第七章 函数习题答案
微观经济学第七章 习题答案

MR,试求:图7—1(1)A点所对应的MR值;(2)B点所对应的MR值。
解答:(1)根据需求的价格点弹性的几何意义,可得A点的需求的价格弹性为e d =eq \f(15-5,5)=2或者e d =eq \f(2,3-2)=2再根据公式MR=P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,e d ))),则A点的MR值为MR=2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,2)))=1(2)与(1)类似,根据需求的价格点弹性的几何意义,可得B点的需求的价格弹性为e d =eq \f(15-10,10)=eq \f(1,2)或者e d =eq \f(1,3-1)=eq \f(1,2)再根据公式MR=P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,e d ))),则B点的MR值为MR=1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,1/2)))=-12. 图7—2(即教材第205页的图7—19)是某垄断厂商的长期成本曲线、需求曲线和收益曲线。
试在图中标出:(1)长期均衡点及相应的均衡价格和均衡产量;(2)长期均衡时代表最优生产规模的SAC曲线和SMC曲线;(3)长期均衡时的利润量。
图7—2图7—3(1)长期均衡点为E点,因为在E点有MR=LMC。
由E点出发,均衡价格为P0,均衡数量为Q0。
(2)长期均衡时代表最优生产规模的SAC曲线和SMC曲线如图7—3所示。
在Q0的产量上,SAC曲线和LAC曲线相切;SMC曲线和LMC曲线相交,且同时与MR曲线相交。
(3)长期均衡时的利润量由图7—3中阴影部分的面积表示,即π=[AR(Q0)-SAC(Q0)]·Q 0。
3. 已知某垄断厂商的短期总成本函数为STC=0.1Q3-6Q2+140Q+3 000,反需求函数为P=150-3.25Q。
最新(完美版)第七章习题答案_数值分析

第七章习题解答2、试确定系数a ,b 的值使220[()cos ]ax b x dx p+-ò达到最小解:设220(,)[()cos ]I a b ax b x dx p=+-ò确定a ,b 使(,)I a b 达到最小,必须满足0,0I Ia b ¶¶==¶¶即3222222000022222000012[cos ]0cos 248212[cos ]0cos 82a b ax b x xdx a x dx b xdx xxdx a b ax b x dx a xdx b dx xdx p p p p p p p pp p p p p ììì+=-+-=+=ïïïïïïÞÞíííïïï+=+-=+=ïïïîîîòòòòòòòò解得:0.6644389, 1.1584689a b »-»5、试用Legendre 多项式构造()f x x =在[-1, 3]上的二次最佳平方逼近多项式 解:作变量代换,将区间[-1, 3]变为[-1, 1],令21x t =+,即12x t -=则()()(21)21(11)F t f x f t t t ==+=+-££对()F t 利用Legendre 多项式求其在}{21,,span t t上的最佳平方逼近多项式20()()j j j S t C P t ==å,其中11(,)21()()(0,1,2)(,)2j j j j j P f j C F t P t dt j P P -+===ò20121()=1,()=t,()=(31)2P t P t P t t - 则有:1121012112111212212121215[(21)(21)]24311[(21)(21)]285(31)(31)45[(21)(21)]22264C t dt t dt C t tdt t tdt t t C t dt t dt ---------=--++==--++=--=--++=òòòòòò 01251145()()()()4864S t P t P t P t \=++则()f x 在[-1, 3]上的最佳二次逼近多项式*01222151111451()()()()()()2428264251114511=()((3()1))4826422135+82243512x x x x S t S t S P P P x x x x ----===++--++-+=7、确定一条经过原点的二次曲线,使之拟合下列数据ix123iy0.2 0.5 1.0 1.2并求平方误差2d解:设2012()1,(),()x x x x x j j j ===由题,拟合函数须过原点 则令001122()()()()f x C x C x C x j j j =++,其中00C =,即212()f x C x C x =+ 12000.2110.5,,24 1.039 1.2Y f f æöæöæöç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷===ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø 11122122(,)(,)1436(,)(,)3698G f f f f f f f f æöæö==ç÷ç÷èøèø 12(,) 6.1(,)15.3Y F Y f f æöæö==ç÷ç÷èøèø得法方程GC F = 121436 6.1369815.3C C æöæöæö=ç÷ç÷ç÷èøèøèø解方程得:120.61840.0711C C »»-2()0.61840.0711f x x x \=-误差222121(,) 2.730.6184(,)0.0711(,)0.04559j j j YC Y Y Y df f f ==-=-´+´=å8、已知一组数据ix1 2 3iy3 2 1.5试用拟合函数21()S x a bx =+拟合所给数据解:令2()f x a bx =+ 201()1,()x x x j j ==01()()()f x a x b x j j =+则123113111114,219213y A F y y æöæö÷ç÷çæöç÷ç÷ç÷ç÷===ç÷ç÷ç÷ç÷èøç÷ç÷ç÷ç÷èøèøT T a A A A F b æö\=ç÷èø,即331422514983a b æöç÷æöæö=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøç÷èø解方程组得0.3095,0.0408a b == 即210.30950.0408()x f x y=+=从而有21()0.30950.0408S x x =+补充题:用插值极小化法求()sin f x x =在[0, 1]上的二次插值多项式2()P x ,并估计误差 解:作变量替换1(1)2x t =+,将[0, 1]变换[-1, 1]取插值点11(21)cos 0,1,2222(1)K K x K n p+=+=+ 0120.933001270.50.0669873x x x ===利用这些点做插值商表i xi y一阶插商 二阶插商0.9330127 0.80341740.5 0.479425 0.74863250.0669873 0.0659372 0.9549092 -0.23818779则:20.9330127()0.80)0.2341740.743818779(0.9330127)(0.5)86325(x P x x x ---=+-同时误差213322()()()22(1)!3!24n n M M M R x f x P x n --+=-£==+其中(3)3max ()M f x = 由于1(1)2x t =+,即21t x =- 则(3)(3)3max (21)max sin (21)8max cos(21)8[0,1]M f x x x x =-=-=-=Î281()243R x \£=。
(仅供参考)自动控制原理第七章习题答案

第七章 线性离散系统的分析与校正7-1 试根据定义∑∞=-*=0)()(n nTs e nT e s E确定下列函数的)(s E *和闭合形式的)(z E :⑴ t t e ωsin )(=;⑵ ))()((1)(c s b s a s s E +++=,b a ≠,c a ≠,c b ≠。
解:Ts e z =;⑴ )()sin()(0z E enT s E n nTs==∑∞=-*ω;1)cos(2)sin(21}{21)(20+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=-∞=--∑z T z z T e z z e z z j e e e j z E T j T j n nTsjwnT jwnT ωωωω。
⑵ ))()((1))()((1))()((1)(c s c b c a b s b c b a a s a c a b s E +--++--++--=; ∑∑∑∞=--∞=--∞=--*--+--+--=000))((1))((1))((1)(n nTs cnT n nTsbnT n nTs anT e e c b c a e e b c b a e e a c a b s E ; ))()(())()(())()(()(cTbT aT e z c b c a ze z b c b a z e z a c a b z z E ------+---+---=; 记))()((c b c a b a ---=∆,∆-=b a k 1,∆-=ca k 2,∆-=cb k 3;))()(()()()()(3)(2)(12321cTbT aT T c b T c a T b a aT bT cT e z e z e z ze k e k e k z e k e k e k z E ---+-+-+-------+-++-=。
7-2 采样周期为T ,试求下列函数的Z 变换:⑴ n a nT e =)(; ⑵ t e t t e 32)(-=;⑶ 3!31)(t t e =; ⑷ 21)(ss s E +=;⑸ )1(1)(2+-=-s s e s E sT 。
信号与线性系统分析 (吴大正 第四版)第七章习题答案

7.3 如图7-5的RC 带通滤波电路,求其电压比函数)()()(12s U s U s H 及其零、极点。
7.7 连续系统a 和b ,其系统函数)(s H 的零点、极点分布如图7-12所示,且已知当∞→s 时,1)(=∞H 。
(1)求出系统函数)(s H 的表达式。
(2)写出幅频响应)(ωj H 的表达式。
7.10 图7-17所示电路的输入阻抗函数)()()(11s I s U s Z =的零点在-2,极点在31j ±-,且21)0(=Z ,求R 、L 、C 的值。
7.14 如图7-27所示的离散系统,已知其系统函数的零点在2,极点在-0.6,求各系数a,b。
7.18 图7-29所示连续系统的系数如下,判断该系统是否稳定。
(1)3,210==a a ; (2)3,210-=-=a a ; (3)3,210-==a a 。
7.19 图7-30所示离散系统的系数如下,判断该系统是否稳定。
(1)1,2110-==a a ; (2)1,2110==a a ;(3)1,2110=-=a a 。
7.20 图7-31所示为反馈系统,已知44)(2++=s s ss G ,K 为常数。
为使系统稳定,试确定K 值的范围。
7.26 已知某离散系统的差分方程为)1()2()1(5.1)(-=---+k f k y k y k y(1) 若该系统为因果系统,求系统的单位序列响应h(k)。
(2) 若该系统为稳定系统,求系统的单位序列响应h(k),并计算输入)()5.0()(k k f k ε-=时的零状态响应)(k y zs 。
7.28 求图7-36所示连续系统的系统函数)(sH。
7.30 画出图7-40所示的信号流图,求出其系统函数)(sH。
解(a)由s域系统框图可得系统的信号流图如图7-41(a)。
流图中有一个回路。
其增益为(b)由s 域系统框图可得系统的信号流图如图7-41(b)。
流图中有一个回路。
数据结构课后习题答案第七章

第七章图(参考答案)7.1(1)邻接矩阵中非零元素的个数的一半为无向图的边数;(2)A[i][j]= =0为顶点,I 和j无边,否则j和j有边相通;(3)任一顶点I的度是第I行非0元素的个数。
7.2(1)任一顶点间均有通路,故是强连通;(2)简单路径V4 V3 V1 V2;(3)0 1 ∞ 1∞ 0 1 ∞1 ∞ 0 ∞∞∞ 1 0邻接矩阵邻接表(2)从顶点4开始的DFS序列:V5,V3,V4,V6,V2,V1(3)从顶点4开始的BFS序列:V4,V5,V3,V6,V1,V27.4(1)①adjlisttp g; vtxptr i,j; //全程变量② void dfs(vtxptr x)//从顶点x开始深度优先遍历图g。
在遍历中若发现顶点j,则说明顶点i和j间有路径。
{ visited[x]=1; //置访问标记if (y= =j){ found=1;exit(0);}//有通路,退出else { p=g[x].firstarc;//找x的第一邻接点while (p!=null){ k=p->adjvex;if (!visited[k])dfs(k);p=p->nextarc;//下一邻接点}}③ void connect_DFS (adjlisttp g)//基于图的深度优先遍历策略,本算法判断一邻接表为存储结构的图g种,是否存在顶点i //到顶点j的路径。
设 1<=i ,j<=n,i<>j.{ visited[1..n]=0;found=0;scanf (&i,&j);dfs (i);if (found) printf (” 顶点”,i,”和顶点”,j,”有路径”);else printf (” 顶点”,i,”和顶点”,j,”无路径”);}// void connect_DFS(2)宽度优先遍历全程变量,调用函数与(1)相同,下面仅写宽度优先遍历部分。
第七章习题答案解析

第七章 不完全竞争的市场1、根据图中线性需求曲线d 和相应的边际收益曲线MR ,试求:(1)A 点所对应的MR 值;(2)B 点所对应的MR 值。
解答:(1)根据需求的价格点弹性的几何意义,可得A 点的需求的价格弹性为:25)515(=-=d e 或者 2)23(2=-=d e 再根据公式)11(d e P MR -=,则A 点的MR 值为:MR=2×(2×1/2)=1 (2)与(1)类似,根据需求的价格点弹性的几何意义,可得B 点的需求的价格弹性为:21101015=-=d e 或者 21131=-=d e 再根据公式d e MR 11-=,则B 点的MR 值为:1)2111(1-=-⨯=MR 2、图7-19是某垄断厂商的长期成本曲线、需求曲线和收益曲线。
