11 第十讲一般应用题10

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三年级下奥数教材

第一讲：巧添符号专题简析：根据题目给定的条件和要求，添运算符号和括号，使等式成立，这是一种很有趣的游戏。

这种游戏需要动脑筋找规律，讲究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的把握。

添运算符号问题，通常采用尝试探索法。

主要尝试方法有两种：1、如果题目中的数字比较简单，可以从等式的结果入手，推想哪些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的式子；2、如果题目中的数字多，结果也较大，可以考虑先用几个数字凑出比较接近于等式结果的数，然后再进行调整，使等式成立。

通常情况下，要根据题目的特点，选择方法，有时将以上两种方法组合起来使用，更有助于问题的解决。

例1、在4个4之间添上＋、－、×、÷或括号，使组成的得数是8。

4 4 4 4=8思路解析：这题可以采用倒推法来分析。

由得数是8，最后一个数是4，我们可以想到□＋4=8，□－4=8，□×4=8，□÷4=8。

（1）从□＋4=8考虑，□=4，前面三个4必须组成得数4的算式有：（2）从□－4=8考虑，□=12，前面三个4必须组成得数12的算式有：（3）从□×4=8考虑，□=2，前面三个4必须组成得数2的算式有：（4）从□÷4=8考虑，□=32，前面三个4必须组成得数32的算式有：练习：1、在4个2之间添上＋、－、×、÷或括号，使组成的得数是4。

2 2 2 2=4例2、在4个6之间添上＋、－、×、÷或括号，使组成的得数是1，2，3，4，5，6。

6 6 6 6=16 6 6 6=26 6 6 6=36 6 6 6=46 6 6 6=56 6 6 6=6练习：1、在4个3之间添上＋、－、×、÷或括号，使组成的得数是1，2，3，4，5，6。

3 3 3 3=13 3 3 3=23 3 3 3=33 3 3 3=43 3 3 3=53 3 3 3=6例3、在算式中添上＋、－、×、÷或括号，使等式成立。

四年级奥数详解答案第10讲和倍问题[实用]

四年级奥数详解答案第10讲第十讲和倍问题一、知识概要1. 概念：已知几个数的和，以及几个数之间的倍数关系，求这几个数是多少的问题，我们称之为和倍问题。

2. 基本公式：和÷(倍数+1)=小数二、典型题目精讲1．小红和妈妈的年龄加在一起是40岁,妈妈的年龄是小红的4倍,小红和妈妈各是多少岁分析：和倍问题应用题，关键是先确定标准数(即一倍数)。

一般以数量中的小数为标准数。

本题因为小红的年龄小。

所以，小红的年龄是标准数，妈妈的年龄是小红的4倍，即为四位数，则年龄和(40)正好对应的是五倍数(如图所示)求出一倍数，故一除即得。

解：40÷(4+1) =40÷5 =8(岁)……(小红)8×4=32(岁)……(妈妈)答：小红和妈妈分别是8岁、32岁。

2. 某汽车场共有大、小货车115辆，大货车比小货车的5倍还多7辆，大货车和小货车各有多少辆分析：如图所示，大货车减去7辆后就成为5倍数。

这7辆可以从总数(115辆)中减去，这样，这个题就转化成跟上题一样的了。

解：(115-7)÷(5+1)=108÷6=18(辆)……(小货车)18×5+7=90+7=97(辆) ………(大货车)答：大货车和小货车分别有97辆、18辆3. 在悉尼奥运会上，中国队与荷兰队共获金牌40枚，中国队的金牌总数比荷兰的3倍少8枚。

中国队、荷兰队各获金牌多少枚分析：这个题例题相仿佛，只要给中国队添加8枚，中国队就成为三倍数，相应地，和也增加8枚。

解：(40+8)÷(3+1)=48÷4=12(枚)12×3-8=36-8=28(枚) (或40-12=28(枚))答：中国队、荷兰队分别获金牌28枚、12枚。

4. 已知两数之和是649，其中一个数的个位数是0，如果把这个数个位的0去掉，则与另一个数相等，求这两个数。

分析：一个数末尾去掉一个“0”，就等于把这个数缩小10倍。

【教育资料】六年级下册数学小升初试题综合应用题第苏教版学习精品

第十讲综合应用题应用题有简单应用题和复合应用题两类，复合应用题又分一般应用题和典型应用题。

一般应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在一起，有的已知条件是间接的，数量关系比较复杂，叙述的方式和顺序也比较多样。

因此，一般应用题没有明显的结构特征和解题规律可循。

解答时可以按下面步骤进行：1、弄清题意，找出已知条件和所求问题；2、分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径；3、拟订解答计划，列出算式，算出得数；4、检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。

分析一般应用题的思路多种多样，概括起来分为：一般解题思路和特殊解题思路。

一般解题思路有两种：（1）综合法：从条件出发，逐渐推出所求问题。

（2）分析法：从问题出发，找出必须的两个条件。

特殊的解题思路有以下几种：（1）图解法：利用各种图形来分析解答应用题的方法。

（2）代替法：根据题里所给条件，用一个未知数量代替另一个未知数量，从而找出解题途径。

（3）逆推法：从最后结果出发，根据题目中的已知条件一步一步逆向推理，逐步靠拢已知条件，从而解决问题。

此外，类比法、假设法、划归法等等也是特殊的解题思路。

例1、六个同学有同样多的存款，若每人拿出15元捐给“希望工程”后，六位同学剩下的钱正好等于原来4人的存款数，原来每人存款多少元？试一试1、五年级有5班，每班人数都相等。

从每班选20人参加集体舞排练，剩下的同学相当于原来3个班的人数，原来每个班多少人？例2、张新，纪伟和林凡三人外出活动，张新带了5个面包，纪伟带了4个同样的面包，林凡没带面包，中午三人将面包平均分吃了，林凡按市价拿出5.4元。

张新、纪伟各得多少元？试一试2、六一儿童节同学们做彩花，小明买来8张彩纸，小红买来10张同样的彩纸。

老师把这些纸平均分给小明、小军和小红三位同学，结果小军付给老师12元。

问老师应把12元怎样分给小明和小红？例3、王师傅原计划每天做50个零件，实际每天比计划多做20个，结果提前6天完成任务。

部编版数学四年级上册第10讲.列方程解应用题.优秀A版

第10讲三年级春季简易方程三年级春季简易方程的应用四年级秋季列方程解应用题四年级春季方程与方程组五年级春季列方程组解应用题掌握列方程解应用题的一般步骤，会用列方程的方法解答应用题漫画释义知识站牌目前为止我们已经学过了很多类型的应用题，和差倍，年龄，盈亏，鸡兔同笼，相遇追及等等，不同的题型思路灵活多变，解法巧妙新颖，比如线段图法，假设法，对应法，年龄轴等等，方法是多种多样的，那有没有一种统一的方法去解决这些问题呢？当然有了，这就是“方程”.我们学了方程之后，就可以利用方程的“顺向思维”很容易地找到题中的等量关系列出方程，把复杂的思路转化为简单的方程等式，进而求解.今天我们就来学习如何用方程来解应用题，学完之后你就可以用方程这个“万能”的工具来面对各种应用题啦!1.掌握列方程解应用题的一般步骤，会用列方程的方法解答应用题；2.掌握根据题意找出数量间相等关系（等量关系）的方法；3.培养根据等量关系列方程的习惯.(1)等式的性质1.等式的两边同时加上或者是减去同一个数，等式依然成立.2.等式的两边同时乘以或者除以同一个非零的数，等式依然成立.(2)解方程步骤：去括号、移项、合并同类项、化未知数系数为1.1.去括号：式子里面含有括号的时候，运算之前要先去括号，去括号的原则“遇减变号”.2.移项（过桥）：根据等式的基本性质可以把方程的某一项从等号的一边移到另一边，但一定要注意改变原来的符号.这就是我们常说“过桥变号”.为了避免学生在移项(过桥)的过程中出现不够减的情况,可以给孩子们总结一下这样的移项的技巧：移小不移大、移减不移加.3.合并同类项：把同一侧含未知数的项或纯数的项加起来.4.将字母系数化为1.(3)列方程解应用题列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，然后解出未知经典精讲教学目标课堂引入第10讲数的值，从而解出应用题的办法．这个含有未知数的等式就是方程．列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算．解这类应用题的核心是正确找出等量关系，然后根据等量关系列出合适的方程.一般步骤如下：(1)审题：找出已知量和未知量审题找出题目中的已知量和未知量，并且找到涉及到的各个量中的关键未知量，这个关键未知量最好能和题目中的其他量有着紧密的数量关系.(2)设未知数：找关键量找准这个关键量之后设这个量为x ，用含x 的代数式来表示题目中的其他量.设元的方法包括①直接设元：问什么设什么.题目中最后问的是哪个量我们就设哪个量为x .②间接设元：设小不设大，设少不设多.题目中最后让求的这个未知量不便于我们列出方程来，就要在题目中去寻找其他的未知量，这个未知量要是一个关键的量,能够通过一次运算就将其他的未知量用字母表示出来.寻找这个关键量的一般原则是：设小不设大，设少不设多，设部分不设整体.这样的话也可以避免出现减法或除法运算，可以减少运算的难度.找等量关系（列方程解应用题的核心）①根据语言描述：“比……多（少）”、“是”、“共”、“等（于）”、“总”、“和”、“差”、“倍”、“一样多”……出现这样的关键字的时候，那么这句话呈现的就可能是一个等量关系.②公式法：行程、工程、几何等公式也可作为等量关系存在.(3)列方程，根据等量关系列方程.(4)解方程.(5)检验，检验答案正确与否.标准：①结果是否符合实际生活，比如说我们不能得出1.5个人的结果.②最后结果还要代入方程里面，检验等式是否成立..1、等量代换.(1)【分析】6(2)★+■=24，■+●=30，●+★=36．■=_________ ●=________ ★=_______.【分析】(243036)245++÷=，所以■表示的数为：45369-=，●表示的数为：452421-=，★表示的数为：453015-=．(3)1只猴子的体重等于3只猫的体重，3只狗的体重等于9只猫的体重．如果1只猴子重3千克，请问1只狗重多少千克？知识点回顾【分析】由3只狗的体重=9只猫的体重，得1只狗的体重=3只猫的体重．又1只猴子的体重=3只猫的体重，1只狗的体重=1只猴子的体重．1只猴子重3千克，1只狗重3千克．2、解方程.(1)+3=8x 56x -=5=100x 5=10x ÷【分析】5x =；11x =；20x =；50x =.(2)()10-5-=17x x ()32+1+5=14x 【分析】2x =;1x =(3)4(1)3(1)23x x x +--=+【分析】443323x x x +-+=+723x x +=+732x x-=-4x =模块一：文字题（例1）模块二：直接梳理数量关系的应用题（例2、例3、）模块三：间接梳理数量关系的应用题（例4、例5）（1）一个数M 与2个5的和是27，求这个数.【分析】根据题意得到方程2527M +⨯=,解得17M =.（2）从37里面减去X 的2倍，差是19，求X .【分析】根据题意得到方程37219X -=，解得9X =.（3）数A 与23的和的2倍再减去15得59，求A .【分析】2（A +23）-15=59，解得：A =14（学案对应：学案1）有三个连续的整数，已知最小的数的两倍加上中间数再加上最大数的3倍的和是67，求这三个连续的整数.(学案对应：学案2)【分析】设最小的整数为x ，另外的两个数为()+1x ，()+2x ，根据题意列出方程为()()2++1+3+2=67x xx例题思路第10讲10x =所以这三个数分别为10、11、12.【想想练练】有三个连续的偶数，已知最小的数加上中间数的2倍再加上最大的数的4倍的和是48，求这三个连续的偶数.【分析】设最小的偶数x ，另外的两个偶数为()+2x ，()+4x 根据题意列出方程为：()()224448x x x ++++=4x =所以，三个连续的偶数分别是4、6、8.一个长方形的水池的周长是96米,并且它的长是宽的2倍少3米,请问这个长方形水池的长是多少?宽是多少？(学案对应：学案3)【分析】设长方形的宽为x 米，则长是()2-3x 米方程的由来方程是含有未知数的等式，使等式成立的未知数的值是方程的解.中国古代《九章算术》是世界古代著名数学著作之一，其中的“线性方程组解法和正负术”是具有世界先驱意义的首创.十六世纪，随著各种数学符号的相继出现，特别是法国数学家韦达创立了较系统的表示未知量和已知量的符号以后，“含有未知数的等式”这一专门概念出现了，当时拉丁语称它为“aequatio ”，英文为“equation ”.十七世纪前后，欧洲代数首次传进中国，当时译“equation ”为“相等式”.由于那时我国古代文化的势力还较强，西方近代科学文化未能及时在我国广泛传播和产生影响，因此“代数学”连同“相等式”等这些学科或概念都只是在极少数人中学习和研究.十九世纪中叶，近代西方数学再次传入我国.1859年，李善兰和英国传教士伟烈亚力将英国数学家德摩尔根的《代数初步》译出.李、伟两人很注重数学名词的正确翻译，他们借用或创设了近四百个数学的汉译名词，许多一直沿用至今.其中，“equation ”的译名就是借用了我国古代的“方程”一词.这样，“方程”一词首次意为“含有未知数的等式”.1873年，我国近代又一个西方科学的传播者华蘅芳，与英国传教士兰雅合译英国渥里斯的《代数学》，他们则把“equation ”译为“方程式”，他们的意思是，“方程”与“方程式”应该区别开来，方程仍指《九章算术》中的意思，而方程式是指“含有未知数的等式”.华、兰的主张在很长时间被广泛采纳.直到1934年，中国数学学会对名词进行一一审查，确定“方程”与“方程式”两者意义相通.广义上，它们是指一元n 次方程以及由几个方程联立起来的方程组，狭义上则专指一元n 次方程.既然“方程”与“方程式”同义，那么“方程”就显得更为简洁明了了.根据题意列方程为：()222-396x x +=解得：17x =所以长方形的宽是17米，长是31米.【想想练练】一个长方形的水池的周长是36米，并且它的长比宽多2米，请问这个长方形水池的长是多少?宽是多少？【分析】长方形水池的宽为x 米，则长方形水池的长为()+2x 米根据题意列出方程为：()2+2+2=36x x 解得：=8x 即长方形水池的宽是8米，长为()8+2=10米.甲乙两桶油重量相等，甲桶取走16千克油，乙桶加入14千克油后，乙桶油的重量是甲桶油的重量的4倍.甲桶原来有油多少千克？【分析】设甲桶原来有油x 千克，列：()41614x x -=+,得：26x =.【想想练练】大毛原有的故事书本数和二毛相同，大毛给二毛6本之后，二毛的本数是大毛的2倍，求原来大毛有多少本故事书?【分析】设大毛原有故事书x 本，则大毛给二毛6本之后，26)6x x -=+（，解得18x =，大毛原有18本.一个月黑风高的夜晚，羊村的哨塔被雷击塌了一角，为了不被灰太狼乘虚而入，需要小羊们紧急搬砖垒塔.已知喜羊羊搬砖的数量是懒羊羊搬砖数量的4倍，美羊羊搬砖的数量比懒羊羊搬砖的数量多20块.如果懒羊羊搬了a 块砖，(1)喜羊羊搬了______块砖;美羊羊搬了_______块砖;他们三个一共搬了__________块砖.(2)喜羊羊、美羊羊、懒羊羊总共搬了140块砖，请根据题意列出方程_________________.(3)喜羊羊搬砖的数量是美羊羊搬砖数量的3倍，请根据题意列出方程___________________.(4)喜羊羊搬砖的数量是美羊羊搬砖数量的2倍多20块,请根据题意列出方程_________________.（学案对应：学案4）【分析】（1）喜羊羊搬了4a 块砖，美羊羊搬了()20a +块砖，他们三个一共搬了()620a +块砖.（2）根据题意列出方程：+4++20=140a a a .（3）根据题意列出方程：()4320a a =+.（4）根据题意列出方程：()422020a a =++.第10讲一次考试，共15道题目，做对一题得8分，做错一题倒扣4分.小明共得72分，问他做对了几道题？【分析】设他做对了x 道题，那么就做错了（15x -）道题，根据题意可得：84(15)72x x -⨯-=解得：11x =，所以小明做对了11道题.1.解方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化1.2.列方程解应用题的步骤：（1）审题;（2）设元;（3）找等量关系;（4）根据等量关系列方程;（5）解方程;（6）检验，答题.1.解方程15+23)5x x-=（【分析】15265x x +-=15652x x-=-93x =3x =一天小明和小强跑到了实验室，他们看到桌子上有两个一模一样的杯子里面分别装满水和酒精，于是他们做了这样的一个实验：先从装水的A 杯中倒一些水到装酒精的B 杯，然后从B 杯中倒同样多混合液到A 杯，再从A 杯中倒一些混合液到B 杯……如此进行下去，一直进行了100次.你能判断此时是A 杯剩下的水多还是B 杯剩下的酒精多吗？【答案】一样多！家庭作业知识点总结杯赛提高2.根据题意列方程求解：(1)A 的5倍与20的和是9的15倍，求A .(2)从50里面减去X 的2倍的差与X 的3倍加5的和相等，求X .【分析】⑴根据题意得到方程5+20=915A ⨯解得：23A =(2)据题意得到方程50-235x x =+解得：9x =3.羊村要建一个长方形的围墙，要求围墙的长是宽的3倍，长方形的周长是80米，请问这个围墙的长是多少？宽是多少？【分析】设长方形的宽是x 米，则长方形的长为3x 米根据题意列出方程：22380x x +⨯=解得：=10x 所以长方形的宽是10米，长是30米.4.培英小学有学生350人，比红星小学的学生的3倍少19人.红星小学有学生多少人?【分析】设红星小学有学生x 人，列：319350x -=得：123x =5.商店运回苹果和桔子共250千克，苹果的千克数是桔子的4倍，运回的苹果和桔子各多少千克?【分析】设桔子有x 千克，则苹果有4x 千克，列：4250x x +=得：50x =.即桔子50千克，苹果200千克.6.买4支钢笔比买5支圆珠笔要多花22角，每支圆珠笔的价钱是6角，每支钢笔是多少元?【分析】设每枝钢笔x 角，列：45622x =⨯+得：13x =.即13角=1.3元【A 版学案1】（1）一个数的2倍加上10等于18，这个数是多少?（2）M 与7的和的2倍再加上6正好等于32，这个数是多少【分析】(1)21018x +=，解得4x =（2）2(7)632M ++=，解得6M =.【A 版学案2】有4个连续的奇数，从小到大排列，已知第一个数的2倍，加上第二个数的3倍，加上第三个数的4倍，再加上第四个数的5倍，结果是94，求这四个连续的奇数.【分析】设最小的奇数x ，另外的三个奇数为()+2x ，()+4x ，()+6x 根据题意列出方程为：()()()23244+5+694x x x x ++++=236416530941452941494-5214423x x x x x x x x ++++++=+====A 版学案第10讲【A 版学案3】羊村要建一个梯形的垃圾场，已知这个垃圾场的面积是100平方米，它的高是10米，并且要求下底要比上底长4米，请问这个梯形的垃圾场的上底和下底分别长是多少？【分析】设梯形的上底长为x 米，则下底长为()4x +米，根据题意列出方程：()+4+102=100x x ⨯÷解得：8x =48412x +=+=（米）所以梯形的上底长为8米，下底长为12米.【A 版学案4】思思买铅笔和钢笔共24支，花了64元，其中铅笔每支2元，钢笔每支4元，(1)假设思思买了x 支铅笔，那么钢笔有_________支；铅笔一共花去_________元；钢笔一共花去________元.(2)思思买了铅笔和钢笔各多少支？【分析】钢笔(24)x -，铅笔花去2x 元；钢笔一共花去()424x -元.24(24)64x x +-=，解得16x =，买铅笔16支，买钢笔8支.。

