昆明三中2012—2013学年度高二下学期期末考试理科数学卷

昆明三中、昆明滇池中学2012—2013学年度下学期期末考试高二数学(理科)第Ⅰ卷（选择题，共60分）一.选择题：（本大题共12小题。

每小题5分，共60分）1. 已知集合{}{}2|2,|log ,x A y y B y y x ====则A 与B 的关系是（ ）A.A B =B.A B =∅C.A B ⊇D.A B ⊆2. 若iim -+1是纯m 的值为（ ）A.1-B.0C.1 D .23. 在等差数列{}n a 中，*14()n n a a n n N ++=∈，则其公差d 等于（ ）A. 2B. 4C. 2±D. 4±4．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确的个数为（ ） ①//m n n m αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭; ②//m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭; ③//m m n n αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭; ④//m n m n αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭A.1个B.2个C.3个D.4个5. 若()521x -展开式中的第2项小于第1项，且第2项不小于第3项，则实数x 的取值范围是（ ）A.x >101-B.101-<x ≤0 C.41-≤x <101- D.41-≤x 0≤ 6. 如图是一个算法程序框图，当输入的x 值为3时，输出的结果恰好是31，则空白框处的关系式可以是A.31-=x y B.31x y = C.x y -=3D.x y 3=7. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A.34000cm 3B.38000cm 3 C.32000cm D.34000cm 8. 设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ）Ａ.R Q P <<Ｂ.P R Q <<Ｃ.Q R P <<Ｄ.R P Q <<9. 设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ( a > 0 ) 表示的平面区域为D, 若直线1(3)4y x =--将D 的面积二等分，则=a （ ）A.41 B.21 C.1 D.210. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，定义在R 上的奇函数()(1)g x f x =-，则(2011)(2013)f f +=( )A.1-B.1C.0D.无法计算11. 已知F 是抛物线2y x =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A.34B.1C.54D.7412. 已知函数31,0()3,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，则方程2(2)(0)f x x a a +=>的根的个数不可能是 A.3B.4C.5D.6第Ⅱ卷(共90分)本卷包括必考题和选考题，第13题至第21题每个试题考生都必须作答，第22题至第24题为选做题. 二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 在ABC ∆中，3,2AB AC ==，BC =AB AC ⋅=14. 若3π=+y x ，则sin sin x y +的最小值为15. 若等比数列{}n a 满足18log 1a a =-，则453a a +的最小值为 16. 如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数()01>=x xy 图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为三．解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17. (本题满分12分) 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别a 、b 、c ，已知5a b +=，c =12cos sin 2sin 2sin 2=+⋅+C C C C . ( I ) 求角C 的大小；( II ) 求ABC ∆的面积.18. (本题满分12分) 如图,三棱锥ABC P -中, PB ⊥平面ABC ，4===CA BC PB ,090=∠BCA ,E 为PC 的中点.( I )求证:⊥BE 平面PAC ; ( II )求二面角C AB E --的余弦值.19. (本题满分12分) 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该类体育节目时间的频率分布直方图，其中收看时间分组区间依次是：[)[)[)0,10,10,20,20,30,[)30,40,[)40,50,[]50,60.将日均收看该类体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”. (I)求图中x 的值；(II)从“体育迷”中随机抽取2人，该2人中日均收看该类体育节目时间在区间[]50,60内的人数记为X ，求X 的数学期望()E X .20. (本题满分12分) 已知椭圆E:2221(3x y a a +=>的离心率，直线(0)x t t =>与B椭圆E 交于不同的两点M 、N ，以线段MN 为直径做圆C ，圆心为C. (I)求椭圆E 的方程；(II)若圆C 与y 轴相交于不同的两点A 、B ，求△ABC 的面积的最大值. 21. (本题满分12分)已知函数()(ln )()f x a x x a R =-∈. (I)讨论函数()f x 的单调性；(II)若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45°，函数32()[()]2mg x x x f x =++在区间(2,3)上总存在极值，求实数m 的取值范围. 请考生在第22、23、24题中任意选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22. (本题满分10分) 选修4-1:几何证明选讲如图，圆O 的圆心O 在Rt △ABC 的直角边BC 上，该圆与直角边AB 相切，与斜边AC 交于D ，E ，AD ＝DE ＝EC ，AB (I)求BC 的长； (II)求圆O 的半径.23．(本题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1,5)-，点M 的极坐标为(4,)2π，若直线l 过点P ，且倾斜角为3π，圆C 以M 为 圆心、4为半径。

