线性代数第11讲
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线性代数教案11
逆矩阵的性质
1. 如果A可逆，则A有唯一的逆矩阵；
2. 如果A可逆，且AB＝I，则BA＝I；
如果A可逆，且BA＝I，则AB＝I；
3. 如果A，B都可逆，则AB也可逆，且 ( AB)1 B 1 A1
4. 如果A可逆，则A1可逆，且 ( A1 )1 A
5. 如果A可逆，则A的每一行每一列都不能全为零。
,
B
B11 B21
分块矩阵数乘：
B12 B22
,
A
B
A11 A21
B11 B21
A12 A22
B12 B22
A
A11 A21
A12 A22
分块矩阵的乘法：矩阵A的列数等于B的行数，A的列的分
法与B的行的分法相同
AB
A11B11 A21B11
A12 B21 A22 B21
A11B12 A21B12
返回
矩阵的数乘
数 与矩阵A的乘积记作
返回
矩阵的转置
把矩阵A的各行变成同序数的列得到的新矩阵称为A 的转置（Transpose），记为 AT
例如
注意：将A的各列变成行同样能得到A的转置。 A为m×n的矩阵，则 AT 为n×m的矩阵。
对称矩阵的定义：AT A
返回
逆矩阵的唯一性
如果A可逆，则A有唯一的逆矩阵。 证明：设B和C都是A的逆矩阵，那么
矩阵A是m×n矩阵，可以记为 Amn
几种特殊的矩阵
1. 行矩阵； 2. 列矩阵； 3. 零矩阵； 4. n阶方阵； 5. 三角矩阵； 6. 对角矩阵（Diagonal Matrix）； 7. 单位矩阵（Identity Matrix）.
矩阵相等
如果两个矩阵A，B有相同的行数和相同的列数，并 且对应位置的元均相等，则称矩阵A与矩阵B相等， 记为A＝B
线性代数课件11n阶行列式的定义
a11
a12
a11a22 a12a21.
a21
a22
④当行标调成标准排列时
列标排列
12
21
逆序数t
0
1
(1)t
+
-
观察三阶行列式
D a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
①3!项代数和 ②不同行不同列 三个元素的乘积
③三项为正,三 项为负.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
(2) a12
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2
a11x1 a12 x2 b1,
1
a21x1 a22 x2 b2 .
2
a21a11 x1 a22a11 x2 b2a11
) a11a21 x1 a12a21x2 b1a21
(2) a11
(1) a21
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 b2
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
一个中心方法：矩阵的初等行变换 一个应用：二次曲线和二次曲面的形状判定
行列式
矩阵
第一章 §1 行列式的定义
本节我们将讨论： 方程个数和未知数个数相同，且
系数满足特定条件的线性方程组的求 解，从而得到行列式这个工具.
本节结构
➢ 二阶行列式的引出 ➢ 三阶行列式的引出 ➢ n阶行列式的引出 ➢ 四类特殊行列式计算
线性代数11n阶行列式PPT课件
(1). a13a24a31a42 ＋ (2). a21a32a43a14 － (3). a12a23a34a43
25
第25页/共38页
n阶行列式的等价定义
视情况灵活选用定义
（1）行、列下标任意排列
a11 a12 a1n
Dn
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
(1) a a a (i1i2in ) ( j1 j2 jn )
21
第21页/共38页
22
三、 n阶行列式
先分析三阶行列式的计算
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
归纳每项内容及符号的规律
（1）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
32 x 1
1 1 2x 1
求 x3 的 系 数.
32
第32页/共38页
解 含 x3 的项有两项,即
x1 1 2
f x 1 x 1 1
32 x 1
对应于
1 1 2x 1
1 a a a a 1 a a a a (1234) 11 22 33 44
1243
11 22 34 43
1
i1 j1 i2 j2
in jn
（2）列按自然序排列
Dn
(1) (i1i2in ) ai11 ai2 2 ainn
(i1i2 in )
26
第26页/共38页
例2：计算下三角形行列式
a11 0 0 D a21 a22 0
解：
an1 an2 ann 主对角线
25
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n阶行列式的等价定义
视情况灵活选用定义
（1）行、列下标任意排列
a11 a12 a1n
Dn
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
(1) a a a (i1i2in ) ( j1 j2 jn )
21
第21页/共38页
22
三、 n阶行列式
先分析三阶行列式的计算
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
归纳每项内容及符号的规律
（1）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
32 x 1
1 1 2x 1
求 x3 的 系 数.