小学数学奥数基础教程(三年级)目30讲全

小学奥数基础教程（三年级）- 1 -小学奥数基础教程（三年级）第1讲加减法的巧算第2讲横式数字谜(一)第3讲竖式数字谜(一)第4讲竖式数字谜(二)第5讲找规律(一)第6讲找规律(二)第7讲加减法应用题第8讲乘除法应用题第9讲平均数第10讲植树问题第11讲巧数图形第12讲巧求周长第13讲火柴棍游戏(一)第14讲火柴棍游戏(二)第15讲趣题巧解第16讲数阵图(一)第17讲数阵图(二)第18讲能被2，5整除的数的特征第19讲能被3整除的数的特征第20讲乘、除法的运算律和性质第21讲乘法中的巧算第22讲横式数字谜(二)第23讲竖式数字谜(三)第24讲和倍应用题第25讲差倍应用题第26讲和差应用题第27讲巧用矩形面积公式第28讲一笔画(一)第29讲一笔画(二)第30讲包含与排除一、两、三位数乘一位数（一）二、两、三位数乘一位数（二）三、乘法分配律数学智慧园（一）四、等量替换五、两、三位数除以一位数（一）六、两、三位数除以一位数（二）七、和差问题数学智慧园（二）八、图形空格填数九、归一问题十、和倍问题十一、差倍问题数学智慧园（三）十二、两积之和第2讲横式数字谜(一)在一个数学式子(横式或竖式)中擦去部分数字，或用字母、文字来代替部分数字的不完整的算式或竖式，叫做数字谜题目。

解数字谜题就是求出这些被擦去的数或用字母、文字代替的数的数值。

例如，求算式324+□=528中□所代表的数。

根据“加数=和-另一个加数”知，□=582-324＝258。

又如，求右竖式中字母A，B所代表的数字。

显然个位数相减时必须借位，所以，由12-B＝5知，B＝12-5＝7；由A-1＝3知，A＝3＋1＝4。

解数字谜问题既能增强数字运用能力，又能加深对运算的理解，还是培养和提高分析问题能力的有效方法。

这一讲介绍简单的算式(横式)数字谜的解法。

解横式数字谜，首先要熟知下面的运算规则：(1)一个加数+另一个加数=和；(2)被减数-减数=差；(3)被乘数×乘数=积；(4)被除数÷除数=商。

鸡兔同笼

第十讲：鸡兔同笼1、定义：鸡兔同笼是指鸡与兔在同一个笼中，已知鸡与兔的总头数，和鸡与兔的总足数，求鸡和兔各有多少只的应用题。

已知条件：（1）鸡和兔的总头数；（2）鸡和兔的总腿数问题：求鸡和兔各自的数量引申：鸡兔同笼不一定是指鸡和兔，也不一定是头和腿，所以我们可以将鸡兔同笼问题引申为在一个整体中有两种对象（例如一个班级中的男生女生，一个储钱罐中的两种硬币，租的大船和小船等），总头数引申为两种对象的总数量，总腿数是两种对象的某种特性，最后让求这两种对象各自的数量。

