函 数 解 析 式 的 七 种 求 法
求函数解析式的基本方法
求函数解析式的基本方法求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。
本文给出求函数解析式的基本方法，供广大师生参考。
一、定义法根据函数的定义求其解析式的方法。
例1. 已知x 2x )1x (f +=+，求)x (f 。
解：因为)1x (1x )x (f ,11x ,1]1)x [(x 2x )1x (f 22≥-=≥+-+=+=+所以二、换元法已知)x (g ),x (f )]x (g [f 把求看成一个整体t ，进行换元，从而求出)x (f 的方法。
例2. 同例1。
解：令2)1t (x ,1t x ,1t ,t 1x -=-=≥=+则，所以)1t (1t )1t (2)1t ()t (f 22≥-=-+-=，所以)1x (1x )x (f 2≥-=。
评注：利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即)x (f 的定义域。
三、方程组法根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。
例3. 已知定义在R 上的函数)x (f 满足1x )x (f 2)x (f +=+-，求)x (f 的解析式。
解：1x )x (f 2)x (f +=+- ， ①1x )x (f 2)x (f +-=-+∴② ②①-⨯2得1x 3)x (f 3+=， 所以31x )x (f +=。
评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。
四、特殊化法通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。
例 4. 已知函数)x (f 的定义域为R ，并对一切实数x ，y 都有)1y 2x (x )y (f 3)x (f )y x (f 2++++=-，求)x (f 的解析式。
解：令x x )0(f 3)x (f )x (f 20y 2+++==得， 令)0(f 3)0(f )0(f 20y x +===得，所以0)0(f =，所以)R x (x x )x (f 2∈+=五、待定系数法已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。
函数解析式求法总结及练习题
2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b=+=++=++函 数 解 析 式 的 七 种 求 法一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法．它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。
其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。
例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ． 解：设b ax x f +=)()0(≠a ，则 ∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ， ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 ． 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 ．二、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域．例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式． 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x ， 2)(2-=∴x x f )2(≥x ． 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式．用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。
它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。
例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ． 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x ．x x x f 2)1(+=+， ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥x ， x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x ．四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式．解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点．则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y x x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上 ， x x y '+'='∴2． 把⎩⎨⎧-='--='yy x x 64代入得：)4()4(62--+--=-x x y ． 整理得672---=x x y ， ∴67)(2---=x x x g ．五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式．例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f ． 解 x x f x f =-)1(2)( ① 显然,0≠x 将x 换成x 1，得：xx f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：xx x f 323)(--=． 例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 解 )()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴，又11)()(-=+x x g x f ① ，用x -替换x 得：11)()(+-=-+-x x g x f ，即11)()(+-=-x x g x f ② ，解① ②联立的方程组，得11)(2-=x x f ，x x x g -=21)( 小结：消元法适用于自变量的对称规律。
函数解析式的七种求法
一)求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,就是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形式就是y ＝f(x),不能把它写成f(x,y)＝0;2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时,可以不标出定义域;一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形;3、求函数解析式的一般方法有:(1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出y 。
