2)知f (x )是奇函数．f (k ·3x )<－f (3x －9x －2)＝f (－3x ＋9x ＋2)， 所以k ·3x <－3x ＋9x ＋2，32x －(1＋k )·3x ＋2>0对任意x ∈R 成立．令t ＝3x >0，问题等价于t 2－(1＋k )t ＋2>0对任意t >0恒成立． 令f (t )＝t 2－(1＋k )t ＋2，其对称轴为x ＝1＋k 2，当1＋k2<0即k <－1时，f (0)＝2>0，符合题意； 当1＋k2≥0即k ≥－1时，对任意t >0，f (t )>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋k 2≥0，Δ＝(1＋k )2－4×2<0，解得－1≤k <－1＋2 2. 综上所述，当k <－1＋22时，f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立． 解法二：由k ·3x <－3x ＋9x ＋2， 得k <3x ＋23x －1.u ＝3x ＋23x －1≥22－1，即u 的最小值为22－1，要使对x ∈R 不等式k <3x ＋23x －1恒成立，只要使k <22－1.所以满足题意的k 的取值范围是(－∞，22－1)[备选精题]6．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数． 当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax (a ≠0，x ≠0)，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝ －2a ≠0.∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(2)解法一：要使函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数， 等价于f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立，即f ′(x )＝2x －ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立，故a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立．∴a ≤(2x 3)min ＝16.∴a 的取值范围是(－∞，16]． 解法二：设2≤x 1<x 2，f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝(x1－x2)x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x1)－f(x2)<0恒成立，∵x1－x2<0，即a<x1x2(x1＋x2)恒成立，又∵x1＋x2>4，x1x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16.∴a的取值范围是(－∞，16]．。
第二份
高三数学天天练（2）班级 姓名 日期1、 已知命题：“在等差数列{}n a 中，若244()102=++a a a ，则11S 为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为___ ______2、 将一个长宽分别是(),0b a b a <<的铁皮的四角切去相同的正方形,然后折成一个无盖的 长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ab的取值范围是 .3、如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右准线分别为21,l l ，且分别交x 轴于D C ,两点，从1l 上一点A 发出一条光线经过椭圆的左焦点F 被x 轴反射后与2l 交于点B ， 若AF BF ⊥，且75ABD ∠=︒，则椭圆的离心率等于 ． 4、已知集合{}]3,2[,2∈-==x y y A x，{}03322>--+=a a x x x B（1）当4a =时，求A B ； （2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围.5、在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 所对的边，且b 2=ac ，向量()cos()1A C =- ，m 和(1,cos )B = n 满足32⋅= m n .（1）求s i n s i nA C 的值；（2）求证：三角形ABC 为等边三角形．6、在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过11A C B 、、三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体111ABCD A C D -，且这个几何体的体积为403. （1）求1A A 的长；（2）在线段1BC 上是否存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直，如果存在，求线段1A P 的长，如果不存在，请说明理由.7、已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点M 1,5⎛ ⎝⎭，N 2,5⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，若圆C 的圆心与椭圆的右焦点重合，圆的半径恰好等于椭圆的短半轴长，已知点A (,)x y 为圆C 上的一点（1）求椭圆的标准方程和圆的标准方程；（2）求2AC AO AC AO ∙+-（O 为坐标原点）的取值范围；（3）求22x y +的最大值和最小值。
高三基础知识天天练4-2. 数学 数学doc人教版
第4模块 第2节[知能演练]一、选择题1．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn等于( )A ．－12B ．2 C.12D ．－2解析：m a ＋n b ＝(2m,3m )＋(－n,2n ) ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)． 由m a ＋n b 与a －2b 共线， 则有2m －n 4＝3m ＋2n－1∴n －2m ＝12m ＋8n ，∴m n ＝－12.答案：A2．已知向量OM →＝(3，－2)，ON →＝(－5，－1)，则12MN →等于( )A ．(8,1)B ．(－8,1)C ．(4，－12D ．(－4，12)解析：∵OM →＝(3，－2)，ON →＝(－5，－1)， ∴12MN →＝12(ON →－OM →) ＝12[(－5，－1)－(3，－2)] ＝12×(－8,1)＝(－4，12)． 答案：D3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形解析：∵AB →＋BC →＋CD →＝a ＋2b －4a －b －5a －3b ＝－8a －2b ，∴AD →＝2(－4a －b )＝2BC →，∴AD →∥BC →且|AD →|＝2|BC →|，故四边形是梯形． 答案：A4．