反证法与放缩法导学案
反证法与放缩法导学案(1)
【使用说明及学法指导】
1.独立完成探究题，并总结规律方法;
2.针对课本P26-27预习自学及合作探究找出的疑惑点，课上小组讨论交流，答疑解惑;
课前预习案
【自主学习】------大胆试
【自学导引】
前面我们学习了证明不等式的三种方法：___________、______________、___________.
矛盾：与定义、公理、定理、公式、性质等一切已有的结论矛盾甚至自相矛盾。
反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。
【小试牛刀】
1．设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1；②a+b=2；③a+b>2；④a +b >2；⑤ab>1，其中能推出:“a、b中至少有一个实数大于1”的条件是____________.
已知实数 满足 ， ，求证 中至少有一个是负数．
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课后训练案
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合作探究二：群学，全体起立，组内探讨疑问，展示收获，完善下面探究任务。
我的疑问
我的收获
例1、设 ，求证： ， ， 不能都大于 。
例2、若 , , .证明：
要求：
【展示点评】------我自信
具体要求： 看规范（书写、格式） 看对错。找出关键词，补充、完善。 点评内容，
反证法与放缩法优秀教学设计 (2)
反证法与放缩法【教课目的】经过实例，领会反证法的含义、过程与方法，认识反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。
【教课要点】领会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题。
【教课难点】会用反证法证明简单的命题。
【教课过程】一、引入：前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。
也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式建立。
但关于一些较复杂的不等式，有时很难直接下手求证，这时可考虑采纳间接证明的方法。
所谓间接证明即是指不直接从正面确立论题的真切性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。
此中，反证法是间接证明的一种基本方法。
反证法在于表示：若一定数题的条件而否认其结论，就会致使矛盾。
详细地说，反证法不直接证明命题“若 p 则 q”，而是先一定数题的条件 p，并否认命题的结论 q，而后经过合理的逻辑推理，而获得矛盾，进而判定本来的结论是正确的。
利用反证法证明不等式，一般有下边几个步骤：第一步分清欲证不等式所波及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步判定产生矛盾结果的原由，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式建立。
二、典型例题：例 1．已知 a b 0 ，求证：n a n b （n N 且 n 1）例 1．设a3 b3 2，求证a b 2.证明：假定 a b 2 ，则有 a 2 b ，进而a 3 8 12b 6b2 b3 ,a 3 b3 6b2 12b 8 6(b 1)2 2.由于 6(b 1) 2 2 2 ，因此 a 3 b 3 2 ，这与题设条件 a 3 b 3 2 矛盾，因此，原不等式a b 2 建立。
例 2．设二次函数 f ( x)x2pxq ，求证： f (1) , f (2) , f (3) 中起码有一个不小于1 。
2证明：假定 f (1) , f (2) , f (3) 都小于 1，则2f (1) 2 f (2) f (3) 2. （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有f (1) 2 f (2)f (3)f (1) 2 f (2) f (3)（2）(1 p q) 2(4 2 p q) (9 3 p q) 2（1）、（ 2）两式的结果矛盾，因此假定不建立，本来的结论正确。
人教A版选修4-5 2.3 反证法与放缩法 学案
三反证法与放缩法第8课时反证法与放缩法1．反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法称为反证法．2．放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．知识点一反证法证明不等式1．应用反证法推出矛盾的过程中，要把下列哪些作为条件使用( )①假设；②原命题的条件；③公理，定理，定义等；④原命题的结论．A．①②B．①②③C．①②③④D．②③解析：在用反证法证明命题时，要把假设，原命题中的条件，还有公理、定理、定义等作为条件使用，因此应选B.答案：B2．(2019·湖南邵东一中月考)若实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，给出以下说法：①a，b，c中至少有一个大于13；②a，b，c中至少有一个小于13；③a，b，c中至少有一个不大于13；④a，b，c中至少有一个不小于14.其中正确说法的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0解析：∵实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则在①②中，当a＝b＝c＝13时，满足a ＋b ＋c ＝1，所以命题不正确；对于③中，假设a ，b ，c 三个数都大于13，则a ＋b ＋c >1，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则a ，b ，c 中至少有一个不大于13，所以③是正确的；对于④中，假设a ，b ，c 三个数都小于14，则a＋b ＋c <1，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则a ，b ，c 中至少有一个不小于14，所以④是正确的．综上所述，正确的命题有2个，故选B. 答案：B3．已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，但不成等差数列． 求证：a ， b ， c 不成等差数列． 证明：假设a ， b ， c 成等差数列，则有a ＋c ＝2b ，即a ＋c ＋2ac ＝4b . 又∵三个正数a ，b ，c 成等比数列． ∴b 2＝ac ，即b ＝ac .∴a ＋c ＋2ac ＝4ac ，即(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，即a ＝c . 从而得a ＝b ＝c .∴a ，b ，c 也成等差数列，这与已知矛盾． 故假设错误，∴a ， b ， c 不成等差数列． 知识点二 放缩法证明不等式 4．已知S ＝1＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n(n 是大于2的自然数)，则有( )A ．S <1B ．2<S <3C ．1<S <2D ．3<S <4解析：S ＝11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n <1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1<2.又因为S ＝1＋11×2＋…＋11×2×3×…×n >1.故选C.答案：C 5．令P ＝1＋12＋13＋…＋1n ，Q ＝n ，则P 与Q 的大小关系是________． 解析：P ＝1＋12＋13＋…＋1n ≥1n ＋1n ＋…＋1n ＝nn＝n ，当且仅当n ＝1时取等号，∴P ≥Q .答案：P ≥Q6．(2019·辽宁德才期中)求证：1＋122＋132＋…＋1n 2<2.证明：∵1n 2＝1n ·n <1n n －1＝1n －1－1n(n ≥2)， ∴1＋122＋132＋ (1)2<1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋1－1n＝2－1n<2.∴原不等式成立．一、选择题1．已知f (x )在R 上为增函数，且f (x 0)＝f (1)，则( ) A ．x 0>1 B ．x 0＝1 C ．x 0<1D ．x 0≠1解析：①若x 0>1，∵f (x )是增函数， ∴f (x 0)>f (1)，这与已知f (x 0)＝f (1)矛盾．②若x 0<1，∵f (x )是增函数，∴f (x 0)<f (1)，这与已知f (x 0)＝f (1)矛盾． 综合①②知，x 0＝1. 答案：B2．设a ，b 是不相等的实数，且a ＋b ＝2，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ≤1≤a 2＋b 22 B ．ab ≤a 2＋b 22≤1 C ．1<ab <a 2＋b 22D ．ab <1<a 2＋b 22解析：由不等式 a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ，得a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab .又∵a ＋b ＝2，且a ≠b .∴ab <1<a 2＋b 22.答案：D3．(2019·福清东张中学期中)设a ，b ，c 大于0，a ＋b ＋c ＝3，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( ) A ．都大于2 B ．至少有一个不大于2 C ．都小于2D ．至少有一个不小于2解析：假设3个数：a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a <2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a <6，∵a ，b ，c 大于0，利用基本不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2＋2＋2＝6，这与假设所得结论相矛盾，故假设不成立，所以3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a中至少有一个不小于2，故选D. 答案：D4．(2019·辽宁德才期中)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D．a，b，c都是偶数解析：因为结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”，可得题设为a，b，c 中恰有一个偶数，所以反设的内容是假设a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数，故选B.答案：B5．设a，b∈R，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出“a，b中至少有一个实数大于1”的条件有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个解析：对于①，a，b均可以小于1；对于②，a，b均可以等于1；对于③，若a，b都不大于1，则a＋b≤2，这与③矛盾，则a，b中至少有一个实数大于1，对于④⑤，a，b可以是负数．答案：A二、填空题6．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为________．解析：由反证法证明的步骤，先假设，即③，再推出矛盾，即①，最后作出判断，肯定结论，即②，顺序应为③①②.答案：③①②7．已知M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则M与1的大小关系是________．解析：M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋1210＋…＋1210＝210210＝1，即M <1.答案：M <18．若a >0，则a ＋1a＋a 2＋1a 2的最小值为________．解析：∵a >0，∴a ＋1a＋a 2＋1a2≥2a ·1a＋2a ·1a＝2＋2，当且仅当a ＝1时取等号．答案：2＋ 2 三、解答题9．(2019·山东聊城期中)若x ，y 都是正实数，且x ＋y >43.求证：2＋xy <4与2＋yx<4中至少有一个成立．证明：假设2＋xy <4和2＋yx<4都不成立，即2＋xy≥4和2＋yx≥4同时成立．因为x >0且y >0，所以2＋x ≥4y ，且2＋y ≥4x ， 两式相加，得4＋x ＋y ≥4x ＋4y ，所以x ＋y ≤43，这与已知条件x ＋y >43相矛盾，所以2＋xy<4与2＋yx＜4中至少有一个成立．10．(2019·河北沧州七校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，解得d ＝2，∴a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)知b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列， 则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0. ∵p ，q ，r ∈N *， ∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，即(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾， ∴假设错误，故数列{b n }中任意不同的三项不可能成等比数列．。
反证法与放缩法导学案
反证法与放缩法反证法导疑 证明三个互不相等的正数a ，b ，c 成等差数列，则a ，b ，c 不可能成等比数列这个命题时，除了直接证明还有其他方法吗？导思有，很显然此命题直接证明不好入手，我们可以假设结论不成立，从而导出与条件矛盾就可以了．导果 反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．放缩法导疑 不等式常用的放缩方法有哪些？ 导思①添加或舍去一些项；②将分子或分母放大(或缩小)；③真分数的性质：若0＜a ＜b ，m ＞0，则a b ＜a ＋mb ＋m ；④利用基本不等式；⑤利用函数的单调性；⑥绝对值不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |；⑦利用函数的有界性：如：|sin x |≤1(x ∈R)，x 2－x ≥－14(x ∈R)，2x ＞0(x ∈R)．导果 放缩法证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．我们把这种方法称为放缩法．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“至少有一个”的否定为“一个也没有”．( ) (2)0<a <b ，m >0，则a b <a ＋mb ＋m.( )(3)如果两个正整数之积为偶数，则这两个数都是偶数．( )(4)1k 2<1(k －1)(k ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1k －1－1k ＋1.( ) (5)1k 2>1k －1k ＋1.( ) 答案 (1)√ “至少有一个”的否定为“一个也没有”．(2)√ ∵0<a <b ，m >0，∴a －b <0，b ＋m >0，∴a b －a ＋m b ＋m ＝m (a －b )b (b ＋m )<0.(3)× 有一奇一偶也满足．(4)√ 1k 2<1k 2－1＝1(k －1)(k ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＋1. (5)√ ∵1k 2>1k (k ＋1)＝1k －1k ＋1.2．做一做(1)已知：a >b >c ，则1a －b ＋1b －c ＋1c －a ____0( )A ．>B ．≥C ．<D ．