用方程解含两个未知数的问题
列方程解含有两个未知数的应用题
a
3
猜年龄
• 孙老师和他儿子的年龄和是40岁，并且孙 老师的年龄是他儿子的4倍，你们知道孙老 师的年龄是多少吗？
a
4
a
5
陆地面积:
海洋面积:
地球表面积
+
海洋面积 陆地面积 地=球表面积
2.4X + X = 5.1
X
+ X÷2.4 =a 5.1
6
解：设陆地面积为x亿平方千米，海洋面积有2.4x亿平方 千米。
解：设陆地面积为x亿平方千米，海洋面积有2.4x亿平方 千米。
2.4x－ x=2.1
1.4x=2.1
X=1.5
2.1+1.5=3.6(亿平方千米)
或者2.4X=2.4×1.5=3.6 (亿平方千米)
答：地球上海洋面积是3.6亿平方千米，陆地面积是1.5
亿平方千米。
a
8
巩固：选择正确解法
1、明明家鸡的只数是鸭的3倍，鸡和鸭一共56只，鸡和鸭 各是多少只？
a
9
小结：解答含有两个未知数的应用题 时，如果两个数量有倍数关系，就可以把
1倍的数看作是X，几倍的数就是几X；把
两部分相加就是它们的和。两部分相减就 是它们的差，我们可以根据数量间相等的 关系，列方程解答。
a
10
①、解：设鸡和鸭各有x只， X+3X=56
②、解：设鸡有x只，鸭有3x只， X+3X=56
√ ③、解：设鸭有x只，鸡有3x只， X+3X=56
2、商店里苹果的重量是梨的3.6倍，苹果比梨多26千克，苹果 和梨各是多少千克？
√ ①、解：设梨有X千克，苹果有3.6X千克，3.6X－X=26
主讲：未知数的问题列方程解含有两个未知数的问题
某单位四、五月份一共用电1680千瓦时，已知四月份的用
电量是五月份的
3 5
。五月份用电多少千瓦时？
解：五月份用电量是 x 千瓦时。 错解分析：
3 x =1680
5
x = 2800
×
答：五月份用电2800千瓦时。
3 5
x 是四月份的用电
量。必须要加上五月份的用
电量才能等于四、五月份用
电总量。
某单位四、五月份一共用电1680千瓦时，已知四月份的用 3
列方程解含有两个 未知数的问题
x 已知两个数的和（或差）
倍数关系
一个数
另一个数
x
含有x的式子
一个数
另一个数
列方程
解方程
篮球比赛
？x
上半场得分
x x21？÷2
下半场得分
+
42分
单位“1” 下半场得分是上半场的一半。
篮球比赛
解：设上半场得 x 分，则，下半场得
1 2
x
分。
x+
1 2
x=
42
x = 28
凡 事都 是 多 棱镜 ， 不 同 的角 度 会 看 到不 同 的 结 果。 若 能 把 一些 事 看 淡了 ， 就 会 有 个 好心 境 ， 若 把很 多 事 看开 了 ， 就 会有 个 好 心 情。 让 聚 散 离合 犹 如 月 缺月 圆 那 样寻 常 ， 让 得失 利 弊 犹 如花 开 花 谢 那样 自 然 ， 不计 较 ， 也不 刻 意 执 着 ； 让生 命 中 各 种的 喜 怒 哀乐 ， 就 像 风儿 一 样 ， 来了 ， 不 管 是清 风 拂 面 ，还 是 寒 风凛 冽 ， 都 报以 自 然 的 微笑 ， 坦 然 的接 受 命 运 的馈 赠 ， 把是 非 曲 折 ， 都 当作 是 人 生 的定 数 ， 不因 攀 比 而困 惑 ， 不为 贪 婪 而费 神 ， 无论 欢 乐 还是 忧 伤 ，都 用 平 常心 去 接 受； 无 论 得到 还 是 失去 ， 都 用坦 然 的 心去 面 对 ，人 生原 本 就 是在 得 与 失中 轮 回 的， 让 一 切所 有 的 经历 ， 都 化作 脸 上 的云 淡 风 轻。
五年级数学上册《列方程解答含有两个未知数的应用问题》教案、教学设计
6.评价与反馈：
-采用多元化的评价方式，如课堂提问、课后作业、小组讨论等，全面评估学生的学习情况。
-及时给予学生反馈，鼓励学生优点，指出不足，引导学生不断进步。
四、教学内与过程
（一）导入新课
1.引入情境：以一个学生熟悉的生活场景为例，如“小明和小华去书店买书，小明买了3本故事书和4本科技书，共花费了63元；小华买了2本故事书和5本科技书，共花费了50元。请问：故事书和科技书各多少钱一本？”