2、解题方法：画图法、假设法、口哨法。

鸡兔同笼问题也叫做简换问题。

解答时，一般采用假设法，即假定全部只数都是鸡或者都是兔，算出假定情况下的足数和实际的足数和、足数差，然后推算出鸡和兔的只数。

3、例题解析例题1鸡兔同笼，共有8个头，26条腿，问鸡和兔各有几只？分析：鸡有2只脚，兔有4只脚，如果兔子抬起两只脚，那么鸡和兔都是两只脚，则一共有脚8×2＝16（只），比实际少了26－16＝10（只）。

为什么会少10只？因为每只兔子少算了2只脚，一共少算了10只脚，所以兔子有10÷2＝5（只）。

知道兔子数量，就容易求出鸡的只数了。

方法一：画图法方法二：假设法假设全是鸡共有脚（假设情况）：8×2=16（只）比实际少：26-16=10（只）注：这里思考一下少10只的原因是什么？我们可以想到是因为把兔子假设成鸡，因此少的这10只腿就是兔子的腿每只鸡比每只兔子少（4-2）=2只脚，因此一共有10÷2=5（只）兔子被设想成鸡。

说明设想中的“鸡”，有5只是兔子，也可以列出公式兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）。

方法三：口哨法前提：鸡和兔子都是训练有素，每吹一次口哨，这8个动物就各自抬起一条腿第一次吹口哨：8个动物抬起8条腿，剩余26-8=18（条）腿第二次吹口哨：8个动物再抬起8条腿，剩余18-8=10（条）腿，此时鸡已经没有腿可以抬起来，所以剩下的10条腿是兔子的腿，每只兔子剩两条，所以一共有10÷2=5（只）兔子8-5=3（只），鸡有3只。

第10讲一元二次不等式、基本不等式

第十讲一元二次不等式、基本不等式探究点一一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)－x2＋2x－2>0；(2)9x2－6x＋1≥0．3规律方法解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c>0(a>0)，ax2＋bx＋c<0(a>0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．探究点二含参数的一元二次不等式的解法【例2】已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0．规律方法(1)含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．(3)其次对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．探究点三一元二次不等式恒成立问题【例3】已知f(x)＝x2－2ax＋2 (a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．【例4】设函数f(x)＝mx2－mx－1．(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．规律方法1．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．探究点四转化与化归思想与三个“二次”的关系【例5】已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(α，β)，且0<α<β，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．规律方法由ax 2＋bx ＋c >0的解集是一个开区间，结合不等式对应的函数图象知a <0，要求cx 2＋bx ＋a <0的解集首先需要判断二次项系数c 的正负，由方程根与系数关系知c a＝α·β>0，因a <0，所以c <0，从而知道cx 2＋bx ＋a <0的解集是x 大于大根及小于小根对应的两个集合．要想求出解集，需用已知量α，β代替参数c 、b 、a ，需对不等式cx 2＋bx ＋a <0两边同除c 或a ，用α、β代替后，就不难找到要求不等式对应方程的两根，从而求出不等式的解集．本题较好地体现了三个“二次”之间的相互转化．探究点五利用基本不等式求最值【例6】 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值；(2)已知x <54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值．规律方法 (1)基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化，使用基本不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)，构造出基本不等式的形式再进行求解．(2)基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，“三相等”就是必须验证等号成立的条件．。

八年级数学第11讲.根系关系及应用题.尖子班.教师版.doc

11根系关系及应用题满分晋级阶梯方程 11级解特殊复杂方程春季班第九讲漫画释义方程 12级特殊根问题方程 6级春季班第十讲考古发现方程 13级根系关系及应用题春季班第十一讲知识互联网题型切片题型切片（两个）对应题目题根与系数关系例 1；例 2；例 3；例 7；演练 1；演练 2；演练 3；型目标一元二次方程的应用题例 4；例 5；例 6；演练 4；演练 5．编写思路本讲主要分为两个版块，模块一主要讲解了一元二次方程的补充知识点，韦达定理，在这一板块重点进行了由定理直接进行的代数式的变形，对于这个补充版块，有的班级理解能力强些，老师们可能会有一些富余时间，故给老师们预备了对韦达定理的进一步探索。

模块二练习了各个类型的应用题，希望同学们能从不同的方面深入理解一元二次方程，并再次练习了解方程应用题的一般步骤：审、设、列、解、答，希望老师注意强调应用题的答千万不要忘记。

