江西省新余市2015届高三下学期第二次模拟数学(理)试卷

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江西新余市2015届高三第二次模拟考试理科综合物理试题

新余市2015年高三“二模”统一考试理科综合试卷命题人：胡黎刚曹华朱国宏刘海锋晏迟红付宁福可能用到的相对原子质量：H :1 N :14 O:16 Al:27 Cl:35.5 Cu 64 Se:79Ag 108 Au 197一、选择题（本题包括13个小题，每小题6分，共78分。

每小题只有一个正确选项．．．．．．．．。

）二、选择题：本题共8小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，第14～18题只有一项符合题目要求，第19～21题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

14．下列关于物理学史和物理研究方法的叙述中正确的是 ( )A ．用点电荷来代替带电体的研究方法叫微元法B ．利用v -t 图像推导匀变速直线运动位移公式的方法是理想模型法C ．伽利略借助实验研究和逻辑推理得出了自由落体运动规律D ．法拉第发现电流的磁效应与他坚信电和磁之间一定存在联系的哲学思想是分不开的15. 一质点做匀加速直线运动时,速度变化Δv 时发生位移x 1，紧接着速度变化同样的Δv 时发生位移x 2，则该质点的加速度为 ( )A ．)11(212x x v +∆）（ B ．122)(2x x v -∆ C ．)11(212x x v -∆）（ D ．122v)(x x -∆ 16.如图所示，N 个小球(可看做质点)均匀分布在半径为R 的圆周上，圆周上P 点的一个小球所带电荷量为﹣2q ，其余小球带电量为+q ，圆心处的电场强度大小为E ．若仅撤去P 点的带电小球，圆心处的电场强度大小为（）A ．EB ．E/2C ．E/3D ．E/417．在粗糙绝缘的斜面上A 处固定一点电荷甲,在其左下方B 点无初速度释放带电小物块乙,小物块乙沿斜面运动到C 点静止,从B 到C 的过程中,乙带电量始终保持不变,下列说法正确的是（）A ．甲、乙一定带异种电荷B ．小物块的电势能一定减少C ．小物块机械能的损失一定大于克服摩擦力做的功D ．B 点的电势一定高于C 点的电势18．热敏电阻是一种广泛应用于自动控制电路中的重要电子元件,它的重要特性之一是,其电阻值随着环境温度的升高而减小。

江西省重点中学协作体2015届高考数学二模试卷(理科)

江西省重点中学协作体2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x2﹣4x＞0}，N={x|m＜x＜8}，若M∩N={x|6＜x＜n}，则m+n=（）A．10 B．12 C．14 D．162．（5分）设i是虚数单位，则|（1+i）﹣|=（）A．B．2C．3D．3．（5分）已知等比数列{a n}的各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则=（）A．1B．3C．6D．94．（5分）给出下列结论：①命题“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”；②命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；③数列{a n}满足“a n+1=3a n”是“数列{a n}为等比数列”的充分必要条件．其中正确的是（）A．.①②B．.①③C．.②③D．．①②③5．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+4，数列{a n}是公差为d的等差数列，若a1=f（d﹣1），a3=f （d+1），则{a n}的通项公式为（）A．2n﹣2 B．2n+1 C．2n+3 D．n+26．（5分）若实数x，y满足，则z=的最小值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣57．（5分）已知直角△ABC中，斜边AB=6，D为线段AB的中点，P为线段CD上任意一点，则（+）•的最小值为（）A．﹣B．C．﹣2 D．28．（5分）甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示，则甲、乙、丙三人训练成绩的方差S甲2、S乙2、S丙2的大小关系是（）A．S丙2＞S乙2＞S甲2B．S甲2＞S丙2＞S乙2C．S丙2＞S甲2＞S乙2D．S乙2＞S丙2＞S甲29．（5分）如图所示程序框图，则满足|x|+|y|≤2的输出的有序实数对（x，y）的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知圆x2+y2=4，点A（，0），动点M在圆上运动，O为坐标原点，则∠OMA 的最大值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知点A（0，1），曲线C：y=alnx恒过定点B，P为曲线C上的动点且•的最小值为2，则a=（）A．﹣2 B．﹣1 C．2D．112．（5分）已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式（2﹣）6展开式中常数项是．14．（5分）已知数列{a n}满足a n+1=（n∈N+），若a1=，则a2015=．15．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为．16．（5分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是．三、解答题：本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）角A，B，C为△ABC的三个内角，且f（+）=，f（+）=，求sinC的值．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面APC⊥平面ABC，且PA=PB=PC=4，AB=BC=2．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC；（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．19．（12分）4月15日，亚投行意向创始成员国已经截止，意向创始成员国敲定57个，其中，亚洲国家34个，欧洲国家18个，非洲和大洋洲各2个；南美洲1个．18个欧洲国家中G8国家有5个（英法德意俄）．亚投行将设立理事会、董事会和管理层三层管理架构．假设理事会由9人组成，其中3人由欧洲国家等可能产生．（1）这3人中恰有2人来自于G8国家的概率；（2）设X表示这3人来自于G8国家的人数，求X的分布列和期望．20．（12分）已知点F（，0），圆E：（x+）2+y2=16，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．（1）求动点Q的轨迹方程；（2）若直线l与圆O：x2+y2=1相切，并与（1）中轨迹交于不同的两点A、B．当•=λ，且满足≤λ≤时，求△AOB面积S的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣ae x（a为实常数）．（1）若函数f（x）在x=0的切线与x轴平行，求a的值；（2）若f（x）有两个零点x1、x2，求证：x1+x2＞2．一、选修4-1：几何证明选讲：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并写上所做题的题号.注意所做题目的题号必须和所写的题号一致.22．（10分）如图，已知PA与圆O相切于点A，半径OB⊥OP，AB交PO于点C．（1）求证：PA=PC；（2）若圆O的半径为3，PO=5，求线段AC的长度．一、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xoy中，直l线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=10cosθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，6），求|PA|+|PB|．一、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．江西省重点中学协作体2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x2﹣4x＞0}，N={x|m＜x＜8}，若M∩N={x|6＜x＜n}，则m+n=（）A．10 B．12 C．14 D．16考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M中不等式的解集确定出M，根据N及两集合的交集，确定出m与n的值，即可求出m+n的值．解答：解：由M中不等式解得：x＜0或x＞4，∴M={x|x＜0或x＞4}，∵N={x|m＜x＜8}，且M∩N={x|6＜x＜n}，∴m=6，n=8，则m+n=6+8=14，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）设i是虚数单位，则|（1+i）﹣|=（）A．B．2C．3D．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解答：解：∵=1+i+=1+3i，∴|（1+i）﹣|==．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．3．（5分）已知等比数列{a n}的各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则=（）A．1B．3C．6D．9考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：设各项都是正数的等比数列{a n}的公比为q，（q＞0），由题意可得关于q的式子，解之可得q，而所求的式子等于q2，计算可得．解答：解：设各项都是正数的等比数列{a n}的公比为q，（q＞0）由题意可得2×a3=3a1+2a2，即q2﹣2q﹣3=0，解得q=﹣1（舍去），或q=3，故==q2=9．故选：D．点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题．4．（5分）给出下列结论：①命题“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”；②命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；③数列{a n}满足“a n+1=3a n”是“数列{a n}为等比数列”的充分必要条件．其中正确的是（）A．.①②B．.①③C．.②③D．．①②③考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：利用命题的否定判断①的正误；充要条件判断②的正误；等比数列的定义判断③的正误．解答：解：对于①，命题“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”；满足命题的否定形式，所以①正确．对于②，命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；前者能够说明后者成立，sinα=成立则α=不一定成立，所以②正确；对于③，数列{a n}满足“a n+1=3a n”是“数列{a n}为等比数列”的充分必要条件错误．例如：数列是常数列{0}，则满足“a n+1=3a n”，数列不是等比数列，所以③不正确；故选：A．点评：本题考查命题的真假的判断，充要条件以及命题的否定，等比数列的基本知识的应用，考查基本知识的掌握情况．5．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+4，数列{a n}是公差为d的等差数列，若a1=f（d﹣1），a3=f （d+1），则{a n}的通项公式为（）A．2n﹣2 B．2n+1 C．2n+3 D．n+2考点：数列与函数的综合．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：根据f（x）求出a1、a3，再利用等差数列的定义求出d与a1的值，即得通项公式a n．解答：解：∵f（x）=x2﹣2x+4，∴a1=f（d﹣1）=（d﹣1）2﹣2（d﹣1）+4=d2﹣4d+7，a3=f（d+1）=（d+1）2﹣2（d+1）+4=d2+3；∴a3﹣a1=4d﹣4，即2d=4d﹣4，解得d=2；∴a1=3，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．故选：B．点评：本题考查了根据函数的解析式求函数值的应用问题，也考查了等差数列的通项公式的应用问题，是基础题目．6．（5分）若实数x，y满足，则z=的最小值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域．，利用分式函数的意义以及直线的斜率进行求解即可解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z===1+，设k=，则k的几何意义为区域内的点到定点D（2，﹣2）的斜率，由图象知AD的斜率最小，由得，即A（1，2），此时AD的斜率k=，则z=1+k=1﹣4=﹣3，即z=的最小值为﹣3，故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率以及数形结合是解决本题的关键．7．（5分）已知直角△ABC中，斜边AB=6，D为线段AB的中点，P为线段CD上任意一点，则（+）•的最小值为（）A．﹣B．C．﹣2 D．2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据图形判断设|PC|=3﹣x，e则|PD|=x，与的夹角为π，0≤x≤3，运用数量积的运算得出函数式子（+）•=﹣2x•（3﹣x），再利用基本不等式求解即可．解答：解：∵直角△ABC中，斜边AB=6，D为线段AB的中点，∴|CD|=3，+=2，∵P为线段CD上任意一点，∴设|PC|=3﹣x，则|PD|=x，与的夹角为π，0≤x≤3，∴（+）•=﹣2x•（3﹣x），∵x•（3﹣x）≤，∴﹣2x•（3﹣x）≥﹣2×=﹣．故选：A．点评：本题考查了平面向量的数量积，转化为函数求解，关键是根据图形得出向量的关系，属于容易题．8．（5分）甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示，则甲、乙、丙三人训练成绩的方差S甲2、S乙2、S丙2的大小关系是（）A．S丙2＞S乙2＞S甲2B．S甲2＞S丙2＞S乙2C．S丙2＞S甲2＞S乙2D．S乙2＞S丙2＞S甲2考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：由于方差为表示数据离散程度的量，且数据越小越集中，观察数据即可得到结论．解答：解：由于方差为表示数据离散程度的量，且数据越小越集中，由条形图知，乙图最集中，丙图最分散，故s乙2＜s乙2＜s丙2，故选：C点评：本题主要考查了频率分布条形图，以及平均数、方差和标准差，属于基础题9．（5分）如图所示程序框图，则满足|x|+|y|≤2的输出的有序实数对（x，y）的概率为（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：函数的性质及应用；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，由y=x3是奇函数可求阴影部分的面积与正方形的面积之比，从而得解．解答：解：程序框图的含义是，阴影部分的面积与正方形的面积之比，因为y=x3是奇函数，所以面积之比为：．故选：D．点评：本题主要考查了程序框图和函数的性质及应用，属于基本知识的考查．10．（5分）已知圆x2+y2=4，点A（，0），动点M在圆上运动，O为坐标原点，则∠OMA 的最大值为（）A．B．C．D．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题；直线与圆．分析：设|MA|=x，则可求得|OM|，|AO|的值，进而利用余弦定理得到cos∠OMA的表达式，利用均值不等式求得cos∠OMA的最小值，进而求得∠OMA的最大值．解答：解：设|MA|=x，则|OM|=2，|AO|=由余弦定理可知cos∠OMA==（x+）≥×2=（当且仅当x=1时等号成立）∴∠OMA≤．故选：C．点评：本题主要考查了点与圆的位置关系，余弦定理的应用，均值不等式求最值．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．11．（5分）已知点A（0，1），曲线C：y=alnx恒过定点B，P为曲线C上的动点且•的最小值为2，则a=（）A．﹣2 B．﹣1 C．2D．1考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：运用对数函数的图象特点可得B（1，0），设P（x，alnx），运用向量的数量积的坐标表示，可得f（x）=•=x﹣alnx（0，+∞）+1，再由导数，求得极值点即为最值点，对a讨论通过单调性即可判断．