数学高考总复习同步优化探究理数(北师大版)练习：第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算含解析

课时作业 A 组——基础对点练1．(2017·杭州模拟)在△ABC 中，已知M 是BC 中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝( )A.12a －b B.12a ＋b C ．a －12bD ．a ＋12b解析：AM→＝AC →＋CM →＝－CA →＋12CB →＝－b ＋12a ，故选A.答案：A2．已知AB→＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( )A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解析：因为AD→＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A .所以A ，B ，D 三点共线． 答案：B3．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( ) A ．a B ．b C ．cD ．0解析：依题意，设a ＋b ＝mc ，b ＋c ＝na ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝mc －na ，即a －c ＝mc －na .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0. 答案：D4．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.BC →B.12AD →C.AD→ D.12BC →解析：如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD→＝AD →. 答案：C5．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2 AC →＋CB →＝0，则向量OC →等于( )A.23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB → C ．2 OA→－OB → D ．－OA→＋2 OB → 解析：因为AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2 AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2 OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2 OA →－OB →. 答案：C6．已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作一条直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM→＝x AB →，AN →＝y AC →，则xy x ＋y 的值为( )A ．3 B.13 C ．2D.12解析：由已知得M ，G ，N 三点共线，所以AG→＝λ AM →＋(1－λ)AN →＝λx AB →＋(1－λ)y AC→.∵点G 是△ABC 的重心，∴AG →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λx ＝13，(1－λ)y ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13x ，1－λ＝13y ，得13x ＋13y ＝1，即1x ＋1y ＝3，通分得x ＋y xy ＝3，∴xy x ＋y ＝13.答案：B7．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB→，则λ等于( ) A.23 B.13 C ．－13D ．－23解析：∵AD→＝2DB →，即CD →－CA →＝2(CB →－CD →)，∴CD→＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23. 答案：A8．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |解析：a |a |＝b |b |⇔a ＝|a |b|b |⇔a 与b 共线且同向⇔a ＝λb 且λ＞0.B ，D 选项中a 和b 可能反向．A 选项中λ＜0，不符合λ＞0. 答案：C9．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD→＝－13AB →＋43AC → B.AD→＝13AB →－43AC →C.AD→＝43AB →＋13AC →D.AD→＝43AB →－13AC →解析：由题意得AD→＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →，故选A. 答案：A10．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋y AC →，则x ＝ ；y ＝ . 解析：∵AM→＝2MC →，∴AM →＝23AC →.∵BN→＝NC →，∴AN →＝12(AB →＋AC →)， ∴MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →.又MN→＝xAB →＋yAC →，∴x ＝12，y ＝－16. 答案：12 －1611．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA→＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状为 ． 解析：由OA→＋OC →＝OB →＋OD →得OA →－OB →＝OD →－OC →，所以BA →＝CD →，所以四边形ABCD 为平行四边形． 答案：平行四边形12．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝ .(用e 1，e 2表示)解析：在矩形ABCD 中，因为O 是对角线的交点，所以OC→＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC →＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2)． 答案：52e 1＋32e 213．已知A (1,0)，B (4,0)，C (3,4)，O 为坐标原点，且OD→＝12(OA →＋OB →－CB →)，则|BD→|等于 ． 解析：由OD→＝12(OA →＋OB →－CB →)＝12(OA →＋OC →)，知点D 是线段AC 的中点，故D (2,2)，所以BD →＝(－2,2)，故|BD →|＝(－2)2＋22＝2 2.答案：2 2B 组——能力提升练1．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝me 1＋2e 2，b ＝ne 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则mn 等于( ) A ．－12 B.12 C ．－2D ．2解析：∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即me 1＋2e 2＝λ(ne 1－e 2)，则⎩⎨⎧λn ＝m －λ＝2，故mn ＝－2.答案：C2．在△ABC 中，AN →＝14NC →，若P 是直线BN 上的一点，且满足AP→＝m AB →＋25AC →，则实数m 的值为( ) A ．－4 B ．－1 C ．1D ．