[k12精品]2017_2018学年高中数学课时跟踪训练十五导数与函数的单调性北师大版选修1_1

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20172018学年高中数学课时跟踪训练导数的概念及其几何意义北师大版选修11

课时跟踪训练(十二) 导数的概念及其几何意义1．若函数y ＝f (x )在x ＝1处的导数为1，则0lim x ∆→ f 1＋x －f 1x等于( ) A ．2B ．1 C.12 D.142．设函数f (x )＝ax ＋b ，若f (1)＝f ′(1)＝2，则f (2)等于( )A ．1B ．2C ．4D ．63.已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定4．已知曲线f (x )＝－2x和点M (1，－2)，则曲线在点M 处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋45．若函数y ＝f (x )在点(4,3)处的切线与直线x ＋2y －1＝0平行，则f ′(4)＝________.6．一运动物体的运动方程为s (t )＝3t －t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，则该物体的初速度是__________m/s.7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ，x ≥0，1＋x 2，x ＜0，求f ′(1)·f ′(－1)的值．8．求曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程．答案1．选B 0lim x ∆→ f 1＋x －f 1x＝f ′(1)＝1. 2．选C 可得f ′(1)＝0lim x ∆→ f 1＋Δx －f 1Δx＝0lim x ∆→ [a 1＋Δx ＋b ]－a ＋b Δx ＝0lim x ∆→ a Δx Δx＝a ，又f ′(1)＝2，得a ＝2，而f (1)＝2，故a ＋b ＝2，即b ＝0，所以f (x )＝2x ，有f (2)＝4.3．选B f ′(x A )与f ′(x B )分别为A ，B 处切线的斜率，设A ，B 处切线的倾斜角分别为α，β，则π2<α<β<π.∴tan α<tan β即f ′(x A )<f ′(x B )．4．选C Δy Δx ＝－21＋Δx ＋21Δx ＝21＋Δx， ∴当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2.∴直线方程为y ＋2＝2(x －1)，即y ＝2x －4.5．解析：因为直线x ＋2y －1＝0的斜率k ＝－12，所以f ′(4)＝－12. 答案：－126．解析：物体的初速度即为t ＝0时的瞬时速度，∴s ′(0)＝lim Δt →0s 0＋Δt －s 0Δt＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3. 答案：37．解：当x ＝1时，Δy Δx ＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝1＋Δx －1Δx＝11＋Δx ＋1. 由导数的定义，得f ′(1)＝0lim x ∆→ 11＋Δx ＋1＝12. 当x ＝－1时，Δy Δx＝f －1＋Δx －f －1Δx ＝1＋－1＋Δx 2－1－－12Δx ＝Δx －2.由导数的定义，得f ′(－1)＝0lim x ∆→ (Δx －2)＝－2. 所以f ′(1)·f ′(－1)＝12×(－2)＝－1. 8．解：设点(1,1)处的切线斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝lim Δx →0 f 1＋Δx －f 1Δx＝lim Δx →0 3Δx ＋3Δx 2＋Δx 3Δx＝lim Δx →0 [3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3， ∴点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.。