题型一：根与系数关系思路导航一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）若 x 1, x 2 是关于 x 的一元二次方程 ax 2 bx c 0( a 0) 的两个根，则方程的两个根 x 1 , x 2 和系数 a,b, c 有如下关系： x 1 x 2b, x 1 x 2 c .aa例题精讲【引例】先阅读，再填空解题：⑴方程 x 2－x － 12＝ 0 的根是： x 1＝ 3 ， x 2＝ 4，则 x 1＋ x 2＝ 1， x 1·x 2＝ 12 ； ⑵方程 2x 2－ 7x ＋ 3＝ 0 的根是： x 1＝1 ， x 2＝ 3，则 x 1＋ x 2＝ 7， x 1·x 2 ＝ 3 ；⑶方程 x 2－3x ＋ 1＝ 0 的根是： x 1＝ 2 ， x 2 ＝2 2 ．则 x 1＋ x 2＝，x 1·x 2＝；⑷根据以上⑴⑵⑶你能否猜出：如果关于 x 的一元二次方程 mx 2＋ nx ＋ p ＝ 0（ m ≠0且 m 、n 、p 为常数）的两根为 x 1、x 2，那么x 1＋ x 2、 x 1·x 2 与系数 m 、 n 、 p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．⑸在⑶的条件下，求下列各式的值： ① x 1 2 x 2 x 2 2x 1 ；② 1 1 （十一学校期末）2 2x 1 x 2【解析】 ⑶35 ， 3 5 ； 3 ， 1；⑷ x x2n，x x2p ；2 2 1 m 1m211x 12 x 2 29 2⑸ ① x 1 2 x 2 x 2 2x 1 =x 1x 2 x 1 x 2 =3 1=3 ②x 1 x 22 x 1x 222 =2 2 =x x2==7x 1x 2x 1 x 2211典题精练【例 1】不解方程，求下列方程两根的积与和．⑴ x 2 5x 10 0⑵ 2 x 27x 1 02⑷ x x 1 3x 7⑶3x 1 2 x 5【解析】 ⑴ x 1x 2 5 ，x 1x 210⑵ x 1 x 27，x 1x 2 122 ⑶ x 1 x 22，x 1x 22⑷ x 1x 2 4 ，x 1 x 273【例 2】已知关于 x 的一元二次方程22x (2 m1)x m 0有两个实数根1和x 2．x⑴求实数 m 的取值范围；⑵当 x 12 x 220 时，求 m 的值．( 毕节中考 )【解析】 ⑴ 由题意有(2m 1)24 m 2≥ 0 ，解得 m ≤ 1．即实数 m 的取值范围是 m ≤ 1．2 20 得 (x1 x2 )( x1 x2 ) 0 ．⑵由 x1 x2若 x1 x2 0 ，即 (2 m 1) 0 ，解得 m 1．2∵1＞1，m1 不合题意，舍去．2 4 2若 x1 x2 0 ，即 x1 x2∴0 ，由⑴知 m 1 ．故当 x1 x2 0 时， m 4 1 ．2 24【例 3】已知一元二次方程(m 1)x2 2mx m 3 0 有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数 .⑴求 m 的取值范围；⑵当 m 在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为x1 , x2，求 3x1 2 (1 4 x2 ) 的值 .（北京八中期中试题）m 1 0【解析】⑴根据题意，可得4m 2 4 m 1 m 3 0m 0∴ m 30 且 m 1．且 m2，原方程可化为 3x2⑵依题意有 m 2 4 x 1 0 ．x1 x2 4 3方法一：∴ x1 x2 1 33x 2 4 x 1 01 1∴ 3x1 2 (1 4 x2 ) (1 4 x1 )(1 4x2 ) 1 16x1 x2 4 x1 x2 1x1x2 12方法二： 3 ， 3x12 (1 4 x2 ) 3x12 3x2 2 9 x1 x2 13x2 2 4x2 1 0【探究对象】根系关系的进一步应用【探究方式】在做含参一元二次方程根系关系的问题时，先考虑二次项系数不为0→再判断→ 然后根据题意看是否有两根的特殊关系（如例3，已知中强调两根不互为相反数，则根据根系关系能够得出m0 ）．在这里主要探讨一下根的正负性问题：利用根与系数的关系，我们可以不直接求方程在=b2 4ac 0 的条件下，我们有如下结论：①当c<0 时，方程的两根必一正一负．若 ba a2的根，而知其根的正、负性．ax +bx+c=00 ，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若b<0 ，a 则此方程的正根小于负根的绝对值．②当c>0 时，方程的两根同正或同负．若b >0 ，则此方程的两根均为正根；若 b <0 ，则此方a a a程的两根均为负根．【探究 1】已知关于 x 的一元二次方程 x 2－ 2ax+a 2－ 9=0（ 1）a 为何值时，方程有两个正根？（ 2）a 为何值时，方程有一正根、一负根？分析：此题根据上面的总结很容易得出：（ 1）a >3；（ 2）－ 3< a <3【探究 2】已知关于 x 的一元二次方程（ m+2） x 2+2 mx+ 2m 3 =0．2（ 1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围；3 6m（2）若 2，试判断方程两个实数根的符号，并证明你的结论．分析：（1） ∵ 方程有两个不相等的实数根∴24 m2 m 32m 120 解得： m ＜ 6；2m 22又因为 m+2≠0，则 m ≠－ 2；所以 m 的取值范围是 m ＜ 6 且 m ≠－2；（2）设方程的两个实根分别为 α与 β，则根据根与系数的关系得：2m ， 2m 3 ，m 22 m 2又知3m 6 ，则2m，2m 3 02 m 22m 2逆用上述结论可知，方程有两个负实数根．【探究 3】已知方程 x 2 4 x 3 k 2 0 ，k 为实数且 k ≠0，证明：此方程有两个实数根，其中一根大于 1，另一根小于 1．分析：先判断=4+4k 2>0 ，所以方程有两不等实根，设为、，且由根系关系得4 ，3 k 2 ，拓展逆用上述结论：1113 24 1 k 2k 0∴1 与1 中必有一个大于 0，另一个小于 0即方程有两个实数根，其中一根大于 1，另一根小于 1．题型二：一元二次方程的应用题思路导航列一元二次方程解应用题的时候，要注意检验得到的根是否符合题意．例题精讲【引例】⑴某汽车销售公司2009 年盈利 1500 万元，2011 年盈利 2160 万元，且从 2009 年到 2011 年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为（）．A ．1500 12B ． 1500 x x2160C． 1500 x2 2160 D． 1500 1x，根据题意，下面所列方程正确的是（西城期末）21500 x21602x 1500 1 x2160⑵某种商品原价是120 元，经两次降价后的价格是100 元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为．( 台州中考 )【解析】⑴ A ；⑵120(1x) 2100 ．典题精练【例 4】某商品进价为40 元的衬衫按50 元售出时 .每月能卖 500 件 .这种衬衫每涨价 1 元，其销售量减少 10 件 .如果商场计划每月赚8000 元利润 .售价应定为多少?【解析】设涨价 x 元，则售价为50 x 元，每月卖出500 10x 件．根据题意列出方程500 10x 50 x 408000解得： x110，x230答：当售价定在60 元或者 80 元时，每月赚8000 元．【例 5】如图①，要设计一幅宽20 cm，长 30 cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为 2 : 3 ，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？D C30cm30cmA B20cm20cm图①图②分析：由横、竖彩条的宽度比为 2 : 3 ，可设每个横彩条的宽为2x，则每个竖彩条的宽为3x．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形 ABCD ．结合以上分析完成填空：⑴如图②，用含x 的代数式表示：AB =____________________________cm； AD =____________________________cm；矩形 ABCD的面积为_____________cm2；⑵ 列出方程并完成本题解答．