解答：解：曲线C：y=alnx恒过点B，则令x=1，可得y=0，即B（1，0），又点A（0，1），设P（x，alnx），则•=f（x）=x﹣alnx+1，由于f（x）=x﹣alnx+1在（0，+∞）上有最小值2，且f（1）=2，故x=1是f（x）的极值点，即最小值点．f′（x）=1﹣=，a＜0，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上是增函数，所以没有最小值；故不符合题意；当a＞0，x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，a）是减函数，在（a，+∞）是增函数，有最小值为f（a）=2，即a﹣alna+1=2，解得a=1；故选D．点评：本题考查了利用导数求函数的最值；关键是将数量积表示为关于x的函数，通过求导，判断单调性，得到最值求参数a．12．（5分）已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分别求出e1、e2（e1＞e2），利用基本不等式求出e1+2e2的最小值．解答：解：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO2|+|MO1|=4﹣r=2a，∴e1=．②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令12﹣r=t（10＜t＜12），e1+2e2=2×≥2×==故选：A．点评：本题考查了两圆相切的性质、双曲线的离心率，属于难题．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式（2﹣）6展开式中常数项是﹣160．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：利用二项式定理展开式，直接求出常数项的值即可．解答：解：因为=20×8×（﹣1）=﹣160．所以展开式中常数项是﹣160．故答案为：﹣160．点评：本题考查二项式定理展开式的应用，特定项的求法，考查计算能力．14．（5分）已知数列{a n}满足a n+1=（n∈N+），若a1=，则a2015=﹣2．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过求出数列的前几项，找出其周期即可．解答：解：∵a n+1=（n∈N+）、a1=，∴a2==3，a3==﹣2，a4==﹣，a5==，a6==3，∴数列{a n}满足：a n=a n+4，∵2015=503×4+3，∴a2015=a3=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题考查求数列的通项，找出周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．15．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为8π．考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图判断几何体的形状，根据他的几何性质得出AD⊥面BDC，DC=1，AD=1，BE⊥CD与E，DE=，BE=，利用三角形判断得出三角形BDC外接圆的半径r=1，根据球的几何性质得出：R2=r2+d2，求解R即得出面积．解答：解：根据三视图得出几何体为三棱锥，AD⊥面BDC，DC=1，AD=1，BE⊥CD与E，DE=，BE=，∴∠BED=60°，BD=1，∵在三角形BDC中，BD=DC=1，∠BDC=120°，∴根据余弦定理得出：BC=，∵利用正弦定理得出：=2r∴三角形BDC外接圆的半径r=1，∵三棱锥的外接球的半径R，d=AD=1，利用球的几何性质得出：R2=r2+d2，∴R=，∴它的外接球的表面积为4×π×（）2=8π，故答案为：8π．点评：本题考查了空间几何体的外接球的问题，充分利用几何性质，把立体问题转化为平面问题求解，考查了三角的定理的运用综合性较强，属于中档题．16．（5分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6．考点：集合的相等．专题：计算题；集合．分析：利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论．解答：解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．点评：本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．三、解答题：本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）角A，B，C为△ABC的三个内角，且f（+）=，f（+）=，求sinC的值．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先利用倍角公式化简解析式为一个角的一个三角函数的形式，然后求单调区间和sinC．解答：解：由题意可得f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）（1）令2kπ≤2x﹣≤2kπ+所以增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．…（6分）（2）由f（+）=得sinA=；…（7分）f（）=得cosB=，sinB=；…（8分）由于sinA=＜sinB=，则a＜b⇒cosA=…（10分）所以sinC=sin（A+B）=．…（12分）点评：本题考查了倍角公式的运用化简三角函数，然后求单调区间以及解三角形；关键是正确化简三角函数解析式为一个角的一个三角函数的形式．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面APC⊥平面ABC，且PA=PB=PC=4，AB=BC=2．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC；（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取AC中点O，连结PO，BO，证明OP⊥平面ABC，利用三棱锥的体积公式，即可求三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC；（2）建立如图所示的空间直角坐标系．求出平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．解答：解：（1）取AC中点O，连结PO，BO，∵PA=PC，AB=BC，∴OP⊥AC，OB⊥AC，又∵平面APC⊥平面ABC，∴OP⊥平面ABC…（2分），∴OP⊥OB，∴OP2+OB2=PB2，即16﹣OC2+4﹣OC2=16，得OC=，则OA=，OB=，OP=，AC=2，…（4分）∴S△ABC==2．∴V P﹣ABC==．…（6分）（2）建立如图所示的空间直角坐标系．得O（0，0，0），A（0，﹣，0），B（，0，0），C（0，，0），P（0，0，），…（8分）∴=（﹣），=（﹣，0，），设平面PBC的法向量=（x，y，z）．则，取z=1，得=（，，1）．（10分）∵=（），∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．…（12分）点评：本题考查线面垂直的判定，考查三棱锥体积的计算，考查线面角，正确运用向量方法是关键．19．（12分）4月15日，亚投行意向创始成员国已经截止，意向创始成员国敲定57个，其中，亚洲国家34个，欧洲国家18个，非洲和大洋洲各2个；南美洲1个．18个欧洲国家中G8国家有5个（英法德意俄）．亚投行将设立理事会、董事会和管理层三层管理架构．假设理事会由9人组成，其中3人由欧洲国家等可能产生．（1）这3人中恰有2人来自于G8国家的概率；（2）设X表示这3人来自于G8国家的人数，求X的分布列和期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）直接利用古典概型的概率求解这3人中恰有2人来自于G8国家的概率；（2）设X表示这3人来自于G8国家的人数，求出概率得到分布列，然后求解X的期望．解答：解：（1）这3人中恰有2人来自于G8国家的概率：P==…（5分）（2）X可能的取值为0、1、2、3P（X=0）==，P（X=1）==P（X=2）==P（X=3）==X 0 1 2 3P…（10分）EX=0×+1×+2×+3×=…（12分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．20．（12分）已知点F（，0），圆E：（x+）2+y2=16，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．（1）求动点Q的轨迹方程；（2）若直线l与圆O：x2+y2=1相切，并与（1）中轨迹交于不同的两点A、B．当•=λ，且满足≤λ≤时，求△AOB面积S的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）连接QF，结合圆的定义和垂直平分线的性质，以及椭圆的定义，可得Q的轨迹方程；（2）设直线l的方程为x=my+n（m∈R），由直线和圆相切的条件：d=r，可得m，n的关系，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，求得△AOB的面积，结合向量的数量积的坐标表示和基本不等式，即可得到所求范围．解答：解：（1）连接QF，∵|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|PE|=4＞|EF|=2，∴动点Q的轨迹是以E（﹣，0）、F（，0）为焦点，长轴长2a=4的椭圆，即动点Q的轨迹方程为：+y2=1；（2）依题结合图形知直线l的斜率不为零，所以设直线l的方程为x=my+n（m∈R）．∵直线L即x﹣my﹣n=0与圆O：x2+y2=1相切，∴=1得n2=m2+1．又∵点A，B的坐标满足：，消去x整理得（m2+4）y2+2mny+n2﹣4=0，由韦达定理得y1+y2=﹣，y1y2=，又|AB|=•|y1﹣y2|，点O到直线l的距离d==1，∴S△AOB=d•|AB|=•|y1﹣y2|=|n|•|y1﹣y2|=2•=2•，∵λ==x1x2+y1y2=（my1+n）（my2+n）+y1y2=（m2+1）y1y2+mn（y1+y2）+n2==∵，令t=1+m2，则λ=∈[，]，即有t∈[3，6]∴S△AOB=2•=2•=2•=∵t+∈[6，]，t++6∈[12，]，∈[，]，∴S△AOB∈[，1]，∴S△AOB的取值范围为[，1]．点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，弦长公式和基本不等式，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣ae x（a为实常数）．（1）若函数f（x）在x=0的切线与x轴平行，求a的值；（2）若f（x）有两个零点x1、x2，求证：x1+x2＞2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，即可得到结论．（2）由题意可求出0＜a＜；则a=的两个不同根为x1，x2，作出y=的图象，利用数形结合证明．解答：解：（1）函数的导数f′（x）=1﹣ae x，∵f（x）在x=0的切线与x轴平行，∴f′（0）=0，即f′（0）=1﹣a=0，解得a=1．（2）由f（x）=x﹣ae x=0得a=，设g（x）=，则g′（x）==，由g′（x）＜0得x＞1，由g′（x）＞0得x＜1，即函数g（x）在x=1时，取得极大值g（1）=，则要使f（x）有两个零点x1、x2，则满足0＜a＜，则x1=ae x1，x2=ae x2；∵g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；又∵当x∈（﹣∞，0]时，g（x）≤0，故不妨设x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；对于任意a1，a2∈（0，），设a1＞a2，若g（m1）=g（m2）=a1，g（n1）=g（n2）=a2，其中0＜m1＜1＜m2，0＜n1＜1＜n2，∵g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；又∵g（m1）＞g（n1），g（m2）＞g（n2）；∴m1＞n1，m2＜n2；∴；故随着a的减小而增大，令=t，x1=ae x1，x2=ae x2，可化为x2﹣x1=lnt；t＞1；则x1=，x2=；则x2+x1=，令h（t）=，则可证明h（t）在（1，+∞）上单调递增；故x2+x1随着t的增大而增大，即x2+x1随着的增大而增大，故x2+x1随着a的减小而增大，而当a=时，x2+x1=2；故x1+x2＞2．点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了数形结合的思想应用，属于难题一、选修4-1：几何证明选讲：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并写上所做题的题号.注意所做题目的题号必须和所写的题号一致.22．（10分）如图，已知PA与圆O相切于点A，半径OB⊥OP，AB交PO于点C．（1）求证：PA=PC；（2）若圆O的半径为3，PO=5，求线段AC的长度．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：（1）根据弦切角定理，可得∠PAB=∠ACB，根据圆周角定理可得∠BAC=90°，结合BC⊥OP，根据同角的余角相等及对顶角相等可得∠PDA=∠PAB，即△PAD为等腰三角形；（2）利用切割线定理求出PA，再求出cos∠AOP，利用余弦定理，即可得出结论．解答：（1）证明：∵PA与圆O相切于点A，∴∠PAB=∠ADB∵BD为圆O的直径，∴∠BAD=90°∴∠ADB=90°﹣∠B∵BD⊥OP，∴∠BCO=90°﹣∠B∴∠BCO=∠PCA=∠PAB即△PAC为等腰三角形∴PA=PC；…（5分）（2）解：假设PO与圆O相交于点M，延长PO交圆O于点N．∵PA与圆O相切于点A，PMN是圆O的割线，∴PA2=PM•PN=（PO﹣OM）（PO+ON）．∵PO=5，OM=ON=3，∴PA=4．由（1）知PC=PA=4，∴OC=1．在Rt△OAP中，cos∠AOP==．∴AC2=9+1﹣2×3×1×=．∴AC=．…（10分）点评：本题考查的知识点是弦切角定理，圆周角定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，属于中档题．一、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xoy中，直l线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=10cosθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，6），求|PA|+|PB|．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由ρ=10cosθ得ρ2=10ρcosθ，把代入即可得出．（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，化为=0，可设t1，t2是上述方程的两个实根．利用|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=﹣（t1+t2）即可得出．解答：解：（1）由ρ=10cosθ得ρ2=10ρcosθ，∴直角坐标方程为：x2+y2=10x，配方为：（x﹣5）2+y2=25．（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，化为=0，由于△=﹣4×20=82＞0，可设t1，t2是上述方程的两个实根．∴t1+t2=﹣，t1t2=20，又直线l过点P（2，6），可得：|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=﹣（t1+t2）=9．点评：本题考查了参数方程的应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．一、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．考点：带绝对值的函数；其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）不等式等价于①，或②，或③．分别求出这3个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值等于4，故有|a﹣1|＞4，解此不等式求得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6 即|2x+1|+|2x﹣3|≤6，∴①，或②，或③．解①得﹣1≤x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x≤2．故由不等式可得，即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，即f（x）的最小值等于4，∴|a﹣1|＞4，解此不等式得a＜﹣3或a＞5．故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

江西省新余市新余一中2015届高三数学第二次模拟考试试题文

高三第二次模拟考试数学文试题一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合{1,1},{|124}xA B x =-=≤<,则A B 等于( ) A ．{-1,0,1} B ．{1} C ．{-1,1} D ．{0,1}2．下列函数中周期为π且图象关于直线6x π=对称的函数是（）（Ａ） A ．2sin(2)6y x π=- B ．2sin()23x y π=+ C ．2sin(2)6y x π=+ D ．2sin()23x y π=- 3．若直线2x y -=被圆22(1)()4x y a -++=所截得的弦长为22,则实数a 的值为（） A ．2-或6 B ．0或4 C ．1-或3 D ． 1-或34．已知变量x ，y 满足约束条件102200x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为（）A ．2B ．52 C ．1- D ．125．下列命题说法正确的是（）A ．命题“若21x =,则1x =”的否命题为：“若21x =,则1x ≠”B ．“03x <<”是“11x -<”的必要不充分条件C ．命题“x R ∃∈,使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈,均有210x x +->” D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆命题为真命题6．按如下程序框图，若输出结果为42S =，则判断框内应补充的条件（）A ．3i >B ．5i >C ．7i >D ．9i >7．椭圆22216x y a +=与双曲线2214x y a -=有相同的焦点，则实数a 的值是（）A ．12B ．1或2-C ．1或 12D ．18. 一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（） A. 22015π+ B. 20815π+ C. 2009π+ D. 20018π+ 9．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=．若当[)0,1x ∈时，()22xf x =-，则12(log 42)f 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ． 2- 10. 如图，已知点()2,0P，正方形ABCD 内接于圆O ：221xy +=，M 、N 分别为边AB 、BC 的中点. 当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围为（）A ．[]2,2-B ．2,2⎡⎤-⎣⎦C ．[]1,1-D ．22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卡上．）11．已知复数21(1)()z a a i a R =-++∈为纯虚数，则z 为．（）A ．0B ．2iC ．2i -D ．12i -- 12. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若231012a a a ++=，则9S = ．13．函数()sin cos f x x x x =+在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为．14．已知(,)A A A x y 是单位圆上（圆心在坐标原点O ）任一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转3π到OB 交单位圆于点(,)B B B x y ，则2A By y -的最大值为．第10题图第8题15．设函数()f x 的定义域为D ，若,x D y D ∀∈∃∈，使得()()f y f x =-成立，则称函数()f x 为“美丽函数”.下列所给出的五个函数： ①2y x =；②11y x =-；③()ln(23)f x x =+；④22x xy -=-；⑤2sin 1y x =-．其中是 “美丽函数”的序号有．三、解答题：(本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．) 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a b c <<，sin A =．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，b =，求c 及ABC ∆的面积.17. （本小题满分12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x （°C）与该小卖部的这种饮料销量y （杯），得到如下数据：（Ⅱ）请根据所给五组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+；（Ⅲ）根据（Ⅱ）中所得的线性回归方程，若天气预报1月16日的白天平均气温7（°C），请预测该奶茶店这种饮料的销量．（参考公式：121()()ˆˆˆ()niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑，．）19.（本小题满分13分）在如图所示的多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD BC，平面BCEF平面ADEF EF=，60BAD∠=，2AB=，1DE EF==．（Ⅰ）求证：BC EF；（Ⅱ）求三棱锥B DEF-的体积．20、(本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>过点31,2A⎛⎫⎪⎝⎭，离心率为12，左、右焦点分别为12,F F，过1F的直线交椭圆于,A B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当ABF2∆的面积为7212时，求直线的方程．21、（本小题满分12分）已知函数2()(1)ln1f x a x x=-++．第19题图FACDEB（Ⅰ）当14a =-时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]上是减函数，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当[1,)x ∈+∞时，函数()y f x =图象上的点都在1,0x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求数a 的取值范围1．B 2．C 3．D 4．A 5．B 6． B7． D 8.B 9．A 10. C 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卡上．）11. 2i - 12．36 13.2π1415．②③④16．Ⅰ）sin A =2sin b A =，2sin sin A B A =， ………………………………………………2分又0A π<<，sin 0A ∴>，sin B ∴=， …………………………………………4分a b c <<，B C ∴<，所以02B π<<，故3B π=. …………………………………6分（Ⅱ）2a =，b =，由余弦定理可得：22212222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=解得3c =或1c =-（舍去），故3c =. ………………………………………………10分所以11sin 2322ABC S ac B ∆==⨯⨯=. ………………………………………12分17.（Ⅰ）设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A ，所有基本事件（m ，n ）（其中m ，n 为1月份的日期数）有：（11,12），（11,13），（11,14），（11,15），（12,13），（12,14），（12,15），（13,14），（13,15），（14,15），共有10种．事件A 包括的基本事件有（11,12），（12,13），（13,14），（14,15）共4种．所以42()105P A ==为所求． ………………………………………………………6分（Ⅱ）由数据，求得91012118105x ++++==，2325302621255y ++++==．由公式，求得ˆ 2.1b =，ˆˆ4a y bx =-=，所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ2.14y x =+． ……………………………………10分（Ⅲ）当x=7时，ˆ2.17418.7y =⨯+=．所以该奶茶店这种饮料的销量大约为19杯． ………………………………………12分另解:由题意得324224S S S =-+，1q ≠,()()()3241111112111a q a q a q qqq---∴=-+---，化简得2210q q --=，12q ∴=-， ………………………………………………4分()13122n n a n N -*⎛⎫∴=-∈ ⎪⎝⎭. ………………………………………………………5分（Ⅱ）1313222n n n n nb n a n -⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭，所以12312336932222n n n nT b b b b =++++=++++， ①()23131136322222n n n n nT +-=++++， ② ………………………………………8分①-②得，1231133333222222n nn nT +=++++-111132231212n n n +⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=--13632n n ++=-，所以3662n n n T +=-， ……………………………………………………………11分从而6662n n n T b +=-<. .………….………………………………………………12分19. （Ⅰ）因为AD BC ，AD ⊂平面ADEF ，BC ⊄平面ADEF ，所以BC 平面ADEF ， ………………………………………………………………………3分又BC ⊂平面BCEF ，平面BCEF平面ADEF EF =，所以BC EF ． ……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）在平面ABCD 内作BH AD ⊥于点H ，因为DE ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ，所以DE BH ⊥，又AD 、DE ⊂平面ADEF ，ADDE D =，所以BH ⊥平面ADEF ，所以BH 是三棱锥B DEF -的高． ………………………………………………………10分在直角三角形ABH 中，o60BAD ∠=，2AB =，所以3BH =，因为DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以DE AD ⊥，又由（Ⅰ）知，BC EF ，且AD BC ，所以AD EF ，所以DE EF ⊥，所以三棱锥B DEF -的体积11131133326DEF V S BH ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=．……………12分 20、解：（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以221914a b +=①，又因为离心率为12，所以12c a =，所以2234b a =②，解①②得224, 3.a b == 所以椭圆的方程为：22143x y +=……… （4分）②当直线的倾斜角不为2π时，设直线方程:(1)l y k x =+，代入22143x y +=得：2222(43)84120k x k x k +++-=……… 7分设1122(,)(,)A x y B x y ，则221212228412,,4343k k x x x x k k --+==++221212121212222222211()4221218412122()4()4343437ABF S AB F F y y F F k x x x x k k k k kk k k ∆∴=⨯=⨯=+-+--=-=+++4221718011k k k k ∴+-=∴=∴=±，所以直线方程为：10x y -+=或10x y ++=……… （13分） 21.（Ⅱ）1()2(1)f x a x x '=-+，∵函数()f x 在区间[2,4]上单调递减， ∴1()2(1)0f x a x x '=-+≤在区间[2,4]上恒成立，即212a x x ≤-+在[2,4]上恒成立，只需2a 不大于21x x -+在[2,4]上的最小值即可． 8分而221111()24x x x =-+--+(24)x ≤≤，则当24x ≤≤时，2111[,]212x x ∈---+， ∴122a ≤-，即14a ≤-，故实数a 的取值范围是1(,]4-∞-． 10分（Ⅲ）因()f x 图象上的点在1,0x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，即当[1,)x ∈+∞时，不等式()f x x ≤恒成立，即2(1)ln 10a x x x -+-+≤恒成立，设2()(1)ln 1g x a x x x =-+-+（1x ≥），只需max ()0g x ≤即可．由1()2(1)1g x a x x '=-+-22(21)1ax a x x -++=，（ⅰ）当0a =时，1()xg x x -'=，当1x >时，()0g x '<，函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0g x g ≤=成立．（ⅱ）当0a >时，由212(1)()2(21)12()a x x ax a x ag x xx ---++'==，令()0g x '=，得11x =或212x a =，①若112a <，即12a >时，在区间(1,)+∞上，()0g x '>，函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，函数()g x 在[1,)+∞上无最大值，不满足条件；②若112a ≥，即102a <≤时，函数()g x 在1(1,)2a 上单调递减，在区间1(,)2a +∞上单调递增，同样()g x 在[1,)+∞上无最大值，不满足条件．（ⅲ）当0a <时，由12(1)()2()a x x ag x x--'=，因(1,)x ∈+∞，故()0g x '<，则函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0g x g ≤=成立． 14分。

江西省新余市高考二模数学试题（理）含答案

新余市高三“二模”考试数学试题卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2|560A x x x =-+≥，{}|210B x x =->，则A B ⋂=（）A ．(][),23,-∞⋃+∞B ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．[)1,23,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦2.已知复数z 满足：()3112z i i i i+=--则复数z 的虚部为（） A ．i B ．i - C ．1 D ．1- 3.已知下列命题：①在某项测量中，测量结果X 服从正态分布()()1,0N σσ>，若X 在()0,1内取值范围概率为0.4，则X 在()0,2内取值的概率为0.8； ②若a ，b 为实数，则“01ab <<”是“1b a<”的充分而不必要条件； ③已知命题12:,p x x R ∀∈，()()()()21210f x f x xx --≥，则p ⌝是：12,x x R ∃∉，()()()()21210f x f x x x --<；④ABC ∆中，“角A ，B ，C 成等差数列”是“)sin 3sin cos C A A B =+”的充分不必要条件；其中，所有真命题的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事件A =“第一次取到的是奇数”B =“第二次取到的是奇数”，则()P B A =（） A ．12 B ．25 C.310 D ．155.为迎接中国共产的到来，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的6名学生中选派4名学生参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么不同的朗诵顺序的种数为（）A ．320B ．324 C.410 D ．4166.在()12201820170a x a x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的展开式中，5x项的系数等于264，则()02axex dx +⎰等于（）A ．23e +B ．24e + C.1e + D ．2e +7.在如图所示的程序框图中，若输入的98m =，63n =，则输出的结果为（）A ．9B ．8 C.7 D ．6 8.已知关于x 的方程()sin sin 2x x m ππ⎛⎫-++=⎪⎝⎭在区间[)0,2π上有两个根1x ，2x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（）A ．()5,1- B ．(5,1⎤⎦ C.5⎡⎣D ．[)0,19.斜率为k 的直线l 过抛物线()220y px p =>焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，点()00,P x y 为AB 中点，作OQ AB ⊥，垂足为Q ，则下列结论中不正确的是（） A ．0ky 为定值 B ．OA OB ⋅为定值 C.点P 的轨迹为圆的一部分 D ．点Q 的轨迹是圆的一部分 10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A ．136πB ．144π C.36π D ．34π11.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，1F ，2F 为其左、右焦点，P 为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，G 为12F PF ∆内一点，满足123PG PF PF =+，12F PF ∆的内心为I ，且有12IG F F λ=（其中λ为实数），则椭圆C 的离心率e 等于（） A ．13 B ．12 C.23D 312.定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<，满足()()()'1f b f a f x b a -=-，()()()'2f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是在区间[],a b 上的一个双中值函数，已知函数()3265f x x x =-是区间[]0,t 上的双中值函数，则实数t 的取值范围是（） A ．36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．26,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 23,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．61,5⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(),1a x =，()1,2b =，()1,5c =-，若()2//a b c +，则a = ．14.若实数x ，y 满足不等式组023010y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z y x =-的最小值是．15.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ,c ,2220b c a -+=,tan 3tan CB=,则a = ．16.对于函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，下列5个结论正确的是（把你认为正确的答案全部写上）．（1）任取[)12,0,x x ∈+∞，都有()()122f x f x -≤；（2）函数()y f x =在[]4,5上单调递增；（3）()()()22f x kf x k K N +=+∈，对一切[)0,x ∈+∞恒成立；（4）函数()()ln 1y f x x =--有3个零点；（5）若关于x 的方程()()0f x m m =<有且只有两个不同的实根1x ，2x ，则123x x +=. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知{}n a 是各项都为正数的数列，其前n 项和为n S ，且n S 为n a 与1na 的等差中项. （1）求证：数列{}2n S 为等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设()1nnnb a -=，求{}n b 的前n 项和n T .18. “微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：步量性别 0~20002001~50005001~8000 8001~10000>10000男 1 2 3 6 8 女21062（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？积极型懈怠型总计男女总计附：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，()20P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0k2.7063.8415.0246.635（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有X 人，超过10000步的有Y 人，设X Y ξ=-，求ξ的分布列及数学期望.19.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =，H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且//BD 平面AMHN . （1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，3PA PC AB ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60，求二面角P AM N --的余弦值.20. 已知动圆过定点()0,2，且在X 轴上截得的弦长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C . （1）求直线420x y -+=与曲线C 围成的区域面积；（2）点P 在直线:20l x y --=上，点()0,1Q ，过点P 作曲线C 的切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，证明：存在常数λ，使得2PQ QA QB λ=⋅，并求λ的值. 21. 已知函数()()221x f x ax bx e -=++（e 为自然对数的底数）.（1）若12a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若()11f =，且方程()1f x =在()0,1内有解，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin ρθ=，直线l 的参数方程为3222x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 和圆C 交于A ，B 两点. （1）求圆心的极坐标；（2）直线l 与x 轴的交点为P ，求PA PB +. 23.选修4-5：不等式选讲设不等式2120x x -<--+<的解集为M ，,a b M ∈.（1）证明：111364a b +<；（2）比较14ab -与2a b -的大小.试卷答案一、选择题1-5:DCCAB 6-10:ACDCD 11、12：BA 二、填空题13.10 14.3215.4 16.（1）（4）（5）三、解答题17.解答：（1）由题意知，即，①当n=1时，由①式可得S1=1；又n≥2时，有a n=S n﹣S n﹣1，代入①式得整理得．∴是首项为1，公差为1的等差数列．（2）由（Ⅰ）可得，∵{a n}是各项都为正数，∴，∴（n≥2），又，∴．（3），当n为奇数时，当n为偶数时，∴{b n}的前n项和．18.解：（1）积极型懈怠型总计男 14 6 20 女 8 12 20 总计221840()2240141268403.8412020221811K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯，故没有95%以上的把握认为二者有关；（2）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过5000步的概率为18，超过10000步的概率为14，且当0X Y ==或1X Y ==时，0ξ=，12551129888464P C =⨯+⋅=；当1X =，0Y =或0X =，1Y =时，1ξ=，1122151530884864P C C =⋅+⋅=；当2X =，0Y =或0X =，2Y =时，2ξ=，221154864P ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即的分布列为：58E ξ=. 19.【解析】【试题分析】（1）连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．根据菱形有BD AC ⊥，根据等腰三角形有BD PO ⊥，所以以BD ⊥平面PAC ， BD PC ⊥.利用线面平行的性质定理有//MN BD ，故//BD MN ，所以MN PC ⊥.（2）以O 为坐标原点建立空间直角. 【试题解析】（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点，因为PD PB =，所以PO BD ⊥，因为AC PO O ⋂=且AC PO ⊂、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥．因为//BD 平面AMHN ， BD ⊂平面PBD ，且平面AMHN ⋂平面PBD MN =，所以//BD MN ，所以MN PC ⊥．（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥，因为PA PC =，且O 为AC 的中点，所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠，所以，所以13,22AO PA PO PA ==，因为3PA AB =，所以36BO PA =．分别以OA ， OB ， OP 为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设2PA =，则()()()()33130,0,0,1,0,0,0,,0,1,0,0,0,,0,0,0,3,,0,3322O A B C D P H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()233330,,0,,0,,1,,0,1,0,33223DB AH AB AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．记平面AMHN 的法向量为()1111,,n x y z =，则111112303{3322n DB y n AH x z ⋅==⋅=-+=，令10x =，则110,3y z ==，所以()11,0,3n =，记平面PAB 的法向量为()2222,,n x y z =，则2222223{ 30n AB x y n AP x z ⋅=-=⋅=-=，令21x =，则2233,y z ==231,3,n ⎛= ⎝⎭，记二面角P AM N --的大小为θ，则12121239cos cos ,13n n n n n n θ⋅===⋅．所以二面角P AM N --的余弦值为3913． 20.曲线方程联立求交点坐标，根据定积分求曲边形面积可得结果；（Ⅱ）设()11,A x y 、()22,B x y ，()00,P x y ，根据导数求切线斜率，设切线方程，由韦达定理2PQ 、QA QB⋅用0x ，表示可得1λ=.试题解析：（Ⅰ）设动圆圆心的坐标为(),x y ，由题意可得，()222222y x y +=+-，化简得24x y =，联立方程组24420x y x y ⎧=⎨-+=⎩，解得114x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩或21x y =⎧⎨=⎩，所以直线420x y -+=与曲线C 围成的区域面积为22111194248x x dx -⎛⎫+-=⎪⎝⎭⎰；（Ⅱ）设()11,A x y 、()22,B x y ，则由题意可得，切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，切线PB 的方程为()2222x y y x x -=-，再设点()00,P x y ，从而有()()1010*******{2x y y x x x y y x x -=--=-，所以可得出直线AB 的方程为()20000011422222x x x y y x x y y x x x y -=-⇒-=⨯-=-⨯，即002x y x y =-．联立方程组002{24x y x y x y=-=，得200240x x x y -+=，又002y x =-，所以有()2002420x x x x -+-=，可得1201202{48x x x x x x +==-，()()222222000000||13269PQ x y x x x x =+-=+-=-+，()()2222121212121211114444x x x x QA QB y y y y y y ⋅=++=+++=⋅+++=()()2212121221164x x x x x x +-++=()()()220002004822481269164x x x x x ---++=-+，所以常数2||=1PQ QA QBλ=⋅． 21. 解: （I ）当21=a ，x e bx x x f -++=)1()(2，x e b x b x x f --+-+-=']1)2([)(2 令0)(='x f ，得11=x ，b x -=12.当0=b 时，0)(≤'x f .当0>b ，11<<-x b 时，0)(>'x f ，b x -<1或1>x 时，0)(<'x f . 当0<b ，b x -<<11时，0)(>'x f ，b x ->1或1<x 时，0)(<'x f .∴0=b 时，)(x f 的单调递减区间为),(+∞-∞；0>b 时，)(x f 的单调递增区间为)1,1(b -，递减区间为)1,(b --∞，),1(+∞；0<b 时，)(x f 的单调递增区间为)1,1(b -，递减区间为)1,(-∞，),1(+∞-b（II ）由1)1(=f 得e b a =++12，a e b 21--=，由1)(=x f 得122++=bx ax e x ，设12)(2---=bx ax e x g x ，则)(x g 在)1,0(内有零点.设0x 为)(x g 在)1,0(内的一个零点，则由0)1(,0)0(==g g 知)(x g 在区间),0(0x 和)1,(0x 上不可能单调.设)()(x g x h '=，则)(x h 在区间),0(0x 和)1,(0x 上均存在零点，即)(x h 在)1,0(上至少有两个零点 b ax e x g x --='4)(，a e x h x 4)(-='.当41≤a 时，0)(>'x h ，)(x h 在区间)1,0(上递增，)(x h 不可能有两个及以上零点；当4e a ≥时，0)(<'x h ，)(x h 在区间)1,0(上递减，)(x h 不可能有两个及以上零点；当441e a <<时，令0)(='x h 得)1,0()4ln(∈=a x ，所以)(x h 在区间))4ln(,0(a 上递减，在)1),4(ln(a 上递增，)(x h 在区间)1,0(上存在最小值))4(ln(a h .若)(x h 有两个零点，则有：0))4(ln(<a h ，0)0(>h ，0)1(>h .)441(1)4ln(46)4ln(44))4(ln(e a e a a a b a a a a h <<-+-=--=设)1(,1ln 23)(e x e x x x x <<-+-=ϕ，则x x ln 21)(-='ϕ，令0)(='x ϕ，得e x =. 当e x <<1时，0)(>'x ϕ，)(x ϕ递增，当e x e <<时，0)(<'x ϕ，)(x ϕ递减，01)()(max <-+==e e e x ϕϕ，所以0))4(ln(<a h 恒成立.由0221)0(>+-=-=e a b h ，04)1(>--=b a e h ，得2122<<-a e . 当2122<<-a e 时，设)(x h 的两个零点为21,x x ，则)(x g 在),0(1x 递增，在),(21x x 递减，在)1,(2x 递增，所以0)0()(1=>g x g ，0)1()(2=<g x g ，则)(x g 在),(21x x 内有零点. 综上，实数a 的取值范围是)21,22(-e . 22. 解：（1）由4sin ρθ=,得24sin ρρθ=,得224x y y +=,故圆C 的普通方程为2240x y y +-=,所以圆心坐标为()0,2,圆心的极坐标为2,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）把322x ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2240x y y +-=得24t =，所以点A 、B 对应的参数分别为122,2t t ==-令202t +=得点P 对应的参数为04t =- 所以10202424628PA PB t t t t +=-+-=++-+=+=.法二：把322x ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩化为普通方程得323y x =-+，令0y =得点Ｐ坐标为(23,0)P ，又因为直线l 恰好经过圆C 的圆心，故2222(230)(02)8PA PB PC +==-+-=.23. 解：当2x <-时，原不等式可化为230-<<，显然不成立；当21x -≤≤时，原不等式可化为121x -<-<，解得1122x -<<；当1x >时，原不等式可化为230-<-<显然不成立。

江西省南昌市2015届高三第二次模拟考试数学理科试题有答案(扫描版)

2015 年高三测试卷数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．214．13π 15．1316．2212x y -= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由点,C B 的坐标可以得到34AOC π∠=，23AOB π∠=，…………………2分所以cos cos()COB AOC AOB ∠=∠+∠1()2222=-⨯--4=-；……6分（Ⅱ）因为c =23AOB π∠=，所以3C π=，所以2sin sin a b A B ===，………8分所以22sin 2sin()3a b A A π+=+-2sin()6A π=+，2(0)3A π<<，……………………11分所以当3A π=时，a b +最大，最大值是12分18．解：（Ⅰ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有：1日，2日，3日，5日，9日，10日，12日，所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是2713P =．…………………………………6分（Ⅱ）随机变量ξ所有可能取值有：0,1,2,3；………………………………………………7分(0)P ξ==113，(1)P ξ==613，(2)P ξ==613，(3)P ξ==113，……………………9分所以随机变量ξ的分布列是：随机变量ξ的数学期望是1661012313131313E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=2113．……………………12分 19．（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，因为2AD DC CB ===，4AB =，4212cos 22CBA -∠==，所以60,ABC ∠=︒由余弦定理求得AC=90ACB ∠=︒即BC⊥又因为平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面所以BC AG ⊥，………………………………………3分在矩形AEFC 中，tan 1AE AGE EG ∠==，4AGE π∴∠=tan 1CF CGF GF ∠==，4CGF π∠=，所以2CGF AGE π∠+∠=，即AG CG ⊥，所以AG ⊥平面BCG ；……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）FC AC ⊥，平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以FC ⊥平面ABCD ，以点C 为原点，,,CA CB CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则)(0,0,0),(0,2,0),1,0)C A B D-,G ，…………………………8分平面BCG 的法向量(3,0,GA =，设平面GCD 的法向量(,,)n x y z =，则0n CG n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而00x z y +=⎧⎪-=，令1x =则(1,3,1)n =-，…………………………………………………………………………10分所以cos ,n GA <>==，…………………………………………………11分而二面角D —GCB 为钝角，故所求二面角的余弦值为．………………………………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）当l 垂直于OD 时||AB 最小，因为||OD =2r ==，…………………………………2分因为圆1C 222:(0)x y r r +=>的一条直径是椭圆2C 的长轴，所以2a =，又点D 在椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>上，所以291414b b+=⇒=，所以圆1C 的方程为224x y +=，椭圆2C 的方程为22143x y +=；………………………5分（Ⅱ）椭圆2C 的右焦点F 的坐标是(1,0)，当直线m 垂直于x 轴时，||PQ = ||4MN =，四边形PMQN 的面积S =当直线m 垂直于y 轴时，||4PQ =，||3MN =，四边形PMQN 的面积6S =，…………6分……………………10分当直线m 不垂直于坐标轴时，设n 的方程为(1)y k x =-(0)k ≠，此时直线m 的方程为1(1)y x k=--，圆心O 到直线m的距离为：d =，所以||PQ ==，…………8分将直线n 的方程代入椭圆2C 的方程得到：()22224384120k x k x k +-+-=，||MN =所以：四边形PMQN 的面积1||||2S PQ MN =⋅===∈，综上：四边形PMQN的面积的取值范围是．…………………………………………12分21．解：（Ⅰ）21221'()22x ax f x x a x x-+=+-=(0)x >，记2()221g x x ax =-+………1分（一）当0a ≤时，因为0x >，所以()10g x >>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；……2分（二）当0a <≤时，因为24(2)0a =-≤△，所以()0g x ≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；…………………………………………………………………………………………………3分（三）当a >0()0x g x >⎧⎨>，解得x∈，所以函数()f x 在区间上单调递减，在区间(0,),()2a a +∞上单调递增．…………………………5分（Ⅱ）由（1）知道当(1a ∈时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增，所以(0,1]x ∈时，函数()f x的最大值是(1)22f a =-，对任意的a ∈，都存在0(0,1]x ∈使得不等式20()ln()f x a m a a +>-成立，等价于对任意的(1a ∈，不等式222ln ()a a m a a -+>-都成立，……………………………………6分即对任意的(1a ∈，不等式2ln (2)20a ma m a +-++>都成立，记2()ln (2)2h a ama m a =+-++，则(1)0h =，1(21)(1)'()2(2)a ma h a ma m a a --=+-+=，因为(1a ∈，所以210a a->，当1m ≥时，对任意(1a ∈，10ma ->，所以'()0h a >，即()h a 在区间上单调递增，()(1)0h a h >=成立；…………………………………………………………………………9分当1m <时，存在0(1a ∈使得当0(1,)a a ∈时，10ma -<，'()0h a <，()h a 单调递减，从而()(1)0h a h <=，所以(1a ∈时，()0h a >不能恒成立．综上：实数m 的取值范围是[1,)+∞．……………………………………………………………12分 22．解：AF 是圆的切线，且18,15AF BC ==，∴由切割线定理得到2218(15)12AF FB FC FB FB FB =⋅⇒=⋅+⇒=，…………………3分 ,AB AD ABD ADB =∴∠=∠，则,//FAB ABD AF BD ∠=∠∴，…………………………………………………………………6分又//AD FC ，∴四边形ADBF 为平行四边形．12,,18AD FB ACF ADB F ACAF ==∠=∠=∠∴==，//,18AE ADAD FC AE BC∴=-，解得8AE =。