4解析：根据题意设BP→＝n BN →(n ∈R)，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋n BN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →，又AP →＝m AB →＋25AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－n ＝m ，n 5＝25，解得⎩⎨⎧n ＝2，m ＝－1，故选B.答案：B3．在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( ) A ．(0，52] B ．(52，72] C ．(52，2]D ．(72，2]解析：由题意得点B 1，B 2在以O 为圆心的单位圆上，点P 在以O 为圆心、半径为12的圆内，又AB 1→⊥AB 2→，AP →＝AB 1→＋AB 2→，所以点A 在以B 1B 2为直径的圆上，当点P 与点O 重合时，|OA →|最大，为2，当点P 在半径为12的圆周上时，|OA →|最小，为72，故选D. 答案：D4．在△ABC 中，BD →＝3 DC →，若AD →＝λ1 AB →＋λ2 AC →，则λ1λ2的值为( )A.116B.316C.12D.109解析：由题意得，AD→＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →，∴λ1＝14，λ2＝34，∴λ1λ2＝316. 答案：B5．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5 AM →＝AB →＋3 AC →，则△ABM与△ABC 的面积的比值为( ) A.15 B.25 C.35D.45解析：设AB 的中点为D ，如图，连接MD ，MC ，由5 AM →＝AB →＋3 AC→，得 5 AM →＝2 AD →＋3 AC → ①，即AM →＝25AD →＋35AC →，即25＋35＝1，故C ，M ，D 三点共线，又AM→＝AD →＋DM → ②，①②联立，得5 DM →＝3 DC →，即在△ABM 与△ABC 中，边AB 上的高的比值为35，所以△ABM 与△ABC 的面积的比值为35. 答案：C6．设M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB→＋32MA →＋32MC →＝0，D 是AC 的中点，则|MD →||BM →|的值为( ) A.13 B.12 C ．1D ．2解析：∵D 是AC 的中点，延长MD 至E ，使得DE ＝MD (图略)，∴四边形MAEC 为平行四边形，∴MD→＝12ME →＝12(MA →＋MC →)． ∵MB →＋32MA →＋32MC →＝0，∴MB →＝－32(MA →＋MC →)＝－3MD→，∴|MD →||BM →|＝|MD →||－3MD →|＝13，故选A. 答案：A7．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点， 若DE→＝λ AB →＋μ AD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )A.58B.14 C ．1D.516解析：DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A. 答案：A8．在△ABC 上，点D 满足AD →＝2AB →－AC →，则( )A ．点D 不在直线BC 上B ．点D 在BC 的延长线上 C ．点D 在线段BC 上 D ．点D 在CB 的延长线上 解析：AD →＝2AB →－AC →＝AB →＋AB →－AC → ＝AB →＋CB →； 如图，作BD ′→＝CB →，连接AD ′，则： AB →＋CB →＝AB →＋BD ′→＝AD ′→＝AD →； ∴D ′和D 重合；∴点D 在CB 的延长线上．答案：D9．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC边上一点，BC →＝3 EC →，F 为AE 的中点，则BF →＝( )A.23AB →－13AD →B.13AB →－23AD →C ．－23AB →＋13AD →D ．－13AB →＋23AD →解析：如图，取AB 的中点G ，连接DG ，CG ，则易知四边形DCBG 为平行四边形，所以BC→＝GD →＝AD →－AG →＝AD →－12AB→，∴AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝23AB →＋23AD →，于是BF →＝AF →－AB →＝12AE →－AB →＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋23AD →－AB →＝－23AB →＋13AD →，故选C. 答案：C10．设D 为△ABC 所在平面内一点，且BC →＝3BD →，则AD →＝( )A.23AB →＋13AC →B.13AB →＋23AC →C.43AB →＋13AC →D.23AB →＋53AC → 解析：∵BC→＝3BD →∴BD→＝13BC →＝13(AC →－AB →)， 则AD→＝AB →＋BD →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →.答案：A11．已知O 为坐标原点，B 、D 分别是以O 为圆心的单位圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点，点P 为单位圆劣弧BD 上一点，若OB →＋OD →＝xDB →＋yOP →，∠BOP ＝π3， 则x ＋y ＝( ) A ．1 B. 3 C ．2D ．4－3 3解析：如图，DB →＝OB →－OD →， ∴OB→＋OD →＝x (OB →－OD →)＋yOP →， ∴yOP→＝(1－x )OB →＋(1＋x )OD →，① ∵∠BOP ＝π3，∴OP→＝12OB →＋32OD →，∴yOP→＝y 2OB →＋32yOD →，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝y 2，1＋x ＝32y ，解得x ＝2－3，y ＝23－2，∴x ＋y ＝3，故选B. 答案：B12．已知向量e 1、e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝ .解析：因为a 与b 共线，所以a ＝xb ，⎩⎨⎧x ＝2λx ＝－1，故λ＝－12. 答案：－1213．如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝ .解析：因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1.因为点M 为AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝12AB →＋16BC →，又AM→＝λAB →＋μBC →，所以λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23.答案：2314.(2018·临汾模拟)如图，△ABC 中，GA→＋GB →＋GC →＝0，CA →＝a ，CB →＝b .若CP →＝ma ，CQ →＝nb ，CG ∩PQ ＝H ，CG →＝2CH →，则1m ＋1n ＝ . 解析：由GA →＋GB →＋GC →＝0，知G 为△ABC 的重心，取AB 的中点D (图略)，则CH →＝12CG →＝13CD →＝16(CA →＋CB →)＝16m CP →＋16n CQ →，由P ，H ，Q 三点共线，得16m ＋16n ＝1，则1m ＋1n ＝6. 答案：615.如图，在△ABC 中，AN→＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB→＋211AC →，则实数m 的值为 ． 解析：由AN →＝13NC →，可知AN →＝14AC →，又∵AP→＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋811AN →，且B 、P 、N 共线，∴m ＋811＝1，∴m ＝311. 答案：311。