线性代数 ch05_复旦大学(周勇)课件
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复旦大学精品课程《线性代数》课件,行列式性质课件复习精品资料
上三角形行列式，从而算得行列式的值．
1 −1 2 −3 1 ×3 ⊕
−3 3 −7 9 −5 例１ D = 2 0 4 − 2 1
3 − 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2
1 −1 2 −3 1 ×3 ⊕
−3 3 −7 9 −5 解 D= 2 0 4 −2 1
3 − 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2 1 −1 2 −3 1 0 0 −1 0 −2 r2 + 3r1 2 0 4 − 2 1 3 − 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2
4 − 4 10 − 10 2
1 −1 2 −3 1
r3 − 3r1
r4 − 4r1
0 0 0
0 2 −2
−1 0 1
0 4 −5
−2 −1 3
验证
我们以三阶行列式为例. 记
a11 a12 a13 D = a21 a22 a23 ,
a31 a32 a33
a11 D1 = ka21
a31
a12 ka22 a32
a13 ka23 a33
根据三阶行列式的对角线法则，有
a11 D1 = ka21
a31
a12 ka22 a32
a13 ka23 a33
验证 我们以三阶行列式为例. 记
a11 a12 a13
a11 a12 + ka13 a13
D = a21 a22 a23 , D1 = a21 a22 + ka23 a23
a31 a32 a33
a31 a32 + ka33 a33
则 D = D1.
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 ri + krj把行列式化为
1 −1 2 −3 1 ×3 ⊕
−3 3 −7 9 −5 例１ D = 2 0 4 − 2 1
3 − 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2
1 −1 2 −3 1 ×3 ⊕
−3 3 −7 9 −5 解 D= 2 0 4 −2 1
3 − 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2 1 −1 2 −3 1 0 0 −1 0 −2 r2 + 3r1 2 0 4 − 2 1 3 − 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2
4 − 4 10 − 10 2
1 −1 2 −3 1
r3 − 3r1
r4 − 4r1
0 0 0
0 2 −2
−1 0 1
0 4 −5
−2 −1 3
验证
我们以三阶行列式为例. 记
a11 a12 a13 D = a21 a22 a23 ,
a31 a32 a33
a11 D1 = ka21
a31
a12 ka22 a32
a13 ka23 a33
根据三阶行列式的对角线法则，有
a11 D1 = ka21
a31
a12 ka22 a32
a13 ka23 a33
验证 我们以三阶行列式为例. 记
a11 a12 a13
a11 a12 + ka13 a13
D = a21 a22 a23 , D1 = a21 a22 + ka23 a23
a31 a32 a33
a31 a32 + ka33 a33
则 D = D1.
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 ri + krj把行列式化为
线性代数课件 第一章 行列式5
性质1 行列式与它的转置行列式相等 .
2020/7/15
课件
4
证明
? ? 记 D ? det aij 的转置行列式
b11 b12 ? b1n DT ? b21 b22 ? b2n ,
???????
bn1 bn2 ? bnn
即 bij ? aij ?i, j ? 1,2,? , n?, 按定义
? ? ? ? ? ? DT ?
则D等于下列两个行列式之和：
a11 ? a1i ? a1n a11 ?
D?
a21 ?
? ?
a2i ? a2n ? a21 ?
??
??
a1?i ? a1n a?2i ? a2n ??
an1 ? ani ? ann an1 ? a?ni ? ann
2020/7/15
课件
11
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以
? 1 tb1 p1b2 p2 ? bnpn ?
? 1 t a p11a p2 2 ? a pnn .
又因为行列式 D可表示为
? ?? D ?
? 1 t a p11a p2 2 ? a pnn .
2020/7/15
课件
5
故 D ? DT .
证毕
说明 行列式中行与列具有同等的地位 ,因此行列 式的性质完全相同，则 此行列式为零 .
证明 互换相同的两行，有 D ? ? D, ? D ? 0.
2020/7/15
课件
8
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都
乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式 .
a11 a12 ? a1n ???????
a11 a12 ? a1n ???????