(I)写出直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； (II)试判定直线l 和圆C 的位置关系。

24. (本题满分10分) 选修4-5：不等式选讲设函数()1.f x x x a =++- (I)若2a =，解不等式()5f x ≥；(II)如果,()3x R f x ∀∈≥，求a 的取值范围。

昆明三中、昆明滇池中学2012—2013学年度下学期期末考试高二数学(理科)答题卷二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 14. 15. 16.三．解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17.(本题满分12分)解：18.(本题满分12分)解：19.(本题满分12分)解： 20.(本题满分12分) 解： 21.(本题满分12分) 解：请考生在第22、23、24题中任意选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本题满分10分) 选修4-1:几何证明选讲 解：23．(本题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程 解：24. (本题满分10分) 选修4-5：不等式选讲 解：昆明三中、昆明滇池中学2012—2013学年度下学期期末考试高二数学(理科)参考答案1.D2.C3.A4.C5.B6.D7.B8.A9.B 10.C 11.C12. AB13.32 14.1-15. 16.1ln 22+ 17.解：(Ⅰ)∵12cos sin 2sin 2sin 2=+⋅+C C C C . ∴224sin cos C C ⋅222sin cos 2sin 0C C C +⋅-=sin 0C ≠ 22c o s c o s 10C C ∴+-= cos 1C ∴=-（舍）或1cos 2C =………………………4分 3C π∴=…………………………………6分(Ⅱ)2221cos cos 322a b c C abπ+-===22()22a b ab c ab +--=又∵5a b +=，c = ∴6ab =∴11sin 622S ab C ==⨯= .即ABC S ∆= 18.证明 (1):PB ABC PB ,AC AC PBC AC BE BE PAC BC AC PB BC E BE PC ⎫⊥⇒⊥⎫⇒⊥⇒⊥⎬⎪⇒⊥⊥⎬⎭⎪=⇒⊥⎭面面面为中点(2)方法一:过E 作EF ⊥BC,F 为垂足.由已知得EF ⊥面ABC,过F 作FM ⊥AB,M 为垂足,连接EM,则EM ⊥AB(三垂线定理).所以∠EMF 为二面角E-AB-C 的平面角在Rt EFM ∆中,EF=2,FM=2,cos ∠EMF=33方法二:以B 为原点建立空间直角坐标系B-xyzB(0,0,0),C(4,0,0),A(4,4,0),P(0,0,4),E(2,0,2),则），（04,4=,）（2,0,2= 平面ABC 法向量为)1,0,0(1=n ;设平面ABE 法向量为),,(2z y x n =. 则02=⋅n BA 02=⋅n BE⎩⎨⎧=+=+022044z x y x .令z=1,得x=-1,y=1,.即)1,1,1-(2=n设二面角E-AB-C 为θ,则cos =θ3319.20. 解：(1) 22143x y +=(4分) (2)当427t =时，△ABC 有最大面积37(12分) 21.（Ⅱ）∵()x f y =的图像在点()()2,2f 处的切线的倾斜角为45°， ∴ (12)(2)tan 451,-22a f a -'==︒=∴=……………………………………7分2(1)2(1)()x x f x x x ---'==32322(1)()()(2)2,22m x mg x x x x x x x -=++=++-……………………………9分2()3(4)2g x x m x '=++-,(0)20,g '=-< 要使函数()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'++=x f m x x x g 223在区间（2，3）上总存在极值,只需(2)0,(3)>0g g '<⎧⎨'⎩37<9.3m -<-解得…………………………………………………12分22.23. 解：(I)直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x l 235211:（t 为参数），圆θρsin 8:=C(II)圆心到直线的距离4239=>+=r d ，故直线l 与圆C 相离. 24解：（I ）),3[]2,(+∞--∞∈ x （II ）2≥a 或4-≤a。