（三帆中学期末试题）【解析】 ⑴ 20 6x ，30 4 x ，24x 2 260 x 600.⑵ 根据题意，得 24 x 2 260x 6001 120 30 .整理，得 6x265x 50 0 .解方程，得3x5， x 10 （不合题意，舍去） .则 2 x 5，3 x 5 ．16 23 2答：每个横、竖彩条的宽度分别为5cm ， 5cm.32【例 6】如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面．请观察下列图形并解答有关问题：⑴ 在第 n 个图中，每一横行共有块瓷砖，每一竖列共有块瓷砖；（均用含 n 的代数式表示）⑵ 设铺设地面所用瓷砖的总块数为 y ，请写出 y 与⑴中的行列的函数关系式；（不要求写自变量 n 的取值范围）⑶ 按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506 块瓷砖，求此时 n 的值； ⑷ 若黑瓷砖每块 4 元，白瓷砖每块 3 元，在问题⑶中，共需花多少元钱购买瓷砖？ ⑸ 是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明理由．...n= 1n= 2n= 3【解析】 ⑴ n 3 ； n2 ．⑵ y ( n 3)( n 2) ，即 yn26 ．5n ⑶25n 6506 ，即 2当 y=506 时， nn 5n 500 0解得 n 1 20，n 2 25 （舍去）． ⑷ 白瓷砖块数是 n(n 1) 20 (20 1) 420 （块）．黑瓷砖块数是 506 42086 （块）．共需 86 4 420 3 1604 （元）． ⑸ n( n1) (n 25n 6) n( n1)2化简为 n 3n 6解得 n 1333，n 2 333 0 （舍去）．2 2∵ n 的值不为正整数，∴ 不存在黑、白瓷砖块数相等的情形．真题赏析【例 7】关于 x 的方程 x 2q0 的两根和为 s 1 ，两根的平方和为 s 2 ，两根的立方和为 s 3 ，试求px s 3 ps 2 qs 1 的值．【解析】设方程的两根为 x 1 、 x 2 ，则 x 1x 2p ， x 1 x 2 q ．∴ s 1p ， s 2x 12 x 22 x 1 x 22p 22q ．2x 1 x 2 3 13231 2 1 2 21 223pq p3．∴s3ps2qs13pq p3p p22q q p0 ．思维拓展训练 ( 选讲 )训练 1. 关于 x 的一元二次方程x 2 ⑴ 求 m 的取值范围 ;⑵若 x 1 、 x 2 满足等式 x 1x 2【解析】由 x 2x 3 m ，整理，得 x 2 5x 6 m ⑴ ∵方程有两个实数根，x 3 m 有两个实数根x 1 x 2 1 0 求 m 的值 .0 ．x 1 、 x 2 ，（崇文区初三期末）∴b 2 4ac25 4(6 m) ≥ 0 ．解之，得 m ≥1．4⑵ ∵方程 x 2 5x 6 m 0 的两个实根是 x 1 、 x 2 ，1 m ≥4∴ x 1 x 2 5 x 1x 26 m∵ x 1 x 2 x 1 x 21 06 m5 1 0∴1m ≥4∴ m 2 .训练 2.⑴已知 t 是实数，若 a ，b 是关于 x 的一元二次方程 22 x t 1 0的两个非负实根，则 x(a 2 1)(b 2 1) 的最小值是 ____________.⑵如果 a ，b 是质数，且 a213am 0 ，b 213b m0 那么 b a的值为（）123125 或125a b123或2A. B. 2C.D.2222 22224 4 t 1 ≥ 022a t1 0a1≤ t ≤ 2b 2 2b t1 0【解析】 ⑴ 3.提示：依题意有，化简得 a 21 2ata b 2b21 2btab t 1 ≥ 0∴ (a 2 1)(b 21) 2a t 2b t t 24 ， ∴ (a 2 1)(b 2 1) 的最小值为 3 ．⑵ B ．提示：方法一：有两种情况： ① 若 a b ，则ba 2 ；ab② 若 a b ，根据题意， a 、 b 是方程 x 213x m 0 的根，则 a b 13 ，因为 a ，b 是质数且和为奇数，所以两数分别为 2 和 11 ．此时 b a 2 11 125 ． ab11 2 22方法二：两式相减，消 m ， a 2b 2 13a13b 0 ， a b a b 13 0 ，所以有 a b 或a b 13.训练 3. 为了鼓励居民节约用电，某地区规定：如果每户居民一个月的用电量不超过a 度时，每度电按0.40 元交费；如果每户居民一个月的用电量超出 a 度时，则该户居民的电费将使用二级电费计费方式，即其中有 a 度仍按每度电0.40 元交费，超出 a 度部分则按每度电a元交费．下表是150该地区一户居民 10 月份、 11 月份的用电情况．根据表中的数据，求在该地区规定的电费计费方式中， a 度用电量为多少？（西城期末）月份用电量所交电费总数（元）10 月80 3211 月10042【解析】因为 80 0.4 32 ， 100 0.440 42，所以 80≤ a 100 .由题意得0.4(100) a42 .aa150去分母，得 60a (100a)a 42 150 .整理，得 2160a 6300 0 .a 解得 a 1 90 ， a 2 70 . 因为 a ≥ 80 ，所以a 270 不合题意，舍去 .所以 a 90 ．答：在该地区规定的电费计费方式中，a 度用电量为 90 度.训练 4. ⑴两个相邻的自然数的平方和比这两个数中较小的数的 2 倍大 51，试求这两个自然数．⑵某两位数的十位数字与个位数字之和为5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数．【解析】 ⑴ 设这两个自然数分别为 n ，n 1 ．根据题意得 n2n 1 22n 51解得： n 1 5 ，n 2 5 （舍）所以这两个自然数为 5 和 6⑵ 设这个数为 10x 5 x9 x 5，新的数为 10 5 x x 50 9 x根据题意得：9 x 5 509x 736解得 x 1 2 ，x 2 3 所以这个两位数为23或32复习巩固知识模块一根与系数的关系巩固练习【练习 1】⑴方程x2 5x 2 0的两个解分别为x1、 x2，则 x1 x2 x1 x2 的值为（）A ．7 B．3 C． 7 D． 3⑵设 x1， x2是一元二次方程 x2 3x 2 0的两个实数根，则x12 3x1x2 x2 2 的值为__________________ ．【解析】⑴ D；⑵ 7．【练习 2】已知，是一元二次方程x2 x 1 0 的两个根，求 2 5 5 3 的值．【解析】因为2x 1 0 的根，所以是方程 x21 0 ，即2 1 ．4 1 2 1 2 2 2 3 ，5 4 2 3 2 3 2 5 3 ．同理 3 2 1 2 2 1 ．所以 25 5 3 2 5 3 5 2 1 10 11 21．【练习 3】已知关于x的方程x2 k 1 x k 2 0 的两个实数根的平方和等于6，求 k 的值．【解析】设方程的两个根为 x1 ， x2，则x1 x2 k 1 ， x1 x2 k 2 ．2 2，∴ x1 22x1x2 6 ．∵ x1 x2 6 x2∴ k 1 2k 2 6 ．2解得 k1 3 ， k2 3 ．又k24 k 2 ．1当 k 3 时，0 ，所以， k 3 不符合题意．舍去．当 k 3 时，0 ，所以，k 3 即为所求．题型二一元二次方程的应用问题巩固练习【练习 4】某市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200 元下调至128 元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少．【解析】设平均每次降价的百分率为x ，则200(1 x)2 128 ，即 1 x 0.8 ，解得 x1 1.8 （舍去），x2 0.2 20%答：这种药品平均每次降价20%．【练习 5】一条长 64m 的铁丝被剪成两段，每段均折成一个正方形，若两个正方形的面积和等于160cm2，求这两个正方形的边长，【解析】设一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长是64 4x(16 x)cm ．2 2 4∴ x (16 x) 160 ，整理，得x 248 0 ，解得 x1 4 ，x2 12 ，16 x则 16 x 12 或 16 x 4 ．答：这两个正方形的边长分别为4cm，12cm．第十六种品格：诚信感恩对手读完《感恩对手》这本书后，它让我明白了对手的存在是一种必然。