(浙江专版)2017_2018学年高中数学课时跟踪检测(九)函数的单调性新人教A版必修1

课时跟踪检测（九）函数的单调性层级一学业水平达标1．如图是函数y ＝f (x )的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由图象，可知函数y ＝f (x )的单调递减区间有2个．故选B. 2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4解析：选A 因为－1<0，所以一次函数y ＝－x ＋3在R 上递减，反比例函数y ＝1x在(0，＋∞)上递减，二次函数y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.3．函数y ＝1x的单调递减区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)解析：选C 函数y ＝1x 的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由函数的图象可知y ＝1x在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是减函数．4．若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是单调减函数，则有( ) A ．a ≥12B ．a ≤12C ．a >12D ．a <12解析：选D 函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是单调减函数，则2a －1<0，即a <12.故选D.5．函数f (x )＝|x |，g (x )＝x (2－x )的递增区间依次是( ) A ．(－∞，0]，(－∞，1] B ．(－∞，0]，(1，＋∞) C ．[0，＋∞)，(－∞，1]D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)解析：选C 分别作出f (x ) 与g (x )的图象得：f (x )在[0，＋∞)上递增，g (x )在(－∞，1]上递增，选C.6．若f (x )在R 上是减函数，则f (－1)________f (a 2＋1)(填“>”或“<”或“≥”或“≤”)．解析：∵f (x )在R 上是减函数，∴对任意x 1，x 2，若x 1<x 2均有f (x 1)>f (x 2)．又∵－1<a 2＋1，∴f (－1)>f (a 2＋1)．答案：>7．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________．解析：由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 8．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：∵函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的对称轴为x ＝a －12且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，∴a －12≤12，即a ≤2.答案：(－∞，2]9．判断并证明函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上的单调性．解：函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1＝x 1－x 2x 1x 2，由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0，又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0，于是f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．10．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －2 2＋3，x >1的图象，并指出函数f (x )的单调区间．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －2 2＋3，x >1的图象如图所示．由图可知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －2 2＋3，x >1的单调减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调增区间为[2，＋∞)．层级二应试能力达标1．若函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区间(a ，b )∪(b ，c )上( )A ．必是增函数B ．必是减函数C ．是增函数或减函数D ．无法确定单调性解析：选D 函数在区间(a ，b )∪(b ，c )上无法确定单调性．如y ＝－1x在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．2．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( ) ①y ＝|x |＋1；②y ＝|x |x ；③y ＝－x 2|x |；④y ＝x ＋x|x |.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选C ①y ＝|x |＋1＝－x ＋1(x <0)在(－∞，0)上为减函数；②y ＝|x |x＝－1(x <0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；③y ＝－x 2|x |＝x (x <0)在(－∞，0)上是增函数；④y ＝x ＋x|x |＝x －1(x <0)在(－∞，0)上也是增函数．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －3 x ＋5，x ≤1，2ax ，x >1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,2)D ．(0,2]解析：选D 依题意得实数a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，2a >0，a －3 ＋5≥2a ，解得0<a ≤2.4．定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2∈R(x 1≠x 2)，有f x 2 －f x 1x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (2)<f (1)B ．f (1)<f (2)<f (3)C ．f (2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (2)解析：选A 对任意x 1，x 2∈R(x 1≠x 2)，有f x 2 －f x 1x 2－x 1<0，则x 2－x 1与f (x 2)－f (x 1)异号，则f (x )在R 上是减函数．又3>2>1，则f (3)<f (2)<f (1)．故选A.5．若函数y ＝－b x在(0，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．解析：设0<x 1<x 2，由题意知f (x 1)－f (x 2)＝－b x 1＋b x 2＝b x 1－x 2x 1x 2>0.∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0， ∴b <0.答案：(－∞，0)6．函数y ＝－(x －3)|x |的单调递增区间是________．解析：y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x >0，x 2－3x ，x ≤0，作出其图象如图，观察图象知单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 7．已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围．解：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，解得0<a <1.①又f (x )在(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，∴1－a >2a －1，即a <23，②由①②可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.8．设函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a >b >0)，求f (x )的单调区间，并说明f (x )在其单调区间上的单调性．解：在定义域内任取x 1，x 2，且使x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋a x 2＋b －x 1＋ax 1＋b＝ x 2＋a x 1＋b － x 2＋b x 1＋ax 1＋b x 2＋b＝b －a x 2－x 1x 1＋b x 2＋b.∵a >b >0，x 1<x 2，∴b －a <0，x 2－x 1>0.只有当x 1<x 2<－b 或－b <x 1<x 2时，函数才单调．当x 1<x 2<－b 或－b <x 1<x 2时，f (x 2)－f (x 1)<0.∴y ＝f (x )在(－∞，－b )上是单调减函数，在(－b ，＋∞)上也是单调减函数． ∴y ＝f (x )的单调减区间是(－∞，－b )和(－b ，＋∞)，无单调增区间．。