江西省重点中学十校联考2015届高考数学二模试卷理含解析

江西省重点中学十校联考2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一项符合题目要求）1．（5分）设集合A={x|y=ln（1﹣x）}，集合B={y|y=x2}，则A∩B=（）A．[0，1] B．[0，1）C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）2．（5分）“≤﹣2”是“a＜0且b＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知等差数列{a n}前n项和为S n，a4=2，S10=10，则a7的值为（）A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）已知平面向量，满足||=||=1，（+2）•（﹣）=﹣，则与的夹角为（）A．B．C．D．5．（5分）a的值由如图程序框图算出，则二项式（﹣）9展开式的常数项为（）A．T4=53×B．T6=﹣55×C．T5=74×D．T4=﹣73×6．（5分）在小语种自主招生考试中，某学校获得4个推荐名额，其中韩语2名，日语1名，俄语1名，并且韩语要求必须有女生参加，学校通过选拔定下2女2男共4个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A．8种B．10种C．12种D．14种7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为4，则函数f（x）图象的一条对称轴的方程为（）A．x=B．x=C．x=4 D．x=29．（5分）线段AB是圆C1：x2+y2+2x﹣6y=0的一条直径，离心率为的双曲线C2以A，B为焦点．若P是圆C1与双曲线C2的一个公共点，则|PA|+|PB|=（）A．B．4C．4D．610．（5分）由不等式组确定的平面区域为M，由不等式组确定的平面区域为N，在N内随机的取一点P，则点P落在区域M内的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知数列{a n}共有9项，其中，a1=a9=1，且对每个i∈{1，2，…，8}，均有∈{2，1，﹣}，记S=++…+，则S的最小值为（）A．5 B．5C．6 D．612．（5分）若存在x0∈N+，n∈N+，使f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”．已知函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax2+bx+c，则使函数y=g（x）与x轴无交点的a的取值范围是（）A．0＜α＜B．＜α＜C．α＜D．0＜α＜或α＞二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）设i为虚数单位，复数z=（1+i）（cosθ﹣i•sinθ）∈R（0＜θ＜π），则tanθ=．14．（5分）记直线x﹣3y﹣1=0的倾斜角为α，曲线y=lnx在（2，ln2）处切线的倾斜角为β．则α﹣β=．15．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，底面ABCD的对角线BD在平面α内，则正方体在平面α内的影射构成的图形面积的取值范围是．16．（5分）关于函数f（x）=x2（lnx﹣a）+a，给出以下4个结论：①∃a＞0，∀x＞0，f（x）≥0；②∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0；③∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0；④∀a＞0，∃x＞0，f（x）≤0．其中正确结论的个数是．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知=（cosx，sin2x），=（cosx，），f（x）=•．（Ⅰ）求f（x）的取值范围；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，若函数g（x）=bf（x）+c在x=A处取最大值6，求△ABC面积的最大值．18．（12分）某校从参加2014-2015学年高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（I）估计这次测试数学成绩的平均分；（II）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E、F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．（Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆F：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左焦点为F1，点F1到直线ax+by=0的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线角椭圆于P，Q两点，求证：|PF1|+|QF1|﹣|PQ|为定值．21．（12分）已知函数f（x）=x+﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.71828…为自然对数的底数）上存在一点x0，使得f（x0）≤0成立，求a的取值范围；（Ⅲ）当a＞0时，设函数g（x）=f（ax）﹣，若g（x）有两个不同的零点x1，x2，且0＜x1＜x2，求证：＜lna．【选修4—1】几何证明选讲22．（10分）如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30°（1）求AF的长；（2）求证：AD=3ED．【选修4—4】坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【选修4—5】不等式选讲24．已知a+b=1，a＞0，b＞0．（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）若不等式+≥|2x﹣1|﹣|x+1|对任意a，b恒成立，求x的取值范围．江西省重点中学十校联考2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一项符合题目要求）1．（5分）设集合A={x|y=ln（1﹣x）}，集合B={y|y=x2}，则A∩B=（）A．[0，1] B．[0，1）C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）考点：交集及其运算；对数函数的定义域．专题：计算题．分析：由集合A={x|y=ln（1﹣x）}，表示函数y=ln（1﹣x）的定义域，集合B={y|y=x2}，表示y=x2的值域，我们不难求出集合A，B，再根据集合交集的定义，不难得到答案．解答：解：∵A={x|y=ln（1﹣x）}={x|x＜1}，B={y|y=x2}={y|y≥0}，∴A∩B=[0，1）．故选B点评：遇到两个连续数集的运算，其步骤一般是：①求出M和N；②借助数轴分析集合运算结果，方法是：并集求覆盖的最大范围，交集求覆盖的公共范围．2．（5分）“≤﹣2”是“a＜0且b＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：可以通过移项求出不等式的解集，再根据充分必要条件进行判断．解答：解：≤﹣2可得+2=≤0，即ab＜0，即a＞0，b＜0，或a ＜0，b＞0，∴“≤﹣2”是“a＜0且b＞0”的必要不充分条件．故选：B．点评：此题主要考查充分必要条件的定义，以及不等式的求解，是一道基础题．3．（5分）已知等差数列{a n}前n项和为S n，a4=2，S10=10，则a7的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等差数列的首项和公差，由已知列方程组求得首项和公差，代入等差数列的前n 项和得答案．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a4=2，S10=10，得，解得．∴．故选：A．点评：本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．4．（5分）已知平面向量，满足||=||=1，（+2）•（﹣）=﹣，则与的夹角为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：直接把等式左边展开多项式乘多项式，然后代入数量积公式求得与的夹角．解答：解：由||=||=1，（+2）•（﹣）=﹣，得，即1+1×1×cos＜＞﹣2=﹣，∴=，则与的夹角为．故选：B．点评：本题考查平面向量的数量积运算，关键是对数量积公式的记忆与运用，是基础题．5．（5分）a的值由如图程序框图算出，则二项式（﹣）9展开式的常数项为（）A．T4=53×B．T6=﹣55×C．T5=74×D．T4=﹣73×考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：第一次执行循环体后，S=3，不满足输出条件，a=5，再次执行循环体后，S=15，不满足输出条件，a=7再次执行循环体后，S=105，满足输出条件，故a=7，故二项式（﹣）9展开式的常数项，即T4=﹣73×，故选：D．点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6．（5分）在小语种自主招生考试中，某学校获得4个推荐名额，其中韩语2名，日语1名，俄语1名，并且韩语要求必须有女生参加，学校通过选拔定下2女2男共4个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A．8种B．10种C．12种D．14种考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：韩语要求必须有女生参加．先从2个女生中选一个考韩语，剩下的三个考生在三个位置排列，去掉重复部分，即当考韩语的有两个女生，即可得到答案．解答：解：∵由题意知韩语都要求必须有女生参加考试，∴先从2个女生中选一个考韩语有C21=2种结果，剩下的三个考生在三个位置排列A33种结果，其2015届中考韩语为两个女生的情况重复共有A22种结果，∴共有C21A33﹣A22=10种结果．故选：B点评：本题考查了分类和分步计数原理，分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．分步要做到“步骤完整”﹣﹣完成了所有步骤，恰好完成任务7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可又分析出该几何由一个底面半径为1，高为的半圆锥，和一个底面为边长为2的正方形，高为的四棱锥组合而成，分别代入圆锥的体积公式和棱锥的体积公式，可得该几何体的体积．解答：解：由已知中的三视图可得该几何体是一个组合体，由一个底面半径为1，高为的半圆锥和一个底面为边长为2的正方形，高为的四棱锥组合而成故这个几何体的体积V=+=故选A点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知分析出几何体的形状及底面半径，底面棱长，高等几何量是解答的关键．8．（5分）函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为4，则函数f（x）图象的一条对称轴的方程为（）A．x=B．x=C．x=4 D．x=2考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：根据题意可求得ω、φ的值，从而可得f（x）的解析式及其对称轴方程，继而可得答案．解答：解：∵f（x）=2cos（ωx+φ）为奇函数，∴f（0）=2cosφ=0，∴cosφ=0，又0＜φ＜π，∴φ=；∴f（x）=2cos（ωx+）=﹣2sinωx=2sin（ωx+π），又ω＞0，∴其周期T=；设A（x1，2），B（x2，﹣2），则|AB|==4，∴|x1﹣x2|=x1﹣x2=4．即T=4，∴T==8，∴ω=．∴f（x）=2sin（x+π），∴其对称轴方程由x+π=kπ+（k∈Z）得：x=4k﹣2．当k=1时，x=2．故选D．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求得ω是难点，考查分析与运算能力，属于中档题．9．（5分）线段AB是圆C1：x2+y2+2x﹣6y=0的一条直径，离心率为的双曲线C2以A，B为焦点．若P是圆C1与双曲线C2的一个公共点，则|PA|+|PB|=（）A．B．4C．4D．6考点：直线与圆的位置关系；圆与圆锥曲线的综合．专题：综合题；直线与圆．分析：由题设知双曲线C2的焦距2c=|AB|=2，双曲线的实半轴a=，由P是圆C1与双曲线C2的公共点，知||PA|﹣|PB||=2，|PA|2+|PB|2=40，由此能求出|PA|+|PB|．解答：解：∵圆C1：x2+y2+2x﹣6y=0的半径r==，线段AB是圆C1：x2+y2+2x﹣6y=0的一条直径，离心率为的双曲线C2以A，B为焦点，∴双曲线C2的焦距2c=|AB|=2，∵P是圆C1与双曲线C2的一个公共点，∴||PA|﹣|PB||=2a，|PA|2+|PB|2=40，∴|PA|2+|PB|2﹣2|PA||PB|=4a2，∵c=，e==，∴a=，∴2|PA||PB|=32，∴∴|PA|2+|PB|2+2|PA||PB|=（|PA|+|PB|）2=72，∴|PA|+|PB|=6．故选D．点评：本题考查|PA|+|PB|的值的求法，具体涉及到圆的简单性质，双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．10．（5分）由不等式组确定的平面区域为M，由不等式组确定的平面区域为N，在N内随机的取一点P，则点P落在区域M内的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：画出区域，分别求出区域M，N的面积，利用几何概型的公式解答解答：解：不等式确定的平面区域为M如图中黑色阴影部分，其面积等于红色部分面积，所以===1，区域N的面积为2（e﹣1）=2e﹣2，由几何概型公式可得在N内随机的取一点P，则点P落在区域M内的概率为：；故选：A．点评：本题考查了几何概型的概率求法，关键是分别求出区域M，N的面积，利用几何概型公式解答．11．（5分）已知数列{a n}共有9项，其中，a1=a9=1，且对每个i∈{1，2，…，8}，均有∈{2，1，﹣}，记S=++…+，则S的最小值为（）A．5 B．5C．6 D．6考点：数列的求和．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：令b i=（1≤i≤8），根据数列比值的关系，结合S的表达式进行推导即可．解答：解：令b i=（1≤i≤8），则对每个符合条件的数列{a n}满足b i===1，且b i∈{2，1，﹣}，1≤i≤8．反之，由符合上述条件的八项数列{b n}可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{a n}．记符合条件的数列{b n}的个数为N，由题意知b i（1≤i≤8）中有2k个﹣，2k个2，8﹣4k个1，且k的所有可能取值为0，1，2．对于三种情况，当k=2时，S取到最小值6．故选：C．点评：本题考查数列的相邻两项比值之和的最小值的求法，考查满足条件的数列的个数的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．12．（5分）若存在x0∈N+，n∈N+，使f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”．已知函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax2+bx+c，则使函数y=g（x）与x轴无交点的a的取值范围是（）A．0＜α＜B．＜α＜C．α＜D．0＜α＜或α＞考点：进行简单的合情推理．专题：函数的性质及应用．分析：根据“生成点“的定义，求出（9，2），（1，6）为函数f（x）的一个“生成点”．根据函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax2+bx+c，可求出a，b，c的关系，进而根据函数y=g（x）与x轴无交点，△＜0，求出a的取值范围．解答：解：∵f（x）=2x+1，x∈N，满足：f（9）+f（10）+f（11）=63，故（9，2）为函数f（x）的一个“生成点”．f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）=63，故（1，6）为函数f（x）的一个“生成点”．又∵函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax2+bx+c，∴81a+9b+c=2，a+b+c=6，解得：b=﹣﹣10a，c=9a+，若函数y=g（x）与x轴无交点，则△=b2﹣4ac=（）2﹣4a（9a+）＜0，解得：，故选：B点评：本题考查的知识点是合情推理，二次函数的图象和性质，正确理解“生成点“的定义，是解答的关键．二、填空题（每小题5分，共20分）（cosθ﹣i•sinθ）∈R（0＜θ＜π），则tanθ=．（5分）设i为虚数单位，复数z=（1+i）13．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：首先化简复数为a+bi的形式，然后根据复数为实数，得到θ的值求之．解答：解：因为复数z=（1+i）（cosθ﹣i•sinθ）=（cosθ+sinθ）+（cosθ﹣sinθ）i∈R，所以cosθ﹣sinθ=0，即sin（）=0，0＜θ＜π，所以，所以tanθ=；故答案为：．点评：本题考查了复数的性质；若复数a+bi∈R（a，b∈R）则b=0．14．（5分）记直线x﹣3y﹣1=0的倾斜角为α，曲线y=lnx在（2，ln2）处切线的倾斜角为β．则α﹣β=﹣arctan．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的综合应用．分析：求出曲线y=1nx在（2，1n2）处切线斜率，从而可得tanα=，tanβ=，利用差角的正切公式，即可求出α﹣β．解答：解：∵y=1nx，∴y′=，x=2时，y′=，∵直线x﹣3y﹣l=0的倾斜角为α，曲线y=1nx在（2，1n2）处切线的倾斜角为β，∴tanα=，tanβ=，∴tan（α﹣β）==﹣，∵0＜α＜β＜，∴α﹣β=﹣arctan．故答案为：﹣arctan．点评：本题考查导数的几何意义，考查斜率与倾斜角之间的关系，考查和角的正切公式，确定tanα=，tanβ=，是解题的关键．15．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，底面ABCD的对角线BD在平面α内，则正方体在平面α内的影射构成的图形面积的取值范围是．考点：二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：设矩形BDD1B1与α所成锐二面角为θ，面积记为S1，推出正方形A1B1C1D1与α所成锐二面角为．面积记为S2，求出阴影部分的面积的表达式，利用两角和与差的三角函数求解最值即可．解答：解：设矩形BDD1B1与α所成锐二面角为θ，面积记为S1，则正方形A1B1C1D1与α所成锐二面角为．面积记为S2，所求阴影部分的面积S==S1cosθ+S2sinθ=cosθ+sinθ=sin（θ+β）其中sinβ=，cosβ=．故S∈．故答案为：．点评：本题考查二面角的应用，空间想象能力以及转化思想的应用，难度比较大．16．（5分）关于函数f（x）=x2（lnx﹣a）+a，给出以下4个结论：①∃a＞0，∀x＞0，f（x）≥0；②∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0；③∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0；④∀a＞0，∃x＞0，f（x）≤0．其中正确结论的个数是3．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：①令a=，进行验证即可；②令a=5，通过验证结论成立；③当a=5时，举反例x=5时，不满足条件；④求函数的导数，判断函数存在极值进行判断．解答：解：①当a=，则f（x）=x2（lnx﹣）+，函数的定义域为（0，+∞），此时函数的导数f′（x）=2x（lnx﹣）+x2•=2xlnx﹣x+x=2xlnx，由f′（x）=0得，x=1，则当x＞1时，则f′（x）＞0，此时函数递增，当0＜x＜1时，则f′（x）＜0，此时函数递减，故当x=1时，函数f（x）取得极小值同时也是最小值f（1）=﹣+=0，则对∀x＞0，f（x）≥f（1）=0；故①正确②当a=5，则f（x）=x2（lnx﹣5）+5，则f（e）=e2（lne﹣5）+5=﹣4e2+5＜0，故②∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0，成立．③由②知当a=5时，∃x=e，满足e＞0，但f（e）＜0，故③∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0不成立，故③错误．④函数的导数f′（x）=2x（lnx﹣a）+x2•=2x（lnx﹣a）+x=x（2lnx﹣2a+1）=2x（lnx+﹣a）．由f′（x）=0，则lnx+﹣a=0，即lnx=a﹣，即∀a＞0，函数f（x）都存在极值点，即∃x＞0，f（x）≤0成立，故④正确，综上正确是有①②④，共3个故答案为：3点评：本题主要考查命题的真假判断，利用特殊值法和排除法是解决本题的关键．难度较大．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知=（cosx，sin2x），=（cosx，），f（x）=•．（Ⅰ）求f（x）的取值范围；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，若函数g（x）=bf（x）+c在x=A处取最大值6，求△ABC面积的最大值．考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）利用向量数量积的运算性质及辅助角公式计算可得f（x）=sin（2x+）+，结合三角函数的有界性即得结论；（Ⅱ）通过函数g（x）在x=A处取最大值6，可知，进而可得A=，利用基本不等式计算即得结论．解答：解：（Ⅰ）由题可知：f（x）=•=（cosx，sin2x）•（cosx，）=cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+=sin（2x+）+，∵sin（2x+）∈[﹣1，1]，∴f（x）∈[﹣，]；（Ⅱ）∵f（x）=sin（2x+）+，∴g（x）=bf（x）+c=bsin（2x+）+b+c，∵函数g（x）=bsin（2x+）+b+c在x=A处取最大值6，∴，又∵0＜A＜π，∴A=，∴6=b+c≥2，即bc≤9（当且仅当b=c时等号成立），∵S△ABC=bcsinA=•（bc），∴S△ABC≤•9=，即△ABC面积的最大值为．点评：本题考查平面向量数量积的运算，考查三角函数恒等变换及最值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（12分）某校从参加2014-2015学年高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（I）估计这次测试数学成绩的平均分；（II）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（I）利用分组两端的数据中值估算抽样学生的平均分，类似于加权平均数的算法，让每一段的中值乘以这一段对应的频率，得到平均数，利用样本的平均数来估计总体的平均数．（II）根据等可能事件的概率公式得到两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率，随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，且变量符合二项分布，根据符合二项分布写出分布列和期望，也可以用一般求期望的方法来解．解答：解：（I）利用中值估算抽样学生的平均分：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．∴估计这次考试的平均分是72分．（II）从95，96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是C62=15，有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人），这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是C42=6，两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率．随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，且变量符合二项分布，∴∴变量ξ的分布列为：ξ0 1 2 3p∴（或Eξ=）点评：本题考查读频率分步直方图，考查用样本估计总体，考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，考查二项分布，是一个综合题．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E、F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．（Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．考点：棱锥的结构特征；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（I）利用中位线，直线平面的平行问题得出l∥BC，根据直线平面的垂直问题得出BC⊥平面PAC，即可得出直线l⊥平面PAC．（II）建立坐标系得出平面AEF的法向量，cos＜，＞，cos＜，＞，直线平面，直线的夹角的关系求解即可，sinα=||，cosβ=||，sinα=cosβ．解答：（I）证明：∵E，F分别为PB，PC中点，∴BC∥EF，又EF⊆平面EFA，BC⊊平面EFA，∴BC∥平面EFA又BC⊆平面ABC，平面EFA∩平面ABC=l，∴l∥BC．∵AC⊥BC，∴EF⊥BC，∵PA=PC=AC=2，∴AE⊥PC，∵AC⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，∴BC⊥平面PAC，∵l∥BC∴直线l⊥平面PAC，（II）如图建立坐标系得出：C（0，0，0），A（2，0，0），E（，0，），F（0，2，），P（1，0，），Q（2，y，0）∴=（1，0，）为平面AEF的法向量，=（﹣，2，0），=（1，y，﹣）∴cos＜，＞==，cos＜，＞==，设直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角分别为α，β，α+β=，∴sinα=||，cosβ=||，sinα=cosβ，即1=|﹣1+4y|，求解y=，y=0，A（2，0，0），存在Q（2，0，0）或Q（2，，0），|AQ|=或|AQ|=0．点评：本题综合考查了空间直线，平面的位置关系，判断方法，空间向量解决存在性问题，运用代数方法求解几何问题，考查了学生的计算能力．20．（12分）已知椭圆F：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左焦点为F1，点F1到直线ax+by=0的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线角椭圆于P，Q两点，求证：|PF1|+|QF1|﹣|PQ|为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）左焦点设为（﹣c，0），则（﹣c，0）到直线ax+by=0的距离为d=，求得椭圆方程．（Ⅱ）在圆中，M是切点，，得（8+9k2）x2+18kmx+9m2﹣72=0，则x1+x2=，，求出：|PF1|，|QF1|，|PQ|的值，继而得到答案．解答：解：（Ⅰ）∵①，左焦点设为（﹣c，0），则（﹣c，0）到直线ax+by=0的距离为d=，∴②，b2+c2=a2③由①②③得：a2=9，b2=8，∴椭圆方程为：；（Ⅱ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则∴，∵0＜x1＜3，|PF2|=3﹣，同理|QF2|=3﹣在圆中，M是切点，，得（8+9k2）x2+18kmx+9m2﹣72=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，∴==∵PQ与圆相切，∴即m=，∴所以：|PF1|+|QF1|﹣|PQ|=6﹣．即：|PF1|+|QF1|﹣|PQ|为定值．点评：本题主要考查了椭圆方程得求法和直线与圆锥曲线的位置关系，属于难度较大的题型．21．（12分）已知函数f（x）=x+﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.71828…为自然对数的底数）上存在一点x0，使得f（x0）≤0成立，求a的取值范围；（Ⅲ）当a＞0时，设函数g（x）=f（ax）﹣，若g（x）有两个不同的零点x1，x2，且0＜x1＜x2，求证：＜lna．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=1时，求得函数的导数，求出切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线的方程；（Ⅱ）转化已知条件为函数f（x）在[1，e]上的最小值[f（x）]min≤0，利用单调性，①a≥e ﹣1时，②a≤0时，③0＜a＜e﹣1时，分别求解函数的最小值，推出所求a的范围；（Ⅲ）化简g（x）=f（ax）﹣=ax﹣alnax，（a＞0），求出导数，求得单调区间和极小值，令它小于0，求得a＞e，再由x1=lnax1，x2=lnax2，相加，构造函数，求出最值，再由不等式的性质，即可得证．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x+﹣lnx的导数为f′（x）=1﹣﹣，曲线f（x）在x=1处的切线斜率为f′（1）=﹣2，切点为（1，3），即有切线方程为y﹣3=﹣2（x﹣1），即为2x+y﹣5=0；（Ⅱ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤0，即函数f（x）=x+﹣alnx在[1，e]上的最小值[f（x）]min≤0．由f（x）的导数f′（x）=1﹣﹣=，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，f（x）在[1，e]上单调递减，∴[f（x）]min=f（e）=e+﹣a，∴a≥，∵＞e﹣1，∴a≥；②当a+1≤1，即a≤0时，f（x）在[1，e]上单调递增，∴[f（x）]min=f（1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2；③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[f（x）]min=f（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2此时不存在x0使h（x0）≤0成立．综上可得所求a的范围是：a≥，或a≤﹣2．（Ⅲ）函数g（x）=f（ax）﹣=ax﹣alnax，（a＞0），g′（x）=a﹣a•，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有x=1处g（x）取得极小值，也为最小值，且为a﹣alna，g（x）有两个不同的零点，则有a﹣alna＜0，解得a＞e，g（x）有两个不同的零点x1，x2，且0＜x1＜x2，即x1=lnax1，x2=lnax2，相加可得x1+x2=lnax1+lnax2=ln（a2x1x2），x1x2=，即有=，令t=x1+x2，则h（t）=的导数为，当t＞1时，h（t）递增，当0＜t＜1时，h（t）递减，即有t=1时，h（t）取得最小值，且为e，有＜•e=＜1，lna＞1，则有＜lna．点评：本题考查函数的导数的综合应用，曲线的切线方程、函数的单调性以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问题得到能力．【选修4—1】几何证明选讲22．（10分）如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30°（1）求AF的长；（2）求证：AD=3ED．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：（1）延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，由已知条件求出AB，AC，再由切割线定理能求出AF．（2）过E作EH⊥BC于H，得到EDH∽△ADF，由此入手能够证明AD=3ED．解答：（1）解：延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，∵BM=2BE=4，∠EBC=30°，∴，又∵，∴，∴，根据切割线定理得，即AF=3（2）证明：过E作EH⊥BC于H，∵∠EOH=∠ADF，∠EHD=∠AFD，∴△EDH∽△ADF，∴，又由题意知CH=，EB=2，∴EH=1，∴，∴AD=3ED．点评：本题考查与圆有关的线段的求法，考查两条线段间数量关系的证明，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．【选修4—4】坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，利用可得直角坐标方程．直线L的参数方程是（t为参数），把t=2y代入+m消去参数t即可得出．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，得﹣1＜m＜3．利用|PA|•|PB|=t1t2，即可得出．解答：解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，解得﹣1＜m＜3．∴t1t2=m2﹣2m．∵|PA|•|PB|=1=t1t2，∴m2﹣2m=1，解得．又满足△＞0．∴实数m=1．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4—5】不等式选讲24．已知a+b=1，a＞0，b＞0．（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）若不等式+≥|2x﹣1|﹣|x+1|对任意a，b恒成立，求x的取值范围．考点：基本不等式；绝对值三角不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由题意可得+=（+）（a+b）=5++，由基本不等式可得；（Ⅱ）问题转化为|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，去绝对值化为不等式组，解不等式组可得．解答：解：（Ⅰ）∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴+=（+）（a+b）=5++≥5+2=9，当且仅当=即a=且b=时取等号，∴+的最小值为9；（Ⅱ）若不等式+≥|2x﹣1|﹣|x+1|对任意a，b恒成立，则需|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，可转化为，或或，分别解不等式组可得﹣7≤x≤﹣1，≤x≤11，﹣1＜x＜综合可得x的取值范围为[﹣7，11]点评：本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立和绝对值不等式，属中档题．。

