§5.2 方阵的特征值与特征向量
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特征多项式
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铃
❖特征值与特征向量
设A是n阶矩阵 如果数和n维非零向量x使关系式 Axx
成立 那么 这样的数称为方阵A的特征值 非零向量x称为A 的对应于特征值的特征向量
❖特征多项式与特征方程
设A为n阶方阵 则称的n次多项式f()|AE|为方阵A的 特征多项式 称|AE|0为方阵A的特征方程
成立 那么 这样的数称为方阵A的特征值 非零向量x称为A 的对应于特征值的特征向量
❖特征多项式与特征方程
设A为n阶方阵 则称的n次多项式f()|AE|为方阵A的 特征多项式 称|AE|0为方阵A的特征方程
提示
Axx(AE)x0
齐次方程(AE)x0有非零解|AE|0
所以kp1(k0)是对应于12的全部特征向量 对于231 解方程(AE)x0 得基础解系p2(121)T
所以kp2(k0)是对应于231的全部特征向量
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铃
例3
求矩阵
A
2 0
4
1 2 1
031的特征值和特征向量
解 A的特征多项式为
2 1 1 | AE | 0 2 0 ( 1)( 2)2
4 1 3
所以A的特征值为11 232 对于11 解方程(AE)x0 得基础解系p1(1 0 1)T
所以对应于11的全部特征向量为kp1(k0) 对于232 解方程(A2E)x0 得基础解系
提示
特征方程|AE|0的根就是矩阵A的特征值 齐次方程
(AE)x0的非零解x就是A的对应于特征值的特征向量
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铃
❖特征值与特征向量
方阵的特征值和特征向量
证明 多项式根与系数的关系.
5
三、特征值与特征向量的求法
Step 1 ：计算 A 的特征多项式，求出特征方程的
所有根. 设矩阵 A 有 s 个不同的特征值
1 , 2 , …, s .
Step 2 : 对 A 的每个特征值 i ( i = 1, 2, …,s ),
求解齐次线性方程组 (A i E ) x = 0，
1/ 2 解之得基础解系为 p1 1 , 1
所以 k1 p1 是对应于1 2 的全部特征向量;
13
当 2 1 时, 解方程组 ( A E ) x 0 ,
2 2 0 1 2 0 x1 2 0 2 x2 0, A 2 1 2 0 2 0 0 2 1 x 3 1 解之得基础解系为 p2 1 / 2 , 1
所以，A 的特征值为 1 2 , 2 1 , 3 4.
12
当 1 2 时, 解方程组 ( A 2 E ) x 0 ,
2 2 0 4 2 0 x1 2 3 2 x2 0, A 2 1 2 0 2 0 0 2 2 x 3
0 1 1 A 1 0 1 1 1 0
所以 k1 p1 是对应于 1 2 的全部特征向量;
8
当 2 3 1 时, 解方程组 ( A E ) x 0 ,
1 1 1 x1 1 1 1 x2 0, 1 1 1 x 3
所以 k1 p1 是对应于1 2 3 1 的全部特征向量.
11
2 2 0 例 9 A 2 1 2 , 求 A 的特征值与特征向量. 0 2 0
矩阵的特征值与特征向量专题讲解
矩阵的特征值与特征向量专题讲解一、内容提要一、矩阵的特征值和特征向量 1、基本概念设A 为n 阶方阵，若存在数λ和n 为非零向量0,a ≠使Aa a λ=，则称λ是A 的特征值，a 是属于λ的特征向量；矩阵E A λ-称为A 的特征矩阵；E A λ-是λ的n 次多项式，称为A 的特征多项式；E A λ-=0称为A 的特征方程；2、特征值、特征向量的求法（1）计算A 的特征值，即解特征方程E A λ-=0；（2）对每一个特征值0λ，求出相应的齐次线性方程组()00E A X λ-= 一个基础解系123,ξξξ，，...,则属于0λ的全部特征向量为11...s s k k ξξ++，其中1,...,s k k 为不全为零的任意常数； 3、特征值、特征向量的性质（1）A 与T A 的特征值相同（但特征向量一般不同）；（2）属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量； （3）属于不同特征值的特征向量线性无关；（4）设()0Aa a a λ=≠，则(),,m kA A P A 的特征值分别为(),,m k P λλλ，其中()P x 为任一多项式，而a 仍为相应的特征向量；（5）若A 可逆，()0Aa a a λ=≠，则1λ是1A -的特征值；A λ是*A 的特征值，a 仍为相应的特征向量；（6）设12n λλλ，，...是n 阶方阵的特征值，则有()11n ni ii i i a tr A λ====∑∑（迹）；1nii A λ==∏;推论：A 可逆当且仅当A 的特征值全不为零；（7）若A 为实对称阵，则A 的所有特征值均为实数，且属于不同特征值的特征向量彼此正交。
二、相似矩阵 1、定义设,A B 为n 阶方阵，若存在n 阶可逆阵P ，使1P AP B -=,称A 与B 相似，记为A ～B ； ２、A ～B 的性质T T A B ,,,M M kA kB A B ～～～()(),P A P B ～其中P 为任一多项式；()(),,,r A r B A B E A E B λλ==-=-⇒特征值相同，()()tr A tr B =；若A 可逆，则B 也可逆，且11A B --～。
线性代数第五章 方阵的特征值和特征向量
评 注 n 阶方阵有 n 个线性无关的特征向量才可对角化的证明过程如下：
Q
A
(α1
,α
2
L
,
α
n
)
=
(
λ1α1,
λ2α
2
,L,
λnα
n
)
=
[α1
,L,α
n
]
λ1
O
0
=
[α1 ,L ,α n
]
Λ
0
λn
⇔ [α1，L，αn ]−1 A(α1,L,αn ) = Λ （[α1，L，αn ]−1 存在要求α1，L，αn 线性无关）
A−1
→
1 λ
A∗
→
A λ
2．特征向量 ξ
2.1 性 质： 首先它要求是一个非零的列向量，其次它是和某个特征值对应的，不能孤立存在，但反
过来，一个重根特征值却可以对应多个线性无关的特征向量，但重根特征值对应线性无关的 特征向量的个数不一定与重根特征值的重数相等，但对实对称矩阵一定相等，所以，实对称 矩阵有多少个特征值（包括重根的重数）就一定有多少个线性无关的特征向量。
0
1 0 0
评
注
ξ1
=
0 0
,
ξ2 = 10 ,
ξ3
=
10
⇒
正是三阶单位矩阵
E3 =
0 0
1 0
01 的三个列 (或行)向量，
1 0 0
这就是为什么在求形如
0 0
0 0
0 0
基础解系时，用
E
的列向量依次填补后面坐标分量的原因。
方阵的特征值与特征向量
证明 则
∵ (λE − A)Τ = λE − AΤ
λE − A = (λE − A)
Τ Τ
= λE− A
得到 A 与 AT 有相同的特征多项式， 则它们的特征值相同。
21
性质2 实对称矩阵的不同 不同特征值的特征向量相互正交 正交。 不同 正交
P 即设 λ1, λ2 是实对称矩阵A的两个不同的特征值， 1, P2
( 2)
x1, x2 ,⋯, xn 是齐次方程（3）的非零解。
因为X为非零向量， 则（3）有非零解
⇔ λE − A = 0
(4)
6
设 p1, p2 ,⋯, ps 是方阵 A的对应于特征值 λ 定理1 定理1 的线性无关的特征向量,则
k1 p1 + k2 p2 +⋯+ ks ps (k1, k2 ,⋯, ks 是不全为零的常数.)
