41.2014高考领航(文)7-3课时

【A级】基础训练1．(2013·福州二检)给出下列四个命题：①没有公共点的两条直线平行；②互相垂直的两条直线是相交直线；③既不平行也不相交的直线是异面直线；④不同在任一平面内的两条直线是异面直线．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：没有公共点的两条直线平行或异面，故命题①错；互相垂直的两条直线相交或异面，故命题②错；既不平行也不相交的直线是异面直线，不同在任一平面内的两条直线是异面直线，命题③、④正确，故选B.答案：B2．(2013·石家庄调研)若异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝l，则直线l() A．与直线a，b都相交B．至少与a，b中的一条相交C．至多与a，b中的一条相交D．与a，b中的一条相交，另一条平行解析：若a∥l，b∥l，则a∥b，故a，b中至少有一条与l相交，故选B.答案：B3．(2013·潍坊市模拟)在空间中，l、m、n是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列结论不正确的是()A．若α∥β，α∥γ，则β∥γB．若l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥mC．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝l，则l⊥αD．若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，l⊥m，l⊥n，则m⊥n解析：根据平面平行的传递性可知选项A中的结论正确；如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，可知选项B中的结论正确；如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，可知选项C中的结论正确；易知选项D中的结论不正确．答案：D4．(2013·石家庄质检)平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．解析：若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面． 答案：1或45.(2013·南昌一模)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，CC 1的中点为E ，则直线AE 与BC 1所成的角的大小为________．解析：如图，连接AD 1，ED 1，则直线AE 与BC 1所成的角的大小即为∠D 1AE 的大小．设正方体的棱长为2，则AE ＝3，AD 1＝22，D 1E ＝ 5.根据余弦定理可得cos ∠D 1AE ＝9＋8－52×3×22＝22，所以∠D 1AE ＝π4.答案：π46．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线BD 1与A 1D 所成的角等 于________．解析：连AD 1，则A 1D ⊥AD 1，A 1D ⊥AB ， 且AD 1∩AB ＝A ，∴A 1D ⊥平面D 1AB . 又∵BD 1⊂平面D 1AB ，∴A 1D ⊥BD 1， ∴BD 1与A 1D 所成的角为π2.答案：π27．(2013·北京朝阳高三质检)已知空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ＝3，E ，F 分别是BC ，AD 上的点，并且BE ∶EC ＝AF ∶FD ＝1∶2，EF ＝7.求AB 与CD 所成角的余弦值．解：如图，在BD 上取点G ， 使BG ∶GD ＝1∶2， 连接EG ，FG .在△BCD 中，∵BE EC ＝BGGD ，∴EG ∥CD . 同理，FG ∥AB .在△BCD 中，∵EG ∥CD ，CD ＝3， 又EG ∶CD ＝1∶3，∴EG ＝1.在△ABD 中，∵FG ∥AB ，AB ＝3，FG ∶AB ＝2∶3，∴FG ＝2. 在△EFG 中，EG ＝1，FG ＝2，EF ＝7， 由余弦定理，得cos ∠EGF ＝EG 2＋FG 2－EF 22EG ·FG ＝－12，∵异面直线所成角θ的范围是0°＜θ≤90°， ∴cos θ≥0.∴AB 与CD 所成角的余弦值为12.8．四面体ABCD 中，E 、G 分别为BC 、AB 的中点，F 在CD 上，H 在AD 上，且有DF ∶FC ＝2∶3，DH ∶HA ＝2∶3.(1)证明：点G 、E 、F 、H 四点共面； (2)证明：EF 、GH 、BD 交于一点．证明：(1)连接GE 、HF ， ∵E 、G 分别为BC 、AB 的中点， ∴GE ∥AC .又∵DF ∶FC ＝2∶3， DH ∶HA ＝2∶3， ∴HF ∥AC . ∴GE ∥HF .