2019-2020年高中数学第二章2.1指数函数2.1.2第1课时指数函数图象及其性质优化练习新人教A版必修1

2.1.2 第1课时 指数函数图象及其性质
[课时作业]
[A 组 基础巩固]
1．下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是( )
A ．y ＝(－4)x
B.y ＝λx (λ>1) C ．y ＝－4x D ．y ＝a x ＋2(a >0且a ≠1)
解析：A 中底数不满足大于0且不等于1；C 中系数不是1；D 中指数不是独立的x ；只有选项B 满足指数函数定义． 答案：B
2.函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )
A ．a ＞1，b ＜0
B ．a ＞1，b ＞0
C ． 0＜a ＜1，b ＞0
D ．0＜a ＜1，b ＜0
解析：从曲线的变化趋势，可以得到函数f (x )为减函数，从而有0＜a ＜1；从曲线位置看，是由函数y ＝a x
(0＜a ＜1)的图象向左平移|－b |个单位而得，所以－b ＞0，即b ＜0.故选D.
答案：D
3．下列关系中正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1223 <223<⎝ ⎛⎭
⎪⎫1213 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12 23<⎝ ⎛⎭
⎪⎫1213<223 C ．223<⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<⎝ ⎛⎭
⎪⎫1223 D ．223<⎝ ⎛⎭⎪⎫1223<⎝ ⎛⎭
⎪⎫1213 解析：223＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223-，∵y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 是R 上的减函数， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1223->⎝ ⎛⎭⎪⎫1213>⎝ ⎛⎭
⎪⎫1223， 即223>⎝ ⎛⎭⎪⎫1213>⎝ ⎛⎭
⎪⎫1223. 答案：B
4．函数y ＝2
－|x |的值域是( ) A ．(0,1)
B.(0,1] C ．(0，＋∞)
D ．R 解析：设t ＝－|x |，则t ≤0，作出y ＝2t (t ≤0)的简图，由图象知0<2t ≤1.
5．若⎝ ⎛⎭⎪⎫122a ＋1<⎝ ⎛⎭
⎪⎫123－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，1) D ．⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，12 解析：∵y ＝(12
)x 是减函数，∴原不等式等价于2a ＋1>3－2a ，即4a >2， ∴a >12
. 答案：B
6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x
⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ＜0，则f [f (－4)]＝________.
解析：依题意，知f (－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16， f (16)＝16＝4，∴f [f (－4)]＝f (16)＝4.
答案：4
7．已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围是________．
解析：∵a 2＋a ＋2＝(a ＋12)2＋74
>1， ∴y ＝(a 2＋a ＋2)x
为R 上的增函数．
∴x >1－x .即x >12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 8．已知函数f (x )＝a x
在x ∈[－2,2]上恒有f (x )＜2，则实数a 的取值范围为________．
解析：当a ＞1时，f (x )＝a x 在[－2,2]上的最大值为a 2，由a 2＜2得，
1＜a ＜ 2.
当0＜a ＜1时，f (x )＝a x 在[－2,2]上的最大值为 a －2，由a －2＜2得a ＞
12 . 答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，1∪(1，2) 9．(1)已知3x ≥30.5，求实数x 的取值范围；
(2)已知0.2x
<25，求实数x 的取值范围．
解析：(1)因为3>1，所以指数函数f (x )＝3x 在R 上是增函数．由3x ≥30.5，可得x ≥0.5，即x 的取值范围为[0.5，
(2)因为0<0.2<1，所以指数函数f (x )＝0.2x
在R 上是减函数． 因为25＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫15－2＝0.2－2，所以0.2x <0.2－2. 由此可得x >－2，即x 的取值范围为(－2，＋∞)．
10．比较下列各组数中两个值的大小：
(1)0.2－1.5和0.2
－1.7； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1413和⎝ ⎛⎭
⎪⎫1423； (3)2－1.5和30.2.
解析：(1)考查函数y ＝0.2x .
因为0<0.2<1，
所以函数y ＝0.2x 在实数集R 上是单调减函数．
又因为－1.5>－1.7，
所以0.2－1.5<0.2－1.7.
(2)考查函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x .因为0<14<1，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫14x 在实数集R 上是单调减函数． 又因为13<23，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1413>⎝ ⎛⎭
⎪⎫1423. (3)2－1.5<20，即2－1.5<1；30<3
0.2, 即1<30.2，所以2－1.5<30.2.
[B 组 能力提升]
1．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A ．y ＝31x
B.y ＝31－x C ．y ＝3x －1
D ．y ＝1－3x
解析：y ＝31
x 的值域为{y |y >0且y ≠1}； y ＝31－x 的值域为{y |y >0}；y ＝3x －1的值域为[0，＋∞)；
y ＝1－3x 的值域为[0,1)．
答案：B
答案：A
3．若函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)的定义域值域都是[0,2]，则实数a 的值为________．
解析：当a >1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是增函数，
由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧
a 0－1
＝a 2－1＝2，解得a ＝ 3. 当0＜a ＜1时， 函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是减函数，
由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧ a 0－1
＝a 2－1＝0，此时a 无解．
综上所述，a ＝ 3. 答案： 3
4．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x ，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为________．
解析：因为f (x )是R 上的增函数，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，4－a 2
>0，4－a 2＋2≤a .
解得4≤a ＜8. 答案：[4,8)
5．设f (x )＝2x －12x ＋1
，求f (x )的值域． 解析：令y ＝2x
－12x ＋1，(2x ＋1)y ＝2x －1,2x (y －1)＝－1－y,2x ＝1＋y 1－y ，
∵2x >0，∴1＋y 1－y >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋y >0，1－y >0，
或⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋y <0，1－y <0，解得－1<y <1.
故值域为{y |－1<y <1}，即f (x )∈(－1,1)．
6．已知函数y ＝a 233x x －＋ (a >0且a ≠1)，当x ∈[1,3]时有最小值8，求a 的值．
解析：令y ＝a t ，t ＝x 2－3x ＋3，x ∈[1,3]，对称轴为t ＝32，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，t 单调递减；x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32，3时，t 单调递增，即x ＝32时，t min ＝34
. ①当a >1时，y ＝a t 为增函数，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，y ＝ax 2－3x ＋3为减函数；x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32，3时，y ＝a 233x x －＋为增函数．显然当x ＝32时，y min ＝a 3
4＝8，a ＝16. ②当0<a <1时，y ＝a t 为减函数，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，y ＝ax 2－3x ＋3为增函数，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32，3时，y ＝a 233x x －＋为减函数，这时y min 是x ＝1或x ＝3时，对应函数值中最小的一个，f (1)＝a ，f (3)＝a 3，若a ＝8，与0<a <1矛盾．若a 3
＝8，a ＝38>1与0<a <1矛盾．故舍掉．
综上所述，a 的值为16.。