复旦大学精品课程《线性代数》课件,线性变换课件复习资料
O x·n n
x
L x
图5.2: 镜像变换
∴ y1 + y2 = σ (x1 ) + σ (x2 ) = σ (x1 + x2 ) ∈ Im (σ ) (3). 数乘封闭性, 对∀c ∈ F ∀x ∈ Ker (σ ) , ∀y ∈ Im (σ ) , σ (cx) = cσ (x) = c0 = 0 ⇒ cx ∈ Ker (σ ) ∃x ∈ V 使得y = σ (x) , 则cy = cσ (x) = σ (cx) ∈ Im (σ )
由此左分配律成立,即 σ · (τ + π ) = σ · τ + σ · π . 同理可证明右分配律成立. 对∀c ∈ F, σ, τ ∈ L(V ), 有 [(cσ ) · τ ] (•) = (cσ ) (τ (•)) = cσ (τ (•)) = c (σ · τ ) (•) 从而, (cσ ) · τ = c (σ · τ )成立. 同理可证 σ · (cτ ) = c (σ ·). 综上所述, L(V )是F 上的代数. 例 7. 设σ, τ 为R2 空间上的线性变换, 分别定义如下: ∀ 求α= −3 2
第五章
线性变换
上 一 章 中 介 绍 了 线 性 空 间 的 概 念, 本 章 将 讨 论 线 性 空 间 之 间 的 联 系. 它 们 之 间 的 联 系 主 要 反 映 为 线 性 空 间 之间的映射, 所以研究定义域和值域都是线性(子)空间的映射是数学分析的基本目标之一, 其中最简单和最基 本的一类映射是线性变换(Linear Transformation). 它也是线性代数中一个主要研究对象.
证: 验证L(V )上关于线性变换的乘法满足定义5.4中的三个条件: (1) 对 ∀σ, τ, π ∈ L(V ), 有 (σ · τ ) · π = (σ · τ ) (π (•)) = σ (τ (π (•))) = σ ((τ · π ) (•)) = σ · (τ · π ) (2) L(V )中元素V 上的恒等变换“1V ”即为e, 且对∀σ ∈ V , 满足 1V · σ = σ · 1V = σ , 因此恒等变换 是L(V )的恒等元. (3) 对∀σ, τ, π ∈ L(V ), 有 [σ · (τ + π )] (•) = σ ((τ + π ) (•)) = σ (τ (•) + π (•)) = σ (τ (•)) + σ (π (•)) = (σ · τ ) (•) + (σ · π ) (•)
x
L x
图5.2: 镜像变换
∴ y1 + y2 = σ (x1 ) + σ (x2 ) = σ (x1 + x2 ) ∈ Im (σ ) (3). 数乘封闭性, 对∀c ∈ F ∀x ∈ Ker (σ ) , ∀y ∈ Im (σ ) , σ (cx) = cσ (x) = c0 = 0 ⇒ cx ∈ Ker (σ ) ∃x ∈ V 使得y = σ (x) , 则cy = cσ (x) = σ (cx) ∈ Im (σ )
由此左分配律成立,即 σ · (τ + π ) = σ · τ + σ · π . 同理可证明右分配律成立. 对∀c ∈ F, σ, τ ∈ L(V ), 有 [(cσ ) · τ ] (•) = (cσ ) (τ (•)) = cσ (τ (•)) = c (σ · τ ) (•) 从而, (cσ ) · τ = c (σ · τ )成立. 同理可证 σ · (cτ ) = c (σ ·). 综上所述, L(V )是F 上的代数. 例 7. 设σ, τ 为R2 空间上的线性变换, 分别定义如下: ∀ 求α= −3 2
第五章
线性变换
上 一 章 中 介 绍 了 线 性 空 间 的 概 念, 本 章 将 讨 论 线 性 空 间 之 间 的 联 系. 它 们 之 间 的 联 系 主 要 反 映 为 线 性 空 间 之间的映射, 所以研究定义域和值域都是线性(子)空间的映射是数学分析的基本目标之一, 其中最简单和最基 本的一类映射是线性变换(Linear Transformation). 它也是线性代数中一个主要研究对象.