江西省新余市新余一中2015届高三数学第二次模拟考试试题文(含解析)

2014-2015学年新余一中毕业年级第二次模拟考试数学（文科）试卷一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)【题文】1．已知集合{1,1},{|124}xA B x =-=≤<,则A B 等于( ) A ．{-1,0,1} B ．{1}C ．{-1,1}D ．{0,1}【知识点】集合及其运算. A1【答案解析】B 解析：B={x|02x ≤<},所以{}1AB =,故选B.【思路点拨】先化简集合B ，再根据交集意义求A B .【题文】2．下列函数中周期为π且图象关于直线6x π=对称的函数是（）（Ａ） A ．2sin(2)6y x π=- B ．2sin()23x y π=+ C ．2sin(2)6y x π=+ D ．2sin()23x y π=- 【知识点】三角函数的性质. C3【答案解析】C 解析：由周期为π排除选项B 、D ，由于选项A 、C 中的函数是正弦函数，而图象关于直线6x π=对称，所以只需角的终边在y 轴上，因为2662πππ⨯+=的终边在y轴上，所以选C.【思路点拨】根据函数sin()y A x ωϕ=+的周期性、对称性确定结论.【题文】3．若直线2x y -=被圆22(1)()4x y a -++=所截得的弦长为22,则实数a 的值为（）A ．2-或6B ．0或4C ．1-或3D ． 1-或3 【知识点】直线与圆的位置关系. H4【答案解析】D 解析：圆心的直线的距离d=12a -，由垂径定理得()221242a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭解得a=-1或a=3，故选 D.【思路点拨】根据点到直线的距离及垂径定理求解.【题文】4．已知变量x ，y 满足约束条件102200x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为（）A ．2B ．52 C ．1- D ．12【知识点】线性规划问题. E5【答案解析】A 解析：已知不等式组表示的区域，如图ABC ∆及其内部，包括边界. 平移直线y=2x-z 得点B （2,2）为2z x y =-取得最大值的最优解，所以所求最大值为2. 故选A.【思路点拨】画出可行域，平移目标函数对应的直线，得目标函数取得最大值的最优解. 【题文】5．下列命题说法正确的是（）A ．命题“若21x =,则1x =”的否命题为：“若21x =,则1x ≠”B ．“03x <<”是“11x -<”的必要不充分条件C ．命题“x R ∃∈,使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈,均有210x x +->” D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆命题为真命题【知识点】命题及其关系；充分、必要条件；含量词的命题的否定. A2 A3【答案解析】B 解析：命题“若21x =,则1x =”的否命题为：“若21x ≠,则1x ≠”，故A 不正确；因为11x -<02x ⇔<<，所以B 正确；命题“x R ∃∈,使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈,均有210x x +-≥”,所以C 不正确；显然D 不正确.故选 B. 【思路点拨】根据命题及其关系，充分、必要条件，含量词的命题的否定，逐个判断各说法的正误.【题文】6．按如下程序框图，若输出结果为42S =，则判断框内应补充的条件（）A ．3i >B ．5i >C ．7i >D ．9i >【知识点】算法与程序框图. L1【答案解析】B 解析：第一次循环的结果s=2,i=3；第二次循环的结果s=10,i=5；第三次循环的结果s=42,i=5.也输出的结果为S=42，所以判断框内应补充的条件是5i >，故选B. 【思路点拨】依据程序框图得流程，依次写出前几次循环的结果，根据输出的结果得判断框内应补充的条件.【题文】7．椭圆22216x y a +=与双曲线2214x y a -=有相同的焦点，则实数a 的值是（）A ．12B ．1或2-C ．1或 12D ．1【知识点】椭圆与双曲线的性质. H5 H6【答案解析】D 解析：由已知得：2164a a a a >⎧⇒=⎨-=+⎩，故选D.【思路点拨】根据椭圆和双曲线的性质，得关于a 的方程与不等式构成的混合组，解得a 值.【题文】8. 一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（） A. 22015π+ B. 20815π+ C. 2009π+ D. 20018π+【知识点】由几何体的三视图求该几何体的表面积. G2【答案解析】B 解析：由三视图可知该几何体是一个长方体与一个半圆柱够成的组合体.所以其表面积为：()22104105456233220815πππ⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯⨯=+故选 .【思路点拨】由三视图得该几何体的结构，以及组成该几何体的各部分的棱长，底面边长等，从而求得该几何体的表面积.【题文】9．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=．若当[)0,1x ∈时，()22xf x =-，则12(log 42)f 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ． 2-第8题【知识点】函数的奇偶性、周期性；函数值. B1 B4【答案解析】A 解析：因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以12(log 42)f=52255log 222f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又(2)()f x f x +=，所以125122022f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以所求=0.故选A.【思路点拨】根据对数的运算性质化简所求，再由函数的奇偶性、周期性把所求转化为求12f ⎛⎫⎪⎝⎭，又知当[)0,1x ∈时，()22xf x =-，由此得结论.【题文】10. 如图，已知点()2,0P，正方形ABCD 内接于圆O ：221xy +=，M 、N分别为边AB 、BC 的中点. 当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围为（）A ．[]2,2-B ．2,2⎡⎤-⎣⎦C ．[]1,1-D ．22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【知识点】向量数量积的坐标运算. F2 F3【答案解析】C 解析：因为2,2OM ON OM ON ⊥==,所以设 22cos ,sin ,22M θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭则22cos ,sin ,2222N ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即 22sin ,cos ,22N θθ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以22cos 2,sin 22PM θθ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以PM ON ⋅=2222cos 2,sin sin ,cos 2222θθθθ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=sin θ[]1,1∈-. 故选C.【思路点拨】根据已知条件知，OM 与ON 互相垂直，且M 、N 都在以原点为圆心22为半径的圆上，故可设22cos ,sin ,22M θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭则22cos ,sin ,2222N ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即第10题图22sin ,cos ,22N θθ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以22cos 2,sin 22PM θθ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以PM ON ⋅=2222cos 2,sin sin ,cos 2222θθθθ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=sin θ[]1,1∈-. 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卡上．）【题文】11．已知复数21(1)()z a a i a R =-++∈为纯虚数，则z 为． A ．0 B ．2i C ．2i - D ．12i -- 【知识点】复数的基本概念与运算. L4【答案解析】2i - 解析：因为复数21(1)()z a a i a R =-++∈为纯虚数，所以210110a a a ⎧-=⇒=⎨+≠⎩，所以22z i z i =⇒=-，故答案为2i -.【思路点拨】根据复数是纯虚数的条件的结论. 【题文】12. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若231012a a a ++=，则9S = ．【知识点】等差数列的性质及等差数列的前n 项和. D2 【答案解析】36 解析：由231012a a a ++=，得()()()1112912a d a d a a +++++=，即1519544428a d a a a a +=⇒=⇒+==，所以()1999362a a S +⨯==.【思路点拨】根据等差数列的通项公式，等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式，求得结论.【题文】13．函数()sin cos f x x x x =+在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为．【知识点】导数的应用 . B12【答案解析】2π解析：因为()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，所以()0f x '=在,6x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的解为2x π=，又()3,,1612222f f f πππππ⎛⎫⎛⎫=+==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()sin cos f x x x x =+在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2π.【思路点拨】利用导数求闭区间上连续函数的最值. 【题文】14．已知(,)A A A x y 是单位圆上（圆心在坐标原点O ）任一点，将射线OA 绕点O逆时针旋转3π到OB 交单位圆于点(,)B B B x y ，则2A B y y -的最大值为．【知识点】三角函数的定义；两角和与差的三角函数. C1 C5【答案解析】3 解析：设()cos ,sin A θθ则cos(),sin()33B ππθθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,所以 133322sin sin 2sin sin cos sin cos 32222A B y y πθθθθθθθ⎛⎫+=-+=--=- ⎪⎝⎭=313sin cos 3sin 226πθθθ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2AB y y -的最大值为3. 【思路点拨】利用以原点为圆心的圆上点的坐标，与过此点的半径所在射线的和x 轴的正半轴所成的角θ的关系，得2A B y y -关于θ的函数，求此函数的最大值即可.【题文】15．设函数()f x 的定义域为D ，若,x D y D ∀∈∃∈，使得()()f y f x =-成立，则称函数()f x 为“美丽函数”.下列所给出的五个函数：2y x =；②11y x =-；③()ln(23)f x x =+；④22x xy -=-；⑤2sin 1y x =-．其中是“美丽函数”的序号有．【知识点】函数中的新概念问题. B9【答案解析】②③④ 解析：对于①由()()f y f x =-得22y x =-，只有x=0时成立，所以①不是“美丽函数”；对于②由()()f y f x =-得11211y x y x =-⇒=-+--，对于1x ≠的任意实数都有不等于1的y 使它成立，所以②是“美丽函数”；同理可知③④是“美丽函数”，⑤不是“美丽函数”.【思路点拨】根据“美丽函数”的定义，逐一判断各函数是否是“美丽函数”.三、解答题：(本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．)【题文】16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a b c <<，3sin 2aA b =．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，7b =，求c 及ABC ∆的面积.【知识点】解三角形. C8【答案解析】（Ⅰ）3B π=；（Ⅱ）3c =，332ABC S ∆=.解析：（Ⅰ）3sin 2aA b =，32sin a b A ∴=，由正弦定理可得3sin 2sin sin A B A =， …………2分又0A π<<，sin 0A ∴>，3sin 2B ∴=， ………4分a b c <<，B C ∴<，所以02B π<<，故3B π=. ------6分（Ⅱ）2a =，7b =，由余弦定理可得：2221(7)2222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=解得3c =或1c =-（舍去），故3c =. ………………10分所以11333sin 232222ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯=. ………12分【思路点拨】（Ⅰ）把正弦定理代入已知等式得角B 正弦值，再由a<b<c 得角B 是锐角，从而求得角B 的值；（Ⅱ）利用余弦定理求边c 的长，再由三角形面积公式求ABC ∆的面积. 【题文】17. （本小题满分12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x （°C）与该小卖部的这种饮料销量y （杯），得到如下数据：日期1月11日1月12日 1月13日 1月14日 1月15日平均气温x （°C） 9 10 12 11 8 销量y （杯）2325302621（Ⅰ）若先从这五组数据中抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（Ⅱ）请根据所给五组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+；（Ⅲ）根据（Ⅱ）中所得的线性回归方程，若天气预报1月16日的白天平均气温7（°C），请预测该奶茶店这种饮料的销量．（参考公式：121()()ˆˆˆ()niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑，．）【知识点】古典概型；变量的相关性与统计案例. K2 I4【答案解析】（Ⅰ）25；（Ⅱ）ˆ 2.14y x =+；（Ⅲ）19.解析：（Ⅰ）设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A ，所有基本事件（m ，n ）（其中m ，n 为1月份的日期数）有：（11,12），（11,13），（11,14），（11,15），（12,13），（12,14），（12,15），（13,14），（13,15），（14,15），共有10种．事件A 包括的基本事件有（11,12），（12,13），（13,14），（14,15）共4种．所以42()105P A ==为所求． ………………………6分（Ⅱ）由数据，求得91012118105x ++++==，2325302621255y ++++==．由公式，求得ˆ 2.1b =，ˆˆ4a y bx =-=，所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ2.14y x =+． ………………10分（Ⅲ）当x=7时，ˆ2.17418.7y =⨯+=．所以该奶茶店这种饮料的销量大约为19杯． ……………12分【思路点拨】（Ⅰ）从这五组数据中抽出2组的基本事件总数用列举法得由10种，其中选取的2组数据恰好是相邻2天数据的有4种，所以所求概率为25；（Ⅱ）求得,x y ，代入公式121()()ˆˆˆ()niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑，求出ˆˆ,b a ，从而得y 关于x 的线性回归方程；（Ⅲ）把x=7代入（Ⅱ）中所得的线性回归方程，得1月16日该奶茶店这种饮料的销量大约为19杯. 【题文】18．（本小题满分12分）已知首项为32,公比不等于1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S （n N *∈），且22S -，3S ，44S 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令n nb n a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 并比较n n T b +与6大小.【知识点】等差数列；等比数列；数列求和. D2 D3 D4【答案解析】（Ⅰ）()13122n n a n N -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）3662n n n T +=-，n n T b +<6.解析：（Ⅰ）由题意得324224S S S =-+，即()()42430S S S S -+-=，亦即()4340a a a ++=，4312a a ∴=-，所以公比12q =-, ………4分于是数列{}n a 通项公式为()13122n n a n N -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭. ……5分另解:由题意得324224S S S =-+，1q ≠,()()()3241111112111a q a q a q qqq---∴=-+---，化简得2210q q --=，12q ∴=-， ……………4分()13122n n a n N -*⎛⎫∴=-∈ ⎪⎝⎭. ………………………5分（Ⅱ）1313222n n n n nb n a n -⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭，所以12312336932222n n n nT b b b b =++++=++++，----- ①()23131136322222n n n n nT +-=++++， ② …………8分①-②得，1231133333222222n n n n T +=++++-111132231212n n n +⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=--13632n n ++=-，所以3662n n n T +=-， ………………11分从而6662n n n T b +=-<. .…………12分【思路点拨】（Ⅰ）根据等比数列的前n 项和公式及等差数列的定义，求得等比数列的公比，从而写出等比数列的通项公式；（Ⅱ）由错位相减法，求数列{}n b 的前n 项和为n T ，代入n n T b +，再与6比较大小.【题文】19.（本小题满分13分）在如图所示的多面体ABCDEF 中，DE ⊥平面ABCD ，AD BC ，平面BCEF平面ADEF EF =，60BAD ∠=，2AB =，1DE EF ==．（Ⅰ）求证：BC EF ；（Ⅱ）求三棱锥B DEF -的体积．【知识点】线面平行的判定与性质；三棱锥的体积. G4 G1【答案解析】（Ⅰ）证明：略；（Ⅱ）36.解析：（Ⅰ）因为AD BC ，AD ⊂平面ADEF ，BC ⊄平面ADEF ，所以BC 平面ADEF ， ……………………………3分又BC ⊂平面BCEF ，平面BCEF平面ADEF EF =，所以BC EF ． ……………………………6分（Ⅱ）在平面ABCD 内作BH AD ⊥于点H ，因为DE ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ，所以DE BH ⊥，又AD 、DE ⊂平面ADEF ，ADDE D =，所以BH ⊥平面ADEF ，所以BH 是三棱锥B DEF -的高． ……………10分在直角三角形ABH 中，o60BAD ∠=，2AB =，所以3BH =，因为DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以DE AD ⊥，又由（Ⅰ）知，BC EF ，且AD BC ，所以AD EF ，所以DE EF ⊥，第19题图FACDEB所以三棱锥B DEF -的体积11131133326DEF V S BH ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=．……12分【思路点拨】（Ⅰ）根据线面平行的判定与性质得结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）结论及DE ⊥平面ABCD ，得DEF ∆是腰长为1的等腰直角三角形，所以其面积为12，又点B 到平面DEF 的距离为B 到直线AD 的距离，由AB=2，60BAD ∠=可得此距离，在根据三棱锥的体积公式求结论.【题文】20、(本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率为12，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当AB F 2∆的面积为7212时，求直线的方程．【知识点】椭圆的方程；直线与椭圆的位置关系. H5 H8【答案解析】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）10x y -+=或10x y ++=.解析：（Ⅰ）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以221914a b +=①，又因为离心率为12，所以12c a =，所以2234b a =②，解①②得224, 3.a b == 所以椭圆的方程为：22143x y +=………（4分）（Ⅱ）①当直线的倾斜角为2π时，33(1,),(1,),22A B --- 21211122323227ABF S AB F F ∆=⨯=⨯⨯=≠，不适合题意。

江西省新余市高三数学下学期第二次模拟试卷理(含解析)

2015年江西省新余市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，每小题只有一个选项符合题意）1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A． {x|x≥﹣2} B． {x|x＞﹣1} C． {x|x＜﹣1} D． {x|x≤﹣2}2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． 2++ B． 3++ C． 2++ D． 3++4．图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法，若输入m=209，n=121，则输出m的值等于（）A． 10 B． 11 C． 12 D． 135．设变量x，y满足，若直线kx﹣y+2=0经过该可行域，则k的最大值为（）A． 1 B． 3 C． 4 D． 56．已知函数f（x）=﹣2sin（2x+φ）（|φ|＜π），若，则f（x）的一个单调递增区间可以是（）A． B． C． D．7．已知半圆的直径AB=10，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC 上的动点，则（+）•的最小值是（）A． B．﹣25 C． 25 D．﹣8．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，奇数项成公差为1的等差数，当n为偶数时点（a n，a n+2）在直线y=3x+2上，又知a1=1，a2=2，则数列{a n}的前2n项和S2n等于（）A． n2﹣n﹣6+3n+1 B．C． D．9．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（）A． B． C． 2 D．10．已知函数f（x）=sin（x﹣φ）﹣1（0＜φ＜），且（f（x）+1）dx=0，则函数f（x）的一个零点是（）A． B． C． D．11．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A． B．C． D．或12．定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意实数x，存在实常数t使得f（t+x）=﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”．有下列“关于t函数”的结论：①f（x）=0是常数函数中唯一一个“关于t函数”；②“关于函数”至少有一个零点；③f（x）=x2是一个“关于t函数”．其中正确结论的个数是（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 0二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（x2+2）（﹣mx）5的展开式中x2项的系数490，则实数m的值为．14．函数f（x）=2sin（πx）﹣，x∈[﹣2，4]的所有零点之和为．15．若在区间[1，2]上存在实数x使2x（2x+a）＜1成立，则a的取值范围是．16．给出下列四个命题：①△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要条件；②当x＞0且x≠1时，有lnx+≥2；③已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7＞S5，则S9＞S3；④若函数为R上的奇函数，则函数y=f（x）的图象一定关于点成中心对称．其中所有正确命题的序号为．三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤。

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2015年江西省新余市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，每小题只有一个选项符合题意）1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A． {x|x≥﹣2} B． {x|x＞﹣1} C． {x|x＜﹣1} D． {x|x≤﹣2}2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． 2++ B． 3++ C． 2++ D． 3++4．图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法，若输入m=209，n=121，则输出m的值等于（）A． 10 B． 11 C． 12 D． 135．设变量x，y满足，若直线kx﹣y+2=0经过该可行域，则k的最大值为（）A． 1 B． 3 C． 4 D． 56．已知函数f（x）=﹣2sin（2x+φ）（|φ|＜π），若，则f（x）的一个单调递增区间可以是（）A． B． C． D．7．已知半圆的直径AB=10，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（+）•的最小值是（）A． B．﹣25 C． 25 D．﹣8．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，奇数项成公差为1的等差数，当n为偶数时点（a n，a n+2）在直线y=3x+2上，又知a1=1，a2=2，则数列{a n}的前2n项和S2n等于（）A． n2﹣n﹣6+3n+1 B．C． D．9．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（）A． B． C． 2 D．10．已知函数f（x）=sin（x﹣φ）﹣1（0＜φ＜），且（f（x）+1）dx=0，则函数f（x）的一个零点是（）A． B． C． D．11．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A． B．C． D．或12．定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意实数x，存在实常数t使得f（t+x）=﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”．有下列“关于t函数”的结论：①f（x）=0是常数函数中唯一一个“关于t函数”；②“关于函数”至少有一个零点；③f（x）=x2是一个“关于t函数”．其中正确结论的个数是（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 0二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（x2+2）（﹣mx）5的展开式中x2项的系数490，则实数m的值为．14．函数f（x）=2sin（πx）﹣，x∈[﹣2，4]的所有零点之和为．15．若在区间[1，2]上存在实数x使2x（2x+a）＜1成立，则a的取值范围是．16．给出下列四个命题：①△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要条件；②当x＞0且x≠1时，有lnx+≥2；③已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7＞S5，则S9＞S3；④若函数为R上的奇函数，则函数y=f（x）的图象一定关于点成中心对称．其中所有正确命题的序号为．三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤。

17．已知数列{a n}满足：a1=1，na n+1=2（n+1）a n+n（n+1+（n∈N*）．（1）若b n=+1，试证明数列{b n}为等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式a n及其n项和S n．18．如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE．（1）在直线BC上是否存在一点P，使得DP∥平面EAB？请证明你的结论；（2）求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值．19．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．20．已知抛物线y2=4x的交点为椭圆（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别为A，B，经过椭圆左焦点的直线l与椭圆交于C，D（异于A，B）两点．（1）求椭圆标准方程；（2）求四边形ADBC的面积的最大值；（3）若M（x1，y1）N（x2，y2）是椭圆上的两动点，且满x1x2+2y1y2=0，动点P满足（其中O为坐标原点），是否存在两定点F1，F2使得|PF1|+|PF2|为定值，若存在求出该定值，若不存在说明理由．21．已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．请考生从第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。

选修4-1：几何证明选讲22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．选修4-4：参数方程选讲23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．2015年江西省新余市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，每小题只有一个选项符合题意）1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A． {x|x≥﹣2} B． {x|x＞﹣1} C． {x|x＜﹣1} D． {x|x≤﹣2}考点：并集及其运算；指数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．解答：解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．点评：本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数为+，可得它的坐标，从而得出结论．解答：解：∵复数===+，它对应的点的坐标为（，），此点位于第二象限，故选B．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． 2++ B． 3++ C． 2++ D． 3++考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是一底面为正方形，高为1的四棱锥，画出图形，结合图形求出它的表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一底面为正方形，高为1的四棱锥，且底面正方形的底边长为，如图所示；PC⊥平面ABCD，PC=1，AC=BD=2，∴该四棱锥的表面积为S表面积=S正方形ABCD+2S△PBC+2S△PAB=+2×××1+2×××=2++．故选：A．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．4．图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法，若输入m=209，n=121，则输出m的值等于（）A． 10 B． 11 C． 12 D． 13考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：先求出m除以n的余数，然后利用辗转相除法，将n的值赋给m，将余数赋给n，进行迭代，一直算到余数为零时m的值即可．解答：解：当m=209，n=121，m除以n的余数是88此时m=121，n=88，m除以n的余数是33此时m=88，n=33，m除以n的余数是22此时m=33，n=22，m除以n的余数是11，此时m=22，n=11，m除以n的余数是0，此时m=11，n=0，退出程序，输出结果为11，故选：B．点评：算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．5．设变量x，y满足，若直线kx﹣y+2=0经过该可行域，则k的最大值为（）A． 1 B． 3 C． 4 D． 5考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用直线kx﹣y+2=0过定点（0，2），再利用k的几何意义，只需求出直线kx﹣y+2=0过点B（2，4）时，k值即可．解答：解：直线kx﹣y+2=0过定点（0，2），作可行域如图所示，由得B（2，4）．当定点（0，2）和B点连接时，斜率最大，此时k==1，则k的最大值为1．故选A．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．已知函数f（x）=﹣2sin（2x+φ）（|φ|＜π），若，则f（x）的一个单调递增区间可以是（）A． B． C． D．考点：正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由正弦函数最值的结论，得x=是方程2x+φ=+2kπ的一个解，结合|φ|＜π得φ=，所以f（x）=﹣2sin（2x+），再根据正弦函数的图象与性质，得函数的单调增区间为[+kπ，+kπ]（k∈Z），对照各选项可得本题答案．解答：解：∵当x=时，f（x）=﹣2sin（2x+φ）有最小值为﹣2∴x=是方程2x+φ=+2kπ的一个解，得φ=+2kπ，（k∈Z）∵|φ|＜π，∴取k=0，得φ=．因此函数表达式为：f（x）=﹣2sin（2x+）令+2kπ≤2x+≤+2kπ，得+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z）取k=0，得f（x）的一个单调递增区间是故选：D点评：本题给出函数y=Asin（ωx+φ）的一个最小值及相应的x值，求函数的单调增区间，着重考查了正弦函数的图象与性质的知识，属于基础题．7．已知半圆的直径AB=10，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（+）•的最小值是（）A． B．﹣25 C． 25 D．﹣考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：画出图形，讨论P点的位置：P点在O点和C点时，容易求出，而P点在O，C之间时，将带入，根据基本不等式便可得到，最后即可得到的最小值．解答：解：如图，（1）若点P和O重合，则：；∴；（2）若点P和C重合，则；∴；（3）若点P在O，C之间，则：；∴=；；∴；∴；综上得的最小值为．故选D．点评：考查对零向量的理解，向量加法的平行四边形法则，数量积的计算公式，以及基本不等式：a+b，a＞0，b＞0．8．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，奇数项成公差为1的等差数，当n为偶数时点（a n，a n+2）在直线y=3x+2上，又知a1=1，a2=2，则数列{a n}的前2n项和S2n等于（）A． n2﹣n﹣6+3n+1 B．C． D．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：首先把数列的前2n项分为奇数项和偶数项，进一步分组求和，奇数项直接利用等差数列的前n项和公式求出结果，偶数项首先利用构造新数列法求出数列的通项公式，进一步求出偶数项的前n项和，最后求出结果．解答：解：正项数列{a n}奇数项成公差为1的等差数列，所以：数列{a n}的前2n项，奇数项和偶数项都为n项，则：前n项奇数项的和为：S n=1+2+…+n=，由于n为偶数时点（a n，a n+2）在直线y=3x+2上，所以：a n+2=3a n+2，整理得：，所以：数列{a n+2+1}是以a2+1为首项，3为公比的等比数列，求得：，则：前n项的偶数项的和为：S n=31+32+…+3n﹣n．所以：S2n=S奇数+S偶数=+31+32+…+3n﹣n==故选：D点评：本题考查的知识要点：等差数列前n项和公式的应用，利用构造新数列法求数列的通项公式，进一步利用分组求和法求数列的前n项和，主要考查学生的应用能力．9．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（）A． B． C． 2 D．考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据直三棱柱的性质和球的对称性，得球心O是△ABC和△A1B1C1的外心连线段的中点，连接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C．在△ABC中利用正、余弦定理算出O1A=1，由球O的体积算出OA=，然后在Rt△O1OA中，用勾股定理算出O1O=2，得三棱柱的高O1O2=4，最后算出底面积S△ABC=，可得此直三棱柱的体积．解答：解：设△ABC和△A1B1C1的外心分别为O1、O2，连接O1O2，可得外接球的球心O为O1O2的中点，连接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C△ABC中，cosA==﹣∵A∈（0，π），∴A=根据正弦定理，得△ABC外接圆半径O1A==1∵球O的体积为V==，∴OA=R=Rt△O1OA中，O1O==2，可得O1O2=2O1O=4∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积S△ABC=AB•ACsin=∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为S△ABC×O1O2=故选：B点评：本题给出直三棱柱的底面三角形的形状和外接球的体积，求此三棱柱的体积，着重考查了球的体积公式式、直三棱柱的性质和球的对称性等知识，属于中档题．10．已知函数f（x）=sin（x﹣φ）﹣1（0＜φ＜），且（f（x）+1）dx=0，则函数f（x）的一个零点是（）A． B． C． D．考点：定积分；函数的零点．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：把f（x）=sin（x﹣φ）﹣1代入（f（x）+1）dx=0，由定积分求得φ，得到函数解析式，再由f（x）=0求得函数f（x）的一个零点．解答：解：由f（x）=sin（x﹣φ）﹣1且（f（x）+1）dx=0，得[sin（x﹣φ）]dx=0，∴[﹣cos（x﹣φ）]=0．即，∴．∵0＜φ＜，∴φ=，则f（x）=sin（x﹣）﹣1，由sin（x﹣）﹣1=0，解得：．取k=0，得x=．故选：A．点评：本题考查了定积分，考查了由三角函数值求角，训练了函数零点的判断方法，是中档题．11．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A． B．C． D．或考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆C的离心率e的计算公式即可得出解答：解：∵椭圆C上的点P满足，∴|PF1|==3c，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF2|=2a﹣3c．利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a﹣3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣3c，化为．∴椭圆C的离心率e的取值范围是．故选：C．点评：本题考查了椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆的离心率的计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．12．定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意实数x，存在实常数t使得f（t+x）=﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”．有下列“关于t函数”的结论：①f（x）=0是常数函数中唯一一个“关于t函数”；②“关于函数”至少有一个零点；③f（x）=x2是一个“关于t函数”．其中正确结论的个数是（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 0考点：函数恒成立问题．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：举例说明①不正确；由函数零点存在性定理结合新定义说明②正确；把f（x）=x2代入定义求得λ的矛盾的值说明③错误．解答：解：由题意得，①不正确，如f（x）=c≠0，取t=﹣1，则f（x﹣1）﹣f（x）=c﹣c=0，即f（x）=c≠0是一个“t函数”；②正确，若f（x）是“是关于函数”，则f+f（x）=0，取x=0，则f+f （0）=0，若f（0）、f 任意一个为0，则函数f（x）有零点；若f（0）、f 均不为0，则f（0）、f 异号，由零点存在性定理知，在区间内存在零点；若f（x）=x2是一个“关于t函数”，则（x+λ）2+λx2=0，求得λ=0且λ=﹣1，矛盾．③不正确，∴正确结论的个数是1．故选：A．点评：本题是新定义题，考查了函数的性质，关键是对题意的理解，是中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（x2+2）（﹣mx）5的展开式中x2项的系数490，则实数m的值为±．考点：二项式定理的应用．专题：计算题；二项式定理．分析：（x2+2）（﹣mx）5的展开式中x2项是由（﹣mx）5的展开式中常数项与x2项所组成的，求出（﹣mx）5的展开式的常数项以及x2项的系数即可．解答：解：（x2+2）（﹣mx）5的展开式中x2项是由（﹣mx）5的展开式中常数项与x2项所组成的，∵（﹣mx）5的展开式的通项公式为：T r+1=••（﹣mx）r=（﹣m）r••x3r﹣10；令3r﹣10=0，解得r=，不合题意，应舍去；令3r﹣10=2，解得r=4，∴（x2+2）（﹣mx）5的展开式中x2项的系数为2•（﹣m）4•=490，即m4=49，解得m=±．故答案为：±．点评：本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了多项式乘法运算问题，是基础题目．14．函数f（x）=2sin（πx）﹣，x∈[﹣2，4]的所有零点之和为8 ．考点：正弦函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：设t=1﹣x，则x=1﹣t，原函数可化为g（t）=2sinπt﹣，由于g（x）是奇函数，观察函数y=2sinπt与y=的图象可知，在[﹣3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，从而 x1+x2+…+x7+x8的值．解答：解：设t=1﹣x，则x=1﹣t，原函数可化为：g（t）=2sin（π﹣πt）﹣=2sinπt﹣，其中，t∈[﹣3，3]，因g（﹣t）=﹣g（t），故g（t）是奇函数，观察函数 y=2sinπt（红色部分）与曲线y=（蓝色部分）的图象可知，在t∈[﹣3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，即t1+t2+…+t7+t8=0，从而x1+x2+…+x7+x8=8，故答案为：8．点评：本题主要考查正弦函数的图象特征，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．15．若在区间[1，2]上存在实数x使2x（2x+a）＜1成立，则a的取值范围是（﹣∞，）．考点：函数恒成立问题．专题：转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析： 2x（2x+a）＜1可化为a＜2﹣x﹣2x，则在区间[1，2]上存在实数x使2x（2x+a）＜1成立，等价于a＜（2﹣x﹣2x）max，利用函数的单调性可求最值．解答：解：2x（2x+a）＜1可化为a＜2﹣x﹣2x，则在区间[1，2]上存在实数x使2x（2x+a）＜1成立，等价于a＜（2﹣x﹣2x）max，而2﹣x﹣2x在[1，2]上单调递减，∴2﹣x﹣2x的最大值为2﹣1﹣2=﹣，∴a＜﹣，故a的取值范围是（﹣∞，），故答案为：（﹣∞，）．点评：该题考查函数恒成立问题，考查转化思想，注意“存在”与“恒成立”问题的区别与联系是解题关键．16．给出下列四个命题：①△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要条件；②当x＞0且x≠1时，有lnx+≥2；③已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7＞S5，则S9＞S3；④若函数为R上的奇函数，则函数y=f（x）的图象一定关于点成中心对称．其中所有正确命题的序号为①③．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列；解三角形；简易逻辑．分析：由三角形中的大边对大角结合正弦定理判断①；举反例说明②错误；根据等差数列的性质可说明③正确；直接由函数图象的平移说明④错误．解答：解：对于①，由A＞B，得边a＞边b（大角对大边），根据正弦定理知：=，则sinA＞sinB；由sinA＞sinB，根据正弦定理知：=，则边a＞边b，根据大边对大角，则有A＞B．∴△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要条件．命题①正确；对于②，若0＜x＜1，则lnx＜0，lnx+≥2不成立．命题②错误；对于③，等差数列{a n}若S7＞S5，则2a1+11d＞0，则S9﹣S3=6a1+33d＞0，即S9＞S3，命题③正确；对于④，函数y=f（x﹣）为R上的奇函数，则其图象关于（0，0）中心对称，而函数y=f（x）的图象是把y=f（x﹣）的图象向左平移个单位得到的，∴函数y=f（x）的图象一定关于点F（﹣，0）成中心对称．命题④错误．故答案为：①③点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判断方法，考查了函数图象的平移，是中档题．三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤。