椭圆与直线(第三次课)
3.1.2椭圆的几何性质(直线与椭圆的位置关系)课件(人教版)
讲
课
人
：
邢
启
强
15
高中数学
课堂小结
方程
选择性必修第一册
y2
x2
2 1
2
a
b
x2
y2
1
a 2 b2
RJ·A
图形
(, )
(, )
(−, )
o
对称性
顶点
离心率
讲
课
人
：
邢
启
强
(−, )
(, )
(, )
(, −)
范围
a x a,b y b
c
e (0 e 1)
a
16
后研究圆锥曲线的统一性等性质带来
方便。
讲
课
人
：
邢
启
强
4
题型：直线与椭圆的位置关系
2 2
例：已知直线l:y=2x+m,椭圆：4 + 2 = 1，试问当m取何
值时，直线l与椭圆C：
（1）有两个公共点；
（2）有且只有一个公共点；
（3）没有公共点。
解题提示：联立方程
式判断根的个数
讲
课
人
：
邢
启
强
消元得一元二次方程
得出结论
利用根的判别
5
题型：直线与椭圆的位置关系
= 2 +
解：直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组ቐ 2
2
+
4
2
讲
课
人
：
邢
启
强
=1
,
3.1.3直线与椭圆的位置关系ppt课件
(3)△<0 无解
直线与椭圆没有公共点 (相离)．
通法
直线与椭圆的位置关系
x2 y2
1 的位置关
例1：判断直线y=x+1与椭圆
5
4
系
相交
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
知识点2.弦长问题
x2 y 2
若直线 l : y kx m与椭圆 2 2 1(a b 0) 的
交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
知识3.面积问题
x2
例3 已知椭圆C： y 2 1.
2
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知点M (1,0), 且直线y x 1与椭圆C相交于A, B两点，求ABM的面积.
知识点4.中点弦问题
2
2
x y
1
例、椭圆 1, 设直线y x 1与椭圆交于
法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达
定理来处理.
2
或
AB
1
1 2
k
2
( y1 y2 ) 2 4 y1 y2
（适用于任何曲线）
x2 y2
1
例2、椭圆
1, 设直线y x 1与椭圆交于
16 4
2
A、B两点，求弦长| AB | 。
设点
解：设 A( x1 ，y1 ) ，B( x2 ，y2 )
弦长.
• (2)求以A(1,1)为中点椭圆的弦所在的直线方
程.
16 4
2
A、B两点，求线段AB的中点坐标。
分析：中点坐标
+ +
高考数学 专题07 直线与椭圆的解题方法(解析版)
专题07 直线与椭圆的解题方法一．【学习目标】1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．2．熟练掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归． 3．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用． 二．【知识要点】 1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于____________)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F 1，F 2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) ______________ (a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝_____________． (2)y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，焦点___________________，其中c ＝_____________． 3．椭圆的几何性质以x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)为例(1)范围：________________．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：O (0，0)．(3)顶点：长轴端点：A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，短轴端点：B 1(0，－b )，B 2(0，b )；长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，焦距|F 1F 2|＝2c .(4)离心率e ＝_______，0<e <1，e 越大，椭圆越______，e 越_______，椭圆越圆． (5)a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 2或a 2＝c 2＋b 2. 三．【方法总结】（一）直线与椭圆关系求离心率 （二）对称问题 （三）椭圆与圆（四）直线与椭圆的中点弦问题 （五）定点问题 （六）定值问题 （七）范围问题 （八）探索性问题 四．【题型归纳】（一）直线与椭圆关系求离心率例1.在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13 B ．23 C ．83D ．32或83【答案】A【解析】如图 设()()0000,,,P x y Q x y --,又(,0),(,0)A a F c ，00,22x a y M +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,,,Q F M Q 三点共线,MF QF k k = 0000022y y x a c x c-∴=++-,即00002y y c x x a c =++-,002c x x a c ∴+=+-,3a c ∴=,13c e a ∴==,故选A.练习1.