列向量 X , 使方程 AX = λX
(1)
λX − AX =θ 即 (λE − A) X =θ ( 2) , （2）式说明特征向量 X 的坐标 x1, x2 ,⋯ xn 是齐次 特征向量
非零解。 方程（2）的非零解 非零解
5
（1）式也可写成 即
λX − AX =θ
(λE − A) X =θ
(λ − a11)x1 − a12x2 +⋯− a1n xn = 0 − a x + (λ − a )x +⋯− a x = 0 21 1 22 2 2n n (3) ⋯ ⋯ ⋯ − an1x1 − an2 x2 +⋯+ (λ − ann )xn = 0
−1 k2 p2 = k2 −1 1
x3 = k2
(k2任意实数）
方阵的特征值与特征向量
4
19
第19页/共27页
练习题3: P143 判断下列命题是否正确．
(1) 如果 i 是方阵 A 的特征值，则 i 对应的特征
向量构成的集合 N(i E A) {x | (i E A)x 0};
(错)
(2) 方阵 A 的任何一个特征值一定对应无穷多个特征向量;
(对)
(3) 由于方阵 A 和 AT有一样的特征值, 故他们也有一样的
再由Ax x可得
x A1 Ax A1 x A1x
A1 x 1 x 故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1
的特征向量.
16
第16页/共27页
下证： Ax A x.
当A可逆时, 即 A 0时,
由 12 n A，知 0， 再由Ax x可得
A x A Ix AAx Ax A x
分别对应于 k , m , 1, 1 A 的特征向量。
14
第14页/共27页
证明 2 Ax x
AAx Ax Ax x A2 x 2 x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x m x 故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
征向量.
15
第15页/共27页
3当A可逆时, 由 12 n A，知 0，
1 1 1
2.
设A
2 1
2 1
21
求 A 的特征值与特征向量.
26
第26页/共27页
感谢您的欣赏
27
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11
第11页/共27页
当 2 3 1 时，齐次线性方程组为 A E x 0
2 1 0 1 0 1
A
E
4 1
2 0
0 1
19
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练习题3: P143 判断下列命题是否正确．
(1) 如果 i 是方阵 A 的特征值，则 i 对应的特征
向量构成的集合 N(i E A) {x | (i E A)x 0};
(错)
(2) 方阵 A 的任何一个特征值一定对应无穷多个特征向量;
(对)
(3) 由于方阵 A 和 AT有一样的特征值, 故他们也有一样的
再由Ax x可得
x A1 Ax A1 x A1x
A1 x 1 x 故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1
的特征向量.
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下证： Ax A x.
当A可逆时, 即 A 0时,
由 12 n A，知 0， 再由Ax x可得
A x A Ix AAx Ax A x
分别对应于 k , m , 1, 1 A 的特征向量。
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证明 2 Ax x
AAx Ax Ax x A2 x 2 x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x m x 故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
征向量.
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3当A可逆时, 由 12 n A，知 0，
1 1 1
2.
设A
2 1
2 1
21
求 A 的特征值与特征向量.
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感谢您的欣赏
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11
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当 2 3 1 时，齐次线性方程组为 A E x 0
2 1 0 1 0 1
A
E
4 1
2 0
0 1
线性代数167;5.2
依此递推得, m是矩阵Am的特征值(m为正整数)， 且x是矩阵Am的属于特征值m的特征向量.
一般地: 若是矩阵A的特征值, 则()是矩阵多项 式(A)的特征值, 其中
()=a0+a1+···+amm, (A)=a0E+a1A+···+amAm.
事实上，( A)x (a0E a1A am Am )x
k2 p2 + k3 p3 (k2, k3不同时为零).
本例中特征值有二重根，有 三个线性无关的特征向量.
例4（结论）：对角矩阵或上（下）三角矩阵A的特 征值就是矩阵A的 n 个主对角元. 因为
a11
0
| A E |
a22
0
0
(a11 )(a22 ) (ann )
ann
~
0 0
1 0
1 0
,
1
得基础解系
p1
1 1
.
