01-2自然坐标系中的描述及相对运动

沿顺时针转动， 沿顺时针转动，角位移取负值
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
X
∆θ dθ = 定义角速度 ω = lim ∆t →0 ∆t dt
单位： 单位：rad/s
2
角速度等于角位置对时间的一阶导数
∆ω dω d θ 单位： 定义角加速度 β = lim = = 2 单位：rad/s2 ∆t →0 ∆t dt dt
刚体的定轴转动
定轴转动的特点 定轴转动的特点
ω
ω >0
z v
z
ω
ω <0
v
1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； ） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
v v 2） 任一质点运动 ∆θ , ω , β 均相同，但 v, a 不同； 均相同， 不同； ）
2-3 刚体及其运动
刚体：在外力作用下， 刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变 化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点 组） 刚体的运动形式：平动、 刚体的运动形式：平动、转动 . 平动：若刚体中所有点 平动： 的运动轨迹都保持完全相同， 的运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初始 位置间的连线 . 刚体平动 质点运动
v x = v 0 cos α = v cos θ
θ
v
v 0 cos α v= cos θ
v0
α
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
(2) 将g分解可得： 分解可得 分解可得：
aτ = − g sin θ
v aτ
θ
θ
v
a n = g cos θ
(3) 因为 a n = 故有： 故有：
v v
θ
τ
v
v θ nv o a v x a
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
试一试：另一种推导法： 试一试：另一种推导法：
v v v = vτ
v r dv dv v dτ a= = τ +v dt dt dt
？？
r dv dv = dt dt
讨论
?
r vA
r ∆v
∆v
r r a ≠ aτ
v v ∆t →0 ∆vn = v∆θn
法向加速度大小等于速率平方除以曲率半径， 法向加速度大小等于速率平方除以曲率半径， 方向沿轨道的法线指向。 方向沿轨道的法线指向。
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
小结
v v r dv v v v a = aτ + an = τ + n dt ρ
∆s
p s o
3. 速度： 沿切线方向。 速度： 沿切线方向。
r Q v = r dr dt ds = dt
τ
r r v
∆s
p′
r n
r r r ds r ∴v = vτ = τ dt
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
4. 加速度
A v n ∆θ B
v v v1 τ
ρ
C
v v2
v F ∆θ v1 v v O ∆vn ∆v v • v2 D v ∆vτ E
第二讲 质点运动的自然坐标描述及相对运动
2-0 回顾 2-1 切向加速度和法向加速度 2-2 圆周运动 角量 2-3 刚体及其运动 2-4 相对运动
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
2-0 回顾
矢量性 v v ∆rv(∆t ) = rv(t + ∆t ) − rv(t ) v drv v d rv }r = r (t ) a= v= v v 瞬时性 dt dt ∆t → 0 ⇒ ∆r → dr 叠加性 rv = rv(t ) = x(t )iv + y(t ) vj ⇔ x = x(t ) 运动方程 v y = y (t ) v dr dx v dy v v= = i+ j 消去时间t 消去时间 dt dt dt v v d r d xv d y v a= = i+ j 轨迹方程 dt dt dt v v v v v v v v r = r (t ) ⇒ v or a a = a (t ) ⇒ v or r 两类问题： 两类问题：( x = x(t ) ⇒ v or a ) (a = a (t ) ⇒ v or x)
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运 转动： 动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
刚体的平面运动 .
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
r vB
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
小结 (1) aτ ≡ 0 匀速率运动； 匀速率运动； (2) aτ ≠ 0 变速率运动； 变速率运动； 直线运动; (3) an ≡ 0 直线运动 (4) an≠ 0 曲线运动
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
由楼窗口以水平初速度v 例1.由楼窗口以水平初速度 0射出一发子弹，取枪 由楼窗口以水平初速度 射出一发子弹， 口为原点， 口为原点，沿v0为x轴，竖直向下为 轴，并取发射 轴 竖直向下为y轴 时t=0.试求： 试求： 试求 (1)子弹在任一时刻 的位置坐标及轨道方程； 子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程 子弹在任一时刻 的位置坐标及轨道方程； (2)子弹在 时刻的速度，切向加速度和法向加速度。 子弹在t时刻的速度 切向加速度和法向加速度。 子弹在 时刻的速度，
v0
v
2
α
v g
v an
ρ
2
v cos α v ρ = = 3 an g cos θ
2 2 0
想一想： 想一想：何处曲率半径 最大？何处最小？ 最大？何处最小？ 试一试： 试一试：用其它方法求 曲率半径？ 曲率半径？
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
讨论：一物体做抛体运动 已知 讨论： 讨论：一物体做抛体运动,已知 v 0 ,α 讨论：
DE FD
v v v v v ∆t B v 速度增量 ∆v = v2 − v1 A v1 2 v v v DE = v2 − v1 取 OD = v1 v 由于速度大小不同 速度大小不同而引起的速度变化 由于速度大小不同而引起的速度变化 ∆v
由于速度方向改变而引起的速度变化 由于速度方向改变而引起的速度变化 速度方向改变
r r ∆vτ aτ = lim ∆t →0 ∆ t r r ∆vn an = lim ∆t →0 ∆ t 法向加速度 由于速度方向变化而 产生的， 产生的，沿法线方向
切向加速度 由于速度大小变化而 产生的， 产生的，沿切线方向
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
r r ∆vτ ∆v v dv v aτ = lim = lim τ = τ ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t dt
∗ dθ = ωdt ∫ dθ = ∫ ωdt θ =θ + ∫ ωdt 匀变速圆周运动 β 是恒量 ω =ω + βt ∗θ =θ +ω t + 1 βt ω −ω = 2β(θ −θ )
匀速圆周运动
角加速度等于角速度对时间的一阶导数 或角位置对时间的二阶导数
ω 是恒量 β = 0 θ t
0
2tθ0来自加速度指向曲线凹的一侧！ 加速度指向曲线凹的一侧！
a
an 2 + a 2 θ = tan a = aτ aτ n Q an > 0 ∴ 0 < θ <π > 0, 0 <θ <π , v 增大 2 = 0, θ = π , v ≡ 常量 2 τ < 0, π <θ <π , v 减小 2
−1
y
v a
vy
v0
v v
x
aτ
ρ
an
g
an = g − a =
2 2 t
v0 g v +g t
2 0 2 2
y
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
例2：手球运动员以初速度 0与水平方向成 0 ：手球运动员以初速度v 与水平方向成α 角抛出一球，如图所示。当球到达M点处 点处， 角抛出一球，如图所示。当球到达 点处，与水 平线夹角为θ， 球在M点速度的大小 平线夹角为 ，求(1)球在 点速度的大小；(2)球 球在 点速度的大小； 球 点处的切向加速度和法向加速度大小； 在M点处的切向加速度和法向加速度大小；(3)M 点处的切向加速度和法向加速度大小 点处的曲率半径。 点处的曲率半径。 解:(1)水平方向 水平方向
dv aτ = , dt
v a= a =
2
v aτ an
β v
v a
an =
2
v
2
ρ
2 2
aτ tan β = an
( aτ ) + ( an )
dv v = + dt ρ
2
2
特例： 特例：圆周运动
ρ=R
dv aτ = , dt
v2 an = R
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
2 2
相对性：参照系、 相对性：参照系、坐标系
直角坐标
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
2-1. 在自然坐标中描述质点的运动
1. 位置：在轨道上取一固定点 ，用质点距离 的路程 位置：在轨道上取一固定点O，用质点距离O的路程 长度 s，可唯一确定质点的位置。位置 s有正负之分 ，可唯一确定质点的位置。 有正负之分 2. 位置变化 位置变化: