2019-2020学年中考数学深度复习讲义 一元二次方程(教案+中考真题+模拟试题+单元测试).doc
2019-2020年中考数学一轮专题复习第8讲一元二次方程及应用精讲精练浙教版
2019-2020年中考数学一轮专题复习第8讲一元二次方程及应用精讲精练浙教版考点一、一元二次方程的有关概念【例1】下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )A．x2＋1x2＝0 B．ax2＋bx＋c＝0C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x2－2xy－5y2＝0方法总结方程是一元二次方程要同时满足下列条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不等于0.容易忽略的是条件①和④.举一反三方程x2+ax+1=0和x2﹣x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3考点二、一元二次方程的解法【例2】解方程：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7方法总结此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化选择，常常涉及到配方法、公式法、因式分解法．选择解法时要根据方程的结构特点，系数(或常数)之间的关系灵活进行，解题时要讲究技巧，尽量保证准确、迅速．举一反三 1.解方程：（x2+4）（x2+1）=2x（4+x2）2.解方程组：5 x y12= +=⎪⎩3.解方程组：4.解关于x的方程：a2（x2﹣x+1）﹣a（x2﹣1）=（a2﹣1）x．考点三、一元二次方程根的判别式的应用【例3】如果关于x的方程（m+1）x2+2mx+m﹣1=0有实数根，则（）A．m≠1 B．m=﹣1 C．m≠±1 D．m为全体实数方法总结由于一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式b2－4ac＝0，从而得到一个关于m的方程，解方程求得m的值即可．一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：(1)不解方程，判定根的情况；(2)根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围；(3)应用判别式证明方程根的情况．举一反三 1.关于x的方程kx2﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是．2.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a（x+a）=0的两个实数根为x1，x2，若y=x1+x2+．（1）当a≥0时，求y的取值范围；（2）当a≤﹣2时，比较y与﹣a2+6a﹣4的大小，并说明理由．考点四、一元二次方程根与系数的关系【例4】已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．方法总结 解决本题的关键是把给定的代数式经过恒等变形化为含x 1＋x 2，x 1x 2的形式，然后把x 1＋x 2，x 1x 2的值整体代入．研究一元二次方程根与系数的关系的前提为：①a ≠0，②b 2－4ac ≥0.因此利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数中所含字母的值或范围时，必须要考虑这一前提条件．举一反三 1.已知m ，n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，则m 2﹣mn+3m+n= ．2. 若t 是一元二次方程2ax bx c 0(a 0)++=≠的根，则判别式2b 4a c ∆=-和完全平方式M=()22at b +的大小关系是( )A.△=MB.△＞MC.△＜MD.大小关系不能确定 3. 已知，关于x 的一元二次方程x 2﹣（a ﹣4）x ﹣a+3=0（a ＜0）． （1）求证：方程一定有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2（其中x 1＜x 2），若y 是关于a 的函数，且y=，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，利用函数图象，求关于a 的方程y+a+1=0的解．考点五、用一元二次方程解实际问题【例5】汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，2014年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2016年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2014年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2016年的年产量为多少万辆？方法总结此题是一道典型的增长率问题，主要考查列一元二次方程解应用题的一般步骤．解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程．最后还要注意求出的未知数的值是否符合实际意义，不符合的要舍去．举一反三受房贷收紧、对政策预期不确定等因素影响，今年前两个月，全国商品住宅市场销售出现销售量和销售价齐跌态势，数据显示，2016年前两个月，某房地产开发公司的销售面积一共8300平方米，其中2月份比1月份少销售300平方米．（1）求2016年1、2月份各销售了多少平方米；（2）该公司2月份每平方米的售价为8000元，3月份开始，决定以降价促销的方式应对当前的形势，据调查，与2月份相比较，每平方米销售单价下调a%，则销售面积将增加（a+10）%，结果3月份总销售额为3456万元，求a 的值．一、选择题1．关于x 的方程2210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是（ ）A . k 为任何实数，方程都没有实数根B .k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C .k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D.根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种2．关于x 的方程220x px q --=（p ，q 是正整数）, 若它的正根小于或等于4，则正根是整数的概率是（ ） A ．512 B ．14 C ．13D ．123．如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的三倍，则称这样的方程为“3倍根方程”，以下说法不正确的是（ ） A ．方程x 2﹣4x+3=0是3倍根方程B ．若关于x 的方程（x ﹣3）（mx+n ）=0是3倍根方程，则m+n=0C ．若m+n=0且m ≠0，则关于x 的方程（x ﹣3）（mx+n ）=0是3倍根方程D ．若3m+n=0且m ≠0，则关于x 的方程x 2+（m ﹣n ）x ﹣mn=0是3倍根方程 4．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣a=0有两个相等的实数根，则a 的值是（ ） A ．4 B ．﹣4 C ．1D ．﹣1二、填空题1．将关于x 的一元二次方程02=++q px x 变形为q px x --=2，就可将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降 次法”. 已知012=--x x ，可用“降次法”求得432014x x -+值是 .2．(2014下城区一模，14)已知等腰三角形的一腰为x ，周长为20，则方程212310x x -+= 的根为 .3.(2013上城区一模，13)已知1-=x 是一元二次方程0102=-+bx ax 的一个解，且b a -≠，则ba b a 2222+-的值为 ．三、解答题1．已知方程x 2﹣4x+3=0：，解决以下问题： (1)不解方程判断此方程的根的情况；(2)请按要求分别解这个方程：①配方法；②因式分解法. (3)这些方法都是将解 转化为解 ； (4)尝试解方程：x 3﹣x=02．把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t （秒）时该足球距离地面的高度h （米）适用公式h=20t ﹣5t 2（0≤t ≤4）．（1）当t=3时，求足球距离地面的高度； （2）当足球距离地面的高度为10米时，求t ；（3）若存在实数t 1，t 2（t 1≠t 2）当t=t 1或t 2时，足球距离地面的高度都为m （米），求m 的取值范围．1．设a、b是方程x2+x﹣2018=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．20172．已知m、n是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，且（2m2﹣6m+a）（3n2﹣9n﹣5）=10，则a的值为（）A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣33．已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则= ．4．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．5．如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建一条长方形道路LMPQ及一条平行四边形道路RSTK，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若LM=RS=x米，则根据题意可列出方程为．6．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知x2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则mn= ．7．选择适当方法解下列方程：（1）x2﹣5x+1=0（用配方法）；（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；（3）2x2﹣2x﹣5=0（公式法）；（4）（y+2）2=（3y﹣1）2．8．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+5m=mx+5与x2+x+m﹣1=0互为“友好方程”，求m的值．9．阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1=0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，（2）a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1=0（x≠0），则= ，= ，= ；（2）2x2﹣7x+2=0（x≠0），求的值．10.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．11.已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．12.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．13.阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：（1﹣﹣﹣）×（+++）﹣（1﹣﹣﹣﹣）×（++）．令++=t，则原式=（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t=t+﹣t2﹣t﹣t+t2=问题：（1）计算（1﹣﹣﹣﹣…﹣）×（++++…++）﹣（1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣）×（+++…+）；（2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．答案【例1】 C举一反三 C【例2】解：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7，4x2﹣4x+1=3x2+2x﹣7，x2﹣6x=﹣8，（x﹣3）2=1，x﹣3=±1，x1=2，x2=4举一反三 1.解：（x2+4）（x2+1）=2x（4+x2），两边同时除以x2+4得：x2+1=2x，整理得：x2﹣2x+1=0，（x﹣1）2=0，∴x1=x2=12.解：令，则等价于解方程组，解得或．继而解得或．经检验它们都是原方程组的解．3.解：由①得2x=﹣y﹣2，两边平方得：4x2=5y2+20y+20③，把③代入②，整理得7y2+10y﹣8=0，解得：y1=﹣2或y2=，代入②得x1=0或x2=﹣，故原方程组的解为或4.解：整理方程得（a2﹣a）x2﹣（2a2﹣1）x+（a2+a）=0．