已知1F ,2F 为椭圆22221(0)x yC a b a b+=>>：的左右焦点，过原点O 且倾斜角为30°的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，若12AF AF ⊥,122F AF S ∆=，则椭圆C 的方程为A.22162x y += B.22184x y += C.22182x y += D.2212016x y += 【答案】A【解析】由题意，过原点O 且倾斜角为30o 的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ， 且12AF AF ⊥，且122F AF S ∆=，则可知OA c =， 设(,)A x y ，则31cos30,sin 302x c y c c ====o o ，即31,)2A c , 代入椭圆的方程可得2222144c c a b+=又由122F AF S ∆=，则211122222S c c c =⨯⨯== ，解答24c =，且222c a b =-， 解得226,2a b ==，所以椭圆的方程为22162x y +=，故选A.方法2，利用焦点三角形面积公式2tan ||||21221θb y F F S A ==（21AF F ∠=θ） 求出坐标31,)2A c ，带入第一个面积公式求c ，利用第二个面积公式2πθ=求b练习2.已知F 1，F 2为椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的两个焦点，过点F 1作x 轴的垂线，交椭圆C 于P ，Q 两点．当△F 2PQ 为等腰直角三角形时，椭圆C 的离心率为e 1，当△F 2PQ 为等边三角形时， 椭圆C 的离心率为e 2，则e 1，e 2的大小关系为e 1______e 2 （用“＞”，“＜”或“=”连接） 【答案】＜ 【解析】把x c =-代入椭圆方程可得：22221c y a b+=，解得：2by a =± ①当2F PQ ∆为等腰直角三角形时，可得：22b c a=，即222a c ac -=化为：211210e e +-=，101e <<解得：1212e -+== ②当2F PQ ∆为等边三角形时，22b c a=)222a c ac -=22220e +=，201e <<解得：2e =则1e ，2e 的大小关系为：12e e <本题正确结果：<（二）对称问题例2. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆:C 22221y x a b+=()0a b >>的下顶点，M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若,64ππα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A．0,3⎛ ⎝⎦B．0,2⎛ ⎝⎦C．,32⎣⎦D．,33⎣⎦ 【答案】A【解析】OP Q 在y 轴上，且平行四边形中，MN OP P ，∴M 、N 两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即M 、N 两点关于x 轴对称，而MN OP a ==，可设,2a M x ⎛⎫-⎪⎝⎭，,2a N x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得：||x =，得,2a N ⎫⎪⎪⎝⎭， α为直线ON的倾斜角，tan aa ==，,,tan 164a ππα⎛⎤∈<≤ ⎥⎝⎦，1<≤，1a b ∴<≤1b a ≤<22113b a ∴≤<，而221ab ac e -==0e ∴<≤． ∴椭圆C的离心率的取值范围为⎛ ⎝⎦．故选A 项．练习1. 设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，若在直线2a x c =（其中222cb a +=）上存在点P ，使线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是( )A．0,2⎛ ⎝⎦B．0,3⎛ ⎝⎦ C．3⎫⎪⎪⎣⎭ D．,12⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C【解析】由题意得 ()1,0)F c -，2F (),0c ，设点2,a P m c ⎛⎫⎪⎝⎭， 则由中点公式可得线段1PF 的中点221(,22a c K m c - )，∴线段1PF 的斜率与2KF 的斜率之积等于1-，即2221212m m a a c c c c c--⋅=--+-， 22230a a m c c c c ⎛⎫⎛⎫∴=-+⋅-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4224230a a c c ∴--≤，423210e e ∴+-≥，213e ∴≥，或21(e ≤-舍去)，e ∴≥． 又椭圆的离心率 01e <<，故13e ≤<， 故选：C ．练习2. 设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆C 与x 轴正半轴于点P 、Q ，且85AP PQ =uu u r uu u r， 椭圆C 的离心率为___.【答案】12【解析】：设0(,0)Q x ，由(,0)F c -，(0,)A b 知∵FA AQ ⊥u u u r u u u r ，0FA AQ ⋅=u u u r u u u r ,∴200cx b -=，20b x c= 设11(,)P x y ，由85AP PQ =uu u r uu u r 得21813b x c =，1513y b = 因为点P 在椭圆上，所以222221851313b a c bb +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭整理得2b 2=3ac ，即2（a 2-c 2）=3ac ，2e 2+3e -2=0，故椭圆的离心率12e =（三）椭圆与圆例3.如图，1A ，2A 分别是椭圆2214xy +=的左、右顶点，圆1A 的半径为2，过点2A 作圆1A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆于点Q ，则2PQ QA =_______．