故G 、E 、F 、H 四点共面． (2)由(1)可知GE ＝12AC ，而FH ＝25AC ，∴GE ≠FH ，∴四边形GEFH 是梯形，GE 与FH 是底边，EF 与GH 是两腰， ∴EF 与GH 不能平行， ∴EF 与GH 相交，设交点为O . 则O ∈平面ABD ，O ∈平面BCD ， 而平面ABD ∩平面BCD ＝BD . ∴EF 、GH 、BD 交于一点．【B 级】 能力提升1．(2013·北京市西城区模拟)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱有( )A ．3条B ．4条C ．6条D ．8条解析：从定义出发，同时考虑到正方体的对角线AC 1与正方体的6条棱有公共点A 和C 1，而正方体有12条棱，所以与AC 1异面的棱有6条．故选C. 答案：C2．(2013·绵阳二诊)在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，则以这4个顶点为顶点构成的几何图形可能是：①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．则其中正确结论的序号是()A．①③④⑤B．①②④⑤C．①②③⑤D．①②③④解析：由长方体的性质知①正确，②不正确；对于③，长方体ABCD－A1B1C1D1中的四面体A1－ABD符合条件，③正确；对于④，长方体ABCD－A1B1C1D1中的四面体A1－BC1D符合条件，④正确；对于⑤，长方体ABCD－A1B1C1D1中的四面体A1－ABC符合条件，故选A.答案：A3．(2013·东城区示范高中综合练习)给出下列命题：①如果不同直线m、n都平行于平面α，则m、n一定不相交；②如要不同直线m、n都垂直于平面α，则m、n一定平行；③如果平面α、β互相平行，若直线m⊂α，直线n⊂β，则m∥n；④如果平面α、β互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β.则真命题的个数是()A．3 B．2C．1 D．0解析：当不同直线m、n都平行于平面α时，m、n的位置不能确定，因此命题①不是真命题；根据直线与平面垂直的性质定理可得命题②是真命题；命题③中m、n的位置关系不能确定，因此命题③不是真命题；命题④中的直线n与平面β的位置关系不确定，因此命题④也不是真命题．故选C.答案：C4．(2013·太原模拟)若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________部分．解析：联想三棱柱，如图分7部分．答案：75．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．解析：只有当a∥b时，a，b在α上的射影才可能是同一条直线，故③错，其余都有可能．答案：①②④6．(2013·西安五校联考)空间四边形ABCD 中，各边长均为1，若BD ＝1，则AC 的取值范围是________解析：如图所示，△ABD 与△BCD 均为边长为1的正三角形，当△ABD 与△CBD 重合时，AC ＝0，将△ABD 以BD 为轴转动，到A ，B ，C ，D 四点再共面时，AC ＝3，故AC 的取值范围是0＜AC ＜ 3. 答案：(0，3)7．(2013·黄山二模)如图，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠BAF ＝90°，BC ＝12AD ，BC ∥AD ，BE ＝12AF ，BE∥AF ，且平面ABEF ⊥平面ABCD ，G 是DF 的中点． (1)证明：CG ∥平面ABEF ；(2)判断直线EF 、CD 、AB 是否交于一点，并给出证明； (3)若BC ＝1，BE ＝2，AB ＝3，求多面体ABCDFE 的体积． 解：(1)证明：取AF 的中点H ，连结HG 、BH ，∵G 是DF 的中点， ∴GH ∥AD ，GH ＝12AD ，又BC ∥AD ，BC ＝12AD ，∴GH ∥BC ，GH ＝BC .∴四边形BCGH 是平行四边形， ∴CG ∥BH .又BH ⊂平面ABEF ，CG ⊄平面ABEF ， 故CG ∥平面ABEF . (2)交于一点，证明如下： 延长FE 、AB ，交于点P ，由梯形AFEB 中BE ∥AF ，BE ＝12AF 得：B 是AP 的中点，延长AB 、DC ，设交于点Q . 同理可得：B 是AQ 的中点， ∴P 与Q 重合，记为点M . 故EF 、CD 、AB 三线交于一点M . (3)∵AB ⊥BE ，且AB ⊥BC ，∴AB ⊥平面EBC ，同理：AB ⊥平面AFD ， ∴平面EBC ∥平面AFD ，∴结合(2)可知：多面体ABCDFE 即为三棱台EBC －FAD ，且其高为AB ＝3， 又S △EBC ＝12×1×2＝1，S △FAD ＝12×2×4＝4，∴V 三棱台EBC －FAD ＝13×(1＋4＋1×4)×3＝7.即多面体ABCDFE 的体积为7.。