（1）当a2﹣a≠0，即a≠0，1时，原方程为一元二次方程，[ax﹣（a+1）][（a﹣1）x﹣a]=0，x1=，x2=；（2）当a2﹣a=0时，原方程为一元一次方程，当a=0时，x=0；当a=1时，x=2【例3】 D举一反三 1. k≥﹣6解：当k=0时，﹣4x﹣=0，解得x=﹣，当k≠0时，方程kx2﹣4x﹣=0是一元二次方程，根据题意可得：△=16﹣4k×（﹣）≥0，解得k≥﹣6，k≠0，综上k≥﹣6，故答案为k≥﹣6．2.解：（1）由x2﹣2x+a（x+a）=0得，x2+（a﹣2）x+a2=0△=（a﹣2）2﹣4××a2=﹣4a+4∵方程有两个实数根，∴﹣4a+4≥0．∴a≤1∵a≥0∴0≤a≤1∴y=x1+x 2+=﹣4a+8+a=﹣3a+8∵﹣3≤0，∴y 随a 的增大而减小当a=0时，y=8；a=1时，y=5∴5≤y≤8．（2）由（1）得a≤1，又a≤﹣2，∴a≤﹣2∴y=x1+x 2+=﹣4a+8﹣a=﹣5a+8当a=﹣2时，y=18；∵﹣3≤0∴y 随a 的增大而减小．∴当a≤﹣2时，y≥18又∵﹣a 2+6a ﹣4=﹣（a ﹣3）2+5≤5而18＞5∴当a≤﹣2时，y ＞﹣a 2+6a ﹣4【例4】解：(1)依题意，得b 2－4ac ≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0，解得k ≤12. (2)依题意，可知x 1＋x 2＝2(k －1)．由(1)可知k ≤12，∴2(k －1)＜0，即x 1＋x 2＜0. ∴－2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3. 举一反三 1. 8解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，∴mn=﹣5，m+n=﹣2，∵m2+2m﹣5=0∴m2=5﹣2mm2﹣mn+3m+n=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n=10+m+n=10﹣2=82. A3.解：（1）△=（a﹣4）2+4（a﹣3）=a2﹣4a+4=（a﹣2）2∵a＜0，∴（a﹣2）2＞0．∴方程一定有两个不相等的实数根；（2），∴x=a﹣3或．∵a＜0，x1＜x2，∴x1=a﹣3，x2=﹣1，∴（a＜0）；（3）如图，在同一平面直角坐标系中分别画出（a＜0）和y=﹣a﹣1（a＜0）的图象．由图象可得当a＜0时，方程y+a+1=0的解是a=﹣2．【例5】解：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x ，由题意，得6.4(1＋x)2＝10，解得x 1＝0.25，x 2＝－2.25.∵x 2＝－2.25＜0，故舍去，∴x ＝0.25＝25%.10×(1＋25%)＝12.5.答：2016年的年产量为12.5万辆．举一反三 解：（1）设1月份的销售面积为xm 2，则x+（x ﹣300）=8300，解得：x=4300，∴x ﹣300=4000m 2，答：2016年度月销售4300m 2，2月份销售4000m 2．（2）由题意可得：8000（1﹣a%）×4000[1+（a+10）%]=34560000令t=a%，则整理为：50t 2+5t ﹣1=0，解得：t=0.1或t=﹣0.2故a=10或a=﹣20（不符合题意，舍去）答：a 的值为10．一、选择题1． B2． A3． B4． D二、填空题1．20162．3.5三、解答题1．解：(1)041216>=-=∆，有两个不相等的实数根(2)①配方法：1,3,01)2(212===--x x x ;② 因式分解法：3,1,0)3)(1(21===--x x x x(3)一个一元二次方程，两个一元一次方程(4)1,1,0,0)1)(1(321-====+-x x x x x x2．解：（1）当t=3时，h=20t﹣5t2=20×3﹣5×9=15（米），∴当t=3时，足球距离地面的高度为15米；（2）∵h=10，∴20t﹣5t2=10，即t2﹣4t+2=0，解得：t=2+或t=2﹣，故经过2+或2﹣时，足球距离地面的高度为10米；（3）∵m≥0，由题意得t1，t2是方程20t﹣5t2=m 的两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac=202﹣20m＞0，∴m＜20，故m的取值范围是0≤m＜20．1．D解：∵a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，∴a+b=﹣1；又∵a2+a﹣2014=0，∴a2+a=2014，∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2018+（﹣1）=2017即a2+2a+b的值为2017．2．B解：∵m、n是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，∴代入方程可以分别得到m2﹣3m﹣1=0，n2﹣3n﹣1=0，∴m2﹣3m=1，n2﹣3n=1，∴2m2﹣6m=2，3n2﹣9n=3，而（2m2﹣6m+a）（3n2﹣9n﹣5）=10，∴（2+a）（3﹣5）=10，∴a=﹣7．3．﹣解：∵m≠n时，则m，n是方程3x2+6x﹣5=0的两个不相等的根，∴m+n=﹣2，mn=﹣．∴原式====﹣，4．k＜且k≠05．（22﹣x）（17﹣x）=3006．﹣2解：∵x2+mx+n=0是“凤凰”方程，∴1+m+n=0，即n=﹣m﹣1．又∵方程x2+mx+n=0有两个相等的实数根，∴△=m2﹣4n=0，将n=﹣m﹣1代入，得m2﹣4（﹣m﹣1）=0，解得m=﹣2，∴n=1，∴mn=﹣2×1=﹣2．故答案为﹣2．7．解：（1）x2﹣5x=﹣1，x2﹣5x+（）2=﹣1+（）2，（x﹣）2=，x﹣=±，所以x1=，x2=；（2）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，所以x1=2，x2=3；（3）△=（﹣2）2﹣4×2×（﹣5）=48x===，所以x1=，x2=；（4）（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，（y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）=0，y+2+3y﹣1=0或y+2﹣3y+1=0，所以y1=﹣，y2=．8．解：x2﹣4x+5m=mx+5，整理得，x2﹣（4+m）x+5（m﹣1）=0，分解因式得，（x﹣5）[x﹣（m﹣1）]=0，解得x1=5，x2=m﹣1．当x=5时，25+5+m﹣1=0，解得m=﹣24﹣5；当x=m﹣1时，（m﹣1）2+（m﹣1）+m﹣1=0，解得m=1或m=﹣．所以m的值为﹣24﹣5或1或﹣．9．解；（1）∵x2﹣4x+1=0，∴x+=4，∴（x+）2=16，∴x2+2+=16，∴x2+=14，∴（x2+）2=196，∴x4++2=196，∴x4+=194．故答案为4，14，194．（2）∵2x2﹣7x+2=0，∴x+=，x2+=，∴=（x+）（x2﹣1+）=×（﹣1）=．10.解：（1）根据题意得△=4（m+1）2﹣4（m2+5）≥0，解得m≥2，x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5，∵（x1﹣1）（x2﹣1）=28，即x1x2﹣（x1+x2）+1=28，∴m2+5﹣2（m+1）+1=28，整理得m2﹣2m﹣24=0，解得m1=6，m2=﹣4，而m≥2，∴m的值为6；（2）若x1=7时，把x=7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+5=0，整理得m2﹣14m+40=0，解得m1=10，m2=4，当m=10时，x1+x2=2（m+1）=22，解得x2=15，而7+7＜15，故舍去；当m=4时，x1+x2=2（m+1）=10，解得x2=3，则三角形周长为3+7+7=17；若x1=x2，则m=2，方程化为x2﹣6x+9=0，解得x1=x2=3，则3+3＜7，故舍去，所以这个三角形的周长为17．11.（1）证明：△=（k+3）2﹣4×3k=（k﹣3）2≥0，故不论k取何实数，该方程总有实数根；（2）解：当△AB C的底边长为2时，方程有两个相等的实数根，则（k﹣3）2=0，解得k=3，方程为x2﹣6x+9=0，解得x1=x2=3，故△ABC的周长为：2+3+3=8；当△ABC的一腰长为2时，方程有一根为2，方程为x2﹣5x+6=0，解得，x1=2，x2=3，故△ABC的周长为：2+2+3=7．12.解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1．13.解：（1）设++…+=t，则原式=（1﹣t）×（t+）﹣（1﹣t﹣）×t=t+﹣t2﹣t﹣t+t2+t=；（2）设x2+5x+1=t，则原方程化为：t（t+6）=7，t2+6t﹣7=0，解得：t=﹣7或1，当t=1时，x2+5x+1=1，x2+5x=0，x（x+5）=0，x=0，x+5=0，x1=0，x2=﹣5；当t=﹣7时，x2+5x+1=﹣7，x2+5x+8=0，b2﹣4ac=52﹣4×1×8＜0，此时方程无解；即原方程的解为：x1=0，x2=﹣5．2019-2020年中考数学一轮专题复习第9讲函数概念与平面直角坐标系知识梳理及自主测试浙教版．了解函数的有关概念和函数的表示方法，并会求函数一、平面直角坐标系与点的坐标特征1．平面直角坐标系如图，在平面内，两条互相垂直的数轴的交点O 称为原点，水平的数轴叫x 轴，竖直的数轴叫y 轴，整个坐标平面被x 轴、y 轴分割成四个象限．2．各象限内点的坐标特征点P(x ，y)在第一象限⇔x ＞0，y ＞0； 点P(x ，y)在第二象限⇔x ＜0，y ＞0； 点P(x ，y)在第三象限⇔x ＜0，y ＜0； 点P(x ，y)在第四象限⇔x ＞0，y ＜0. 3．坐标轴上的点的坐标特征点P(x ，y)在x 轴上⇔y ＝0，x 为任意实数； 点P(x ，y)在y 轴上⇔x ＝0，y 为任意实数； 点P(x ，y)在坐标原点⇔x ＝0，y ＝0. 二、特殊点的坐标特征1．对称点的坐标特征点P(x ，y)关于x 轴的对称点P 1的坐标为(x ，－y)；关于y 轴的对称点P 2的坐标为 (－x ，y)；关于原点的对称点P 3的坐标为(－x ，－y)． 2．与坐标轴平行的直线上点的坐标特征 平行于x 轴：横坐标不同，纵坐标相同； 平行于y 轴：横坐标相同，纵坐标不同． 3．各象限角平分线上点的坐标特征第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标相同，第二、四象限角平分线上的点横坐标与纵坐标相反．4．点的平移将点P(x ，y)向右(或向左)平移a 个单位，可以得到对应点(x ＋a ，y)[或(x －a ，y)]；将点P(x ，y)向上(或向下)平移b 个单位，可以得到对应点(x ，y ＋b)[或(x ，y －b)]． 三、距离与点的坐标的关系1．点与原点、点与坐标轴的距离点P(x ，y)到x 轴和y 轴的距离分别是|y|和|x|，点P(x ，y)到坐标原点的距离为x 2＋y 2. 2．两点间的距离(1)在x 轴上两点P 1(x 1,0)，P 2(x 2,0)间的距离|P 1P 2|＝|x 1－x 2|. (2)在y 轴上两点Q 1(0，y 1)，Q 2(0，y 2)间的距离|Q 1Q 2|＝|y 1－y 2|(3)在x 轴上的点P 1(x 1,0)与y 轴上的点Q 1(0，y 1)之间的距离|P 1Q 1|＝x 21＋y 21. (4)点P 1(x 1,y 1)与点Q 1(x 2，y 1)之间的距离|P 1Q 1|＝2)21(2)21(y y x x -+-.四、函数有关的概念及图象1．函数的概念一般地，在某一变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说y 是x 的函数，x 是自变量．2．常量和变量在某一变化过程中，保持一定数值不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量． 3．函数的表示方法函数主要的表示方法有三种：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法． 4．函数图象的画法(1)列表：在自变量的取值范围内取值，求出相应的函数值；(2)描点：以x 的值为横坐标，对应y的值作为纵坐标，在坐标平面内描出相应的点；(3)连线：按自变量从小到大的顺序用光滑曲线连接所描的点．五、函数自变量取值范围的确定确定自变量取值范围的方法：1．自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不为零的全体实数．2．当自变量以二次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为非负数．3．当自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的实数．4．在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．1．在平面直角坐标系中，点M(－2,3)在( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限2．点M(－2,1)关于x轴对称的点的坐标是( )A．(－2，－1) B．(2,1) C．(2，－1) D．(1，－2)3．函数y=中的自变量x的取值范围是（）A．x≥0 B．x≠﹣1 C．x＞0 D．x≥0且x≠﹣14．在平面直角坐标系中，点P(－2，x2＋1)所在的象限是( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．6．若函数，则当函数值y=8时，自变量x的值等于．7．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah．例如：三点坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=a h=20．已知点A（1，2），B（﹣3，1），P（0，t）．（1）若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；（2）直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值．答案：1． B2． A3． A4． A5．B解：①x≤1时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积，∴y=×1×=，②当1＜x≤2时，重叠三角形的边长为2﹣x，高为，y=（2﹣x）×=x2﹣x+，③当x=2时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为0，故选：B．6．4或﹣解：①当x≤2时，x2+2=8，解得：x=﹣；②当x＞2时，2x=8，解得：x=4．故答案为：4或﹣．7．解：（1）由题意：“水平底”a=1﹣（﹣3）=4，当t＞2时，h=t﹣1，则4（t﹣1）=12，解得t=4，故点P的坐标为（0，4）；当t＜1时，h=2﹣t，则4（2﹣t）=12，解得t=﹣1，故点P的坐标为（0，﹣1），所以，点P的坐标为（0，4）或（0，﹣1）；（2）∵a=4，∴t=1或2时，“铅垂高”h最小为1，此时，A，B，P三点的“矩面积”的最小值为4．。
2019-2020人教版九年级数学上册第21章一元二次方程单元训练题含解析
第21章一元二次方程一．选择题（共10小题）1．关于x的方程（m+1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值是（）A．任意实数B．m≠1 C．m≠﹣1 D．m＞12．若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则1+2m﹣m2的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．23．方程4x2＝81化成一元二次方程的一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．4，0，81 B．﹣4，0，81 C．4，0，﹣81 D．﹣4，0，﹣81 4．已知x＝a是方程x2﹣3x+1＝0的根，则2a2﹣5a﹣2+的值是（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣35．用配方法解方程时，应将其变形为（）A．B．C．D．6．下列一元二次方程中两根之和为﹣4的是（）A．x2﹣4x+4＝0 B．x2+2x﹣4＝0 C．x2+4x﹣5＝0 D．x2+4x+10＝0 7．《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（）A．82+x2＝（x﹣3）2B．82+（x+3）2＝x2C．82+（x﹣3）2＝x2D．x2+（x﹣3）2＝828．如果长方形的宽增加1cm，长减少1cm，那么其面积增加3cm2．已知原长方形的面积为12cm2，则原长方形的长和宽分别为（）A．7cm，3cm B．6cm，2cm C．4cm，3cm D．5cm，2.4cm9．某超市一月份的营业额是100万元，月平均增加的百分率相同，第一季度的总营业额是364万元，若设月平均增长的百分率是x，那么可列出的方程是（）A．100（1+x）2＝364B．100+100（1+x）+100（1+x）2＝364C．100（1+2x）＝364D．100+100（1+x）+100（1+2x）＝36410．若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k ＝0的两个根，则k的值是（）A．27 B．36 C．27或36 D．18二．填空题（共10小题）11．已知x＝3是方程x2﹣2x+m＝0的一个根，那么m＝．12．已知x＝m是方程x2﹣2x﹣3＝0的根，则代数式2m2﹣4m﹣3的值为．13．如果a，b满足a2+2a﹣2＝0，b2+2b﹣2＝0，且a≠b，则+的值为．14．已知实数ab满足等式a2+3a﹣2＝0，b2+3b﹣2＝0，那么求的值是．15．若x2﹣6x+7＝（x﹣3）2+n，则n＝．16．当m满足时，1除以x2+x+m有意义．17．在中秋晚会上，同学们互送礼物，共送出的礼物有110件，则参加晚会的同学共有人．18．关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为．19．阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0．解得y1＝1，y2＝4当y＝1时，x2﹣1＝1．∴x2＝2．∴x＝±；当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±．∴原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣请利用以上知识解决下列问题：如果（m2+n2﹣1）（m2+n2+2）＝4，则m2+n2＝．20．如果关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，那么k的取值范围是．三．解答题（共7小题）21．配方法解方程（1）x2+4x﹣6＝0．（2）x2﹣2x＝822．解方程（1）x2﹣6x＝﹣2（2）（2x﹣1）2﹣9x2＝023．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0有一个根小于1，求k的取值范围．24．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2＝0（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若x＝1是该方程的根，求代数式2（m﹣1）2﹣3的值．25．已知关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2＝0有两个实数根x1，x2，（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22＝56，求m的值．26．如图，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝8cm，动点P从A出发沿AB向B 移动，通过点P引PQ∥AC，PR∥BC，问当AP等于多少时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2？设AP的长为xcm，列出关于x的方程．27．一商品销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若每件商品降价2元，则平均每天可售出件；（2）当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为1600元？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．关于x的方程（m+1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值是（）A．任意实数B．m≠1 C．m≠﹣1 D．m＞1【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足二次项系数不为0，所以m+1≠0，即可求得m的值．【解答】解：根据一元二次方程的定义得：m+1≠0，即m≠﹣1，故选：C．2．若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则1+2m﹣m2的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入已知方程后即可求得所求代数式的值．【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，∴m2﹣2m﹣1＝0，∴﹣m2+2m＝﹣1，∴1+2m﹣m2＝1﹣1＝0．故选：A．3．方程4x2＝81化成一元二次方程的一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．4，0，81 B．﹣4，0，81 C．4，0，﹣81 D．﹣4，0，﹣81 【分析】方程整理后为一般形式，找出二次项系数、一次项系数和常数项即可．【解答】解：方程整理得：4x2﹣81＝0，二次项系数为4；一次项系数为0，常数项为﹣81，故选：C．4．已知x＝a是方程x2﹣3x+1＝0的根，则2a2﹣5a﹣2+的值是（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣3a+1＝0，即a2＝3a﹣1，把a2＝3a﹣1代入原式，化简得a+﹣4，再通分得到原式＝﹣4，然后再把a2＝3a﹣1代入化简即可．【解答】解：∵a是方程x2﹣3x+1＝0的根，∴a2﹣3a+1＝0，∴a2＝3a﹣1，∴2a2﹣5a﹣2+＝2（3a﹣1）﹣5a﹣2+＝6a﹣2﹣5a﹣2+＝a+﹣4＝﹣4＝﹣4＝3﹣4＝﹣1．故选：A．5．用配方法解方程时，应将其变形为（）A．B．C．D．【分析】先移项，再配方，即可得出选项．【解答】解：，x2﹣x＝，x2﹣x+（）2＝+（）2，（x﹣）2＝，故选：C．6．下列一元二次方程中两根之和为﹣4的是（）A．x2﹣4x+4＝0 B．x2+2x﹣4＝0 C．x2+4x﹣5＝0 D．x2+4x+10＝0 【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系x1+x2＝﹣对以下选项进行一一验证并作出正确的选择．【解答】解：A、∵x1+x2＝4；故本选项错误；B、∵x1+x2＝1；故本选项错误；C、∵△＝16+20＝36＞0，x1+x2＝﹣4；故本选项正确；D、∵△＝16﹣40＝﹣24＜0，所以本方程无根；故本选项错误．故选：C．7．《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（）A．82+x2＝（x﹣3）2B．82+（x+3）2＝x2C．82+（x﹣3）2＝x2D．x2+（x﹣3）2＝82【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．【解答】解：设绳索长为x尺，可列方程为（x﹣3）2+82＝x2，故选：C．8．如果长方形的宽增加1cm，长减少1cm，那么其面积增加3cm2．已知原长方形的面积为12cm2，则原长方形的长和宽分别为（）A．7cm，3cm B．6cm，2cm C．4cm，3cm D．5cm，2.4cm【分析】设长方形的长为xcm，则长方形的宽为cm，根据长方形的面积公式结合“长方形的宽增加1cm，长减少1cm，那么其面积增加3cm2”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设长方形的长为xcm，则长方形的宽为cm，依题意，得：（x﹣1）（+1）＝12+3，整理，得：x2﹣4x﹣12＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣2（不合题意，舍去），∴＝2．故选：B．9．某超市一月份的营业额是100万元，月平均增加的百分率相同，第一季度的总营业额是364万元，若设月平均增长的百分率是x，那么可列出的方程是（）A．100（1+x）2＝364B．100+100（1+x）+100（1+x）2＝364C．100（1+2x）＝364D．100+100（1+x）+100（1+2x）＝364【分析】设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为100（1+x）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是364万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为100（1+x）2万元，依题意，得：100+100（1+x）+100（1+x）2＝364．故选：B．10．若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k ＝0的两个根，则k的值是（）A．27 B．36 C．27或36 D．18【分析】分3为腰长及3为底边长两种情况考虑：当3为腰长时，将x＝3代入原方程可求出k的值，将k的值代入原方程可求出x的值，由三角形的三边关系可得出k＝27舍去；当3为底边长时，由根的判别式△＝0，可求出k值．综上即可得出结论．【解答】解：当3为腰长时，将x＝3代入原方程得9﹣12×3+k＝0，解得：k＝27，∴原方程为x2﹣12x+27＝0，∴x1＝3，x2＝9，∵3+3＜9，∴长度为3，3，9的三条边不能围成三角形∴k＝27舍去；当3为底边长时，△＝（﹣12）2﹣4k＝0，解得：k＝36．故选：B．二．填空题（共10小题）11．已知x＝3是方程x2﹣2x+m＝0的一个根，那么m＝﹣3 ．【分析】将x＝3代入原方程即可求出m的值．【解答】解：将x＝3代入x2﹣2x+m＝0，∴9﹣6+m＝0，∴m＝﹣3，故答案为：﹣3．12．已知x＝m是方程x2﹣2x﹣3＝0的根，则代数式2m2﹣4m﹣3的值为 3 ．【分析】把x＝m代入已知方程，可以求得m2﹣2m＝3，然后整体代入所求的代数式求值即可．【解答】解：∵实数m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，∴m2﹣2m﹣3＝0，∴m2﹣2m＝3，∴2m2﹣4m﹣3＝2（m2﹣2m）﹣3＝2×3﹣3＝3．故答案为：3．13．如果a，b满足a2+2a﹣2＝0，b2+2b﹣2＝0，且a≠b，则+的值为﹣4 ．【分析】根据题意可知a、b是一元二次方程x2+2x﹣2＝0的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系可得a+b＝﹣2，ab＝﹣2，再将+进行变形，然后代入计算即可．【解答】解：∵a2+2a＝2，b2+2b＝2，且a≠b，∴a、b是一元二次方程x2+2x﹣2＝0的两个不相等的实数根，∴a+b＝﹣2，ab＝﹣2，∴+＝＝＝＝﹣4．故答案为﹣4．14．已知实数ab满足等式a2+3a﹣2＝0，b2+3b﹣2＝0，那么求的值是2或6．【分析】分类讨论：当a＝b时，易得原式＝2；当a≠b时，可把a、b看作方程x2+3x ﹣2＝0的两根，根据根与系数的关系得a+b＝﹣3，ab＝﹣2，再把原式变形得到，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：当a＝b时，原式＝1+1＝2；当a≠b时，可把a、b看作方程x2+3x﹣2＝0的两根，则a+b＝﹣3，ab＝﹣2，所以原式＝＝＝＝6．故答案为：2或6．15．若x2﹣6x+7＝（x﹣3）2+n，则n＝﹣2 ．【分析】已知等式左边配方后，利用多项式相等的条件求出n的值即可．【解答】解：已知等式整理得：x2﹣6x+7＝（x﹣3）2﹣2＝（x﹣3）2+n，则n＝﹣2，故答案为：﹣216．当m满足m＞时，1除以x2+x+m有意义．【分析】根据题意得到分式，再根据分式有意义的条件得到x2+x+m≠0，然后利用根的判别式求解．【解答】解：要使有意义，则x2+x+m≠0，所以△＝1﹣4m＜0，解得m＞．故答案为m＞．17．在中秋晚会上，同学们互送礼物，共送出的礼物有110件，则参加晚会的同学共有11 人．【分析】设参加晚会的同学共有x人，则每个同学需送出（x﹣1）件礼品，根据晚会上共送出礼物110件，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设参加晚会的同学共有x人，则每个同学需送出（x﹣1）件礼品，依题意，得：x（x﹣1）＝110，解得：x1＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．故答案为：11．18．关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为 4 ．【分析】要使方程有两个相等的实数根，即△＝b2﹣4ac＝0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．【解答】解：由题意，△＝b2﹣4ac＝（）2﹣4＝0得m＝4故答案为419．阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0．解得y1＝1，y2＝4当y＝1时，x2﹣1＝1．∴x2＝2．∴x＝±；当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±．∴原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣请利用以上知识解决下列问题：如果（m2+n2﹣1）（m2+n2+2）＝4，则m2+n2＝ 2 ．【分析】将m2+n2视为一个整体，然后设m2+n2＝y，则原方程化为y2+y﹣6＝0．求得方程的解，进一步分析探讨得出答案即可．【解答】解：（m2+n2﹣1）（m2+n2+2）＝4设m2+n2＝y，则原方程化为（y﹣1）（y+2）＝4即y2+y﹣6＝0，（y+3）（y﹣2）＝0，解得y1＝﹣3，y2＝2，∵m2+n2不能是负数，∴m2+n2＝2故答案为2．20．如果关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，那么k的取值范围是k≤且k≠﹣2 ．【分析】因为一元二次方程有实数根，所以△≥0，得关于k的不等式，求解即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，∴△≥0且k+2≠0即（﹣3）2﹣4（k+2）×1≥0且k+2≠0整理，得﹣4k≥﹣1且k+2≠0∴k≤且k≠﹣2．故答案为：k≤且k≠﹣2．三．解答题（共7小题）21．配方法解方程（1）x2+4x﹣6＝0．（2）x2﹣2x＝8【分析】（1）根据配方法即可求出答案．（2）根据配方法即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2+4x﹣6＝0，∴x2+4x+4＝10，∴（x+2）2＝10，∴x＝﹣2±；（2）∵x2﹣2x＝8，∴x2﹣2x+1＝9，∴（x﹣1）2＝9，∴x＝4或﹣2；22．解方程（1）x2﹣6x＝﹣2（2）（2x﹣1）2﹣9x2＝0【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣6x＝﹣2，∴x2﹣6x+9＝﹣2+9，即（x﹣3）2＝7，则x﹣3＝±，∴x1＝3+，x2＝3﹣；（2）∵（2x﹣1）2﹣9x2＝0，∴（2x﹣1+3x）（2x﹣1﹣3x）＝0，即（5x﹣1）（﹣x﹣1）＝0，则5x﹣1＝0或﹣x﹣1＝0，解得x1＝0.2，x2＝﹣1．23．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0有一个根小于1，求k的取值范围．【分析】根据一元二次方程根的判别式公式，求出判别式，得到该方程有实数根，把原方程等号左边因式分解后，根据有一个根小于1，得到关于k的一元一次不等式，解之即可．【解答】解：△＝[﹣（k+3）]2﹣4（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，即该方程有实数根，∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，∴x1＝2，x2＝k+1，∵方程有一根小于1，∴k+1＜1，解得：k＜0，∴k的取值范围为k＜0．24．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2＝0（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若x＝1是该方程的根，求代数式2（m﹣1）2﹣3的值．【分析】（1）进行判别式的值得到△＝8m2，从而可判断△≥0，于是得到结论；（2）利用一元二次方程根的定义得到2m2﹣4m＝1，再利用完全平方公式得到2（m﹣1）2﹣3＝2m2﹣4m+2﹣3，然后利用整体代入的方法计算．【解答】（1）证明：△＝（4m）2﹣4•2m2＝8m2≥0，所以不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）解：把x＝1代入方程得1﹣4m+2m2＝0，则2m2﹣4m＝﹣1，所以2（m﹣1）2﹣3＝2m2﹣4m+2﹣3＝﹣1+2﹣3＝﹣2．25．已知关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2＝0有两个实数根x1，x2，（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22＝56，求m的值．【分析】（1）由方程有实根，根据根的判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围；（2）利用根与系数的关系可分别表示出x1+x2与x1x2的值，利用条件可得到关于m的方程，可求得m的值．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（m﹣2）x+m2＝0有两个实数根，∴△≥0，即[2（m﹣2）]2﹣4m2≥0，解得m≤1；（2）∵方程的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣2（m﹣2），x1x2＝m2，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4（m﹣2）2﹣2m2＝2m2﹣16m+16，∵x12+x22＝56，∴2m2﹣16m+16＝56，解得m＝﹣2或m＝10，∵m≤1，∴m＝﹣2．26．如图，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝8cm，动点P从A出发沿AB向B 移动，通过点P引PQ∥AC，PR∥BC，问当AP等于多少时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2？设AP的长为xcm，列出关于x的方程．【分析】设AP的长为xcm，▱PQCR的面积等于16cm2，根据等腰三角形的性质和平行四边形的面积公式可列方程求解．【解答】解：设AP的长为xcm时，▱PQCR的面积等于16cm2，依题意有x（8﹣x）＝16．27．一商品销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若每件商品降价2元，则平均每天可售出24 件；（2）当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为1600元？【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价2元，则平均每天可多售出2×2＝4（件），即平均每天销售数量为20+4＝24（件）；（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种商品利润列出方程解答即可．【解答】解：（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价2元，则平均每天可多售出2×2＝4（件），即平均每天销售数量为20+4＝24（件）．故答案为：24．（2）设每件商品降价x元时，该商品每天的销售利润为1600元，由题意得：（50﹣x）（20+2x）＝1600整理得：x2﹣40x+300＝0∴（x﹣10）（x﹣30）＝0∴x1＝10，x2＝30∵每件盈利不少于25元∴x2＝30应舍去．答：每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1600元．。
2020年中考数学专题复习讲义(第二章第七讲一元二次方程及应用)
第七讲 一元二次方程及应用【基础知识回顾】一、一元二次方程1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
二、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b aac b b x 4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
三、一元二次方程根的判别式根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆四、一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，ac x x =21。
2019-2020中考真题培优专题《一元二次方程》(含答案解析)
2019-2020中考真题培优专题《一元二次方程》（含答案解析)一、单选题1．（2019·贵州中考真题）一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 12+3x 2+x 1x 2﹣2的值是（）A ．10B ．9C ．8D ．72．（2019·内蒙古中考真题）若12x x ，是一元二次方程230x x +-=的两个实数根，则3221417-+x x 的值为（）A ．﹣2B ．6C ．﹣4D ．43．（2019·湖北中考真题）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a 、c ，则关于x 的一元二次方程240ax x c ++=有实数解的概率为（）A ．14B ．13C ．12D ．234．（2019·内蒙古中考真题）已知等腰三角形的三边长分别为4a b 、、，且a 、b 是关于x 的一元二次方程21220x x m -++=的两根，则m 的值是（）A ．34B ．30C ．30或34D ．30或365．（2019·湖北中考真题）若一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，则关于x 的方程20x kx b ++=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定6．（2019·黑龙江中考真题）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A ．4B ．5C ．6D ．77．（2019·新疆中考真题）若关于x 的一元二次方程()2110k x x -++=有两个实数根，则k 的取值范围是（）A ．54k ≤B ．54k ＞C ．514k k ≠＜且D ．514k k ≤≠且8．（2019·河南中考真题）一元二次方程(1)(1)23x x x +-=+的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根9．（2019·广东中考真题）关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根12,x x ，()1212122(2)2x x x x x x -+--+3=-，则k 的值（）A ．0或2B ．-2或2C ．-2D ．210．（2019·山东中考真题）已知a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，则22019a b -+的值是()A ．2023B ．2021C ．2020D ．201911．（2019·山东中考真题）关于x 的一元二次方程2220x mx m m +++=的两个实数根的平方和为12，则m 的值为（）A ．2m =-B ．3m =C ．3m =或2m =-D ．3m =-或2m =12．（2019·山东中考真题）若关于x 的一元二次方程2(2)26k x kx k --+=有实数根，则k 的取值范围为（）A ．0k ≥B ．0k ≥且2k ≠C ．32k ≥D ．32k ≥且2k ≠13．（2018·宁夏中考真题）若是方程x 2-4x+c=0的一个根，则c 的值是（）A ．1B ．C ．D ．14．（2018·x x 2+2x+m ﹣2=0m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m 的和为（）A ．6B ．5C ．4D ．3二、填空题15．（2019·四川中考真题）若关于x 的一元二次方程210(0)4ax x a --=≠有两个不相等的实数根，则点(1, 3 )P a a +--在第____象限．16．（2019·宁夏中考真题）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程25140x x +-=即(5)14x x +=为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是2(5)x x ++，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24145⨯+，据此易得2x =．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程24120x x --=的正确构图是_____．（只填序号）17．（2019·湖北中考真题）已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+(3k +1)x +2k 2+1=0的两个不相等实数根，且满足(x 1−1)(x 2−1)=8k 2，则k 的值为__________．18．（2018·四川中考真题）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x-1=0的两实数根，则12112121x x +++的值是__．19．（2015·四川中考真题）已知实数m ，n 满足3m 2+6m −5=0，3n 2+6n −5=0，且m ≠n ，则n m +m n =．20．（2018·四川中考真题）已知关于x 的方程ax 2+bx +1=0的两根为x 1=1，x 2=2，则方程a （x +1）2+b （x +1）+1=0的两根之和为__________．21．（2014·内蒙古中考真题）已知m ，n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，则m 2﹣mn+3m+n=___________．三、解答题22．（2019·湖南中考真题）关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，求此时m 的值．23．（2019·湖北中考真题）已知关于x 的一元二次方程26(41)0x x m -++=有实数根.（1）求m 的取值范围.（2）若该方程的两个实数根为1x 、2x ，且124x x -=，求m 的值.24．（2019·湖北中考真题）已知于x 的元二次方程26250x x a -++=有两个不相等的实数根12,x x ．（1）求a 的取值范围；（2）若22121230x x x x +-，且a 为整数，求a 的值．25．（2018·四川中考真题）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m ﹣2）x+（m 2﹣2m ）=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两实数根为x 1，x 2，且x 12+x 22=10，求m 的值．26．（2019·重庆中考真题）某菜市场有2.5平方米和4平方米两种摊位，2.5平方米的摊位数是4平方米摊位数的2倍．管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费．（1）菜市场毎月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4平方米的摊位？（2）为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一：“使用环保袋送礼物”，2.5平方米和4平方米两种摊位的商户分别有40%和20%参加了此项活动．为提高大家使用环保袋的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动二的2.5平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加2a %，毎个摊位的管理费将会减少3%10a ；6月份参加活动二的4平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加6a %，每个摊位的管理费将会减少1%4a ．这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少5%18a ，求a 的值．1参考答案1．D【解析】【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到x 12=3x 1-1，则x 12+3x 2+x 1x 2-2=3（x 1+x 2）+x 1x 2-3，接着利用根与系数的关系得到x 1+x 2=3，x 1x 2=1，然后利用整体代入的方法计算．【详解】∵x 1为一元二次方程x 2﹣3x+1＝0的根，∴x 12﹣3x 1+1＝0，∴x 12＝3x 1﹣1，∴x 12+3x 2+x 1x 2﹣2＝3x 1﹣1+3x 2+x 1x 2﹣2＝3（x 1+x 2）+x 1x 2﹣3，根据题意得x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1，∴x 12+3x 2+x 1x 2﹣2＝3×3+1﹣3＝7．故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a ．2．A【解析】【分析】利用根与系数的关系可得出x 1+x 2=-1、x 1•x 2=-3，211x x 3+＝，将代数式2132x 4x 17+﹣进行转化后，再代入数据即可得出结论．【详解】解：12x x ，是一元二次方程2x x 30+﹣＝的两个实数根，12x x 1∴+＝﹣，12x x 3 ＝﹣，211x x 3+＝，3221x 4x 17∴+﹣32211418--+＝x x ()()2222111418=-++-+x x x x ()211114418=---⨯-+x x 21184418=---+x x ()2118418=--++x x 10432=-⨯=-故选：A ．【点睛】本题考查了方程的解、根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则1212,b c x x x x a a+=-=.3．C【解析】【分析】先根据一元二次方程有实数根求出ac≤4，继而画树状图进行求解即可.【详解】由题意，△=42-4ac≥0，∴ac≤4，画树状图如下：a 、c 的积共有12种等可能的结果，其中积不大于4的有6种结果数，所以a 、c 的积不大于4(也就是一元二次方程有实数根)的概率为61=122，故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，列表法或树状图法求概率，得到ac≤4是解题的关键.4．A【解析】【分析】分三种情况讨论，①当a=4时，②当b=4时，③当a=b 时；结合韦达定理即可求解；【详解】解：当4a =时，8b <，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x m -++=的两根，412b ∴+=，8b ∴=不符合；当4b =时，8a <，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x m -++=的两根，412a ∴+=，8a ∴=不符合；当a b =时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x m -++=的两根，1222a b ∴==，6a b ∴==，236m ∴+=，34m ∴=；故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键．5．A【解析】【分析】利用一次函数性质得出k ＞0，b≤0，再判断出△=k 2-4b ＞0，即可求解.【详解】解： 一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，0k ∴>，0b ≤，240k b ∴∆=->，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的判别式是解题的3关键.6．C【解析】【分析】设这种植物每个支干长出x 个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【详解】设这种植物每个支干长出x 个小分支，依题意，得：2143x x ++=，解得：17x =-（舍去），26x =．故选：C ．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程7．D【解析】【分析】运用根的判别式和一元二次方程的定义，组成不等式组即可解答【详解】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+x +1＝0有两个实数根，∴210=1-41)10k k -⎧⎨∆⨯-⨯≥⎩≠（，解得：k ≤54且k ≠1．故选：D ．【点睛】此题考查根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的情况与判别式的关系是解题关键8．A 【解析】【分析】先化成一般式后，在求根的判别式，即可确定根的状况．【详解】解：原方程可化为：2240x x --=，1a \=，2b =-，4c =-，2(2)41(4)200∴∆=--⨯⨯-=>，∴方程由两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．9．D【解析】【分析】将()1212122(2)2=3x x x x x x -+--+-化简可得，()21212124423x x x x x x +-+=-－，利用韦达定理，()2142(2)3k k ----+=-，解得，k ＝±2，由题意可知△＞0，可得k ＝2符合题意.【详解】解：由韦达定理，得：12x x +＝k －1，122x x k +＝－,由()1212122(2)23x x x x x x -+--+=-，得：()21212423x x x x --+=-，即()21212124423x x x x x x +-+=-－，所以，()2142(2)3k k ----+=-,化简，得：24k =，解得：k ＝±2，因为关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根，所以，△＝()214(2)k k ---+＝227k k +-〉0，k ＝－2不符合，所以，k ＝2故选：D.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.10．A【解析】【分析】根据题意可知b=3-b 2，a+b=-1，ab=-3，所求式子化为a 2-b+2019=a 2-3+b 2+2019=（a+b ）2-2ab+2016即可求解.【详解】a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，∴23b b =-，1a b +=-，-3ab =，∴222201932019a b a b -+=-++()2220161620162023a b ab =+-+=++=；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．11．A【解析】【分析】设1x ，2x 是2220x mx m m +++=的两个实数根，由根与系数的关系得122x x m +=-，212x x m m ⋅=+，再由()2221212122x x x x x x +=+-⋅代入即可.【详解】设1x ，2x 是2220x mx m m +++=的两个实数根，∴40m ∆=-≥，∴0m ≤，∴122x x m +=-，212x x m m ⋅=+，∴()2221212122x x x x x x +=+-⋅2224222212m m m m m =--=-=，∴3m =或2m =-，∴2m =-，故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．12．D【解析】【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值5范围．【详解】（k-2）x 2-2kx+k-6=0，∵关于x 的一元二次方程（k-2）x 2-2kx+k=6有实数根，∴220(2)4(2)(6)0k k k k -≠⎧⎨=----⎩，解得：32k ≥且k≠2．故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．13．A【解析】【分析】把2代入方程x 2﹣4x +c =0就得到关于c 的方程，就可以解得c 的值．【详解】把2代入方程x 2﹣4x +c =0，得（2）2﹣4（2）+c =0，解得：c =1．故选A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．14．B【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法结合已知条件进行分析解答即可.【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+2x+m ﹣2=0有两个实数根，∴△=()224120m =⨯⨯-≥，解得：3m ≤，又∵m 为正整数，∴m=1或2或3，（1）当m=1时，原方程为x 2+2x-1=0，此时方程的两根均不为整数，故m=1不符合要求；（2）当m=2时，原方程为x 2+2x=0，此时方程的两根分别为0和-2，符合题中要求；（3）当m=3时，原方程为x 2+2x+1=0，此时方程的两根都为1，符合题中要求；∴m=2或m=3符合题意，∴m 的所有符合题意的正整数取值的和为：2+3=5.故选B.【点睛】读懂题意，熟知“在一元二次方程()200ax bx c a ++=≠中，若方程有两个实数根，则△=240b ac -≥”是解答本题的关键.15．四．【解析】【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出a 的取值范围，由a 的取值范围可得出a+1＞0，-a-3＜0，进而可得出点P 在第四象限，此题得解．【详解】∵关于x 的一元二次方程210(0)4ax x a --=≠有两个不相等的实数根，∴201(1)4-04a a ≠⎧⎪⎨⎛⎫∆=--⨯⨯> ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：1a >-且0a ≠．∴10a +>，30a --<，∴点(1,3)P a a +--在第四象限．故答案为：四．【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及点的坐标，利用二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于a 的一元一次不等式组是解题的关键．16．②．【解析】【分析】仿造案例，构造面积是2(4)x x +-的大正方形，由它的面积为24124⨯+，可求出6x =，此题得解．【详解】解：24120x x --= 即()412x x -=，∴构造如图②中大正方形的面积是2(4)x x +-，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24124⨯+，据此易得6x =．故答案为：②．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，仿造案例，构造出合适的大正方形是解题的关键．17．1.【解析】【分析】根据根与系数的关系结合(x 1−1)(x 2−1)=8k 2，可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 的值，根据方程的系数结合根的判别式Δ>0，可得出关于k 的一元二次不等式，把k 的值代入，进而即可确定k 值，此题得解．【详解】∵x 1,x 2是关于x 的方程x 2+(3k +1)x +2k 2+1=0的两个实数根，∴x 1+x 2=−(3k +1),x 1x 2=2k 2+1.∵(x 1−1)(x 2−1)=8k 2，即x 1x 2−(x 1+x 2)+1=8k 2，∴2k 2+1+3k +1+1=8k 2整理，得：2k 2−k −1=0，解得：k 1=−12,k 2=1．∵关于x 的方程x 2+(3k +1)x +2k 2+1=0的两个不相等实数根，∴Δ=(3k +1)2−4×1×(2k 2+1)>0当k=−12时，△=-234<0，故k=−12不符合题意；当k=1时，△=4>0；∴k =1．故答案为：1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根与系数的关系结合(x 1-1)(x 2-1)=8k 2，求出k 值是解题的关键．18．67【解析】【分析】已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两实数根，根据方程解的定义及根与系数的关系可得x 12﹣2x 1﹣1=0，x 22﹣2x 2﹣1=0，x 1+x 2=2，x 1·x 2=-1，即x 12=2x 1+1，x 22=2x 2+1，代入所给的代数式，再利用完全平方公式变形，整体代入求值即可.【详解】∵x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两实数根，∴x 12﹣2x 1﹣1=0，x 22﹣2x 2﹣1=0，x 1+x 2=2，x 1·x 2=-1，即x 12=2x 1+1，x 22=2x 2+1，∴12112121x x +++=()22212121222222212121221142 6.1x x x x x x x x x x x x +-+++====故答案为6.【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，会熟练运用整体思想是解决本题的关键.19．−225．【解析】试题分析：由m ≠n 时，得到m ，n 是方程3x 2+6x −5=0的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解．试题解析：∵m ≠n 时，则m ，n 是方程3x 2﹣6x ﹣5=0的两个不相等的根，∴m +n =2，mn =−53．∴原式=m 2+n 2mn =(m+n)2−2mn mn =22−2×(−53)−53=−225，故答案为：−225．考点：根与系数的关系．20．1【解析】分析：利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案．详解：设x+1=t ，方程a （x+1）2+b （x+1）+1=0的两根分别是x 3，x 4，∴at 2+bt+1=0，由题意可知：t 1=1，t 2=2，∴t 1+t 2=3，∴x 3+x 4+2=3故答案为：1点睛：本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．21．8【解析】试题分析：根据m+n=﹣=﹣2，m•n=﹣5，直接求出m 、n 即可解题．∵m 、n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，∴mn=﹣5，m+n=﹣2，∵m 2+2m ﹣5=0∴m 2=5﹣2m m 2﹣mn+3m+n=（5﹣2m ）﹣（﹣5）+3m+n=10+m+n=10﹣2=8考点：(1)、根与系数的关系；(2)、一元二次方程的解．22．（1）94k ≤；（2）m 的值为32．【解析】【分析】（1）利用判别式的意义得到()2340k ∆=--≥，然后解不等式即可；（2）利用（1）中的结论得到k 的最大整数为2，解方程2320x x -+=解得121,2x x ==，把1x =和2x =分别代入一元二次方程()2130m x x m -++-=求出对应的m ，同时满足10m -≠．【详解】解：（1）根据题意得()2340k ∆=--≥，解得94k ≤；（2）k 的最大整数为2，方程230x x k -+=变形为2320x x -+=，解得121,2x x ==，∵一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，∴当1x =时，1130m m -++-=，解得32m =；当2x =时，()41230m m -++-=，解得1m =，而10m -≠，∴m 的值为32．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当0∆<时，方程无实数根．23．（1）2m ≤.（2）1m =.【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）由根与系数的关系可得出x 1+x 2=6，x 1x 2=4m+1，结合|x 1-x 2|=4可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出m 的值．【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2-6x+（4m+1）=0有实数根，∴△=（-6）2-4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2；（2）∵方程x 2-6x+（4m+1）=0的两个实数根为x 1、x 2，∴x 1+x 2=6，x 1x 2=4m+1，∴（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2=42，即32-16m=16，解得：m=1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合|x 1-x 2|=4，找出关于m 的一元一次方程．24．（1）a<2；（2）－1，0，1【解析】【分析】（1）根据根的判别式，可得到关于a 的不等式，则可求得a 的取值范围；（2）由根与系数的关系，用a 表示出两根积、两根和，由已知条件可得到关于a 的不等式，则可求得a 的取值范围，再求其值即可．【详解】（1） 关于x 的一元二次方程26250x x a -++=有两个不相等的实数根12,x x ，0∴∆>，即2(6)4(25)0a --+>，解得2a <；（2）由根与系数的关系知：12126,25x x x x a +==+，12,x x 满足221212x x x x 30+-，()21212330x x x x ∴+-，9363(25)30a ∴-+，3,2a ∴-a 为整数，a ∴的值为1,0,1-．【点睛】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得k 的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用．25．（1）见解析；（2）m=﹣1或m=3.【解析】【分析】（1）求出∆的值，即可判断出方程根的情况；（2）根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】（1）由题意可知：△=（2m ﹣2）2﹣4（m 2﹣2m ）=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵x 1+x 2=2m ﹣2，x 1x 2=m 2﹣2m ，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=10，∴（2m ﹣2）2﹣2（m 2﹣2m ）=10，∴m 2﹣2m ﹣3=0，∴m=﹣1或m=3【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型．26．（1）该菜市场共有25个4平方米的摊位．（2）a 的值为50．【解析】【分析】（1）设该菜市场共有x 个4平方米的摊位，则有2x 个2.5平方米的摊位，根据菜市场毎月可收取管理费4500元，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）由（1）可得出：5月份参加活动一的2.5平方米摊位及4平方米摊位的个数，再由参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少518%a ，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）设该菜市场共有x 个4平方米的摊位，则有2x 个2.5平方米的摊位，依题意，得：20420 2.524500x x ⨯+⨯⨯=，解得：25x =．答：该菜市场共有25个4平方米的摊位．（2）由（1）可知：5月份参加活动一的2.5平方米摊位的个数为25240%20⨯⨯=（个），5月份参加活动一的4平方米摊位的个数为2520%5⨯=（个）．依题意，得：320(12%)20 2.5%10a a +⨯⨯⨯()1516%204%4a a ++⨯⨯⨯[20(12%)20a =+⨯⨯2.5+5(16%)a +5204]%18a ⨯⨯⨯，整理，得：2500a a -=，解得：10a =（舍去），250a =．答：a 的值为50．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．。
2019-2020学年度九年级数学培优讲义：《一元二次方程》全章复习与巩固
2019-2020学年度九年级数学培优讲义：《一元二次方程》全章复习与巩固【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想降次一元一次方程一元二次方程−−−→2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么abx x -=+21，ac x x =21.注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 要点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．已知（m －1）x |m|+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值. 【答案与解析】依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1， 解得m ＝±1，又∵m －1≠0，∴m ≠1， 故m ＝－1.【总结升华】依题意可知m －1≠0与|m|+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m 的值即可.特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意. 举一反三：【变式】若方程2(310m m x mx --=是关于x 的一元二次方程，求m 的值．【答案】根据题意得22,0,m m ⎧=⎪⎨≠⎪⎩ 解得所以当方程2()310m m x mx --=是关于x 的一元二次方程时，m =类型二、一元二次方程的解法2．解下列一元二次方程．(1)224(3)25(2)0x x ---=； (2)225(3)9x x -=-； (3)2(21)4(21)40x x ++++=． 【答案与解析】(1)原方程可化为：22[2(3)][5(2)]0x x---=，即(2x-6)2-(5x-10)2＝0，∴ (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)＝0，即(7x-16)(-3x+4)＝0，∴ 7x-16＝0或-3x+4＝0，∴116 7x=，24 3x=． (2)25(3)(3)(3)x x x-=+-，25(3)(3)(3)0x x x--+-=，∴ (x-3)[5(x-3)-(x+3)]＝0，即(x-3)(4x-18)＝0，∴ x-3＝0或4x-18＝0，∴13x=，292x=．(3)2(21)4(21)40x x++++=，∴2(212)0x++=．即2(23)0x+=，∴123 2x x==-．【总结升华】 (1)方程左边可变形为22[2(3)][5(2)]x x---，因此可用平方差公式分解因式；(2)中方程右边分解后为(x-3)(x+3)，与左边中的(x-3)2有公共的因式，可移项后提取公因式(x-3)后解题；(3)的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为(2x+1+2)2＝0再求解．举一反三：【变式】解方程： (1)3x+15＝-2x2-10x； (2)x2-3x＝(2-x)(x-3)．【答案】(1)移项，得3x+15+(2x 2+10x)＝0，∴ 3(x+5)+2x(x+5)＝0， 即(x+5)(3+2x)＝0，∴ x+5＝0或3+2x ＝0，∴ 15x =-，232x =-．(2)原方程可化为x(x-3)＝(2-x)(x-3)，移项，x(x-3)-(2-x)(x-3)＝0， ∴ (x-3)(2x-2)＝0，∴ x-3＝0或2x-2＝0，∴ 13x =，21x =．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根．则a 满足（ ）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a ≥1且a ≠5D ．a ≠5【答案】A ；【解析】①当50a -=，即5a =时，有410x --=，14x =-，有实数根；②当50a -≠时，由△≥0得2(4)4(5)(1)0a --⨯-⨯-≥，解得1a ≥且5a ≠． 综上所述，使关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根的a 的取值范围是1a ≥．答案：A【总结升华】注意“关于x 的方程”与“关于x 的一元二次方程”的区别，前者既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，所以必须分类讨论，而后者隐含着二次项系数不能为0．4． k 为何值时，关于x 的二次方程2690kx x -+=（1）k 满足 时,方程有两个不等的实数根； （2）k 满足 时,方程有两个相等的实数根； （3）k 满足 时,方程无实数根. 【答案】（1）10k k ≠＜，且；（2）1k =；（3）1k ＞. 【解析】求判别式，注意二次项系数的取值范围. 【总结升华】根据判别式ac b 42-=∆及k ≠0求解.类型四、一元二次方程的根与系数的关系5．（2016•凉山州）已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，则x 1﹣x 1x 2+x 2的值是（ ） A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，结合根与系数的关系可得出x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣2，将其代入x 1﹣x 1x 2+x 2中即可算出结果．【答案】D ． 【解析】解：∵x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根， ∴x 1+x 2=﹣=﹣，x 1•x 2==﹣2， ∴x 1﹣x 1x 2+x 2=﹣﹣（﹣2）=． 故选D ．【总结升华】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得出x1+x2=﹣，x1•x2=﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．举一反三：【变式】已知关于x的方程2(1)(23)10k x k x k-+-++=有两个不相等的实数根1x、2x．(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)根据题意，得△＝(2k-3)2-4(k-1)(k+1)＝224129412130k k k k-+-=-+>，所以1312k<．由k-1≠0，得k≠1.当1312k<且k≠1时，方程有两个不相等的实数根；(2) 不存在．如果方程的两个实数根互为相反数，则12231kx xk -+=-=-，解得32k=．当32k=时，判别式△＝-5＜0，方程没有实数根．所以不存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数．类型五、一元二次方程的应用6．（2015•青岛模拟）随着青奥会的临近，青奥特许商品销售逐渐火爆．甲、乙两家青奥商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元，三月份销售额甲店比乙店多10万元．已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍，求甲店、乙店这两个月的月平均增长率各是多少？【答案与解析】解：设乙店销售额月平均增长率为x，由题意得：10（1+2x）2﹣15（1+x）2=10，解得x1=60%，x2=﹣1（舍去）．2x=120%．答：甲、乙两店这两个月的月平均增长率分别是120%、60%．【总结升华】此题考查了一元二次方程的应用，为运用方程解决实际问题的应用题型．举一反三：【变式】某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。
《一元二次方程》-总复习、练习、中考真题【题型解析】
一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
x+a= ± b ∴ x1 =-a+ b x2=-a- b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为 1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b 的形式；⑤如果b≥0 就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是x = - b±b 2 - 4ac (b2－4ac≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形2a式；②确定 a，b，c 的值；③求出 b2－4ac 的值，当 b2－4ac≥0 时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则 a=0 或b=0。
步骤是：①将方程右边化为 0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c 的值；②若b2－4ac＜0，则方程无解．⑶利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4) 2 =3（x＋4）中，不能随便约去 x＋4。
2019-2020届 初三 中考复习 解一元二次方程 计算题 专项练习
解一元二次方程计算题基础训练专项练习一、计算题1、用配方法解一元二次方程：．2、解方程：3、解方程：．4、已知关于x的方程.（1）求证方程有两个不相等的实数根.（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解.5、解方程：6、已知，求关于的方程的解。
7、解方程：8、解方程：9、解方程：10、解方程：11、解方程：．12、用因式分解法解一元二次方程13、用公式法解一元二次方程14、用配方法解一元二次方程15、解方程：16、解方程：17、若0是关于的方程的解，求实数的值，并讨论此方程解的情况。
18、解方程:19、解方程:20、解方程:21、已知关于x的方程．（1）当m为何值时，原方程没有实数根?（2）对m取一个适合的非零整数值，使原方程有两个实数根．并求这两个实根的平方和．22、已知：关于的一元二次方程．求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；23、解方程:24、解方程:25、解方程:26、用公式法解方程：27、用因式分解法解方程:28、已知关于的一元二次方程(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根分别是，，且满足，求m的值．29、用配方法：30、解方程:(配方法解方程)31、解方程:32、解方程:33、解方程：34、解方程：35、解方程：36、选用一种你认为适当的方法解方程：37、用配方法解方程：38、已知关于x的方程。
求：（1）当k为何值时，原方程是一元二次方程；（2）当k为何值时，原方程是一元一次方程；并求出此时方程的解。
39、用求根公式解方程x2－6x+5=0．40、已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1) x－6=0的一个根是2，求方程的另一根和k的值．参考答案一、计算题1、解：，，，，∴，.2、解：或，3、解法一：这里．，．即．所以，方程的解为．解法二：配方，得．即或．所以，方程的解为．4、（1）证明:因为△==所以无论取何值时, △>0，所以方程有两个不相等的实数根。
2019-2020年省级说课比赛一等奖：中考复习：《一元二次方程》的复习策略说课课件
一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次 手，有人统计一共握了66次手。这次会议到会的人 数是多少？
一、说题目
1、说作用
2、说知识点和思想方法 3、说整个知识体系中的价值地位。
说题目
1、说作用
一次会议上，每两个参加会议的人都互相 握了一次手，有人统计一共握了66次手。 这次会议到会的人数是多少？
B
握手方式一： 握手方式二：
A
B
C
D
A
C
D
A B
C
D
A C
B D
A C
B D
A C
B
D
A C
B
D
设计意图：
“握手问题”在小学时学生已有所接触，但大部分学生停留 在初步感知上，对其问题实质理解不深，有的只是对公式的 生搬硬套。设计“握手”这样一个起点低，贴近学生生活， 符合学生认知水平的问题情境，经过学生自主探索，亲身体 验，使复杂问题简单化，从而形成对“握手问题”实质的理 解，掌握这类数学问题的解题关键。同时培养学生从特殊到 一般的数学思想方法和归纳概括能力。
什么不交给学生,而让学生自己去发现? 怎么以最小的知识代价,引起学生最多的思考?
题 目 的 研 究
题目的内涵
蕴含的数学思想 考察的学习目标 解决的策略 题目的拓展
学情的把握及对策
可能在哪里遇到困难，采用什么策略 可能会有哪几种解题方法，怎样择优选择 可能会出现什么错误，反思改进教学
数学思想方法：
■数形结合思想； ■化归与转化思想； ■函数与方程思想； ■数学模型思想。
说题目
一次会议上，每两个参加会议的人都互相 握了一次手，有人统计一共握了66次手。 这次会议到会的人数是多少？
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2019-2020学年中考数学深度复习讲义 一元二次方程（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）
◆知识讲解 1．一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，a≠0） 2．一元二次方程的解法 （1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法．一元二次方程的求根公式是
x=242bbaca（b2－4ac≥0）． 3．二元三项式ax2+bx+c=a（x－x1）（x－x2）．其中x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c=0•的两个实数根． 4．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2－4ac．当△>0时，•方程有两
个不相等的实数根x1=242bbaca，x2=242bbaca；当△=0时，方程有两个相等实数根x1=x2=－2ba；当△<0时，方程没有实数根． 5．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根为x1，x2，则x1+x2=－ba，x1x2=ca． 6．以x1，x2为根的一元二次方程可写成x2－（x1+x2）x+x1x2=0． 7．使用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2－4ac•解题的前提是二次项系数a≠0． 8．若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根，则ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0．反之，若ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0，且x1≠x2，则x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根． 9．一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去． ◆例题解析 例1 （2011安徽芜湖，20，8分）如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（217x）cm，正六边形的边长为
（22xx）cm(0)x其中.求这两段铁丝的总长. 【答案】 解: 由已知得，正五边形周长为5（217x）cm，正六边形周长为6（22xx）cm.…2分
因为正五边形和正六边形的周长相等，所以22517=2xxx（）6（）. ………………3分 整理得212850xx, 配方得2+6=121x（），解得12=5=xx，-17(舍去).………6分 故正五边形的周长为25517=（）210(cm). …………………………………………7分 又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420cm. 答：这两段铁丝的总长为420cm. ……………………………………………8分
例2已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程： x2－1=0 （1） x2+x－2=0 （2） x2+2x－3=0 （3） …… x2+（n－1）x－n=0 （n） （1）请解上述一元二次方程（1），（2），（3），（n）； （2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可． 【分析】由具体到一般进行探究． 【解答】（1）<1>（x+1）（x－1）=0，所以x1=－1，x2=1． <2>（x+2）（x－1）=0，所以x1=－2，x2=1． <3>（x+3）（x－1）=0，所以x1=－3，x2=1． …… （x+n）（x－1）=0，所以x1=－n，x2=1． （2）比如：共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等． 【点评】本例从教材要求的基本知识出发，探索具有某种特点的方程的解题规律及方程根与系数之间的关系，注重了对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查．
例3张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，•他将此矩形铁片的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体运输箱．且此长方体运输箱底面的长比宽多2m，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？ 【分析】首先化无形为有形，画出示意图，分清底面、侧面，底面的长与宽和长方体的高各用什么数或式子表示，然后利用体积相等列出方程求解． 【解答】设这种运输箱底部宽为xm，则长为（x+2）m，依题意， 有x（x+2）×1=15化简，得x2+2x－15=0． ∴x1=－5（舍去） x2=2． 所求铁皮的面积为：（3+2）（5+2）m2=35m2． 所购矩形铁皮所需金额为：35×20元=700元． 答：张大频购回这张矩形铁皮花了700元钱． 【点评】画出示意图是解题的关键．另外本题所采用的是间接设未知数的方法．若直接设出购买铁皮所需金额就困难了．
2011年真题 一、选择题 1. （2011湖北鄂州，11，3分）下列说法中 ①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等 ②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2 ③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形 ④Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边a，b分别是方程x2－7x＋7=0的两个根，则AB边
上的中线长为1352 正确命题有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 2. （2011湖北荆州，9，3分）关于x的方程0)1(2)13(2axaax有两个不相等
的实根1x、2x，且有axxxx12211，则a的值是 A．1 B．－1 C．1或－1 D． 2 【答案】B
3. （2011福建福州，7，4分）一元二次方程(2)0xx根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 【答案】A 4. （2011山东滨州，3，3分）某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( )
A. 22891256x B. 22561289x C. 289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=289 【答案】A
5. （2011山东威海，9，3分）关于x的一元二次方程2(2)10xmxm有两个相等的实数根，则m的值是（ ） A．0 B．8 C．42 D．0或8 【答案】D 6. （2011四川南充市，6，3分） 方程(x+1)(x－2)=x+1的解是（ ）
（A）2 （B）3 （C）－1，2 （D）－1，3 【答案】D 7. （2011浙江省嘉兴，2，4分）一元二次方程0)1(xx的解是（ ）
（A）0x （B）1x （C）0x或1x （D）0x或1x 【答案】C 8. （2011台湾台北，20）若一元二次方程式)2)(1()1(＋＋＋＋xxxaxbx＋ 2)2(＝＋x的
两根为0、2，则 ba43＋之值为何？
A．2 B．5 C．7 D． 8 【答案】B 9. （2011台湾台北，31）如图(十三)，将长方形ABCD分割成1个灰色长方形与148个面
积相等的小正方形。 根据右图，若灰色长方形之长与宽的比为5：3，则AD：AB＝？ A．5：3 B．7：5 C．23：14 D．47：29 【答案】D 10．（2011台湾全区，31）关于方程式95)2(882x的两根，下列判断何者正确？
A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于－2，另一根大于2 C．两根都小于0 D．两根都大于2 【答案】A 11. （2011江西，6，3分）已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ） A.1 B.2 C.-2 D.-1 【答案】C 12. （2011福建泉州，4，3分）已知一元二次方程x2－4x+3=0两根为x1、x2, 则x1·x2=（ ）. A. 4 B. 3 C. －4 D. －3 【答案】B 13. （2011甘肃兰州，1，4分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是
A．2210xx B．20axbxc
C．(1)(2)1xx D．223250xxyy 【答案】C 14. （2011甘肃兰州，10，4分）用配方法解方程2250xx时，原方程应变形为
A．2(1)6x B．2(2)9x C．2(1)6x D．2(2)9x 【答案】C 15. （2011江苏苏州，8,3分）下列四个结论中，正确的是
A.方程x＋x1=－2有两个不相等的实数根
B.方程x＋x1=1有两个不相等的实数根 C.方程x＋x1=2有两个不相等的实数根 D.方程x＋x1=a（其中a为常数，且|a|>2）有两个不相等的实数根 【答案】D 16. （2011江苏泰州，3，3分）一元二次方程x2=2x的根是 A．x=2 B．x=0 C．x1=0, x2=2 D．x1=0, x2=－2 【答案】C 17. （2011山东济宁，5，3分）已知关于x的方程x 2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为 A．－１ B．0 C．1 D．2 【答案】A
18. （2011山东潍坊，7，3分）关于x的方程2210xkxk的根的情况描述正确的是（ ） A . k 为任何实数，方程都没有实数根 B . k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根 C . k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根 D. 根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种 【答案】B
19. （2011四川成都，6,3分）已知关于x的一元二次方程)0(02mknxmx有两
个实数根，则下列关于判别式 mkx42的判断正确的是 C (A) 042mkn (B) 042mkn (C) 042mkn (D) 042mkn 【答案】C 20．（ 2011重庆江津， 9，4分）已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( ) A.a<2 B,a>2 C.a<2且a≠1 D.a<－2· 【答案】C· 21. （2011江西南昌，6，3分）已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ） A.1 B.2 C.-2 D.-1 【答案】C 1. 22. （2011江苏南通，7，3分）已知3是关于x的方程x2－5x＋c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是 A. －2 B. 2 C. 5 D. 6 【答案】B 23. （2011四川绵阳12，3）若x1,x2(x1 ＜x2)是方程(x -a)(x-b) = 1(a < b)的两个根，则实数x1,x2,a,b的大小关系为 A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2 D．a＜x1＜b＜x2 【答案】B 24. （2011四川凉山州，6，4分）某品牌服装原价173元，连续两次降价00x后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（ ）