(2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值;(3)换元法:若给出了复合函数f ［g(x)］的表达式,求f(x)的表达式时可以令t ＝g(x),以换元法解之;(4)构造方程组法:若给出f(x)与f(－x),或f(x)与f(1/x)的一个方程,则可以x 代换－x(或1/x),构造出另一个方程,解此方程组,消去f(－x)(或f(1/x))即可求出f(x)的表达式;(5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量关系,列出等式,解出y 的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意义限定。
(二)求函数定义域1、函数定义域就是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示;2、常见题型就是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的范围,最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题;3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间变量一般取非负数,等等;4、对复合函数y ＝f ［g(x)］的定义域的求解,应先由y ＝f(u)求出u 的范围,即g(x)的范围,再从中解出x 的范围I1;再由g(x)求出y ＝g(x)的定义域I2,I1与I2的交集即为复合函数的定义域;5、分段函数的定义域就是各个区间的并集;6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则在叙述结论时分别说明;7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作为该函数的定义域;(三)求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合,一般由定义域与对应法则确定,常用集合或区间来表示;2、在函数f:A→B 中,集合B 未必就就是该函数的值域,若记该函数的值域为C,则C 就是B 的子集;若C ＝B,那么该函数作为映射我们称为“满射”;3、分段函数的值域就是各个区间上值域的并集;4、对含参数的函数的值域,求解时须对参数进行分类讨论;叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述;5、若对自变量进行分类讨论求值域,应对分类后所求的值域求并集;6、求函数值域的方法十分丰富,应注意总结函 数 解 析 式 的 七 种 求 法一、 待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。
求函数解析式的几种方法
求函数解析式的几种方法一．配凑法例： 已知2(1)2f x x -=+，求()f x ．解：22(1)2(1)2(1)3f x x x x -=+=-+-+，即2()23f x x x =++．练习: 1.、已知f(x+1 )= 2x +1 ，求f(x)解析式。
2、已知f(x-1)= 2x -4x ，解方程f(x+1)=0二．换元法例： 若2(1)21f x x +=+，求()f x ．解：令1t x =+，则1x t =-，22()2(1)1243f t t t t ∴=-+=-+．练习：1、已知f( x +1)=x+2x ，求f(x)的解析式2、若xx x f -=1)1(,求)(x f . 说明：已知[]()()f h x g x =，求)(x f 的解析式，常用配凑法、换元法；换元时，如果中间量涉及到定义域的问题，必须要确定中间量的取值范围．三．解方程组法若已知()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 是未知量外，还出现其他未知量（如()f x -，1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭等）．可以利用相互代换得到方程组，消去()f x -或1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而得到()f x 的解析式． 例： 若2()()1f x f x x --=+，求()f x ．解： 2()()1f x f x x --=+，用x -去替换式中的x ，得2()()1f x f x x --=-+，即有2()()12()()1f x f x x f x f x x --=+⎧⎨--=-+⎩，，解方程组消去()f x -，得 ()13x f x =+．练习：1、设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式x x f x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式。
2、已知f(x)满足12()()3f x f x x +=，求()f x .四．待定系数法说明：（1）已知函数类型，求函数解析式，常用“待定系数法”；（2）基本步骤：设出函数的一般式（或顶点式或两根式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数。
求函数解析式的六种常用方法
求函数解析式的九种常用方法一、换元法已知复合函数f [g （ｘ)]的解析式,求原函数f(ｘ）的解析式, 把g （ｘ)看成一个整体t ，进行换元,从而求出f(x)的方法。
例1 已知ｆ(xx 1+）= x x x 1122++,求ｆ（x)的解析式． 解： 设x x 1+＝ t ,则 x= 11-t (t ≠1), ∴f （ｔ）＝ 111)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +(ｔ-１)＝ t 2－t+１ 故 f （x)=x ２-x ＋1 （x ≠１). 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围，即为函数的定义域．二、配凑法例2 已知ｆ(x +1)= x+２x ,求f （x)的解析式．解: f （x +1）= 2)(x +２x +1-1=2)1(+x -1,∴ ｆ（x +1）＝ 2)1(+x -1 (x ＋1≥1)，将x ＋1视为自变量ｘ，则有f(x)= x 2-1 (x ≥１)． 评注: 使用配凑法时,一定要注意函数的定义域的变化,否则容易出错.三、待定系数法已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程,从而求出函数解析式的方法。
例3 已知二次函数ｆ（x)满足ｆ(0)＝０,ｆ（x+1）＝ f(ｘ）+2x+８,求f （x ）的解析式．解：设二次函数f(x ）＝ ａx ２+bx+c,则 f(０）= c= 0 ①f （x+1)= a 2)1(+x +b （x+1)= ａx 2＋（2a ＋b)ｘ+a+b ② 由ｆ（ｘ+1)= f （x)+2x ＋8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f(x)= x 2+7ｘ.评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.四、消去法(方程组法）例4 设函数f （x ）满足ｆ（x ）+2 f(x 1)= x (x ≠０），求f （x ）函数解析式. 分析：欲求ｆ（ｘ），必须消去已知中的f(x 1)，若用x 1去代替已知中x,便可得到另一个方程,联立方程组求解即可.解：∵ ｆ(x ）＋2 ｆ(x1）＝ ｘ (x ≠0） ① 由x 1代入得 ２f(ｘ)+ｆ(x 1)=x1（x ≠0) ② 解 ①② 构成的方程组，得 ｆ（x ）=x 32-3x （x ≠０). 评注:方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程 练习：已知定义在R 上的函数满足,求的解析式。
函数解析式的求法
函数解析式的求法1.待定系数法例1.求一次函数y=f(x)解析式，使f(f(x))=4x+3.解：设f(x)=ax+b(a≠0).∴f(f(x))==af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b∴a^2x+ab+b=4x+3∴a^2=4,ab+b=3解得a=2,b=1或a=-2,b=-3.∴f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.总结：当已知函数类型时，求函数解析式，常用待定系数法。
其基本步骤：设出函数的一般式，代入已知条件通过解方程（组）确定未知系数。
2.换元法换元法就是引进一个或几个新的变量来替换原来的某些量的解题方法，它的目的是化繁为简、化难为易，以快速的实现从未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。
常见换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、分母换元、平均换元等，应用极为广泛。
例2.已知f(1-√x)=x.求f(x).解：设1-√x=t,则x=(1-t)^2∵x≥0,∴t≤1,∴f(t)=(1-t)^2(t≤1)∴f(x)=(1-x)^2(x≤1)(函数变量的无关性)总结：(1)利用换元法解题时，要注意在换元时易引起定义域的变化，所以最后的结果要注意所求函数的定义域。
(2)函数变量的无关性，变量无论是用x还是用t表示，都无关紧要，函数依然成立。
3.配凑法例3.已知f(3x+1)=9x^2-6x+5,求f(x).解：∵f(3x+1)=9x^2-6x+5=(3x+1)^2-12x+4=(3x+1)^2-4(3x+1)+8∴f(x)=x^2-4x+8总结：当已知函数表达式比较简单时，可直接应用配凑法，即根据具体的解析式凑出复合变量的形式，从而求出函数解析式。
4.消元法（又叫解方程组法）例4.已知函数f(x)满足条件：f(x)+2f(1/x)=x,求f(x).分析：用1/x代替条件方程中的x得：f(1/x)+2f(x)=1/x.把它与原条件式联立。
用消元法消去f(1/x),即得f(x)的解析式。
求函数f(x)的解析式
例2 已知 f ( x 1) x 2 x ，求 f ( x )
2 解：令 t x 1，则 t 1 ， x (t 1)
f ( x 1) x 2 x
f (t ) (t 1) 2 2(t 1) t 2 1,
2
f ( x) x 1 ( x 1)
2 a x+ab+b f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=
a 2 4 ab b 3
a 2 a 2 或 b 1 b -3
f ( x) 2x 1 或 f ( x) 2x - 3
二、【换元法】
已知f（g(x)）,求f(x)的解析式，一般的可用换元法，具体为：令 t=g(x),在求出f(t)可得f（x）的解析式。换元后要确定新元t的取值 范围。
2
f ( x) ( x 1) 1
2
作业： 《全优课堂》 1、P23 例3 2、P24能力提高7
再
见
解：1、令x=1,y=0则有 f(1)-f(0)=2,由f(1)=0的f(0)=-2 。 2、令y=0则有 f(x)-f(0)=(x+1)x, 所以 f(x)=(x+1)x+2 .
求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系 数法；
（2）已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x) ：换元法、 配凑法； （3）已知含有两个不同变量的函数的关系式： 列方程组法（消去法） （4）已知关系式中的变量可任意取值：赋值法
练习：
1、若f (3x 1) 4 x 3, 求f ( x)的解析式。 2、已知f ( x 1) x 1, 求f ( x)的解析式。
函数解析式的七种求法
函数解析式的七种求法一、通过给定的输入和输出求解析式。
这是最简单直接的方法，当给定了函数的输入和输出时，可以利用这些已知信息求解析式。
例如，如果一个函数在输入为1时输出为3，在输入为2时输出为5，我们可以直接写出函数解析式为f(x)=2x+1二、基于已知函数的变换求解析式。
对于已知的一些基本函数，例如线性函数、多项式函数、指数函数、对数函数等，我们可以通过对它们进行变换得到其他函数的解析式。
例如，如果已知函数f(x)=x^2，我们可以通过对f(x)进行变换得到f(x)=(x-1)^2+1三、利用函数的性质和特点求解析式。
对于一些特殊函数，例如奇函数、偶函数、周期函数等，可以利用它们的性质和特点来求解析式。
例如，如果一个函数是奇函数，那么它的解析式中只包含奇次幂项，可以利用这个特点来求解析式。
四、利用已知函数的级数展开求解析式。
对于一些复杂的函数，可以利用已知函数的级数展开进行逼近，从而得到函数的解析式。
例如，可以利用泰勒级数展开求得函数的解析式，只需要计算到足够高的阶数即可。
五、利用已知函数的导数和积分求解析式。
对于一些函数，可以通过对它们的导数和积分进行运算得到其他函数的解析式。
例如，如果已知一个函数的导数或积分，可以通过对这个导数或积分进行逆运算来求得函数的解析式。
六、基于已知函数的函数逼近求解析式。
对于一些复杂的函数，可以利用一些已知的简单函数进行逼近，从而得到函数的解析式。
例如，可以利用多项式函数对一个非多项式函数进行逼近，从而得到函数的解析式。
七、利用差分方程或微分方程求解析式。
对于一些具有差分方程或微分方程性质的函数，可以通过求解这些方程来得到函数的解析式。
例如，可以利用差分方程或微分方程求解线性递推函数的解析式。
以上是七种常用的求解函数解析式的方法。
不同方法适用于不同情况，根据具体的问题和已知信息选择合适的方法可以更高效地求解函数的解析式。
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函 数 解 析 式 的 七 种 求 法
一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f
二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
例2 已知221)1(x
x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式
三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数)(2
x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式
五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例5 设,)1
(2)()(x x
f x f x f =-满足求)(x f %%%例6 设)(x f 为偶函数，)(x
g 为奇函数，又,1
1)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式
六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f
七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。
例8 设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f。