证: 验证L(V )上关于线性变换的乘法满足定义5.4中的三个条件: (1) 对 ∀σ, τ, π ∈ L(V ), 有 (σ · τ ) · π = (σ · τ ) (π (•)) = σ (τ (π (•))) = σ ((τ · π ) (•)) = σ · (τ · π ) (2) L(V )中元素V 上的恒等变换“1V ”即为e, 且对∀σ ∈ V , 满足 1V · σ = σ · 1V = σ , 因此恒等变换 是L(V )的恒等元. (3) 对∀σ, τ, π ∈ L(V ), 有 [σ · (τ + π )] (•) = σ ((τ + π ) (•)) = σ (τ (•) + π (•)) = σ (τ (•)) + σ (π (•)) = (σ · τ ) (•) + (σ · π ) (•)
复旦大学精品课程《线性代数》课件,齐次线性方程组课件复习精品资料
若 Cm n = Am l Bl n ，即
×
××
c c L c a a L a b b L b
11
c 21
M
12
c 22 M
L
1n 11
c 2n M
=
a 21 M
12
a 22 M
L
1l 11
a 2l
b 21
12
b 22
L
1n
b 2n
M M M
M
c m1
c m2
L
c mn
a m1
向量组及其线性组合
定义：n 个有次序的数 a1, a2, …, an 所组成的数组称为n 维向
量（vector），这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称 为第 i个分量．
分量全为实数的向量称为实向量．
分量全为复数的向量称为复向量．
备注：
本书一般只讨论实向量（特别说明的除外） ．
向量组 B：b1, b2, …, bl 能由向量组 A：a1, a2, …, am 线性表示 存在矩阵 K，使得 AK = B
矩阵方程 AX = B 有解
R(A) = R(A, B) R(B) ≤ R(A)
因为 R(B) ≤ R(A, B)
推论：向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl 等价的充分 必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B)．
对于 b1 ，存在一组实数 k11, k21, …, km1 ，使得 b1 = k11a1 + k21 a2 + … + km1 am ；
对于 b2 ，存在一组实数 k12, k22, …, km2 ，使得 b2 = k12a1 + k22 a2 + … + km2 am ；
ch05制造业企业主要经济业务的核算PPT课件
贷：短期借款
1 000 000
【例5-7】确认4月份半个月短期借款利息 (预提方式)。
借：财务费用 2 500
贷：预提费用
2 500
※ 本月利息计算：
1 000 000×6%÷12×15/30＝2 500
26
【例5-8-1】（补充）确认5、6月各月 短期借款利息(预提方式)。
借：财务费用 5 000
实际缴纳税金、支付已分配利润，资 金即退出了企业。
资金筹 集业务
资金投入
投入 资本
材料采 购业务
产品生 产业务
产品销售 业务
资金使用（资金循环与周转）
▲ 供应过程 ▲
生产过程
▲ 销售过程 ▲
货币资 金
储备资 金
生产资 金
成品资 金
货币资 金
资金退 出业务
资金退出
负债
设备购 置业务
固定资 金
财务成果形成与分 配业务
【例5-14】购入需要安装设备，货款已付。
借：在建工程 566 600
贷：银行存款
566 600
※ 发生的安装费均构成需要安装设备实际成本。
36
【例5-15】自行安装设备发生各种费用。
借：在建工程 34 800
贷：原材料
12 000
应付职工薪酬 22 800
【例5-16】需要安装设备安装完毕，已交 付使用。
借：固定资产 601 400
贷：在建工程
601 400
※ 该工程总成本为：
566 600 ＋ 34 800 ＝ 601 400
37
【例5-17】购入设备未按信用条件付款发 生的价值增值应计入固定资产成本。 ①赊购时： 借：固定资产 1 172 000 贷：应付账款 1 172 000 ②实际付款（1 240 000）时： 借：固定资产 68 000 应付账款 1 172 000 贷：银行存款 1 240 000
复旦大学精品课程《线性代数》课件,线性方程组与矩阵课件复习资料
倪卫明
第一讲 从线性方程组谈起
矩阵
简单介绍运算、代数系统、域等概念. 定义 2.2: 设 F 为给定的集合, F 上的二元运算(用符号 ◦ 表示)定义为:
◦:F×F →F
其中 F × F 为集合 F 的笛卡尔积, 这个定义可以推广到 n元运 算. 若运算的结果还是 F 中的元素, 则称运算是封闭的. 运算性质的定义:
如整数集 Z 上的普通加法、乘法, 构成代数系统 Z, + , Z, × , Z, +, × .