≤答案 A解析 ∵a >b >c ，∴a ＝c ＋t ，b ＝c ＋u (t >u >0)∴t －u >0，则1a －b ＋1b －c ＋1c －a ＝1t －u ＋1u －1t >1u －1t ＝t －uut >0，故选A.(2)已知p ＝a ＋1a －2，q ＝－a 2＋4a (a >2)，则( ) A ．p >q B ．p <q C ．p ≥q D ．p ≤q答案 A解析 ∵p ＝(a －2)＋1a －2＋2，又a －2>0，∴p ≥2＋2＝4，而q ＝－(a －2)2＋4， 根据a >2，可得q <4，∴p >q .(3)在证明“f (x )，g (x )中至少有一个大于0”时，用反证法证明时的假设为________．答案假设f(x)，g(x)都小于或等于0解析“f(x)，g(x)中至少有一个大于0”的否定是“f(x)，g(x)都小于或等于0”题型一反证法证明不等式例1设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.[证明]假设4a(1－b)＞1,4b(1－c)＞1,4c(1－d)＞1，4d(1－a)＞1，则有a(1－b)＞14，b(1－c)＞14，c(1－d)＞14，d(1－a)＞14.∵a(1－b)＞12，b(1－c)＞12，c(1－d)＞12，d(1－a)＞1 2.又∵a(1－b)≤a＋(1－b)2，b(1－c)≤b＋(1－c)2，c(1－d)≤c＋(1－d)2，d(1－a)≤d＋(1－a)2，∴a＋1－b2＞12，b＋1－c2＞12，c＋1－d2＞12，d＋1－a2＞12.将上面各式相加得2＞2，矛盾．∴4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.(1)当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式：①与已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相矛盾．[跟踪训练1]已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.问命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”的逆命题是否成立，并证明你的结论．证明逆命题：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)⇒a＋b≥0.它是成立的，下面用反证法证明：假设a＋b<0，那么⎭⎪⎬⎪⎫a＋b<0⇒a<－b⇒f(a)<f(－b)a＋b<0⇒b<－a⇒f(b)<f(－a)⇒f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，这与已知矛盾．∴原假设错误，∴a＋b≥0，逆命题得证.题型二利用放缩法证明不等式例2已知实数x，y，z不全为零．求证：x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2＋z2＋zx＋x2>32(x＋y＋z)．[证明]x2＋xy＋y2＝⎝⎛⎭⎪⎫x＋y22＋34y2≥⎝⎛⎭⎪⎫x＋y22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x＋y2≥x＋y2.同理可得：y2＋yz＋z2≥y＋z2，z2＋zx＋x2≥z＋x2，由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加得：x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2＋z2＋zx＋x2>⎝⎛⎭⎪⎫x＋y2＋⎝⎛⎭⎪⎫y＋z2＋⎝⎛⎭⎪⎫z＋x2＝32(x＋y＋z)．(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败.(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的.[跟踪训练2] 设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n<1.证明 由2n ≥n ＋k >n (k ＝1,2，…，n )， 得12n ≤1n ＋k <1n. 当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n <1n ，∴将以上n 个不等式相加得： 12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)<n n ＝1.1.反证法(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”“至少”“不能”等词语的不等式．(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用．2.放缩法常用结论 (1)1k ＝2k ＋k >2k ＋k ＋1＝2(k ＋1－k )， 1k ＝2k ＋k <2k ＋k －1＝2(k －k －1)(k ∈N *，k >1)； (2)1k 2<1k (k －1)＝1k －1－1k ；1k 2>1k (k ＋1)＝1k －1k ＋1(程度大)； (3)1k 2<1k 2－1＝1(k －1)(k ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1k －1－1k ＋1(程度小).1．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 答案A解析 “至少有一个”的否定是“都没有”．2．P ＝a a ＋1＋b b ＋1＋c c ＋1(a ，b ，c 均为正数)与3的大小关系为( ) A ．P ≥3 B ．P ＝3 C ．P <3 D ．P >3A ．P ≥3B ．P ＝3C ．P <3D ．P >3 答案 C解析 因为a ，b ，c 均为正数，所以P ＝a a ＋1＋b b ＋1＋c c ＋1<a ＋1a ＋1＋b ＋1b ＋1＋c ＋1c ＋1＝3，即P <3.故选C.3．lg 9·lg 11与1的大小关系是( )A ．lg 9·lg 11>1B ．lg 9·lg 11＝1C ．lg 9·lg 11<1D ．不能确定答案 C解析 因为lg 9>0，lg 11>0，所以lg 9·lg 11<⎝⎛⎭⎪⎫lg 9＋lg 1122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 9922<⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 10022＝1.故选C. 4．若实数x ，y 适合不等式xy >1，x ＋y ≥－2，则( )A ．x >0，y >0B ．x <0，y <0C ．x >0，y <0D ．x <0，y >0答案 A解析 当x ，y 异号时显然与xy >1矛盾，所以排除C 、D.假设x <0，y <0，则x <1y ，∴x ＋y <y ＋1y ≤－2，与x ＋y ≥－2矛盾，故假设不成立，又xy ≠0，∴x >0，y >0.。
反证法与放缩法导学案