故对应特征值1= –5的所有特征向量为kp1(k0).
当2=3=1时, 解方程组( A–E )x = 0. 由 得基础解系
2 2 2 1 1 1
1
1
A
E
2 2
2 2
2 2
~
0 0
0 0
0 0
,
p2
01
,
p3
0 1
,
故对应特征值2=3=1的所有特征向量为
i aii
i 1
i 1
i 1
2: 若是矩阵A的特征值, x是A的属于的
特征向量，则
(1) k是矩阵kA的特征值(k为任意实数);
(2) (3)
m是矩阵Am的特征值(m为正整数); 当A可逆时, 则-1是逆矩阵A-1的特征值；
一般地: 若是矩阵A的特征值, 则()是矩阵多项 式(A)的特征值, 其中
()=a0+a1+···+amm, (A)=a0E+a1A+···+amAm.
事实上，( A)x (a0E a1A am Am )x
k2 p2 + k3 p3 (k2, k3不同时为零).
本例中特征值有二重根，有 三个线性无关的特征向量.
例4（结论）：对角矩阵或上（下）三角矩阵A的特 征值就是矩阵A的 n 个主对角元. 因为
a11
0
| A E |
a22
0
0
(a11 )(a22 ) (ann )
ann
~
0 0
1 0
1 0
,
1
得基础解系
p1
1 1
.
故对应特征值1= –5的所有特征向量为kp1(k0).
当2=3=1时, 解方程组( A–E )x = 0. 由 得基础解系
2 2 2 1 1 1
1
1
A
E
2 2
2 2
2 2
~
0 0
0 0
0 0
,
p2
01
,
p3
0 1
,
故对应特征值2=3=1的所有特征向量为
i aii
i 1
i 1
i 1
2: 若是矩阵A的特征值, x是A的属于的
特征向量，则
(1) k是矩阵kA的特征值(k为任意实数);
(2) (3)
m是矩阵Am的特征值(m为正整数); 当A可逆时, 则-1是逆矩阵A-1的特征值；
方阵的特征值和特征向量
的特征向量, 即有
则 l1 p l2 p 即 (l1 l2 ) p 0 由于 l1 l2 0, 则 p 0, 而这是不可能的.
4. 矩阵 A 和 AT 的特征值相同.
证明: 因为 AT l E AT (l E)T ( A l E)T
所以 AT lE ( A lE)T A lE
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓ l1 l2 … ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组(A−lE) x = 0
的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大
1 3 l
所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ． 当 l2 = 4 时， 对应的特征向量应满足方程组( A 4E)x 0
34
1
1 34
x1 x2
0 0
1 1
1 1
x1 x2
Ax = l x = lE x <=> Ax - lE x = 0 非零向量 x 满足 (A−lE) x = 0（零向量）
齐次线性方程组有非零解
系数行列式 | A−lE | = 0
特 征 方 程
特
a11 l a12 L
征 多
|
A l E |
项
a21 M
a22 l L
M
式
an1
an2 L
的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大
则 l1 p l2 p 即 (l1 l2 ) p 0 由于 l1 l2 0, 则 p 0, 而这是不可能的.
4. 矩阵 A 和 AT 的特征值相同.
证明: 因为 AT l E AT (l E)T ( A l E)T
所以 AT lE ( A lE)T A lE
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓ l1 l2 … ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组(A−lE) x = 0
的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大
1 3 l
所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ． 当 l2 = 4 时， 对应的特征向量应满足方程组( A 4E)x 0
34
1
1 34
x1 x2
0 0
1 1
1 1
x1 x2
Ax = l x = lE x <=> Ax - lE x = 0 非零向量 x 满足 (A−lE) x = 0（零向量）
齐次线性方程组有非零解
系数行列式 | A−lE | = 0
特 征 方 程
特
a11 l a12 L
征 多
|
A l E |
项
a21 M
a22 l L
M
式
an1
an2 L
的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大
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依此递推得, λm是矩阵Am的特征值(m为正整数). 由此我们还证明了: 若x是A的属于特征值λ的特 征向量, 则x也是矩阵Am的属于特征值λm的特征向量.
第五章 相似矩阵及二次型
China Institute of Industrial Relations
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线性代数
还可以类推: 若λ是矩阵A的特征值, 则ϕ(λ)是矩 阵多项式ϕ(A)的特征值, 其中
当λ2=λ3=1时, 解方程组( A–E )x = 0. 由
A
−
E
=
⎜⎛ ⎜⎝
− −
2 4 1
1 2 0
001⎠⎞⎟⎟
~
⎜⎛ ⎜⎝
1 0 0
0 1 0
1 2 0
⎟⎟⎠⎞,
得基础解系
p2
=
⎜⎛ ⎜⎝
− −
211⎟⎟⎠⎞.
故对应特征值λ2=λ3=1的所有特征向量为kp2(k≠0).
第五章 相似矩阵及二次型
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解得 x1=x2, 故特征值λ1=2对应的特征向量为(:c≠x=0)c.⎜⎝⎛11⎠⎞⎟, 当 λ1 = 4 时, 对应的特征向量应满足:
⎜⎝⎛
3−4 −1
3−−14⎟⎠⎞⎜⎝⎛
x1 x2
⎠⎞⎟
=
⎜⎝⎛
00⎟⎠⎞,
即
⎩⎨⎧
x1 x1
+ +
x2 x2
= =
0 0
解得x1=-x2, 故特征值λ2=4对应的特征向量为:(xc=≠c0)⎜⎝⎛.−11⎠⎞⎟,
−4 1 3−λ
所以A的特征值为: λ1= –1, λ2=λ3= 2.
当λ1=–1时, 解方程组( A+E )x = 0. 由
A
+
E
=
⎜⎛ ⎜⎝
− −
1 0 4
1 3 1
401⎟⎟⎠⎞
~
⎜⎛ ⎜⎝
1 0 0
0 1 0
− 001⎟⎟⎠⎞,
得基础解系
p1
=
⎜⎛ ⎜⎝
1 0 1
⎟⎟⎠⎞.
第五章 相似矩阵及二次型
= | A−λE |
= f−1 n−1
+L
+
a1λ
+
a0 .
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三、小结
线性代数
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1.计算的特征多项式| A–λE | ; 2. 求特征方程| A–λE | = 0的全部根λ1, λ2, ···, λn, 也
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线性代数
例4: 证明: 若λ是矩阵A的特征值, 则
(1) λm是矩阵Am的特征值(m为正整数);
(2) 当A可逆时, 则λ-1是逆阵A-1的特征值.
证明(1): 由于λ是矩阵A的特征值, 设x是A的属于 特征值λ的特征向量, 则 Ax=λx. 所以, A2x = A(Ax) = A(λx) = λ(Ax) = λ2x. 即, λ2是矩阵A2的特征值.
(2) λ1 λ2 ··· λn = | A |.
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线性代数
例1:
求
⎜⎝⎛
−
3 1
− 31⎟⎠⎞ 的特征值和特征向量.
解: Α的特征多项式为:
3−λ
−1
−1
3−λ
= (3–λ)2 –1 = 8 – 6λ + λ2 = (4 – λ)(2 – λ)
(k=0, 1, 2, ···, m–1)
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把上面m个向量方程合写成矩阵形式, 得
(
x1p1,
x2p2,
···,
xmpm
)
⎜⎛ ⎜ ⎜⎜⎝
1
1 M 1
λ1
λ2
M
λm
L L L
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例5: 设n阶方阵A的特征多项式为
f A (λ ) =| A − λE |= λn + an−1λn−1 + L + a1λ + a0 ,
求AT的特征多项式.
解: fAT (λ) = | AT − λE | =| (AT −λE)T |
a21 L
a22 − λ L
L
a2n L
=0
an1
an2 L ann − λ
称以λ为未知数的一元n次方程| A–λE | = 0为方阵
A的特征方程.