定义 2.5:
在集合 F 上定义了“ 加法”和“ 乘法”的二元运算(用符号 “+” 和 “×” 表示), 这些运算在 F 上封闭, 且它们还满足下述规则:
(1) 运算“+” 可结合. (2) 运算“+” 可交换. (3) F 中存在加法单位元 “0”. (4) ∀x ∈ F 存在加法逆元 y ∈ F 使得 x + y = 0, 通常将 y 记成 −x, 称加法
称为数域F 上的m行n列的矩阵, 简称m × n矩阵, 其中 aij (i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n) 称为矩阵的第i行第j列的元素.
本课程中无特殊说明, F 取实数域R. 常用Rm×n 表示所有 m × n 矩阵的集合. 如 A ∈ Rm×n 表示 A是m × n实矩阵. 有时, 也用 [aij ]m×n 表示m × n矩阵, 其中 aij 表示矩阵中的元素.
x3
=
3,
(6).
将得到的x3的解(6), 回代到(2) 得 x2 = 16, 在将它们回代到(1), 得x1 =
29.
倪卫明
第一讲 从线性方程组谈起
从线性方程组谈起
线性代数 ch03_复旦大学(周勇)课件
定义1.5：设有m个n维向量：α1, α2, …, αm ， 对于任何一组实 数 c1, c2, …, cm ，表达式 c1α1 + c2α2 + … + cmαm
称为向量α1, α2, …, αm的一个线性组合． c1, c2, …, cm 称为这个线性组合的系数．
对于n维向量α，如果存在一组实数 1, 2, …, m ，使得 α = 1 α 1 + 2 α 2 + … + m α m
定理2.3：设向量组 ： α1, α2, …, αm线性无关， 而向量组 α1, α2, …, αm, β 线性相关，则向量 β 必能由向量组 A 线性ai1 , ai2 , , ain ，(i 1,2, , m), 可以
定义1.3：向量的数乘， (a1, a2 ,L , an )
运算规律：
O 1g ( )
( ) ( )
( ) O ( ) () ( )
若 α1, α2, …, αr 及 β1, β2, …, βs 为行向量时，线性表示的
系数矩阵
1 k11 k12 L k1s 1
2
L
k21 M
k22 M
L
k2s
M
2
L
r
kr1
kr 2
L
krs
行向量
(a1 , a2 ,L
, an )
，列向量
a2
M
an
线性代数（复旦大学出版社周勇）课后习题答案（三）
线性代数（复旦大学出版社周勇）课后习题答案（三）第三章课后答案1、略2、略3、略4、)1,0,1()1,1,0()0,1,1(21-=-=-αα)2,1,0()0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(323321=-+=-+ααα5、)523(61)(5)(2)(3321321αααααααααα-+=→+=++-6、设存在一组数r k k k ,,,21 使得)()()()(02212121212112211=++++++++=+++++++==+++r r r r r r r r k k k k k k k k k k k k αααααααααβββ因r ααα ,,21线性无关，有==++=+++000221r r r k k k k k k 即021====r k k k ，所以r βββ ,,21线性无关。
7、设存在一组数4321,,,k k k k 使得044332211=+++ββββk k k k 有0)()()()(443332221141=+++++++ααααk k k k k k k k 因000000004332214=k k k k k k k k ，且不全为0，所以4321,,,ββββ线性相关。
8、讨论向量组相关性。