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答：苗苗分得3.6元。千千分得1.8元。
试一试2：六一儿童节同学们做彩花，花花买来5张彩纸，丽丽买来7张同样的彩纸，老师把这些彩纸平均分给花花、丽丽和小军三位同学。结果小军付给老师8 元。问老师怎样将钱分给花花和丽丽？
（5+7） ÷3=4（张） 8 ÷4=2（元） 2×（5 － 4）=2（元） 2×（7－ 4 ）=6（元）
答：花花分得2元。丽丽分得6元。
例3 ：把一根竹竿插入水底，竹竿湿了45厘米。然后将竹竿转过来插入水底，这时，竹竿湿的部分比比它的一半长15厘米，求竹竿的长。 45厘米 45厘米
90厘米中点 45厘米 45厘米
中点（45× 2 － 15 ） × 2=150（厘米）答：竹竿长150厘米。
试一试3：有一根电线，两头各截去30厘米，截去部分比原来电线长度一半短10 厘米，这根电线原来长多少厘米？
五年级奥数教材
第十讲一般应用题
例1：五年级六个班存图书本数相等，一周内每班借出 15本，六个班剩下的图书本数等于原来四个班的图书数，原来每班存书多少本？
共借出 90 本 15本 15 本
15本
15本
15本
15本
列；式；15×6÷（ 6－ 4）=45（本）答：原来每班存图书45本。
试一试1：老师把一批树苗平均分给4个小队去栽，当每队栽了6棵树时，发现剩下的树苗正好是原来每队分 1 得的棵树，原来每队分多少棵？
列；式；6×4÷（ 4－ 1）=8（棵）
答：原来每队分8棵.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例2：苗苗、千千、飞飞三个人外出活动，苗苗带了5 个面包，千千带了同样的四个面包，飞飞没带面包。中午，三个人将面包平均分吃了，飞飞按市价付了5.4 元，苗苗、千千各得多少钱？
（5+4） ÷3=3（个） 5.4 ÷3=1.8（元） 1.8×（5 － 3）=3.6（元） 1.8×（4 － 3）=1.8（元）
50 × 21 =1050（个）
答：李师傅一共做1050个零件。
例4：李师傅原计划每天做50个零件，实际每天比计划多做20个，结果提前 6天完成，李师傅一共做多少个零件？计划时间：
实际时间： 50 ×6 = 300（个） 300 ÷ 20 = 15（天） (50+20) × 15=1050（个）答：李师傅一共做1050个零件。相差6天
（30× 2 + 10 ） × 2 = 140（厘米）答：这根电线原来长150厘米。
例4：李师傅原计划每天做50个零件，实际每天比计划多做20个，结果提前 6天完成，李师傅一共做多少个零件？计划时间：
实际时间：（50+ 20 ） ×6 = 420（个） 420 ÷ 20 = 21（天）相差6天
试一试4：电视机厂生产一批电视机，原计划每天生产15台，实际每天比计划多生产5台，这样比原计划提前4天完成任务，这批电视机一共多少台？