32
第32页/共38页
解 含 x3 的项有两项,即
x1 1 2
f x 1 x 1 1
32 x 1
对应于
1 1 2x 1
1 a a a a 1 a a a a (1234) 11 22 33 44
1243
11 22 34 43
1
i1 j1 i2 j2
in jn
（2）列按自然序排列
Dn
(1) (i1i2in ) ai11 ai2 2 ainn
(i1i2 in )
26
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例2：计算下三角形行列式
a11 0 0 D a21 a22 0
解：
an1 an2 ann 主对角线
线性代数PPT全集
a31 a32 b3
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 .
a31 a32 b3
则三元线性方程组的解为:
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
a11 b1 a13 D2 a21 b2 a23 ,
Pn = n (n–1) (n–2) ··· 2 1 = n!
二、排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序. 以 n 个不同的自然数为例, 规定由小到大 为标准次序.
定义: 在一个排列 i1 i2 ···is ···it ···in 中, 若数 is>it, 则称这两个数组成一个逆序.
它的特点是研究的变量数量较多，关系复杂，方法上 既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合，也有繁 琐和技巧性很强的数字计算，在学习中，需要特别加 强这些方面的训练。
第一章 行列式 第二章 矩阵及其运算 第三章 矩阵的初等变换
及线性方程组
第四章 向量组的线性相关性
第五章 相似矩阵及二次型
基础 基本内容
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
的系数行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 0,
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
(2)a12:
a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12,
两式相减消去x2, 得 (a11a22 – a12a21) x1 = b1a22 – b2a12;
11齐次方程组-线性代数
线性方程组一、齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 称为齐次线性方程组。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A212222111211系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21O AX =方程组的矩阵形式齐次线性方程组解的性质TO )0,,0,0(000 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=显然是方程组的解；称为零解。
若非零向量Tn n a a a a a a ),,,(2121 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξ是方程组的解，则称为非零解，也称为非零解向量。
性质1：齐次方程组的两个解的和仍是方程组的解。
即：也是解向量。
是解向量，则2121,ξξξξ+性质2：也是解向量。
是解向量，则ξξk {}O A V ==ξξ令则V 构成一个向量空间。
称为方程组的解空间。
若齐次线性方程组的解空间存在一组基,,,,21s ξξξ 则方程组的全部解就是,2211s s k k k ξξξ+++ 这称为方程组的通解。
由此可见，要求方程组的全部解，只需求出其基。
定义：若齐次方程组的有限个解,,,,21s ξξξ 满足：线性无关；s i ξξξ,,,)(21 方程组的任一解都可由)(ii 线性表示；s ξξξ,,,21 则称础解系。
是齐次方程组的一个基s ξξξ,,,21 ss k k k ξξξ+++ 2211也就是说，我们将解空间的基称为基础解系，此时，通解就是基础解系的线性组合，即为：齐次线性方程组基础解系的求法1.行最简形矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a aa a a a a a A 212222111211设r(A) =r < n ,且不妨设A 中最左上角的r 阶子式不为零。
则经有限次行初等变换，矩阵A 化为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---⨯0000000000100010001)(1)(221)(111 r n r r r n r n nm b b b b b b I 显然：IA ≅同解。
第11讲齐次线性方程组解的结构
(m n)
am1x1 am2 x2 amnxn 0。
它的矩阵形式为
AX 0 ,
其中,
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
x1
a2n
,
amn
X
xxn2
。
也可用向量来表示齐次线性方程组。
a11
a12
a1n
记
1 aam211 , 2 aam222 , , n aam2nn ,
四 解线性方程组的一个应用
本节讨论矩阵的特征值与特征向量
定义 4.1
设 A Rnn , 如果存在数 及 n 维非零向量，使得：
A .
(4.1)
则称 为矩阵 A 的一个特征值, 而 称为矩阵 A 相应 于特征值 的一个特征向量。
由于
A ( A E) 0.
为矩阵 A的一个特征值的充要条件是齐次方程组
2 (1, 1, 0, 1, 0 )T 。
齐次线性方程组的通解
若齐次线性方程组(2*) 的基础解系为
1, 2 , , nr
r(A) r
则(2*) 的通解为
C11 C22 Cnrnr ,
其中, Ci 为任意常数 ( i 1, 2, , n r )。
例 求齐次线性方程组的通解: x1 x2 2x3 2x4 7x5 0 , 2x1 3x2 4x3 5x4 0 , 3x1 5x2 6x3 8x4 0。
就是说 , 方程组(2*) 的任何一个解均可由方程组 (3)中所定义
的 1, 2, , nr 线性表出。于是称方程组(3)中的这一组向
量为齐次线性方程组(2*) 的基础解系。
齐次线性方程组的基础解系
线性代数第十一讲
第三节 矩阵的秩
矩阵秩的概念 矩阵秩的求法 例题 矩阵的秩的性质 小结
作业
返回
矩阵的秩的性质
(1) 0 ≤ R( Am×n ) ≤ min {m , n} (2) R( AT ) = R( A) (3) If A ~ B , then R( A) = R( B ) (4)若P,Q可逆，则 R( PAQ ) = R( A) 若 可逆， 可逆 (5) max{R( A), R( B)} ≤ R( A, B) ≤ R( A) + R( B)，
设解为
则
λ1i λ2 i xi = ( i = 1, 2,L , l ) M λ ni
对矩阵(A, B )= ( a1 , a2 ,L , an , b1 , b2 ,L , bl ) 作初等列变换 cn+ i − λ1i c1 − λ2 i c2 − L − λni cn ( i = 1, 2,L , l ),
(8) If Am ×n Bn×l = O , then R( A) + R( B ) ≤ n 例 阶方阵， 的值. 设A为3阶方阵，且R(A)=1，则求 为 阶方阵 ，则求R(A*)的值 的值 的值. 若R(A)=2，则求 ，则求R(A*)的值 的值
返回
(7) R( AB ) ≤ min { R( A), R( B )}
1 0 −1 −1 1 2 c2 ↔ c3 0 1 0 −2 1 2 0 0 0 0 0
~
作业
返回
(1)若 R( A) < R( B ), 则 d r + 1 = 1, 对应矛盾方程： = 1, 对应矛盾方程： 0 所以方程组无解 ;
1 0 L 0 0 1 L 0 L L L L r B → B1 = 0 0 L 1 0 0 L 0 L L L L 0 0 L 0 d1 ( 2)若R( A) = R( B ) = r = n, d 2 则d r +1 = 0或不出现 , 且bij 都 L 不出现 , x1 = d1 dr M , 对应方程组： 0 对应方程组： xn = d n L 所以方程组解唯一. 0 所以方程组解唯一.
矩阵秩的概念 矩阵秩的求法 例题 矩阵的秩的性质 小结
作业
返回
矩阵的秩的性质
(1) 0 ≤ R( Am×n ) ≤ min {m , n} (2) R( AT ) = R( A) (3) If A ~ B , then R( A) = R( B ) (4)若P,Q可逆，则 R( PAQ ) = R( A) 若 可逆， 可逆 (5) max{R( A), R( B)} ≤ R( A, B) ≤ R( A) + R( B)，
设解为
则
λ1i λ2 i xi = ( i = 1, 2,L , l ) M λ ni
对矩阵(A, B )= ( a1 , a2 ,L , an , b1 , b2 ,L , bl ) 作初等列变换 cn+ i − λ1i c1 − λ2 i c2 − L − λni cn ( i = 1, 2,L , l ),
(8) If Am ×n Bn×l = O , then R( A) + R( B ) ≤ n 例 阶方阵， 的值. 设A为3阶方阵，且R(A)=1，则求 为 阶方阵 ，则求R(A*)的值 的值 的值. 若R(A)=2，则求 ，则求R(A*)的值 的值
返回
(7) R( AB ) ≤ min { R( A), R( B )}
1 0 −1 −1 1 2 c2 ↔ c3 0 1 0 −2 1 2 0 0 0 0 0
~
作业
返回
(1)若 R( A) < R( B ), 则 d r + 1 = 1, 对应矛盾方程： = 1, 对应矛盾方程： 0 所以方程组无解 ;
1 0 L 0 0 1 L 0 L L L L r B → B1 = 0 0 L 1 0 0 L 0 L L L L 0 0 L 0 d1 ( 2)若R( A) = R( B ) = r = n, d 2 则d r +1 = 0或不出现 , 且bij 都 L 不出现 , x1 = d1 dr M , 对应方程组： 0 对应方程组： xn = d n L 所以方程组解唯一. 0 所以方程组解唯一.
线性代数课件-11向量的内积
可以解释为两 个向量之间的角度。如果两个向量的 内积为0，则它们之间的夹角为90度 ；如果内积为正数，则它们之间的夹 角为锐角；如果内积为负数，则它们 之间的夹角为钝角。
长度和角度的关系
向量内积与向量的长度和角度之间有密切关系。向量的长度可以通过向量的平方 得到，即$|mathbf{a}| = sqrt{mathbf{a} cdot mathbf{a}}$。
实例2
设$mathbf{a} = (2,-3,4)$，$mathbf{b} = (1,2,-1)$，则$|mathbf{a}| = sqrt{mathbf{a} cdot mathbf{a}} = sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2} = 5$。
实例3
设$mathbf{a} = (1,0,0)$，$mathbf{b} = (0,1,0)$，则$mathbf{a}$和$mathbf{b}$正 交，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
线性代数课件-11向量的内积
目 录
• 向量内积的定义 • 向量内积的性质 • 向量内积的运算 • 向量内积的应用 • 总结与思考
01
向量内积的定义
定义
向量内积定义为两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的点乘，记作$mathbf{a} cdot mathbf{b}$。 具体计算公式为：$mathbf{a} cdot mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + cdots + a_nb_n$，其中 $a_i$和$b_i$分别是向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的第$i$个分量。
详细描述
结合律是向量内积的重要性质之一。它表明 向量内积满足结合性，即向量的内积运算满 足结合律。这一性质确保了向量内积的运算 顺序不会影响最终的结果。结合律在证明向 量内积的一些性质和定理时非常有用，例如 证明向量的点乘满足分配律。
长度和角度的关系
向量内积与向量的长度和角度之间有密切关系。向量的长度可以通过向量的平方 得到，即$|mathbf{a}| = sqrt{mathbf{a} cdot mathbf{a}}$。
实例2
设$mathbf{a} = (2,-3,4)$，$mathbf{b} = (1,2,-1)$，则$|mathbf{a}| = sqrt{mathbf{a} cdot mathbf{a}} = sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2} = 5$。
实例3
设$mathbf{a} = (1,0,0)$，$mathbf{b} = (0,1,0)$，则$mathbf{a}$和$mathbf{b}$正 交，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
线性代数课件-11向量的内积
目 录
• 向量内积的定义 • 向量内积的性质 • 向量内积的运算 • 向量内积的应用 • 总结与思考
01
向量内积的定义
定义
向量内积定义为两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的点乘，记作$mathbf{a} cdot mathbf{b}$。 具体计算公式为：$mathbf{a} cdot mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + cdots + a_nb_n$，其中 $a_i$和$b_i$分别是向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的第$i$个分量。
详细描述
结合律是向量内积的重要性质之一。它表明 向量内积满足结合性，即向量的内积运算满 足结合律。这一性质确保了向量内积的运算 顺序不会影响最终的结果。结合律在证明向 量内积的一些性质和定理时非常有用，例如 证明向量的点乘满足分配律。
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(3.10)
成立, 则称称向量b是向量组a1,a2,,an
的线性组合, 或者称b可由向量组
a1,a2,,an线性表示.
15
例如, b=(2,-1,1), a1=(1,0,0), a2=(0,1,0), a3=(0,0,1), 显然b=2a1-a2+a3. 即b是 a1,a2,a3的线性组合, 或者说b可由 a1,a2,a3线性表示.
由向量加法及负向量的定义, 可定义向量 减法:
a-b=a+(-b)
=(a1,a2,,an)+(-b1,-b2,,-bn) =(a1-b1,a2-b2,,an-bn)
8
定义3.3 n维向量a=(a1,a2,,an)的各个分
量都乘以k(k为一实数)所组成的向量, 称
为数k与向量a的乘积, 记作ka, 即 ka=(ka1,ka2,,kan).
线性代数第11讲
1
定义3.1 n个实数组成的有序数组称为n维
向量. 一般用a,b,g等希腊字母表示, 有时
也用a,b,c,o,u,v,x,y等拉丁字母表示.
a=(a1,a2,,an)
称为n维行向量. 其中ai称为向量a的第i
个分量;
b1
β
b
2
b
n
称为n维列向量. bi是其第i个分量.
所以
1
3
β - 2 (2α2 - 3α1) -α2 2 α1
-(-3, -1, 2, - 5) 3 (2, -4,1, -1) 22
1
(6, -5, - ,1)
2
11
§3.3 向量间的线性关系 (一) 线性组合
12
线性方程组(3.1)写成常数列向量与系数
列向量如下的线性关系
x1a1+x2a2++xnan=b
16
b1
a1 j
定理
3.3
设向量 β
b2
,向量αi
a2
j
(j=1,
bm
amj
2, , n), 则向量b可由向量组a1,a2,,an 线
性表示的充分必要条件是以a1,a2,,an 为列
向量的矩阵与以a1,a2,,an,b为列向量的矩
阵有相同的秩.