-给予学生个性化的指导，关注学生的学习过程，及时解答学生的疑问。
4.突破重难点，提高解题能力：
-通过讲解、示范等方式，让学生掌握列出方程组的方法，理解方程组的求解过程。
-运用直观教具、多媒体等手段，帮助学生形象地理解消元法、代入法等求解方法，降低学习难度。
5.巩固练习，拓展思维：
-设计具有代表性的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。
（二）过程与方法
在本章节的学习过程中，学生将通过以下方法，培养解决问题的能力：
1.通过小组合作、讨论的方式，发现并提出问题，培养发现问题的能力。
2.通过实际操作、演示等手段，让学生感受方程的建立与求解过程，培养解决问题的能力。
3.引导学生运用消元法、代入法等方法，培养学生逻辑思维能力和运算能力。
4.通过对实际问题的探究，让学生体验数学知识在实际生活中的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
1.注重激发学生的兴趣，引导学生主动参与学习，提高学生的学习积极性。
2.着重培养学生的逻辑思维能力和运算能力，帮助学生掌握解决含有两个未知数应用问题的方法。
3.加强课堂互动，鼓励学生提问、发表见解，培养学生的问题意识和表达能力。
巧解含有两个未知数的方程
巧解含有两个未知数的方程在数学中，方程是数学语言中表达关系的一种重要工具。
方程通常由未知数、常数和运算符组成，并且存在多种求解方法。
当方程中含有两个未知数时，我们需要运用巧妙的方法来解决问题。
本文将介绍一些解含有两个未知数的方程的方法。
一、二元一次方程二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，通常具有以下一般形式：ax + by = cdx + ey = f在解二元一次方程时，我们可以通过以下几种方法来求解。
1. 代入法代入法是一种常用的解二元一次方程的方法。
具体步骤如下：（1）将其中一个方程视为关于其中一个未知数的方程，例如将第一个方程视为关于x的方程，解出x的表达式；（2）将求得的x的表达式代入另一个方程中，得到只含有一个未知数的方程；（3）通过求解这个只含有一个未知数的方程，得到该未知数的值；（4）将求得的未知数的值代入第一个方程或第二个方程，求解另一个未知数。
2. 消元法消元法是另一种解二元一次方程的常用方法。
具体步骤如下：（1）通过数乘或加减运算，将两个方程中的其中一个未知数的系数变为相等；（2）得到一个只含有一个未知数的方程；（3）通过求解这个只含有一个未知数的方程，得到该未知数的值；（4）将求得的未知数的值代入第一个方程或第二个方程，求解另一个未知数。
3. Cramer's法则Cramer’s法则是解二元一次方程的一种有效方法，适用于系数行列式不为0的情况。
具体步骤如下：（1）设方程组的系数矩阵为A，未知数向量为X，常数向量为B；（2）求解系数矩阵A的行列式值Δ；（3）将B替换矩阵A的第i列并求解替换后的矩阵的行列式值Δi；（4）未知数向量X的第i个元素等于Δi/Δ。
二、二元二次方程二元二次方程是指含有两个未知数的二次方程，通常具有以下一般形式：ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0解二元二次方程的一种常用方法是代入法。
具体步骤如下：（1）将其中一个方程视为关于其中一个未知数的方程，例如将方程1视为关于x的方程，解出x的表达式；（2）将求得的x的表达式代入另一个方程中，得到只含有一个未知数的方程，这个未知数一般为y；（3）通过求解这个只含有一个未知数的方程，得到y的值；（4）将求得的y的值代入第一个方程或第二个方程，求解另一个未知数x。
人教版五年级数学《列方程解含有两个未知数的问题》优秀教案设计
人教版五年级数学《列方程解含有两个未知数的问题》优秀教案设计教材分析：人教实验版五年级上册70页的例3是《简易方程》单元最后一个知识点。
这部分的内容是在学习了方程的意义和用方程解决简单数学问题的基础上进行教学的，属于较复杂的方程问题之一，主要是引导学生掌握根据两个未知数的和差与倍数所形成的数量关系进行列方程解决的方法。
这类问题的学习以四年级所学的乘法分配律、用字母表示和差关系、倍数关系等知识为基础，而且有前面学习的例1和例2两种用方程解决稍复杂问题的经验，学生在理解数量关系的形成上并不难；但是学生在面对两个未知数的情况下不知怎么入手，因此其难点有两个：一是如何只用X表示出两个未知数，二是理解为何设一倍量为X来解决这类问题较为方便。
教学目标：1、学会根据和差与倍数关系列出正确的方程解决含有两个未知数的数学问题；理解和掌握设一倍量为X 解决这类问题的方法，能检验结果是否正确。
2、经历自主思考、交流合作探究用方程解决含有两个未知数问题的过程，进一步体验列方程解决问题的思路和步骤，提高用方程解决问题的能力。
3、体验数学思考的严谨性和条理性，培养有条理思考和检验结果的习惯，提高应用数学方法解决生活数学问题的兴趣和信心，获得解决问题的成就感。
教学重点：理解和掌握设一倍量为X列方程解决含有两个未知数数学问题的方法教学难点：学会用X表示出两个相关联的未知数，理解为何设一倍量为X教学过程：一、旧知复习，铺垫思路1、交流生活中的有关年龄之间的关系师：同学们，你知道你和家人岁数之间的关系吗？2、出示复习题：（1）小明今年X岁，爸爸的年龄是他的4倍，爸爸的年龄可以表示为（）（2）小花今年X岁，哥哥今年1.4X岁，哥哥比欢欢大的岁数可以表示为（）岁（3）欢欢今年X岁，妈妈的年龄是她的3倍，妈妈今年（）岁，欢欢和妈妈一共（）岁。
(注意这题要引出两个答案X+3X和（1+3）X )学生自主说出答案，并引导其说出是怎样想的？二、探索新知，理清思路1、顺势出示例题，引导学生自主探究妈妈的年龄是欢欢年龄的3倍，两人今年一共48岁。
小学数学六年级上册 列方程解含有两个未知数的应用题
列方程解含有两个未知数的应用题【使用说明】本讲义针对人教版本教材，适用于对基本概念掌握较好的学生。
旨在巩固加强对含有两个未知数的应用题的方程解法的掌握。
本节重点➢知识点一：列方程解应用题的步骤。
例题精讲例题：【分析】【解答】【难度系数】2变式练习：【题目】【分析】【解答】【难度系数】2 例题：【分析】【解答】【难度系数】2变式练习：【题目】【分析】【解答】【难度系数】2 例题：【分析】【解答】【难度系数】3变式练习：【题目】【分析】【解答】【难度系数】3课堂总结：课后作业1、买2.5千克苹果和2千克橘子共用去13.6元，已知每千克苹果比每千克橘子贵2.2元，这两种水果的单价各是每千克多少元？【分析】【解答】【难度系数】22、是的，对于数量关系较复杂的问题，可以借助线段图等手段帮助理清数量关系！列方程解应用题的关键是设未知数、找出等量关系等式，再根据数量关系等式列方程解答！【分析】【解答】【难度系数】23、苹果和梨各有若干个，如果5个苹果和3个梨装一袋，那么还多4个苹果，梨恰好装完；如果7个苹果和3个梨装一袋，那么苹果恰好装完，还多12个梨，那么苹果和梨各有多少个？ 【分析】有时候同一个题目设未知量可以有很多角度，但不同的设法可能会造成解方程难度上的差异，如方法二中的方程显然比方法一的方程难解，所以学会合理巧妙地设未知数很重要．学生课下可以自己用盈亏问题解法来解这道题，然后跟方程解法做一个比较。
【解答】这是一个盈亏问题．方法一：设第一次装了x 袋，则第二次装了1234x x -÷=-（袋），有5474x x +=-（），解得16x =，所以原有苹果516484⨯+=（个），原有梨31648⨯=（个）．方法二：设苹果有x 个，则根据两种装法梨的个数相等有453731245744535735435475140216884x x x x x x x x x x -÷⨯=÷⨯+-÷=÷+-÷⨯=÷⨯+⨯-⨯=⨯+==（）（）（）（）【难度系数】3备选题目1、【分析】【解答】【难度系数】22、有三个连续的偶数，已知最小的数加上中间的数的两倍再加上最大的数的三倍的和是64，求这三个连续偶数。