试在图中标出:(1)长期均衡点及相应的均衡价格和均衡产量;(2)长期均衡时代表最优生产规模的SAC 曲线和SMC 曲线;(3)长期均衡时的利润量。
解答:本题的作图结果下图所示:(1)长期均衡点为E 点,因为,在E 点有MR=LMC 。
由E 点出发,均衡价格为P 0,均衡数量为Q 0。
(2)长期均衡时代表最优生产规模的SAC 曲线和SMC 曲线如图所示。
在Q 0 的产量上,SAC 曲线和LAC 曲线相切;SMC 曲线和LMC 曲线相交,且同时与MR 曲线相交。
(3)长期均衡时的利润量有图中阴影部分的面积表示,即л=(AR(Q 0)-SAC(Q 0)Q 03、已知某垄断厂商的短期成本函数为30001461.023++-=Q Q Q STC ,反需求函数为P=150-3.25Q求:该垄断厂商的短期均衡产量与均衡价格。
解答:因为140123.02+-==Q Q dQ dSTC SMC且由225.3150)25.3150()(Q Q Q Q Q Q P TR -=-==得出MR=150-6.5Q根据利润最大化的原则MR=SMCQ Q Q 5.6150140123.02-=+-解得Q=20(负值舍去)以Q=20代人反需求函数,得P=150-3.25Q=85所以均衡产量为20 均衡价格为854、已知某垄断厂商的成本函数为236.02++=Q Q TC ,反需求函数为P=8-0.4Q 。
高教线性代数第七章 线性变换课后习题答案
第七章 线性变换1. 判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是:1) 在线性空间V 中,A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量; 2) 在线性空间V 中,A αξ=其中∈αV 是一固定的向量;3) 在P 3中,A),,(),,(233221321x x x x x x x +=; 4) 在P 3中,A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=;5) 在P[x ]中,A )1()(+=x f x f ;6) 在P[x ]中,A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数; 7) 把复数域上看作复数域上的线性空间, A ξξ=。
8) 在P nn ⨯中,A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β, A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α,故A 是P 3上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g , 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f , 故A 为][x P 上的线性变换。
热力学统计物理 课后习题 答案
第七章 玻耳兹曼统计7.1试根据公式Va P Lll∂∂-=∑ε证明,对于非相对论粒子 ()222222212zy x n n n L m m P ++⎪⎭⎫ ⎝⎛== πε,( ,2,1,0,,±±=z y x n n n )有V U P 32= 上述结论对于玻尔兹曼分布,玻色分布和费米分布都成立。
证明:处在边长为L 的立方体中,非相对论粒子的能量本征值为()22222,,2212z y x n n nn n n L m m P zy x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛== πε ( ,2,1,0,,±±=z y x n n n )-------(1) 为书写简便,我们将上式简记为32-=aVε-----------------------(2)其中V=L 3是系统的体积,常量()22222)2(z y x n n n ma ++= π,并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三个量子数。
由(2)式可得VaV V l L εε323235-=-=∂∂----------------------(3) 代入压强公式,有VUa VV a P l ll L ll3232==∂∂-=∑∑εε----------------------(4) 式中 lll a U ε∑=是系统的内能。
上述证明未涉及分布的具体表达式,因此上述结论对于玻尔兹曼分布,玻色分布和费米分布都成立。
注:(4)式只适用于粒子仅有平移运动的情形。
如果粒子还有其他的自由度,式(4)中的U 仅指平动内能。
7.2根据公式Va P Lll∂∂-=∑ε证明,对于极端相对论粒子 ()212222z y x n n n Lc cp ++== πε, ,2,1,0,,±±=z y x n n n 有VUP 31=上述结论对于玻尔兹曼分布,玻色分布和费米分布都成立。
证明:处在边长为L 的立方体中,极端相对论粒子的能量本征值为()21222,,2z y x n n nn n n Lczy x ++= πε, ,2,1,0,,±±=z y x n n n -------(1)为书写简便,我们将上式简记为31-=aVε-----------------------(2)其中V=L 3是系统的体积,常量()212222z y x n n n c a ++= π,并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三个量子数。
概率论与数理统计浙大四版习题答案第七章
第七章 参数估计1.[一] 随机地取8只活塞环,测得它们的直径为(以mm 计)求总体均值μ及方差σ2的矩估计,并求样本方差S 2。
解:μ,σ2的矩估计是 6122106)(1ˆ,002.74ˆ-=⨯=-===∑ni i x X n X σμ621086.6-⨯=S 。
2.[二]设X 1,X 1,…,X n 为准总体的一个样本。
求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。
(1)⎩⎨⎧>=+-其它,0,)()1(cx x c θx f θθ其中c >0为已知,θ>1,θ为未知参数。
(2)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-.,010,)(1其它x x θx f θ其中θ>0,θ为未知参数。
(5)()p p m x p px X P x m xmx,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。
解:(1)X θcθθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθcθθ=--=-===+-∞+-∞+∞-⎰⎰1,11)()(1令,得cX Xθ-=(2),1)()(10+===⎰⎰∞+∞-θθdx xθdx x xf X E θ2)1(,1X X θX θθ-==+得令(5)E (X ) = mp令mp = X , 解得mXp=ˆ 3.[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。