17
证: 线性方程组
x1a1+x2a2++xnan=b
α1T ,α2T , , αnT 为列向量的矩阵与以 α1T ,α2T , ,αnT , βT 为列向量的矩阵有相同的 秩.
19
例是n1维. 任向何量一组个e1n=维(1向,0,量a0=),(ea21=,a(20,,…1,,a0n,)都, 0), , en=(0, 0, , 0, 1)的线性组合. 因为 a=a1e1+a2e2++anen e1,e2,,en称为Rn的初始单位向量组.
有解的充分必要条件是: 系数矩阵与增广
矩阵的秩相同. 这就是说b可由a1, a2 , , an线, a性n为表列示向的量充的分矩必阵要与条以件a是1,a: 2以,a,1a, na,b2,
为列向量的矩阵有相同的秩.
18
定理 3.3 也可以叙述为: 对于向量b和向量 组a1,a2,,an, 其中b=(b1,b2,,bm), aj=(a1j, a2j, , amj) (j=1, 2, , n). 向量b可由向量组 a1,a2,,an 线性表示的充分必要条件是以
20
例2. 零向量是任何一组向量的线性组合. 因为
o=0a1+0a2++0as
21
例3. 向量组a1,a2,,as中的任一向量 aj(1js)都是此向量组的线性组合.
因为
aj=0a1++1aj++0as.
22
例4. 判断向量b1=(4,3,-1,11)与 b2=(4,3,0,11)是否各为向量组a1=(1, 2, -1, 5), a2=(2, -1, 1, 1)的线性组合. 若是, 写出
4
要把列(行)向量写成行(列)向量可用转置
记号, 例如
b1
β
b
2
b
n
可写成 b=(b1,b2,,bn)T
5
a11 a12
矩阵
A
a21
a22
am1
am2
a1n
a2n
中的每一行(ai1,
amn
ai2, , ain)(i=1,2,,m)都是 n 维行向量, 每一
a1 j
列
a2
j
(
j
1,
2,
, n)都是 m 维列向量.
amj
6
两个n维向量当且仅当它们各对应分量相
等时, 才是相等的. 即如果a=(a1,a2,,an), b=(b1,b2,,bn)当且仅当ai=bi (i=1, 2, , n) 时, a=b.
所有分量均为零的向量称为零向量, 记为 o=(0, 0, , 0)
式. 如果可以, 则方程组有解; 否则, 方程
组无解. b可以表示成上述关系式时, 称向 量b是向量组a1,a2,,an的线性组合, 或 者称b可由向量组a1,a2,,an线性表示.
14
定义3.5 对于给定向量b, a1,a2,,as,如
果存在一组数k1,k2,,ks, 使关系式
b=k1a1+k2a2++ksas
n维向量a=(a1,a2,,an)的各分量的相反 数组成的n维向量, 称为a的负向量, 记为 -a, 即-a=(-a1,-a2,,-an).
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定义3.2 两个n维向量a=(a1,a2,,an)与 b=(b1,b2,,bn)的各对应分量之和所组成 的向量, 称为向量a与向量b的和, 记为 a+b. 即a+b=(a1+b1,a2+b2,,an+bn).
称为方程组(3.1)的向量形式.
其中 a1j
αj
a2j
(j 1,2, ,n)
b1
β
b2
amj
bm
都是m维向量.
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于是, 线性方程组(3.1)是否有解, 就相当 于是否存在一组数: x1=k1, x2=k2, , xn=kn, 使线性关系式
k1a1+k2a2++knan=b 成立. 即常数列向量b是否可以表示成上 述系数列向量组a1,a2,,an的线性关系
向量的加, 减及数乘运算统称为向量的线 性运算.
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定义3.4 所有n维实向量的集合记为Rn, 我
们称Rn为实n维向量空间, 它是指在
Rn中定义了加法及数乘这两种运算, 并且
这两种运算满足以下8条规律:
(1) a+b=b+a
(2) a+(b+g)=(a+b)+g
(3) a+o=a (4) a+(-a)=o (5) (k+l)a=ka+la
其中a,b,g都是n维
向量, k,l为实数
(6) k(a+b)=ka+kb
(7) (kl)a=k(la)
(8) 1a=a
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例.
设α1 (2, -4,1, -1),α2
(-3, -1, 2, - 5),, 2
如
果向量b满足 3a1-2(b+a2)=o, 求b.
解: 由题设条件, 有
3a1-2b-2a2=o