5、 简谐运动(上海版)

北辰教育学科老师辅导讲义一、描述简谐运动的物理量[导学探究]如图1所示为理想弹簧振子，O为它的平衡位置，将振子拉到A点由静止释放，观察振子的振动；然后将振子拉到B点释放，再观察振子的振动．(1)两次振动有什么差别？用什么物理量来描述这种差别？(2)用秒表分别记录完成50次往复运动所用的时间，两种情况下是否相同？每完成一次往复运动所用时间是否相同？这个时间有什么物理意义？图1[知识梳理]描述简谐运动的物理量1．振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离．2．全振动：振动物体往返一次(以后完全重复原来的运动)的运动叫做一次全振动．判断是否为全振动的方法：(1)如果物体的位移和速度都回到原值(大小、方向两方面)，即物体从同一个方向回到出发点，则是一次全振动；(2)看物体通过的路程是否等于振幅的四倍．3．周期和频率(1)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间． 频率：单位时间内完成全振动的次数． T 和f 的关系为T ＝1f.(2)周期和频率由振动系统本身的性质决定，与振幅无关(填“有关”或“无关”)． [即学即用] 判断下列说法的正误．(1)在机械振动的过程中，振幅是不断变化的．( )(2)在弹簧振子振动一个周期的过程中，振子经过的路程等于振幅的4倍．( ) (3)振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移，它是矢量．( )(4)振动周期指的是振动物体从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用的时间．( )二、简谐运动的回复力[导学探究] 如图1所示为弹簧振子的模型，O 点为振子的平衡位置，A 、O 间和B 、O 间距离都是x ，弹簧振子振动系数为k .(1)当振子在A 点时所受弹簧的弹力方向如何？大小是多少？在B 点呢？ (2)弹力的作用是什么？(3)弹力的大小与位移是什么关系？图1[知识梳理] 1．回复力(1)回复力的方向总是指向平衡位置，回复力为零的位置就是平衡位置． (2)回复力的性质回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供．例如：如图2甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m 随M 一起振动，m 的回复力由静摩擦力提供．图2(3)回复力的作用总是把物体拉回到平衡位置．2．简谐运动的动力学特征：回复力F＝－kx.(1)k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中k为弹簧的劲度系数)．其值由振动系统决定，与振幅无关．(2)“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反．(3)判断一个物体是否做简谐运动，可找出回复力F与位移x之间的关系，若满足F＝－kx，则物体做简谐运动，否则就不是简谐运动．3．简谐运动的加速度由F＝－kx及牛顿第二定律F＝ma可知：a＝－km x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反．[即学即用]判断下列说法的正误．(1)回复力的方向总是与位移的方向相反．( )(2)回复力的方向总是与速度方向相反．( )(3)回复力的方向总是与加速度的方向相反．( )(4)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此加速度一定为零．( )(5)回复力可以是一个力的分力，也可以是几个力的合力. ( )三、简谐运动的能量[导学探究]如图3所示为水平弹簧振子，振子在A、B之间往复运动．图3(1)从A到B的运动过程中，振子的动能如何变化？弹簧弹性势能如何变化？总机械能是否变化？(2)如果把振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？(3)实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？理想化的弹簧振动系统，忽略空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？[知识梳理]简谐运动的能量及其转化1．不考虑阻力，水平弹簧振子振动过程中只有弹力做功，在任意时刻的动能与势能之和保持不变，即机械能守恒．2．简谐运动的机械能由振幅决定，振幅越大，振动的能量越大．只要没有能量损耗，简谐运动的振幅保持不变，因此简谐运动又称为等幅振动．[即学即用]弹簧振子在水平方向上做简谐运动的过程中，判断下列说法的正误．(1)在平衡位置时它的机械能最大．( )(2)在最大位移处时它的弹性势能最大．( )(3)从平衡位置到最大位移处它的动能减小．( )(4)从平衡位置到最大位移处它的机械能减小．( )(5)向平衡位置运动的过程中回复力对物体做了正功．