记f(λ) = | A–λE |, 它是λ的n次多项式, 称其为方阵
A的特征多项式.
n 次代数方程有 n 个根(复根和实根, 重根按重数
计算).
说明4: 设n阶方阵A=(aij)的特征值为λ1, λ2, ···, λn, 则有: (1) λ1 + λ2 + ··· + λn = a11 + a22 + ··· + ann;
所以, 该方阵A的特征值为: λ1 = 2, λ2 = 4.
当 λ1 = 2 时, 对应的特征向量应满足:
⎜⎝⎛
3−2 −1
−1 3−2
⎟⎠⎞⎜⎝⎛
x1 x2
⎠⎞⎟
=
⎜⎝⎛
00⎟⎠⎞,
即
⎩⎨⎧−
x1 x1
− +
x2 x2
= =
0 0
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二、特征值和特征向量的性质
线性代数
定理2: 设p1, p2, ···, pm是方阵A的分别对应于m个
互不相等的特征值λ1, λ2, ···, λm的m个特征向量, 则p1,
p2, ···, pm线性无关.
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第五章
线性代数
第五章 相似矩阵及二次型
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线性代数
§5.2 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念 二、特征值和特征向量的性质 三、小结 思考题
第五章 相似矩阵及二次型
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− −
1 4 1
1 3 0
200⎟⎟⎠⎞ 的特征值和特征向量.
解: 矩阵A的特征多项式为:
−1−λ 1 0
| A–λE | = − 4 3 − λ 0 = (2–λ)(1–λ)2,
1
0 2−λ
所以A的特征值为: λ1=2, λ2=λ3=1. 当λ1=2时, 解方程组( A–2E )x = 0. 由
A
4 0 0
1 0 0
001⎟⎟⎠⎞,
得基础解系
p2
=
⎜⎛ ⎜⎝
−
011 ⎠⎞⎟⎟ ,
p3
=
⎜⎛ ⎜⎝
1 0 4
⎟⎞ ⎟⎠
,
故对应特征值λ2=λ3=2的所有特征向量为
k2 p2 + k3 p3 (k2, k3不同时为零).
第五章 相似矩阵及二次型
China Institute of Industrial Relations
因为, 如果设向量x同时是A的属于不同特征值的
λ1, λ2 (λ1≠λ2)的特征向量, 即有 Ax = λ1x, Ax = λ2x,
则有, λ1x = λ2x. 即( λ1 – λ2 ) x = 0. 由于( λ1 – λ2 ) ≠ 0,
则 x = 0, 这与x是特征向量矛盾.
第五章 相似矩阵及二次型
−
2E
=
⎜⎛ ⎜⎝
− −
3 4 1
1 1 0
000⎟⎟⎠⎞
~
⎜⎜⎝⎛
1 0 0
0 1 0
000⎟⎟⎠⎞,
第五章 相似矩阵及二次型
China Institute of Industrial Relations
中国劳动关系学院
线性代数
得基础解系
p1
=
⎜⎛ ⎜⎝
0 0 1
⎟⎟⎠⎞.
故对应特征值λ1=2的所有特征向量为 kp1 (k≠0).
由于特征方程| A–λE | = 0, 故齐次方程组(A–λE)x = 0
有非零解. 因此, 求出特征值λi 对应的基础解系即可求出
所有特征向量.