《不等式的的证明(3)——反证法与放缩法》导学案 学习目标： 1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法;2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式一、复习引入1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)．20. 综合法和分析法．30. 反证法、换元法、放缩法2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法.用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒ 3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等), 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.这是一种执 索 的思考和证明方法.二、合作、探究、展示1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有哪几个步骤？例1、（1）已知1,0,2,,2y x y x y x+>+>1+x 且试证：中至少有一个小于y （2）已知a + b + c > 0，a b + bc + c a > 0，a bc > 0，求证：a , b , c > 0 .2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性.常用的换元有三角换元有：10．已知222a y x =+，可设 ， ； 20．已知122≤+y x ，可设 ， (10≤≤r )；30．已知12222=+b y a x ，可设 ， . 例2 设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是（ ）.A 1,)+∞ .B (1]-∞ .C 1,)+∞ .D (1]-∞例3 已知221x y +=，求证：y ax ≤-≤3. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度.常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：a a >+12，n n n >+)1(，②将分子或分母放大（或缩小）如：2111(1)(1)n n n n n <<+- ③应用“糖水不等式”：“若0a b <<，0m >，则a a m b b m +<+”④利用基本不等式，如：2lg 3lg 5()lg 4⋅<=<=； ⑤利用函数的单调性 ⑥利用函数的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈；⑦绝对值不等式：a b -≤a b ±≤a b +；⑧利用常用结论：如：2=>=()*,1k N k ∈>，2=()*,1k N k ∈> ⑨应用贝努利不等式：2(1)(1)11.12n n n n x nx x x nx -+=++++>+⨯(1)x >-例4 当 n > 2 时，求证：(1)log (1)log n n n n +-<例5求证：.332113*********<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++n例6 若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a三、课后练习 1、设二次函数q px x x f ++=2)(，求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于21.2、设0 < a , b , c < 1，求证：(1 - a )b , (1 - b )c , (1 - c )a ,不可能同时大于413、已知 1≤22x y +≤2，求证：12≤22x xy y -+≤34、设2()13f x x x =-+，1x a -<，求证：()()()21f x f a a -<+；5、求证.111b b a a b a b a +++≤+++6、设n 为大于1的自然数，求证.2121312111>+++++++n n n n7、求证：（1）223111112212n n n-<++⋅⋅⋅+<-+(n ≥2)（2）21<+⋅⋅⋅+<()*n N ∈。
高中数学 第二讲 讲明不等式的基本方法 三 反证法与放缩法学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二
三反证法与放缩法学习目标 1.理解反证法的理论依据，掌握反证法的基本步骤，会用反证法证明不等式.2.理解用放缩法证明不等式的原理，会用放缩法证明一些不等式．知识点一反证法思考什么是反证法？用反证法证明时，导出矛盾有哪几种可能？答案(1)反证法就是在否定结论的前提下推出矛盾，从而说明结论是正确的．(2)矛盾可以是与已知条件矛盾，也可以是与已知的定义、定理矛盾．梳理反证法(1)反证法的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．知识点二放缩法思考放缩法是证明不等式的一种特有的方法，那么放缩法的原理是什么？答案①不等式的传递性；②等量加(减)不等量为不等量．梳理放缩法(1)放缩法证明的定义证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．(2)放缩法的理论依据①不等式的传递性．②等量加(减)不等量为不等量．③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．类型一 反证法证明不等式 命题角度1 证明“否定性”结论例1 设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b，证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立． 证明 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，a ＞0，b ＞0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1可知，a ＋b ≥2ab ＝2， 即a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．(2)假设a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2同时成立，则由a 2＋a ＜2及a ＞0，得0＜a ＜1；同理，0＜b ＜1，从而ab ＜1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．反思与感悟 当待证不等式的结论为否定性命题时，常用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾． 跟踪训练1 设0＜a ＜2,0＜b ＜2,0＜c ＜2，求证：(2－a )·c ，(2－b )·a ，(2－c )·b 不可能都大于1. 证明 假设(2－a )·c ，(2－b )·a ，(2－c )·b 都大于1， 即(2－a )·c ＞1，(2－b )·a ＞1，(2－c )·b ＞1， 则(2－a )·c ·(2－b )·a ·(2－c )·b ＞1， ∴(2－a )(2－b )(2－c )·abc ＞1.①∵0＜a ＜2,0＜b ＜2,0＜c ＜2， ∴(2－a )·a ≤⎝⎛⎭⎪⎫2－a ＋a 22＝1，同理(2－b )·b ≤1，(2－c )·c ≤1， ∴(2－a )·a ·(2－b )·b ·(2－c )·c ≤1， ∴(2－a )(2－b )(2－c )·abc ≤1，这与①式矛盾． ∴(2－a )·c ，(2－b )·a ，(2－c )·b 不可能都大于1. 命题角度2 证明“至少”“至多”型问题 例2 已知f (x )＝x 2＋px ＋q ， 求证：(1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2)|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.证明 (1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－2(4＋2p ＋q )＝2. (2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2，而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥f (1)＋f (3)－2f (2)＝2，矛盾， ∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.反思与感悟 (1)当欲证明的结论中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法证明．(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾． 跟踪训练2 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于零．证明 假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0，而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z－1)2＋π－3，∵π－3＞0，且(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，∴a ＋b ＋c ＞0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，因此假设不成立． ∴a ，b ，c 中至少有一个大于0. 类型二 放缩法证明不等式例3 已知实数x ，y ，z 不全为零，求证：x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2＞32(x ＋y ＋z )．证明x 2＋xy ＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋y 2≥x ＋y 2.同理可得y 2＋yz ＋z 2≥y ＋z2，z 2＋zx ＋x 2≥z ＋x2.由于x ，y ，z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加，得x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2＞⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋z 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋x 2＝32(x ＋y ＋z )．反思与感悟 (1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，谨慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败． (2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换成较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．跟踪训练3 求证：32－1n ＋1＜1＋122＋…＋1n 2＜2－1n (n ∈N ＋且n ≥2)．证明 ∵k (k ＋1)＞k 2＞k (k －1)(k ∈N ＋且k ≥2)， ∴1k (k ＋1)＜1k 2＜1k (k －1)，即1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k (k ∈N ＋且k ≥2)． 分别令k ＝2,3，…，n ，得12－13＜122＜1－12，13－14＜132＜12－13，…， 1n －1n ＋1＜1n 2＜1n －1－1n ，将这些不等式相加，得12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ， 即12－1n ＋1＜122＋132＋…1n 2＜1－1n， ∴1＋12－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋1－1n，即32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n (n ∈N ＋且n ≥2)成立.1．用放缩法证明不等式时，下列各式正确的是( ) A.1a ＋x ＞1aB.b a ＜b ＋ma ＋mC ．x 2＋x ＋3＞x 2＋3 D ．|a ＋1|≥|a |－1 答案 D解析 对于A ，x 的正、负不定；对于B ，m 的正、负不定；对于C ，x 的正、负不定；对于D ，由绝对值三角不等式知，D 正确．2．用反证法证明命题“a ，b ，c 全为0”时，其假设为( ) A ．a ，b ，c 全不为0 B ．a ，b ，c 至少有一个为0 C ．a ，b ，c 至少有一个不为0 D ．a ，b ，c 至多有一个不为0 答案 C3．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________． 答案 a ≥0，b ≥0，a ≠b 解析 由a 及b 知a ≥0，b ≥0， 又a a ＋b b ＞a b ＋b a ， 即(a －b )2(a ＋b )＞0. ∴a ≠b ，∴a ≥0，b ≥0，a ≠b .4．已知0＜a ＜3,0＜b ＜3,0＜c ＜3.求证：a (3－b )，b (3－c )，c (3－a )不可能都大于92.证明 假设a (3－b )＞92，b (3－c )＞92，c (3－a )＞92.因为a ，b ，c 均为小于3的正数， 所以a (3－b )＞92，b (3－c )＞92， c (3－a )＞92， 从而有a (3－b )＋b (3－c )＋c (3－a )＞92 2.①但是a (3－b )＋b (3－c )＋c (3－a )≤a ＋(3－b )2＋b ＋(3－c )2＋c ＋(3－a )2＝9＋(a ＋b ＋c )－(a ＋b ＋c )2＝92.②当且仅当a ＝b ＝c ＝32时，②中取等号．显然②与①相矛盾，假设不成立，故命题得证．1．常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设常见词语至少有一个 至多有一个 唯一一个 不是 不可能全都是否定假设一个也没有有两个或两个以上没有或有两个或两个以上是有或存在不全不都是2.放缩法证明不等式常用的技巧 (1)增项或减项．(2)在分式中增大或减小分子或分母．(3)应用重要不等式放缩，如a 2＋b 2≥2ab ，ab ≤a ＋b2，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，a ＋b ＋c 3≥3abc (a ，b ，c ＞0)．(4)利用函数的单调性等．一、选择题 1．P ＝a a ＋1＋b b ＋1＋cc ＋1(a ，b ，c 均为正数)与3的大小关系为( )A ．P ≥3B ．P ＝3C ．P ＜3D ．P ＞3答案 C 解析 P ＝a a ＋1＋b b ＋1＋c c ＋1＜a a ＋b b ＋cc＝3. 2．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2答案 C解析 假设a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c ＜6， 又a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＋⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1z ≥6，与a ＋b ＋c ＜6矛盾． 所以a ，b ，c 至少有一个不小于2.A 、B 、D 可用特殊值法排除．故选C.3．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a 2＋b 2＝c 2，则a n ＋b n 与c n(n ≥3，n ∈N ＋)的大小关系为( ) A ．a n ＋b n ＞c nB ．a n ＋b n ＜c nC ．a n ＋b n ≥c nD ．a n＋b n＝c n答案 B解析 ∵a 2＋b 2＝c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，∴0＜a c ＜1,0＜b c＜1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x 均为减函数．∴当n ≥3时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c2＝1，∴a n＋b n＜c n.4．设x ＞0，y ＞0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y1＋y，则A 与B 的大小关系为( )A ．A ≥B B ．A ＝BC ．A ＞BD ．A ＜B 答案 D解析 ∵x ＞0，y ＞0，∴A ＝x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y ＜x 1＋x ＋y1＋y＝B .5．