( )三、简谐运动中各物理量的变化[导学探究]如图4所示，O点为振子的平衡位置，A、B分别是振子运动的最右端和最左端．(1)振子在振动过程中通过O点时速度最大还是最小？(2)振子在振动过程中由A→B点时加速度如何变化？图4[知识梳理]如图5为水平的弹簧振子示意图，试分析振子运动过程中各物理量的变化情况．图5振子的运动A→O O→A′A′→O O→A位移方向向右向左向左向右大小减小增大减小增大回复力方向向左向右向右向左大小减小增大减小增大加速度方向向左向右向右向左大小减小增大减小增大速度方向向左向左向右向右大小增大减小增大减小振子的动能增大减小增大减小弹簧的势能减小增大减小增大系统总能量不变不变不变不变[即学即用]关于简谐运动的位移、加速度和速度的关系，判断下列说法的正误．(1)位移减小时，加速度减小，速度也减小．( )(2)位移方向总是跟加速度方向相反，跟速度方向相同．( )(3)物体的运动方向指向平衡位置时，速度方向跟位移方向相反；背离平衡位置时，速度方向跟位移方向相同．( )(4)物体向负方向运动时，加速度方向跟速度方向相同；向正方向运动时，加速度方向跟速度方向相反．( )(5)当振子的位移为负值时，速度一定为正值，加速度一定为负值．( )(6)质点每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同．( )一、描述简谐运动的物理量及其关系1．振幅和位移的区别(1)振幅等于最大位移的数值．(2)对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的．(3)位移是矢量，振幅是标量．2．做简谐运动的物体在四分之一周期内所通过的路程不一定为振幅，有可能等于振幅，有可能大于振幅，也有可能小于振幅．3．简谐运动的周期和频率与振幅无关．例1(多选)如图3所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间的距离是20 cm，振子由A运动到B的时间是2 s，则()图3A．从O→B→O振子做了一次全振动B．振动周期为4 s，振幅是10 cmC ．从B 开始经过6 s ，振子通过的路程是60 cmD ．从O 开始经过3 s ，振子处在平衡位置二、简谐运动的周期性和对称性 简谐运动的周期性和对称性(如图4所示)图4(1)时间的对称①物体来回通过相同的两点间的时间相等，即t DB ＝t BD .②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中t OB ＝t BO ＝t OA ＝t AO ，t OD ＝t DO ＝t OC ＝t CO . (2)速度的对称①物体连续两次经过同一点(如D 点)的速度大小相等，方向相反．②物体经过关于O 点对称的两点(如C 与D )时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反． (3)位移的对称①物体经过同一点(如C 点)时，位移相等．②物体经过关于O 点对称的两点(如C 与D )时，位移大小相等，方向相反． 例3 (多选)一水平弹簧振子做简谐运动，周期为T ，则( )A ．振子的位移为x 和－x 的两个时刻，振子的速度一定大小相等，方向相反B ．振子的速度为v 和－v 的两个时刻，振子的位移一定大小相等，方向可能相同C ．若Δt ＝T ，则在t 时刻和(t ＋Δt )时刻振子振动的速度一定相等D ．若Δt ＝T2，则在t 时刻和(t ＋Δt )时刻弹簧的长度一定相等针对训练 如图5所示，一质点沿水平直线做简谐运动，先后以相同速度通过a 、b 两点，经历时间t ab ＝1 s ，过b 点后再经t ′＝1 s 质点第一次反向通过b 点．若在这两秒内质点所通过的路程是8 cm ，该质点的振动周期为________，振幅为________．图5三、简谐运动的回复力和动力学特征1．回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果命名的，回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力，分析物体的受力时不能再加上回复力．2．简谐运动的判断：回复力F＝－kx和加速度a＝－km x分别是简谐运动的动力学特征和运动学特征，常用两式来证明某个振动是否为简谐运动．例1(多选)如图6所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，O为平衡位置，下列说法正确的是()图6A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力作用C．振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大D．振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置例2一质量为m，侧面积为S的正方体木块，放在水面上静止(平衡)，如图7所示．现用力向下将其压入水中一段深度后(未全部浸没)撤掉外力，木块在水面上下振动，试判断木块的振动是否为简谐运动．图7判定振动是否为简谐运动的方法(1)以平衡位置为原点，沿运动方向建立直线坐标系．(2)在振动过程中任选一个位置(平衡位置除外)，对振动物体进行受力分析．(3)将力在振动方向上分解，求出振动方向上的合力．(4)判定振动方向上合外力(或加速度)与位移关系是否符合F＝－kx(或a＝－km x)，若符合，则为简谐运动，否则不是简谐运动．二、简谐运动的能量1．水平的弹簧振子运动时，弹性势能与动能相互转化．弹性势能最小时，动能最大；弹性势能最大时，动能最小．2．简谐运动是一种无能量损失的振动，振动系统的机械能保持不变．例3如图8所示，一水平弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M.图8(1)简谐运动的能量取决于________，振子振动时动能和________相互转化，总机械能________．(2)(多选)振子在振动过程中，下列说法中正确的是()A．振子在平衡位置，动能最大，势能最小B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变(3)(多选)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是()A．振幅不变B．振幅减小C．最大动能不变D．最大动能减小三、简谐运动中各物理量的变化1．简谐运动中各个物理量对应关系不同：位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同．2．简谐运动中的最大位移处，F，a、E p最大，E k＝0.在平衡位置处，F＝0，a＝0、E p＝0，E k最大．3．位移增大时，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小，位移减小时，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大．例4(多选)如图9所示，弹簧振子在C、B间做简谐运动，O点为其平衡位置，则()图9A．振子在由C点运动到O点的过程中，回复力逐渐增大B．振子在由O点运动到B点的过程中，速度不断增加C．振子在O点加速度最小，在B点加速度最大D．振子通过平衡位置O点时，动能最大，势能最小针对训练(多选)如图10所示是弹簧振子做简谐运动的振动图象，可以判定()图10A．t1到t2时间内系统的动能不断增大，势能不断减小B．t2到t3时间内动能先增大再减小C．t3时刻振子处于平衡位置处，动能最大D．t1、t4时刻振子的动能、速度都相同1．(多选)下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是()A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处B．周期和频率的乘积是一个常数C．振幅增加，周期必然增加，而频率减小D．做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关2.(多选)一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图象如图6所示，由图可知()图6A．质点振动的频率是4 HzB．质点振动的振幅是2 cmC．t＝3 s时，质点的速度最大D．t＝3 s时，质点的振幅为零3．(多选)质点沿直线以O点为平衡位置做简谐运动，A、B两点分别为正向最大位移处和负向最大位移处的点，A、B相距10cm，质点从A到B的时间为0.1 s，从质点经过O点时开始计时，经0.5 s，则下述说法正确的是()A．振幅为5 cmB．振幅为10 cmC．质点通过的路程为50 cmD．质点位移为50 cm4．对于弹簧振子的回复力与位移的关系图象，下列图象中正确的是()5．(多选)一个做简谐运动的物体，每次势能相同时，下列说法中正确的是()A．有相同的动能B．有相同的位移C．有相同的加速度D．有相同的速率6．(多选)如图11所示是某一质点做简谐运动的振动图象，下列说法正确的是()图11A．在第1 s内，质点速度逐渐增大B．在第1 s内，质点加速度逐渐增大C．在第4 s内，质点的动能逐渐增大D．在第4 s内，质点的势能逐渐增大7．(多选)把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图12所示，下列结论正确的是()图12A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小B．小球在A、B位置时，势能最大，加速度最大C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功D．小球从B到O的过程中，振动的能量不断增加一、选择题1. (多选)如图1所示，弹簧振子以O为平衡位置，在BC间振动，则()图1A．从B→O→C→O→B为一次全振动B．从O→B→O→C→B为一次全振动C．从C→O→B→O→C为一次全振动D．OB的大小不一定等于OC2．(多选)振动周期指的是振动物体()A．从任意一个位置出发又回到这个位置所用的时间B．从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用的时间C．从某一位置出发又沿同一运动方向回到这个位置所用的最短时间D．经历了四个振幅的时间3.(多选)如图2所示为质点的振动图象，下列判断中正确的是()图2A．质点振动周期是8 sB．振幅是±2 cmC．4 s末质点的速度为负，加速度为零D．10 s末质点的加速度为正，速度为零4. (多选)如图3所示，弹簧振子的小球在B 、C 之间做简谐运动，O 为BC 的中点，B 、C 间的距离为10 cm ，则下列说法中正确的是( )图3A ．小球的最大位移是10 cmB ．只有在B 、C 两点时，小球的振幅是5 cm ，在O 点时，小球的振幅是零 C ．无论小球在哪一位置，它的振幅都是5 cmD ．从任意时刻起，一个周期内小球经过的路程都是20 cm5. (多选)一个质点做简谐运动的图象如图5所示，下列叙述中正确的是( )图5A ．质点的振动频率为4 HzB ．在10 s 内质点经过的路程为20 cmC ．在5 s 末，质点做简谐运动的相位为32πD ．t ＝1.5 s 和t ＝4.5 s 两时刻质点的位移大小相等，都是 2 cm6．(多选)关于简谐运动的回复力，下列说法正确的是( ) A ．可能是两个力的合力 B ．可能是一个力的分力C ．可以是大小不变而方向改变的力D ．一定是变力7. (多选)如图1所示，弹簧振子B 上放一个物块A ，在A 与B 一起做简谐运动的过程中，关于A 受力的说法中正确的是( )图1A ．物块A 受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力C．物块A做简谐振动的回复力是B对它的摩擦力D．物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力8.如图2所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A、B之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k，当物体B离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于()图2A．0 B．kxC.mM kx D.mM＋mkx9．(多选)关于简谐振动的加速度，下列说法正确的是()A．大小与位移成正比，方向一周期变化一次B．大小不断变化，方向始终指向平衡位置C．大小与位移成正比，方向始终指向平衡位置D．大小变化是均匀的，方向一周期变化一次10．如图3甲所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，如图乙是弹簧振子做简谐运动时的位移—时间图象，则关于弹簧振子的加速度随时间的变化规律，下列四个图象中正确的是()图311. (多选)如图4所示为某个弹簧振子做简谐运动的振动图象，由图象可知()图4A．在0.1 s时，由于位移为零，所以振动能量为零B．在0.2 s时，振子具有最大势能C．在0.35 s时，振子具有的能量尚未达到最大值D．在0.3 s时，振子的动能最大12. (多选)一质点做简谐运动的振动图象如图5所示，则该质点()图5A．在0～0.01 s内，速度与加速度同向B．在0.01～0.02 s内，速度与回复力同向C．在0.025 s时，速度为正，加速度为正D．在0.04 s时，速度最大，回复力为零13．(多选)如图6甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图象，由图可知下列说法中正确的是()图6A．在t＝0.2 s时，弹簧振子可能运动到B位置B．在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度方向相反C．从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的动能持续地增大D．在t＝0.4 s与t＝0.8 s时弹簧振子的动能最大14．如图7甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期T＝2 s，从最低点位置向上运动时开始计时，在一个周期内的振动图象如图乙所示，关于这个图象，下列说法正确的是()图7A．t＝1.25 s，振子的加速度为正，速度也为正B．t＝1 s，弹性势能最大，重力势能最小C．t＝0.5 s，弹性势能为零，重力势能最小D．t＝2 s，弹性势能最大，重力势能最小15. (多选)如图8所示，弹簧上面固定一质量为m的小球，小球在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当小球振动到最高点时弹簧正好为原长，则小球在振动过程中()图8A．小球最大动能应小于mgAB．弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变C．弹簧最大弹性势能等于2mgAD．小球在最低点时的弹力大于2mg。