（本题的特点是向量组的个数等于向量的维数，其判断法是求向量组成的行列式值是否为0）（1）0520520111631520111321===ααα，相关（2）02100020011321≠==ααα，无关9、由向量组组成的行列式为 12021011131321111321-==t t ααα （1）如果,5,41=→=-t t 行列式等于0，向量组线性相关，（2）如果,5,41≠→≠-t t 行列式不等于0，向量组线性无关，（3）当5=t 时，向量组相关，设22113αααk k +=即=-=??+????? ??=????? ??213211115312121k k k k10、用矩阵的秩判别向量组的相关性（方法是求由向量组构成的矩阵的秩r 与向量组个数关系）（1）()---→??????? ??----??→---==--015026014010515626414010412420311113213321c c c c A ααα所以 2)(=A R ，相关。
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故 l1, l2, …, ln 就是 L 的 n 个特征值．
三、方阵对角化
定理2.4： n 阶矩阵 A 和对角阵相似（即 A 能对角化）的充 分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量． 推论1：如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵相似． 说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化． 推论2：设 A 为 n 阶对称阵，l 是 A 的特征方程的 k 重根，有 r（A −lE）等于 n − k，则A可以对角化．
k2 p2 + k3 p3 （k2 , k3 不同时为零）就是对应的特征向量．
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1. 计算A的特征多项式det A lE ;
2. 求特征方程det A lE 0的全部根l1 , l2 , , ln , 就是A的全部特征值;
3. 对于特征值l i , 求齐次方程组
性质3: A 与AT有相同的特征值． 性质4: 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则
l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann l1 l2 … ln = |A|
例3 ：若四阶矩阵B的特征值为 1 求行列式 B E 的值．
1 1 1 1 , , , ， 2 3 4 5
所以1 , 2 , 3线性无关.
化.
2 1 2 ( 2) A 5 3 3 1 0 2 2l 1 A lE 5 1 3l 0
2
3 3 l 1 2l
所以A的特征值为l1 l2 l3 1. 把l 1代入 A lE x 0, 解之得基础解系 T (1,1,1) ,
4 1 1 4 1 1 r A 2E 0 0 0 ~ 0 0 0 4 1 1 0 0 0 解方程组 (A−2E) x = 0． 1 0 p2 0 , p3 1 ． 解得基础解系 4 1
(1) 由 A lE 2 2
l 2 l 7
得 l1 l2 2, l3 7.
将 l1 l2 2代入 A l1 E 0, 得方程组
x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 4 x2 4 x3 0 2x 4x 4x 0 1 2 3
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2 (1) A 2 2 4 2 4 2
解
2 1 2 ( 2) A 5 3 3 1 0 2 2 2l 4
2
1 l
2 4 2l
0
解之得基础解系
2 0 1 0 , 2 1 . 1 1
同理, 对l3 7,由 A lE x 0,
求得基础解系
3 1,2,2
2 0 1
T
由于
0 1 2 0, 1 1 2
即A有 3个线性无关的特征向量 ,因而A可对角
再继续施行上述步骤 m 2 次，就得
故 lm 是矩阵Am的特征值, 且 x 是 Am 对应于lm的特 征向量.
2 当A可逆时, l 0,
由Ax lx可得
1 1 A Ax A lx lA x 1
A 1 x l1 x
故l 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于l 1 的特征向量.