【答案】34【解析】连结1PO PA 、，可得1POA n 是边长为2的等边三角形，所以1160PAO POA ∠∠==︒， 可得直线1PA 的斜率1603k tan =︒=PO 的斜率为21203k tan =︒=- 因此，直线1PA 的方程为)32y x =+，直线PO 的方程为3y x =， 设()P m n ，，由)323y x y x⎧=+⎪⎨=⎪⎩解得1m =-， 因为圆1A 与直线2PA 相切于点P ，所以21PA PA ⊥，因此219030PA O PAO ∠∠=︒-=︒， 故直线2PA 的斜率3150k tan =︒=2PA 的方程为)32y x =-，代入椭圆方程2214x y +=，消去y 得271640xx -+=，解得2x =或27x =， 因为直线2PA 交椭圆于()22,0A 与Q 点，设(),Q s t ，可得27s =， 由此可得22213722427Q P A Q x x PQ s m QA x x s +--====---. 故答案为34练习1.祖暅原理：两个等高的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.利用祖暅原理可以求旋转体的体积.比如：设半圆方程为222(0,0)x y r y r +=≥>，半圆与x 轴正半轴交于点A ，作直线x r =，y r =交于点P ，连接OP （O 为原点），利用祖暅原理可得：半圆绕y 轴旋转所得半球的体积与OAP ∆绕y 轴旋转一周形成的几何体的体积相等.类比这个方法，可得半椭圆22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥绕y 轴旋转一周形成的几何体的体积是_________. 【答案】223ab π 【解析】如图，这是椭圆22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥绕y 轴旋转一周形成的几何体，所以半椭圆22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥绕y 轴旋转一周形成的几何体为：椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理，得出该几何体的体积是V V V =-圆柱圆锥22212=33b a b a b a πππ-=；答案：223ab π练习2.已知O 是椭圆E 的对称中心，1F ，2F 是E 的焦点，以O 为圆心，1OF 为半径的圆与E 的一个交点为A .若¼1AF 与¼2AF 的长度之比为2:1，则E 的离心率等于______. 【答案】31e =【解析】解法1：如图，设122F F c =，1OF c =，因为¼1AF 与¼2AF 的长度之比为2：1，故1120AOF ∠=o ，260AOF ∠=o ，所以2AOF △为正三角形，故2AF c =.在等腰1AOF △中，求得13AF c =.根据椭圆的定义，可得)12231a AF AF c =+=，故椭圆的离心率231231c c e a a ====+. 解法2：如图，设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，122F F c =.由题意，易知1120AOF ∠=o，260AOF ∠=o，所以2AOF △为正三角形，故13,22A c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因为点A 在椭圆上，所以22223144c c a b+=，即()222223144c c a a c +=-，即()22231441e e e +=-， 整理，得()22221344e eee -+=-，即42840e e -+=，解得2423e =+2423e =-31e =.练习3.设p 是椭圆2213632x y +=上一点，M ，N 分别是两圆：()2221x y -+=和()22124x y ++=上的点，则PM PN +的取值范围为______【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡227221， 【解析】首先将P 点固定于一处，设两圆心分别为12,C C ，则1211,2r r ==，且12,C C 为椭圆的焦点， 根据圆外一点到与圆上的点的距离的范围可得11221111,22PC PM PC PC PN PC -≤≤+-≤≤+， 从而得到12123322PC PC PM PN PC PC +-≤+≤++，根据椭圆的定义可知1212PC PC +=，所以PM PN +的取值范围为2127[,]22， 故答案是：2127[,]22.（四）直线与椭圆的中点弦问题例4.已知椭圆T ： 22221(>0)x y a b a b +=>的离心率为2，右焦点为()1,0F ,三角形ABC 的三个顶点都在椭圆T 上，设它的三条边AB BC AC 、、的中点分别为D E M 、、，且三条边所在直线的斜率分别1k 、2k 、3k ，且1k 、2k 、3k 均不为0。
直线与椭圆(经典公开课课件)
题型三 直线与椭圆的综合问题
例4
已知椭圆C：ax22＋by22＝1 (a>b>0)的离心率为
3 2
，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
ac＝ 23， 由题意可得2b＝2，
c2＝a2－b2，
解得a2＝4，b2＝1.
故椭圆 C 的标准方程为x42＋y2＝1.
(2)过点P(1,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若△ABO的面积为
则|AB|＝ 1＋14× x1＋x22－4x1x2 ＝ 54－m2＝ 5， 解得 m＝± 3. 所求直线 l 的方程为 y＝12x± 3.
命题点2 中点弦问题 例3 已知P(1,1)为椭圆 x42＋y22＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为__x＋__2_y_－__3_＝__0_.
(2)直线l的斜率为12 ，直线l与椭圆C交于A，B两点.若|AB|＝ 5 ，求直线l的 方程.
设 l 的方程为 y＝12x＋m， 点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立yx8＝ 2＋12y2x2＋＝m1，， 整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0. ∴Δ＝4m2－8m2＋16＞0，解得|m|＜2. ∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.
y＝x－ 3， 联立x42＋y2＝1， 消y得，5x2－8 3x＋8＝0，
则 x1＋x2＝853，x1·x2＝85， 所以|AB|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
＝ 2×
8
5
32－4×85＝85.
即弦 AB 的长为85.
3的.已弦知长椭为圆1，ay22则＋椭bx22圆＝方1(a程>b为>0_y4)_2的＋__右x_2_＝顶__1点_.为A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴
直线与椭圆的位置关系讲解(全面)
分析:先画图熟悉题意, 点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△F1AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
解 例焦:2∵:点已椭，圆知过点x2F2 F21作y、2倾F斜21分的角别两为个 是4焦椭的点圆直坐2x线标2 ，F11y求(21△,10F)的1, AF左2B(1、 的, 0右 面) 积. ∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l，
则l可写成：4x 5y k 0
x o
4x 5y k 0
由方程组
x2
y2
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
25 9 1
由 0，得64k 2 - 4 2（5 k 2 - 225） 0
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
知识点3：中点弦问题
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作 差构造出中点坐标和斜率．
设A(x1, y1), B(x2 , y2 ), AB中点M (x0 , y0 )，
则有：2x0 x1 x2 , 2 y0 y1 y2
1 a2
1 b2
1
a2
b2
a2b2
题型一：直线与椭圆的位置关系
练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有 两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
当k= 6 时有一个交点 3
当k> 6 或k<- 6 时有两个交点
2.2.2椭圆的简单几何性质(3)直线与椭圆的位置关系
题型三：中点弦问题
例1、已知椭圆 x2 y2 1过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 16 4
平分，求此弦所在直线的方程.
点 作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
例2、如图，已知椭圆 ax2 by2 1 与直线x+y-1=0交
于A、B两点，AB 2 2, AB的中点M与椭圆中心连线的
斜率是 2 ，试求a、b的值。
2
解:ax2 by2 1
y
消y得:(a b)x2 2bx b 1 0
x y 1 0
A
=4b2 -4(a b)(b 1) 0 ab a b 设A(x1, y1), B(x2 , y2 )
M
o
x
B
x1
x2
2b ab
0)
y x1
由
x2 2
y2
1
消去
3x2 4x 0
y 并化简整理得
∴ x1 x2
4 3
,
x1 x2
0
∴ AB
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2( x1 x2 )2
2
( x1
x2
)2
4 x1 x2
=
4 3
2
∵点 F1 到直线 AB 的距离 d
18
9
x1 x2
7
, x1 x2
14
弦长
1 k2
(x1 x2 )2
4x1 x2
6
11 7
练习： 已知椭圆5x2+9y2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ45，椭圆的右焦点为F，
直线与椭圆的位置关系-高中数学复习
点， O 为坐标原点，若 AB ∥ OP ，则椭圆的焦距为（
C. 1
）
D. 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
目录
高中总复习·数学
解析： 由题意知， F 1（－ c ，0）， A （ a ，0）， B （0，1），
1
1
则点 P （－ c ， ），所以直线 BA 的斜率 kBA ＝－ ，直线 PO 的斜
1
1
1
1
率 kPO ＝ ＝－ .由 BA ∥ PO ，得 kBA ＝ kPO ，所以－ ＝－ ，则
−
c ＝1，所以椭圆的焦距为2 c ＝2.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
目录
高中总复习·数学
4.
2
（2023·新高考Ⅱ卷5题）已知椭圆 C ： ＋ y 2＝1的左、右焦点分别
2
＋
（1 ＋2 )(1 −2 ）
＝0，
1 −2
2 1 ＋2
2
1
∴
＝－ 2 ×
＝2，∴ 2 ＝ ，
1 −2
2
1 ＋2
2
故椭圆的离心率 e ＝ ＝
1−
2
2
＝ .
2
2
目录
高中总复习·数学
1
2
2
（2）已知斜率为－ 且不经过坐标原点 O 的直线与椭圆 ＋ ＝1相
直线与椭圆的位置关系(教学课件2019)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【解答】
答案：
y2 x2 1 64 32
【变式训练】 1、已知椭圆 C 以椭圆
x2 y2 1 的顶点为焦点，焦点为顶点，求椭圆 C 的方程． 16 9
【解答】
4
哈佛北大精英创立
y2 x2 1 答案： 16 7
2、长、短轴都在坐标轴上，直线 2x-y=6 经过两顶点的椭圆方程是＿
辅导讲义
授课 类型
C（椭圆定义及性质）
T（直线与椭圆）
教学内容
一、知识回顾
1. 问题： （1） 椭圆的中心是什么？椭圆的长轴短轴是什么？长半轴短半轴又是什么？ （2）通过椭圆的图像，分析一下椭圆的对称性。 （3）椭圆方程中 x、y 的取值范围是什么？ 2．椭圆的图形与性质 焦点在 x 轴上 标准方程 焦点在 y 轴上
x2 y2 1 a2 b2
y · F1 O · F2
y2 x2 1 a2 b2
y · F2 x O O · F1 x
图形
F1 (c , 0) ， F2 (c , 0)
焦点
2 2 2 （c a b ，c 0 ）
F1 (0 , c) ， F2 (0 , c)
2 2 2 （c a b ，c 0 ）
【解答】
答案： (1 , 0) (2 , 3)
【变式训练】 1、方程
x2 y2 ＋ =1 表示长轴在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围是________。 7 k 5 k
2、已知椭圆
A． 4
x2 y2 1 的长轴在 y 轴上，焦距为 4 ，则 m 等于（ 10 m m 2
3 ，所以 M 所在曲线方程为
x2 y2 1 （ x 2 ） ． 4 3
【变式训练】
求经过点 A(2 , 0) ，且与圆 ( x 2) 2 y 2 36 内切的动圆圆心 M 的轨迹方程．
【解答】
答案：
x2 y2 1 9 5
Ⅱ、根据椭圆性质求解方程 【例 1 】 已知椭圆的长轴长为 16 ，焦点在 y 轴上，短轴长与焦距相等，则椭圆的标准方程为
x2 y2 1（ a b 0 ）上一点 P 满足 F1 PF2 （ F1 、 F2 于椭圆的两个焦点） ， a2 b2
求△ F1 PF2 的面积 S ．
【解答】
解：设 | PF 1 | m ， | PF 2 | n ，则 m n 2a ， 由余弦定理得 m n 2mncos 4c ，所以 (m n) 2 2mn 2mncos 4c 2 ，
【变式训练】 1、已知椭圆
x2 y2 1 ， F1 、 F2 分别为左、右焦点， CD 为过 F1 的弦，且与 x 轴的夹角为 60 ， 16 9
则△ F2 CD 的周长为_______________．
【解答】 答案： 16 【例 3】已知椭圆
x2 y 2 1 a b 0 ， P 为椭圆上任一点， F1PF2 ,求 F1PF 的面积。 a 2 b2
x2 y2 1 ＿＿。 9 36
3、椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，短轴的一个端点与两焦点构成等边三角形，且焦点到椭圆
的最短距离为 3 ，求椭圆的方程．
x2 y2 x2 y2 1或 1 答案： 12 9 9 12
题型二、根据椭圆定义求参数（范围） ：
【例 1】方程
x2 y2 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是_______________． m 2 2m 3
14 ． 2
【解答】
2
哈佛北大精英创立
x2 y2 1． 解： （1）由题意， c 4 ， 4a 20 ，所以 a 5 ， b 3 ，椭圆方程为 25 9
（2）若点 (3 , 0) 是长轴顶点，则 a 3 ， b 1 ，椭圆方程是
x2 y2 1； 9
【例 2】根据下列条件求椭圆的标准方程（中心在原点，焦点在坐标轴上） ：
（1）过一个焦点 F1 (4 , 0) 的弦 AB 与另一焦点 F2 所构成的△ ABF 2 的周长为 20 ； （2）长轴长是短轴长的 3 倍，并且经过点 (3 , 0) ； （3）焦点 F1 、 F2 在 x 轴上， P(3 , 4) 为椭圆上一点，且 PF 1 PF 2； （4）经过点 (2 , 2 ) ， 1 ,
2 2 2
所以 m n
2b 2 1 b 2 sin b 2 tan ． ，于是 S m nsin 1 cos 2 1 cos 2
2
x 2、 已知椭圆
25
y2 1 与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B,左焦点为 F,则△ABF 的面积是___16_ 16
4m 2n 1 1 1 x2 y2 m n 1． 得 ，解得 ， ，所以椭圆方程为 7 8 4 8 4 m n 1 2
【变式训练】
1、已知椭圆的两焦点为 F1(0，1)，F2(0，-1)，P 是椭圆上任一点， F1 F2 是 PF1 与 PF2 的等差中项， 则椭圆的方程为___17、
x2 y 2 3. 点与椭圆的位置关系：设点 P x0，y0 ，椭圆方程为 2 2 1 ，则： a b
1 P在椭圆外 PF1 PF2 2a 2 2 x0 y0 2 1 P在椭圆上 PF1 PF2 2a （其中 F1、F2 为椭圆焦点）. 2 a b 1 P在椭圆内 PF1 PF2 2a
x2 y2 1 上任一点， F1 、 F2 为其两焦点，则 F1 PF2 的最大值是（ 3 4
B． 2 arcsin
）
3 4
1 4
C．
3
D．
2 3
【解答】
答案：C
【例 2】设椭圆
_ 2 5 2 ___。
x2 y2 1 的两个焦点分别为 F1 和 F2，短轴的一个端点为 B，则△BF1F2 的周长是 5 4
答案：已知椭圆的定义，有 PF 1 PF 中，由余弦定理有 1 PF 2 2a ，而在 F
PF1 PF2 2 PF1 PF2 cos F1 F2 4c 2
2
2
2
PF1 PF2
2
2 PF1 PF2 2 PF1 PF2 cos 4c 2
2 2 即 4 a c 2 PF1 PF2 1 cos
y2 x2 1 ______________。 4 3
2、已知△ ABC 的周长为 20 ，且 | BC | 6 ，求点 A 的轨迹方程．
【解答】
解：以 BC 中点为原点， BC 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，则 B(3 , 0) ， C (3 , 0) ，由题意， 有 | AB | | AC | 14 ，则点 A 的轨迹是以 B 、 C 为焦点，长轴长为 14 的椭圆（除去长轴端点） ，所
x2 y2 3、点 P 是椭圆 =1 上一点，F1、F2 是焦点， F1PF2=600，则Δ PF1F2 的面积是__3 3 25 9
___。
4、M 是椭圆 x
等于＿＿4
2
9
y2 1 上的一点，F1、F2 是椭圆的焦点，且∠F1MF2＝90°，则△F1MF2 的面积 4
5、已知椭圆
x2 y2 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F2，点 P 在椭圆上，若 P、F1、F2 是一个直角三 16 9 角形的三个顶点，则点 P 到 x 轴的距离为（ ）
x2 y2 1（ y 0 ） 以点的轨迹方程为 ． 49 40
3、△ ABC 中， | BC | 6 ，且 sin B sin C
3 sin A ，求点 A 的轨迹方程． 2
哈佛北大精英创立
3
【解答】
答案：
4x 2 4 y 2 1（ y 0） 81 45
【例 3】已知动圆 M 与定圆 O1 ： ( x 1) 2 y 2 1外切，与圆 O2 ： ( x 1) 2 y 2 9 内切，求动
4. 直线与椭圆的位置关系. 直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离，判断直线与椭圆的位置关系，可以利用直线方程与椭 圆方程联立，看联立后方程解的个数： （1） 0 ，无解则相离； （2） 0 ，一解则相切； （3） 0 ，两解则相交。直线与椭圆相交就有直线与椭圆相交弦问题，直线与椭圆的两交点之间 的线段叫做直线与椭圆相交弦。 利用直线与椭圆相交的弦长公式： AB 1 k x1 x2 .
所以 a 45 ， b 20 ，椭圆方程为
2 2
9 16 2 1 ，即 16a 2 9b 2 a 2 b 2 ， 2 a b
x2 y2 1． 45 20
14 分别代入可 2
（4）设椭圆的方程为 mx2 ny2 1（ m 0 ， n 0 ） ，将点 (2 , 2 ) ， 1 ,
__________．
5
哈佛北大精英创立
【解答】 答案： 9 ， 1
题型三、焦点弦
【例 1】 1）设点 A(-2, 3 )、B（2，0） ，点 M 在椭圆
坐标为＿(-2,-3)＿。 2） P 为椭圆 A． 2atc tan
x2 y2 1 上运动，当|MA|+|MB|最大时，点 M 的 16 12
A.
9 B.3 5
C.
9 7 9 D. 7 4
解析：由余弦定理判断∠P<90° ，只能∠PF1F2 或∠PF2F1 为直角.由 a=4，b=3 得 c= 7 ，∴|yP|= 答案：D
9 . 4
所以 S F1PF
1 sin PF1 PF2 sin b 2 b 2 tan 2 1 cos 2