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C (x ，y )满足OC →＝αOA →＋βOB →，其中α、β∈R ，且α＋β＝1，则x ，y 满足的关系式为( )A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0解析：由OC →＝αOA →＋βOB →， ∴(x ，y )＝(3α－β，α＋3β)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3α－β，y ＝α＋3β.∴⎩⎨⎧α＝3x ＋y10，β＝－x ＋3y10.∵α＋β＝1，∴x ＋2y －5＝0. 答案：D 二、填空题5．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝ (－4，－7)共线，则λ＝________. 解析：由题意得λa ＋b ＝(2＋λ，2λ＋3)， 又λa ＋b 与c 共线，因此有(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝0， ∴λ＝2. 答案：26．已知点A (1，－2)，若向量AB →与a ＝(2,3)同向，|AB →|＝213，则点B 的坐标为________． 解析：∵向量AB →与a 同向， ∴设AB →＝(2t,3t )(t >0)．由|AB →|＝213，∴4t 2＋9t 2＝4×13.∴t 2＝4. ∵t >0，∴t ＝2.∴AB →＝(4,6)． 设B 为(x ，y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝4，y ＋2＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4. 答案：(5,4) 三、解答题7．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)． 设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ， (1)求：3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n . 解：由已知得a ＝(5，－5)， b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝－1. 8．在▱ABCD 中，A (1,1)，AB →＝(6,0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P .(1)若AD →＝(3,5)，求点C 的坐标； (2)当|AB →|＝|AD →|时，求点P 的轨迹． 解：(1)设点C 坐标为(x 0，y 0)， 又AC →＝AD →＋AB →＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)， 即(x 0－1，y 0－1)＝(9,5)， ∴x 0＝10，y 0＝6，即点C (10,6)． (2)由三角形相似，不难得出PC →＝2MP →设P (x ，y )，则BP →＝AP →－AB →＝(x －1，y －1)－(6,0)＝(x －7，y －1)，AC →＝AM →＋MC →＝12AB →＋3MP →＝12AB →＋3(AP →－12AB →) ＝3AP →－AB →＝(3(x －1)，3(y －1))－(6,0) ＝(3x －9,3y －3)，∵|AB →|＝|AD →|，∴▱ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD . ∴AC →⊥BP →，即(x －7，y －1)·(3x －9,3y －3)＝0. (x －7)(3x －9)＋(y －1)(3y －3)＝0， ∴x 2＋y 2－10x －2y ＋22＝0(y ≠1)． ∴(x －5)2＋(y －1)2＝4(y ≠1)．故点P 的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆去掉与直线y ＝1的两个交点．[高考·模拟·预测]1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第一、四象限的角平分线解析：a ＋b ＝(0,1＋x 2)，由1＋x 2≠0及向量的性质可知，C 正确．故选C. 答案：C2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)解析：在平行四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →， ∴BD →＝(AC →－AB →)－AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(1,3)－(4,8)＝(－3，－5)． 答案：B3．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13C.12a ＋14bD.13a ＋23b 解析：由已知得DE ＝13EB ，则DF ＝13DC ，∴CF ＝23CD ，∴CF →＝23CD →＝23(OD →－OC →)＝23(12b －12a )＝13b －13a ， ∴AF →＝AC →＋CF →＝a ＋13b －13a＝23a ＋13b . 答案：B4．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________. 解析：3－k 1＝－63⇒k ＝5.故填5.答案：55．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,1)，k ，t 为正实数，x ＝a ＋(t 2＋1)b ，y ＝－1k a ＋1t b ，问是否存在k 、t ，使x ∥y ，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：x ＝a ＋(t 2＋1)b＝(1＋2)＋(t 2＋1)(－2,1)＝(－2t 2－1，t 2＋3) y ＝－1k a ＋1t b ＝－1k (1,2)＋1t (－2,1)＝(－1k －2t ，－2k ＋1t，假设存在正实数k ，t ，使x ∥y ，则 (－2t 2－1)(－2k ＋1t )－(t 2＋3)(－1k －2t )＝0，化简得t 2＋1k ＋1t＝0，即t 3＋t ＋k ＝0，∵k ，t 是正实数，故满足上式的k ，t 不存在． ∴不存在这样的正实数k ，t ，使x ∥y .[备选精题]6．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋π4)＝－22.又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4，或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2，或θ＝3π4.。
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1．函数f (x )= f (x )=(x -1) 2-1，x ∈[0,2]的值域为________．
2．f (x )=x 2+(m +2)x +1是偶函数，则m =________.
3． f (x )=x 2-2ax +3的增区间为[4，+∞)，则a =________.
4．二次函数f (x )的图象的顶点为(2,4)且过点(3,0)，则f (x )=________________.
5．若不等式x 2+bx +c ＜0的解集是(-1,2)，则b +c =________.
6．已知函数f(x)=x 2－2x ＋2，那么f(1)，f(－1)，f(
3)之间的大小关系为 .
7．若函数
x x x f 2)12(2-=+，则)3(f =
8．求函数243y x x =-+在区间[],1t t +上的最小值．
9．已知函数2
()2
x f x x =-+在区间[,]m n 上的值域是[3,3]m n ，求m ，n 的值
1．若函数b ax x f +=)(的零点是3，那么函数ax bx x g +=2)(的零点是________.
2．函数32)(2-+=-x x f x 的零点个数为________.
3．设方程2ln 72x x =-的解为x 0∈()1,+k k ，则正整数k ＝ ________.
4已知函数)0()(2<++=a a x x x f 在区间()1,0上有零点，则a 的取值范围是 ．
5．函数m x m x x f +++=)2()(22在()1,1-上零点的个数为 ．
6．当)2,1(∈x 时，不等式042<++mx x 恒成立，则m 的取值范围是 ．
7．若函数x
x x f 2)1ln()(-+=的零点在区间)1,(+k k 上，则k 的值为 ． 8． ⎩⎨⎧≥++-≤+=)
1(,32)1(,3)(2x x x x x x f 则函数()x x f x g 3)(-=的零点个数为 ． 9．若方程032
=+-m x x 在[]2,0上有解，则实数m 的取值范围是 ． 10． 已知函数x x f x +=2)(，x x x g +=2log )(，x x x h +=3)(的零点依次为c b a ,,，则c b a ,,由小到大的顺序是 ．
1.若函数3412++-=
mx mx mx y 的定义域是R ，则实数m 的取值范围是 ． 2.若函数342++=mx mx y 的定义域是R ，则实数m 的取值范围是 ．
3.若函数)34lg(2++=mx mx y 的定义域是R ，则实数m 的取值范围是 ．
4.若函数)34lg(2++=mx mx y 的值域是R ，则实数m 的取值范围是 ．
5.若函数)34lg(2++=x mx y 的值域是R ，则实数m 的取值范围是 ．
6．若不等式210x ax ++≥对于一切1
(0,)2
x ∈成立，则a 的取值范围是 ． 7.若关于x 的方程240x mx -+=在[1,1]-有解，则实数m 的取值范围是 ．
8．已知二次函数的图像顶点为(1,16)A ，且图像在x 轴上截得的线段长为8，则此二次函数的解析式为 ．
9．函数220.3x x y --=的定义域为___ __；单调递增区间 ；值域 ．。