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 对于①，假设(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，这时a ＝b ＝c ，与已知矛盾，故(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0，故①正确；对于②，假设a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 都不成立，这时a ＝b ＝c ，与已知矛盾，故a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立，故②正确； 对于③，显然不正确．6．设a ，b ，c 是正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“P ·Q ·R ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 必要性显然成立．充分性：若P ·Q ·R ＞0， 则P ，Q ，R 同时大于零或其中有两个负的， 假设其中有两个负的成立，不妨设P ＜0，Q ＜0，R ＞0，因为P ＜0，Q ＜0， 即a ＋b ＜c ，b ＋c ＜a .所以a ＋b ＋b ＋c ＜c ＋a .所以b ＜0，与b ＞0矛盾，故假设不成立，故充分性成立． 二、填空题7．若A ＝1210＋1210＋1＋…＋1211－1，则A 与1的大小关系为________．答案 A ＜1解析 A ＝1210＋1210＋1＋…＋1211－1＜1210＋1210＋…＋1210＝210210＝1.共210个8．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①则∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形的内角和为180°矛盾，故结论错误．②所以一个三角形不可能有两个直角．③假设△ABC 有两个直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 上述步骤的正确顺序是________． 答案 ③①②解析 由反证法的证明题步骤可知，正确顺序应该是③①②.9．已知a ∈R ＋，则12a ，12a ＋1，1a ＋a ＋1从大到小的顺序为________．答案12a＞1a ＋a ＋1＞12a ＋1解析 因为a ＋a ＋1＞a ＋a ＝2a ，a ＋a ＋1＜a ＋1＋a ＋1＝2a ＋1，所以2a ＜a ＋a ＋1＜2a ＋1， 所以12a ＞1a ＋a ＋1＞12a ＋1.10．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，满足|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|＜12，那么它的反设应该是________．答案 存在x 1，x 2∈[0,1]且x 1≠x 2满足|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|，使|f (x 1)－f (x 2)|≥12成立 三、解答题11．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，且ac ＋bd ＞1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数，证明 假设a ，b ，c ，d 都是非负数． 由a ＋b ＝c ＋d ＝1知，a ，b ，c ，d ∈[0,1]． 从而ac ≤ac ≤a ＋c2，bd ≤bd ≤b ＋d2，∴ac ＋bd ≤a ＋c ＋b ＋d2＝1，即ac ＋bd ≤1，与已知ac ＋bd ＞1矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．12．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n＜1.证明 由2n ≥n ＋k ＞n (k ＝1,2，…，n )，得12n ≤1n ＋k ＜1n ，当k ＝1时，12n ≤1n ＋1＜1n ，当k ＝2时，12n ≤1n ＋2＜1n ，…，当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n ＜1n，∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜n n ＝1. ∴原不等式成立．13．设a ，b ∈R,0≤x ≤1,0≤y ≤1，求证：对于任意实数a ，b 必存在满足条件的x ，y ，使|xy －ax －by |≥13成立．证明 假设对一切0≤x ≤1,0≤y ≤1，结论不成立， 则有|xy －ax －by |＜13.令x ＝0，y ＝1，得|b |＜13；令x ＝1，y ＝0，得|a |＜13；令x ＝y ＝1，得|1－a －b |＜13.又|1－a －b |≥1－|a |－|b |＞1－13－13＝13，这与上式矛盾．故假设不成立，原命题结论正确． 四、探究与拓展14．完成反证法证题的全过程．题目：设a 1，a 2，…，a 7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…·(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则________均为奇数．①因为7个奇数之和为奇数，故有(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)为________．②而(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝________.③②与③矛盾，故p 为偶数．答案 ①a 1－1，a 2－2，…，a 7－7 ②奇数 ③0解析 由假设p 为奇数可知，(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数，故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数相矛盾．15．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32. 证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12. 又a 1＋12＝32， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列． 所以a n ＋12＝3n 2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12. (2)由(1)知，1a n ＝23n －1， 因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＜32.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.。
反证法和放缩法学案
《反证法与放缩法》学案学习目标：1理解掌握反证法放缩法的基本原理和思路2会用上述方法证明一些简单的不等式学习重点：掌握反证法放缩法的基本原理和思路学习难点：用反证法放缩法证明一些简单的不等式基本知识1.反证法先假设要证明的命题不成立，以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确，从而间接说明原命题成立的方法。
2．放缩法在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小实现证明。
例如：要证b<c,只须寻找b 1使b<b 1且b 1≤c(放大)要证b>a,只须寻找b 2使b>b 2且b 2≥a(缩小)这种证明方法,我们称之为放缩法。
放缩法的依据就是传递性。
典例分析：例1已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0， 求证：a , b , c > 0例2. 例1、若a , b , c , d ∈R +，求证：例3．求证：213121112222<++++n21<+++++++++++<c a d d b d c c a c b b d b a a当堂达标1．用反证法证明：如果d c b a ,,,为实数，,1,1=+=+d c b a 且,1>+bd ac 则d c b a ,,,中至少有一个负数2．设1,=+y x ，y x 且为正数，用反证法证明9111122≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-y x3．用放缩法证明：n n 21211<+++4用放缩法证明：.,4,3,2,1131211121222 =-<++<+-n n n n n课堂小结：不等式证明的常用方法:比较法、综合法、分析法换元法、构造法、反证法、放缩法。
高中数学 专题 反证法与放缩法 学案
反证法与放缩法1．掌握反证法和放缩法的依据．2．会利用反证法和放缩法证明有关不等式．1．反证法先__________________，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)______的结论，以说明______不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理，否则，将出现循环论证的错误．【做一做1－1】 否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时，正确的假设为( ) A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数 【做一做1－2】 若要证明“a ，b 至少有一个为正数”，用反证法假设应为________________．2．放缩法证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值______或______，简化不等式，从而达到证明的目的．我们把这种方法称为放缩法．放缩法的常用技巧：舍去或加进一些代数式，放大或缩小分子或分母，运用重要不等式，利用函数的单调性、值域等．【做一做2】 A ＝1＋12＋13＋…＋1n与n (n ∈N ＋)的大小关系是________．答案：1．假设要证的命题不成立 矛盾 假设 【做一做1－1】 D【做一做1－2】 a ，b 全为非正数 2．放大 缩小【做一做2】 A ≥n A ＝11＋12＋13＋…＋1nn n n n+++共项…＝nn ＝n .1．反证法中的数学语言剖析：反证法适宜证明“存在性问题，唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法．下面我们对某些数学语言的否定假设要准确，以免造成原则性的错误，有时在使用反证法时，对假设的否定也可以举一定的特例 说明矛盾，尤其在一些选择题中，更是如此．2．放缩法的尺度把握等问题剖析：(1)放缩法的理论依据主要有： ①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较； ④基本不等式与绝对值不等式的基本性质； ⑤三角函数的值域等．(2)放缩法使用的主要方法：放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考查．常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：舍去或加上一些项：(a ＋12)2＋34＞(a ＋12)2；将分子或分母放大(缩小)： 1k 2＜1k k －，1k 2＞1k k ＋，1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1(k ∈R ，k ＞1)等．题型一 利用反证法证明不等式【例1】 若a 3＋b 3＝2，求证：a ＋b ≤2.分析：本题结论的反面比原结论更具体、更简洁，宜用反证法．反思：用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式：①与已知矛盾；②与假设矛盾；③与显然成立的事实相矛盾．【例2】 设二次函数f (x )＝x 2＋px ＋q ，求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.分析：当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法． 反思：(1)在证明中含有“至多”“至少”“最多”等词语时，常使用反证法证明． (2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．题型二 利用放缩法证明不等式【例3】 若n 是大于1的自然数，求证：112＋122＋132＋…＋1n2＜2.反思：(1)放缩法证明不等式主要是根据不等式的传递性进行交换，即欲证a ＞b ，可换成证a ＞c 且c ＞b ，欲证a ＜b ，可换成证a ＜c 且c ＜b .(2)放缩法原理简单，但技巧性较强且有时还会有“危险”，因为放大或缩小过头，就会得出错误的结论，而达不到预期的目的，因此，在使用放缩法时要注意放缩的“度”．题型三 易错辨析【例4】 已知实数x ，y ，z 不全为零．求证：x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2＞32(x ＋y ＋z )．错解：2(x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2)＞x 2＋xy ＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋yz ＋z 2＋z 2＋xz ＋xz ＋x 2＝x x ＋y ＋y x ＋y ＋y y ＋z ＋z y ＋z ＋z x ＋z ＋x x ＋z ＝(x ＋y )x ＋y ＋(y ＋z )y ＋z ＋(x ＋z )x ＋z 无法证出结论． 错因分析：出现放缩过大而达不到预想目的，造成这种现象的原因是对放缩法理解不透或没掌握好放缩技巧．答案：【例1】 证法一：假设a ＋b ＞2，而a 2－ab ＋b 2＝(a －12b )2＋34b 2≥0，但取等号的条件为a ＝b ＝0，显然不可能，∴a 2－ab ＋b 2＞0.则a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞2(a 2－ab ＋b 2)，而a 3＋b 3＝2，故a 2－ab ＋b 2＜1.∴1＋ab ＞a 2＋b 2≥2ab .从而ab ＜1. ∴a 2＋b 2＜1＋ab ＜2.∴(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＜2＋2ab ＜4.而由假设a ＋b ＞2，得(a ＋b )2＞4，出现矛盾，故假设不成立，原结论成立，即a ＋b ≤2.证法二：假设a ＋b ＞2，则a ＞2－b ，故2＝a 3＋b 3＞(2－b )3＋b 3，即2＞8－12b ＋6b 2，即(b －1)2＜0，这不可能，从而a ＋b ≤2.证法三：假设a ＋b ＞2，则(a ＋b )3＝a 3＋b 3＋3ab (a ＋b )＞8.由a 3＋b 3＝2，得3ab (a ＋b )＞6.故ab (a ＋b )＞2.又a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝2.∴ab (a ＋b )＞(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)． ∴a 2－ab ＋b 2＜ab ，即(a －b )2＜0. 这不可能，故a ＋b ≤2.【例2】 证明：假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2.①另一方面，由绝对值不等式的性质，有|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥|f (1)－2f (2)＋f (3)| ＝|(1＋p ＋q )－2(4＋2p ＋q )＋(9＋3p ＋q )|＝2.②①②两式的结果矛盾，所以假设不成立，原 的结论正确，即|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.