五年级下册数学教案及反思-5.5 列方程解决含有两个未知数的问题 ︳西师大版
教案：五年级下册数学教案及反思-5.5 列方程解决含有两个未知数的问题一、教学目标1. 让学生理解什么是方程，并能够识别方程。
2. 让学生掌握如何列方程解决含有两个未知数的问题。
3. 培养学生运用方程解决问题的能力。
二、教学内容1. 什么是方程2. 如何列方程解决含有两个未知数的问题3. 练习与反思三、教学过程1. 导入（5分钟）通过生活中的实例，让学生初步理解方程的概念。
例如，小明的年龄加上小红的年龄等于20岁，可以用方程表示为x y=20，其中x表示小明的年龄，y表示小红的年龄。
2. 新课讲解（10分钟）（1）什么是方程方程是表示两个数量相等的式子。
方程中的未知数用字母表示，例如x、y 等。
（2）如何列方程解决含有两个未知数的问题举例说明：小华买了3支铅笔和4支钢笔，共花费25元。
铅笔每支2元，钢笔每支5元。
求铅笔和钢笔的单价。
设铅笔的单价为x元，钢笔的单价为y元。
根据题意，可以列出两个方程：3x 4y = 25 （方程1）x = 2 （方程2）将方程2代入方程1，得到：3 2 4y = 256 4y = 254y = 25 - 64y = 19y = 19 / 4y = 4.75所以，铅笔的单价为2元，钢笔的单价为4.75元。
3. 练习与反思（15分钟）（1）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
（2）让学生分享自己的解题思路，互相学习。
（3）教师对学生的解答进行点评，指出存在的问题，引导学生进行反思。
四、课后作业1. 完成练习册上的相关习题。
2. 思考如何运用方程解决生活中的问题，并与同学分享。
五、教学反思1. 在教学过程中，要注意引导学生理解方程的概念，避免死记硬背。
2. 在讲解例题时，要注重解题思路的讲解，让学生明白每一步的推导过程。
3. 在练习环节，要鼓励学生独立思考，培养学生的解决问题的能力。
4. 在课后作业环节，要布置适量的习题，让学生巩固所学知识。
六、教学评价1. 通过课堂讲解和练习，观察学生对方程的理解程度。
第五单元列方程解含两个未知数的问题专项练习-五年级数学(解析版)人教版
2023-2024学年五年级数学上册典型例题系列第五单元：列方程解含两个未知数的问题专项练习1．妈妈的年龄是小明的3倍，妈妈比小明大24岁，小明和妈妈分别是多少岁？【答案】小明是12岁，妈妈是36岁【分析】由题意知，设小明的年龄是x岁，则妈妈的年龄为3x岁，再根据等量关系：妈妈的年龄－小明的年龄＝24，据此列方程解答即可。
【详解】解：设小明的年龄是x岁，则妈妈的年龄为3x岁。
3x－x＝242x＝242x÷2＝24÷2x＝1212×3＝36（岁）答：小明是12岁，妈妈是36岁。
【点睛】本题考查用方程解决实际问题，明确等量关系是解题的关键。
2．芳芳花了7元钱买了面额为6角和8角的邮票，两种邮票的数量相同，芳芳买的两种邮票各有多少枚？（用方程解答）【答案】5枚【分析】1元＝10角；6角＝0.6元；8角＝0.8元；先设出买的两种邮票各有x枚，根据“单价×数量＝总价”分别计算出买6角的邮票和买8角的邮票花的钱数，进而根据“买6角的邮票＋买8角的邮票花的钱数＝7元”；列方程：0.6x＋0.8x＝7，解方程，解答即可。
【详解】6角＝0.6元；8角＝0.8元解：设芳芳买的两种邮票各有x枚。
0.6x＋0.8x＝71.4x＝7x＝7÷1.4x＝5答：芳芳买的两种邮票各有5枚。
【点睛】解答此类题的关键是先设出未知数，进而找出数量间的相等关系式，然后根据关系式列出方程解答。
3．珠海洪鹤大桥全长约9600米，甲、乙两个维护队分别从大桥的两端往中间同时做养护，甲队的养护速度是乙队的1.4倍，8天后甲、乙两队共同完成了养护工作。
甲、乙两队每天分别养护多少米？（列方程解答）【答案】甲队：700米，乙队：500米【分析】设乙队每天养护x米，则甲队每天养护速度为1.4x米，根据两队每天养护长度和×共同完成时间＝总长度，列出方程求出x的值是乙队每天养护长度，乙队每天养护长度×1.4＝甲队每天养护长度。
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稍复杂的方程（三）
执教： 抚州市实验学校
曾莲秀
复习引入
学校书法组有女同学X人，男同学人数是女同学的3.5倍，
男同学有（3.5x）人，男女同学一共有（ 3.5x+x ）人， 男同学比女同学多（ 3.5X+X=（4.5 ）X； ） 3.5x-x 3.5X-X=（ 2.5 ）X
？的 2.4倍 2.4x
例题解答 解：设陆地面积为x亿平方千米，则海洋面积为2.4x亿平方千米。 海洋面积+陆地面积＝地球表面积 2.4 x + x ＝ 5.1 1.5 ×2.4 +） 1.5 ＝ 5.1 （ 2.4 + 1 x ＝ 5.1 3.4x ＝ 5.1 X ＝ 1.5 海洋面积：2.4x ＝ 2.4× 1.5= 3.6 海洋面积：5.1-1. 5 ＝ 3.6（亿平方千米）
1.5×2.4+1.5=5.1（亿平方千米）
地球表面积为5.1亿平方千米，其中， 海洋面积约为陆地面积的2.4倍。
例题分析 海洋面积约为陆地面积的2.4倍。
一倍数
列方程
例3： 地球表面积为5.1亿平方千米，其中，
设未知数
地球上的海洋面积和陆地面积分别是多少亿平方千米？ 海洋面积 陆地面积 x ？ 陆地： 5.1亿平方千米 海洋：
运用了什么运算定律？乘法分配律
解方程 3.5X – X = 5 解： 3.5 x-x=5 （3.5-1）x =5 2.5x=5 2.5x÷2.5=5÷2.5 x=2
条件： 地球上陆地面积为1.5亿平方千米 海洋面积约为陆地面积的2.4倍， 问题： (1)海洋面积约有多少亿平方千米？ (2)海洋面积约比陆地面积多多少亿平方千米？ (3)地球的表面积是多少亿平方千米？
2.1亿平方千米
2.4x
2.4 x － x ＝2.1
小试牛刀
看图列方程
杏树： 桃树：
x
4x
X+
60棵
4x=60
小试牛刀
看图列方程
杏树： 桃树：
x
36棵
4x 4x-X =36
小试牛刀看图列方程来自甲数： 乙数：a
1
15
a+a+1 =15
动 物
篇
人 物 篇
全课小结
今天我们学习了什么内容？
两个未知数怎么办？ 两个已知条件怎么用？ 怎样检验？
或
检验：① 1.5 + 3.6=5.1， ② 3.6÷1.5=2.4
答：陆地面积为1.5亿平方千米，海洋面积为3.6亿平方千米。
例3变式题
地球表面的海洋面积比陆地面积多 2.1亿平方千米， 地球表面积为5.1亿平方千米，其中， 海洋面积约为陆地面积的2.4倍。
x ？ 陆地：
2.1亿平方千米
海洋：
？的2.4 倍 2.4x
解：设陆地面积为x亿平方千米，
则海洋面积为2.4x亿平方千米。
海洋面积－陆地面积＝2.1亿平方千米 2.4x － x ＝2.1
x
陆地：
海洋： 2.4x
地球表面积为 5.1亿平方千米 5.1亿平方千米
2.4 x + x ＝ 5.1
海洋面积比陆地面积多2.1亿平方千米
x
陆地：
海洋：
全课小结
这节课你学到了什么？
两个未知数怎么办？ 可以先选择标准量设为x，列方程解出，再 求另一个。 两个已知条件怎么用？ 可以把其中一个条件用来设未知数，另一 个条件用来列方程。 怎么检验？ 可以把算出的答案代入原题进行计算，看 是否符合题中的已知条件。
如何列方程解答含有两个未知数的问题 已知两个数量的倍数关系，以及这两个数 量的和或差的关系，求这两个数量各是多 少？我们一般根据这两个数量的倍数关系， 设一倍数的数量为x，另一个数量用含x的 式子表示，再根据这两个数量的和或差的 关系，找出等量关系，列出方程求出一个 数量，再求出另一个数量。