新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十五导

课时跟踪检测(十五) 导数与函数的单调性一、题点全面练1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝sin 2x B ．f (x )＝x e xC ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln x解析：选B 对于A ，f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)；对于B ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )＝x e x在(0，＋∞)上为增函数；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＞0，得x ＞33或x ＜－33，∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞上单调递增；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ＝－x －1x ，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜1，∴函数f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选B.2．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的大致图象是( )解析：选A 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，则g ′(x )2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增，结合选项知选A.3．若函数f (x )＝(x 2－cx ＋5)e x在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，4]C ．(－∞，8]D ．[－2,4]解析：选B f ′(x )＝[x 2＋(2－c )x －c ＋5]e x，∵函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，∴x 2＋(2－c )x －c ＋5≥0对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立，即(x ＋1)c ≤x 2＋2x ＋5对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立，∴c ≤x 2＋2x ＋5x ＋1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4，∴x 2＋2x ＋5x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1≥4，当且仅当x ＝1时等号成立，∴c ≤4.4．(2019·咸宁联考)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(4，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(0,3]解析：选A ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x ＞0)，由x －9x ≤0，得0＜x ≤3，∴f (x )在(0,3]上是减函数，则[a －1，a ＋1]⊆(0,3]，∴a －1＞0且a ＋1≤3，解得1＜a ≤2.5．(2019·南昌联考)已知函数f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝sin x－x ，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (3)，c ＝f (0)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析：选A ∵函数f (x ＋1)是偶函数，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，b ＝f (3)，c ＝f (0)＝f (2)．又∵当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝sin x －x ，∴当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＝cos x －1≤0，即f (x )＝sin x －x 在(1，＋∞)上为减函数，∴b ＜a ＜c .6．已知函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为________________．解析：由f (x )图象特征可得，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12和[2，＋∞)上f ′(x )≥0, 在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2上f ′(x )＜0，所以xf ′(x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，f x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，f x ⇔0≤x ≤12或x ≥2，所以xf ′(x )≥0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 7．(2019·岳阳模拟)若函数f (x )＝x 2－e x－ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝x 2－e x－ax 在R 上存在单调递增区间， ∴f ′(x )＝2x －e x－a ＞0，即a ＜2x －e x有解．设g (x )＝2x －e x，则g ′(x )＝2－e x，令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，则当x ＜ln 2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当x ＞ln 2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ＜2ln 2－2.答案：(－∞，2ln 2－2)8．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，所以f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，解得a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)，f ′(x )＝x －5＋6x＝x －x －x.令f ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝3. 当0＜x ＜2或x ＞3时，f ′(x )＞0；当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故函数f (x )的单调递增区间是(0,2)，(3，＋∞)，单调递减区间是(2,3)．9．已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x－ax －1的定义域为(0，＋∞)．(1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性．解：(1)∵a ＝e ，∴f (x )＝e x－e x －1， ∴f ′(x )＝e x－e ，f (1)＝－1，f ′(1)＝0.∴当a ＝e 时，函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－1. (2)∵f (x )＝e x－ax －1，∴f ′(x )＝e x－a . 易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，由f ′(x )＝e x－a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．(2019·南昌模拟)已知函数f (x )＝x sin x ，x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且f (x 1)＜f (x 2)，那么( )A ．x 1－x 2＞0B ．x 1＋x 2＞0C ．x 21－x 22＞0D ．x 21－x 22＜0解析：选D 由f (x )＝x sin x ，得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＝cos x (tan x ＋x )，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＞0，即f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，又∵f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，∴当f (x 1)＜f (x 2)时，有f (|x 1|)＜f (|x 2|)，∴|x 1|＜|x 2|，x 21－x 22＜0，故选D.2．函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．解析：由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝x －1x＜0，得0＜x ＜1，所以函数f (x )的单调递减区间为(0,1)．答案：(0,1)3．(2019·郴州模拟)已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则实数t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x＝－x －x －x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，∴1∈(t ，t ＋1)或3∈(t ，t ＋1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧t ＜1，t ＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧t ＜3，t ＋1＞3⇔0＜t ＜1或2＜t ＜3.答案：(0,1)∪(2,3) (二)素养专练——学会更学通4.[直观想象]已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选C 当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，∴f ′(x )＜0，故y ＝f (x )在(0,1)上为减函数；当x ＞1时，xf ′(x )＞0，∴f ′(x )＞0，故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，因此排除A 、B 、D ，故选C.5．[逻辑推理]已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x ，得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数．又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号，所以f (x )在其定义域内单调递增．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)，所以a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，126．[逻辑推理、数学运算]已知f (x )＝ax －1x，g (x )＝ln x ，x ＞0，a ∈R 是常数．(1)求函数y ＝g (x )的图象在点P (1，g (1))处的切线方程； (2)设F (x )＝f (x )－g (x )，讨论函数F (x )的单调性．解：(1)因为g (x )＝ln x (x ＞0)，所以g (1)＝0，g ′(x )＝1x，g ′(1)＝1，故函数g (x )的图象在P (1，g (1))处的切线方程是y ＝x －1. (2)因为F (x )＝f (x )－g (x )＝ax －1x－ln x (x ＞0)，所以F ′(x )＝a ＋1x 2－1x ＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122－14.①当a ≥14时，F ′(x )≥0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ＝0时，F ′(x )＝1－xx2，F (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；③当0＜a ＜14时，由F ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a2a＞0，且x 2＞x 1，故F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2a ，1＋1－4a 2a 上单调递减；④当a ＜0时，由F ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a 2a＜0， F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2a ，＋∞上单调递减． (三)难点专练——适情自主选7．已知函数f (x )＝ax －ln x ，g (x )＝e ax＋2x ，其中a ∈R. (1)当a ＝2时，求函数f (x )的极值；(2)若存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2x －ln x ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝2－1x，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )在x ＝12处取得极小值，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1＋ln 2，无极大值．(2)由题意知，f ′(x )＝a －1x，g ′(x )＝a e ax＋2，①当a ＞0时，g ′(x )＞0，即g (x )在R 上单调递增，而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递增，故必存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上单调递增；②当a ＝0时，f ′(x )＝－1x＜0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故不存在满足条件的区间D ；③当a ＜0时，f ′(x )＝a －1x＜0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ，＋∞上单调递增，若存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上有相同的单调性，则有1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＞0，解得a ＜－2.综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．。

高中数学课时跟踪检测(五)函数的单调性与导数新人教A版选修2_2

课时跟踪检测(五) 函数的单调性与导数一、选择题1．函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－3)和(1，＋∞)D ．(－3,1) 解析：选D y ′＝－2x e x ＋(3－x 2)e x ＝(－x 2－2x ＋3)e x ，令(－x 2－2x ＋3)e x＞0，由于e x ＞0，则－x 2－2x ＋3＞0，解得－3＜x ＜1，所以函数的单调递增区间是(－3,1)．2．y ＝x ln x 在(0,5)上是( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上增 D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上减解析：选C ∵y ′＝x ′·ln x ＋x ·(ln x )′＝ln x ＋1，∴当0＜x ＜1e时，ln x ＜－1，即y ′＜0， ∴y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上为减函数．当1e＜x ＜5时，ln x ＞－1，即y ′＞0， ∴y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上为增函数． 3．设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，则f (x )为R 上的增函数的充要条件是( )A ．b 2－3ac >0B ．b >0，c >0C ．b ＝0，c >0D ．b 2－3ac ≤0 解析：选D ∵a >0，f (x )为R 上的增函数，∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≥0对x ∈R 恒成立，∴Δ＝(2b )2－4×3a ×c ＝4b 2－12ac ≤0，∴b 2－3ac ≤0.4．已知函数f (x )，g (x )在区间[a ，b ]上均有f ′(x )＜g ′(x )，则下列关系式中正确的是( )A ．f (x )＋f (b )≥g (x )＋g (b )B ．f (x )－f (b )≥g (x )－g (b )C ．f (x )≥g (x )D ．f (a )－f (b )≥g (b )－g (a )解析：选B 据题意，由f ′(x )＜g ′(x )得f ′(x )－g ′(x )＜0，故F (x )＝f (x )－g (x )在[a ，b ]上为单调递减函数，由单调性知识知，必有F (x )≥F (b )，即f (x )－g (x )≥f (b )－g (b )，移项整理得f (x )－f (b )≥g (x )－g (b )．5．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如下图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选C 当0<x <1时，xf ′(x )<0，∴f ′(x )<0，故y ＝f (x )在(0,1)上为减函数；当x >1时，xf ′(x )>0，∴f ′(x )>0，故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，因此A 、B 、D 选项错误，故选C.二、填空题6．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2)，则b ＝________，c ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1＜x ＜2是不等式f ′(x )＜0的解，即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，把－1,2分别代入方程，解得b ＝－32，c ＝－6. 答案：－32－6 7．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为________．解析：令f ′(x )＝1－2cos x ＞0，则cos x ＜12.又∈(0，π)，解得π3＜x ＜π，所以函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫π3，π. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π 8．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．解析：若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，所以b ＞0.答案：(0，＋∞)三、解答题9．若函数f (x )＝ax 3＋x －5在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．解：f ′(x )＝3ax 2＋1.①当a ＝0时，f (x )＝x －5在R 上是单调递增的；②当a ≠0时，f ′(x )＝0的根为有限个，因此要使函数f (x )在R 上单调递增，只需f ′(x )＝3ax 2＋1≥0在R 上恒成立即可，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，0－12a ≤0，所以a >0. 综上可知，实数a 的取值范围是[0，＋∞)．10．设函数f (x )＝x (e x－1)－ax 2.(1)若a ＝12，求f (x )的单调区间； (2)若当x ≥0时f (x )≥0，求实数a 的取值范围．解：(1)a ＝12时，f (x )＝x (e x －1)－12x 2， f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．(2)f (x )＝x (e x－1－ax )．令g (x )＝e x －1－ax ，则g ′(x )＝e x －a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，而g (0)＝0，从而当x ≥0时，g (x )≥0，即f (x )≥0；若a >1，则当x ∈(0，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，而g (0)＝0，从而当x ∈(0，ln a )时，g (x )<0，即f (x )<0，不符合题意，故实数a 的取值范围为(－∞，1]．。

课时跟踪检测导数与函数的单调性(重点高中)

课时跟踪检测（十四）导数与函数的单调性(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．已知m 是实数，函数f (x )＝x 2(x －m )，若f ′(－1)＝－1，则函数f (x )的单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－43，0 B.⎝⎛⎭⎫0，43 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－43，(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪(0，＋∞) 解析：选C ∵f ′(x )＝3x 2－2mx ，∴f ′(－1)＝3＋2m ＝－1，解得m ＝－2，由f ′(x )＝3x 2＋4x ＞0，解得x ＜－43或x ＞0，即f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－43，(0，＋∞)，故选C. 2．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的图象大致是( )解析：选A 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，g ′(x )＝2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增．3.定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，已知函数y ＝2f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的单调递减区间为( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞) 解析：选D 结合图象可知，当x ∈(－∞，2]时，2f′(x )≥1，即f ′(x )≥0；当x ∈(2，＋∞)时，2f ′(x )＜1，即f ′(x )＜0；故函数y ＝f (x )的单调递减区间为(2，＋∞)．4．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A f ′(x )＝32x 2＋a ，当a >0时，f ′(x )>0，即a >0时，f (x )在R 上单调递增，由f (x )在R 上单调递增，可得a ≥0.故“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．5.(2017·四川乐山一中期末)f (x )＝x 2－a ln x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(－∞，2)D ．(－∞，2]解析：选D 由f (x )＝x 2－a ln x ，得f ′(x )＝2x －a x ，∵f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴2x －a x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤2x 2在(1，＋∞)上恒成立，∵x ∈(1，＋∞)时，2x 2＞2，∴a ≤2.故选D.6.函数f (x )＝x 4＋54x－ln x 的单调递减区间是________．解析：因为f (x )＝x 4＋54x －ln x ，所以函数的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝14－54x 2－1x ＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜5，所以函数f (x )的单调递减区间为(0,5)．答案：(0,5)7．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，则当a ＜0时，f (x )的单调递增区间是________，单调递减区间是________．解析：由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＜0时，因为f ′(x )＝a ＋1x ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋1a x ，所以当x ≥－1a 时，f ′(x )≤0，当0＜x ＜－1a时，f ′(x )＞0，所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫0，－1a ⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞ 8．若f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (－3)，f ⎝⎛⎭⎫π2，f (2)的大小关系为______________________．解析：函数f (x )为偶函数，因此f (－3)＝f (3)．又f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，f ′(x )≤0.所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上是减函数，所以f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (2)＞f (3)＝f (－3)．答案：f (－3)＜f (2)＜f ⎝⎛⎭⎫π29.设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，所以f ′(x )＝2a (x －5)＋6x .令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，解得a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)， f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x.令f ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝3.当0＜x ＜2或x ＞3时，f ′(x )＞0；当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故f (x )的单调递增区间是(0,2)，(3，＋∞)，单调递减区间是(2,3)．10.已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)．(1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程；(2)判断函数f (x )的单调性．解：(1)∵a ＝e ，∴f (x )＝e x －e x －1，∴f ′(x )＝e x －e ，f (1)＝－1，f ′(1)＝0.∴当a ＝e 时，函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－1.(2)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a .易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，由f ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．B 级——拔高题目稳做准做1.(2018·张掖一诊)定义在R 上的可导函数f (x )满足f (1)＝1，且2f ′(x )＞1，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2时，不等式f (2cos x )＞32－2sin 2x 2的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 B.⎝⎛⎭⎫－π3，4π3 C.⎝⎛⎭⎫0，π3 D.⎝⎛⎭⎫－π3，π3 解析：选D 令g (x )＝f (x )－x 2－12，则g ′(x )＝f ′(x )－12＞0，∴g (x )在R 上单调递增，且g (1)＝f (1)－12－12＝0， ∵f (2cos x )－32＋2sin 2x 2＝f (2cos x )－2cos x 2－12＝g (2cos x )， ∴f (2cos x )＞32－2sin 2x 2，即g (2cos x )＞0，∴2cos x ＞1. 又x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－π3，π3. 2．定义在区间(0，＋∞)上的函数y ＝f (x )使不等式2f (x )<xf ′(x )<3f (x )恒成立，其中y ＝f ′(x )为y ＝f (x )的导函数，则( )A ．8<f (2)f (1)<16 B ．4<f (2)f (1)<8 C ．3<f (2)f (1)<4 D ．2<f (2)f (1)<3 解析：选B ∵xf ′(x )－2f (x )>0，x >0，∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 2′＝f ′(x )·x 2－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3>0， ∴y ＝f (x )x 2在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (2)22>f (1)12，即f (2)f (1)>4. ∵xf ′(x )－3f (x )<0，x >0，∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 3′＝f ′(x )·x 3－3x 2f (x )x 6＝xf ′(x )－3f (x )x 4<0， ∴y ＝f (x )x 3在(0，＋∞)上单调递减， ∴f (2)23<f (1)13，即f (2)f (1)<8. 综上，4<f (2)f (1)<8. 3.已知定义在R 上的可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0的解集为________．解析：由题图可知⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )>0，x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，f ′(x )<0，x ∈(－1，1)，不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(x )>0，x 2－2x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x 2－2x －3<0，解得x ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)4.已知函数f (x )＝3x a －2x 2＋ln x (a >0)，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x≤0在[1,2]上恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x在[1,2]上恒成立．令h (x )＝4x －1x，则h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，又a >0，所以0<a ≤25或a ≥1. 答案：⎝⎛⎦⎤0，25∪[1，＋∞) 5.(2018·武汉调研)已知函数f (x )＝x ln x .(1)若函数g (x )＝f (x )＋ax 在区间[e 2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围；(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，f (x )≥－x 2＋mx －32恒成立，求实数m 的最大值．解：(1)由题意得g ′(x )＝f ′(x )＋a ＝ln x ＋a ＋1.∵函数g (x )在区间[e 2，＋∞)上为增函数，∴当x ∈[e 2，＋∞)时，g ′(x )≥0，即ln x ＋a ＋1≥0在[e 2，＋∞)上恒成立．∴a ≥－1－ln x .令h (x )＝－ln x －1，∴a ≥h (x )max ，当x ∈[e 2，＋∞)时，ln x ∈[2，＋∞)，∴h (x )∈(－∞，－3]，∴a ≥－3，即实数a 的取值范围是[－3，＋∞)．(2)∵2f (x )≥－x 2＋mx －3，即mx ≤2x ln x ＋x 2＋3，又x ＞0，∴m ≤2x ln x ＋x 2＋3x在x ∈(0，＋∞)上恒成立．记t (x )＝2x ln x ＋x 2＋3x ＝2ln x ＋x ＋3x. ∴m ≤t (x )min .∵t ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝x 2＋2x －3x 2＝(x ＋3)(x －1)x 2，令t ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－3(舍去)．当x ∈(0,1)时，t ′(x )＜0，函数t (x )在(0,1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x )＞0，函数t (x )在(1，＋∞)上单调递增．∴t (x )min ＝t (1)＝4.∴m ≤t (x )min ＝4，即m 的最大值为4.6.已知x ＝1是f (x )＝2x ＋b x ＋ln x 的一个极值点．(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)设函数g (x )＝f (x )－3＋a x，若函数g (x )在区间[1,2]内单调递增，求a 的取值范围．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2－b x 2＋1x. ∵x ＝1是f (x )＝2x ＋b x ＋ln x 的一个极值点，∴f ′(1)＝0，即2－b ＋1＝0.解得b ＝3，经检验，适合题意，∴b ＝3.∵f ′(x )＝2－3x 2＋1x ＝2x 2＋x －3x 2，解f ′(x )≤0，得0＜x ≤1.∴函数f (x )的单调递减区间为(0,1]．(2)g (x )＝f (x )－3＋a x ＝2x ＋ln x －a x (x ＞0)，g ′(x )＝2＋1x ＋a x 2(x ＞0)． ∵函数g (x )在[1,2]上单调递增，∴g ′(x )≥0在[1,2]上恒成立，即2＋1x ＋a x 2≥0在[1,2]上恒成立， ∴a ≥－2x 2－x 在[1,2]上恒成立，∴a ≥(－2x 2－x )max ，x ∈[1,2]．∵在[1,2]上，(－2x 2－x )max ＝－3，∴a ≥－3，即a 的取值范围为[－3，＋∞)．。

学年高中数学课时跟踪训练十五导数与函数的单调性北师大版选修_

课时跟踪训练(十五) 导数与函数的单调性1．在以下命题中，正确的选项是( )A ．假设f (x )在(a ，b )内是增加的，那么对任意x ∈(a ，b )都有f ′(x )＞0B ．假设在(a ，b )内对任意x 都有f ′(x )＞0，那么f (x )在(a ，b )内是增加的C ．假设在(a ，b )内f (x )为单调函数，那么f ′(x )也为单调函数D ．假设可导函数在(a ，b )内有f ′(x )＜0，那么在(a ，b )内有f (x )＜02．y ＝8x 2－ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上分别是( ) A ．增加的，增加的B ．增加的，减少的C ．减少的，增加的D ．减少的，减少的3．函数f (x )＝x ＋ln x ，那么有( )A ．f (2)＜f (e)＜f (3)B ．f (e)＜f (2)＜f (3)C ．f (3)＜f (e)＜f (2)D ．f (e)＜f (3)＜f (2)4.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图像如右图所示，那么y ＝f (x )的图像最有可能是( )5．函数f (x )＝(3－x 2)e x的单调递增区间是____________．6．假设函数f (x )＝x 3＋ax ＋8的单调减区间为(－5,5)，那么a 的值为________．7．向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，假设函数f (x )＝a·b 在区间(－1,1)上是增加的，求t 的取值范围．8．函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0，求f (x )的单调区间．答案1．选B 由函数的单调性与导数间的关系可知选项B 正确．2．选C y ′＝16x －1x ＝16x 2－1x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，y ′<0，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上是减少的，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，y ′>0，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增加的． 3．选A ∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝12x ＋1x＞0， ∴f (x )在(0，＋∞)上为增加的，∴f (2)＜f (e)＜f (3)．4．选C 由y ＝f ′(x )的图像可知，当x <0或x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0， ∴函数y ＝f (x )在(－∞，0)和(2，＋∞)上为增加的，在(0,2)上为减少的．5．解析：∵f (x )＝(3－x 2)e x ，∴f ′(x )＝－2x e x ＋(3－x 2)e x ＝(－x 2－2x ＋3)e x.令f ′(x )＞0，那么－x 2－2x ＋3＞0，解得－3 ＜x ＜1.∴函数f (x )的单调递增区间是(－3,1)．答案：(－3,1)6．解析：f ′(x )＝3x 2＋a ，∵f ′(x )<0的解为－5<x <5，∴3×52＋a ＝0，∴a ＝－75.答案：－757．解：由题意得f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，∴f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t .假设f (x )在(－1,1)上是增加的，那么在(－1,1)上f ′(x )≥0恒成立．即t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立．考虑函数g (x )＝3x 2－2x ＝3(x －13)2－13，x ∈(－1,1)显然g (x )<g (－1)，故t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5.而当t ＝5时，f ′(x )在(－1,1)上满足f ′(x )>0，即f (x )在(－1,1)上是增加的．故t 的取值范围是[5，＋∞)．8．解：f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )，当a ＜0时，对任意x ∈R ，都有f ′(x )＞0，即a ＜0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当a ＞0时，f ′(x )＞0时，解得x ＞a 或x ＜－a ，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)，f ′(x )＜0时，解得－a ＜x ＜a ，所以f (x )的单调递减区间为(－a ，a )．即a ＞0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；f (x )的单调递减区间为(－a ，a )．。

课时跟踪检测(十四) 导数与函数的单调性

课时跟踪检测（十四）导数与函数的单调性一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为________．解析：函数的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，令f ′(x )<0，得0<x <1.答案：(0,1)2．(2016·启东中学检测)已知函数f (x )＝x －1－(e －1)ln x ，其中e 为自然对数的底数，则满足f (e x )＜0的x 的取值范围为________．解析：由f ′(x )＝1－e －1x＝0(x >0)，得x ＝e －1. 当x ∈(0，e －1)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(e －1，＋∞)时，函数f (x )单调递增．又f (1)＝f (e)＝0,1<e －1<e ，所以由f (e x )<0得1<e x <e ，解得0<x <1.答案：(0,1)3．f (x )＝x 2－a ln x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．解析：由f (x )＝x 2－a ln x ，得f ′(x )＝2x －a x，因为f (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以2x －a x≥0，即a ≤2x 2在(1，＋∞)上恒成立，因为2x 2>2，所以a ≤2.答案：(－∞，2]4．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )＜0，即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)5．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．解析：在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x ＞0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增．答案：单调递增6．(2016·海门中学检测)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是______．解析：因为f (x )＝12x 2－9ln x ，所以f ′(x )＝x －9x (x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上f (x )是减函数，所以，a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.答案：(1,2]二保高考，全练题型做到高考达标1．(2016·南通调研)已知函数f (x )＝－12x 2＋b ln x 在区间[2，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．解析：由题意，知f ′(x )＝－x ＋b x ≤0在[2，＋∞)上恒成立，即b ≤x 2在[2，＋∞)上恒成立，所以b ≤(x 2)min ＝4.答案：(－∞，4]2．若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以12＝⎝⎛⎭⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)3．(2016·姜偃二中测试)若f (x )＝4x 3＋mx 2＋(m －3)x ＋n (m ，n ∈R)是R 上的单调增函数，则实数m 的值为________．解析：因为f ′(x )＝12x 2＋2mx ＋(m －3)，又函数f (x )是R 上的单调增函数，所以12x 2＋2mx ＋(m －3)≥0在R 上恒成立，所以Δ＝(2m )2－48(m －3)≤0，整理得m 2－12m ＋36≤0，即(m －6)2≤0.又因为(m －6)2≥0，所以(m －6)2＝0，所以m ＝6.答案：64．(2017·襄阳模拟)函数f (x )的定义域为R.f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为________．解析：由f (x )>2x ＋4，得f (x )－2x －4>0.设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2.因为f ′(x )>2，所以F ′(x )>0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增，而F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4>0等价于F (x )>F (－1)，所以x >－1.答案：(－1，＋∞)5．(2015·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋m ，0≤x ≤1，mx ＋5，x >1.若函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为________．解析：由f (x )＝2x 3＋3x 2＋m ，得f ′(x )＝6x 2＋6x ，所以f (x )在[0,1]上单调递增，即f (x )＝2x 3＋3x 2＋m 与x 轴至多有一个交点，要使函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋5>0，m <0，从而可得m ∈(－5,0)．答案：(－5,0)6．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间为________．解析：函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x ]′＝e x ＋(x －3)e x ＝(x －2)e x .由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x >0，解得x >2.答案：(2，＋∞)7．函数f (x )＝x 2－ax －3在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝2x －a ，因为f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以2x －a ≥0在(1，＋∞)上恒成立．即a ≤2x ，所以a ≤2.答案：(－∞，2]8．已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．解析：设F (x )＝f (x )－12x ，所以F ′(x )＝f ′(x )－12，因为f ′(x )<12，所以F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．因为f (x 2)<x 22＋12，所以f (x 2)－x 22<f (1)－12，所以F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，所以x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)9．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x . (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54. (2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．综上，f (x )的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5)．10．已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调递减区间；(2)若函数g (x )＝f (x )＋2x在[1，＋∞)上单调，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x，由f ′(x )<0得0<x <1，故f (x )的单调递减区间是(0,1)．(2)由题意得g ′(x )＝2x ＋a x －2x 2，函数g (x )在[1，＋∞)上是单调函数． ①若g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x )＝2x－2x 2，因为φ(x )在[1，＋∞)上单调递减，所以φ(x )max ＝φ(1)＝0，所以a ≥0.②若g (x )为[1，＋∞)上的单调减函数，则g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能．所以实数a 的取值范围为[0，＋∞)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知函数f (x )＝3x a －2x 2＋ln x (a >0)．若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3a －4x ＋1x，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x在[1,2]上恒成立．令h (x )＝4x －1x，则h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，又a >0，所以0<a ≤25或a ≥1. 答案：⎝⎛⎦⎤0，25∪[1，＋∞) 2．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x .当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a 2＝1，即a ＝－2，所以f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .所以g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x ，所以g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.因为g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ′(t )＜0，g ′(3)＞0.当g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0对任意t ∈[1,2]恒成立，由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0，即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9；由g ′(3)＞0，即m ＞－373. 所以－373＜m ＜－9. 即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－373，－9.。

[K12学习]2017_2018学年高中数学课时跟踪训练十导数与函数的单调性北师大版选修2_2

课时跟踪训练(十) 导数与函数的单调性1．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的单调递减区间为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)D ．(0,2) 2．当x >0时，f (x )＝x ＋2x的单调递减区间是( ) A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(2，＋∞)D ．(0，2)3．若函数h (x )＝2x －k x ＋k 3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[－2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，2] 4．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( )A ．f (2)<f (e)<f (3)B ．f (e)<f (2)<f (3)C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)5．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为________．6．函数f (x )＝ln x －x 的单调递增区间为________．7．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .若f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围．8．设函数f (x )＝ln(x ＋a )＋x 2，若f ′(－1)＝0，求a 的值，并讨论f (x )的单调性．答案1．选D f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )<0，得0<x <2，所以f (x )的单调递减区间为(0,2)．2．选D f ′(x )＝1－2x 2＝x 2－2x 2＝x －2x ＋2x 2. 由f ′(x )<0且x >0得0<x < 2.3．选A 根据条件得h ′(x )＝2＋k x ＝2x 2＋k x≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞)．4．选A 因为在定义域(0，＋∞)上f ′(x )＝12x ＋1x>0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以有f (2)<f (e)<f (3)．5．解析：令f ′(x )＝1－2cos x >0，则cos x <12. 又x ∈(0，π)，解得π3<x <π，所以函数在(0，π)上的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π 6．解析：令f ′(x )＝1x －1>0，解不等式得0<x <1.注意定义域为(0，＋∞)．答案：(0,1)7．解：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a ，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a . 函数有单调递增区间，即在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞内，导函数大于零有解，令29＋2a >0，得a >－19. 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间． 8．解：f ′(x )＝1x ＋a＋2x ，依题意，有f ′(－1)＝0，故a ＝32. 从而f ′(x )＝2x 2＋3x ＋1x ＋32＝x ＋x ＋x ＋32.则f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞. 当－32<x <－1时，f ′(x )>0；当－1<x <－12时，f ′(x )<0；当x >－12时，f ′(x )>0. 从而f (x )分别在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上是增加的，在区间⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12上是减少的．。

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课时跟踪训练(十五) 导数与函数的单调性
1．在下列命题中，正确的是( )
A ．若f (x )在(a ，b )内是增加的，则对任意x ∈(a ，b )都有f ′(x )＞0
B ．若在(a ，b )内对任意x 都有f ′(x )＞0，则f (x )在(a ，b )内是增加的
C ．若在(a ，b )内f (x )为单调函数，则f ′(x )也为单调函数
D ．若可导函数在(a ，b )内有f ′(x )＜0，则在(a ，b )内有f (x )＜0
2．y ＝8x 2－ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14和⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1上分别是( ) A ．增加的，增加的
B ．增加的，减少的
C ．减少的，增加的
D ．减少的，减少的
3．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( )
A ．f (2)＜f (e)＜f (3)
B ．f (e)＜f (2)＜f (3)
C ．f (3)＜f (e)＜f (2)
D ．f (e)＜f (3)＜f (2)
4.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图像如右图所示，则
y ＝f (x )的图像最有可能是( )
5．函数f (x )＝(3－x 2)e x
的单调递增区间是____________．
6．若函数f (x )＝x 3＋ax ＋8的单调减区间为(－5,5)，则a 的值为________．
7．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a·b 在区间(－1,1)上是增加的，求t 的取值范围．
8．已知函数f (x )＝x 3
－3ax －1，a ≠0，求f (x )的单调区间．
答案
1．选B 由函数的单调性与导数间的关系可知选项B 正确．
2．选C y ′＝16x －1x ＝16x 2－1x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，y ′<0，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上是减少的，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，y ′>0，函数在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1上是增加的． 3．选A ∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，
且f ′(x )＝12x ＋1x
＞0， ∴f (x )在(0，＋∞)上为增加的，
∴f (2)＜f (e)＜f (3)．
4．选C 由y ＝f ′(x )的图像可知，当x <0或x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0， ∴函数y ＝f (x )在(－∞，0)和(2，＋∞)上为增加的，在(0,2)上为减少的．
5．解析：∵f (x )＝(3－x 2)e x ，
∴f ′(x )＝－2x e x ＋(3－x 2)e x ＝(－x 2－2x ＋3)e x
.
令f ′(x )＞0，则－x 2－2x ＋3＞0，解得－3 ＜x ＜1.
∴函数f (x )的单调递增区间是(－3,1)．
答案：(－3,1)
6．解析：f ′(x )＝3x 2＋a ，∵f ′(x )<0的解为－5<x <5，
∴3×52＋a ＝0，∴a ＝－75.
答案：－75
7．解：由题意得f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，
∴f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t .
若f (x )在(－1,1)上是增加的，
则在(－1,1)上f ′(x )≥0恒成立．
即t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立．
考虑函数g (x )＝3x 2－2x ＝3(x －13)2－13
，x ∈(－1,1)显然g (x )<g (－1)，故t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5.
而当t ＝5时，f ′(x )在(－1,1)上满足f ′(x )>0，即f (x )在(－1,1)上是增加的．故t 的取值范围是[5，＋∞)．
8．解：f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )，
当a ＜0时，对任意x ∈R ，都有f ′(x )＞0，
即a ＜0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
当a ＞0时，f ′(x )＞0时，解得x ＞a 或x ＜－a ，
所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)，f ′(x )＜0时，解得－a ＜x ＜a ，所以f (x )的单调递减区间为(－a ，a )．
即a ＞0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；f (x )的单调递减区间为(－a ，a )．。