【例3】 证明：∵1k 2＜1kk －＝1k －1－1k，k ＝2,3，4，…，n ，∴112＋122＋132＋…＋1n 2 ＜11＋11×2＋12×3＋…＋1n －n＝11＋(11－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n ) ＝2－1n＜2.【例4】 正解：x 2＋xy ＋y 2＝x ＋y 22＋34y 2 ≥x ＋y 22＝|x ＋y2|≥x ＋y2.同理可得：y 2＋yz ＋z 2≥y ＋z2，z 2＋zx ＋x 2≥z ＋x2，由于x ，y ，z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式累加得：x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2＞(x ＋y 2)＋(y ＋z 2)＋(z ＋x 2)＝32(x ＋y ＋z )．1．实数a ，b ，c 不全为0的等价条件为( )A ．a ，b ，c 均不为0B ．a ，b ，c 中至多有一个为0C ．a ，b ，c 中至少有一个为0D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0 2．lg9·lg11与1的大小关系是__________．3．若|a |＜1，|b |＜1，求证：||1a bab++＜1. 4．若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＞c ，求证：11a b a b +++＞1c c+.答案：1．D2．lg9·lg11＜1 ∵lg9＞0，lg11＞0，＜lg 9lg112+＝lg 992＜lg1002＝1.∴lg9·lg11＜1.3．分析：本题由已知条件不易入手证明，而结论也不易变形，即直接证明有困难，因而可联想反证法．证明：假设||1a bab++≥1，则|a ＋b |≥|1＋ab |， ∴a 2＋b 2＋2ab ≥1＋2ab ＋a 2b 2. ∴a 2＋b 2－a 2b 2－1≥0. ∴a 2－1－b 2(a 2－1)≥0.∴(a 2－1)(1－b 2)≥0.∴2210,10a b ⎧-≥⎪⎨-≥⎪⎩或220,10,a b ⎧-≤⎪⎨-≤⎪⎩即221,1a b ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩或221,1.a b ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩与已知矛盾，∴||1a bab++＜1. 4．证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，a ＋b ＞c ， ∴1a a +＋1b b +＞1a a b ++＋1b a b ++＝1a b a b +++＝()1()c a b c c a b c ++-+++-＞1c c +， ∴1a a +＋1b b +＞1c c+.。
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《不等式的的证明(3)——反证法与放缩法》导学案 学习目标： 1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法;
2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式
一、复习引入
1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)．
20. 综合法和分析法．
30. 反证法、换元法、放缩法
2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,
通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法.
用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒
3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,
直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等), 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.
这是一种执 索 的思考和证明方法.
二、合作、探究、展示
1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有哪几个步骤？
例1、（1）已知1,0,2,,2y x y x y x
+>+>1+x 且试证：中至少有一个小于y （2）已知a + b + c > 0，a b + bc + c a > 0，a bc > 0，求证：a , b , c > 0 .
2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性.
常用的换元有三角换元有：
10
．已知2
22a y x =+，可设 ， ； 20．已知122≤+y x ，可设 ， (10≤≤r )；
30．已知122
22=+b y a x ，可设 ， . 例2 设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是（ ）
.A 1,)+∞ .B (1]-∞ .C 1,)+∞ .D (1]-∞
例3 已知221x y +=，求证：y ax ≤-≤
3. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小
由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度.
常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：a a >+12，n n n >+)1(，
②将分子或分母放大（或缩小）如：2111(1)(1)
n n n n n <<+- ③应用“糖水不等式”：“若0a b <<，0m >，则a a m b b m +<+”
④利用基本不等式，如：2lg3lg5()lg4⋅<=<=； ⑤利用函数的单调性 ⑥利用函数的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈； ⑦绝对值不等式：a b -≤a b ±≤a b +；
⑧利用常用结论：如：
2
=>=()*
,1k N k ∈>，
2
=()*,1k N k ∈> ⑨应用贝努利不等式：2(1)(1)11.12n n n n x nx x x nx -+=++++>+⨯
(1)x >- 例4 当 n > 2 时，求证：(1)log (1)log n n n n +-<
例5求证：.332113*********<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯+
+n
例6 若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<
c
a d d
b d
c c a c b b
d b a a
三、课后练习 1、设二次函数q px x x f ++=2)(，求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于21.
2、设0 < a , b , c < 1，求证：(1 - a )b , (1 - b )c , (1 - c )a ,不可能同时大于
41
3、已知 1≤22x y +≤2，求证：
12
≤22x xy y -+≤3
4、设2()13f x x x =-+，1x a -<，求证：()()()21f x f a a -<+；
5、求证
.111b b a a b a b a +++≤+++
6、设n 为大于1的自然数，求证
.2121312111>+++++++n n n n
7、求证：（1）223111112212n n n
-<++⋅⋅⋅+<-+(n ≥2)
（2）21
<<()*n N ∈。