第五章 相似矩阵及二次型
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线性代数
例2:
求矩阵A
=
⎜⎛ ⎜⎝
λ1m−1
λm2 −1
M
λmm−1
⎟⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
=
(0,
0,
···
,0)
上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列
式, 当λ1, λ2, ···, λm各不相等时, 该行列式不等于0, 从而
该矩阵可逆. 于是有
( x1p1, x2p2, ···, xmpm ) = (0, 0, ··· ,0)
第五章 相似矩阵及二次型
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线性代数
还可以类推: 若λ是矩阵A的特征值, 则ϕ(λ)是矩 阵多项式ϕ(A)的特征值, 其中
当λ2=λ3=1时, 解方程组( A–E )x = 0. 由
A
−
E
=
⎜⎛ ⎜⎝
− −
2 4 1
1 2 0
001⎠⎞⎟⎟
~
⎜⎛ ⎜⎝
1 0 0
0 1 0
1 2 0
⎟⎟⎠⎞,
得基础解系
p2
=
⎜⎛ ⎜⎝
− −
211⎟⎟⎠⎞.
故对应特征值λ2=λ3=1的所有特征向量为kp2(k≠0).
第五章 相似矩阵及二次型
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线性代数
解得 x1=x2, 故特征值λ1=2对应的特征向量为(:c≠x=0)c.⎜⎝⎛11⎠⎞⎟, 当 λ1 = 4 时, 对应的特征向量应满足:
⎜⎝⎛
3−4 −1
3−−14⎟⎠⎞⎜⎝⎛
x1 x2
⎠⎞⎟
=
⎜⎝⎛
00⎟⎠⎞,
即
⎩⎨⎧
x1 x1
+ +
x2 x2
= =
0 0
解得x1=-x2, 故特征值λ2=4对应的特征向量为:(xc=≠c0)⎜⎝⎛.−11⎠⎞⎟,
−4 1 3−λ
所以A的特征值为: λ1= –1, λ2=λ3= 2.
当λ1=–1时, 解方程组( A+E )x = 0. 由
A
+
E
=
⎜⎛ ⎜⎝
− −
1 0 4
1 3 1
401⎟⎟⎠⎞
~
⎜⎛ ⎜⎝
1 0 0
0 1 0
− 001⎟⎟⎠⎞,
得基础解系
p1
=
⎜⎛ ⎜⎝
1 0 1
⎟⎟⎠⎞.
第五章 相似矩阵及二次型
= | A−λE |
= f−1 n−1
+L
+
a1λ
+
a0 .
第五章 相似矩阵及二次型
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三、小结
线性代数
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1.计算的特征多项式| A–λE | ; 2. 求特征方程| A–λE | = 0的全部根λ1, λ2, ···, λn, 也
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线性代数
例4: 证明: 若λ是矩阵A的特征值, 则
(1) λm是矩阵Am的特征值(m为正整数);
(2) 当A可逆时, 则λ-1是逆阵A-1的特征值.
证明(1): 由于λ是矩阵A的特征值, 设x是A的属于 特征值λ的特征向量, 则 Ax=λx. 所以, A2x = A(Ax) = A(λx) = λ(Ax) = λ2x. 即, λ2是矩阵A2的特征值.
(2) λ1 λ2 ··· λn = | A |.
第五章 相似矩阵及二次型
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线性代数
例1:
求
⎜⎝⎛
−
3 1
− 31⎟⎠⎞ 的特征值和特征向量.
解: Α的特征多项式为:
3−λ
−1
−1
3−λ
= (3–λ)2 –1 = 8 – 6λ + λ2 = (4 – λ)(2 – λ)
(k=0, 1, 2, ···, m–1)
第五章 相似矩阵及二次型
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线性代数
把上面m个向量方程合写成矩阵形式, 得
(
x1p1,
x2p2,
···,
xmpm
)
⎜⎛ ⎜ ⎜⎜⎝
1
1 M 1
λ1
λ2
M
λm
L L L
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线性代数
例5: 设n阶方阵A的特征多项式为
f A (λ ) =| A − λE |= λn + an−1λn−1 + L + a1λ + a0 ,
求AT的特征多项式.
解: fAT (λ) = | AT − λE | =| (AT −λE)T |
a21 L
a22 − λ L
L
a2n L
=0
an1
an2 L ann − λ
称以λ为未知数的一元n次方程| A–λE | = 0为方阵
A的特征方程.
记f(λ) = | A–λE |, 它是λ的n次多项式, 称其为方阵
A的特征多项式.
n 次代数方程有 n 个根(复根和实根, 重根按重数
计算).
说明4: 设n阶方阵A=(aij)的特征值为λ1, λ2, ···, λn, 则有: (1) λ1 + λ2 + ··· + λn = a11 + a22 + ··· + ann;
所以, 该方阵A的特征值为: λ1 = 2, λ2 = 4.
当 λ1 = 2 时, 对应的特征向量应满足:
⎜⎝⎛
3−2 −1
−1 3−2
⎟⎠⎞⎜⎝⎛
x1 x2
⎠⎞⎟
=
⎜⎝⎛
00⎟⎠⎞,
即
⎩⎨⎧−
x1 x1
− +
x2 x2
= =
0 0
第五章 相似矩阵及二次型
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二、特征值和特征向量的性质
线性代数
定理2: 设p1, p2, ···, pm是方阵A的分别对应于m个
互不相等的特征值λ1, λ2, ···, λm的m个特征向量, 则p1,
p2, ···, pm线性无关.
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第五章
线性代数
第五章 相似矩阵及二次型
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线性代数
§5.2 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念 二、特征值和特征向量的性质 三、小结 思考题
第五章 相似矩阵及二次型
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− −
1 4 1
1 3 0
200⎟⎟⎠⎞ 的特征值和特征向量.
解: 矩阵A的特征多项式为:
−1−λ 1 0
| A–λE | = − 4 3 − λ 0 = (2–λ)(1–λ)2,
1
0 2−λ
所以A的特征值为: λ1=2, λ2=λ3=1. 当λ1=2时, 解方程组( A–2E )x = 0. 由
A
4 0 0
1 0 0
001⎟⎟⎠⎞,
得基础解系
p2
=
⎜⎛ ⎜⎝
−
011 ⎠⎞⎟⎟ ,
p3
=
⎜⎛ ⎜⎝
1 0 4
⎟⎞ ⎟⎠
,
故对应特征值λ2=λ3=2的所有特征向量为
k2 p2 + k3 p3 (k2, k3不同时为零).
第五章 相似矩阵及二次型
China Institute of Industrial Relations
因为, 如果设向量x同时是A的属于不同特征值的
λ1, λ2 (λ1≠λ2)的特征向量, 即有 Ax = λ1x, Ax = λ2x,
则有, λ1x = λ2x. 即( λ1 – λ2 ) x = 0. 由于( λ1 – λ2 ) ≠ 0,
则 x = 0, 这与x是特征向量矛盾.
第五章 相似矩阵及二次型
−
2E
=
⎜⎛ ⎜⎝
− −
3 4 1
1 1 0
000⎟⎟⎠⎞
~
⎜⎜⎝⎛
1 0 0
0 1 0
000⎟⎟⎠⎞,
第五章 相似矩阵及二次型
China Institute of Industrial Relations
中国劳动关系学院
线性代数
得基础解系
p1
=
⎜⎛ ⎜⎝
0 0 1
⎟⎟⎠⎞.
故对应特征值λ1=2的所有特征向量为 kp1 (k≠0).
由于特征方程| A–λE | = 0, 故齐次方程组(A–λE)x = 0
有非零解. 因此, 求出特征值λi 对应的基础解系即可求出
所有特征向量.
第五章 相似矩阵及二次型
China Institute of Industrial Relations
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线性代数
例2:
求矩阵A
=
⎜⎛ ⎜⎝
λ1m−1
λm2 −1
M
λmm−1
⎟⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
=
(0,
0,
···
,0)
上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列
式, 当λ1, λ2, ···, λm各不相等时, 该行列式不等于0, 从而
该矩阵可逆. 于是有
( x1p1, x2p2, ···, xmpm ) = (0, 0, ··· ,0)