解:(1)似然函数1211)()()(+-===∏θn θn nni ix x x c θx f θL0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 11=-+=-++=∑∑==ni ini i xc n n θθd θL d x θc θn θn θL∑=-=ni icn xnθ1ln ln ˆ (解唯一故为极大似然估计量)(2)∑∏=--=-+-===ni i θn n ni ix θθnθL x x x θx f θL 112121ln )1()ln(2)(ln ,)()()(∑∑====+⋅-=ni ini ix nθxθθn θd θL d 121)ln (ˆ,0ln 2112)(ln 。
高等数学第七章习题详细解答
第七章习题答案习题7.01.下列各种情形中,P 为E 的什么点?(1)如果存在点P 的某一邻域()U P ,使得()⊂c U P E (c E 为E 的余集); (2)如果对点P 的任意邻域()U P ,都有, ()(),C U P E U P E φφ≠≠; (3)如果对点P 的任意邻域()U P ,都有. 解 (1)P 为E 的外点;(2)P 为E 的边界点;(3)P 为E 的聚点。
2.判定下列平面点集的特征(说明是开集、闭集、区域、还是有界集、无界集等?)并分别求出它们的导集和边界.(1) (){},0≠x y y ;(2) (){}22,620≤+≤x y x y ; (3) (){}2,≤x y y x ;(4) ()(){}()(){}2222,11,24+-≥⋂+-≤x y x y x y x y .解 (1) 是开集,是半开半闭区域,是无界集,导集为2R ,边界集为(){},0=x y y ;(2)既不是开集也不是闭集,是半开半闭区域,是有界集,导集为(){}22,620≤+≤x y x y ,边界集为(){}2222,=6=20++,x y x y x y ;(3) 是闭集,是半开半闭区域,是无界集,导集为集合本身,边界集为(){}2,=x y y x ;是闭集,是闭区域,是有界集,导集为集合本身,边界集为()()(){}2222,11,24+-=+-=x y x y x y习题7.11. 设求1. 解 令,=-=yu x y v x,解得,11==--u uv x y v v,故()22,11⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭u uv f u v v v ,即()()21+,1=-u v f u v v ,所以,()()21+y ,1=-x f x y y φ≠-}){()(P E P U 22,,y f x y x y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭(,).f x y2.已知函数()22,cot =+-x f x y x y xy y,试求(),f tx ty .2. 解 因为()22,cot =+-y f x y x y xy x,所以,()2222,cot ,=+-t y f tx ty tx ty txty t x即()()222,cot =+-y f tx ty t x y t xy x.3.求下列各函数的定义域 (1) 25)1(=-+z ln y xy ;(2) =z ;(3) =z(4) )0;=>>u R r(5) =u3. 解 (1)(){}2,510-+>x y yxy ;(2)(){},0->x y x y ;(3)(){}2,≥x y x y ;(4)(){}22222,<++≤x y r x y z R ;(5)(){}222,≤+x y z x y4. 求下列各极限:(1) ()()233,0,31lim →-+x y x yx y ;(2)()(,1,1ln lim→+x x y y e(3)()(,0,0lim→x y(4)()(,0,0lim→x y ;(5)()()(),0,2sin lim→x y xy x ;(6)()()()()222222,0,01cos lim→-++x y x y x y xy e.4. 解 (1)()()2333,0,31101lim 0327→--==++x y x y x y ;(2)()(()1,1,1ln ln 11lim2→+++===x x y y e e e (3)()()()(,0,0,0,0limlim→→=x y x y ()(,0,01lim4→==x y (4)()(()()),0,0,0,01limlim→→=x y x y xy xy()()),0,0=lim1=2→+x y(5)()()()()()(),0,2,0,2sin sin limlim 122→→=⋅=⋅=x y x y xy xy y x xy(6)()()()()()()()()()222222222222222,0,0,0,01cos 1cos limlim→→-+-++=⋅++x y x y x y x y x y x y xy xy eex y()()()()()()()2222222022,0,0,0,01cos 10limlim=02→→-++=⋅⋅=+x y x y x y x y xy e exy5.证明下列极限不存在: (1)()(),0,0lim→-+x y x yx y ;(2)()(),0,0lim→+-x y xyxy x y .5. (1) 解 令=y kx ,有()(),0,001limlim 1→→---==+++x y x x y x kx kx y x kx k ,k 取不同值,极限不同,故()(),0,0lim→-+x y x yx y 不存在.(2) 解令=x y()()22,0,00lim lim 1→→==+-x y x xy x xy x yx ;令2=x y()()()()22,0,02,0,0022lim lim lim 0221→→→===+-++x y y y y xy y y xy x y y y y ;01≠,故()(),0,0lim→+-x y xyxy x y不存在.6.函数=y z a 为常数)在何处间断?6. 解 因为=y z 是二元初等函数,且函数只在点集(){,x y y 上无定义,故函数在点集(){,x y y 上间断.7.用 εδ- 语言证明()(,0,0lim0→=x y .7. 证明 对0∀>ε,要使220-=≤=<ε2<ε,取=2δε<δ0-<ε,所以()(,0,0lim 0→=x y习题7.21. 设()(),sin 1arctan ,π==+-xy xz f x y e y x y 试求()1,1x f 及()1,1y f1. 解()221,sin arctan 1=+++xy x x yf x y ye y xx yyπ22=sin arctan+++xy x xy ye y y x y π.()()222,sin cos 11-=++-+xy xyy x y f x y xe y e y x x yπππ 222sin cos -=+++xyxyx x xe y e y x y πππ()()1,1,1,1∴=-=-x y f e f e2.设(),ln 2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y f x y x x ,求()1,0'x f ,()1,0'y f .2. 解()()222122,22--==++x yx y x f x y y x x y x x()2112,22==++y x f x y yx y x x()()11,011,02∴==,x y f f . 3.求下列函数的偏导数(1) 332=++z x y xy ,(2) ()1=+xz xy , (3) ()222ln =+z y x y ,(4) ln tan=y z x, (5) ()222ln =+z x x y ;(6)=z (7) ()sec =z xy ;(8) ()1=+yz xy ;(9) ()arctan =-zy x y ;(10) .⎛⎫=⎪⎝⎭zx u y 3. 解 (1)2232,32z z x y y x x y ∂∂=+=+∂∂(2)因为 ()ln 1,x xy z e+=所以()()()()ln 1ln 11ln 111x x xy z xy xy e xy xy xy x xy xy +⎛⎫⎛⎫∂=++=+++ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭()()22ln 1111x x xy z x x e xy y xy xy +⎛⎫⎛⎫∂==+ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭(3)()2322222222,2ln z xy z y y x y x x y y x y ∂∂==++∂+∂+(4)222222sec sec 111sec ,sec tan tan tantan y yy z y y z y x x y y y y x x x y x x x x x x x x∂∂⎛⎫⎛⎫=-=-== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ (5)()32222222222ln ,z x z x y x x y x x y y x y ∂∂=++=∂+∂+(6)z z x y ∂∂====∂∂(7)()()()()sec tan ,sec tan z z y xy xy x xy xy x y ∂∂==∂∂(8)()()22ln 1111y y xy z y y e xy x xy xy +⎛⎫⎛⎫∂==+ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭()()()()ln 1ln 11ln 111y y xy z xy xy e xy xy xy y xy xy +⎛⎫⎛⎫∂=++=+++ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭ (9)()()()()()()()11222ln ,,111z z zz z z z x y z x y x y x y u u u x y z x y x y x y ------∂∂∂==-=∂∂∂+-+-+-(10)因为 ln,x z yu e=所以ln ln ln 21,,ln zzx x x z z z y y y u z x z u z x x z u x e e e x x xy y x y y y y z y y y⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=⋅==⋅-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4.设ln=z ,求证: 12∂∂+=∂∂z z xy x y . 4.证明 因为ln,z =所以z zx y∂∂====∂∂从而有12 z zx yx y∂∂+=+=+=∂∂5.求下列函数的二阶偏函数:(1)已知33sin sin=+z x y y x,求2∂∂∂zx y;(2)已知ln=xz y,求2∂∂∂zx y;(3)已知(ln=z x,求22∂∂z x和2∂∂∂z x y;(4)arctan=yzx求22222,,∂∂∂∂∂∂∂z z zx y x y和2∂∂∂zy x.5. 解(1)3323sin sin,3sin coszz x y y x x y y xx∂=+∴=+∂从而有223cos3coszx y y xx y∂=+∂∂(2)ln ln1,lnx xzz y y yx x∂⎛⎫=∴= ⎪∂⎝⎭从而有()()()ln1ln1ln11ln ln ln ln1xx xz yxy y y x yx y x y x--⎛⎫∂=+⋅=+⎪∂∂⎝⎭(3)(()1222 ln,zz x x yx-∂=∴===+∂从而有()()3322222222122zx y x x x yx--∂=-+=-+∂()()332222222122z x y y y x y x y --∂=-+=-+∂∂ (4)22221arctan,1y z y y z x xx x y y x ∂⎛⎫=∴=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 222111z x yx x y y x ∂⎛⎫=⋅= ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭从而有()()()()2222222222222222222,x y y z xy z y x x x y x y x y x y -++∂∂-===∂∂∂+++ ()()2222222222222222,z xy z x y xy x y y y x x y x y x y ⎛⎫∂-∂+--=== ⎪∂∂∂+⎝⎭++ 6. 设()ln =z y xy ,求2∂∂∂z x y 及22∂∂zy .6. 解 因为()ln ,z y xy =所以()(),ln ln 1z y y z x y xy y xy x xy x y xy∂∂===+=+∂∂从而有22211,.z z x y x y y∂∂==∂∂∂ 习题7.31. 求下列函数的全微分.(1) 2222+=-s t u s t ;(2) ()2222+=+x y xyz x y e;(3) ()arcsin0=>xz y y;(4) ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=y x x y z e ;1.解 (1)()()222232322222222()()22222∂--+⋅---==∂--u s s t s t s s st s t s s s t s t()()222223232222222()()22222u t s t s t t ts t ts s t s t s t ∂--+---==∂-- ()()2322222244u u st t dz ds dt ds dt s t s t s t ∂∂-∴=+=-∂∂--(2)()()()222222222222++++∂=++⋅∂x y x y xyxyx y x y yzxe x y exxy()2222222244222222+++⎛⎫--=++⋅=+ ⎪⎝⎭x y x y x y xyxyxyx y x y xe x y e x e x y x y()()()22222222222-2+++∂=++⋅∂x y x y xy xyy x x y xzye x y eyxy()()2222222222442222+++-+⎛⎫-=+⋅=+ ⎪⎝⎭x y x y x y xyxyxyy x x y y x yeey e xy xy2244442222x y xyz z x y y x dz dx dy x edx y dy x y x y xy +⎛⎫⎛⎫∂∂--∴=+=+++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ (3)2222211∂=⋅==∂--⎛⎫yzxyyy x y x x22⎛⎫⎛⎫∂=-=-= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭z x x yy y z zdz dx dy x y∂∂∴=+=∂∂(4)22221y x y x x y x y z y y x e e x x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂-=-= ⎪∂⎝⎭ 22221y x y x x y x y z x x y e e y x y xy ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂-=-+= ⎪∂⎝⎭222222y x y x x y x y z z z y x x y dz dx dy e dx e dy x y y x y xy⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂∂∂--∴=+==+∂∂∂ 2. 