3 4 1 x1 0 1 1 x1 0 x ，即 x 1 3 4 2 0 1 1 2 0 1 解得基础解系 p2 ．k p2（k ≠ 0）就是对应的特征向量． 1
所以 A 的特征值为 l1 = −1，l2 = l3 = 2 ．
2 1 1 例2：求矩阵 A 0 2 0 的特征值和特征向量． 4 1 3
解（续）：当 l1 = −1 时，因为
1 1 1 1 0 1 r A l1 E A E 0 3 0 ~ 0 1 0 4 1 4 0 0 0
性质5：设 l1, l2, …, lm 是方阵 A 的特征值， p1, p2, …, pm 依
次是与之对应的特征向量，如果l1, l2, …, lm 各不相同，则 p1, p2, …, pm 线性无关． 属于不同特征值的特征向量是线性无关的．
§2
相似矩阵
二、相似矩阵的概念与性质
定义2.5：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足 P −1AP = B ，
则称 B 为矩阵 A 的相似矩阵，或称矩阵A 和 B 相似．
对 A 进行运算 P −1AP 称为对 A 进行相似变换． 称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵．
性质1：相似矩阵具有相同的秩和行列式． 性质2：相似矩阵如可逆，则逆矩阵也相似． 性质3：若A与B相似，则Ak与Bk相似，其中k为正整数．
解方程组 (A + E) x = 0． 1 p 解得基础解系 1 0 ． k p1（k ≠ 0）就是对应的特征向量． 1
2 1 1 例2：求矩阵 A 0 2 0 的特征值和特征向量． 4 1 3
解（续）：当 l2 = l3 = 2 时，因为
一、基本概念
定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量． Ax = l x = lE x 齐次线性方程组有非零解
定理2.3：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,
从而 A 和 B 的特征值也相同．
证明：根据题意，存在可逆矩阵 P ，使得 P −1AP = B ．
于是 | B −lE | = | P −1AP − P −1(lE) P | = | P −1(A−lE ) P | = | P −1| |A−lE | |P | = |A−lE | ．
l 是 A 的特征值，对应的特征向量也是 x ． lk 是 Ak 的特征值，对应的特征向量也是 x ． 当 A 可逆时，1/l 是 A−1 的特征值，对应的特征向量仍然
是 x．
证明
1 Ax lx 2 2 A x l x A Ax Alx l Ax l lx
3 1 例1：求矩阵 A 的特征值和特征向量． 1 3
解：A 的特征多项式为
| A l E | 3l 1 1 3l (3 l )2 1 8 6l l 2 (4 l )(2 l )
所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ． 当 l2 = 4 时， 对应的特征向量应满足
设 n 阶矩阵 L = diag(l1, l2, …, ln )，则l1, l2, …, ln 就
是 L 的 n 个特征值．
证明：
l1 l L lE
l2 l
(l l )(l l ) 1 2 ln l
( ln l )
证明
l1 l2 的特征向量 ,即有
Ax l1 x ,
l1 x l2 x
如果设 x同时是 A的属于特征值 l1 , l2的
Ax l2 x
l1 l2 x 0,
由于l1 l2 0, 则x 0, 与定义矛盾 .
性质2：若 l 是方阵 A 的特征值， x 是 A 对属于 l 的特征向 量，则
0 2 0 . 1
将l3 2代入 A lE x 0, 得方程组的基础 解系
A li E x 0
的非零解, 就是对应于l i的特征向量.
1 0 1 思考题：已知0是矩阵A 0 2 1 的特征值，求（1）a的 1 0 a 值，（2）矩阵A的特征值和特征向量．
二、基本性质
性质1: 一个特征向量只能属于一个特征值(相同的看成一 个 )．
2 1 1 的特征值和特征向量． 例2：求矩阵A 0 2 0 4 1 3
2 l 解： A l E 0 4
1 2l 1
1 2 l 0 (2 l ) 4 3l
1 3l
(2 l )(l 2 l 2) (l 1)(l 2)2
第五章 矩阵对角化
§1
方阵的特征值与特征向量
一、基本概念
定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量．
3 4 2 2 例： 1 2 3 1 1 3 4 2 则 l = 1 为 的特征值， 为对应于l = 1 的特征向量. 2 3 1
故A不能化为对角矩阵.
6 0 4 例2 设A 3 5 0 3 6 1 A能否对角化？若能对角化, 则求出可逆矩阵 P, 使P 1 AP为对角阵.
解
4l A lE 3 3
6
0
5l 0 6 1 l
2 l 1 l 2
3 2 1 x1 0 1 1 x1 0 x ，即 x 1 3 2 2 0 1 1 2 0 1 解得基础解系 p1 ． k p1（k ≠ 0）就是对应的特征向量． 1
所以A的全部特征值为l1 l2 1, l3 2.