求函数2arctan1=+xz y 在1,1==x y 处的全微分.2.解()()()()()()()22222222222222222211111111111++∂++=⋅=⋅=∂++++++++y y z y y x xy y x y y xy()()()()()()22222222222222211222111111+∂-⋅--=⋅=⋅=∂++++++++y z x y xy xyx yy y x y y xy()()21,11125111z x ∂+∴==∂++ , ()()21,12125111∂-⋅==-∂++z y ()1,12255dz dx dy ∴=- 3. 求函数22=-xyz x y 当2,1,0.02,0.01==∆=∆=x y x y 时的全微分和全增量,并求两者之差.3.解 ()()()(),, 2.02,1.011,1z z x x y y z x y z z ∆=+∆+∆-=-()()22222.02 1.0121 2.0420.6670.667021 4.08 1.0232.02 1.01⨯⨯=-=-=-=--- ()()()2223222222222--⋅∂--===-∂---y x y xy x z x y y y x x y x y x y ()()()()22322222222--⋅-∂+==∂--x x y xy y z x xy y x y x y ()2,111413z x ∂∴=-=-∂- ,()()22,182110941z y ∂+⨯==∂- ()2,11100.020.010.070.0110.00439dz ∴=-⨯+⨯=-+=00.0040.004z dz ∴∆-=-=-.*4讨论函数()()()()(),0,0,0,,0,0⎧≠⎪=⎨⎪=⎩xy x y f x y x y 在()0,0点的连续性、可导性、可微性以及其偏导函数在()0,0的连续性.4.解()()()()()(),0,0,0,0lim,lim 00,0x y x y f x y xy f →→===(),f x y ∴在()0,0点连续 又()()()00,00,0000,0limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→∆--===∆∆ ()()()000,0,0000,0limlim 0y y y f y f f y y∆→∆→∆--===∆∆ ()()0,00,0,00x y f f ∴==.()(()(,0,0,0,0,0,00limlim limx y x y f x yf z dzρρ→∆∆→∆∆→∆∆--∆-==()()()0,0,0x y<∆∆→∆lim0z dzρρ→∆-∴=故函数(),f x y 在()0,0点可微. 由()(),0,0x y ≠时(),=-x f x yy xy()23222sinx yy xy=-+(),=-y f x y x xy ()23222xy x xy=-+()(),0,0lim 0x y y →= ,()()()()23,0,0222lim→=+x y x yy kx xy()()()33323222=lim11→==+⋅+x kx ky kx k xk ,k 不同值不同()()()23,0,0222lim→∴+x y xy xy 不存在,故()()(),0,0lim ,xx y f x y →不存在.(),x f x y ∴在()0,0点不连续,同理可证(),y f x y 在点()0,0不连续.*5.计算()2.050.99的近似值.5.解 令00,1,2,0.01,0.05yz x x y x y ===∆=∆= 则1,ln y y z z yx x x x y-∂∂==∂∂ ()()1,21,22,0z zx y ∂∂∴==∂∂ ()()()2.0521,21,20.991120.0100.0510.02 1.02∂∂∴≈+∆+∆=+⨯+⨯=+=∂∂z zx y x y*6.设有厚度为,内高为,内半径为的无盖圆柱形容器,求容器外壳体积的近似值(设容器的壁和底的厚度相同).6.解 设容器底面积半径为r ,高为h则容器体积2V r h π=22,V Vrh r r hππ∂∂==∂∂ 22∴=+dV rhdr r dh ππ002,10,0.1,0.1r cm h cm r cm h cm ==∆=∆=()()22,102,1020.10.1400.140.1 4.4∴∆≈=⋅+⋅=⨯+⨯=V dV rh r πππππ*7. 测得直角三角形两直角边的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm ,试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差和相对误差.0.1cm 10cm 2cm7.解 设直角三角形的直角边长分别为,x y ,则斜边z =,zz xy∂∂==∂∂由题意007,24,0.1,0.1x y x y δδ====z ∴的绝对误差为()()7,247,247240.10.10.242525∂∂=+=⨯+⨯=∂∂z x y z z x y δδδz 的相对误差()7,240.240.009625=≈zz δ 习题7.41.设,,,求. 1.解 ()3222sin 22cos 23cos 6---∂∂=⋅+⋅=⋅-⋅=-∂∂x y x y t t du z dx z dy e t e t e t t dt x dt y dt2.设,而,,求. 2.解2123∂∂=⋅+⋅=+∂∂dz z dy z dV x dx u dx V dx2341-=x3.设,,,求,. 3.解 ()()222cos 2sin ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+-∂∂∂∂∂z z u z v uv v y u uv y x u x v x()()2222222cos sin sin cos cos 2cos sin sin x y y x y y x y x y y y =-+-()23sin cos cos sin x y y y y =-()()()222sin 2cos z z u z v uv v x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=+=--+-∂∂∂∂∂ ()()()2222222cos sin sin sin cos 2cos sin cos x y y x y x y x y x y y x y =--+-()()3333cos sin 2cos sin sin cos x y y x y y y y =+-+2e x y u -=sin x t =3y t =d d u tarccos()z u v =-34u x =3v x =d d zx22z u v uv =-cos u x y =sin v x y =zx ∂∂z y∂∂4.设,而,,求,. 4.解 222ln 3∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭z z u z v u y u v x u x v x v x()()()2322632ln 326ln 3x y y y y x y x y x x x x +⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭5.设求5.解 ()()1wf x xy xyz y yz x ∂'=++++∂()()()()1wf x xy xyz x xz x z f x xy xyz y∂''=+++=+++∂ ()()wf x xy xyz xy xyf x xy xyz z ∂''=++=++∂6.求下列函数的一阶偏导数(其中具有一阶连续偏导数):(1);(2);(3);(4).6.解 (1)()()222222∂''=-⋅=-∂z f x y x xf x y x()()()222222∂''=-⋅-=--∂zf x y y yf x y y(2)121110∂'''=+⋅=∂u f f f x y y12122211u x x f f f f y y z y z ⎛⎫∂⎛⎫''''=-+=-+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭122220∂⎛⎫'''=⋅+-=- ⎪∂⎝⎭u y y f f f z z z (3)1231231∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂uf f y f yz f yf yzf x123230∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂uf f x f xz xf xzf y2ln z u v =32u x y =+y v x =zx ∂∂z y∂∂(),w f x xy xyz =++,,.w w wx y z∂∂∂∂∂∂f 22()z f x y =-,x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(,,)u f x xy xyz =22(,e ,ln )xy u f x y x =-123300∂''''=⋅+⋅+⋅=∂uf f f xy xyf z (4)1231231122∂''''''=⋅+⋅⋅+⋅=++∂xy xyu f x f e y f xf ye f f x x x()12312202∂'''''=⋅-+⋅+⋅=-+∂xy xy uf y f e x f yf xe f y7.求下列函数的二阶偏导数,,(其中具有二阶连续偏导数):(1),(2). 7.解(1)22121222∂''''=⋅+⋅=+∂zf xy f y xyf y f x22121222∂''''=⋅+⋅=+∂zf x f xy x f xyf y()()222211112212222222∂'''''''''∴=+⋅+⋅+⋅+⋅∂zyf xy f xy f y y f xy f y x233341111221222422yf x y f xy f xy f y f '''''''''=++++ 23341111222244yf x y f xy f y f '''''''=+++()()2222111122212222222∂''''''''''=+⋅+⋅++⋅+⋅∂∂zxf xy f x f xy yf y f x f xy x y322223111122212222422xf x yf x y f yf x y f xy f ''''''''''=+++++ 32231111222222522xf x yf x y f yf xy f ''''''''=++++()2222211122212222222∂'''''''''=+++⋅+⋅∂zx f x x f xy xf xy f x f xy y43221112222424x f x yf xf x y f '''''''=+++(2)()()222222∂''=+⋅=+∂zf x y x xf x y x()()222222∂''=+⋅=+∂zf x y y yf x y y22zx∂∂2z x y ∂∂∂22z y ∂∂f 22(,)z f x y xy =22()z f x y =+()()()()2222222222222224∂''''''∴=+++⋅=+++∂zf x y xf x y x f x y x f x y x()()22222224∂'''=+⋅=+∂∂z xf x y y xyf x y x y()()()()2222222222222224∂''''''=+++⋅=+++∂zf x y yf x y y f x y y f x y y8.设其中F 是可微函数,证明8.解()()()cos sin sin cos cos cos sin sin ux F y x x x xF y x x∂''=+--=--∂ ()sin sin cos uF y x y y∂'=-∂ ()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos u uy x x xF y x y yF y x x x y∂∂''∴+=--+-⎡⎤⎣⎦∂∂ ()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos x y x yF y x x yF y x x y ''=--+-=.习题7.51.设,φ⎛⎫= ⎪⎝⎭x y z z 其中为可微函数,求∂∂+∂∂z z x y x y . 1.解 z是,x y函数由方程xx z y φ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定。
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第七章函数习题答案1. 单项选择题(1) 若定义的函数有返回值,则以下关于该函数调用的说法中错误的是____D____。
A. 函数调用可以作为独立的语句存在B. 函数调用可以作为一个函数的参数C. 函数调用可以出现在表达式中D. 函数可以作为一个函数的形式参数(2) 在函数的调用过程中,如果函数FUNA调用了函数FUNB,函数FUNB又调用了函数FUNA,则___B_____。
A. 称为函数的直接递归调用B. 称为函数的间接递归调用C. 称为函数的循环调用D. C语言不允许这样的递归调用(3) 在C语言中,函数的隐含存储类别是__A______。
A. autoB. staticC. externD. 无存储类别(4) 在下列对C语言函数的描述中,正确的是___A_____。
A. 在C语言中调用函数时,只能将实际参数的值传给形式参数,形式参数的值不能传给实际参数B. C函数既可以是嵌套定义,又可以是递归定义C. 函数必须有返回值D. C程序中有调用关系的所有函数必须放在同一个源程序文件中(5) 下面函数的类型是___B_____。
f(double x){printf("%6d\n",x);}A. 浮点型B. int型C. void型D. 都不是(6) 有以下程序:char fun(char x,char y){if(x<y)return y;}main(){int a='9',b='8',c='7';printf("%c\n",fun(fun(a,b),fun(b,c)));}程序的执行结果是____C____。
A. 函数调用出错B. 8C. 9D. 7(7) 有以下程序:void f(int x,int y){int t;if(x<y){t=x;x=y;y=t;}}main(){int a=4,b=3,c=5;f(a,b);f(a,c);f(b,c);printf("%d,%d,%d\n",a,b,c);}执行结果为____D____。
A. 3,4,5B. 5,4,3C. 5,3,4D. 4,3,5(8) 下面程序的输出为________。
#include<stdio.h>int x,y;f(){extern int x,y;int a=18,b=16;x+=a+b;y+=a-b;}main(){int a=9,b=8;x=a+b;y=a-b;f();printf("%d,%d\n",x,y);}执行结果为___A_____。
A. 51,3B. 34,2C. 17,1D. 前面的都不对(9) 以下程序的正确执行结果是____D____。
main(){int a=2,i;for(i=0;i<3;i++)printf("%4d",f(a));}f(int a){int b=0;static int c=3;b++;c++;return(a+b+c);}A. 7 7 7B. 7 10 13C. 7 9 11D. 7 8 9(10) 以下程序的执行结果为___A____。
long fun(int n){long s;if(n==1||n==2)s=2;elses=n-fun(n-1);return s;}main(){printf("%d\n",fun(3));}A. 1B. 2C. 3D. 4(11) 有如下程序:long fib(int n){if(n>2)return(fib(n-1)+fib(n-2));elsereturn(2);}main(){printf("%d\n",fib(3));}该程序的执行结果为___B_____。
A. 2B. 4C. 6D. 82. 填空题(1)unsigned func(unsigned num){unsigned k=1;do{k*=num%10; num/=10;}while(num);return k;}main(){unsigned n=26;printf("%d\n",func(n));}程序执行结果为__________12____________。
(2)double sub(double x,double y,double z){y-=1.0;z+=x;return z;}main(){double a=2.5,b=9.0;printf("%f\n",sub(b-a,a,a));}程序执行结果为_________9.000000________。
(3)main(){int a=3,b=2,c=1;c-=++b;b*=(a+c);{int b=5,c=12;c/=2;a-=c;printf("%d,%d,%d",a,b,c); -3,5,6a+=--c;}printf("%d%d%d\n",a,b,c); 2 3 -2}程序执行结果为_______________________________。
(4)void fun(){static int a;a+=2;printf("%d",a);}main(){int cc;for(cc=1;cc<=4;cc++)fun();printf("\n");}程序执行结果为_______2 4 6 8________________________。
3. 问答题假设源程序由张、陈、刘三人合作编写,源程序文件名分别为zhang.c,chen.c,liu.c,而且名字为flag的整型变量为大家所共有。
下面程序是否正确?如果有错误,请指出并改正。
/*zhang.c*/extern int flag; /*对外部变量flag做存储声明*/void title(){if(flag)printf("sum of even position elements:");elseprintf("sum of odd position elements:");}/*chen.c*/extern void title();extern int flag; /*对外部变量flag做存储声明*/void f(int a[],int n){int i,sum=0;i=flag==0?0:1;for(;i<n;i+=2)sum+=a[i];title();printf("%d\n",sum);}/*liu.c*/#define N 8extern void f(int a[],int n);int flag; /*定义全局变量flag,申请存储单元*/main(){int x[N]={1,2,3,4,5,6,7,8},k;printf("\nflag=?");scanf("%d",&flag);f(x,N);}4. 编程题(1)对数组中的数据进行由大到小的排序。
(2)写两个函数,分别求两个正整数的最大公约数和最小公倍数,用主函数调用这两个函数,并输出结果,两个正整数在主函数中从键盘输入。
解:设两个整数为u和v,用辗转相除法求最大公约数的算法如下:if v>u将变量u和v的值互换(使大者u为被除数)while(u/v的余数r≠0){u=vv=r}输出最大公约数r最小公倍数l=u*v/最大公约数r。
程序如下:#include <stdio.h>int hcf(int u,int v) //最大公约数函数{int t,r;if(v>u){t=u;u=v;v=t;};while((r=u%v)!=0){u=v;v=r;}return(v);}int lcd(int u,int v,int h) //最小公倍数函数{return(u*v/h);}void main(){int u,v,h,l;;printf("\nInput u&v:");scanf("%d,%d",&u,&v);h=hcf(u,v);printf("H.C.F=%d\n",h);l=lcd(u,v,h);printf("L.C.D=%d\n",l);}运行结果:Input u&v:24,16H.C.F=8L.C.D=48(3)用递归方法求n阶勒让德的值,递归公式为1 n=0p n(x) = x n=1 ((2n-1)*xp n-1(x)-(n-1)*p n-2(x))/n n>1#include <stdio.h>float f(int n,int x){if(n==0)return 1;else if(n==1)return x;elsereturn((2*n-1)*x*f((n-1),x)-(n-1)*f((n-2),x))/n;}void main(){int x,n;printf("\n Input n and x:");scanf("%d,%d",&n,&x);printf("f%d(%d)=%6.2f\n",n,xf(n,x));}运行结果:Input n and x:1,2f1(2)=2.00。